Lógica Informática. Grupo 3. Curso 2005/06.

Dpto. de Ciencias de la Computacin e Inteligencia Artificial Universidad de Sevilla

L´

ogica Inform´

atica.

Ejercicios de L´ogica Proposicional.

Ejercicio 1.– Expresar mediante f´ormulas proposicionales las siguientes afimaciones. En cada caso ind´ıquese el significado que se asigna a las variables proposicionales (p, q, etc.) utilizadas.

1. Si el sol brilla hoy, entonces no brillar´a ma˜nana.

2. O Roberto tiene celos de Chari o no est´a de buen humor hoy. 3. Cuando la presi´on atmosf´erica baja, entonces llueve o nieva.

4. Si has le´ıdo los apuntes y has hecho los ejercicios, est´as preparado para el examen. En caso contrario, tienes un problema.

5. No habr´a cura para el c´ancer salvo que se determine su causa y se encuentre un nuevo medicamento. 6. Si Pablo se encontr´o con Chari ayer, entonces tomaron caf´e juntos o pasearon por el parque. 7. Juan duerme muchas horas y muy profundamente.

8. Mi hermana tiene un gato blanco y negro.

Ejercicio 2.– ¿Cu´al de las siguientes f´ormulas representa la proposici´on “Llegar´a en el tren de las 8:15

o en el de las 9:15, si llega en el primero, entonces tendr´a tiempo para visitarnos”?. Donde p expresa “Llegar´a en el tren de las 8:15”

q expresa “Llegar´a en el tren de las 9:15” r expresa “Tendr´a tiempo para visitarnos”

1. ¬p → q ∨ r 2. p ∨ q → r 3. (p → q) ∧ (p ∧ r) 4. p ∨ ¬q → r 5. (p ∨ q) ∧ (p → r)

Ejercicio 3.– ¿Cu´ales de las siguientes proposiciones tienen la forma (p ∧ q) → r? 1. Si no vas a la fiesta, entonces Chari, que ya est´a preparada, se enfadar´a contigo. 2. Haendel es un gran compositor y Vivaldi tambi´en.

3. Si la inflaci´on sube y hay elecciones cerca, entonces las pensiones suben.

4. Llegar´a en el tren de las 8:15 o en el de las 9:15, si llega en el primero, entonces tendr´a tiempo para visitarnos.

Ejercicio 4.– ¿Cu´ales de las siguientes proposiciones pueden escribirse como p ∨ (q ∧ r), para p, q y r adecuados?

1. Si la inflaci´on sube y hay elecciones cerca, entonces las pensiones suben. 2. Puedes nadar, o usar la sauna y la ducha.

3. Tienes que comprar pan, queso y vino.

4. Las plantas necesitan agua y alimento, pero no que les hablen. Ejercicio 5.– Determinar todas las subf´ormulas de:

(a) ((¬p ∨ q) ∨ (q ∨ r)) (b) (¬(¬(¬p ∨ p) ∨ p) ∨ q)

Ejercicio 6.– Eliminar todos los par´entesis posibles de las siguientes f´ormulas: (((p → q) ∨ r) → (p ∧ ¬p)) (¬(p ∧ q) → (q ∧ r)) ((p → (q ∧ r)) → (¬¬p ∧ q)) ¬((p ∧ p) ∧ (p ∧ p))

(((p ∨ q) ∨ (r ∨ s)) → ¬p) (p → ((q ↔ s) → p)) Ejercicio 7.– Escribir con par´entesis las siguientes f´ormulas:

p → q ↔ r ∨ s q → ¬p ∨ r ∨ s p ∨ q ↔ ¬r ∨ s q ∧ ¬q ∨ p → r

Ejercicio 8.– Dada una f´ormula proposicional A, sean s(A) el n´umero de estancias de variables proposi-cionales en A y b(A) el n´umero de estancias de la conectiva ∨ en A. Prueba que para toda f´ormula A se verifica que s(A) = b(A) + 1.

Ejercicio 9.– Prueba que existe una ´unica funci´on L que a cada f´ormula proposicional, A, le asocia un n´umero natural, L(A), como sigue:

L(p) = 1 si p ∈ V P . L(¬A) = L(A) + 1.

L((A ∨ B)) = L(A) + L(B) + 3.

¿Qu´e informaci´on nos proporciona L(A) sobre la f´ormula A?

Ejercicio 10.– Un rey somete a un prisionero a la siguiente prueba: lo enfrenta a tres puertas, de las que el prisionero debe elegir una, y entrar en la habitaci´on correspondiente. Se informa al prisionero que en dos de las habitaciones hay sendos tigres, y en la otra una dama. Como es natural, el prisionero debe elegir la puerta que le lleva a la dama (entre otras cosas, para no ser devorado por el tigre). Para ayudarle, en cada puerta hay un letrero:

• puerta 1: en esta habitaci´on hay un tigre • puerta 2: en esta habitaci´on est´a la dama • puerta 3: en esta habitaci´on est´a la dama

El prisionero se da cuenta inmediatamente de que los tres letreros no pueden ser verdaderos, y el rey le informa que al menos uno es falso. tras pensar unos minutos, el prisionero dice que, con todo, es imposible deducir l´ogicamente el resultado, pues la dama podr´ıa estar en cualquier habitaci´on. tras comprobar el rey que esto es cierto, le informa que al menos dos letreros son falsos. el prisionero pudo as´ı deducir la puerta correcta.

Se pide: Establecer una tabla para los valores de verdad de los tres letreros; en base a ella, justificar la historieta anterior, e indicar razonadamente la puerta que eligi´o el prisionero.

Ejercicio 11.– En una isla habitan dos tribus de nativos A y B. Todos los miembros de la tribu A siempre dicen la verdad, mientras que todos los que pertenecen a la tribu B siempre mienten. Llegamos a la citada isla y le preguntamos a un nativo si all´ı hay oro, a lo que nos responde:

“Hay oro en la isla si y s´olo si yo siempre digo la verdad”.

¿Hay oro en la isla? ¿Podemos determinar a qu´e tribu pertenece el nativo que nos respondi´o? Ejercicio 12.– Sea ◦ una nueva conectiva de aridad 3, cuya funci´on de verdad viene dada por:

p q r ◦(p, q, r) 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

1. Expresa la nueva conectiva en funci´on de ∨ y ¬.

2. ¿Es posible expresar las conectivas ∨, ∧, → y ¬ a partir de la nueva conectiva ◦? 3. Prop´on una expresi´on del lenguaje natural que describa el significado de la conectiva ◦.

Ejercicio 13.– En cada uno de los siguientes casos, determinar todas las valoraciones que validan la f´ormula correspondiente:

p → (p ∧ r) p → (p ∧ ¬p) → r p → (q → r ∧ q) (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ q) → ¬q Ejercicio 14.– Determina si los siguientes argumentos son l´ogicamente correctos:

1. Si Juan es comunista, entonces Juan es ateo. Juan es ateo. Por tanto, Juan es comunista.

2. Cuando tanto la temperatura como la presi´on atmosf´erica permanecen contantes, no llueve. La temperatura permanece constante. En consecuencia, en caso de que llueva, la presi´on atmosf´erica no permanece constante.

3. Siempre que un n´umero x es divisible por 10, acaba en 0. El n´umero x no acaba en 0. Luego, x no es divisible por 10.

4. Para que un n´umero x sea divisible por 5, es necesario que el n´umero acabe en 0. El n´umero x no acaba en 0. Luego, x no es divisible por 5.

5. El n´umero y es negativo si x es positivo. Cuando z es negativo, y tambi´en lo es. Por tanto, y es negativo siempre que o bien x sea positivo o bien z sea negativo.

6. En cierto experimento, cuando hemos empleado un f´armaco A, el paciente ha mejorado consider-ablemente en el caso, y s´olo en el caso, en que no se haya empleado tambi´en un f´armaco B. Adem´as, o se ha empleado el f´armaco A o se ha empleado el f´armaco B. En consecuencia, podemos afirmar que si no hemos empleado el f´armaco B, el paciente ha mejorado considerablemente.

Ejercicio 15.– Determinar cu´ales de las siguientes f´ormulas son consecuencia l´ogica de la f´ormula A ∧ B y cu´ales de A ∨ ¬B: A, ¬B → A, ¬A ∨ B, B → ¬A

Ejercicio 16.– Decidir cu´ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas:

{p ∨ q} |= p → r {p → q, q → p ∧ r} |= p → (p → q) → r {p ∧ ¬p} |= r → r ∨ q {p ∧ q ∧ r} |= r → ¬p

Deducci´on natural

Ejercicio 17.– Probar mediante deducci´on natural las siguientes conjeturas: a) φ ∧ ¬ψ ` ¬(φ → ψ)

b) p ∧ ¬q → r, ¬r, p ` q c) p ∨ (q ∨ r) ` (p ∨ q) ∨ r

Ejercicio 18.– Probar mediante deducci´on natural los siguientes teoremas: a) ` (q → r) → ((¬q → ¬p) → (p → r))

b) ` (p → q) → (¬q → ¬p)

Ejercicio 19.– Probar la correcci´on de las siguientes reglas: a) de la introducci´on de la disyunci´on; b) del Modus Tollens; c) de la introducci´on de la negaci´on.

Ejercicio 20.– Sabiendo que existe una prueba de longitud k de φ1, ..., φn ` ψ y que ψ se ha obtenido

finalmente mediante la regla de introducci´on de la conjunci´on, probar la correcci´on de la anterior conjetura (suponiendo, como hip´otesis de inducci´on, la correcci´on de las conjeturas con pruebas de longitudes menores que k).

Ejercicio 21.– Probar que ` p ∨ q → q no es un teorema en el sistema de deducci´on natural. Ejercicio 22.– Definir las reglas de introducci´on y eliminaci´on de la doble implicaci´on. Formas normales. Tableros sem´anticos

Ejercicio 23.– Determinar, usando formas normales conjuntivas y formas normales disyuntivas, cu´ales de las siguientes f´ormulas son taulog´ıas y cu´ales satisfactibles:

p → (p ∨ p), (p ↔ q) ∨ p, p → p → q → p, p → r ∨ q → r → r

Ejercicio 24.– Para cada uno de los siguientes pares de f´ormulas, decidir si son equivalentes: 1. A → B → C y A ∧ B → C

2. A → (B ∧ ¬C) y A → B → C 3. ¬(A ↔ B) y A ↔ ¬B

Ejercicio 25.– Probar las siguientes equivalencias: 1. A → B ≡ ¬B → ¬A

2. A → B ≡ ¬(A ∧ ¬B) 3. A ∧ B ≡ ¬(A → ¬B) 4. A ∧ (B → A) ≡ A

Ejercicio 26.– Para cada una de las siguientes f´ormulas proposicionales, obtener una f´ormula equivalente en forma normal disyuntiva y determinar todas las valoraciones que validan la f´ormula:

(p ↔ q) ∧ r, ((p ∧ q) ∨ r) ∧ (¬((p ∨ r) ∧ (q ∨ r))), ¬(p ∧ q ∧ r) ∨ ((p ∧ q) ∨ r)

¿Cu´ales de las f´ormulas anteriores son satisfactibles? ¿Y cu´ales son tautolog´ıas?

Ejercicio 27.– Usar el m´etodo de los tableros sem´anticos para decidir si las siguientes f´ormulas son tautolog´ıas o no:

(p → q) ↔ (p ↔ p ∧ q) (p → q) ↔ (q ↔ (q ∨ q)) p ↔ p ∨ p

(p ∧ q) ↔ ((p ↔ q) ↔ (p ∨ q)) (p ∧ q) ↔ p p → (p → ¬p)

Ejercicio 28.– ¿Es cierto, en general, que si una f´ormula A admite un tablero completo con todas las hojas abiertas, entonces A es una tautolog´ıa?

Ejercicio 29.– Utilizar el m´etodo de los tableros sem´anticos para decidir la validez de las afirmaciones del ejercicio 18.

Ejercicio 30.– Demostrar que la construcci´on del tablero modificada con el criterio de cerrar los nodos que contengan un par complementario de f´ormulas (no necesariamente literales) tambi´en proporciona un m´etodo de decisi´on adecuado y completo para decidir la satisfactibilidad.

Ejercicio 31.– Sea U = {p → (q ↔ r), r}. Decide, mediante tableros sem´anticos, si: 1. U |= r → (p ∧ q).

2. U |= (r ∧ p) → q.

3. U |= (s ∨ p) ∧ (s → q) → q.

Ejercicio 32.– Decide razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

1. Si existe un tablero completo cerrado con ra´ız la f´ormula proposicional A, entonces todo tablero completo para A es cerrado.

2. Si existe un tablero completo abierto con ra´ız la f´ormula proposicional A, entonces todo tablero completo para A es abierto.

3. Si A es una tautolog´ıa, entonces cualquier hoja de un tablero completo para la f´ormula A es abierta. 4. Si existe un tablero completo para A tal que todas sus hojas son abiertas, entonces la f´ormula A es

una tautolog´ıa.

5. Dos tableros completos para una misma f´ormula proposicional A siempre poseen el mismo n´umero de ramas.

Ejercicio 33.– Sean A, B, C y D f´ormulas proposicionales. Usando los teoremas de adecuaci´on y completitud para tableros sem´anticos, demuestra que:

1. Si cada uno de los siguientes conjuntos de f´ormulas U1 = {A, ¬B} y U2 = {B, ¬C} admite un

tablero completo cerrado, entonces la f´ormula ¬(A → C) admite un tablero completo cerrado. 2. Si cada uno de los conjuntos U1= {A, ¬B, ¬C}, U2= {B, ¬D} y U3= {C, ¬D} admite un tablero

completo cerrado, entonces la f´ormula ¬(A → D) admite un tablero completo cerrado. Resoluci´on Proposicional

Ejercicio 34.– Sea S un conjunto de cl´ausulas, y sean C1, C2∈ S tales que existe una interpretaci´on v

tal que v |= C1, C2. Probar que si C es una resolvente de C1 y C2, entonces C no es la cl´ausula vac´ıa.

Ejercicio 35.– Probar los siguientes hechos: 1. {{q, ¯r}, {r, s}{p, ¯s}} ` {p, q}

2. {{p, q, r}, {¯q}, {p, ¯r, s}{q, s}, {p, ¯s}} ` {p}

3. {{p, q, r, s}, {¯q, r, s}, {¯p, r, s}, {q, s}, {¯p, s}} ` {r, s}

4. {{p, q}, {¯p, ¯q, r, s}, {q, r, s}, {¯r}, {q}} ` {q, r, s}

Ejercicio 36.– Utilizando resoluci´on, determinar si los siguientes conjuntos de cl´ausulas son consistentes: 1. {{p, ¯q}, {p, q}, {¯p, ¯q}, {¯p, q}}

2. {{¯r}, {q}, {p, ¯q}, {¯p, r}}

3. {{p, q, r}, {¯p, q}, {¯q, r}{¯r}, {p, r}}

4. {{p}, {¯p, q}{r}}

Ejercicio 37.– Probar usando formas normales conjuntivas y resoluci´on que las siguientes f´ormulas son insatisfactibles:

• (p ↔ (q → r)) ∧ (p ↔ q) ∧ (p → ¬r) • ¬(((p → q) → ¬q) → ¬q)

Ejercicio 38.– Dar un ejemplo simple, que pruebe que la implicaci´on

S |= C =⇒ S ` C

puede ser falsa si C 6= 2 (siendo S un conjunto de cl´ausulas y C una cl´ausula).

Ejercicio 39.– Sean C1, C2 dos cl´ausulas tales que existe una interpretaci´on v verificando v |= C1, C2.

Probar que si C es una resolvente de C1 y C2, entonces C no es la cl´ausula vac´ıa.

¿Puede ser 2 una resolvente de {p, q} y {¬p, ¬q}?. Ejercicio 40.– Consid´erense las siguientes afirmaciones:

(1) {p → (q → r), r → q} |= r ↔ q (2) {p → q, q → (p ∧ q), p → r} |= q → r (a) Decidir mediante el m´etodo de los tableros sem´anticos si la afirmaci´on (1) es cierta o falsa. (b) Decidir por el m´etodo de resoluci´on la verdad o falsedad de las afirmaciones (1) y (2).

Ejercicio 41.– Sea S un conjunto de cl´ausulas y l un literal tal que lc _{no pertenece a ninguna de las}

cl´ausulas de S. Definamos Sl= {C ∈ S : l /∈ C}. Probar que:

S es consistente ⇐⇒ Sl es consistente.

Ejercicio 42.– Encontrar razonadamente un modelo del conjunto consistente

{(P ∨ Q) ∧ R, (P ∨ Q) ∧ (¬P ∨ Q) ∧ R, (P ∨ Q) ∧ ¬P }

Ejercicio 43.– Utilizando resoluci´on, determinar la consistencia de los conjuntos de cl´ausulas: (1) {p ∨ ¬q, p ∨ q, ¬p ∨ ¬q, ¬p ∨ q} (2) {¬r, q, p ∨ ¬q, ¬p ∨ r} (3) {p ∨ q ∨ r, ¬p ∨ q, ¬q ∨ r, ¬r, p ∨ r} (4) {p, ¬p ∨ q, r}

Ejercicio 44.– Utilizando resoluci´on (traduciendo previamente las f´ormulas a conjuntos de cl´ausulas), determinar:

(1) {p ∨ q} |= p → r

(2) {p → q, q → (p ∧ r)} |= p → ((p → q) → r) (3) {p ∧ ¬p} |= r → (r ∨ q)

(4) {p ∧ q ∧ r} |= r → ¬p

Ejercicio 45.– Utilizando resoluci´on, determinar: (1) {q ∨ ¬r, r ∨ s, p ∨ ¬s} |= p ∨ q

(2) {p ∨ q ∨ r, ¬q, p ∨ ¬r ∨ s, q ∨ s, p ∨ ¬s} |= p

(3) {p ∨ q ∨ r ∨ s, ¬q ∨ r ∨ s, ¬p ∨ r ∨ s, q ∨ s, ¬p ∨ s} |= r ∨ s (4) {p ∨ q, ¬p ∨ ¬q ∨ r ∨ s, q ∨ r ∨ s, ¬r, q} |= q ∨ r ∨ s (5) {¬p ∨ ¬q ∨ r, p ∨ r, q ∨ r} |= r

Ejercicio 46.– Demostrar, utilizando resoluci´on por entradas, la inconsistencia del conjunto de cl´ausulas:

{¬P ∨ ¬Q ∨ R, ¬S ∨ T, ¬T ∨ P, S, ¬S ∨ U, ¬U ∨ Q, ¬R}

Ejercicio 47.– Determinar la inconsistencia del conjunto

{¬A ∨ ¬B ∨ C, ¬A ∨ ¬G ∨ H, ¬A ∨ ¬H ∨ F, ¬G ∨ B, G, A, ¬F }

por resoluci´on lineal, positiva, negativa, por entradas y unidad. Ejercicio 48.– Determinar la inconsistencia del conjunto

{P ∨ Q, Q ∨ R, R ∨ W, ¬R ∨ ¬P, ¬W ∨ ¬Q, ¬Q ∨ ¬R}

por resoluci´on lineal, positiva y negativa. Ejercicio 49.– Comprobar que el conjunto

{P ∨ Q ∨ ¬R, ¬P ∨ ¬Q ∨ S, P ∨ R, Q ∨ R ∨ ¬S, R ∨ S, ¬Q}