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Funciones continuas en el sentido de Cauchy

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(1)

Benem´

erita Universidad

Aut´

onoma de Puebla

Facultad de Ciencias F´

ısico-Matem´

aticas

Funciones continuas en el

sentido de Cauchy.

Tesis presentada al

Colegio de Matem´

aticas

como requisito para obtener el t´ıtulo de

Licenciado en Matem´

aticas

por

Iv´

an S´

anchez Silva

Director de tesis

Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna

(2)
(3)

Agradecimientos

A mi familia. Mis padres: V´ıctor Ram´on S´anchez Chavez y Hortencia Silva

Flores, que por sus sacrificios y esfuerzos para hacerme un hombre de bien, sus

consejos y a ese gran coraz´on que habita en cada uno de ellos para guiarme

siempre hacia lo correcto, he llegado hasta donde estoy. Por todo esto y m´as

este proyecto es para ustedes. Mis hermanos: Abel, Isaac y Esperanza, que a

pesar de nuestras diferencias siempre estuvieron ah´ı cuando m´as necesitaba de

alguien.

A mis amigos. Enrique, Mar´ıa, Ricardo, Cristina, Alejandra, Martha

Pa-tricia, Karina, Fernanda, Carmen y ´Angel, que desde los inicios de este camino

estuvieron junto a mi; hombro a hombro, en algunas ocasiones soport´andome,

¿verdad Enrique?... mi gran grupo de matem´aticos. Y a los que fui conociendo

a lo largo de mi licenciatura, Alejandro, M´onica, Valeria, Ivette , Carina, Elisa,

Quiara, Blanca y Lizbeth. Y no deben faltar a mis grandes amigas de bachiller

Mar´ıa Fernanda y Nubia; aunque no estudiamos las mismas licenciaturas, ellas

han estado siempre a mi lado. Cada uno de ustedes forma parte de mi segunda

familia.

A mis sinodales. Dr. David Herrera Carrasco, M.C. Julio ErastoPoisot

Mac´ıas y M.C. Mar´ıa Guadalupe Raggi C´ardenas, por haberse tomado el

tiempo para revisar este proyecto. Y en particular al Dr. David Herrera

Car-rasco por haber revisado el trabajo antes de ser terminado.

Al Dr. Juan Alberto Escamilla Reyna, por haberme aceptado como su

(4)

tesista, fue un gran placer estar bajo su tutela en el desarrollo de este trabajo.

A mis profesores, que me dieron el honor de haber sido su alumno.

Finalmente a todas las personas que, de una u otra manera, me ayudaron

(5)

´

Indice

Agradecimientos iii

Introducci´on 1

1 Espacios M´etricos 5

1.1 Sucesiones y subsucesiones . . . 11

1.2 Sucesiones de Cauchy . . . 13

1.3 Compacidad. . . 14

1.4 Espacios M´etricos Completos. . . 17

1.4.1 Completaci´on de un Espacio M´etrico . . . 17

1.5 Relaci´on entre Compacidad y Completitud. . . 19

2 Continuidad en Espacios M´etricos. 21 2.1 Funciones continuas. . . 21

2.2 Funciones uniformemente continuas. . . 28

3 Funciones CSC 37 3.1 Funciones continuas en el Sentido de Cauchy . . . 37

3.2 CSC y continuidad. . . 41

Conclusiones 61

Bibliograf´ıa 61

(6)
(7)

Introducci´

on

Durante nuestros cursos de c´alculo, an´alisis en Rn y espacios m´etricos fuimos

testigos de conceptos como sucesi´on, sucesi´on convergente, sucesi´on de Cauchy,

continuidad, funciones uniformemente continuas y funciones secuencialmente

continuas, as´ı como las relaciones entre ´estos.

En los libros cl´asicos, como [5], presentan un teorema que dice “si f es una funci´on de un espacio m´etrico a otro, uniformemente continua, entoncesf

es una funci´on que “manda” sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy”,

otros por ejemplo [4, Teorema 6.36], afirman que el rec´ıproco es verdadero,

cuando en general no lo es, como veremos m´as adelante.

En la b´usqueda de referencias bibliogr´aficas sobre este concepto,

encon-tramos muy pocas; como [7], [11] y [12] que manejan un lenguaje muy t´ecnico,

es decir, poco entendible para los no expertos en la materia. Desarrollan este

concepto en los espacios uniformes y nombran a este tipo de funciones como

“funciones continua en el sentido de Cauchy”. Por otro lado, en los espacios

m´etricos, [1], [9] y [5] lo mencionan brevemene. Incluso [11], hace un comentario

corto.

Debido a la insuficiente informaci´on obtenida sobre este tema dentro de los

espacios m´etricos y su poca divulgaci´on, naci´o la idea de presentar un trabajo

de tesis de Licenciatura en Matem´aticas, donde se dar´an a conocer resultados

que giren entorno a las funciones continuas en el sentido de Cauchy. Planteando

dos vertientes:

(8)

1. El estudio de las relaciones entre las funciones continuas, uniformemente

continuas y las que preservan sucesiones de Cauchy.

2. De manera paralela, haremos un estudio del conjunto de las funciones que

preservan sucesiones de Cauchy con base a lo conocido sobre las funciones

continuas y uniformemente continuas.

En algunos casos, las demostraciones, que aqu´ı se presentan, ser´an

difer-entes de las que se encuentran en las referencias anteriormente mencionadas.

Teniendo como objetivos dar a conocer este concepto y que el lector, haciendo

un an´alisis cr´ıtico, se de cuenta que a partir de sus conocimientos puede generar

nuevos problemas a resolver.

Este trabajo es autocontenido, es decir, que cualquiera que posea cierta

madurez matem´atica en el ´area de topolog´ıa y an´alisis, sea capaz de entenderlo,

sin recurrir a otras referencias bibliogr´aficas. Quedando de la siguiente manera.

En el primer cap´ıtulo se dar´a una breve introducci´on a la topolog´ıa de

espacios m´etricos. Se hablar´a tambi´en de temas como sucesiones, sucesiones

de Cauchy, espacios m´etricos completos y completaci´on de un espacio m´etrico.

Todo esto para tener mas claro los resultados aqu´ı presentados.

En el segundo cap´ıtulo hablaremos sobre las funciones continuas y las

fun-ciones uniformemente continuas, donde la presentaci´on de resultados se dar´a

con un cierto orden: definici´on, operaciones algebraicas (suma, producto y

composici´on), relaci´on entre las funciones que preservan sucesiones de Cauchy,

conservaci´on de conjuntos totalmentes acotados y teorema de extensi´on.

Nues-tro objetivo es tener una mejor comparaci´on entre los conceptos de continuidad

y uniformemente continua.

En el ´ultimo cap´ıtulo hablaremos del tema central de este trabajo, las

fun-ciones que preservan sucesiones de Cauchy o, formalmente, funfun-ciones continuas

en el sentido de Cauchy. Dividi´endolo en tres partes, en la primera parte,

siguiendo con el orden establecido en el cap´ıtulo anterior, daremos algunos

(9)

INTRODUCCI ´ON 3

mencionar que si alguno resultado no es presentado, es debido a que no hay

uno similar para este tipo de funciones. En la siguiente parte, como se ver´a

en el segundo cap´ıtulo, uniformemente continua implica continuidad en el

sen-tido de Cauchy y continuidad, y continuidad en el sensen-tido de Cauchy implica

continuidad. ¿Ser´a posible determinar condiciones para que los rec´ıprocos de

cada implicaci´on sean verdaderos o que los tres conceptos de continuidad sean

equivalentes? En el desarrollo de esta parte, se hablar´a de dichas condiciones

y se establecer´an nuevos resultados para las funciones continuas en el sentido

de Cauchy, complementando el orden establecido anteriormente mencionado.

En la ultima parte, daremos algunas propiedades del conjunto de funciones

(10)
(11)

Cap´ıtulo 1

Espacios M´

etricos

En este cap´ıtulo daremos una breve introducci´on a la topolog´ıa de Espacios

M´etricos y algunos conceptos importantes para espacio m´etricos, que nos

per-mitir´a entender mejor el desarrollo de este trabajo. Es preciso mencionar que

al final de cada definici´on daremos algunos ejemplos.

Definici´on 1.0.1. Sean X un conjunto diferente del vac´ıo y d : X×XR

una funci´on. Diremos que d es una m´etrica o una distancia en X, si para cada

x, y, z ∈X, d cumple con las siguientes propiedades: 1. d(x, y)≥0.

2. d(x, y) = 0, si y s´olo si, x = y. 3. d(x, y) = d(y, x).

4. d(x, z)≤d(x, y) +d(y, z). (Desigualdad del Tri´angulo).

A la pareja ordenada (X, d) la llamaremos espacio m´etrico. Ejemplo 1.0.1. Sea X = R, definamos d : R×RR como

d(x, y) = |x−y|.

Por las propiedades del valor absoluto tenemos que des una m´etrica enR. Esta m´etrica se conoce como la m´etrica usual en R.

(12)

Nota. Por lo general se considera a R con la m´etrica usual. En caso de no

ser as´ı lo mencionaremos.

Ejemplo 1.0.2. Sea X = Rn, n ∈ N, n ≥ 2, definimos d1 : R×R → R

como

d1(x, y) =

n

X

i=1

|xi−yi|.

Esta m´etrica se conoce como la m´etrica del taxista en Rn.

Ejemplo 1.0.3. Sea X = R2, definimos d

2 : R2×R2 →R como

d2(x, y) = s n

X

i=1

(xi−yi)2.

Esta m´etrica se conoce como la m´etrica euclidiana en R2.

Ejemplo 1.0.4. Sea X = {{xn}n∈N | PnN|xn|p < ∞}, donde para cada

n∈N xn ∈R y p ∈R, p≥1 fijo. Definamos d : X×X→R como

dp(x, y) =

X

n∈N

|xn−yn|p

!1p

.

Por el [3, Ejemplo 7, p´ag. 98] dp es una m´etrica. Este espacio se denota por

lp.

Ejemplo 1.0.5. Sea X = Rn, definamos d∞ : Rn×Rn →R como

d∞(x, y) = max{|xi−yi| : i∈ {1, ..., n}}.

Por las propiedades del valor absoluto y del m´aximo, d∞ es una m´etrica. Esta

m´etrica se conoce como la m´etrica uniforme en Rn.

Ejemplo 1.0.6. Sean (X, d) un espacio m´etrico y B(X,R) = {f : X → R| f es una funci´on acotada en X}. Definamos d∞: B(X,R)×B(X,R) → R

por

(13)

7

Observe que d∞(f, g) ∈ R+ ya que, la funci´on f − g es acotada. De las

propiedades del valor absoluto y del supremo d∞ es una m´etrica. Esta m´etrica

se conoce como la m´etrica uniforme en B(X,R).

Ejemplo 1.0.7. Sea X cualquier conjunto diferente del vac´ıo. Definamos dd: X×X→R por

dd(x, y)=

 

1, si x6=y,

0, si x=y

Es f´acil comprobar que dd es una m´etrica. Esta m´etrica se conoce como la

m´etrica discreta en X.

Lema 1.0.1. [5, Lema 1, p´ag. 17] Sea (X, d) un espacio m´etrico. Para cualquier x, y, z, t∈X se cumple,

|d(x, y)−d(z, t)| ≤d(x, z) +d(y, t).

Definici´on 1.0.2. Un espacio m´etrico (X, dX) es isom´etrico al espacio(Y, dY)

si existe una biyecci´on f: XY tal que para cada x, y ∈ X dX(x, y) =

dY(f(x), f(y)).

Ejemplo 1.0.8. Consideremos aC el conjunto de los n´umero complejos yd1 :

C×C→R definida como

d1(z, w) = |z−w|, para cada z, w∈C

Por las propiedades del m´odulo y de los n´umeros complejos se comprueba que

d1 es una m´etrica en C.

Ahora tomemos a (R2, d

2)donde d2 es la m´etrica definida en el Ejemplo 1.0.3.

Consideremos la funci´on f: R2 → C, tal que para cada (a, b) ∈ R2 f(a, b) =

(14)

Definici´on 1.0.3. Sean (X, d) un espacio m´etrico y F un subconjunto cual-quiera, no vac´ıo de X. Definamos la funci´on dF : F ×F → R tal que para

cada x, y ∈ F, dF(x, y) = d(x, y). De las propiedades de d se comprueba

inmediatamente que dF es una m´etrica paraF. A dF suele llam´arsele m´etrica

inducida en F por d. Se acostumbra designar tambi´en por d sin peligro de confusi´on.

De manera que(F, d) es un espacio m´etrico y se le llama subespacio de (X, d).

Ejemplo 1.0.9. Consideremos a(R, d) cond como la m´etrica usual y (0,1)⊆ R. Observe que((0,1), d) es un subespacio m´etrico de R.

Definici´on 1.0.4. Sean (X, d), x0 ∈N y r >0.

a) La bola abierta con centro en x0 y radio r, denotada por B(x0, r), es el

conjunto

B(x0, r) = {x ∈X | d(x, x0)< r}.

b) La bola cerrada con centro en x0 y radio r, denotada por B[x0, r], es el

conjunto

B[x0, r] = {x ∈X | d(x, x0)≤r}.

Definici´on 1.0.5. Sean (X, d) un espacio m´etrico y A⊂X

a) Diremos que A es un conjunto abierto o simplemente abierto, si para cada

x ∈A existe r >0, tal que B(x, r)⊂A.

b) Diremos queA es un conjunto cerrado, si X\A es abierto.

Definici´on 1.0.6. Sean (X, d) un espacio m´etrico, A⊆X y x∈X.

(15)

9

b) x es un punto de acumulaci´on deA, si para cadar >0, B(x, r)\{x}∩A6=.

El conjunto de los puntos de acumulaci´on de A se denota por A0. Algunos autores le llaman a este conjunto, el conjunto derivado de A.

c) x es un punto de adherencia de A, si para cada r >0, B(x, r)∩A6=. La cerradura del conjunto A denotada por A, es el conjunto formado por todos los puntos adherentes de A.

d) x es un punto exterior a A, si existe r >0tal que B(x, r)⊆A{. El exterior

de A, denotado por ext(A) es el conjunto de todos los puntos exteriores de

A.

e) x es un punto frontera de A, si para cadar >0, B(x, r)∩A6=yB(x, r)∩

A{ 6=

∅. La frontera de A, es el conjunto formado por todos los puntos

frontera de A y lo denotaremos f r(A).

f ) x es un punto aislado de A, si existe r >0 tal que B(x, r)∩A={x}.

Teorema 1.0.1. [9, Teorema 2.5, p´ag. 28] Sean (X, d) un espacio m´etrico y

A⊆X.

1. int(A)⊆A.

2. int(A) es un conjunto abierto.

3. El interior de A es el m´aximo conjunto abierto contenido en A, es decir

int(A) = S

{O ⊆X | O es abierto, y O ⊆A}. 4. A es un conjunto abierto, si y s´olo si, int(A) =A.

5. Si A⊆B ⊆X, entonces int(A)⊆int(B).

Teorema 1.0.2. [9, Teorema 2.6, p´ag. 29] Sean (X, d) un espacio m´etrico y

(16)

1. A⊆A.

2. A es un conjunto cerrado.

3. A es el m´ınimo conjunto cerrado que contiene a A, es decir

A = T

{F ⊆X | F es cerrado y A⊆F}. 4. A es un conjunto cerrado, si y s´olo si, A=A.

5. Si A⊆B ⊆X, entonces A⊆B.

6. A0 ⊆A, A=A∪A0 y A es cerrado, si y s´olo si,A0 ⊆A. 7. A=int(A)∪f r(A).

Teorema 1.0.3. [5, Teorema 1, p´ag. 44] Sean (X, d) un espacio m´etrico y

A⊆X.

(A)0 =A0.

Ejemplo 1.0.10. En R con la m´etrica usual:

a) Sea QR, int(Q) = , ext(Q) = , f r(Q) = Q, Q0 = R, Q = R. Se demuestra usando la densidad deQ.

b) Sea NR, int(N) =, ext(N) =R\N, f r(N) =N, N0 =, N=N. Por las propiedades de los n´umeros naturales las igualdades son ciertas.

Definici´on 1.0.7. Sea A un conjunto no vac´ıo en (X, d). Decimos que A es un conjunto acotado, si existek ∈R, k > 0tal que para todo x, y ∈A, se tiene que

d(x, y)≤k.

Teorema 1.0.4. [9, Teorema 2.10, p´ag. 33] Sean (X, d) un espacio m´etrico y

(17)

1.1. SUCESIONES Y SUBSUCESIONES 11

Definici´on 1.0.8. Sean(X, d)un espacio m´etrico,AyB subconjunto no vac´ıos de X. Se define la distancia entre los conjuntos A y B como

d(A, B) = inf{d(a, b)| a∈A, b∈B}.

Definici´on 1.0.9. Sean(X, d)un espacio m´etrico yAun subconjunto no vac´ıo de X. Se define el di´ametro de A como

δ(A) = sup{d(x, y)| x, y ∈A}.

1.1

Sucesiones y subsucesiones

Definici´on 1.1.1. Sea (X, dX) un espacio m´etrico. Una sucesi´on en (X, dX)

es una funci´on f : NX. f(n) lo representaremos como xn y usaremos la

notaci´on usual para sucesi´on es {xn}∞

n=1, {xn} o simplemente (xn).

Nota. No se debe confundir {xn} con f(N) = {xn| n∈N} que es el rango

de la sucesi´on.

Ejemplo 1.1.1. En R, consideremos f: NR definida por

f(n) =n2, n

N.

Observe que por definici´on {xn} es una sucesi´on en R.

Ejemplo 1.1.2. En (B([0,1],R), d∞) consideremos la funci´on

F : N → B([0,1],R) definida por F(n) = fn donde fn : [0,1] → R est´a dada

por fn(x) = x2/n. Observe que por definici´on {fn}={F(n)} es una sucesi´on

en B([0,1],R).

Definici´on 1.1.2. Una sucesi´on{xn}n∈N en el espacio m´etrico (X, d) converge

al punto x0 ∈X si dado ε >0, existe un N ∈N tal que

(18)

A x0 se le llama un l´ımite de la sucesi´on.

Teorema 1.1.1. [9, Teorema 3.1, p´ag. 50] Sea (X, dX) un espacio m´etrico. Una sucesi´on {xn} en X puede tener a lo m´as un l´ımite.

Definici´on 1.1.3. Una sucesi´on en un espacio m´etrico se dice que es acotada si su imagen es acotada.

Teorema 1.1.2. [9, Teorema 3.3, p´ag. 51] Toda sucesi´on convergente en un espacio m´etrico es acotada.

Ejemplo 1.1.3. Sean (X, d) y x∈ X. La sucesi´on constante, es decir, la que tiene como t´ermino general a xn = x, n ∈ N, converge a x, por lo que es

acotada.

Ejemplo 1.1.4. SeaRcon la m´etrica usual. La sucesi´on{(−1)n}es divergente

pero es acotada, ya que {(−1)n | n ∈N}={−1,1} es acotado.

Teorema 1.1.3. [5, Corolario 2’, p´ag. 107] Sean (X, dX) y A ⊆ X. x ∈A si y s´olo si, existe una sucesi´on {xn} de elementos de A tal que lim

n→∞xn=x.

Definici´on 1.1.4. Sea {xn} una sucesi´on en el espacio m´etrico (X, d). Sea

{nk}una sucesi´on de n´umeros naturales estrictamente creciente. A la sucesi´on {xnk} se le llama subsucesi´on de la sucesi´on {xn}. Si la subsucesi´on {xnk} es

convergente enX, al l´ımite de esta subsucesi´on se le llama l´ımite subsecuencial.

Teorema 1.1.4. [9, Teorema 3.9, p´ag. 56] Sea {xn} una sucesi´on en un

espacio m´etrico (X, d) que converge al punto x. Toda subsucesi´on de {xn} es

convergente y converge ax.

Observaci´on 1.1.1. Existen sucesiones que tienen subsucesiones convergentes pero la sucesi´on no lo es.

Ejemplo 1.1.5. Sea la sucesi´on {(−1)n} en R. Es inmediato comprobar que carece de l´ımite. Sin embargo, la sucesi´on {1}∞

n=1 es una subsucesi´on de

(19)

1.2. SUCESIONES DE CAUCHY 13

1.2

Sucesiones de Cauchy

Un concepto importante que gira alrededor de las sucesiones es el de sucesi´on

de Cauchy. Daremos su definici´on y algunos resultados entorno a ´el.

Definici´on 1.2.1. Sea {xn} una sucesi´on en un espacio (X, dX). Se dice que

{xn} es una sucesi´on de Cauchy, si para cada ε > 0 existe un N ∈ N tal que

para todo n, m∈N,

si n, m≥N, entonces dX(xn, xm)< ε.

Teorema 1.2.1. [9, Teorema 3.12 , p´ag. 58] Toda sucesi´on convergente en un espacio (X, dX), es una sucesi´on de Cauchy.

El rec´ıproco del Teorema 1.2.1 no siempre es cierto, es decir, una sucesi´on

de Cauchy no siempre es convergente.

Contraejemplo 1.2.1. Sea((0,1), d)condla m´etrica usual enR. La sucesi´on

{1/n} es de Cauchy en (0,1). Sabemos que lim

n−→∞

1

n=0. Pero 0∈/ (0,1). Por

lo tanto {1/n} no es convergente en (0,1).

Teorema 1.2.2. [9, Teorema 3.14, p´ag. 58] Toda sucesi´on de Cauchy en un espacio m´etrico X es acotada.

Sin embargo, el rec´ıproco de este teorema no siempre es cierto, como

vere-mos con el siguiente ejemplo.

Contraejemplo 1.2.2. La sucesi´on {(−1)n}es acotada, por el Ejemplo 1.1.4. Pero no es de Cauchy, tomando ε= 1, n par y a m impar es f´acil comprar que no es de Cauchy.

Teorema 1.2.3. [5, Lema 1, p´ag. 112] Si una sucesi´on de Cauchy {xn} en un

espacio m´etrico (X, d) admite una subsucesi´on convergente, entonces {xn} es

(20)

1.3

Compacidad.

Antes de dar la definici´on de un conjunto compacto, veamos algunos conceptos

relacionados con la compacidad.

Definici´on 1.3.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Diremos que A ⊂ X es totalmente acotado (algunos autores le llaman precompacto), si para todoε >0, existen x1, x2, ..., xn∈A, tales que

A⊂ n

[

i=1

B(xi, ε).

Ejemplo 1.3.1. Sea (X, dd) un espacio m´etrico discreto con X finito.

Eviden-temente es totalmente acotado.

Ejemplo 1.3.2. En R con la m´etrica usual, (0,1) es totalmente acotado. Sea

ε >0, existe n0 ∈N tal que

1

n0

< ε. Tomemos los puntos

xi=

i n0

i= 1,2, ..., n0,

pertenecen al intervalo(0,1)y lo dividen en subintervalos de longitud 1/n0. Sea

y ∈ (0,1), existe i0 ∈ {1,2, ..., n0} tal que y ∈ [ni00,i0n+10 ], de donde d(y, xi) ≤

1

n0

< ε. Por lo tanto

(0,1)⊆ n0

[

i=0

B(xi, ε).

Teorema 1.3.1. [5, Teorema 1, p´ag. 86] Si A es un conjunto totalmente aco-tado de un espacio m´etrico(X, d), todo subconjunto no vac´ıo deAes totalmente acotado.

Teorema 1.3.2. SiAes un conjunto totalmente acotado en un espacio m´etrico

(X, d), entonces A es totalmente acotado.

Demostraci´on Sean ε > 0 y x ∈ A. Por Definici´on 1.0.6, existe y ∈ A tal qued(x, y)< ε

(21)

1.3. COMPACIDAD. 15

A⊂ n

[

i=1

B(xi,

ε

2).

Como y∈A, entonces existe j ∈ {1,2,3, ...n} tal que y∈B(xj,ε2).

d(x, xj)≤d(x, y) +d(y, xj)≤

ε

2 +

ε

2 =ε

Teorema 1.3.3. [9, Teorema 2.13, p´ag. 36] En un espacio m´etrico(X, d) todo conjunto totalmente acotado es acotado.

Definici´on 1.3.2. (Secuencialmente compacto) Sean (X, d) un espacio m´etrico y Y ⊆ X. Diremos que Y es secuencialmente compacto en X, si toda sucesi´on en Y, contiene una subsucesi´on que converge.

Ejemplo 1.3.3. Sean(X, d)un espacio m´etrico y A⊆Xun subconjunto finito. Como toda sucesi´on en A tiene rango finito admite una subsucesi´on conver-gente, por lo tanto A es secuencialmente compacto.

Teorema 1.3.4. [9, Teorema 6.1, p´ag. 98] Sean (X, dX) un espacio m´etrico secuencialmente compacto y Y un subconjunto cerrado de X. Entonces Y es secuencialmente compacto.

Teorema 1.3.5. [9, Teorema 6.2, p´ag. 98] Sean (X, d) un espacio m´etrico y

Y ⊆X. Si Y es secuencialmente compacto, entonces Y es cerrado y acotado.

Teorema 1.3.6. [9, Teorema 6.7, p´ag. 100] Sea (X, d) un espacio m´etrico. Si

X es secuencialmente compacto, entonces es totalmente acotado.

Definici´on 1.3.3. (Propiedad de Bolzano-Weierstrass) Sean (X, d) un espacio m´etrico y Y ⊆ X. Diremos que Y tiene la propiedad de Bolzano-Weierstrass, si todo subconjunto infinitoAdeY tiene un punto de acumulaci´on en Y.

(22)

Para finalizar, veamos la siguiente definici´on que nos facilitar´a entender el

concepto de compacidad.

Definici´on 1.3.4. Sean A ⊆ X e I un conjunto de indices. Si A ⊆ [ α∈I

Uα,

conUα conjunto abierto en X; a la familia{Uα}α∈I se le llama cubierta abierta

de A. Si I0 ⊆ I es tal que A ⊆ [ α∈I0

Uα, entonces decimos que la subfamilia {Uα}α∈I0 es una subcubierta deA. Si, adem´asI0 es un conjunto finito, diremos

que la subfamilia es una subcubierta finita de A.

Definici´on 1.3.5. (Compacto) Sea(X, dX) un espacio m´etrico. Decimos que

A⊆Xes compacto, si toda cubierta abierta de A, tiene una subcubierta finita.

Ejemplo 1.3.4. Sea R con la m´etrica usual, consideremos el conjunto

A = {0} ∪ {1/n | n ∈ N}. A es compacto en R. Sea {Uα}α∈I una cubierta

abierta de A, entonces existe α0 ∈ I tal que 0∈Uα0. Como la sucesi´on {1/n}

converge a 0, Uα0 es abierto y 0∈Uα0, existe k ∈N tal que

1

n ∈Uα0, para cada n ≥k.

Para cada i∈ {1,2,3, ..., k −1}, sea Uαi tal que 1/i∈Uαi. por lo tanto

A⊆ k−1

[

i=0

Uαi.

Se ha demostrado que A es compacto.

Teorema 1.3.8. [9, Teorema 6.10, p´ag. 104] Sea (X, dX) un espacio m´etrico. Todo conjunto K ⊆X compacto es cerrado y acotado en X.

Teorema 1.3.9. [9, Teorema 6.11, p´ag. 105] Sea (X, dX) un espacio m´etrico compacto. Todo conjunto cerrado en X es compacto.

Teorema 1.3.10. [9, Teorema 6.13, p´ag. 105] Sean (X, d) un espacio m´etrico yA⊆X. Son equivalentes:

(a) A es compacto.

(23)

1.4. ESPACIOS M ´ETRICOS COMPLETOS. 17

Teorema 1.3.11. Todo conjunto compacto en un espacio m´etrico es totalmente acotado.

Demostraci´on La demostraci´on se encuentra en [5, Teorema 2, p´ag. 93].

Otra forma de demostrar este teorema es, sea (X, d) un espacio m´etrico y

A⊆Xcompacto. Aplicando Teoremas 1.3.10,Aes secuencialmente compacto, por Teorema 1.3.6, A es totalmente acotado.

1.4

Espacios M´

etricos Completos.

Definici´on 1.4.1. Sea(X, d)un espacio m´etrico. Diremos que Xes un espacio m´etrico completo, si toda sucesi´on de Cauchy es convergente a un elemento de

X.

Ejemplo 1.4.1. R con la m´etrica usual, es un espacio m´etrico completo. Sea

{xn} una sucesi´on de Cauchy, por Teorema 1.2.2 y por la principio de

Weier-strass (toda sucesi´on acotada de n´umeros reales tiene una subsucesi´on conver-gente), existe {xnk} de {xn} convergente. Aplicando el Teorema 1.2.3,{xn}es

convergente. Por lo tanto R es completo.

Ejemplo 1.4.2. El espacio(B(A,R), d∞)es un espacio m´etrico completo. Esto

se debe a [9, Proposici´on 5.1, p´ag 89].

Lema 1.4.1. [5, Lema 2, p´ag. 113] El rango de una sucesi´on de Cauchy es un conjunto totalmente acotado.

Teorema 1.4.1. [9, Proposici´on 5.3, p´ag. 89] Sean (X, d) un espacio m´etrico completo, Y un subespacio de X. Y es un espacio m´etrico completo, si y s´olo si, Y es un subespacio cerrado de X.

1.4.1

Completaci´

on de un Espacio M´

etrico

Antes de presentar el siguiente teorema, veamos algunas propiedades de las

(24)

Lema 1.4.2. Si {xn} y{yn} son sucesiones de Cauchy en un espacio m´etrico

(X, d), entonces la sucesi´on real {d(xn, yn)} es convergente.

Demostraci´on Sea ε >0, existen N1, N2 ∈N, tal que, para toda n, m∈N,

si n, m≥N1, entoncesd(xn, xm)< ε/2 y

si n, m≥N2, entonces d(yn, ym)< ε/2.

TomandoN = max{N1, N2}, para toda n, m∈N, si n, m≥N, entonces

|d(xn, yn)−d(xm, ym)| ≤d(xn, xm) +d(yn, ym)< ε.

Por lo tanto,{d(xn, yn)}es una sucesi´on de Cauchy enR, entonces {d(xn, yn)}

es convergente.

Lema 1.4.3. Sean {xn} y {yn} dos sucesiones en un espacio m´etrico (X, dX).

Si {xn} es de Cauchy y lim

n→∞dX(xn, yn) = 0, entonces {yn} es tambi´en de

Cauchy

Demostraci´on Sea ε >0, existen N1, N2 ∈N, tal que, para toda n, m∈N,

si n, m≥N1 entoncesd(xn, xm)< ε/3 y sin ≥N2, entonces d(xn, yn)< ε/3.

TomandoN = max{N1, N2}, para toda n, m∈N, si n, m≥N, entonces

d(yn, ym)≤d(xn, yn) +d(xn, ym)≤d(xn, yn) +d(xm, ym) +d(xn, xm)< ε.

Lema 1.4.4. Sean {xn}, {yn} dos sucesiones en un espacio m´etrico (X, dX) y

x∈X. Si lim

n→∞xn =x con, nlim→∞dX(xn, yn) = 0, entonces tambi´en nlim→∞yn=x

Demostraci´on Sea ε >0, existen N1, N2 ∈N, tal que, para toda n ∈N,

si n≥N1 entonces d(xn, x)< ε/2 y si n≥N2, entonces d(xn, yn)< ε/2.

(25)

1.5. RELACI ´ON ENTRE COMPACIDAD Y COMPLETITUD. 19

d(yn, x)≤d(xn, x) +d(xn, yn)< ε.

Lema 1.4.5. Sean {xn}, {yn} dos sucesiones en un espacio m´etrico (X, dX) y

x, y ∈X. Si lim

n→∞xn =x ynlim→∞yn =y, entonces nlim→∞dX(xn, yn) = d(x, y).

Demostraci´on Sea ε >0, existen N1, N2 ∈N, tal que, para toda n ∈N,

si n≥N1 entonces d(xn, x)< ε/2 y sin ≥N2, entoncesd(yn, y)< ε/2.

Tomando N = max{N1, N2} y aplicando Lema 1.0.1 tenemos que para toda

n ∈N, sin ≥N, entonces

|d(xn, yn)−d(x, y)| ≤d(xn, x) +d(yn, y)< ε.

Definici´on 1.4.2. Sea (X, dX) un espacio m´etrico. Se dice que el espacio

(F, dF) es una completaci´on de (X, dX) si satisface las siguientes condiciones: 1. (F, dF) es un espacio m´etrico completo.

2. Existe un conjunto densoF0 en(F, dF)tal que(X, dX)y el subespacio(F0, dF)

son isom´etricos.

Aunque la demostraci´on del siguiente teorema no se har´a, los Lemas 1.4.2,

1.4.3, 1.4.4 y 1.4.5 son auxiliares para su demostraci´on. Estos mismos lemas

son importantes para la demostraci´on de algunos teoremas de la tesis.

Teorema 1.4.2. [5, Teorema 1, p´ag. 191] Todo espacio m´etrico admite una completaci´on.

1.5

Relaci´

on entre Compacidad y

Completi-tud.

(26)

El rec´ıproco del Teorema 1.5.1 no es, en general, cierto.

Contraejemplo 1.5.1. Consideremos el subconjunto A = (−∞,0] en R y denotemos como la m´etrica usual a d . Observemos que A es cerrado, por que A{ = (0,) es abierto en

R. Por el Teorema 1.4.1 (A, d) es un espacio

m´etrico completo, pero A no es compacto. S´olo bastar´a tomar {B(0,−n)}n∈N

una cubierta de A la cual no tiene una subcubierta finita.

Teorema 1.5.2. X es un espacio m´etrico completo y totalmente acotado, si y s´olo si, es compacto.

Demostraci´on Sea (X, d) un espacio m´etrico. Supongamos que X es

com-pacto, por los Teoremas 1.3.11 y 1.5.1, Xes completo y totalmente acotado.

(27)

Cap´ıtulo 2

Continuidad en Espacios

etricos.

Durante el desarrollo de este cap´ıtulo, la presentaci´on de resultados se dar´an

con un cierto orden: definici´on, operaciones algebraicas (suma, producto y

composici´on), relaci´on entre las funciones que preservan sucesiones de Cauchy,

conservaci´on de conjuntos totalmentes acotados y teorema de extensi´on.

Nuestro objetivo es tener una mejor comparaci´on entre las funciones continuas

y uniformemente continuas.

2.1

Funciones continuas.

Definici´on 2.1.1. Sean (X, dX) y (Y, dY) espacios m´etricos. Consideremos una funci´on f : XY. Se dice quef es continua en el puntoa∈X, si y s´olo si, para cada ε >0 existe un δ >0 tal que,

para cada x∈X si dX(x, a)< δ,entonces dY(f(x), f(a))< ε.

Teorema 2.1.1. [9, Teorema 4.1, p´ag. 65] Sean (X, dX), (Y, dY) espacios m´etricos y f: XY una funci´on. Son equivalentes

(1) f es continua en x0.

(28)

(2) Para cada ε >0, existe δ >0, tal que

si x∈B(x0, δ), entonces f(x)∈B(f(x0), ε).

(3) Para cada ε >0, existe δ >0, tal que

f(B(x0, δ))⊆B(f(x0), ε).

(4) Para cada abierto O en Y, con f(x0)∈ O, existe un abierto U en X, con

x0 ∈U y f(U)⊆O.

Definici´on 2.1.2. Continuidad global. Sean (X, dX) y (Y, dY) espacios m´etricos y A ⊂ X. Diremos que una funci´on f : XY es continua en A, si f es continua en cada punto de A.

Teorema 2.1.2. [9, Teorema 4.2, p´ag. 66] Sean (X, dX), (Y, dY) espacios m´etricos y f: XY una funci´on. Son equivalentes

(1) f es continua en X.

(2) Para cada V abierto en Y, se cumple que f−1(V) es abierto en X.

Ejemplo 2.1.1. Sea f: RR definida por f(x) = x. Veamos que f es continua en R. Sean a∈X y ε >0.

|f(x)−f(a)|=|x−a|.

Tomando δ =ε >0 tenemos que para toda x∈R si|x−a|< δ entonces

|f(x)−f(a)|=|x−a|< δ =ε. Por lo tanto f es continua en R.

Definici´on 2.1.3. Sean (X, dX),(Y, dY) espacios m´etricos, f : XY y x0 ∈

X. Diremos que la funci´on f es secuencialmente continua en el punto x0, si

(29)

2.1. FUNCIONES CONTINUAS. 23

lim

n→∞xn=x0, entonces nlim→∞f(xn) =f(x0).

Definici´on 2.1.4. Sean (X, d) espacio m´etrico y A ⊂ X. Diremos que una funci´on f : XY es secuencialmente continua en A, si f es secuencialmente continua en cada punto de A.

Teorema 2.1.3. [9, Teorema 4.3, p´ag. 67] Sean (X, dX),(Y, dY) espacios m´etricos y f : XY una funci´on. Sea x0 ∈X. Son equivalentes

1. f es continua en x0.

2. f es secuencialmente continua en x0.

Teorema 2.1.4. Sean (X, dX),(Y, dY) espacios m´etricos y f : XY una funci´on. Si para toda {xn} sucesi´on en X tal que,

{xn} es una sucesi´on de Cauchy, entonces {f(xn)} es una sucesi´on de

Cauchy en Y. Entonces f es continua en X.

Demostraci´on Sean a0 ∈X y {xn} una sucesi´on de Xtal que lim

n→∞xn =a0.

Definamos {yn} como

yn=

 

a0, si n es par

xn, sin es impar

Veamos que {yn} es una sucesi´on de Cauchy. Sea ε >0.

Como {xn} es convergente a a0, existe N1 ∈ N tal que para toda n ∈ N si

n ≥N1, entoncesdX(a0, xn)< ε. Por Teorema 1.2.1,{xn}es de Cauchy, existe

N2 ∈ N tal que para toda n, m ∈ N si n, m ≥ N2, entonces dX(xm, xn) < ε. Tomemos N = max{N1, N2}.

(30)

dX(ym, yn) = dX(a0, xn)< ε.

Por lo tanto{yn}es una sucesi´on de Cauchy. Entonces{f(yn)}es una sucesi´on

de Cauchy.

Observemos que{f(yn)}admite una subsucesi´on{f(ynk)}convergente af(a0), donde para cada nk ∈ N con nk par f(ynk) = f(a0). Aplicando el Teorema 1.2.3,{f(yn)} converge af(a0). Entoncesf es secuencialmente continua en X.

Por el Teorema 2.1.3, f es continua en X. A partir de este momento a las funciones que cumplan que para toda{xn}

sucesi´on en X, si {xn} es una sucesi´on de Cauchy, entonces {f(xn)} es una

sucesi´on de Cauchy enY, las nombraremos, informalmente, como funciones que

preservan sucesiones de Cauchy. El Teorema 2.1.4 hace referencia a la relaci´on

entre las funciones que preserva sucesiones de Cauchy y las funciones continuas.

Ahora bien, el rec´ıproco de este teorema no siempre es cierto, es decir, no

siempre una funci´on continua preserva sucesiones de Cauchy.

Contraejemplo 2.1.1. Sea f : (0,1)→R definida como

f(x) = 1

x.

Es claro quef es continua en (0,1). Sea= 1

2 yδ >0, como la sucesi´on{1/n}

es de Cauchy en el intervalo (0,1), existenn1, n2 ∈N tal que|1/n1−1/n2|< δ.

Pero,

|f(1/n1)−f(1/n2)|=|n1−n2|>1/2

Entonces {f(1/n)} no es una sucesi´on de Cauchy. Por lo tanto f no preserva sucesiones de Cauchy.

Teorema 2.1.5. [5, Teorema 1, p´ag. 151] Sean (X, dX), (Y, dY) espacios m´etricos, f :A⊆XY y a∈A.

(31)

2.1. FUNCIONES CONTINUAS. 25

2. Si a es un punto de acumulaci´on de A, entonces f es continua en a si y s´olo si lim

x→af(x) = f(a).

Teorema 2.1.6. [5, Teorema 3, p´ag. 153] Sean (A, dA), (X, dX), (Y, dY) espa-cios m´etricos, f: A⊆AX y g : B ⊆XY funciones con f(A)⊆B. Si para a∈A0 existe lim

x→af(x) = b, b∈B y g es continua en b, entonces

lim

x→a(g◦f)(x) =g(b).

Teorema 2.1.7. Sean (A, dA), (X, dX)y (Y, dY)espacios m´etricos, si f : A→ X, g : X→Y son continuas, entonces g◦f :A→Y definida por (g◦f)(x) =

g(f(x)) es continua en A.

Demostraci´on Como f(A) ⊆ X, nos permite considerar la funci´on g ◦f : A → Y. Sea a ∈ A. Si a es un punto aislado, por el Teorema 2.1.5, g ◦f es

continua en a.

Si a∈A0, del Teorema 2.1.5 y la continuidad de f, lim

x→af(x) =f(a).

Por hip´otesis,ges continua enX, entoncesg es continua enf(a)∈X, aplicando el Teorema 2.1.6,

lim

x→a(g◦f)(x) =g(f(a)) = (g◦f)(a).

Por lo tanto, g◦f es continua en X.

Teorema 2.1.8. Sean (X, d) un espacio m´etrico y f, g : XR funciones continuas en X. Entonces

1. f±g es continua en X 2. f g es continua X.

Demostraci´on

(32)

Seaε >0 yx0 ∈X. Comof yg son continuas enX, entonces existenδ1, δ2 >0

tales que para cada x ∈ X si d(x, x0) < δ1, entonces |f(x)−f(x0)| < 2ε y si

d(x, x0)< δ2, entonces|g(x)−g(x0)|< ε2.

Tomandoδ = min{δ1, δ2}>0 y sea x∈Xtal que d(x, x0)< δ, tenemos que

|(f(x) +g(x))−(f(x0) +g(x0))| ≤ |f(x)−f(x0)|+|g(x)−g(x0)|<

ε

2+

ε

2 =ε Por lo tantof +g es continua en x0.

b) De manera an´aloga se puede demostrar que f−g es continua en X.

2. Seaε >0 yx0 ∈X. Observemos que|f(x)g(x)−f(x0)g(x0)| ≤ |f(x)| |g(x)−

g(x0)|+|g(x0)| |f(x)−f(x0)|.

Sabemos que f y g son continuas en X. Sea ε1 =

ε

2(|g(x0)|+ 1)

> 0, existe

δ1 >0 tales que para cadax∈X, sid(x, x0)< δ1, entonces|f(x)−f(x0)|< ε1,

entonces|f(x)| ≤ |f(x0)|+ε1.

Definamos a M=|f(x0)|+ε1. Sea ε2 =

ε

2M, existe δ2 > 0 tal que para cada x∈X, si d(x, x0)< δ2, entonces |g(x)−g(x0)|< ε2.

Tomemosδ = min{δ1, δ2}>0 y sea x∈X tal que d(x, x0)< δ, tenemos que

|f(x)g(x) − f(x0)g(x0)| ≤ |f(x)| |g(x) − g(x0)| + |g(x0)| |f(x) − f(x0)| ≤

M ε2+|g(x0)|ε1 =

ε

2+|g(x0)|

ε

2(|g(x0)|+ 1)

< ε

2 +

ε

2 =ε.

Por lo tantof g es continua en X

Es sabido que las funciones continuas preservan conjuntos compactos. Por

lo que es natural preguntarse ¿una funci´on continua conserva conjuntos

total-mente acotados? En general la respuesta es que no.

Contraejemplo 2.1.2. Sea f : (0,1)→R definida como

f(x) = 1

x.

Sabemos que f es continua (0,1) y que por el Ejemplo 1.3.2 (0,1) es totalmente acotado. Sin embargo,f((0,1)) = (1,∞)no es un conjunto totalmente acotado, ya que (1,∞) no es acotado.

(33)

2.1. FUNCIONES CONTINUAS. 27

Lema 2.1.1. [5, Lema 2, p´ag. 162] Sean (X, dX), (Y, dY) espacios m´etricos y

f, g: A ⊆ XY funciones. Si f y g son continuas en A y para cada x∈ A f(x) =g(x), entonces para cada x∈A f(x) =g(x).

Teorema 2.1.9. [5, Teorema 2, p´ag. 138] Sean (X, dX), (Y, dY), f: A⊆X→ Y una funci´on y a∈A0.

Si existe lim

x→af(x) =b, entonces para toda sucesi´on{xn}enA, tal quenlim→∞xn =

a, la sucesi´on {f(xn)} converge a b.

Teorema 2.1.10. Sean (X, dX), (Y, dY) espacios m´etricos y f : A ⊆ XY

continua en A. Existe una ´unica funci´on g : A⊆XY continua enA y para cada x∈A, g(x) =f(x), si y s´olo si, existe lim

x→af(x), para cada a∈A

0.

Demostraci´on Supongamos que existe g del enunciado y sea tambi´en h:

A ⊆ XY continua en A y para cada x ∈ A f(x) = h(x). Entonces para toda x ∈ A g(x) = f(x) = h(x), lo cual implica por el Lema 2.1.1, para toda

x∈A g(x) = h(x). Por lo que g es ´unica.

Consideremos, por otra parte, la funci´on identidad i: A ⊆ XX, tal que para cada x ∈ A i(x) = x. Podemos expresar f = (g◦i), adem´as, si a ∈ A0, lim

x→ai(x) =a. Aplicando el Teorema 2.1.6, existe

lim

x→af(x) = limx→a(g◦i)(x) = g(a).

Ahora, supongamos que existe lim

a→af(x), para toda a ∈ A

0. Contruyamos

la funci´on g: A ⊆ XY de la siguiente manera. Para cualquier punto

a ∈A =A∪A0,

g(a)=

 

f(a), si a∈A,

lim

x→af(x) si a∈A

0

De manera que g est´a bien definida para todo punto de A. Resta probar la continuidad de g en A.

(34)

2.1.5. Consideremos el caso en quea∈(A)0; de acuerdo con el Teorema 1.0.3,

a∈A0 y g(a) = lim

x→af(x).

SeaT una vecindad cualquiera deg(a); existe una bola cerradaB[g(a), r] =C

con C ⊆T. Por el Teorema 2.1.1, existe S una vecindad de a tal que

f((S− {a} ∩A))⊆N(g(a), r)⊆C.

Denotemos a S − {a} = B, consideremos el conjunto B ∩A y tomemos un

z ∈B∩A. Si U es una vecindad cualquiera de z tenemos que U ∩(B ∩A) = (U ∩B)∩A6= ya que U ∩B es un entorno de z ∈A, entonces

z ∈B∩A= (B ∩A)∪(B ∩A)0.

Si z ∈ B ∩A, entonces g(z) = f(z) ∈ f(B ∩A) ⊆ C. Supongamos que

z∈(B∩A)0 ⊆A0. Luegog(z) = lim

x→zf(z). Pero, por los teoremas 1.0.3 y 1.1.3,

existe una sucesi´on {zn} en B ∩A con lim

n→∞zn = z, entonces por el Teorema

2.1.9, lim

n→∞f(zn) = g(z). Ahora, la sucesi´on {f(zn)} ⊆ f(B ∩A), de manera

que

g(z)∈f(B∩A),

por el Teorema 1.1.3 y f(B∩A)⊆C, g(z)∈C.

Para cualquier z ∈B∩A g(z)∈C, entonces g(B∩A)⊆C ⊆T, es decir lim

x→ag(x) = g(a).

Por lo tanto, por el Teorema 2.1.5,g es continua en a∈(A)0.

Finalmente,g es continua en A.

2.2

Funciones uniformemente continuas.

Definici´on 2.2.1. Sean (X, dX),(Y, dY) dos espacios m´etricos, diremos que la funci´on f : XYes uniformemente continua en X, si para cada ε >0, existe

(35)

2.2. FUNCIONES UNIFORMEMENTE CONTINUAS. 29

si dX(x1, x2)< δ, entonces dY(f(x1), f(x2))< ε.

Es claro que si f es uniformemente continua en X, entonces f es continua en X.

Pero el rec´ıproco no siempre es v´alido, lo cual revela que la continuidad

uniforme es una propiedad m´as poderosa que la continuidad, en el sentido que

la continuidad es consecuencia de la continuidad uniforme. Veamos el siguiente

ejemplo, que nos ilustrar´a un poco m´as esta afirmaci´on.

Contraejemplo 2.2.1. Sea f : (0,1)→R definida como

f(x) = 1

x.

Sabemos que f es continua (0,1), pero veremos que no es uniformemente con-tinua en (0,1). Sea = 1

2 y δ >0, como la sucesi´on {1/n} es de Cauchy en el

intervalo (0,1), existen n1, n2 ∈N distintos tales que |1/n1−1/n2|< δ. Pero,

|f(1/n1)−f(1/n2)|=|n1−n2|>1/2

Por lo tanto f no es uniformemente continua.

Teorema 2.2.1. Sean (X, dX), (Y, dY) espacios m´etricos y f: XY una funci´on. Son equivalentes:

1. f no es uniformemente continua enX.

2. Existe ε >0, tal que, para toda δ >0, existe xδ y yδ que cumplen

dX(xδ, yδ)< δ, y dy(f(xδ), f(yδ))> ε

3. Existe ε >0 y dos sucesiones {xn}, {yn}, tales que

lim

n→∞dX(xn, yn) = 0 y d(f(xn), f(yn))≥ε para cada n ∈N.

Demostraci´on De la negaci´on de la Definici´on 2.2.1 se tiene que 1) es

equi-valente a 2), s´olo faltar´ıa ver que 2) es equivalente a 3).

Para 2) implica 3), tomemos ε >0 tal que, para toda δ >0, existexδ y yδ que

(36)

dX(xδ, yδ)< δ, ydy(f(xδ), f(yδ))> ε.

En particular paraδ = 1

n con n ∈N, existenxn y yn que cumplen dX(xn, yn)< δ y para cada n∈N, d(f(xn), f(yn))≥ε.

Observe que{xn}y{yn}son dos sucesiones tales que, si 0≤dX(xn, yn)<

1

n,

entonces lim

n→∞dX(xn, yn) = 0.

Ahora veamos que 3) implica 2), tomemos ε > 0 y dos sucesiones {xn}, {yn},

tales que

lim

n→∞dX(xn, yn) = 0 y d(f(xn), f(yn))≥ε.

Sea δ >0, como lim

n→∞dX(xn, yn) = 0, existe N ∈N tal que para cadan ∈N

si n ≥ N entonces dX(xn, yn) < δ. En particular, tomando n = N tenemos

dX(xN, yN)< δ y adem´as xN =xδ y yN =yδ. Se concluye la demostraci´on.

Por lo tanto 2) es equivalente 3).

El Teorema 2.2.1 ser´a de mucha utilidad para algunas demostraciones

pos-teriores.

Ejemplo 2.2.1. Sea R con la metrica usual y [0,1] ⊆ R. Sea f: [0,1] → R

definida por f(x) = x2, ´esta es uniformemente continua en [0,1]. Sea ε > 0,

tomemos δ= 2ε, sean x, y ∈[0,1], tal que |x−y|< δ, entonces

|f(x)−f(y)|=|x2y2|=|x+y||xy|<

2 =ε.

Por lo tanto f es uniformemente continua.

Haciendo un estudio an´alogo como se hizo en las funciones continuas,

tene-mos:

(37)

2.2. FUNCIONES UNIFORMEMENTE CONTINUAS. 31

si {xn} es una sucesi´on de Cauchy, entonces {f(xn)} es una sucesi´on de

Cauchy en Y.

Demostraci´on Dado ε >0, existe δ >0 tal que para cualesquiera x, y ∈X,

dX(x, y) < δ entonces dY(f(x), f(y)) < ε. Adem´as, como {xn} es de Cauchy,

existe un N ∈ N tal que si n, m > N, entonces dX(xn, xm) < δ. Entonces

dY(f(xn), f(xm))< ε, por lo que {f(xn)} es de Cauchy.

Una pregunta natural es ¿El rec´ıproco se cumple? La respuesta es que no.

Contraejemplo 2.2.2. Sea f: RR, definida por f(x) = x2 y {xn} una

sucesi´on de Cauchy en R.

Por el Teorema 1.2.2 {xn} es acotada, entonces existe K ∈ R+ tal que para

cada n∈N, |xn| ≤K.

Sea ε >0, existe un N ∈N tal que si n, m > N, entonces |xn−xm|<

ε

2K.

|f(xn)−f(xm)|=|x2n−x2m|=|(xn−xm)(xn+xm)| ≤ |(xn−xm)|(|xn|+|xm|) =

2K|xn−xm|< ε.

Por lo tanto {f(xn)} es una sucesi´on de Cauchy.

Sea ε= 1 y δ >0, tomemos n ∈N tal que 1/n < δ, entonces

|n+ 1/n−n|< δ, pero |f(n+ 1/n)−f(n)|= 2 + 1/n2 >1. Por lo tanto no es uniformemente continua.

Otra manera de enunciar el Teorema 2.2.2 es: sean (X, dX), (Y, dY) espacios m´etricos y f: XY una funci´on. Si f es uniformemente continua, entonces

f preserva sucesiones de Cauchy.

Este teorema aparte de dar la relaci´on entre las funciones uniformemente

con-tinuas y las funciones que preservan sucesiones de Cauchy, nos hace referencia

(38)

Teorema 2.2.3. Sean(A, dA), (X, dX)y (Y, dY)espacios m´etricos, si f : A→ X, g : X → Y son uniformente continuas, entonces g◦f : A → Y definida

por (g◦f)(x) = g(f(x))es uniformemente continua en A.

Demostraci´on Como f(A) ⊆ X, nos permite considerar la funci´on g ◦f : A→Y. Sea ε >0, existe δ1 >0 tal que para cada x, y ∈X

si dX(x, y)< δ1, entonces dY(g(x), g(y))< ε. Por otro lado, paraδ1 >0 existe δ2 >0 tal que para cada a, b∈A

sidA(a, b)< δ2, entonces dY(f(a), f(b))< δ1. Dado que f(a), f(b)∈X y dY(f(a), f(b))< δ1, tenemos que

dY(g(f(a)), g(f(b))) =dY((g◦f)(a),(g◦f)(b))< ε. Por lo tantog◦f es uniformemente continua.

Como en las funciones continuas, ¿ser´a posible que la suma y el producto de

funciones uniformemente continuas sean funciones uniformemente continuas?

En el caso del producto, en general no es cierto.

Contraejemplo 2.2.3. Sea f, g : RR definidas por f(x) =x y g(x) =x. Entonces f g : RR definidas por (f g)(x) = f(x)g(x) = x2. Por el

Contraejemplo 2.2.2, sabemos que f g no es uniformemente continua.

Con condiciones adicionales, obtenemos un teorema similar al Teorema 2.1.8

para las funciones uniformemente continuas.

Teorema 2.2.4. Sea (X, d) un espacio m´etrico y f, g : XR funciones uniformemente continuas en X. Entonces

1. f ±g es uniformemente continua en X

(39)

2.2. FUNCIONES UNIFORMEMENTE CONTINUAS. 33

Demostraci´on

1. a) Demostremos que f +g es uniformemente continua en X.

Sea ε > 0. Como f y g son uniformemente continuas en X, entonces existen

δ1, δ2 >0 tales que para cada x, y ∈X

si d(x, y)< δ1, entonces |f(x)−f(y)|< ε2 y si d(x, y)< δ2, entonces

|g(x)−g(y)|< ε2.

Tomando δ = min{δ1, δ2} > 0 y sean x, y ∈ X tales que d(x, y) < δ, tenemos

que |(f(x) +g(x))−(f(y) +g(y))| ≤ |f(x)−f(y)|+|g(x)−g(y)|< ε

2+

ε

2 =ε Por lo tanto f +g es uniformemente continua en X.

b) De manera an´aloga se puede demostrar quef−g es uniformemente continua en X.

2. Sea ε >0. Como f y g son acotadas, entonces existenk1, k2 ∈R+ tales que

para cada x∈X |f(x)| ≤k1 y |g(x)| ≤k2.

Por otro lado,f ygson uniformemente continuas enX, entonces existenδ1, δ2 >

0 tales que para cada x, y ∈ X si d(x, y) < δ1 entonces |f(x)−f(y)| <

ε

2k2

y si d(x, y)< δ2 entonces |g(x)−g(y)|<

ε

2k1

.

Tomando δ= min{δ1, δ2}>0 seanx, y ∈X tales qued(x, y)< δ, tenemos que

|f(x)g(x)−f(y)g(y)| ≤ |g(x)| |f(x)−f(y)|+|f(y)| |g(x)−g(y)|< k2ε

2k2

+k1ε 2k1

Por lo tanto f g es uniformemente continua en X. Teorema 2.2.5. Sean (X, dX), (Y, dY) espacios m´etricos y f : XY una funci´on uniformemente continua en X. Si X es totalmente acotado, entonces

f(X) es totalmente acotado.

Demostraci´on Sea ε >0. Entonces existe δ >0 tal que para cada x, y ∈X

si dX(x, y)< δ, entoncesdY(f(x), f(y))< ε. Dado queX es un conjunto total-mente acotado, para δ >0 existe x1, x2, ..., xn ∈Xtales que

X⊂

n

[

i=1

(40)

Ahora veamos quef(X)⊂ n

[

i=1

B(f(xi), ε). Seay∈f(X), entonces existex∈X

tal que y =f(x). Como x ∈X, existe i0 ∈ {1,2, ..., n} tal que dX(x, xi0) < δ,

luegodY(f(x), f(xi0))< ε. Finalmente,y ∈B(f(xi0), ε)⊂

n

[

i=1

B(f(xi), ε).

Por lo tantof(X) es un conjunto totalmente acotado.

Teorema 2.2.6. Sean (X, dX), (Y, dY) espacios m´etricos y f : XY una funci´on. f es uniformemente continua, si y s´olo si, dY(f(S), f(T)) = 0cuando

S, T ⊂X y dX(S, T) = 0.

Demostraci´on Para la necesidad la demostraci´on la haremos por

contra-dicci´on. Supongamos que f : XY es uniformemente continua y existen

S, T ⊂X tales quedX(S, T) = 0 y dY(f(S), f(T))>0.

Sea ε = dY(f(S), f(T)) > 0. Existe δ > 0, entonces δ > dX(S, T), luego ex-isten x ∈ S y y ∈ T tales que dX(x, y) < δ, entonces dY(f(x), f(y)) < ε =

dY(f(S), f(T)). Esto es una contradicci´on.

Para la suficiencia, tambi´en la haremos por contradicci´on. Supongamos que

f : XY no es uniformemente continua y dY(f(S), f(T)) = 0 cuando

S, T ⊂X y dX(S, T) = 0.

Dado que f no es uniformemente continua, existe ε >0 y dos sucesiones{xn}

y {yn}, tales que

lim

n→∞dX(xn, yn) = 0 y para cada n ∈N dY(f(xn), f(yn))≥ε.

Por otro lado, observemos que {xn} y {yn} ⊂ X y que dX({xn},{yn}) = 0, entoncesdY(f({xn}), f({yn})) = 0.

Como dY(f(xn), f(yn)) ∈ {d(f(xi), f(yi)) : xi ∈ {xn} y yi ∈ {yn}} y para

(41)

2.2. FUNCIONES UNIFORMEMENTE CONTINUAS. 35

Por lo tanto dY(f(S), f(T)) = 0 cuando S, T ⊂ X y dX(S, T) = 0, si y s´olo si, f : XY es uniformemente continua.

Teorema de extensi´on para las funciones uniformemente

conti-nuas.

Lema 2.2.1. [5, Lema 1, p´ag. 186] Sean (X, dX), (Y, dY) espacios m´etricos y f: A ⊆ XY es una funci´on. Si f es uniformemente continua en A y

(Y, dY) es completo, entonces existe lim

x→af(x), para toda a∈A

0.

Teorema 2.2.7. Sean (X, dX) un espacio m´etrico, (Y, dY) un espacio m´etrico completo y f : A ⊆XY uniformemente continua en A, entonces existe una ´

unica funci´on g :A⊆XY, uniformemente continua en A tal que para cada

x∈A: g(x) = f(x)

Demostraci´on Como f es uniformemente continua en A, f es continua en

A. Por el Lema 2.2.1, existe lim

x→af(x), para toda a ∈ A

0. Del Teorema 2.1.10,

existe una ´unica funci´on g : A ⊆ XY continua en A y para toda x ∈ A f(x) =g(x).

S´olo falta demostrar queg es uniformemente continua en A. Dadoε >0 existe un δ >0 tal que para cadax, y ∈A

si dX(x, y)< δ, entonces dY(f(x), f(y))< ε

3. Sean x, y ∈ A tales que dX(x, y) < δ0

2. Como g es continua en x y y, existen

δ1, δ2 >0 tales que

para cada z ∈A, sidX(z, x)< δ1, entoncesdY(g(z), g(x))<

ε

3,

para cada t ∈A, sidX(t, x)< δ1, entonces dY(g(t), g(y))<

ε

3.

Tomando δ= min

δ0

4, δ1, δ2

(42)

dY(f(p), g(x))< ε

3 y dY(f(q), g(y))<

ε

3.

Por otra parte,

dX(p, q)≤dX(p, x) +dX(q, x)≤dX(p, x) +dX(q, y) +dX(x, y)< < δ

4+

δ

4+

δ

2 =δ. Finalmente para cadax, y ∈A si dX(x, y)< δ

2, entonces

dY(g(x), g(y))≤dY(f(p), g(x)) +dY(f(p), g(y))≤ ≤dY(f(p), g(x)) +dY(f(q), g(y)) +dY(f(p), f(q))< ε.

(43)

Cap´ıtulo 3

Funciones Continuas en el

sentido de Cauchy.

3.1

Funciones continuas en el Sentido de Cauchy

Aunque en el Cap´ıtulo 2, el primer resultado que habla de las funciones que

preserva sucesiones de Cauchy es el Teorema 2.1.4, en los libros cl´asicos, como

[5], el que aborda este concepto es el Teorema 2.2.2, mostr´andonos la existencia

de este tipo de funciones.

En este cap´ıtulo estudiaremos las funciones que preservan sucesiones de Cauchy,

manteniendo un orden similar al que se present´o en el cap´ıtulo anterior.

Definici´on 3.1.1. Sean (X, dX),(Y, dY) dos espacios m´etricos, diremos que la funci´on f : XY es continua en el sentido de Cauchy sobre X, si para cada sucesi´on {xn} ⊂X tal que,

{xn} es de Cauchy, entonces {f(xn)} es de Cauchy

Nota. Para abreviar diremos que una funci´on es continua en el sentido de

Cauchy como CSC.

(44)

Ejemplo 3.1.1. Sea f: RR la funci´on definida por f(x) = x2. Del

Con-traejemplo 2.2.2 se tiene que f es CSC.

Ejemplo 3.1.2. En general, en R con la m´etrica usual y f: RR una funci´on definida por f(x) =xn para cualquiern

N, f es CSC. Sea {xk} una

sucesi´on de Cauchy en R, veamos que {f(xk)} es de Cauchy.

Por el Teorema 1.2.2, {xk} es acotada, es decir, existe C ∈ R+ tal que para

cada k ∈N |xk|< C, entonces |xkn−1|< Cn−1. Sea ε >0, existe un N ∈N tal que si l, m≥N entonces |xl−xm|<

ε nCn−1.

|f(xl)−f(xm)|=|xnl−x n

m|=|xl−xm|

n−1 X

i=0

x(ln−1)−ixim

≤ |xl−xm| n−1 X

i=0

|x(ln−1)−ixim|< nCn−1|xl−xm|< ε.

Por lo tanto {f(xk)} es una sucesi´on de Cauchy.

Continuando con lo que hasta ahora hemos hecho, demostraremos

teore-mas similares a los demostrados para las funciones continuas y a las funciones

uniformemente continuas, relacionados a las funciones CSC.

Teorema 3.1.1. Sean (A, d), (X, d0) y (Y, d00) espacios m´etricos, si f : A→ X,g: X→Yson CSC, entoncesg◦f : A→Ydefinida por(g◦f)(x) = g(f(x))

es CSC en A.

Demostraci´on Sea {xn} ⊂ A una sucesi´on de Cauchy en A. Como f es

CSC, tenemos que {f(xn)} es una sucesi´on de Cauchy en X. Sabemos que g

es CSC, entonces{g(f(xn))}={(g◦f)(xn)} es una sucesi´on de Cauchy en Y.

Por lo tantog◦f es CSC.

Teorema 3.1.2. Sean (X, d) un espacio m´etrico y f, g : XR funciones CSC en X. Entonces

(45)

3.1. FUNCIONES CONTINUAS EN EL SENTIDO DE CAUCHY 39

Demostraci´on 1. a) Sea {xn} una sucesi´on de Cauchy enX. Sabemos que

f y g son CSC, por lo que {f(xn)} y {g(xn)}son sucesiones de Cauchy en Y.

Sea ε > 0, existen N1, N2 ∈ N tales que para cada n.m ∈ N si n, m ≥ N1

entonces |f(xn)−f(xm)|<

ε

2 y si n, m≥N2 entonces |g(xn)−g(xm)|<

ε

2. Tomando N = max{N1, N2}, tenemos |(f(xn) +g(xn))−(f(xm) +g(xm))| ≤ |f(xn)−f(xm)|+|g(xn) +g(xm)|<

ε

2+

ε

2 =ε.

Con esto hemos demostrado que {(f+g)(xn)}es una sucesi´on de Cauchy. Por

lo tanto f +g es continua en el sentido de Cauchy. b) De forma an´aloga tenemos que f−g es CSC.

2. Seaε >0 y{xn}una sucesi´on de Cauchy enX. Sabemos quef ygson CSC, por lo que {f(xn)} y {g(xn)} son sucesiones de Cauchy en Y. Por el Teorema

1.1.3, existen k1, k2 >0 tales que para cada n∈N |f(xn)| ≤k1 y |g(xn)| ≤k2.

Por oto lado, para ε > 0, existen N1, N2 ∈ N tales que para cada n, m ∈

N si n, m ≥ N1 entonces |f(xn) −f(xm)| <

ε

2k2

y si n, m ≥ N2 entonces

|g(xn)−g(xm)|<

ε

2k1

.

Tomemos a N = max{N1, N2}, entonces |(f(xn)g(xn))− (f(xm)g(xm))| ≤ |g(xn)| |f(xn)−f(xm)|+|f(xm)| |g(xn)−g(xm)|<

k2ε

2k2

+k1ε 2k1

=ε. Entonces {(f g)(xn)}es una sucesi´on de Cauchy. Por lo tanto f g es CSC.

Ejemplo 3.1.3. EnRcon la m´etrica usual, seanf: RRdada porf(x) =x2

y g: RR dada por g(x) =x3. Sabemos por el Ejemplo 3.1.2 que f y g son

CSC. Observe que f +g y f g son CSC como consecuencia al Teorema 3.1.2.

Observaci´on 3.1.1. Para n ∈ N, cualquier polinomio de grado n es una funci´on CSC.

Teorema 3.1.3. [2, Teorema 7.5, p´ag. 91] X es totalmente acotado, si y s´olo si, toda sucesi´on en X tiene una subsucesi´on de Cauchy.

Demostraci´on Supongamos que X es totalmente acotado. Sea {xk} ⊂ X

una sucesi´on en X con {xn |n ∈N}infinito. Sea ε

(46)

tales queX⊂ n

[

i=1

Bai,

ε

2

.

Es claro que existe unj0 ∈ {1,2, ..., n} tal que{xn |n ∈N} ∩B

aj0,

ε

2

es un

conjunto infinito. De lo contrario para todaj ∈ {1,2, ..., n},B(aj, ε)∩{xn|n ∈ N}es finito, entonces {xn | n∈N} es finito, pero esto es una contradicci´on.

Sea N1 ∈ N tal que xN1 ∈ B

aj0,

ε

2

. Existe N2 ∈ N con N2 ≥ N1 tal que

xN2 ∈ B

aj0,

ε

2

, de caso contrario tendr´ıamos que para toda N2 ∈ N con

N2 ≥N1,xN2 ∈/ B

aj0,

ε

2

, con lo que{xn |n∈N} ∩B

aj0,

ε

2

es finito,

con-tradiciendo lo anteriormente mencionado. Entonces existeN3 ∈NconN3 ≥N2

tal que xN3 ∈ B

aj0,

ε

2

, de manera consecutiva tenemos que para cualquier

m∈N, existe Nm ∈N con Nm ≥Nm−1 tal que xNm ∈B

aj0,

ε

2

. Finalmente

{xNm} es una subsucesi´on de {xk}.

Veamos que {xNm} es una sucesi´on de Cauchy. Para

ε

2 > 0, existe n0 ∈ N tal que para cada l, r ∈ N si l, r ≥ n0 entonces d(xNl, xNr) ≤ d(xNl, aj0) +

d(xNr, aj0)<

ε

2 +

ε

2 =ε.

Por lo tanto{xNm}es de Cauchy.

Para el caso que{xn | n ∈N} sea finito, {xn}admite una subsucesi´on

conver-gente {xnk}. Por el Teorema 1.2.1, {xnk} es de Cauchy.

Ahora, por contradicci´on supongamos que X no es totalmente acotado y que

toda sucesi´on de X tiene una subsucesi´on de Cauchy. Tomemos a ε0 > 0 y

x1 ∈X. ComoXno es totalmente acotado, existex2 ∈Xtal qued(x1, x2)≥ε0.

Ahora para {x1, x2} existe x3 ∈ X tal que d(x1, x3)≥ ε0 y d(x2, x3)≥ ε0. De

manera consecutiva se define {xn} tal que para cada i, j ∈N d(xi, xj)≥ε0.

Por otro lado tenemos que {xn} es una sucesi´on de X. Por lo tanto

exis-te {xNk} una subsucesi´on de {xn} tal que {xNk} es de Cauchy. Entonces para ε0 > 0 existe N0 ∈ N tal que para cada n, m ∈ N si n, m ≥ N0,

en-tonces d(xNn, xNm) < ε0. Como xNn y xNm son elementos de {xn} entonces

(47)

3.2. CSC Y CONTINUIDAD. 41

Por lo tanto si toda sucesi´on de X tiene una subsucesi´on de Cauchy entonces

X es totalmente acotado.

Este teorema que acabamos de demostrar, facilita la demostraci´on del

si-guiente resultado.

Teorema 3.1.4. Sean (X, dX), (Y, dY) y f : XY una funci´on continua en el sentido de Cauchy en X. Si X es totalmente acotado, entonces f(X) es totalmente acotado.

Demostraci´on Por Teorema 3.1.3, bastar´a probar que toda sucesi´on en

f(X) tiene una subsucesi´on de Cauchy. Sea {yn} ⊂ f(X) una sucesi´on de

f(X), entonces para cada n ∈ N existe xn ∈ X tal que f(xn) = yn. Como X es totalmente acotado, existe {xnk} una subsucesi´on de Cauchy en {xn}. Entonces {f(xnk)} es una subsucesi´on de Cauchy en{yn}, por ser f CSC. Por lo tanto f(X) es totalmente acotado. Ejemplo 3.1.4. Tomando a R con la m´etrica usual, sea f: RR definida por f(x) =x2 y (0,1) un subconjunto de R. Del Ejemplo 3.1.1 y 1.3.2 se tiene que f es CSC y f((0,1)) = (0,1) es totalmente acotado.

Ahora nuestra intenci´on es presentar las relaciones que existen entre este

concepto y los conceptos de continuidad.

3.2

CSC y continuidad.

Hasta este momento sabemos que uniformemente continua implica CSC y

con-tinuidad, y CSC implica continuidad.

¿Ser´a posible determinar condiciones para que los rec´ıprocos de cada

impli-caci´on sean verdaderos o que los tres conceptos de continuidad sean

(48)

establecer´an nuevos resultados para las funciones CSC.

Un primer acercamiento a estas condiciones es en los espacios normados y los

operadores lineales. Observe que se dan condiciones para el dominio y para la

funci´on.

Definici´on 3.2.1. Sean Xun espacio vectorial distinto del{0}sobre un campo K (los n´umeros reales o complejos) y k · k : XR una funci´on. Diremos que k · k es una norma en X, si cada x, y ∈ X y α ∈ K, k · k cumple con las siguientes propiedades:

1. kxk ≥0

2. kxk= 0⇔x= 0

3. kαxk=|α|kxk

4. kx+yk ≤ kxk+kyk

A la pareja ordenada (X,k · k) le llamaremos espacio normado.

Observaci´on 3.2.1. Una norma sobre X define una metrica d en X, la cual est´a definida por

para cada x, y ∈X d(x, y) =kx−yk

y es llamada la m´etrica inducida por la norma. Es preciso aclarar que toda norma genera una m´etrica, pero no toda m´etrica es generada por una norma.

Observaci´on 3.2.2. Por la Observaci´on 3.2.1,(X,k · k)es un espacio m´etrico.

Definici´on 3.2.2. Sea (X,k · k) un espacio normado. Diremos que (X,k · k)

es un espacio de Banach si (X,k · k) es un espacio normado completo.

Nota. Decir que (X,k · k) es un espacio normado completo (o espacio de Banach), es referirse a que X es un espacio m´etrico completo con la m´etrica

(49)

3.2. CSC Y CONTINUIDAD. 43

Ejemplo 3.2.1. SeanX = Rn, n

N, n≥2, definamosk·k2 : Rn×Rn →R

como

kxk2 = s n

X

i=1

x2i.

Por las propiedades del valor absoluto tenemos que k · k2 es una norma en Rn. k · k2 define una m´etrica en Rn

d2(x, y) = kx−yk= s n

X

i=1

(xi−yi)2.

que es la m´etrica euclidiana.

Ejemplo 3.2.2. Tomando lp, del Ejemplo 1.0.4, y k · kp: lp×lp →R como kxkp = X

n∈N

|xn|p

!1p

. es una norma en lp. k · k

p define una m´etrica en lp

dp(x, y) =kx−ykp =

X

n∈N

|xn−yn|p

!1p

.

Nota. Una funci´on entre dos espacios normados la llamaremos operador.

Definici´on 3.2.3. Sean (X,k · kX), (Y,k · kY) dos espacios normados y T:

X → Y un operador. Diremos que T es un operador lineal si para cualquier

x, y ∈X yα ∈K

T(x+y) = T(x) +T(y),

T(αx) =αT(x).

Definici´on 3.2.4. Sean X y Y dos espacios normados y T : X −→ Y un operador lineal. Se dice que T es un operador lineal acotado si existe c ∈ R+

tal que para cada x ∈X.

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