Bifurcación y soluciones positivas para ciertos problemas de tipo unilateral

2 u i s i e r a comenzar dando l a s g r a c i a s a m i s d i r e c t o r e s de t r a b a

....

j o en P a r f s , J.L. Lions y H. Brbzis, por su ayuda, a s 2 como a P,A,- Raviart pdr 'su h o s p i t a l i d a d en e l Laboratoire dtAnalyse Numerique de l a Universidad Paris-VI.

Por o t r a p a r t e , quiero manifestar m i agradecimiento a J , A . Fer

-...

nandez Visa por iniciarme en e l e s t u d i o d e l a s d i s t r i b u c i o n e s y en

-

e l de 10s problemas de contorno con m6todos t'modernos", por su apoyo permanente, y po$ su amistad. Quisiera ademas manifestar m i reconocL miento a 10s profesores Dou, Garcla Velarde, Guzmgn y Valle por a c c z d e r a formar p a r t e d e l t r i b u n a l .

Esta tesis d o c t o r a l ha s i d o r e a l i z a d a mientras d i s f i u t a b a d e

--

una beca de investigaci6n de l a FundaciSn Juan March, a l a que de:;eo manifestar aqul m i agradecimiento.

Desearia mencionar igualmente a J.P. Dias, que ha aido e l p r i - mero en ocuparse de algunos de 10s problemas aqul aludidos, y con el.

que no he dejado de colaborar desde hace v a r i o s aAos.

Doy 1 a s g r a c i a s a P.H.Rabinowitz por algunas sugerencias muy

-

Gtiles y a J,P,Puel por mostrarme s u s r e s u l t a d o s no publicados, H e

-

t e n i d o tambi6n conversaciones provechosas con H, Amann, V,Benci, A.

Haraux, P.Hess, y A.Vignoli.

Por iiltirno, no q u i s i e r a que l a d i v i s i 6 n consagrada e n t r e tra

-

b a j o f l i n t e l e c t u a l " y tlmanualtl me impidiese agradecer a Isi Vdzquez su excelente labor de mecanografla y a I. Dlaz su a u x i l i o en l a co

-

rrecci6n.

I N D I C E

INTRODUCCION

CAPITULO I:

-

RESULTADOS DE DIFERENCIABSLIDAD 1,- Resfimen de 10s r e s u l t a d o s conocidos,

2,- Resultados en e l caso de derivadas l a t e r a l e s d i s t i n

-

t a s

.

^1.10

3 . - Aplicaciones a l a bifurcaci6n y a l a a l t e r n a t i v a de

Fredholm en ql caso de derivadas l a t e r a l e s d i s t i n t a s , 1.34

CAPITULO 11: SOLUCIONES POSITIVAS DE ALGUHOS PROBLEMAS

UNILATERALES 2 . 1

1.- Existencia y regularidad de l a s soluciones en e l ca-

s o general. 2.3

2.- Existencia de soluciones p o s i t i v a s no t r i v i a l e s pop e l mdtodo de l a s sub y supersoluciones,

3 , - Existencia de soluciones p o s i t i v a s no t r i v i a l e s por 10s mdtodos tfabstractos".

4.- Algunos r?esultados complementaries: unicidad.

CAPITULO 111; SOLUCXONES POSITIVAS DE UNA CLASE DE PRO-

.

BLEMAS NO LINEALES 1.- Resultados fundamentales,

2.- Propiedades d e l operador soluci6n.

BIBLIOGRAFIA

IMTRODUCC ION

La f f n a l i d a d p r i n c i p a l de e s t e t r a b a j o e s e l e s t u d i o de l a s soluciones p o s i t i v a s d e l problema de t i p 0 u n i l a t e r a l ( c f .

[lq

^y

El91 para todo l o que s e r e f i e r e a e s t a c l a s e de problemas)

donde SZ e s un a b i e r t o acotado de 1% N d e f r o n t e r a I' muy r e g u l a r ,

B

^{y y}

g r a f o s maximales monBtonos t a l e s que 0 e $(O), 0 e y(O), y

X

e s un p a r h e t r o r e a l f i j o , Otros problemas relacionados con e l ( 2 ) han

--

s i d o estudiados recientemente por v a r i o s a u t o r e s , e n t r e e l l o s e l

-

de e s t a t e s i s : 10s problemas de v a l o r e s propios han s i d o considera- dbs en

p7]

^{y [28]}

^,

^{l ~ o s de} bifurcaci6n ( o r d i n a r i a ) en [ll] y [29]

,

10s

de

bifurcacitjri a s i n t B t i c a e n [29] y [30], y l a a l t e r n a t i v a (no l i n e a l ) de Fredholm en [16] y [29]. En e s t a t e s i s hemos abordado

-

un problema d i s t j n r o de l o s a n t e r i o r e s e l de e s t u d i a r , para valo--.

r e s f i j o s d e l p a r i h e t r o X,la e x i s t e n c i a de soiuciones p o s i t i v a s nc t r i v i a l e a de (1).

Un caso muy p a r t i c u l a r d e l problenia (1) habla s i d o estudiado anteriormente en r e l a c i 6 n con l a di.116mica (no l i n e a l ) de r e a c t o r e s Se t r a t a d e l protlenia

I ? )

t

don& f : 2 3 R e s una funcibn que s a t i s f a c e c i e r t a s h i p e t e s i s . A l . - gunos resul.tados m a e l po'llcma ( 2 ) hcin s i d o obtenidos por Sattirt ..-.

g e r [45] [46] y 'irakgold-Payne [47]

,

c f

.

igualmente [22]

.

Otros r e

-

sul.tados para problemas sernejantes pueden encontrarse en [3], [ 6 ] , [8],

DO].

^{[21], [25],} [ 4 4 , [42] (consfiltense tambien l a s correspcri

--

d i e n t e s b i b l i o g r a f i a s ) , Algunos r e s u l t a d o s sobre l a g soluciones po-

.a'

s i t i v a s de c i e r t a s inecvaciones v a r i a c i o n a l e s han s i d o obtenidos r e

-

cientemente por Benci [l'l]. G I caplitulo 2 de e s t a t e s i s e s t d dedica

.-

d o a1 e s t u d ~ o d e l a s soluciones p o s i t i v a s no t r i v i a l e s de ( I ) , mien t r a s que e l caso p a r t i c u l a r ( 2 ) serd considerado en e l c a p f t u l o 3 .

@n l a obtenci6n de LOG r e s u l t a d o s d e l c a p i t u l o 2 desempefia :ln papel importante e l " o p e r a d ~ . ~ solucibnn P(o T) de un problema r e l a - - cionado con e l (I), operado?? que hablia s i d o igualmente u t i l i z a d o en l o s a r t l c ~ i o s c i t a d o s en e l primer pbrrafo.

E l cap5t-ulct I , que t:iene en c i e r t o rnodo un c a r d c t e r prelimi- nap, e s t % dedicado 3 l a exposici6n de algunos r e s u l f a d o s r e l a t i v o s a es+e oper~drsr P , En 1s secci6n 1 recordamos c i e r t a s propiedades ya conocidas de P , e s p e c i a l ~ b n t e 3.as clile se r e f i e r e n a su d i f e r e n c i a b i l i d a d en e l origeo [11] y eft e l i n f i n i t o [29]. En l a secci6n 2 exterh demos e s t o s resttltados a 1 r:aso m G s general en que 10s g r a f o s consida rados pos'eri dar. .ivadas 1 a t . e r ~ a l . e ~ d i f e r e n t e s ; l a d i f e r e n c i a mas impox,

--

t a n t e con r e s p e c t o a 1 a n t e r i o r e s l a de que ahora l a " d e r i ~ a d a ~ ' no e s un operador l i n e a l , s i n 0 s o l o positivamente homoggneo. Por C l t i

-

mo, en l a seccidn 3 mostramos e l i n t e r & de e s t o s r e s u l t a d o s nuevos dando algunas a p l i c a c i o n e s a l a bifurcacibn, a l a a l t e r n a t i v a de

-

.I

Fredholm, y a l a r e s o l u b i l i d a d l o c a l de ( I ) , obteniendo de e s t e mo

-

do r e s u l t a d o s que no podian s e r deducidos de 10s de [ll], [29] o

En e l c a p i t u l o 2 estudiamos, como ya hemos indicado, l a e x i s

...

t e n c i a de soluciones p o s i t i v a s de (1). S i 0 e B(O) y 0 e y ( 0 ) e s

-

8'

evidente que (1) posee l a solucidn t r i v i a l u I 0 para todo v a l o r

-

de2 parametro A . Se t r a t a pues de e s t u d i a r l a e x i s t e n c i a de s o l u c i o

-

nes p o s i t i v a s no t r i v i a l e s de ( 1 ) . En l a secci6n 1 utilizamos un m&

-

todo i t e r a t i v o d e l mismo t i p o que 10s bien conocidos de Amann [3]

-

[7J, Cohen C22], Sattinger. [45] [46], e t c . Para s e r

mas

p r e c i s o s ,

-

empleamos una v a r i a n t e adaptada a nuestro caso d e l mgtodo d e [41] .- para mostrar que s i u e s una subsoluciiin ₀ y v una supersoluciBn ₀

-

de (1

1

t a l e s que uo 6 vo, entonces e x i s t e a 1 menos una soluci6n u tai que u O & u C vO. Demostramos igualmente un r e s u l t a d o d e r e g u l a r i d a d , que nos d i c e en p a r t i c u l a r que toda soluciiin de (1) e s continua. Pe

-

r o e l r e s u l t a d o de e x i s t e n c i a a n t e r i o r no b a s t a para asegurarnos l a e x i s t e n c i a de soluciones p o s i t i v a s no t r i v i a l e s s i 0 e B(O) y 0 e

e ~ ( 0 ) ; en l a secci6n 2 mostramos que s i 10s g r a f o s y y s a t i s f a - - cen c i e r t a s h i p d t e s i s de "diferenciabilidad", entonces e x i s t e n una subsolucidn u y una supersolucidn 0 v 0 t a l e s que 0 < uo < vo, l o que implica obviamente l a e x i s t e n c i a de a 1 menos una solucibn p o s i t i v a no t r i v i a l . Los r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s generalizan 10s c i t a d o s de

-

Sat t j rtger y ~ t a k g o l d -Payne

.

Para l o a n t e r i o r e s necesario que l a s derivadas de 8 y y s a

-

isf fag an c i e r t a s desigualdades ( l a s (2.28)

-

^{(2.33) ).} En l a seccidn 3 mostramos que sigue habiendo a1 menos una soluciSn p o s i t i v a no

-

t r i v i a 1 de ( 3 ) en e l caso de que, aunque l a s (2.28)

-

(2.33) no s e verifiquen, s i s e tengan e s t a s mismas desigualdades en s e n t i d o con

-

t r a r i o . Para obtener e s t o s r e s u l t a d o s empleamos algunos teopemas

-

Rabstractoslf de Krasnoselski [35] y Amann [4] r e l a t i v o s

I

a 10s pun-

t o s f i j o s de c i e r t a s a p l i c a c i o n e s e n t r e espacios de Banach ordena- dos, l o que nos proporciona ademgs una nueva demostracidn de 10s

-

teoremas de l a s ? ~ c i b n . a n t e r i o r . Hagamos no%w que, con-bariamente

a l o que sucede con 10s m6todos de l a seccitjn 2, 10s usados en Q s t a ? ~ c son c o n s t r u c t i v o s , puesto que 10s r e s u l t a d o s de [35] que empleamos

s e apoyan en l a t e o r i a d e l p a d o topoldgico, y 10s de [4] en e l Sn

-

d i c e de 10s puntos f i j o s de Nussbaum [39]. En e s t a seccidn s e ob-- t i e n e n igualmente algunos r e s u l t a d o s de bifurcacidn para l a s solu- ciones p o s i t i v a s , Finalmente, en l a seccian 4 se demuestran algunos r e s u l t a d o s complementaries de 10s a n t e r i o r e s , en p a r t i c u l a r un teo- rema de unicidad ba$o h i p i j t e s i s adiciona,les sobre f3 y y, que gene-

~ a l i z a tambign 10s de [467 y [47].

En e l c a p f t u l o 3 estudiamos e l caso p a r t i c u l a r ( 2 ) d e l pro- blema general (I), haciendo d i s t i n t a s h i p B t e s i s sobre la funcidn f . E l m$i-orto que empleamos ahora, sugerido por Rabinowitz, e s totalmen

-

t e d i a t i n t o de 10s d e l c a p i t u l o a n t e r i o r , y s e basa en e l uso de

-

un teorema de inversidn l o c a l 2

,

^{[25] 1,} e l teorema de funcionea implT.c.itas y un argument0 de prolongacidn ( c f . [43]). De e s t e mod0

obtenemos, ademds de una nueva demostraciijn de 10s r r s u l t a d o s ya co

-

L

n ~ c i d ~ s en e l caso t r a t a d o por S a t t i n g e r y Stakgold-Payne, o t r o s r e

-

s u l t a d o s nuevos, como por ejemplo 10s r e f e r e n t e s a l a d e r i v a b i l i d a d /

de l a i?ma de soluciones obtenida considerada como funciijn d e l pard _,

-

metro

A.

Hemos d i s t i n g u i d o fundamentalmente dos casos d i f e r e n t e s , se- gCrn que f , adem3s de s a t i s f a c e r o t r a s h i p e t e s i s , sea convexa o c8n- cava. En e l primero, que comprende como caso p a r t i c u l a r e l t r a t a d o en [45]-1471, demostramos que para todo

1

en un i n t e r v a l o que puede

**

no s e r acotado (en e l caso c i t a d o ) o acotado, e x i s t e una Gnica s o l 2 c i d n p o s i t i v a no t r i v i a l de ( 2 ) , obteniendo igualmente r e s u l t a d a s

-

de bifurcacidn para l a s soluciones p o s i t i v a s , En e l segundo caso

-

(f c6ncava) e s necesario hacer una h i p b t e s i s a d i c i o n a l , d e l mismo

-

t i p o de l a hecha en [lq y

[B],

para demostrar l a unicidad. Una vez hecho e s t o , r e s u l t a f g c i l obtener uh r e s u l t a d o muy s i m i l a r a 1 d e l

-

caso a n t e r i o r .

Finalmente, digamos que s i f e s cdncava y l a mencionada hip&, t e s i s a d i c i o n a l no e s v e r i f i c a d a , entonces, aunque e s p o s i b l e obte- ner al@n r e s u l t a d o p a r c i a l , e l problema no r e s u l t a fscilmente abor

-

dable, puesto que parece sumamente probable que para c i e r t o s valo-- r e s d e l parametro

X

haya v a r i a s soluciones p o s i t i v a s no t r i v i a l e s , l o que complicarga considerablemente e l estudio.

Todas e s t a s cuestiones han s i d o d e s a r r o l l a d a s en l a seccidn 1

CAPITULO I

RESULTADOS DE DIFERENCIABILIDAD

% - - RESUMEN DE LOS RESULTADOS CONOCIDOS

Sea Q un ccmjunto abierto y acotado de 1 N (N 3 2 ) , cuya fron

....

tera I'

=

2SZ es muy regular, En todo lo que sigue haremos siempre la hip6tesis de que I' es tan regular como sea necesario.

8'

Utilizando las notaciones habituales

,

designaremos par L ~ ( Q 1 (1 c ^p < W ) el espacio de las funciones de potenoia p-bsima inte-- p b l e en G g par

wk

'P( Q)

,

^k entero positivo

,

10s espacios de Sobo- lev asociados, y emplearemos la notacidn

I I I I X

para la nomna en el

k zJ(

espacio normado X. Escribiremos lgualmente

H

(0)

= ^W

(Q) y, solamen

-.

te en este cap2tul0,

H =

L 2 (0) y

1 I I I

=

1 1 1 1

^L2(0). Consideraremos tambign lo^ espacios 'L~( l" ) para la medida superficial sobre _I'

,

^as2

como 10s espacios de Sobolev correspondientes w ~ ~ ~ ( I ' ) y

H

k

( r ) .

^Para

todo lo que se ref iere a estos espacios cf

. ^,

^{e .g}

. ^[I] .

Consideraremos ademas el espacio C(Q) de las Eunciones conti

-

nuas en con la norma habitual

1

^lul

l o

= sup Iu(x)I.

xen

c k ( a ) s e r d ahora e l espacio de l a s funciones d e f i n i d a s y continuas en y tales que todas l a s derivadas de orden g k ex'isten y son u n i

-

fomemente continuas en 51 ( i . e . , pueden extenderse a funciones con- t i n u a s en

s).

^{En C} k ^{(L? )} consideraremos l a norma

J

Sea ^{0 <} a < 1, definiremos entonces c ~ ' ~ ( Q ) como e l subespa- c i o de C k (B) formado por l a s funciones que son hblderianas de expo- nente a , e s d e c i r

a.

siendo

HkYo(u) = sup I ~ * u ( y )

-

^D*U(X)

I

lal=k

I Y - XI*

Finalmentr, diremos que I' e s de c l a s e

ekaa

^si admite una para -.

k ,a metrizaci6n l o c a l mediante funciones de c l a s e C ,

Hagamos n o t a r para terminar que todas l a s funciones conside- radas son r e a l e s y que todos 10s espacios de funciones que hemos

-

mencionado son espacios de Banach para l a s normas correspondientes.

Vamos ahora a recordar muy brevemente a.lgunas definicione's

-

bien conocidas. S i teneqlos un operador multZvoco (un grafo) a : P -t

+ 2 decimos que e l conjunto D(a) = ^{{ X e} P

1

^{a ( z ) # 4 )} e s e l domi- n i o de a , Decimos igualmente que a e s monStono s i se t i e n e

---

(wl-w,ut-u) 5 0 para todo par u,ul e

P,

todo w e a ( ~ ) y todo w1 e e a ( u f ) , donde (

,

⁾ designa e l producta e s c a l a r h a b i t u a l . Decimos

a.

que ci es maximal monlitono si ar e s maximal para e l orden inducido

-

por l a inclusiijn de grafos. Cf. [20] para todo l o relacionado con estas cuestiones.

Pasamos ahora a d a r l a s d e f i n i c i o n e s da derivada de un. grafo en e l origen y "en e l i n f i n i t o n .

Definition 1.1: Sea un g r a f o a : Ig---+ 2 t a l que BI 0 e a ( 0 ) .

-

Diremos que a e s derivable a l a derecha en e l origen con derivada

-

f i n i t a a f ( 0 )

+

= a t < i- s i ppara todo ^E > 0 e x i s t e f E > 0 t a l que s i y e D(a), O 6 y < 6E s e t i e n e

para todo z e aCy). S i a e s mon6tono s e t e n d r s atCO) a 0.

De manera angloga s e d e f i n i r d l a derivada ( f i n i t a ) a l a iz-- quierda en e l origen, que designaremos pbr a l ( 0 ) .

-

DefiniciSn 1 . 2 : Sea cc : I%--+ 2 I% t a l que 0 e a ( 0 ) , diremos

-

que o e s derivable a l a derecha en e l origen con derivada i n f i n i t a . a;(O) = ^-PJ s i para todo ^E > 0 e x i s t e 6 € > 0 t a l que s i y ^e D(a),

-

0 ^$ y c 6 8e t i e n e

&

*.

para todo z e a ( y ) .

An3logamente definirlamos l a derivada ( i n f i n i t a ) a l a i z q u i e r

-

da en e l orPgen, designandola por a T ( 0 )

-

^{= t...}

DefiniciSn 1.3: Sea o : 1 + 2 1 t a l que D(a) contenga 1' = {xeR

/

1

^{x % 0).} Decimos que a e s derivable a l a derecha en e l i n f i n i t o eon derivada a:(=) = a ' c i- s i para t o d ~ E > 0 e x i s t e RE > 0 t a l que s i y e D(a), y x R E se t i e n e

para todo z e a ( y ) . S i a e s mondtono s e tendrP a;(m) 2 0..

Del mismo mod0 s e defiriirza l a derivada ( f i n i t a ) a l a izquier.

da en e l infinite, que designaremos por a t ( @ ) .

-

Def i n i c i d n 1 . 4

-

^{: Sea a : 1 -+ 2}

'

t a l que D(a ) contenga 'X

.

^{D e -}

cimos que a e s d e r i v a b l e a l a derecha en e l i n f i n i t o con derivada i n

-

f i n i t a a;(-) = ^t.. s i para todo M z 0 e x i s t e

%

^{> 0 t a l} que s i y e ~ ( a i , y 3 RM Se t i e n e

,

para todo z e a ( y ) .

Del mismo modo s e d e f i n i r l a l a derivada ( i n f i n i t a ) a l a izquie?

-

8'

da en e l i n f l n i t o , que designaremos por a t , ( = )

-

^{= ~ a , .}

Definicidn 1.5: Sea a : 1 + 2' t a l que 0 a @(Of. Diremos que a e s derivable en e l origen con derivada f i n i t a a l ( 0 ) = a ' < lao s i q e s derivable (con derivadas f i n i t a s ) a l a derecha y a l a izquierda en ei origen con a;(O) = aL(0) = a t .

Def i n i c i d n 1.6: Sea a : 1 + 2' t a l que 0 e a ( 0). Diremos que

-

e s derivable ern e l origen con derivada i n f i n i t a a t ( 0 ) = ^t" s i a e s

-

d e r i v a b l e (con derivadas i n f i n i t a s ) a l a derecha y a l a izquierda en e l origen ( i . e , , w:IO) = aA(O) = +).

Def ini.ci6n 1 7 : Sea a : 1 -+ '2 t a l que D(a) 3 l f o bien D(a) 3

-

^{,'llI Diremos} que a e s derivable enel i n f i n i t o con derivada f i n i t a .~

a f ( m )

=

a ' i f w s i u e s derivable a l a derecha y a l a izquierda en e . ~ i n f i n j t o con ~ l ( m ) = a1(w)

-

^{= a t .}

Ig

+

DefiniciBn 1.8: Sea cr : E--+ 2 t a l que D(a) 3=,P o bien D(cr)=

3 -E

+ .

Diremos que cr e s d e r i v a b l e en e l i n f i n i t o con derivada i n f i n i -

t a a'(=) = ^{t03 s i} a e s d e r i v a b l e a l a derecha y a l a izquierda en e l

-

i n f i n i t o coq crt(w) = a t ( - )

-

^{= 9.}

Nota 1.1: Las d e f i n i c i o n e s 1.5 y 1.6 son equivalences a l a s de Beirao da Veiga [11] y l a s 1.7 y 1.8 a l a s de Dias-HernSndez [29]

. ^-

Las 1.1

-

^1,4 son u t i l i z a d a s aqul por primera vez.

Por o t r a d a r t e , Sean f3 y y dos g r a f o s maximales mon6tonos veri. -.

ficando 0 e ^{f3(0)* 0} e y(0). Sabemos entonces que, segGn un r e s u l t a d o de H. Brgzis [18, Coroll, 131, papa todo u e H e x i s t e una finica fun-- ci6n Pu e H 2 (Q) t a l que

a

r e p r e s e n t a l a derivada en e l s e n t i d o de l a normal e x t e r i o r donde

- _an

E s evidente, en v i r t u d de l a unicidad, que PO = ^0. Puede demos

-

t r a r s e ademPs (cf

. ^,

^{e .g.}

^,

¹ que para u , v a H s e t i e n e

y por t a n t o

I

^Ipul

I

^{I 4}

l

^{l u l l}

H (Sb)

*

Esto quiere d e c i r , en p a r t i c u l a r , que e l operador P : H-+ H a s % definido e s continuo y compacto ( i , e . , s i B es acotado en H,

-

P(B) e s relativamente compacto) en v i r t u d de l a compacidad de l a i n

-

yecci6n de H 3. ( Q ) en H. Por t a n t o P es completamente continuo, i.e., continuo y compacto.. Ademifs, como P e s maximal monStono ( c f . , e.g.,

[27] ), r e s u l t a que P es tambi6n fuertemente continuo, en e l s e n t i d o

.I

de que s i u,-' u (indicamos a s 2 l a convergencia d b b i l ) en H, enton- c e s P u n + Pu (corivergencia f u e r t e en H.

Se t i e n e ademds ( c f . [111)

donde c i n d i c a (como en e l r e s t o de e s t e capltuko) una constante

-

cualquiera gue depende Gnicamente d e Q, N, $ y y,

Con respecto a l a d e r i v a b i l i d a d en e l origen d e l operador P, B e i ~ a c r da Veiga [11, Th. I] ha demostrado 10s r e s u l t a d o s s i g u i e n t e s :

Teorema 1.1: Si y e s derivable en e l origen con y f ( 0 ) = ^{W ,} entonces P : H -t H e s d i f e r e n c i a b l e en e l s e n t i d o de Frdchet en e l origen y s e t i e n e Pt(0) = 0.

Teorema 1.2: S i & y y son derivables en e l rig en con ~'(0) =

= +x, y yf(0) ⁴ - b y entonces P es diferenciable-Frbchet en e l origen con Pt(0)

=

^Ao, donde .A : H + H es e l operador l i n e a l d e f i n i d o para u e H como I,a s o l ~ ~ c i i i n tinica Aou d e l p r o b l e m l i n e a l

Teorema 1..3: S i & y y son d e r i v a b l e s en e l origen con &'(0) <

< +x, y ~ ' ( 0 ) < -ha, entonces P es diferenciable-Frgchet en e l origen con Pf(0) = Bo, donde Bo e s t d d e f i n i d o por

Mota 1.2: Con respecto a e s t o s r e s u l t a d o s , vgase C29, Remarque 1.3) a s i coma [1!2].

Resultados andlogos con respecto a l a derivabilidad en e l in- finite de P han s i d o obtenidos en p 9 ] . Antes de enunciar e s t o s re-- suftados recordernos que, si X e Y son dos espacios de Banach, s e d i - ce que un opeFadol? R : X -t Y e s derivable en e l i n f i n i t o o a s i n t 6 t i - camente l i n e a l ( c f

.

^{[35] ) s i} e x i s t e un operador l i n e a l continuo

-

A : X -, Y t a l que

Decimos entonces que A e s l a derivada en e l i n f i n i t o ( o a s i n - t b t i c a ) de

k,

y escribir~emos R t b ) = A. E.s bien sabido (cf., e . g , ,

1351 ) que s i R e s completaneinte continuo, entonces A e s un operador l i n e a l , completamente continuo.

Se t i e n e n entonces 10s r e s u l t a d o s s i g u i e n t e s :

Teorema 1-4:

..

S i y e s derivable en e l i n f i n i t o con y ^'(c~ )

=

^$00,

entonces P : H -+ H e s derivable en e l i n f i n i t o con Pt(w) = 0.

Teorema 1.5: S i f3 y y son d e r i v a b l e s en e l i n f i n i t o con d e r i - vadas $'(w)

=

^{-t41 y} yf(m) < $00, y s i y e s acotado ( i . e . , s i l a imagen por y de un conjunto acotado e s t d acotada), en-tonces P e s derivable en e l inf i n i t o con Y (m ) = A_

,

donde A- : 'H += H e s e l operador li-- n e a l definido por:

Tearema 1 . 6 : S i f3 y y son d e r i v a b l e s en e l i n f i n i t o con f.3 (m

< ~ O O y y ' ( - ) < t " ~ , y s i f3 y y son acotados, entonces P e s derivable en e l i n f i n i t o con Py(m) = Bm, donde BOD e s t d definido por

2.- RESULTADOS EN EL CASO DE DERIVADAS LATERALES DISTINTAS

Tal y como hemos dicho anteriormente e s t a secci6n e s t d dedi- cada a l a demostraci6n de 10s r e s u l t a d o s relatives a l a diferencia-

8'

b i l i d a d de P en 10s casos en que Las derivadas l a t e r a l e s a l a dere- cha y a l a izquierda son d i s t i n t a s . Las demostraciones s e hacen de un modo semejante a1 de [11] y r291, aunque l i g e r m e n t e mas compli- cado. Usaremos para el10 10s mismos lemas a u x i l i a r e s que se emplean en 10s a r t f c u l o s c i t a d o s , de 10s que omitiremos l a demostraci6n ( l a de 10s lemas 1.1

-

^{1 :4.} s e encuentra en C11] y l a de 10s 1 . 5 y 1.6

-

en [29] )

.

Sefi8lemos que l a s demostraciones que damos mSs abajo son vS- l i d a s p a r a N ?: 3 , E l caso N = 2 podrfa t r a t a r s e d s fdcilmente de

-

un mod0 andlogo g r a c i a s a 1 teorema de inmersi6n de Sobolev.

Lema 1.1: Sea ct un grafo derivable en e l origen con a t ( 0 ) = 0 , v, w e ItP(r) con p > q 2 $, 4 x 1 e D(a) c.t.p. en

r

^{y w(x)} e a ( v ( x ) ) c . t , p , en I', entoncas

En p a r t i c u l a r , si v, w e H'/~(I'), se t i m e

con p = ^2(N-1) _N-2

'

Lema 1 . 2 : Sea a un grafo tal que ccf(0) = P, v e L ~ ( T ) , p>q?1, w e L ~ ( I ' ) y v(x)"e ~ ( a ) , w(x) e ot(v(x)) c . t . p , en

r ,

^Entonces

En p a r t i c u l a r , s i v e H ~(

r

/^{) se} ~ t i e n e

con p como en e l Lema 1.1,

Lema 1.3: Sea u un grafo t a l que a f ( 0 ) = 0 y sea q < 2. Si v,w s L'(Q), V ( X ) e ~ ( a ) y w(x) e a ( v ( x ) ) c.t.p. en 9, entonces

Lema 1.4.: Sea a un grafo t a l que (~'(0) = ^-I-. ~i v e LP{Q),

--

p > 2 , w e L 2

( a ) ,

^v(x) e ~ ( a ) y w(x) e a(v(x)) c.t.p. de Q, entonces

Lema 1.5: Sea a un g r a f o t a l que a t ( - ) = ^-PJ, s i ^{V, h} e L Z

( a ) ,

V(X) e D(a) y h(x) e a(v(x)) c.t.p. de Q, entonces, para todo M > 0 e x i s t e

%

^{> 0} t a l que

Lema 1.6: Sea a un g r a f o acbtado t a l que a t ( - ) = ^0, s i ^v,h e e L (Q), 2 V(X) e D(a) y h(x) e a(v(x)) c . t .p. de G, entonces, para

-

todo E > 0 e x i s t e CE > 0 t a l qua

Despuds de todos e s t o s preliminares podemos pasar ya a 1 enun- ciado y l a demostraei6n de nuestros r e s u l t a d o s .

Teorema 1.7; Sean $ y y g r a f o s maximales monStonos t a l e s que

~'(0)

=

$', f3;(0)

= ,

^yL(0)

=

y i , y y;(O) =

.

Se t i a n e entonces

siendo B : H * H e l operador d e f i n i d o para u e H por

donde y

7

^son 10s g r a f o s maximales mondtonos definidos de l a mane- ra s i g u i e n t e :

Nota 1.3: A 1 s e r y

7

maximales moniitonos

,

e l operador B es- t b bien definido como consecuencia d e l r e s u l t a d o de Brgzis c i t a d o an- teriormente, B e s positivamente homogdneo, puesto que y

y

^{l o son,}

pero no e s l i n e a l en general. A pesar de e s t o , y para no complicar l a notaciiSn,escribiremos en e l r e s t o de e s t e capS-tulo P1(0) = B; e t c .

DemostraciBn d e l Teorema 1.7: De acuerdo con l o dicho tendre- mos :

y tambibn

(1.30) -4% ^t z i Bu = u

**

con w e y(I)u) y z e

y(~tl),

Sefialemos que s e t i e n e Bu(x) s ⁰ c a t , x r.

A p a r t i r de (1 _{2 8 )} y (1.30) s e t i e n e

S i multiplicamos ( 1 . 3 2 ) por (Pu

-

^{Bu) e} integramos sobre S2 u t i l i z a n d o 1.a fiirmula de. Green, r e s u f t a

l o que nos da

La i n t e g r a l sobre

r

puede descomponerse en l a forma

donde

Tendremos ahora

-

(Pu-Bu) dl" 6

-Ir+

^{Pu dl"}

teniendo en cuenta que sobrle

rt

sr t i e n e Bu f 0 y

-

apu _an ^{< O (pop (1.29),} s i I'

+

e s no vacf o )

,

^{( 1 31 )}

,

^y l a mon6ton2a de

p,

Resulta pues

Si x e f 4- ^!it ti.ertc I%(x) > 0, luego

donde

Pero ~%e:su.t t i i q t ~ e % Fi. t i e n e derivada i n f i n i t a en e l origen, y

4

+

se puede ap1isa.t. P I !.$enla J. 2 con ^a = ¹⁵

,

^{I' en vez de I'} ( l o que es La (1.21) nos da enton- perfectamente S j . c k t ( > ) , ^:& Pu y w =

- -

_{an '}

y se t i e n e pues

resultando f inaltoen +ct

Para l a integral. sobre I'- podemos e s c r i b i r

y l a segunda i n t e g r a l es aegativa a causa de (1.31) y de l a monotonSia

9

de

F.

Tenemos pop t a n t o

Razonando conto a n t e s tendremos que s i x e l'-, entonces

donde

Pero e l grlafo a = 8-

-

B t t i e n e derivada 0 en e l origen y pue- de a p l J c a r s e e l Lerrta 1 1, eon a = 8-

-

^{f 3 ' ,} l"" en vez de l', v = ^Pu, y

La (1.19) s e escrtibe en este caso

teniendo en cuenta (1.91,

Llegamos a s l a

Vamos ahora a obtener una acotacibn d e l mismo t i p o para l a i n

-

tegral sobre S6 que aparece e n (1.33): De manera analogs a 1 caso a n t e

-

r i o r escribiremos

con

P a r a l a i n t e g r a l sobre '25 tenemos

ya que v 2;0 y Pu-Bu ^{1 0} en

at,

z e ~ ( B u ) y

7

e s mon6tono. Resulta pues

ya que en v i r t u d de (1.30) y (1.9) s e t i e n e

S i x a

, ' a

entonces Pu(x) > 0 y s e t i e n e

con yt dafinido como a n t e s . Pero r e s u l t a que t i e n e derivada i n f i -

+ t

n i t a en e l origen y puede a p l i c a r s e e l Lema ^1.4 con a = y

,

^{52 en}

-

vez de

n,

v = Pu, y w = w, obtenidndose

y por t a n t o

l o que nos da finalmente

Nos queda pop estimar l a i n t e g r a l sobre ^S2-. Tenemos en e s t e caso

puesto que z e ~ ( B u ) y

7

e s moniitono

.

^En v i r t u d de l a desigualdad de Halder y por t e n e r s e l a inrnersi6n

r e s u l t a

donde q

= A.

P-1

Igual que a n t e s , si x e $2- s e t i e n e Pu(x). c 0 y por consiguieft

y como e l g r a f o y f

-

^y- t i e n e derivada 0 en e l origen podemos a p l i -

- ⁺

car el Lema 1.3 con a

=

y 1

-

^y

^,

^{Sl en vez de 52, v = Pu, y w = ytPri-w,}

l o que nos da

q-2

-

²

-

²

I lr'pu-wl l ^s € 1

^IpuI

1

^+C 2 ⁽

( I P U ~

lq+I Iytpu-wl

Iq)

L ~ (

ra'

^{L ~ (}

6)

y. entonces

obtenigndose finalmente

Una vez obtenidas l a s estimaciones (1.34), (1.35), (1.36) y

-

(1.37), l a demostraci8n s e termina como en .[11] y [29] ,

Nota 1.4: ,Los grafos a f y a- definidos a p a r t i r d e l g r a f o a

-

en l a demostraci8n a n t e r i o r no deben s e r confundidos con l a s seccio.- nas ffsuperior'T at e "inferior" a- de a d e f i n i d a s por H. Brdzis en

-

[la]

y que apareceran rnls adelante.

Teorema 1.8: Sea

B

y y grafos maximales mon6tonos t a l e s que

-

'(0) = yl, y;(O) = ^y2. Se t i e n e entonces

-

s'-(O) = fils fi;(O) = ^{f i 2 3} Y-

P f ( 0 ) = C, siendo C : H -t H e l operador d e f i n i d o por

donde y estgn definidos por

DemostraciQn; Razonando como a1 principio de la demostraci6n deltaorema anterior, con (1.38) y (1.39) en vez de (1.30) y (1.31) obtenemos

Para la integral sobre I' tendremos

Se tiene entonces que

y como or =

-p+T

t i e n e derivada 0 en e l origen puede a p l i c a r s e e l Le- a p ~

ma 1.1. con a =

-s+F,

^{v = Pu,} w =

- ⁺

^{F(Pu), y} l a (1.19) nos da an

r)'

puesto que

li

Resulta as5 que finalmente

Nos queda por estimar l a i n t e g r a l sobre Q para l a que tenemos

a causa de l a monotonla de

7.

Utilizando ahora l a desigualdad de Holder cop p y q elegidos como en e l teorema a n t e r i o r r e s u l t a

y como

- -

puede aplicarse e l Lema 1.3. con b = ^{y F y,} v = Pu y w = y(Pu)-w,

-

ya que

-

^y t i e n e derivada 0 en e l origen, l o que nos permife obte

-

ner

Pero como se tiene

r e s u l t a

l o que nos da por Cltimo

Una vez obtenidas (1.41) y (1.421, l a demostraciSn se termi- na Como en e l caso a n t e r i o r .

Teorema 1.9: Sean f3 y y grafos maximales mondton~s t a l e s que B1(0)

-

^{= t-, $;(o)}

⁼

^{B t , yL(0) =}

,

^y;(O) = ^y Se t i e n e entonces

-

Pt(0)

=

^D, siend6 D : H ^-+ H e l operador d e f i n i d a por

donde y

3-

e s t s n d e f i n i d o s por

Demostraci6n: Del mismo mod0 que en l a demostraci6n d e l Teore

-

m a 1.7. llegarriamos a

donde ahura z e ~ ( D u ) . Sefialemos que Du 3 0 c , t . p . de 1;2 y de I'.

La i n t e g r a l sobre I' puede e s c r i b i r s e como

Para l a i n t e g r a l sobre

r-

s e obtiene

Pero l a primera i n t e g r a l d e l segundo miembro e s negativa por t e n e r s e Pu(x) < 0 y apu 2 0 sobre

,

y l a t e r c e r a tambign l o es (pop l a monotonfa de

8).

Tenemos pues

y como sobre I'- s e t i e n e Pu < 0, r e s u l t a

E l grafo 8- t i e n e derivada i n f i n i t a en e l origen, y e s t o nos

-

permite a p l i c a r el Lema 1.2. con a = 13-, I'- en vez de , I' v = Pu y

-

w =

- -

apu an' obtenibndo

y por consiguiente

Para l a i n t e g r a l sobre I' t obtendrlamos de modo totalmente an5

-

logo

en v i r t u d de l a monotonia de

F.

Si x e

r +

^tenemos

y porno B

+

-8' t i e n e derivada 0 en e l origen s e puede a p l i c a r el. Lema

-

f 3Pu

1.1. con a = 8'

-

^{B t , I' en vez de ,'l v = Pu y w}

⁼ - - -

_an ^{BIPu, l o}

-

que nos da

y r e s u l t a ahora f d c i l completar l a demostraci6.n.

De un mod0 completamente anglogo p d r i a n enunciarse y demost-rar

-

s e o t r o s r e s u l t a d o s d e l mismo t i p o , t a r e a que dejamos a 1 l e c t o r .

Vamos a pasar ahora a l a demostracidn de 10s resulta&os eorres- pondientes en e l caso de d e r i v a d a s . a l a derecha y a l a izquierda en e l i n f i n i t o d f f e r e n t e s . A fin de no a l a r g a r innecesariamente l a redaccibn, daremos solamente l a demostracian de uno de 10s resultados.

Teorema 1.10: Sean B y y g r a f o s maximales monBtonos t a l e s que

B'b) -

^{5 w 1 , B;(w) = *DD, Y'-(w) = y ' , y =}

.

Se t i e n e entonces

siendo R : H -t H e l operador definido para u e H por

donde y estdn d e f i n i d o s como en e l enunciado d e l teorema 1.7.

DemostraciSn: Razonando como en e l caso d e l Teorema 1 . 7 , r e s u l

-

t a que s i x e

r+

s e t i e n e PU(X) > 0 y

y como ahora .$+ t i e n e derivada i n f i n i t a en e l infinite, s e puede a p l i

-

+ +

^apu

c a r e l Lema 1.5. con = £3

,

^I' en vez de I', v = Pu y w

= - -

_an

-

nisndose

lo que nos d a r i a finalmente

?

En l o que s e r e f i e r e a l a i n t e g r a l sobre tendrenos que

y como a

=

6-

-

^B.' t i e n e derivada 0 en e l i n f i n i t o podemos a p l i c a r e l

~ P u

Lema 2.6, con a

=

$--fit, en vez de

r ,

^{v =} Pu y w =

- - -

BtPu.

-

q, an

Resulta pues

y por G1t-imo

Varnos a considerar ahora l a i n t e g r a l sobre tl de (1.33). En e l

+

^f

cdlculo comsspondiente a l a i n t e g r a l sobre $2 s e t i e n e que si x. e R

ent on'ces

y como yt t i e n e derivada i n f i n i t a en e l i n f i n i t o puede a p l i c a r s e e l

+ +

Lema 1.5. con a = y

,

^$2 en vez de $2, v = Pu y h = w, resultando

y por Bltimo

Nos queda solamente por considerar l a i n t e g r a l sobre Ra-

e'

zonando como a n t e s con p = q = 2 s e t i e n e para x e $2-

y como y t

-

^yc t i e n e derivada 0 en e l i n f i n i t o , podemos aplica? e l Le

-

C-

ma ^1.6. con a

=

^y'

-

^y

,

^Q- en vez de $2, v = ^Pu y h = y'Pu

-

^{w, obte-}

niendo

10 que nos da

Una vez obtenidas l a s (1.45), (1,46), (1.47) y ( I . & @ ) , La d e ~ o s

-

t r a c i 6 n s e t e m i n a r z a como en [29]

.

Anslogamente se demostrarlan 10s s i g u i e n t e s resultados:

Teorema 1.11: Sean f3 y y grafos maximales mon6tonos t a l e s que

.

^.

8'(-) = B,, f3$(=) = B2, y l b ) = y

,

^{y;(w ) =} y2. Se t i e n e entonces

-

Pl(0) = S, siendo S : H ^-t H e l operador definido por

..

donde y

7

estdn definidos como en e l Teorema 1.8.

Teorema 1.12: Sean B y y grafos maximales monStonos t a l e s que

f31(-)

= 10, B;(=)

=

8'. y l b )

=

^F, y;(-) = y * . Se t i e n e entonces

-

P1(D)

=

T , s i e n d ~ T : H -t H e l operador definido por

donde y estdn definidos como en e l Teorema 1.9.

A 1 i g u a l que en e l caso de l a s derivadas e n e l origen, dejamos al l e c t o r l a t a r e a de enunciar y demostrar o t r o s r e s u l t a d o s semejantes.

3 . - APLICACIONZS A LA BIFURCACION Y

A

LA ALTERNATIVA DE FREDHOLM EN EL CASO DE DERIVADAS LATERALES DISTINTAS.

Vamos .a:dar aqu'i algunas a p l i c a c i o n e s de 10s r e s u l t a d o s de l a

-

secci6n a n t e r i o r a l a bifurcaci6n y a l a a l t e r n a t i v a (no l i n e a l ) de Fredholm. Magamos n o t a r que cQmo l a s "derivadas" que aparecen en 10s r e s u l t a d o s a n t e r i o r e s no son operadores l i n e a l e s , s i n o s o l o p o s i t i v a

-

mente homoggneos, 10s r e s u l t a d o s c l S s i c o s bien conocidos para e l ca- s o l i n e a l (cf.

,

^{e . g.}

,

^[34]

,

^{[44] )} no son en p r i n c i p i o a p l i c a b l e s .

-

Existen s i n embargo algunos r e s u l t a d o s p a r t i c u l a r e s v a l i d o s en e s t e caso, d e l o s q u e vamos a dar algunas aplicaciones.

Consideremos ahora e l problema

d~nde.Si, $ y y e s t a n d e f i n i d o s como a n t e s , y donde X e s un pargmetro r e a l . Supondremos adem% que B y y poseen derivadas l a t e r a l e s d i s t i f t t a s . S i O e B(0) A y ( 0 ) entonces e l problema a n t e r i o r posee, para t o

-

do v a l o r d e A, l a soluciSn t r i v i a l u Z 0. Se p l a n t e a pues e l probler ma d e l a e x i s t e n c i a de soluciones no t r i v i a l e s segiin 10s d i s t i n t o s

-

v a l o r e s de k y , en p a r t i c u l a r , e l e s t u d i o de 10s puntos de bifurca-- ci8n.

1.35.

E s f & i l v e r ( c f . [27] ) que mediante e l cambio de v a r i a b l e s

l.l=- A

+

¹

v = (A

+

^{l ) u}

e l p r o b l e m a n t e r i o r r e s u l t a s e r equivalente a 1

0.

donde P estd d e f i n i d o por ( 1.5 1, (1.6). Sabemos (cf. [27] ) que exis- t e una EunciSn G : H ^-t lg diferenciable-Frbchet y convexa t a l que G ( O ) = ,

=

0 y G 1

= P,

En v i r t u d de l a compacidad de P y de (1.7) r e s u l t a que

G e s ddbilmente continua ( c f . _[34]

1.

Suponganios que 6 y y s a t i s f a c e n l a s h i p b t e s i s d e l TBorema 1.7.

-

Entorices e l Teorema I ,,I. de [13] y e l Teorema 1.7. c i t a d o nos dicen qu=

es e l mayor punto de bifurcacibn para P. Se t e n d r l a anblogamente que

m ( B ) = inf (Bxrx)

11x1 1=1

es e l m e n o r punto de bifurcaci6n para P. E s evidente que se podr5an

-

obtener r e s u l t a d o s andlogos s i 6 y y s a t i s f a c e n l a s h i p 6 t e s i s d e l Teo

-

rema 1.8. o d e l 1 . 9 .

Supdngamos ahora que 6 y y s a t i s f a c e n l a s h i p d t e s i s d e l Teorema 1.10. Eqtonces dicho teorema y e l Teorema 1 . 2 . de E l 3 1 nos dit5en que

e s e l mayor punto de bifurcacidn a s i n t d t i c a para R y que

m(R) = i n f (Rx,x)

1

^1x1

1

=I

serZa e l menor. Lo mismo sucederia en 10s demds casos posibles.

4.

Pasemos ahora a l a consideracidn de l a a l t e r n a t i v a de Fredholm, e s d e c k , de l a r e s o l u b i l i d a d para f e H d e l problema

S i ponemos

e s t e problema r e s u l t a ser equivalente (cf

.

^{[16] )} a l a resoluciBn de v - v P v = f .

Recordemos' ahora que s i E e s un espacio de Banach r e a l y

-

T

: E -+ E es un operador (no l i n e a l ) continuo, s e ~ u e d e d e f i r i i r

-

( c f . [32] ) e l e s p e c t r o a s i n t i j t i c o c('T) de T como

Se puede demostrar entonces e l r e s u l t a d o siguiente:

Teorema 1.13: Sea T : E -t E compacto y casi-acotado (i.e, t a l

l l m sup

I

^1x1

I+*

Fntonces, s i ^p

d

C(T)

,

I

-

^{pT es} suprayectiva,

S i l a s h i p e t e s i s d e l Teorema 1.10, son s a t i s f e c h a s , s e t i e n e C(P)

=

C(R) y podemos aplicar. e l Teorema 1.13. con E = H y T = P, ya que P e s compacto y oasi-acotado. En-tonces, s i p C(R), e l problema considerado admite soluciijn para toda f e H.

Sea de nuevo T : E += E continuo en un espacio d e Banach r e a l

E.

Se puede def in* entonces ⁽ c f

.

^{[33] )} e l e s p e c t r o l o c a l de T comb

y s e t i e n e e l

Teorema 1.14: Sea T : E -+ E compact0 y casi-acotado tal que TO,

=

^{0. Si}

v 6

C O ( T ) , entonces existe un entorno V del origen de E

-

tal que

*

admite soluciBn para todo p e V.

Si las hipdtesis del Teorema 1.7. son satis,fechas se tiene

-

T o ( P ) = C ( B ) y podemos aplicar el Teorema 1.14. Entonces, si

v d

T ( B ) 0

el problema considerado admite solucidn en un entorno del origen.

CAPITULO I1

SOLUCIONES POSITIVAS DE ALGUNOS PROBLEMAS UWILATERALES

En e s t e c a p f t u l o vamos a i n v e s t i g a r l a e x i s t e n c i a de solucio;

n e s p o s i t i v a s d e l problema de t i p o u n i l a t e r a l

donde $2 e s un a b i e r t o acotado de lg N (N 3 2 ) de f r o n t e r a I'

=

38 muy

-

r e g u l a r , 6 y y son g r a f o s maximales monbtonos y- h e s un par2imetro

-

r e a l f i j o ; e s t o q u i e r e d e c i r que a todo l o l a r g o de e s t e c a p i t u l o va

-

mos a f i j a r 10s v a l o r e s de X y a e s t u d i a r para esos v a l o r e s l a e x i s - t e n c i a de soluciones p o s i t i v a s de n u e s t r o problema, Para todo l o que sa r e f i e r e a 10s problemas u n i l a t e r a l e s c f . [18], @9], C20].

E s muy f d c i l v e r (cf

. ^,

^{e . g. [27] )} que para- ^{A < 0} e l problema a n t e r i o r posee una solucidn a n i c a ( p o s i t i v a o no ) , En p a r t i c u l e , oi 0 e @(O) n y(O), entonces w 5 0 e s l a Gnica solucidn para.:X < 0.

Nos limitaremos pues en Lo que sigue a 1 e s t u d i o d e l problema para

-

X a 0.

En l a primera seccidn de e s t e c a p i t u l o demostraremos l a e x i s t e z c i a de soluciones u t i l i z a n d o un m6todo iterative a p a r t i r de una subso

-

luci6n y una supersoluci6n d e l problema. Tal y como hemos dicho, u t i

-

lizamos una v a r i a n t e de c i e r t o s r e s u l t a d o s de Puel [41]. Demostramos tambi6n un r e s u l t a d o de regularaidad,

8

Los r e s u l t a d o s de l a primera seccidn son vdlidos para

B

y y

-

cualesquiera, s i n necesidad de que s e tenga 0 e ~ ( 0 )

n

y ( 0 ) . Pero en e s

-

t e dltimo caso es necesario hacer h i p b t e s i s suplementarias de "dife- renciabilidad" sobre 10s grafos f3 y y para poder asegurar l a e x i s t e n

-

c i a de soluciones p o s i t i v a s no t r i v i a l e s , A e s t o e s t d dedicada l a s e

-

gunda secc5Bn.

8'

Los teoremas de l a Secci6n 2 solamente son vdlidos .si l a s de- r i v a d a s de 10s grafos s a t i s f a c e n c i e r t a s desigualdades (concretamen- t e las (2.28)

-

(2.33)). En l a SecciBn 3 demostramos que dichas re-- su4tados siguen siendo c i e r t o s cuando en vez de (2.28)

-

^{(2.33) se}

-

t i e n e n l a s mismas desigualdades en s e n t i d o c o n t r a r i o , Por o t r a p a r t e , s e obtiene tambitn una nueva demostracign de 10s ~ e s u l t a d o s de l a Sec

-

c i h 2 , Las demostraciones s e l l e v a n ahora a cabo u t i l i z a n d o algunos r e s u l t a d o s de Krasnoselski y Amann sobre 10s puntos f i j o s de c i e r t a s aplicaciones e n t r e espacios de Banach ofidenados,

Finalmente, l a SecciBn 4 e s t g dedicada a l a exposicien de a l p

-

nos r e s u l t a d o s complementaries, en p a r t i c u l a r a l a demostracibn de l a unicidad de l a soluci6n p o s i t i v a no t r i v i a l obtenida en l a s secciones a a t e r i o r e s s i s e hacen h i p S t e s i s a d i c i o n a l e s sobre 10s grafos 8 y y

.

1.- EXISTENCIA Y REGULARIDAD DE LAS SOLUCIONES EN EL CASO GENERAL

Sea $2 un subconjunto a b i e r t o y acotado de i% N (N a 2 ) d e fron- t e r a 'l = X2,muqt r e g u l a r . Vamos a considerar e l problema de t i p o uni- l a t e r a l

1

0'

donde $ y y son g r a f o s maximales monStonos y a/an representa l a d e r i

-

vada con r e s p e c t o a l a normal e x t e r i o r . Estamos interesados en l a

-

e x i s t e n c i a de soluciones p o s i t i v a s de (2.1) para v a l o r e s f i j o s d e l

-

partimetro r e a l A , Tal y como hemos indicado anteriorrnente, considera

-

remos solamente e l c a w X 2 0.

Comenzaremos por d a r l a s d e f i n i c i o n e s de sub y supersolucibn de (2.1) (cf. 1411 ). C f . tambi6n ^[18, Coroll, 141 y [21]. Para el10 definiremos en primer l u g a r 10s conjuntos

2 2

D = {veL ⁽⁰⁾

I

^v(x)eD(y) c.t.p. en $2, e x i s t e gveL (0) Y

t a l que gVey(v) c.t.p. en $23

Tendremos enTonces l a s d e f i n i c i o n e s s i g u i e n t e s :

Definicidn 2.1: Decimos que uo e s una subsolucidn de ( 2 . 1 )

( 2 * 4 )

o bien

s i uO e H'(Q) y s i para todo v e D y todo gv a y(v) s e t i e n e Y

(2.. 2) uo C v

Q bien

(2.3) . a u o

+

gv

-

^{A U ~ f}

o

c . t , p . en SZ,

y si, ademgs, para todo w e D s e t i e n e 6

u0 s w

Nota 2.1: Toda solucidn de (2.1) e s una subsolucidn. En e f e c

-

t o , s i w e s una solucidn de (2.1) tenemos (con notaciiin evidente)

en c . t , p , en 0, para todo v e D , Anslogamente, s i w e D .se t'iene

Y _EJ

Definici6n 2.2: Decimos que v 0 e s una supersoluci8n de ( 2 . 1 ) 2 '

si v,, e H (Q) y s i para todo v e D y todo gV e y(v) s e t i e n e Y

o bien

( 2 . 8 )

o bien

(2.9)

8'

(2.7) d v O + g v - - h v o b O c . t , p , en 61

y* si, a d e d s , para todo w e D se t i e n e B

V O 2 w

Nota 2.2: Podria probarse, anglogamente a l o hecho ea la Not5 2.1, que toda soluciSn es una supersoluci6n.

Por o t r a p a r t e , recordernos que para todo u e L 2 ($2) z x i s t e un Snico Pu e H 2 (0) verificando (1.5), (1.6). Por t a n t o , para X a 0 fi-

2 2

j o y para todo z e L (R) e x i s t i r d un Gnico Tz e H (Q) t a l Qtle

Es evidente que w e s una soluci6n de (2.1) s i y solamente s i e s un punto . f i j o de T.

Vamos ahora a demostrar algunos r e s u l t a d o s r e f e r e n t e s a 1 ope

-

2 2

rador

T

: L (9) -t L (9) d e f i n i d o por (2.10), (2.11). Estos r e s u l t a - dos i n t e r v e n d r b en l a demostracidn de nuestro teorema fundamental de e x i s t e n c i a .

De acuerdo con l a notaci6n h a b i t u a l , s i u e L 2 (52) e s c r i b i r e - mos

Tendremos pues

Proposicidn 2.1: Si uo e s una subsolucibn, entonces Tug a uo,

DemostraciSn: Sabemos que e x i s t e z0 e y(TuO) t a l que