Raíces p-ádicas de la unidad

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CAT ´OLICA DEL PER ´U Escuela de Postgrado

Magister en Matem´aticas

Tesis de Maestr´

ıa

t´ıtulo

Ra´ıces p-´adicas de la unidad por

Ronald Mas Huam´an asesor

Dr. Alfredo Poirier

Introducci´

on

El tema de la presente tesis es el estudio de la ecuaci´on xn_{−1 = 0 en los n´}

ume-ros p-´adicos. Para ello la primera tarea es factorizarf(x) = xn_{−1 a como de lugar}

en producto de irreducibles. Llegado a esa instancia, la idea es conseguir una ex-tensi´on que nos permita descomponer completamente el polinomio f(x) y mostrar el comportamiento algebraico de las ra´ıces. En los p-´adicos, ello se logra una vez introducidos los conceptos de ´ındice de ramificaci´on y grado de clases residuales.

Empezamos esta tesis con un repaso de las extensiones cicl´otomicas sobreQen el Cap´ıtulo 1. ´Estas resultan de adjuntar una ra´ız primitiva de la unidad aQ, generan-do as´ı una extensi´on que resulta ser de Galois. Adem´as, dageneran-do que los enterosp-´adicos tambi´en poseen una buena reducci´on m´odulo el primopde preferencia, es preciso re-cordar algunas propiedades de los cuerpos finitos. Este repaso nos permitir´a realizar un correcto manejo del grado de clases residuales y ´ındice de ramificaci´on, conceptos estrechamente relacionadas con el grado de la extensi´on.

A partir de all´ı, en el Cap´ıtulo 3 concentramos nuestra atenci´on en los n´umeros p-´adicos. Nos valdremos de algunos resultados expuestos en la tesis de maestr´ıa de Jos´e Condori [2], sobre todo en lo referente a las propiedades elementales de los n´umerosp-´adicos. Como caso especial estudiaremos las ra´ıces p-´adicas de la unidad en Qp y tambi´en mostraremos las extensiones cu´adraticas que se pueden construir.

Es bien sabido que hallar una extensi´on cuadr´atica equivale a resolver la ecuaci´on x2_{−a = 0 cona∈Q}

p.

ra´ıces p-´adicas de la unidad y las separamos en dos subgrupos µ(p)(K) y µ(p∞₎(K),

los mismos que son las ra´ıces de orden coprimo con p y ra´ıces de orden una po-tencia de un primo. Por muy simple que parezca, esta agrupaci´on de las ra´ıces nos permitir´a una clasificaci´on de ciertas extensiones p-´adicas.

´

_{Indice general}

Introducci´on 1

1. Extensiones ciclot´omicas 4

1.1. Ra´ıces de la unidad . . . 4

1.2. Polinomios ciclot´omicos . . . 6

2. Cuerpos finitos 10 2.1. Cuerpos finitos . . . 11

2.2. Extensiones finitas de cuerpos finitos . . . 14

3. Ra´ıces de la unidad en los enteros p-´adicos 18 3.1. Un repaso de los n´umeros p-´adicos . . . 18

3.2. Factorizaci´on p-´adica . . . 23

3.3. Extensiones p-´adicas . . . 26

3.4. Ra´ıces de la unidad en Zp . . . 34

3.5. Extensiones cuadr´aticas de Qp . . . 37

4. Ramificaci´on y ra´ıces p-´adicas de la unidad 45 4.1. Extensiones totalmente ramificadas . . . 45

4.2. Ra´ıces de la unidad y extensiones no ramificadas . . . 49

4.3. Extensiones mansamente ramificadas . . . 54

4.4. Extensiones salvajemente ramificadas . . . 57

Cap´ıtulo 1

Extensiones ciclot´

omicas

En este primer cap´ıtulo recordamos c´omo la teor´ıa de Galois nos brinda infor-maci´on sobre la naturaleza de los posibles factores de un polinomio. Como sabemos, en un cuerpo todo polinomio se puede descomponer como producto de sus factores irreducibles. Para nuestro inter´es el polinomio xn_{−1 no ser´a la excepci´on. Como es}

sabido, los valores que anulan dicho polinomio son las ra´ıces n-´esimas de la unidad.

1.1.

Ra´ıces de la unidad

La ecuaci´on polinomial xn _{−1 = 0 con coeficientes racionales al ser resuelta}

sobre Q arroja como ´unicas posibles ra´ıces 1 y ₋1. La raz´on es sencilla: si _| x_|<1 entonces _| xn _{|<| x |< 1 para todo n entero positivo, mientras que si | x |> 1}

entonces _|xn _{|>|x|>1. Desde el punto de vista algebraico ello no es sorpresa, pues}

gracias al lema de Gauss sabemos que una factorizaci´on del polinomio xn_{−1 en Q}

autom´aticamente proporciona una factorizaci´on en Z. En general, para cualquier n entero positivo tenemos xn_{−1 = (x−1)(x}n−1_{+. . .+x+ 1). Mejor a´un, si n es par}

tenemos x2k_{−1 = (x}2_−1)(x2k−2_{+. . .+ 1), donde n= 2k.}

Por otro lado, por un argumento similar al anterior, factorizar xn_{−1 en R no}

C.

El polinomio xn _{−1 puede ser factorizado totalmente en C, pues este cuerpo}

es algebraicamente cerrado. Es decir, sus factores son lineales. Es m´as, sus ra´ıces e2πik/n_{, conk= 0,1,2, . . . , n−1, est´an ubicadas de manera sim´etrica sobre el c´ırculo}

unitario. De quererlas dibujar sobre el plano complejo, al ser unidas generar´an un pol´ıgono regular de n lados. Obs´ervese adem´as que si ζ es una ra´ız n-´esima de la unidad, entonces ζk _{y ζ tambi´en lo son.}

Ejemplo 1.1. Las ra´ıces del polinomio x6 _{−1 est´an dadas por e}2πik/6_{, con k =}

0,1,2,3,4,5.La figura indica c´omo se esparcen sobre el c´ırculo unitario; al unir los puntos forman un hex´agono regular.

(1,0) (-1,0)

(1 2,

√

3 2 )

(1 2,

√

3 2 )

(-1 2

,-√

3

2 ) (

1 2

,-√

3 2 )

El conjunto formado por todas las ra´ıces n-´esimas de la unidad es un subgrupo multiplicativo de C∗ _{que resulta ser c´ıclico. Adem´as, puesto que hemos encontrado}

un total de n ra´ıces distintas, dicho polinomio no posee ra´ıces m´ultiples en C. A las ra´ıces n-´esimas de la unidad cuyo orden es precisamente n (es decir, a los generadores del grupo c´ıclico) se les llama ra´ıces n-´esimas primitivas de la unidad. As´ı, si ζ es una ra´ız n-´esima primitiva de la unidad entonces el conjunto de ra´ıces n-´esimas de la unidad est´a formado por _{1, ζ, ζ2_{. . . ζ}n−1_{}. Recordemos}

grupos sabemos que φ(n) cuenta el n´umero de elementos de orden multiplicativo igual a n. En otras palabras, existen φ(n) ra´ıces n-´esimas primitivas de la unidad. Por convenci´on φ(1) valdr´a 1.

1.2.

Polinomios ciclot´

omicos

La discusi´on de la secci´on anterior muestra que el menor subcuerpo de Cdonde xn_{−1 se descompone en factores lineales esQ(ζ), dondeζ es cualquier ra´ız primitiva}

n-´esima de la unidad. Este cuerpo recibe el nombre de extensi´on ciclot´omica n-´

esima de Q, y el hecho de que lo hayamos materializado como subconjunto de C es intrascendente como veremos en el Teorema 1.5. Asimismo, por lo argumentado anteriormente, es claro que si ηes otra ra´ız primitiva n-´esima de la unidad, tenemos Q(ζ) =Q(η).

Definamos el polinomio Φn(x) = Πmi=1(x−ζi), donde {ζi}mi=1 son las ra´ıces

n-´esimas primitivas de la unidad. Este polinomio es llamado polinomio ciclot´omico n-´esimo. Es m´as, por la definici´on de la funci´on de Euler, este polinomio tiene grado φ(n). Como caso particular tenemos Φ1(x) =x−1, de grado 1.

Teorema 1.2. El polinomio xn_{−1 se factoriza en C[x] como}

xn₋1 =Y

d|n

Φd(x).

Demostraci´on. Para cada divisordden seaRdel conjunto de las ra´ıces de la unidad

de orden exactamented. Entonces_{Rd}d|nes una partici´on del conjunto de las ra´ıces

n-´esimas de la unidad, es decir, una partici´on del conjunto de ra´ıces de xn_{−1. Los}

elementos de cadaRdson las ra´ıcesd-´esimas primitivas de la unidad enC, de ah´ı que

Φd(x) posea como ra´ıces los elementos deRn.

Demostraci´on. La prueba la hacemos por inducci´on sobre n. Para n = 1 tenemos Φ1(x) = x−1 ∈ Z[x]. Supongamos que el resultado sea v´alido para 1 ≤ d < n.

Entonces se tiene Φd(x) ∈ Z[x] para todo d < n, y en particular esto vale para los

divisores no triviales de n. Sea

f(x) = Y

d|n,d<n

Φd(x);

polinomio que por hip´otesis de inducci´on pertenece al anillo Z[x]. Por el teorema anterior se tiene xn_{−1 = f(x)Φ}

n(x), de donde por el lema de Gauss se concluye

que Φn(x) tambi´en tiene coeficientes enteros.

Ejemplo 1.4. Consideremos el polinomio x12_{−1. Una ra´ız primitiva esζ =e}2πi/12_,

las otras son ζn _{dondemcd(n,12) = 1 y n <12. El polinomio ciclot´omico est´a dado}

expl´ıcitamente por

Φ12(x) = 4

Y

i=1

(x₋ζi) = (x−ζ)(x−ζ5)(x−ζ7)(x−ζ11).

Al efectuar las operaciones obtenemos

Φ12(x) = (x−ζ)(x−ζ11)(x−ζ5)(x−ζ7)

= (x2_{−2 cos}π

6x+ 1)(x2−2 cos 5π

6 x+ 1)

= (x2₋√_{3x+ 1)(x}2₊√_{3x+ 1)}

= x4_−x2_{+ 1.}

De igual manera podemos hallar los polinomios ciclot´omicos asociados a cada divisor positivo propio de 12. Estos est´an dados por

Φ6(x) = x2−x+ 1,

Φ4(x) = x2+ 1,

Φ3(x) = x2+x+ 1,

Φ2(x) = x+ 1,

Φ1(x) = x−1.

Por supuesto, el Teorema 1.2 obliga a que se cumpla

x12₋1 =Y

d|12

La importancia de hallar expl´ıcitamente los polinomios ciclot´omicos radica en que as´ı se obtiene la factorizaci´on definitiva en Z[x]. En efecto, estos polinomios cicl´otomicos son ya irreducibles.

Teorema 1.5. Cada polinomio ciclot´omico Φn(x) es irreducible en Q[x].

Demostraci´on. Gracias al lema de Gauss es suficiente probar que Φn(x) es irreducible

enZ[x]. Para ello supongamos que se tenga una factorizaci´on Φn=f gconf, g ∈Z[x]

m´onicos y f irreducible y no trivial. Sea ζ una ra´ız n-´esima primitiva de la unidad que sea ra´ız de f. Fijemos un primo p que no divida a n. Entonces ζp _{es una ra´ız}

n-´esima primitiva de la unidad, motivo por el cual ser´a ra´ız de Φn; en otras palabras

ζp _{es ra´ız de f ´og.}

Siζp _{es ra´ız deg, entoncesζ es ra´ız de g(x}p_{) y se tienef(x)|g(x}p_{) enZ[x], pues}

f es el polinomio minimal de ζ. De esta manera existe h _∈ Z[x] tal que g(xp_{) =}

f(x)h(x). Al reducir m´odulo p tenemos g(tp_{) = f(t)h(t) en F}

p[t]. Como en Fp[t] se

cumple f(t)h(t) =g(tp_{) =g(t)}p _{y por ser adem´as F}

p[t] un dominio de factorizaci´on

´

unica tenemos que f yg poseen un factor en com´un enFp[t]. Pero Φn =f g implica

entonces que Φn =f g en Fp[t] posee una ra´ız m´ultiple en alguna extensi´on de Fp.

En resumen tn _{−1 ∈ F}

p[t] tiene una ra´ız m´ultiple, pues acepta a Φn como factor.

Esto es una contradicci´on ya que todas las ra´ıces de tn _{− 1 son diferentes entre}

s´ı en cualquier cuerpo de caracter´ıstica que no divide a n. Detalles adicionales sobre reducci´on m´odulo p se tratar´an en el Cap´ıtulo 2.

La alternativa es queζp _{sea ra´ız de f, para toda ra´ızζ def. Luego ζ}a _{es ra´ız de}

f para todoa tal que (a, n) = 1, pues si a=p1. . . pk es producto de primos que no

dividen a n entonces ζp1,(ζp1)p2, . . . ζp1p2...pk son tambi´en ra´ıces de f. Si revisamos esto, estamos confirmando que toda ra´ız n-´esima primitiva de la unidad es ra´ız de f. Por lo tanto se tiene f = Φn; esto prueba el teorema.

Teorema 1.6. Sea ζ una ra´ız n-´esima primitiva de la unidad. EntoncesΦn(x) es el

polinomio minimal de ζ. Adem´as el grupo de Galois GalQ(ζn)

Q es isomorfo al grupo

Demostraci´on. La primera afirmaci´on es inmediata puesto que se satisface Φn(ζ) = 0

y Φn(x) es irreducible. La siguiente afirmaci´on se debe a que como ζ es una ra´ız

n-´esima primitiva de unidad, entonces ζk _{es tambi´en una ra´ız n-´esima primitiva de}

unidad para todo k con (k, n) = 1. Definimos

ϕ: (Z/_hn_i)∗ _{→ Gal}Q(ζ) Q

k _7→ σk

donde σk se caracteriza por σk|Q=id y σk(ζ) =ζk, la cu´al est´a bien definida.

Esta ϕ es un homomorfismo, pues σkσl(ζ) = σk(ζl) = (ζl)k = ζlk = σkl(ζ)

significa σkσl =σkl, para todok, l∈(Z/hni)∗. Claramente se puede ver adem´as que

ϕ es biyectiva.

Ejemplo 1.7. Si ζ es una ra´ız quinta de la unidad, entonces Q(ζ) es Galois y GalQ_Q(ζ)= (Z/_h5_i)∗_{, posee cuatro elementos.}

Por otro lado, podemos notar que cualquier factor dexn_{−1 enZ[x] provee gratis}

un factor de xn_{−1 enR[x] dondeR es cualquier anillo conmutativo con unidad. La}

rec´ıproca no es v´alida.

Ejemplo 1.8. Al factorizar t4_{−1 en Z/h2i[t] tenemos que t}4_{−1 = (t−1)}4 _posee

una ´unica ra´ız de multiplicidad 4.

Ejemplo 1.9. Al factorizar t6_{−1 en Z/h7i[t] tenemos que}

t6₋1 = (t₋1)(t₋2)(t₋3)(t₋4)(t₋5)(t₋6)

Cap´ıtulo 2

Cuerpos finitos

Los cuerpos finitos juegan un papel importante cuando se estudia extensiones algebraicas de cuerpos n´umericos. Por ejemplo, ellos hicieron sentir su presencia en la demostraci´on del Teorema 1.5. Probaremos en primer lugar que todo cuerpo finito tiene pn _{elementos, donde pes la caracter´ıstica del cuerpo y n es un n´umero}

natural. Luego veremos que para cada n´umero naturaln y cada primo p existe un ´

unico cuerpo (salvo isomorfismos) de pn _{elementos. Nuestro inter´es en estudiar las}

ra´ıcesn-´esimas de la unidad en un cuerpo arbitrario nos lleva a plantearnos diversas posibilidades.

Si la caracter´ıstica de K es 0 ´o un n´umero primo p que no divide a n, entonces la derivada formal del polinomio xn_{−1 es nx}n−1_{, el cu´al no es nulo sobre K[x].}

Adem´as, como la ´unica ra´ız de este polinomio es 0, el cu´al no es ra´ız de xn_{−1, se}

concluye que todas las ra´ıces de xn_{−1 = 0 son diferentes.}

Si la caracter´ıstica de K es un n´umero primo p y se tiene n = pk_{m, entonces}

se cumple xn _{−1 = (x}m ₋₁₎pk

. Esto quiere decir que el cuerpo donde xn_{−1 se}

descompone es el mismo cuerpo de descomposici´on de xm _{−1 siempre que m sea}

2.1.

Cuerpos finitos

Denotemos por Fp, donde p es un n´umero primo, al cuerpo finito con p

ele-mentos. Ellos aparecen como el cociente de los enteros sobre sus ideales maximales. Concretamente se tiene que Fp =Z/hpi es un cuerpo finito, si pes primo.

Lema 2.1. Todos los cuerpos con p elementos son isomorfos a Fp.

Demostraci´on. Sea K un cuerpo con pelementos. Definamos la funci´on

ϕ: Z _→ K

n _7→ 1K+ 1K+· · ·1K (n veces),

la cual claramente est´a bien definida y es un homomorfismo. Es m´as, se cumple Ker(ϕ) =pZy por consiguiente tenemos

Fp =

Z pZ ≃K.

Veremos pronto que dos cuerpos finitos con el mismo n´umero de elementos son isomorfos; esto ser´a una consecuencia de la unicidad de cuerpos de descomposici´on, tema a tratarse luego.

Recordemos que la caracter´ıstica de un anillo es el menor n entero positivo que satisface

1R+ 1R+· · ·1R

| {z } = 0

n veces

Lema 2.2. La caracter´ıstica de todo cuerpo finito es un n´umero primo.

Demostraci´on. Si car(K) =q entonces q=q_·1 = 0, pues el orden aditivo de todo elemento divide a q. Cualquier valor con una propiedad similar ha de ser un primo, pues de lo contrario aparecer´ıan divisores de cero.

Demostraci´on. Si x₆= 0, la funci´on multiplicaci´on por x deK∗ _{en K}∗ _{es biyectiva.}

Por ello se tiene

Y

a∈K∗

a= Y

a∈K∗

xa=xq−1 Y

a∈K∗

a.

Como Q_a∈K∗a es no nulo, concluimos que se debe tener xq−1 _{= 1; lo cual implica}

xq _{=x. Parax= 0 obviamente se cumple x}q_=x.

Todo cuerpoKde caracter´ısticapcontiene una copia de_{m1K :m∈Z}. Gracias

a ello podemos identificar Fp con este subcuerpo de K.

Lema 2.4. Sea K una extensi´on finita de grado n sobre un cuerpo finito F. Si F

tiene q elementos, entoncesE tiene qn _elementos.

Demostraci´on. Sea_{u1, u2, ..., un}una base para K como espacio vectorial sobreF.

Entonces, todo v _∈K puede escribirse de manera ´unica en la forma

α1u1+α2u2+...+αnun,

donde αi ∈ F. Como cada αi puede ser alguno de los q elementos de F, el n´umero

total de dichas combinaciones lineales distintas es qn_.

Corolario 2.5. Sea F un cuerpo finito. Entonces existe un primo p y un n _∈ N, ambos ´unicos, tales que F tiene pn _elementos.

Demostraci´on. ComoF tiene un n´umero finito de elementos, su caracter´ıstica debe ser un primo p. Por el lema anterior F tiene pn _{elementos, para cierto n.}

Decimos queE es uncuerpo de descomposici´onde un polinomio f(x)_∈F[x] si ´este es el menor cuerpo dondef se descompone como producto de factores lineales en E[x].

Corolario 2.6. Para todo p primo y todo entero n _≥ 1 existe un cuerpo con pn

elementos.

Demostraci´on. Sea E un cuerpo de descomposici´on de f(x) = xpn

− x _∈ Fp[x].

Como la derivada formal f′ _=pn_xpn

−1_{−1 = −1 y f son primos entre s´ı, tenemos}

Veamos que K es un subcuerpo de E. Claramente los elementos 0 y 1 est´an en K. Supongamos se tenga a, b_∈K. Entonces se tiene

(a₋b)pn =apn₋bpn =a₋b,

y as´ı tambi´en a₋b_∈K. Por otro lado, si b₆= 0, entonces se cumple

(ab−1)pn =apn(bpn)−1 =ab−1, con lo que obtenemos ab−1 _{∈K. Por lo tanto K es un cuerpo.}

Teorema 2.7. En todo cuerpo finitoFqla parte multiplicativaF∗q es un grupo c´ıclico.

Demostraci´on. Es claro que podemos asumir q _≥ 3. Descompongamos q ₋1 =

pr1

1 p

r2

2 ...prmm con p1, p2..., pm primos y r1, r2..., rm positivos. Para todo 1 ≤ i ≤ m el

polinomio fi(t) =t(q−1)/pi −1 tiene a lo m´as (q−1)/pi ra´ıces en Fq. Como adem´as

se tiene (q₋1)/pi <(q−1), existen elementos no nulos en Fq que no son ra´ıces de

fi. Para cada 1 ≤ i ≤ m fijemos un elemento ai que no sea ra´ız de fi y pongamos

bi =a

(q−1)/prii

i . Observamos que se cumple b prii

i =a q−1

i = 1, de ah´ı que el orden de bi

sea un divisor de pri

i y por lo mismo ser´a de la forma p si

i con 0 ≤ si ≤ri. Por otro

lado se tiene bpri

−1 i

i = a

(q−1)/pi

i 6= 1 ya que bi no es un cero de fi, y de este modo el

orden de bi es exactamente prii. Veamos que el orden de b=b1b2...bm debe ser q−1.

Por contradicci´on supongamos que el orden de b sea un divisor propio deh=q₋1. Entonces, como cierto orden deb esq₋1 dividido entre alg´un primopi, supongamos

que ´este sea p1. As´ı tenemos

1 = bh/p1

=bh/p1

1 b

h/p1

2 ...bh/pm 1.

Ahora, para 2 _≤ i_≤ m tenemos que pri

i divide a h/p1, as´ı que se cumple bh/pi i = 1

para estos ´ındices, y de ello se deriva bh/p1

1 = 1. Esto implica que h/p1 es m´ultiplo

del orden de b1, en particular de pr11, lo cual es una contradicci´on. En consecuencia

F∗

q es un grupo c´ıclico con generador b.

Los elementos que generan el grupo c´ıclico F∗

q son tambi´en llamados elementos

primitivosdeFq. Como sabemos,Fq tieneφ(q−1) generadores, y as´ı poseeφ(q−1)

2.2.

Extensiones finitas de cuerpos finitos

Resulta que E es extensi´on finita de F si E puede ser visto como un F espacio vectorial finito. Adem´as, llamaremos grado de la extensi´on de E sobre F a la dimensi´on del espacio vectorial E sobre F, denotado por n= [E :F].

SeaE cuerpo de descomposici´on del polinomiof(x) = xq₋x_∈K[x] conq=pn. Como la derivada formal f′_{(x) =−1 es relativamente prima con f(x), se sigue que}

f(x) tieneq ra´ıces distintas en E. Entonces E coincide con el conjunto formado por K y la adjunci´on de las ra´ıces de dicho polinomio.

En lo que sigueK ser´a un cuerpo arbitrario.

Teorema 2.8. Dado f(x)_∈K[x] existe un cuerpo donde f se factoriza en factores lineales.

Demostraci´on. La existencia se prueba adjuntando una a una sus ra´ıces.

Teorema 2.9. Dos cuerpos de descomposici´on de un mismo polinomio son isomor-fos.

Demostraci´on. Por inducci´on en el grado n = [E : K], mostraremos que si E es cuerpo de descomposici´on de un polinomio f _∈ K[x] entonces cualquier cuerpo de descomposici´on de f es isomorfo a E sobre K.

Si n = 1 entonces E = K y f se factoriza completamente en K. As´ı dado otro cuerpo de descomposici´on de f que contiene a K, ´este debe ser K, pero K es isomorfo a K sobre K.

En general sean E y E′ _{cuerpos de descomposici´on de f ∈K[x] y sea g ∈K[x]}

un factor irreducible de p. Tomemos una ra´ız α_∈ E de g y otraα′ _{∈ E}′ _{de g. Con}

ello K(α)_⊂E y K(α′_)⊂E′ _{son isomorfos aK[x]/hqiy por lo tanto son isomorfos}

entre s´ı. De esta forma se puede asumir α=α′_{. As´ı tenemos quef ∈K(α)[x] tiene}

como cuerpos de descomposici´on a E y E′_{. Luego, al tenerse [E :K(α)]<[E :K],}

se cumple que E y E′ _{son isomorfos por la hip´otesis inductiva.}

Proposici´on 2.10. Toda extensi´on finita de un cuerpo finito es simple.

Demostraci´on. Sea E una extensi´on finita del cuerpo finito F. Como la parte mul-tiplicativa E∗ _{del cuerpo E es c´ıclico, tenemos que si ζ genera E}∗ _{como un grupo}

Teorema 2.11. Sea f un polinomio irreducible en Fq[t] de grado m. Entonces f

admite una ra´ız α en la extensi´on Fqm. Todas las ra´ıces de f son simples y est´an

dadas por los m elementos distintos α, αq_{, α}q2

, ..., αqm−1

de Fqm.

Demostraci´on. Sea α una ra´ız de f en alguna extensi´on algebraica de Fq. Entonces

de [Fq(α) : Fq] = m se pasa a Fq(α) = Fqm y en particular a α ∈ F_qm. Ahora, cuando α _∈ Fqm sea una ra´ız de f, veamos que αq es tambi´en una ra´ız de f. Sea f(t) = amtm +...+a1t +a0 con ai ∈ Fq para 0 ≤ i ≤ m. Como ai ∈ Fq implica

aq_i =ai, obtenemos

f(αq_{) = a}

mαqm+...+a1αq+a0 = aqmαqm+...+a q

1αq+a

q

0

= (amαm+...+a1α+a0)q = f(α)q = 0.

Continuando inductivamente con el procedimiento concluimos que los elementos αq2

, ..., αqm−1

deFqm son tambi´en ra´ıces de f. Supongamos por un instante que dos de estas ra´ıces sean iguales, es decir αqj

= αqk

para algunos enteros j y k con 0_≤j < k _≤m₋1. Al elevar ambos miembros a la potencia qm−k _obtenemos

αqm−k+j =αqm =α.

Entoncesα _∈Fqm es ra´ız detq m−k+j

−t. Acto seguido, siβ _∈Fq(α) = Fqm tendremos β =a0+a1α+· · ·+am−1αm−1, donde ai ∈Fq, y as´ı

βqm−k+j

= (a0+a1α+· · ·+am−1αm−1)q

m−k+j = aq₀m−k+j +a₁qm−k+jαqm−k+j

+_{· · ·}+a_mqm₋−₁k+jαq_mm₋−₁k+j = a0+a1α+· · ·+am−1αm−1

= β.

Esto significa que todo elemento de Fqm es una soluci´on de la ecuaci´on tq m−k+j

−t. Ello nos conduce am₋k+j _≥m, lo cual es una contradicci´on am₋k+j < m.

Veamos una consecuencia del teorema anterior. Sea Fqm es una extensi´on deF_q y α _∈ Fqm. Los elementos α, αq, αq

2

, ..., αqm−1

son llamados conjugados de α con respecto a Fq. Los elementos conjugados son obtenidos por el automorfismo

conocido como el automorfismo de Frobenius.

Los conjugados deα_∈ Fqmcon respecto aF_qson distintos si y s´olo si el polinomio minimal de α sobre Fq tiene grado m. Caso contrario, el grado d de este polinomio

minimal es un divisor propio dem, y adem´as los conjugados deα con respecto aFq

son los elementos distintos α, αq2

, ..., αqd−1

(repetidos cada m/d veces).

Ejemplo 2.12. Sea α _∈ F16 una ra´ız de f(t) = t4 +t + 1 ∈ F2[t]. Entonces los

conjugados de α con respecto a F2 son α, α2, α4 = α+ 1 y α8 = α2 + 1; cada uno

de ellos es un elemento primitivo de F16. Por otro lado, los conjugados de α con

respecto de F4 son α y α4 =α+ 1.

Corolario 2.13. Sea E un cuerpo con pn _{elementos. Para cada divisor positivo m}

de n, el cuerpo E contiene exactamente un cuerpo con pm _elementos.

Demostraci´on. Como todo cuerpo finito es simple, sean β y β′ _{tales que F}

p(β)⊂E

y Fp(β′)⊂E tengan cardinalidad pm. Como ambos son cuerpos de descomposici´on

de tpm

−t, ellos deben coincidir.

Proposici´on 2.14. Cuandom, nson enteros positivos, entoncesFpm es un

subcuer-po de Fpn si y s´olo si m divide a n.

Demostraci´on. Veamos la ida. Dadoa_∈Fpm, se tiene queaes una ra´ız del polinomio f(t) = tpm

−t. De ah´ı que como se cumple (tpm

−t)_| (tpn

−t), se concluye que m divide a n. La vuelta es similar.

Recorde-mos que para cada potencia de 5 tendreRecorde-mos en F5m una extensi´on finita de F₅. . .. ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ❇ ... . . . ⑤⑤⑤⑤ ⑤⑤⑤⑤ ⑤

F524

❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉

❉ F5

36 ③③③③ ③③③③ ❊ ❊ ❊ ❊ ❊ ❊ ❊

❊ F5

48

②②②② ②②②②

F58

❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ F5

6 ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉

❉ F5

12

②②②② ②②②②

F516

②②②② ②②②②

F52

❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ ❉ F5

3 F₅4

②②②② ②②②②

F5

En general, definamos la inyecci´on Fpm ֒→F_pn con m divisor de n. Resulta que K =SFpm es un cuerpo.

En efecto, esto se debe a que paraa, b_∈K existeni, jtales que a_∈Fpi yb∈F_pj. Sin embargo, de Fpi,F_pj ⊂F_pij, se tiene a+b, ab∈ F_pij ⊂ K. Es m´as, dado a∈ K existe mi con el cual se cumplea∈Fpmi por lo tanto, la inversaa−1 ya se encuentra en Fpmi ⊂K.

Este cuerpo terminal nos permite representar de manera econ´omica la clausura algebraica de Fp.

Teorema 2.16. La clausura algebraica de Fp coincide con SFpn.

Demostraci´on. Sea un polinomio p(t) _∈ SFpn[t]. Como este cuerpo es un ret´ıculo y la cantidad de coeficientes es finita, existe un n0 ∈Z+ con el que se tiene p(t)∈

Cap´ıtulo 3

Ra´ıces de la unidad en los enteros

p

-´

adicos

La obtenci´on de ra´ıces n-´esimas de la unidad sobre el cuerpo de los n´umeros p-´adicos nos remite al lema de Hensel y al m´etodo de Newton. Una introducci´on a estos conceptos y t´ecnicas elementales, as´ı como las correspondientes pruebas, pueden encontrarse en la tesis de Condori [2] o de Gayta [3]. En adelante asumiremos que los polinomios mencionados son m´onicos; esto por una sencilla raz´on: al multiplicar f(x) =anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 ∈Zp[x] por el entero p-´adicoann−1 resulta

g(anx) =ann−1f(x) = (anx)n+an−1(anx)n−1 +· · ·+a1ann−2(anx) +ann−1a0,

y resolver g(x) = 0 es t´ecnicamente lo mismo que resolver f(x) = 0.

3.1.

Un repaso de los n´

umeros

p

-´

adicos

Fijemos un primo arbitrariop_∈Z+_{. Lanorma p-´adicade un n´umero racional,}

denotada por _|._|p, est´a definida como

p

nx

y

p

=p−n,

siempre que x e y sean relativamente primos con p. Para 0 ponemos _| 0 _|p= 0. Es

i) _|x_|p≥0, con igualdad si y s´olo si x= 0,

ii) _|xy _|p=|x|p|y|p,

iii) _|x+y_|p≤m´ax{|x|p,|y|p}(llamada desigualdad triangular ultram´

etri-ca o no arquimediana).

Al considerarQcon la normap-´adica_|._|p, resulta queQno es completo. Ser´a su

compleci´onQpla que dar´a origen al cuerpo de los n´umerosp-´adicos. Resulta, al igual

queR, queQp hereda una estructura algebraica compatible con la estructura

m´etri-ca. Claramente de la definici´on se aprecia que el conjunto de valores para _| . _|p en Qp es {0} ∪ {pm :m∈Z}.

Los elementos del anillo Zp = {z ∈ Qp :| z |p≤ 1} ser´an llamados

ente-ros p-´adicos. Notemos que sus expansiones p-´adicas tienen la forma siguiente: b0 +b1p+ b2p2 + · · ·, con bi ∈ {0,1,2, . . . , p− 1}. Ac´a no hay que dejarse

en-ga˜nar por la notaci´on: este conjunto no es el anillo cociente Z/(p).

Fijado un primop, por el teorema fundamental de la aritm´etica, para cadaa_∈Z existe un ´unico n natural tal que a = pn_{r, con (r, p) = 1. Bas´andonos en ello}

definimos la valuaci´on p-´adica de un n´umero racional como la funci´on vp :Q→Z∪ {∞}

dada por

vp(x) =

   

  

m´ax_{n_∈Z:pn_{|x} si x∈Z}∗_,

vp(a)−vp(b) si x= a_b ∈Q,

∞ si x= 0.

De la definici´on podemos deducir algunas propiedades.

i) Se cumple v(x) =_∞si y s´olo si x= 0;

ii) se cumple v(xy) =v(x) +v(y);

Para cada n´umero naturalk, el conjunto _Opk ={z ∈Z_p :|z |_p≤p−k}es un ideal de Zp. En t´erminos pr´acticos Opk es el conjunto de los enteros p-´adicos divisibles por pk_{. Denotamos porE}

pk =Z_p/Opk el respectivo anillo cociente.

Es claro que parak = 1 el ideal _Op es m´aximal, y por ello Zp/Op es un cuerpo.

Es m´as, es el ´unico ideal maximal de Zp. Como {0,1, . . . , p−1}son representantes

de este cociente, el cuerpo resulta finito e identificable con Fp. Es m´as, la funci´on

ε: Zp → Fp

a=P_i≥0aipi 7→ a0m´od p

define un homomorfismo llamado reducci´on m´odulo p. Este homomorfismo es sobreyectivo con n´ucleo

{a_∈Zp :a0 = 0}=

( X

i≥1

aipi =p

X

j≥0

ajpj =pZp

)

=_Op.

Proposici´on 3.1. El grupo multiplicativo Z×

p de elementos invertibles en el anillo

Zp consiste de los enteros p-´adicos de valuaci´on cero; esto es, se tiene

Z×_p =

( X

i≥0

aipi :a0 6= 0

)

.

Demostraci´on. Si un entero p-´adico es invertible, tambi´en lo es su proyecci´on en Fp. As´ı se tiene ε(a) 6= 0 y por lo tanto se cumple a /∈ Op. Para la rec´ıproca

tenemos que mostrar que todo entero p-´adico a con υ(a) = 0 es invertible. En este caso la reducci´on ε(a) = a0 ∈ Fp no es cero, y por lo consiguiente es invertible en

este cuerpo. De este modo existe un b0 ∈ {1, . . . , p−1} tal que a0b0 ≡ 1m´od p.

Escribamos a0b0 = 1 +kp. Si desarrollamosa =a0+pα con α ∈Zp, se ha de tener

a_·b0 = 1 +kp+pαb0 = 1 +k′p

donde k′ _=k+αb

0 es un entero p´adico. Esto significa que es suficiente mostrar que

todo entero p-´adico de la forma 1 +kpes invertible debido a que podemos escribir

a_·b0(1 +kp)−1 = 1, a−1 =b0(1 +kp)−1.

En resumen, es suficiente tratar el caso a0 = 1, a= 1 +kp. Pero como se cumple

(1 +kp)−1 = 1₋kp+ (kp)2₋. . . ,

F´acilmente se puede deducir la igualdad

Z×_p =_{x_∈Qp :|x|p= 1},

propiedad que dejamos como ejercicio para el lector.

El concepto de congruencia en Z nos permite estudiar a los n´umeros enteros clasific´andolos en distintas clases de equivalencia. La idea en nuestro contexto es imitar lo anterior. Definamos la relaci´ona _≡b(m´od p) siempre que se tenga_|a₋b_|p<

1, caso contrario escribiremos a _6≡b(m´od p). En general ponemos a _≡b(m´od pn_{) si}

a₋b _{∈ O}pn, para n ≥ 1 dado. Esta relaci´on de congruencia coincide con la de los enteros para a, b_∈Z.

Un f´acil ejercicio basado en este concepto es el siguiente hecho. De α _∈ Z×_{, se}

sigue αp−1 _{≡1 (m´odO}

p), pues esta propiedad es ya v´alida en Zp/Op ≃Fp.

Presentamos a continuaci´on el lema de Hensel, el mismo que nos garantiza exis-tencia de ra´ıces p-´adicas de ciertas ecuaciones.

Lema 3.2. (Lema de Hensel) Sea f(x) = c0+c1x+· · ·+cnxn un polinomio con

coeficientes enteros p-´adicos y sea f′_{(x) = c}

1 + 2c2x+· · ·+ncnxn−1 su derivada

formal. Si a0 es un entero p-´adico tal que f(a0) ≡ 0 (m´od p) y f′(a0) 6≡ 0 (m´od p),

entonces existe un ´unico entero p-´adico x0 sujeto a x0 ≡ a0(m´od p) que satisface

f(x0) = 0.

Demostraci´on. El lector interesado en la prueba puede consultar [2].

Queda claro que el lema de Hensel nos proporciona un m´etodo para hallar las ra´ıces p-´adicas de polinomios con coeficientes enteros p-´adicos. Para utilizar este m´etodo es necesario iniciar el proceso ya que el resto es resolver congruencias lineales. Veamos un caso de cerca a modo de ilustraci´on.

Ejemplo 3.3. Utilizemos el lema de Hensel para resolver x2_{+ 1 = 0 en Q} 5.

Para f(x) = x2 _{+ 1 en Q}

5[x], tentamos con a0 = 2. Al realizar los c´alculos

y garantizan la existencia de un entero 5-´adico x0 que cumple x20 =−1; realmente

hay dos soluciones pues tambi´en a0 ≡3 (m´od5) da cabida a otra soluci´on.

Desarrollemos al detalle la primera opci´onx0 ≡2 (m´od5). El valorx0tendr´a una

expansi´on x0 = 2 +b15 +b252+· · · , con enteros bi ∈ {0,1, . . . ,4}.

Veamos c´omo calcular los valores b1, b2, b3, . . ..

Paso 1. Sea a1 = 2 + b15 con b1 por determinar. Como ya tenemos b0 = 2,

para u entero resolvemos f(b0) ≡ u5 (m´od52), es decir 5 ≡ u5 (m´od52), y

ha-llamos u = 1. Deseamos que se satisfaga f(a1) ≡ 0 (m´od52) y ello suceder´a si

u_·5 +f′_(b

0)b1·5≡ 0 (m´od52), es decir si se cumple u+f′(b0)b1 ≡ 0 (m´od5); esto

es 1 + 4b1 ≡0 (m´od5) y hallamos el valor b1 = 1. Entonces tenemos a1 = 2 + 1·5,

f(a1) = 50 y f′(a1) = 14, ´este ´ultimo n´umero congruente a f′(a0) = 4 m´odulo 5.

Paso 2. De este modo se ha de tener a2 = 2 + 1·5 + b2 ·52. Sigamos el mismo

proceso anterior. De 50 _≡ u52_(m´od53_{) hallamos u = 2; de 2 + 14b}

2 ≡ 0 (m´od5),

b2 = 2, y concluimos la igualdada2 = 2+1·5+2·52; con ellos tenemosf(a2) = 3250,

junto con f′_(a

2) = 114, valor tambi´en congruente a f′(a0) = 4 m´odulo 5.

Paso 3. Sea a3 = 2 + 1 · 5 + 2· 52 + b353. De 3250 ≡ u53(m´od54), es decir

u = 1, obtenemos 1 + 14b3 ≡ 0 (m´od5), satisfecho por b3 = 1. Entonces tendremos

a3 = 2 + 1·5 + 2·52+ 1·53. Con la misma t´onica podemos encontrar sucesivamente

los restantes valores para ai. Por lo expuesto, la ra´ız 5-´adica ser´a x0 = 2,131. . .(5).

La otra ra´ız 5-´adica ser´a, por supuesto, ₋x0.

A continuaci´on presentamos otro m´etodo iterativo, llamado elm´etodo de New-ton. ´Este, que refina un tanto el lema de Hensel, nos permite, partiendo de un entero p-´adico con ciertas caracter´ısticas, construir una sucesi´on que converge a una ra´ız p-´adica de un polinomio.

Teorema 3.4. (M´etodo de Newton) Sea f(x) _∈ Zp[x]. Supongamos que a0 sea un

entero p-´adico que satisface la relaci´on

f(a0)

f′_(a0)2

p

Entonces a0 puede refinarse a un ra´ız de f(x). Para ser m´as preciso, la sucesi´on

an+1 =an−

f(an)

f′_(an)

converge a una ra´ız entera p-´adica a de f(x). Adem´as se cumple

|a₋a0 |p≤

f(a0)

f′_(a0)

p

≤r <1.

Demostraci´on. El lector interesado en la prueba puede consultar [2].

Ejemplo 3.5. Consideremos el polinomiof(x) =x3_+2x2_{−5x−6 sobreQ. Al evaluar}

en todos los factores de 6, es decir en _±1,_±2,_±3,_±6, se deduce que f(x) no acepta factores lineales y por ende resulta irreducible. Analicemos este polinomio sobreQ2,

espec´ıficamente determinemos si preserva la propiedad de ser irreducible. Paraa0 = 0

se tienef(0) =₋6 yf′_{(0) =−5; por consiguiente se cumpler=} ff′(0)

(0)2

2 = 2

−1 _<1,

y el m´etodo de Newton es aplicable.

Siaes la ra´ız prometida por el teorema, se tienev(a₋a0) =v(a−0)≥v(_ff′(0)₍₀₎) =

2. Siguiendo la secuencia obtenemos

a1 =a0−

f(a0)

f′_(a0) =−

6

5, v(a+ 6 5)≥v(

f(a1)

f′_(a1)) =

1

16 en una primera iteraci´on;

a2 =a1−

f(a1)

f′_(a1) =−

966

685, etc´etera.

Como se cumple ₋966

685 =−1,00110011. . .tenemos que la ra´ız 2-´adica a tendr´a la forma aproximada a=₋1,00110011. . ..

3.2.

Factorizaci´

on

p

-´

adica

Veamos un resultado que generaliza el lema de Hensel presentado al inicio, el mis-mo que nos permite factorizar polinomios en Zp en vez de hallar ra´ıces, denominado

a veces lema de Hensel versi´on 2.

Empecemos con dos definiciones. Decimos que un polinomiof _∈Zp[x] es

primi-tivosif ₆= 0 dondef es la proyecci´on aFp[t]. Por otro lado, seag =b0+b1x+· · ·+

bmxm ∈ Qp[x] cualquiera y pongamos v(g) = m´ın{v(b0), . . . , v(bm)}. Por ejemplo,

Teorema 3.6. (Lema de Hensel versi´on 2) Sea f _∈ Zp[x] primitivo. Supongamos

que G y H sean polinomios sobre Fp, relativamente primos y tales que cumplen

f =G_·H.

Entonces existen g, h_∈Zp[x] que satisfacen

1. f =g _·h;

2. g =G, h=H;

3. grad g= grad G.

Demostraci´on. Consultar [2].

Ejemplo 3.7. Consideremos el polinomio primitivo

f(x) =x4+ 6x3+ 4x2+ 3x₋2 en Z5[x].

Al aplicar reducci´on m´odulo 5 tenemos f(t) = (t2_{+t+ 1)(t}2_{+ 3)6= 0. Para aplicar}

el lema de Hensel versi´on 2 identificamos

G(t) =t2_{+t+ 1, H(t) = t}2_{+ 3, enF} 5[t];

g1(x) =x2+x+ 1, h1(x) =x2 + 3, en Z5[x].

Como los polinomios G y H son relativamente primos en F5[x], no es sorpresa

que existen a=₋3x₋6, b = 3x+ 9 sobre Z5[x] tales que

aG+bH = 1 en F5[t].

Al tomar valuaciones respectivas, conseguimos v(f₋g1h1) =v(5x3+ 5x2+ 5x) = 1,

v(ag1 +bh1 −1) = 1. Como m´ın{f −g1h1, ag1 +bh1 −1} = 1, tenemos ya una

soluci´on m´odulo el ideal _O5[x].

Para la segunda iteraci´on del procedimiento tentamos con polinomios g2, h2 de

la forma

g2 =g1+ 5u, h2 =h1+ 5v,

De este modou es el resto y q el cociente de la divisi´on (f −g1h1)

5 b por g1, que resulta ser u = 0 y q = 3x2_{+ 9x. Para hallar v, calculamos} (f−g1h1)

5 a+qh1 = 5x4+ 10x2+x(m´od5), de ah´ı obtenemos v =x y deducimos las igualdades

g2(x) = x2+x+ 1 =x2+x+ 1,00. . .

h2(x) = x2+ 5x+ 3 =x2+ 10,00. . . x+ 3,00. . .

donde 5 = 10,00. . ., 3 = 3,00. . .y 1 = 1,00. . .m´odulo 5. Todo esto desemboca en una eficaz aproximaci´on m´odulo _O2

5[x].

Veamos algunas consecuencias que se derivan de esta versi´on del lema de Hensel.

Corolario 3.8. Sea f(x) = xn_+a

1xn−1 +· · ·+an ∈ Qp[x] irreducible. Si se tiene

an ∈Zp, entonces todos los ai pertenecen a Zp.

Demostraci´on. Procedamos por contradicci´on. Supongamos que se tenga _| ai |> 1

para alg´un i = 1, . . . , n₋1. Al multiplicar f por una potencia positiva adecuada del primo p obtenemos un nuevo polinomio g con coeficientes enterosp-´adicos: este g es primitivo, no constante y su coeficiente principal es una potencia positiva dep. Se sigue que

g =g_·1

es una factorizaci´on de g que satisface

0< grad g < f =n.

Por el lema de Hensel-versi´on 2 existen polinomiosGy H sobreZp con los cuales se

tiene grad G=grad g y g =GH. De esto deducimos inmediatamente la existencia de una factorizaci´on propia de f, lo cual contradice la irreducibilidad de f.

Un polinomio f(x)_∈Zp[x] de gradon≥1 que satisface las siguientes

propieda-des

f(x)_≡xn(m´od p), f(0)_6≡0 (m´od p2)

Si f resulta un polinomio irreducible sobre Zp, no necesariamente ello implica

quef tambi´en lo sea sobreFp. Por ejemplox2+px+pes un polinomio de Eisenstein,

pero su reducci´on f =t2 _{es potencia de t en F}

p[t].

Corolario 3.9. Si f _∈ Zp[x] es m´onico e irreducible sobre Qp, entonces f es una

potencia de un polinomio irreducible sobre Fp.

Demostraci´on. Esto es otra consecuencia del lema de Hensel versi´on 2.

3.3.

Extensiones

p

-´

adicas

Dado un cuerpo K _⊃ Qp, con m´etrica no arquimediana | |K, decimos que K es

una extensi´on p-´adica si cumple _|x_|K=_|x_|p para todo x_∈Qp.

Como la ´unica norma que usaremos es la p-´adica o sus extensiones, a partir de ahora, si en el contexto es claro, utilizaremos _|x_| en vez de _|x_|p.

Repasemos un concepto b´asico en extensiones de cuerpos como es la norma algebraica de un elemento. El uso de la palabra norma no debe ser confundido con el uso que se le presta en el an´alisis funcional.

Sea K una extensi´on finita de grado n de Qp. La norma de u, denotada por

NK/Qp(u), es el n´umero p-´adico

NK/Qp(u) =

n

Y

i=1

σi(u),

donde σi son los distintos Qp-monomorfismos de K en una clausura algebraica de

Qp.

Como un caso especial, siu es ra´ız del polinomio irreducible

xn+an−1xn−1+. . .+a1x+a0 ∈Qp[x],

la norma de u est´a dada por

NK/Qp(u) =

n

Y

i=1

ui,

Como consecuencia de esta observaci´on se tiene NK/Qp(u) = (−1)na0 como caso

particular.

La norma algebraica NK/Qp cumple con las siguientes propiedades:

NK/Qp(uv) =NK/Qp(u)NK/Qp(v), llamada propiedad multiplicativa;

para un cuerpo intermedio E, se tiene NE/Qp(NK/E(u)) =NK/Qp(u);

NK/Qp(a) =an, para a∈Qp.

Teorema 3.10. Sea K una extensi´on finita de grado n sobre Qp. Entonces |x_|K=_|NK/Qp(x)|

1/n p

define una norma sobre K que extiende la previamente definida en Qp.

Demostraci´on. Esto es una consecuencia casi inmediata de las tres propiedades enu-meradas arriba. Consultar [2].

Notemos que este nuevo valor absoluto_{| · |}K cumple con varias propiedades m´as

o menos obvias dada su definici´on.

1. El conjunto de valores no nulos de_{| · |}K enK es subconjunto de{p

m

n :m ∈Z},

donde n = [K :Qp].

2. Cualquier norma sobre K equivalente a_{| · |}K es de la forma | · |sK, para alg´un

s >0. De todas ellas, solamente _{| · |}K es la extensi´onp-´adica.

Ejemplo 3.11. La compleci´on R de Q con respecto al valor absoluto usual posee solamente una extensi´on algebraica, llamada C. Por lo tanto el valor absoluto usual

|._| en R posee una ´unica extensi´on sobre C, dada por

|α_|C=|NC/R(α)|1/2=|α·α |1/2 .

Dada una extensi´on K deQp, consideramos los conjuntos

Entonces ZK resulta el anillo de enteros de K y OK un ideal maximal en ´este.

Por lo tanto, el anillo cociente ZK/OK es un cuerpo, llamado cuerpo de clases

residuales de K.

El grado de ZK/OK sobre Zp/pZp = Fp es llamado el grado de clases

resi-duales deK y lo denotamos porf, valor que por definici´on coincide con [ZK/OK :

Zp/pZp].

Sea n = [K : Qp]. Entonces | K× |K= {| x |K: x ∈ K×} es un subgrupo del

grupo c´ıclico multiplicativo generado por p−1/n_{. As´ı|K}×_|

K es generado por p−1/eK

para alg´un divisor positivo eK de n. Llamemos a eK ´ındice de ramificaci´on de

la extensi´on. Notemos que ´este queda definido tambi´en por el ´ındice de grupos [_|K× _|:|Q×

p |].

Decimos que π _∈ ZK es un uniformizador si se tiene π ∈ OK mas no as´ıπ 6∈ O2

K. Por ejemplo en Zp, el elemento π =p es un uniformizador. Al igual que en los

enteros p-´adicos, cada x_∈ZK puede ser escrito como

x=a0+a1π+a2π2+. . . , conai ∈ZK/OK.

A continuaci´on veamos tres lemas t´ecnicos que nos conducir´an a una f´ormula que relaciona e, f y n.

Lema 3.12. Sean a1, . . . an ∈ K. Si | a1 |>| ai | para i = 2, . . . , n, entonces se

cumple

|a1 |=|a1+. . .+ar |.

Demostraci´on. Sabemos que todo tri´angulo con una normap-´adica resulta is´osceles y_|a1 |>|a2 |obliga a tener|a1+a2 |=|a1 |>|a3 |. Con el mismo proceso se obtiene

| a1 +a2+a3 |=| a1 +a2 |=|a1 |>| a4 |. Luego de un n´umero finito de iteraciones

llegamos a _|a1 |=|a1+. . .+ar|.

Lema 3.13. Sean x1, . . . , xf elementos en ZK tales que x1+OK, . . . , xf +OK son

linealmente independientes sobre Fp, y sean a1, . . . , af ∈Qp. Entonces se cumple

|a1x1+· · ·+afxf |= m´ax

Demostraci´on. Siar = 0 para todor∈ {1, ..., f}el resultado es obvio. Caso

contra-rio, supongamos se tenga _| a1 |= m´axr |ar |p y definamos br =ar/a1(r = 1, ..., f).

Entonces se tiene _|br |≤1 y b1 = 1. Para concluir la demostraci´on falta ver que se

cumple

|x1+b2x2+· · ·+bfxf |= 1.

En primer lugar es claro que se tiene _|x1+b2x2+· · ·+bfxf |≤1, ya que se cumple

x1+b2x2 +· · ·+bfxf ∈ZK. Si la desigualdad fuese estricta, se tendr´ıa

x1+b2x2+· · ·+bfxf ∈ OK,

lo cual a su vez implicar´ıa

x1+OK+ (b2+OK)(x2+OK) +· · ·+ (bf +OK)(xf +OK) =OK.

Esto quiere decir que_OK ser´ıa una combinaci´on lineal de losxi+OK con coeficientes

en Fp, lo cual contradir´ıa la independencia lineal de losxi+OK.

Lema 3.14. Sea π un uniformizador de ZK con | π |= p−1/e, y sean x1, . . . , xf

elementos deZK tales quex1, . . . , xf forman una base deZK/OK sobreFp =Zp/pZp.

Entonces ZK es un Zp- m´odulo libre con base

{xiπj :i= 1, . . . , f, j = 0, . . . , e−1}.

Por definici´on, lo anterior significa que todo x_∈ZK puede ser expresado de manera

´

unica cual

x=

e−1

X

j=0

f

X

i=1

aijxiπj, con aij ∈Zp.

Demostraci´on. Sea x _∈ ZK distinto de cero. Como se tiene | prπj |=| πer+j |, se

puede observar que er+j recorre todos los enteros no negativos mientras r _≥ 0 y j _{∈ {}0, . . . , e₋1_}. Por lo tanto_|pr_πj _{| asume todos los valores posibles de la norma} | · |K menores o iguales a 1. De este modo para alg´un r y j se cumple |x|=|prπj |.

En particular para y = x/pr_πj _{se tiene | y |= 1. Luego, en el espacio vectorial}

ZK/OK sobre Fp, existen ar ∈Zp, no todos en OK, tales que se cumple

Al operar se tiene

y+_OK = (a1x1+· · ·+afxf) +OK;

lo que significa la desigualdad

|y₋(a1x1 +· · ·+afxf)|<1.

Al regresar a las coordenadas originales logramos

|x₋(a1x1 +· · ·+afxf)prπj |<|prπj |.

Al escribir z =x₋(a1x1+· · ·+afxf)prπj, se tiene

x= (a1x1+· · ·+afxf)prπj +z,

donde se cumple _|z _|<_|pr_πj _|.

Usaremos el resultado anterior reiteradamente para construir una serie conver-gente. Sea w _∈ ZK no nulo y que satisface | w |≤ 1. Por lo ya trabajado se puede

escribir

w=a001x1+· · ·+a00fxf +w1,

donde a00i ∈Zp y |w1 |<1. De este modo se tiene |w1 |≤|π | y continuamos con

w1 = (a011x1+· · ·+a01fxf)π+w2,

donde _|w2 |<|π | y as´ı|w2 |<|π2 |. Al repetir la iteraci´on e−1 veces se obtiene

we−1 = (a0e−1,1x1+· · ·+a0e−1,fxf)πe−1+we,

donde _|we|≤|πe|=|p|. De aqu´ı pasamos a

we = (a101x1+· · ·+a10fxf)p+we+1,

donde _|we+1|≤|pπ |. Un paso adicional da

we+1= (a111x1+· · ·+a11fxf)pπ+we+2,

En general w puede ser escrito como

w=

m

X

r,j

(arj1x1 +· · ·+arjfxf)prπj +zm.

Al tomar l´ımite cuando m _{→ ∞}conseguimos

w=X

r,j

(arj1x1+· · ·+arjfxf)prπj,

donde r= 0,1, . . .y j = 0,1. . . , e₋1. Por lo tanto se tiene

w=

e−1

X

j=0

(X

r

arj1pr)x1+· · ·+ (

X

i

arjfpr)xf)

!

πj.

Las series P_rarjkpr convergen puesto que se cumple arjk ∈ Zp y | arjkpr |→ 0. Es

m´as, sisn =Pnr aijkprdenota lan-´esima suma parcial entonces se satisface|sn|≤1

para todo n_∈N.

Teorema 3.15. SeaK una extensi´on finita deQp con ´ındice de ramificaci´one=eK

y clase residual f =fK. Entonces se satisface [K :Qp] =e·f.

Demostraci´on. Empecemos probando la desigualdad ef _≤ n. Sean x1, ..., xf

ele-mentos en ZK tales que x1 + OK, ..., xf + OK sean linealmente independientes

sobre Fp; esto es posible debido a que f es la dimensi´on del Fp-espacio

vecto-rial ZK. Tambi´en, sean y1, ..., ye distintos elementos de K× elegidos de modo que | y1 || Q×p |, ...,| ye || Q×p | sean las distintas clases laterales multiplicativas; esto es

posible por la definici´on del ´ındice e.

Deseamos probar que los xrys (r = 1, . . . , f;s = 1, . . . , e) son linealmente

in-dependientes sobre Qp; con ello concluiremos la desigualdad deseada ef ≤ n =

dimQpK. Supongamos que se tenga

X

rs

crsxrys= 0,

donde crs∈Qp. Al agrupar coeficientes podemos reescribir

X

s

(X

r

Por el Lema 3.13, para cada s fijo se tiene

|(X

r

crsxr)ys |=|

X

r

crsxr ||ys|= m´ax

r |crs ||ys |.

Como las clases laterales _| y1 || Q∗p |, ...,| ye || Q∗p | asumen valores disjuntos, las

valuaciones m´axr | crsys | ser´an distintas (salvo que todos valgan 0), y en uso del

Lema 3.12 se tiene la igualdad.

0 =_|X

s

X

r

crsxrys|= m´ax

s m´axr |crs ||ys |.

Por supuesto la ´unica posibilidad de tener m´axsm´axr | crs || ys |= 0 pasa por

crs = 0 para todor, s. Esto confirma la desigualdadef ≤n. La desigualdad opuesta

es consecuencia inmediata del Lema 3.14.

De aqu´ı en adelante para una extensi´on finita K de Qp usaremos la siguiente

terminolog´ıa.

Si e= 1, decimos que la extensi´on K no ramifica,

si e=n, decimos que la extensi´on K ramifica totalmente,

si p no divide a e, decimos que la extensi´on K ramifica mansamente, sie=pk _{para alg´un k entero positivo, decimos que laextensi´on K ramifica}

salvajemente.

Ejemplo 3.16. Sea K = Q3(

√

3) = _{a+b√3 : a, b _∈ Q3}, donde

√

3 es una de las ra´ıces de f(x) = x2 _{− 3. Como f(x) es un polinomio de Eisenstein, f(x) es}

irreducible: en t´erminos pr´acticos se tiene √3 _6∈ Q3. Sin embargo la norma de

√

3 puede ser f´acilmente calculada en cualquier extensi´on que lo contenga v´ıa

|√3_|Q3(√

3)=|NQ3(√3)/Q(

√

3)_|1₃/2=_|3_|31/2= 3−1/2_,

y as´ı_|√3_|3 no pertenece al conjunto de valores que asume | · |3 en Q3. En general,

para a, b_∈Q3 tenemos

|a+b√3_|3 = |N_Q3(√3)(a+b

√

3)_|1₃/2=_|a2_−3b2 _|1/2 3

De este modo obtenemos

ZK ={a+b √

3 :a, b_∈Z3},

OK ={a+b √

3 :a_∈3Z3, b∈Z3}=

√

3ZK,

ZK/OK ∼=Z3/3Z3 =F3.

Por lo tanto, en este caso particular se tiene eK = 2, fK = 1, y la extensi´on K es

total y mansamente ramificada.

Mostremos algunos ejemplos de extensiones cuadr´aticas deQ2.

Ejemplo 3.17. Consideremos el polinomio f(x) = x2 _{−2 ∈ Q}

2[x], de Eisenstein.

Sea √2 ra´ız en alguna extensi´on. Por supuesto, como se tiene

|√2_|Q2(√

2)=|NQ2(√2)/Q(

√

2)_|1₂/2=_|2_|21/2= 2−1/2_,

la norma _|√2_|2 no pertenece al conjunto de valores de| · |2 en Q2. En general, para

a, b_∈Q2 en cualquier extensi´on obtendremos

|a+b√2_|2 = |NQ2(√2)(a+b

√

2)_|1₂/2=_|a2_−2b2 _|1/2 2

= m´ax(_|a_|2,2−1/2 |b|2).

Esto quiere decir que para K =Q2(

√

2) se tiene

ZK ={a+b √

2 :a, b_∈Z2},

OK =_{a+b√2 :a_∈2Z2, b∈Z2}=

√

2ZK,

ZK/OK ∼=F2.

Por lo tanto eK = 2, fK = 1, y la extensi´on K es total y salvajemente ramificada.

Ejemplo 3.18. Consideremos el polinomiop(x) = x2_−2x+2∈Q

2[x], de Eisenstein,

con 1+i(i=√₋1) una ra´ız del polinomio. Para probar queQ2(1+i) es una extensi´on

de grado 2, basta comprobar que se tiene i _6∈ Q2. Por el absurdo, supongamos que

se tengai_∈Q2. Entonces ´esteianula al polinomiox2+ 1∈Q2[x]. Obligado se tiene

|i_|2= 1 ei ha de ser un entero 2-´adico. Al expandir se tendr´ai=a0+a12 +a222+

a323+· · · con ai ∈ {0,1}, y de esta manera obtenemos

i2 _{= a}2

V´ıa congruencias m´odulo 2 resulta a2

0 ≡ −1; con soluci´on a0 = 1. Al trabajar con

dicho valor y tomar congruencias m´odulo 23 _{tenemos 1 + (a}

1+a21)22 ≡ −1 (m´od23);

de ello resulta 1 + (a1+a21)2≡0 (m´od22), congruencia sin soluci´on cona1 en {0,1};

de este modo queda confirmado quei no pertenece aQ2. Por otro lado, en cualquier

extensi´on resulta obvio que i e ₋i son conjugados. Concluimos que se cumple

|i+ 1 _|Q2(i)=|NQ2(i)/Q(i+ 1)|

1/2

2 =|(1 +i)(1−i)| 1/2 2 =|2|

1/2

2 |= 2−1/2,

es decir _|i+ 1_|Q2(i) no pertenece al conjunto de valores de| · |2 en Q2. En general, para a, b_∈Q2 tendremos

|a+bi _|2 = |NQ2(i)(a+bi)|

1/2

2 =|a2 −b2 | 1/2 2

= m´ax(_|a_|2,|b|2).

En resumen, paraK =Q2(1 +i) se tiene

ZK ={a+bi :a, b∈Z2},

OK = (1 +i)ZK,

ZK/OK ∼=F2.

Por lo tanto eK = 2, fK = 1 implica que la extensi´on K es total y salvajemente

ramificada.

3.4.

Ra´ıces de la unidad en

Z

p

Una ra´ız de la unidad en Qp es, por supuesto, un valor ζ ∈ Qp que satisface

ζn _{= 1 para cierto n. Como se cumple nυ(ζ) = υ(1) = 0, se tiene υ(ζ) = 0 y}

necesariamente ζ es un valor en Zp invertible, es decir pertenece aZ×p. En particular

cada ra´ız n-´esima de la unidad tiene una buena reducci´on m´odulo p: as´ı tenemos ζ _∈Fp, dondeFp =Z/Op. Pondremosµ(K) para referirnos al conjunto de las ra´ıces

de la unidad en un cuerpo K.

El polinomio tp−1 _{−1 tiene p−1 ra´ıces distintas en el cuerpo F}

p: el lema de

Hensel implica entonces quexp−1_{−1 poseep−1 ra´ıces distintas enZ}×

p. Esto prueba

que el cuerpo Qp de n´umerosp-´adicos siempre contiene un subgrupo c´ıclico de orden

p₋1 bajo la secuencia de inclusiones

donde µp−1 denota el conjunto de ra´ıces p−1-´esimas de la unidad.

En un contexto m´as amplio puede darse como excepci´on que dos ra´ıcesn-´esimas de la unidad pertenezcan a la misma clase, fen´omeno que ser´a tratado m´as adelante.

Proposici´on 3.19. Si pes un n´umero primo impar, el grupo de ra´ıces de la unidad que pertenecen al cuerpo Qp es precisamente µp−1.

Demostraci´on. Como existe un homomorfismo biyectivo entre F∗

p y µp−1, vamos a

probar que tambi´en existe un homomorfismo biyectivo entreµ(Qp) yF∗p; de ese modo

habr´a un homomorfismo biyectivo entre µp−1 y µ(Qp), lo que concluir´a la prueba.

Consideremos el homomorfismo can´onico

ϕ : µ(Qp) → F∗p

ζ _7→ ζ.

Veamos que es biyectivo. Por el lema de Hensel sabemos que ϕ es sobreyectivo. Por otro lado, tomemos ζ _∈ µ(Qp) una ra´ız de la unidad de orden n. Entonces se tiene

ζ _∈ Z×

p y podemos asumir as´ı que se cumple ζ = 1 +pt ∈ Ker(ϕ) con t ∈ Zp. De

este modo se tendr´a

ζn = (1 +pt)n= 1,

y por lo tantonpt+

n 2

p2t2+. . .+pntn= 0. Al factorizarty simplificar pse logra

t(n+

n 2

pt+. . .+pn−1tn−1) = 0.

Esto muestra que se deber´a tener t = 0 (cuando p ∤ n) ´o p _| n. Para el segundo caso, reemplazamos ζ por ζp _{y n por} n

p, y efectuamos el mismo c´alculo. Si t 6= 0, hay dos posibilidades: o podemos proceder indefinidamente (lo cual es irreal) o bien podemos limitarnos a tratar el caso n=p. As´ı tenemos

t(p+

p 2

pt+. . .+pp−1tp−1) = 0, y como se tiene p_≥3, obtenemos

p+

p 2

pt+. . .+pp−1tp−1 =p+p2(. . .)₆= 0,

Cuando p es impar, p₋1 es par y de este modo ₋1 pertenece a µp−1. El n´

ume-ro ₋1 tiene una ra´ız cuadrada en Qp precisamente cuando (p−1)/2 es a´un par,

espec´ıficamente cuando cumple p_≡1m´od4, ello debido a que en tal caso tenemos

tp−1₋1 = (tp−41 −1)(t p−1

4 + 1)(t p−1

2 + 1)

en Fp[t]; esto es parte de la conocida reciprocidad cuadr´atica. Tenemos as´ı que se

cumple

√

−1_∈Qp si y s´olo sip≡1 m´od 4.

Por ejemploi=√₋1 puede ser encontrado enQ5,Q13, . . ., m´as no as´ı enQ7,Q11,

entre otros cuerpos.

Proposici´on 3.20. El grupo de ra´ıces de la unidad en el cuerpo Q2 es µ2 ={±1}.

Demostraci´on. Con la notaci´on

R =_{x_∈Q2 :xn = 1,para alg´unn∈N},

debemos demostrar que se cumple R = µ2. Claramente se tiene µ2 = {±1} ⊂ R.

Rec´ıprocamente, sea ζ _∈R. Entonces ζ = 1 + 2t_∈Z∗

2 con t∈Z2 implica

ζn = (1 + 2t)n= 1,

y por lo tanto tambi´en n2t+

n 2

22t2+. . .+ 2ntn = 0. Al factorizarty dividir entre 2 se logra

t(n+

n 2

2t+. . .+ 2n−1tn−1) = 0.

Esto muestra que se deber´a tener t = 0 (cuando 2 ∤ n) ´o 2 _| n. Para el segundo caso, reemplazamos ζ por ζ2 _{y n por} n

2, realizamos el mismo c´alculo y concluimos que se cumple t= 0 ´o 22 _{|n. Notamos que o bien se procede indefinidamente o bien}

caemos en t = 0. Finalmente nos concentramos en el caso n = 2. As´ı tenemos

(1 + 2t)2 _{= 1,}

Lema 3.21. Para η_∈Q∗

p, las siguientes propiedades son equivalentes:

i) η es una unidad (η _∈Z×

p),

ii) ηp−1 _{posee ra´ıces n-´esimas para infinitos valores de n.}

Demostraci´on. Si η es una unidad, entonces se tiene η _6≡ 0 (m´od pZp) y con ello

ηp−1 _{≡ 1 (m´od pZ}

p). Al hacer el cambio a = ηp−1 y considerar xn−a = 0 vemos

que esta ecuaci´on admite una ra´ız congruente a 1 m´odulo p; adem´as, cuando n es coprimo con p se cumple p′_{(1) =n6≡ 0 (m´od p), y el lema de Hensel es aplicable: la}

ecuaci´on posee soluci´on, y esto quiere decir que existeξ _∈Zp tal que ξn=a=ηp−1.

Rec´ıprocamente, siηp−1 _=yn

n, tenemos

(p₋1)v(η) = n_·v(yn),

y n divide a (p₋1)v(η). Si ello ocurre para infinitos valores den, se tiene v(η) = 0 y por lo tanto ζ es unidad.

3.5.

Extensiones cuadr´

aticas de

Q

p

Conseguir ra´ıces cuadradas en Qp se convierte en el problema de buscar ra´ıces

al polinomio f(x) =x2_{−a, donde a ∈Q}

p. Es m´as, si r∈Zp fuese la ra´ız cuadrada

de algui´en, entonces el valor v(a) = v(r2_{) = 2v(r) ser´a par. Si dividimos a por una}

potencia par adecuada de p, podemos conseguir v(a) = 0, lo que permite asumir a _∈ Z×

p. Como se tiene p′(r) = 2r 6≡ 0 (m´od p) para p primo impar, el lema de

Hensel es aplicable; el caso p= 2 debe ser tratado con cautela.

Recordemos que els´ımbolo de residuos cuadr´aticos de Legendre se define como

a p

=

(

+1 siaes un cuadrado m´odulop,

−1 siano es un cuadrado m´odulop.

Lema 3.22. Sea p un primo impar. Consideremos el polinomio f(x) = x2 _{−a ∈}

Zp[x]. Entonces

2. f(x) posee

a p

+ 1soluciones para a_6≡0 (m´od p); es decir, dos soluciones si

a es cuadrado m´odulo p y ninguna si no lo es.

Demostraci´on. Para la primera parte supongamos quef(x) =x2_{−a posea soluci´on}

en Qp: sea √a dicha soluci´on. Como se cumple a ≡ 0 (m´od p) adem´as de a 6≡

0 (m´od p2_{), tenemos}

p−1 =_|a_|p=|√a√a |p=|√a |p|√a |p=|√a |2p .

De ello obtenemos _| √a _|p=p−

1

2, lo cual es impensable. Para la segunda parte trabajemos de acuerdo con el valor

a p . Si a p

= 1, entonces existe un enteromsujeto aa _≡m2_{(m´od p), y como adem´as}

se tiene a _6≡ 0 (m´od p), necesariamente m2 _6≡ 0 (m´od p) implicam _6≡ 0 (m´od p). Al multiplicar por 2 esta ´ultima congruencia, como p es un primo impar, obtenemos f′

(m) = 2m_6≡ 0 (m´od p), y el lema de Hensel es aplicable. Por lo tanto existen dos soluciones (_±√a_∈Qp).

Si

a p

= ₋1, supongamos que x2 _{−a = 0 posea soluci´on, digamos m ∈ Q}

p.

As´ı tenemos

a_≡m2 _≡b2(m´od p),

para alg´un b entero con 0 < b < p, lo cual no es compatible con la definici´on del s´ımbolo.

Ahora toca decir algo acerca del grupo cociente Q∗

p/Q∗

2

p . Al poner x = {xu2 :

u_∈Q∗_p}, dos elementos x1 yx2 son ac´a equivalentes si y s´olo six1/x2 es el cuadrado

de un n´umero p-´adico.

Este grupo, por inocente que pretenda parecer, permite clasificar las extensiones cuadr´aticas en cuerpos de caracter´ıstica cero.

Lema 3.23. Se tiene Qp(√d1) =Qp(√d2) si y s´olo si d1 =d2 en

Q∗

p

Q∗2

p