7.2 Convergencia uniforme.

Sucesiones de funciones

Definici´on 7.1 – Sea A ⊆ IR y F (A, IR) el conjunto de las funciones de A en IR. Llamaremos sucesi´on de funciones de A a cualquier aplicaci´on de IN −→ F (A, IR), y la denotaremos por {f_n}^∞_n=1 ´o {f_n(x)}^∞_n=1.

7.1 Convergencia puntual.

Definici´on 7.2 – Diremos que la sucesi´on de funciones {f_n(x)}^∞_n=1 de A converge en el punto a ∈ A si, y s´olo si, la sucesi´on num´erica {f_n(a)}^∞_n=1 es convergente. Es decir, si, y s´olo si, existe y es finito el lim

n→∞f_n(a).

Definici´on 7.3 – Sea {f_n(x)}^∞_n=1 una sucesi´on de funciones de A. Llamaremos conjunto de convergencia de {f_n(x)}^∞_n=1 al conjunto de puntos de A en los que converge la sucesi´on de funciones, es decir, al conjunto C = {a ∈ A : {f_n(a)}^∞_n=1 converge}.

A la funci´on f : C −→ IR, definida por f (x) = lim

n→∞f_n(x), se le llama funci´on l´ımite de la sucesi´on de funciones y diremos entonces que {f_n}^∞_n=1 converge o converge puntualmente (punto a punto) hacia f en C .

Usaremos, para expresar esto ´ultimo, la notaci´on f_n−→ f en C . Ejemplo 7.4 – Sea {f_n: [0, ∞) −→ IR}^∞_n=1, definidas por f_n(x) = _1+nx^x .

Para cada x ∈ [0, ∞), lim

n→∞f_n(x) = lim

n→∞

x 1 + nx =

( lim

n→∞0 = 0, si x = 0

n→∞lim

x

1+nx = 0, si x ∈ (0, ∞) .

1

12

13 1 4

n = 1

n = 2 n = 3 n = 4

.. . 16

Fig. 7.1. Gr´aficas de f y fn, para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 20.

Luego f : [0, ∞) −→ IR, definida por f (x) = 0, es la funci´on l´ımite de {f_n}^∞_n=1. 4

Ejemplo 7.5 – Sea {f_n: [0, ∞) −→ IR}^∞_n=1, definida por f_n(x) =

( xⁿ, si 0 ≤ x ≤ 1 1, si x > 1

n→∞lim f_n(x) = f (x) =

( lim

n→∞xⁿ= 0, si x ∈ [0, 1)

n→∞lim 1 = 1, si x ≥ 1.

1

1 x

x²

x³⁰

Fig. 7.2. Gr´aficas de f y fn, para n = 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 30.

Luego f : [0, ∞) −→ IR, dada por f (x) =

( 0, si x ∈ [0, 1)

1, si x ≥ 1 , es la funci´on l´ımite. 4

Ejemplo 7.6 – Sea {f_n: IR −→ IR}^∞_n=1, definida por f_n(x) =

( 1, si |x| ≤ n

0, si |x| > n . Entonces, para cada x ∈ IR, existe n_x∈ IN tal que |x| ≤ n_x, luego para todo n ≥ n_x, f_n(x) = 1.

En consecuencia, lim

n→∞f_n(x) = 1 = f (x), para todo x ∈ IR. 4

Ejemplo 7.7 – Sea {f_n: [0, ∞) −→ IR}^∞_n=1, donde f_n(x) =













n, si x ∈^h0,_n+1^{1 ´} (n²+n)(1−nx), si x ∈^h_n+1¹ ,¹_n^´

0, si x ∈^h_n¹, ∞^´ Entonces, para cada x ∈ (0, 1), existe n_x tal que _n¹

x < x, luego para todo n ≥ n_x, f_n(x) = 0.

6 5 4 3 2 1

1 6 1 5 1 4

1 3

1

2 1

Fig. 7.3. Gr´aficas de f y fn, para n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

En consecuencia, lim

n→∞f_n(x) = f (x) =

( lim

n→∞n = ∞, si x = 0

n→∞lim 0 = 0, si x ∈ (0, ∞). 4

7.2 Convergencia uniforme.

Definici´on 7.8 – Diremos que la sucesi´on de funciones {f_n}^∞_n=1 de A converge uniforme- mente en el conjunto A hacia la funci´on f si, y s´olo si,

para cada ε > 0, ∃ n₀ ∈ IN tal que si n ≥ n₀ =⇒ |f_n(x) − f (x)| < ε, ∀ x ∈ A.

Usaremos, para indicarlo, la notaci´on f_n−→ f en A^c.u.

Observaci´on 7.9 – La convergencia (puntual) en cada punto de un conjunto no es lo mismo que la convergencia uniforme en ese conjunto; en el primer caso, la convergencia puntual en

el conjunto, es una reuni´on de puntos en los que hay convergencia individual, mientras que en el segundo caso, la convergencia uniforme en el conjunto, es una convergencia que se verifica para todos los puntos del conjunto a la vez (es decir, de manera uniforme). Si expresamos la definici´on de convergencia puntual en un conjunto en los m´ısmos t´erminos en que tenemos definida la convergencia uniforme, la diferencia entre la convergencia uniforme y puntual en A es m´as clara:

{f_n}^∞_n=1 converge puntualmente en A hacia f ⇐⇒ para cada x ∈ A, f_n(x) −→ f (x)

⇐⇒ para cada x fijo de A y para cualquier ε > 0, existe un n₀ (que depende de ε y del punto x) tal que si n ≥ n₀ =⇒ |f_n(x) − f (x)| < ε.

En el caso de la convergencia uniforme:

{f_n}^∞_n=1 converge uniformemente hacia f en A ⇐⇒ para cada ε > 0, existe n₀, (que de- pende de ε, pero no depende de x) tal que si n ≥ n₀ =⇒ |f_n(x) − f (x)| < ε, para todos los x de A.

Es claro, por tanto, que si hay convergencia uniforme en un conjunto hay convergencia puntual en todos los puntos del conjunto. Luego para que podamos hablar de conver- gencia uniforme en un conjunto A debe de haber conver- gencia puntual en el conjunto.

f −ε f +ε

Gr´aficamente, la convergencia uniforme significa que para cada ε > 0 todas las funciones de la sucesi´on, a partir de una dada, est´an dentro de la “banda” formada por las funciones f − ε y f + ε.

Ejemplo 7.10 – f_n: [0, ∞) −→ IR, definida por f_n(x) = _1+nx^x . Como lim

n→∞

1+nxx = 0 = f (x), para todo x ∈ [0, ∞), se tiene que f_n−→ 0.

¦ Si x = 0, f_n(0) = 0, ∀ n, luego |f_n(0) − 0| = 0.

¦ Si x > 0, ^¯¯¯_1+nx^x − 0^¯¯¯= _1+nx^x < _nx^x = _n¹. Luego dado ε > 0, existe n₀ tal que _n¹

0 < ε, en consecuencia, si n ≥ n₀, se verifica que

|f_n(x) − 0| =

¯¯

¯_1+nx^x − 0

¯¯

¯< _n¹ < _n¹₀ < ε, para todo x ∈ [0, ∞), luego f_n−→ 0.^c.u. 4

Ejemplo 7.11 – Sea f_n: IR −→ IR definida por f_n(x) =







−1, si x ≤ ⁻¹_n nx, si ⁻¹_n < x < _n¹

1, si x ≥ _n¹

. Entonces, para cada x ∈ IR − {0}, existe n₀ tal que _n¹

0 < |x|, luego para todo n ≥ n₀, f_n(x) =

( −1, si x < 0

1, si x > 0 . En consecuencia, lim

n→∞f_n(x) = f (x) =







−1, si x < 0 0, si x = 0 1, si x > 0

y

|f_n(x) − f (x)| =















| − 1 − (−1)|, si x ≤ ⁻¹_n

|nx − (−1)|, si ⁻¹_n < x < 0

|0 − 0|, si x = 0

|nx − 1|, si 0 < x < ¹_n

|1 − 1|, si x ≥ ¹_n

=















0, si x ≤ ⁻¹_n nx + 1, si ⁻¹_n < x < 0

0, si x = 0 1 − nx, si 0 < x < _n¹

0, si x ≥ _n¹

Si tomamos ε < ¹₂, para cualquier n, siempre podemos tomar el punto x = _2n¹ , que verifica que x = _2n¹ < ¹_n, y, en ´el,

¯¯

¯f_n(_2n¹ ) − f (_2n¹ )

¯¯

¯ = 1 − n_2n¹ = ¹₂ > ε. Luego, para cualquier n podemos encontrar puntos que no verifican que |f_n(x) − f (x)| < ε, en consecuencia, no puede existir un n₀ como el propuesto en la definici´on. Es decir, la sucesi´on no converge uniformemente. 4

Criterio del superior 7.12 – Sea la sucesi´on de funciones {f_n}^∞_n=1 de A. Entonces f_n−→ f en A si, y s´olo si, lim^c.u.

n→∞

à sup

x∈A|f_n(x) − f (x)|

!

= 0.

Demostraci´on:

f_n−→ f ⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃ n^c.u. ₀ ∈ IN / ∀ n ≥ n₀=⇒ |f_n(x) − f (x)| < ε, ∀ x ∈ A

⇐⇒ ∀ ε > 0, ∃ n₀ ∈ IN / ∀ n ≥ n₀=⇒ sup

x∈A

|f_n(x) − f (x)| ≤ ε

⇐⇒ lim

n→∞

à sup

x∈A|f_n(x) − f (x)|

!

= 0.

Ejemplo 7.13 – Estudiar la convergencia uniforme de ⁿf_n(x) = _(1+x^x2)ⁿ

o_∞

n=1 en [0, 1].

Soluci´on:

Para cada x ∈ [0, 1], lim

n→∞

x

(1+x²)ⁿ = 0, luego f_n−→ 0.

Como, para cada n, la funci´on g_n(x) = |f_n(x) − f (x)| =^¯¯¯_(1+x^x2)ⁿ − 0^¯¯¯= _(1+x^x2)ⁿ es continua en el cerrado y acotado [0, 1], el superior se alcanzar´a en el m´aximo (que existe por el Teorema de Weierstrass).

Busquemos sus extremos. Derivando, obtenemos que

g⁰_n(x) = (1 + x²)ⁿ− nx(1 + x²)ⁿ⁻¹2x

(1 + x²)²ⁿ = 1 + x²− 2nx²

(1 + x²)ⁿ⁺¹ = 0 ⇐⇒ 1 + x²(1 − 2n) = 0, luego para x = ^√_2n−1¹ de [0, 1] (el otro valor, ^√_2n−1⁻¹ ∈ [0, 1]). En consecuencia, el m´aximo ser´a/ g_n(0) = 0 ´o g_n(^√_2n−1¹ ) = ^√_2n−1^{1 ³2n−1}_2n ^´n ´o g_n(1) = ₂¹n. Como

¦ lim

n→∞g_n(0) = lim

n→∞0 = 0.

¦ lim

n→∞g_n(1) = lim

n→∞

21ⁿ = 0

¦ lim

n→∞g_n^³√_2n−1^{1 ´}= lim

n→∞

√ 1 2n−1

³

1 −_2n^{1 ´n}= lim

n→∞

√ 1

2n−1 · lim

n→∞

³

1 −_2n^{1 ´2n}

1

2 = 0 · e⁻¹² = 0, entonces

n→∞lim sup

x∈[0,1]

|f_n(x) − f (x)| = lim

n→∞ sup

x∈[0,1]

g_n(x) = lim

n→∞maxⁿg_n(0), g_n^³√_2n−1^{1 ´}, g_n(1)^o= 0

y la convergencia es uniforme. 4

Ejemplo 7.14 – Sean f_n: [0, 1) −→ IR, definidas por f_n(x) = xⁿ.

Para todo x ∈ [0, 1), se tiene que lim

n→∞f_n(x) =

n→∞lim xⁿ= 0 = f (x), luego |f_n(x)−f (x)| = |xⁿ| = xⁿ para todo n. Como sup

x∈[0,1)

xⁿ= 1, se tiene que lim

n→∞ sup

x∈[0,1)

xⁿ= 1 6= 0, luego {f_n}^∞_n=1 no converge uniformemente en [0, 1).

En la figura de la derecha puede observarse la no con-

vergencia uniforme. 4

Proposici´on 7.15 – Sea {f_n}^∞_n=1 una sucesi´on de funciones definidas en el conjunto A.

a) Si f_n−→ f en A =⇒ f^c.u. _n−→ f en B , para todo B ⊆ A.^c.u.

b) Sean B, C ⊆ A. Si, f_n−→ f en B y f^c.u. _n−→ f en C , entonces f^c.u. _n−→ f en B ∪ C .^c.u.

Demostraci´on:

a) f_n−→ f en A =⇒ ∀ε > 0, ∃n^c.u. ₀ ∈ IN / ∀n ≥ n₀ se tiene |f_n(x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ A =⇒

∀ε > 0, ∃n₀ ∈ IN / ∀n ≥ n₀ se tiene |f_n(x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ B ⊆ A =⇒ f_n −→ f en^c.u.

B .

b) Si f_n−→ f en B =⇒ ∀ε > 0, ∃n^c.u. ₁ ∈ IN / ∀n ≥ n₁ se tiene |f_n(x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ B , y si f_n−→ f en C =⇒ ∀ε > 0, ∃n^c.u. ₂∈ IN / ∀n ≥ n₂ se tiene |f_n(x) − f (x)| < ε, ∀x ∈ C . Tomando n₀ = max{n₁, n₂}, se tiene que ∀ε > 0, ∃n₀ ∈ IN tal que ∀n ≥ n₀ se verifica que

¦ si x ∈ B , como n ≥ n₀ ≥ n₁, se cumple que |f_n(x) − f (x)| < ε, y

¦ si x ∈ C , como n ≥ n₀≥ n₂, se cumple que |f_n(x) − f (x)| < ε.

En consecuencia, ∀n ≥ n₀, se verifica |f_n(x) − f (x)| < ε, para todo x ∈ B ∪ C , y, por tanto, f_n−→ f en B ∪ C .^c.u.

Observaci´on 7.16 – Es claro, que el resultado anterior es v´alido ´unicamente para uniones finitas, y no aporta nada para uniones de infinitos conjuntos. En efecto, en la sucesi´on de funciones f_n(x) = xⁿ, para cada x ∈ [0, 1) se tiene que lim

n→∞xⁿ = 0, luego x^{n c.u.}−→ 0 en cada conjunto B = {x} formado por un ´unico punto y, sin embargo, no converge uniformemente en el conjunto [0, 1) = ^S

x∈[0,1)

{x} uni´on de todos ellos.

Ejemplo 7.17 – Sean f_n(x) = ( 1

n− 1, si x ∈ [−1, 0) 1 −_n¹, si x ∈ [0, 1] . Como lim

n→∞f_n(x) = ( lim

n→∞

n1 − 1 = −1, si x ∈ [−1, 0)

n→∞lim 1 −_n¹ = 1, si x ∈ [0, 1]

)

= f (x), es la funci´on l´ımite.

¦ En [−1, 0), se tiene que f_n(x) = ¹_n− 1 y f (x) = −1, luego

n→∞lim sup

x∈[−1,0)

|f_n(x) − f (x)| = lim

n→∞ sup

x∈[−1,0)

¯¯

¯_n¹ − 1 + 1^¯¯¯= lim

n→∞ sup

x∈[−1,0)

¯¯

¯¹_n

¯¯

¯= lim

n→∞

1n = 0 y converge uniformemente en el intervalo [−1, 0).

¦ En [0, 1], se tiene que f_n(x) = 1 − _n¹ y f (x) = 1, luego

n→∞lim sup

x∈[0,1]

|f_n(x) − f (x)| = lim

n→∞ sup

x∈[0,1]

¯¯

¯1 −_n¹ − 1^¯¯¯= lim

n→∞ sup

x∈[0,1]

¯¯

¯−_n^1¯¯¯= lim

n→∞

n1 = 0 y converge uniformemente en ese conjunto.

En consecuencia, f_n−→ f en el conjunto uni´on [−1, 1] = [−1, 0) ∪ [0, 1].^c.u. 4

7.2.1 Propiedades de la convergencia uniforme.

Convergencia uniforme y continuidad 7.18 – Sea {f_n}^∞_n=1 una sucesi´on de funciones definida en A y que converge uniformemente hacia f en A. Si cada f_n es continua en el punto a ∈ A, entonces la funci´on l´ımite f es continua en a ∈ A.

Demostraci´on:

f_n−→ f en A ⇔ ∀ε > 0, ∃n^c.u. ₀ ∈ IN / ∀n ≥ n₀ se tiene que |f_n(x) − f (x)| < ^ε₃, ∀x ∈ A.

Sea ∀m ≥ n₀, entonces por ser f_m continua en a se tendr´a que ∃δ > 0 / ∀x ∈ A, |x−a| < δ

=⇒ |f_m(x) − f_m(a)| < ^ε₃ Luego :

|f (x) − f (a)| = |f (x) + f_m(x) − f_m(x) + f_m(a) − f_m(a) − f (a)|

≤ |f_m(x) − f (x)| + |f_m(x) − f_m(a)| + |f_m(a) − f (a)| ≤ ₃^ε+₃^ε+₃^ε = ε siempre y cuando |x − a| < δ , luego f es continua en a.

Observaci´on 7.19 – Es claro, que si las funciones f_n son continuas en todos los puntos de A y f_n −→ f en A, la funci´on l´ımite f tiene que ser continua en todo A. Este resultado es muy^c.u.

´

util cuando se quiere probar que una sucesi´on de funciones no converge uniformemente en un conjunto: si las funciones f_n son continuas en A y la funci´on l´ımite no es continua en A, la convergencia no puede ser uniforme en A.

Pero ¡atenci´on!, s´olo de que f no sea continua en A no puede asegurarse que la convergencia no sea uniforme, puesto que podr´ıa ocurrir que las funciones f_n no sean todas continuas en A y la convergencia s´ı sea uniforme.

Ejercicio 7.20 – B´usquese un ejemplo de sucesi´on de funciones no continuas que converjan uni- formemente a una funcion continua. (Puede obtenerse uno modificando adecuadamente la sucesi´on del ejemplo 7.17.)

Convergencia uniforme e integraci´on 7.21 – Sea {f_n}^∞_n=1 una sucesi´on de funciones definidas en el intervalo [a, b], siendo las f_n funciones integrables Riemann en [a, b]. Entonces si f_n−→ f^c.u.

en [a, b], se tiene que

a) f es integrable Riemann en [a, b].

b) lim

n→∞

Z _b

a f_n(x)dx = Z _b

a lim

n→∞f_n(x)dx = Z _b

a f (x)dx.

Demostraci´on:

a) f_n−→ f en [a, b], luego ∀ε > 0, ∃n^c.u. ₀ ∈ IN tal que ∀n ≥ n₀ se tiene que

|f_n(x) − f (x)| < ε

2(b − a), para todo x ∈ [a, b].

y, por tanto, ∀n ≥ n₀, f_n(x) − ε

2(b − a)< f (x) < f_n(x) + ε

2(b − a), para todo x ∈ [a, b].

Entonces, por las propiedades de las integrales superior e inferior, se tiene Z _b

a

µ

f_n(x) − ε 2(b − a)

¶ dx ≤

Z _b

af (x)dx ≤ Z _b

a f (x)dx ≤ Z _b

a

µ

f_n(x) + ε 2(b − a)

¶ dx

y, como las funciones f_n±_2(b−a)^ε son integrables en [a, b], la integral inferior y la integral superior coinciden, obteni´endose que

Z _b

a

µ

f_n(x) − ε 2(b − a)

¶ dx ≤

Z _b

a f (x)dx ≤ Z _b

a f (x)dx ≤ Z _b

a

µ

f_n(x) + ε 2(b − a)

¶ dx.

Luego Z _b

a f (x)dx − Z _b

a f (x)dx ≤ Z _b

a

µ

f_n(x) + ε 2(b − a)

¶ dx −

Z _b

a

µ

f_n(x) − ε 2(b − a)

¶ dx

= Z _b

a

ε

b − adx = ε y, por tanto, f es integrable en [a, b].

b) Por el apartado a), f es integrable en [a, b] y Z _b

af (x)dx existe, entonces

¯¯

¯¯

¯ Z _b

a f_n(x) dx − Z _b

a f (x) dx

¯¯

¯¯

¯=

¯¯

¯¯

¯ Z _b

a (f_n(x) − f (x)) dx

¯¯

¯¯

¯≤ Z _b

a |f_n(x) − f (x)| dx

y, como f_n−→ f en [a, b], se tiene que ∀ε > 0, ∃n^c.u. ₀ ∈ IN tal que ∀n ≥ n₀ se verifica que

|f_n(x) − f (x)| < _b−a^ε , ∀x ∈ [a, b]. Luego, si n ≥ n₀, tenemos que

¯¯

¯¯

¯ Z _b

a f_n(x) dx − Z _b

a f (x) dx

¯¯

¯¯

¯≤ Z _b

a |f_n(x) − f (x)| dx <

Z _b

a

ε

b − adx = ε

y, en consecuencia, lim

n→∞

Z _b

a f_n(x) dx = Z _b

a f (x) dx.

Ejemplo 7.22 – Calcular lim

n→∞

Z ^π

2

−π 2

xⁿ⁺¹

πⁿ sen(_n+1^nx ) dx.

Soluci´on:

Tomemos f_n: [^−π₂ ,^π₂] −→ IR dadas por f_n(x) = ^x_πⁿ⁺¹n sen(_n+1^nx ). Entonces, si f_n −→ f en^c.u.

[^−π₂ ,^π₂], se tendr´a que

n→∞lim Z ^π

2

−π 2

xⁿ⁺¹

πⁿ sen(_n+1^nx ) dx = Z ^π

2

−π 2

f (x) dx.

Como lim

n→∞

xⁿ⁺¹

πⁿ sen(_n+1^nx ) = lim

n→∞x^¡x_π^¢nsen^³_n+1^{nx ´}= x · 0 · sen x = 0, se tiene que f_n−→ 0 en [^−π₂ ,^π₂].

Entonces, como |x| ≤ ^π₂ en [^−π₂ ,^π₂], se tiene

|f_n(x) − f x| =

¯¯

¯¯

¯ xⁿ⁺¹

πⁿ sen^³_n+1^{nx ´}

¯¯

¯¯

¯= |x|ⁿ⁺¹ πⁿ

¯¯

¯sen^³_n+1^{nx ´¯¯}¯≤

¡_π

2

¢_n+1

πⁿ = π 2ⁿ⁺¹

∀ x ∈ [^−π₂ ,^π₂], que tiende hacia 0 si n → ∞; luego la convergencia es uniforme. En consecuencia,

n→∞lim Z ^π

2

−π 2

xⁿ⁺¹

πⁿ sen(_n+1^nx ) dx = 0. 4

Convergencia uniforme y derivaci´on 7.23 – Sea {f_n}^∞_n=1 una sucesi´on de funciones definidas en (a, b) y derivables en (a, b). Supongamos que en un punto x₀∈ (a, b), la sucesi´on {f_n(x₀)}^∞_n=1 converge. Si existe una funci´on g tal que f_n⁰ −→ g en (a, b), entonces:^c.u.

a) Existe f : (a, b) −→ IR tal que f_n−→ f en (a, b).^c.u.

b) f es derivable en (a, b) y f⁰(x) = g(x) = lim

n→∞f_n⁰(x)

Ejemplo 7.24 – Estudiar la convergencia uniforme de f_n(x) = nx−ln(1+nx)

n² en (0, e).

 En x = 1 converge, pues lim

n→∞f_n(1) = lim

n→∞

n−ln(1+n) n² = 0.

 Las funciones f_n(x) = nx−ln(1+nx)

n² son derivables en (0, e) y la sucesi´on de las funciones derivadas es f_n⁰(x) = _n¹2

³

n −_1+nx^{n ´}= _1+nx^x .

 Como f_n⁰(x) = _1+nx^x converge uniformemente hacia g(x) = 0 en [0, ∞) (ver ejemplo 7.10), converge uniformemente hacia g(x) = 0 en (0, e).

En consecuencia, f_n −→ f en (0, e), siendo f derivable en (0, e) con f^{c.u. 0} = g . Como g = 0, se tiene que f es constante y, como f (1) = lim

n→∞f_n(1) = 0, es la funci´on 0. 4

7.3 Ejercicios.

7.1 Estudiar la convergencia uniforme de las siguientes sucesiones de funciones.

a) f_n(x) =

( n²x(1 − nx), si 0 ≤ x ≤ ¹_n

0, si x ≥ ¹_n , en [0, ∞).

b) f_n(x) = _1+nx¹ , en [0, 1].

7.2 Sea f_n(x) = _n+x¹ , con x ∈ [0, 3]. Hallar lim

n→∞f_n(x).

Estudiar su convergencia uniforme. ¿Para qu´e valor de n₀ se verifica la definici´on si hacemos ε = 0.3?

7.3 Estudiar la convergencia uniforme de la sucesi´on de funciones f_n(x) = _1+x^x2n2n en [−2, 5].

7.4 Calcular lim

n→∞

Z _π

0 f_n(x)dx, siendo f_n(x) = ^2nx+sen_n ^6nx. 7.5 Sea f_n(x) = n(1 − x²)ⁿx, con x ∈ [0, 1]. Hallar lim

n→∞f_n(x) y calcular I_n= Z ₁

0 f_n(x)dx.

¿Qu´e se puede decir de la convergencia uniforme de {f_n}^∞_n=1?

7.6 Sea f_n(x) = ^x_n!ⁿ. Hallar su conjunto de convergencia y estudiar si converge uniformemente en ´el (ver ejercicio 6.4). ¿Qu´e se puede decir de la convergencia de {f_n⁰}^∞_n=1?

7.7 Dada la sucesi´on de funciones f_n(x) = _1+nx^x 2, con x ∈ (−1, 1), estudiar su convergencia uniforme as´ı como la convergencia uniforme de {f_n⁰}^∞_n=1.

7.8 Estudiar la convergencia puntual y uniforme de la sucesi´on de funciones dada por f_n(x) =

( (n − 1)x, si x ∈ [0,_n¹) 1 − x, si x ∈ [_n¹, 1] . Representar gr´aficamente sus primeros t´erminos.

7.9 Hallar lim

n→∞f_n(x), siendo f_n(x) = n(1 − x²)ⁿ²x. ¿Qu´e se puede decir de la convergencia uniforme de {f_n}^∞_n=1 en [0, 1]?

7.10 Sean f_n(x) = _1+x^xn2n.

a) Hallar el conjunto de convergencia y la funci´on l´ımite.

b) Estudiar la convergencia uniforme en [1, 2], en [2, 3] y en [2, 4].

7.11 Sea f una funci´on continua en [0, 1] tal que f (1) = 0. Probar que la sucesi´on de funciones g_n: [0, 1] −→ IR definidas por g_n(x) = xⁿf (x) converge uniformemente en [0, 1].