Estimación por intervalos.
ESTIMACIÓN
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
MaEugenia Cruces, Salvador J. Molina y MaDolores Sarrión
UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Departamento de Estadística y Econometría Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA).
Estimación por intervalos.
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Introducción
Las propiedades de los estimadores garantizan un cierto comportamiento de su distribución de probabilidad.
Sin embargo, al resumir la información muestral en un único valor (laestimación puntual) no hacemos, de forma explícita, ninguna valoración sobre elerror o discrepancia
inherente al proceso de estimación:
Estimador bueno =⇒
por término medioestimación buena
Laestimación por intervalospermite medir, en términos de probabilidad o de confianza, laprecisióncon la que el estimador permite estimar el parámetro:
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Introducción
Las propiedades de los estimadores garantizan un cierto comportamiento de su distribución de probabilidad. Sin embargo, al resumir la información muestral en un único valor (laestimación puntual) no hacemos, de forma explícita, ninguna valoración sobre elerror o discrepancia
inherente al proceso de estimación:
Estimador bueno =⇒
por término medioestimación buena
Laestimación por intervalospermite medir, en términos de probabilidad o de confianza, laprecisióncon la que el estimador permite estimar el parámetro:
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Introducción
Las propiedades de los estimadores garantizan un cierto comportamiento de su distribución de probabilidad. Sin embargo, al resumir la información muestral en un único valor (laestimación puntual) no hacemos, de forma explícita, ninguna valoración sobre elerror o discrepancia
inherente al proceso de estimación:
Estimador bueno =⇒
por término medioestimación buena
Laestimación por intervalospermite medir, en términos de probabilidad o de confianza, laprecisióncon la que el estimador permite estimar el parámetro:
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Introducción
Las propiedades de los estimadores garantizan un cierto comportamiento de su distribución de probabilidad. Sin embargo, al resumir la información muestral en un único valor (laestimación puntual) no hacemos, de forma explícita, ninguna valoración sobre elerror o discrepancia
inherente al proceso de estimación:
Estimador bueno =⇒
por término medioestimación buena
Laestimación por intervalospermite medir, en términos de probabilidad o de confianza, laprecisióncon la que el estimador permite estimar el parámetro:
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Introducción
Las propiedades de los estimadores garantizan un cierto comportamiento de su distribución de probabilidad. Sin embargo, al resumir la información muestral en un único valor (laestimación puntual) no hacemos, de forma explícita, ninguna valoración sobre elerror o discrepancia
inherente al proceso de estimación:
Estimador bueno =⇒
por término medioestimación buena
Laestimación por intervalospermite medir, en términos de probabilidad o de confianza, laprecisióncon la que el estimador permite estimar el parámetro:
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Introducción
Las propiedades de los estimadores garantizan un cierto comportamiento de su distribución de probabilidad. Sin embargo, al resumir la información muestral en un único valor (laestimación puntual) no hacemos, de forma explícita, ninguna valoración sobre elerror o discrepancia
inherente al proceso de estimación:
Estimador bueno =⇒
por término medioestimación buena
Laestimación por intervalospermite medir, en términos de probabilidad o de confianza, laprecisióncon la que el estimador permite estimar el parámetro:
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo aleatorio
X1, X2, · · ·, Xnuna muestra aleatoria simple de una
variableX ∼f(x;θ),θ ∈Ω⊆R
T1(X1, ...,Xn)≡T1yT2(X1, ...,Xn)≡T2 dos funciones de
la muestra.
Intervalo aleatorio
El intervalo(T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar
θal nivel de probabilidad(1−α), 0< α <1, si
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo aleatorio
X1, X2, · · ·, Xnuna muestra aleatoria simple de una
variableX ∼f(x;θ),θ ∈Ω⊆R
T1(X1, ...,Xn)≡T1yT2(X1, ...,Xn)≡T2 dos funciones de
la muestra.
Intervalo aleatorio
El intervalo(T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar
θal nivel de probabilidad(1−α), 0< α <1, si
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo aleatorio
X1, X2, · · ·, Xnuna muestra aleatoria simple de una
variableX ∼f(x;θ),θ ∈Ω⊆R
T1(X1, ...,Xn)≡T1yT2(X1, ...,Xn)≡T2 dos funciones de
la muestra.
Intervalo aleatorio
El intervalo(T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar
θal nivel de probabilidad(1−α), 0< α <1, si
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo aleatorio
X1, X2, · · ·, Xnuna muestra aleatoria simple de una
variableX ∼f(x;θ),θ ∈Ω⊆R
T1(X1, ...,Xn)≡T1yT2(X1, ...,Xn)≡T2 dos funciones de
la muestra.
Intervalo aleatorio
El intervalo(T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar
θal nivel de probabilidad(1−α), 0< α <1, si
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo aleatorio
X1, X2, · · ·, Xnuna muestra aleatoria simple de una
variableX ∼f(x;θ),θ ∈Ω⊆R
T1(X1, ...,Xn)≡T1yT2(X1, ...,Xn)≡T2 dos funciones de
la muestra.
Intervalo aleatorio
El intervalo(T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar
θal nivel de probabilidad(1−α), 0< α <1, si
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza
Si(T1,T2)≡(T1(X1, ...,Xn),T2(X1, ...,Xn))es un intervalo
aleatorio para estimar el parámetroθal nivel de probabilidad
(1−α), 0< α <1, y
(x1, ...,xn)es una muestra observada
⇓
(T1(x1, ...,xn),T2(x1, ...,xn))
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza
Si(T1,T2)≡(T1(X1, ...,Xn),T2(X1, ...,Xn))es un intervalo
aleatorio para estimar el parámetroθal nivel de probabilidad
(1−α), 0< α <1, y
(x1, ...,xn)es una muestra observada
⇓
(T1(x1, ...,xn),T2(x1, ...,xn))
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza
Si(T1,T2)≡(T1(X1, ...,Xn),T2(X1, ...,Xn))es un intervalo
aleatorio para estimar el parámetroθal nivel de probabilidad
(1−α), 0< α <1, y
(x1, ...,xn)es una muestra observada
⇓
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza
Intervalo de confianza
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo aleatorio|Intervalo de confianza
Aleatorio
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo aleatorio|Intervalo de confianza
Aleatorio
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo aleatorio|Intervalo de confianza
Confianza
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo aleatorio|Intervalo de confianza
Confianza
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Nivel de confianza, 100
(
1
−
α)
Supongamos un nivel de confianza = 95 %.
O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.
Interpretación:
Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,
El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.
El 5 % restante no lo contendrá.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Nivel de confianza, 100
(
1
−
α)
Supongamos un nivel de confianza = 95 %.
O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.
Interpretación:
Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,
El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.
El 5 % restante no lo contendrá.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Nivel de confianza, 100
(
1
−
α)
Supongamos un nivel de confianza = 95 %.
O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.
Interpretación:
Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,
El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.
El 5 % restante no lo contendrá.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Nivel de confianza, 100
(
1
−
α)
Supongamos un nivel de confianza = 95 %.
O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.
Interpretación:
Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,
El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.
El 5 % restante no lo contendrá.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Nivel de confianza, 100
(
1
−
α)
Supongamos un nivel de confianza = 95 %.
O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.
Interpretación:
Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,
El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.
El 5 % restante no lo contendrá.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Nivel de confianza, 100
(
1
−
α)
Supongamos un nivel de confianza = 95 %.
O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.
Interpretación:
Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,
El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.
El 5 % restante no lo contendrá.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Nivel de confianza, 100
(
1
−
α)
Supongamos un nivel de confianza = 95 %.
O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.
Interpretación:
Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,
El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.
El 5 % restante no lo contendrá.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Nivel de confianza, 100
(
1
−
α)
Supongamos un nivel de confianza = 95 %.
O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.
Interpretación:
Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,
El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.
El 5 % restante no lo contendrá.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Método para la construcción de intervalos de
confianza
Partimos de un estimadorθbdel parámetro desconocidoθ.
Buscamos una función deθby deθ,g(θ, θb ), en la que no
intervenga ningún otro parámetro poblacional desconocido, yque tenga distribución conocidae independiente de cualquier otro parámetro poblacional desconocido.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Método para la construcción de intervalos de
confianza
Partimos de un estimadorθbdel parámetro desconocidoθ.
Buscamos una función deθby deθ,g(θ, θb ), en la que no
intervenga ningún otro parámetro poblacional desconocido, yque tenga distribución conocidae independiente de cualquier otro parámetro poblacional desconocido.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Método para la construcción de intervalos de
confianza
Partimos de un estimadorθbdel parámetro desconocidoθ.
Buscamos una función deθby deθ,g(θ, θb ), en la que no
intervenga ningún otro parámetro poblacional desconocido, yque tenga distribución conocidae independiente de cualquier otro parámetro poblacional desconocido.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Método para la construcción de intervalos de
confianza
Partimos de un estimadorθbdel parámetro desconocidoθ.
Buscamos una función deθby deθ,g(θ, θb ), en la que no
intervenga ningún otro parámetro poblacional desconocido, yque tenga distribución conocidae independiente de cualquier otro parámetro poblacional desconocido.
Determinamos un intervalo numéricoen el que la distribución tome valorescon probabilidad 1−α.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Método para la construcción de intervalos de
confianza
Partimos de un estimadorθbdel parámetro desconocidoθ.
Buscamos una función deθby deθ,g(θ, θb ), en la que no
intervenga ningún otro parámetro poblacional desconocido, yque tenga distribución conocidae independiente de cualquier otro parámetro poblacional desconocido.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) conocida
Hipótesis Básicas
La varianza poblacional (σ2) es conocida. La población es normal.
Si la población no es normal, el tamaño de muestra (n) es suficientemente grande.
Intervalo para estimarµcon C = 100(1-α) %
x −z1−α2 σ √
n,x+z1− α 2
σ √ n
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) conocida
El intervalo de confianza
x −z1−α 2
σ
√
n,x +z1− α 2
σ
√ n
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) conocida
El intervalo de confianza
x −z1−α 2
σ
√
n,x +z1− α 2
σ
√ n
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) conocida
El intervalo de confianza
x −z1−α 2
σ
√
n,x +z1− α 2
σ
√ n
Suele escribirse como
x
±
z
1−α 2σ
√
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) conocida
El intervalo de confianza
x −z1−α 2
σ
√
n,x +z1− α 2
σ
√ n
Suele escribirse como
x
±
z
1−α 2σ
√
n
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) conocida
El margen de error o error máximo admisible
ε=z1−α 2
σ √
n =
Amplitud del intervalo 2
depende de:
El nivel de confianza.
Más confianza=⇒más amplitud (Si el resto se mantiene) Del error típico del estimador(√σ
n).A menor variabilidad,
menor amplitud (Si el resto se mantiene)
Del tamaño de muestra (n)
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) conocida
El margen de error o error máximo admisible
ε=z1−α 2
σ √
n =
Amplitud del intervalo 2
depende de:
El nivel de confianza.
Más confianza=⇒más amplitud (Si el resto se mantiene) Del error típico del estimador(√σ
n).A menor variabilidad,
menor amplitud (Si el resto se mantiene)
Del tamaño de muestra (n)
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) conocida
El margen de error o error máximo admisible
ε=z1−α 2
σ √
n =
Amplitud del intervalo 2
depende de:
El nivel de confianza.
Más confianza=⇒más amplitud (Si el resto se mantiene)
Del error típico del estimador(√σ
n).A menor variabilidad,
menor amplitud (Si el resto se mantiene)
Del tamaño de muestra (n)
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) conocida
El margen de error o error máximo admisible
ε=z1−α 2
σ √
n =
Amplitud del intervalo 2
depende de:
El nivel de confianza.
Más confianza=⇒más amplitud (Si el resto se mantiene) Del error típico del estimador(√σ
n).A menor variabilidad,
menor amplitud (Si el resto se mantiene)
Del tamaño de muestra (n)
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) conocida
El margen de error o error máximo admisible
ε=z1−α 2
σ √
n =
Amplitud del intervalo 2
depende de:
El nivel de confianza.
Más confianza=⇒más amplitud (Si el resto se mantiene) Del error típico del estimador(√σ
n).A menor variabilidad,
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
EJEMPLO 1
El gasto medio por persona y día en una muestra de 50 turistas seleccionados aleatoriamente entre los que visitaron la Costa del Sol la pasada temporada estival fue de 106 euros.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) desconocida
Si la desviación típica es desconocida, el intervalo
x−z1−α 2
σ √
n,x+z1−α2
σ √
n
no nos sirve para estimarµ.
Como la población es normal, sabemos que
Podemos sustituir la desviación típica poblacional (σ) por su estimación (s), si utilizamos la distribucióntn−1lugar de
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) desconocida
Si la desviación típica es desconocida, el intervalo
x−z1−α 2
σ √
n,x+z1−
α 2
σ √
n
no nos sirve para estimarµ.¡Los extremos son desconocidos!
Como la población es normal, sabemos que
Podemos sustituir la desviación típica poblacional (σ)
por su estimación (s), si utilizamos la distribucióntn−1
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) desconocida
Si la desviación típica es desconocida, el intervalo
x−z1−α 2
σ √
n,x+z1−α2
σ √
n
no nos sirve para estimarµ.
Como la población es normal, sabemos que
Podemos sustituir la desviación típica poblacional (σ) por su estimación (s), si utilizamos la distribucióntn−1lugar de
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) desconocida
Si la desviación típica es desconocida, el intervalo
x−z1−α 2
σ √
n,x+z1−α2
σ √
n
no nos sirve para estimarµ.
Como la población es normal, sabemos que
X−µ
S/√n−1 ∼tn−1.
Podemos sustituir la desviación típica poblacional (σ) por su estimación (s), si utilizamos la distribucióntn−1lugar de
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) desconocida
Si la desviación típica es desconocida, el intervalo
x−z1−α 2
σ √
n,x+z1−α2
σ √
n
no nos sirve para estimarµ.
Como la población es normal, sabemos que
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para la media poblacional (
µ
).
Varianza poblacional (
σ
2) desconocida
Hipótesis Básicas
La varianza poblacional (σ2) es desconocida.
La población es normal.
Intervalo para estimar la media poblacional (µ) con C= 100(1-α) %
x −tn−1;1−α 2
s √
n−1,x +tn−1;1−
α 2
s √
n−1
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Ejemplo 2
El gasto medio por persona y día en una muestra de 50 turistas seleccionados aleatoriamente entre los que visitaron la Costa del Sol la pasada temporada estival fue de 106 euros con una desviación típica de 30 euros.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para
µ
. Muestras de tamaño
grande
Si la población no es normal, pero la muestra es de tamaño grande (n≥30)
El intervalo
x−z1−α 2
σ √
n,x+z1−α2 σ √ n
,
es un intervalo para estimarµconC∼=100(1−α) %.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para
µ
. Muestras de tamaño
grande
Si la población no es normal, pero la muestra es de tamaño grande (n≥30)
El intervalo
x−z1−α 2
σ √
n,x +z1−α2 σ √ n
,
es un intervalo para estimarµconC∼=100(1−α) %.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo de confianza para
µ
. Muestras de tamaño
grande
Si la población no es normal, pero la muestra es de tamaño grande (n≥30)
El intervalo
x−z1−α 2
σ √
n,x +z1−α2 σ √ n
,
es un intervalo para estimarµconC∼=100(1−α) %.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Ejemplo 3
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la proporción poblacional (p). Muestras
grandes.
Para n suficientemente grande,
b
P
−
p
s
b
P
(
1
−
P
b
)
n
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la proporción poblacional (p). Muestras
grandes.
A partir de ese resultado se construye el intervalo
b
p−z1−α 2
r
b
p(1−bp)
n ,bp+z1−α
2
r
b
p(1−bp)
n
!
,
donde
z1−α
2, tal que,P(Z ≤z1− α
2) =1− α 2
Es un intervalo de confianza aproximado para estimar la
proporción poblacional,p, conC=100(1−α) %
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la proporción poblacional (p). Muestras
grandes.
A partir de ese resultado se construye el intervalo
b
p−z1−α 2
r
b
p(1−bp)
n ,bp+z1−α
2
r
b
p(1−bp)
n
!
,
donde
z1−α
2, tal que,P(Z ≤z1− α
2) =1− α 2
Es un intervalo de confianza aproximado para estimar la
proporción poblacional,p, conC=100(1−α) %
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la proporción poblacional (p). Muestras
grandes.
A partir de ese resultado se construye el intervalo
b
p−z1−α 2
r
b
p(1−bp)
n ,bp+z1−α
2
r
b
p(1−bp)
n
!
,
donde
z1−α
2, tal que,P(Z ≤z1− α
2) =1− α 2
Es un intervalo de confianza aproximado para estimar la
proporción poblacional,p, conC=100(1−α) %
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la proporción poblacional (p). Muestras
grandes.
A partir de ese resultado se construye el intervalo
b
p−z1−α 2
r
b
p(1−bp)
n ,bp+z1−α
2
r
b
p(1−bp)
n
!
,
donde
z1−α
2, tal que,P(Z ≤z1− α
2) =1− α 2
Es un intervalo de confianza aproximado para estimar la
proporción poblacional,p, conC =100(1−α) %
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Ejemplo 4
En una muestra de 300 clientes, seleccionados aleatoriamente de entre los que hicieron uso de las
instalaciones de un determinado complejo hotelero, 50 no estaban satisfechos con la calidad de dichas
instalaciones.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para
σ
2.
X
∼
N
(µ, σ)
,
µ
conocida.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).
µconocida.
S2
µel estadístico definido por
Sµ2=
n
X
i=1
(Xi−µ)2
n .
Sabemos que
nS2 µ
σ2 ∼χ
2
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para
σ
2.
X
∼
N
(µ, σ)
,
µ
conocida.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).
µconocida.
S2
µel estadístico definido por
Sµ2=
n
X
i=1
(Xi−µ)2
n .
Sabemos que
nS2 µ
σ2 ∼χ
2
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para
σ
2.
X
∼
N
(µ, σ)
,
µ
conocida.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).
µconocida.
S2
µel estadístico definido por
Sµ2=
n
X
i=1
(Xi−µ)2
n .
Sabemos que
nS2 µ
σ2 ∼χ
2
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para
σ
2.
X
∼
N
(µ, σ)
,
µ
conocida.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).
µconocida.
S2
µel estadístico definido por
Sµ2=
n
X
i=1
(Xi−µ)2
n .
Sabemos que
nS2 µ
σ2 ∼χ
2
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para
σ
2.
X
∼
N
(µ, σ)
,
µ
conocida.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).
µconocida.
S2
µel estadístico definido por
Sµ2=
n
X
i=1
(Xi−µ)2
n .
Sabemos que
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para
σ
2.
X
∼
N
(µ, σ)
,
µ
conocida.
A partir del resultado anterior, fijadoα, 0< α <1, obtenemos el intervalo
nSµ2
χ2n;1−α 2
, nS 2 µ χ2n;α 2
!
,
χ2n;α
2 yχ
2
n;1−2α son los valores que en la distribuciónχ
2
n
acumulan probabilidades α2 y1−α
2, respectivamente.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para
σ
2.
X
∼
N
(µ, σ)
,
µ
conocida.
A partir del resultado anterior, fijadoα, 0< α <1, obtenemos el intervalo
nSµ2
χ2n;1−α 2
, nS 2 µ χ2n;α 2
!
,
χ2n;α
2 yχ
2
n;1−2α son los valores que en la distribuciónχ
2
n
acumulan probabilidades α2 y1−α
2, respectivamente.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para
σ
2.
X
∼
N
(µ, σ)
,
µ
desconocida.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).
µdesconocida.
S2
X la varianza muestral; es decir,
SX2 =
n
X
i=1
(Xi−X)2
n .
Sabemos que
nSX2
σ2 ∼χ
2
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para
σ
2.
X
∼
N
(µ, σ)
,
µ
desconocida.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).
µdesconocida.
S2
X la varianza muestral; es decir,
SX2 =
n
X
i=1
(Xi−X)2
n .
Sabemos que
nSX2
σ2 ∼χ
2
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para
σ
2.
X
∼
N
(µ, σ)
,
µ
desconocida.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).
µdesconocida.
S2
X la varianza muestral; es decir,
SX2 =
n
X
i=1
(Xi−X)2
n .
Sabemos que
nSX2
σ2 ∼χ
2
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para
σ
2.
X
∼
N
(µ, σ)
,
µ
desconocida.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).
µdesconocida.
S2
X la varianza muestral; es decir,
SX2 =
n
X
i=1
(Xi−X)2
n .
Sabemos que
nSX2
σ2 ∼χ
2
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para
σ
2.
X
∼
N
(µ, σ)
,
µ
desconocida.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).
µdesconocida.
S2
X la varianza muestral; es decir,
SX2 =
n
X
i=1
(Xi−X)2
n .
Sabemos que
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para
σ
2.
X
∼
N
(µ, σ)
,
µ
desconocida.
A partir del resultado anterior, fijadoα, 0< α <1, obtenemos el intervalo
nS2X χ2n−1;1−α
2
, nS
2
X
χ2n−1;α 2
!
,
χ2n−1;α
2 yχ
2
n−1;1−2α son los valores que en la distribuciónχ
2
n−1
acumulan probabilidades α2 y1−α
2, respectivamente.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para
σ
2.
X
∼
N
(µ, σ)
,
µ
desconocida.
A partir del resultado anterior, fijadoα, 0< α <1, obtenemos el intervalo
nS2X χ2n−1;1−α
2
, nS
2
X
χ2n−1;α 2
!
,
χ2n−1;α
2 yχ
2
n−1;1−2α son los valores que en la distribuciónχ
2
n−1
acumulan probabilidades α2 y1−α
2, respectivamente.
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS
1 Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Intervalos de confianza para la media
Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias (
µ
X−
µ
Y),
varianzas poblacionales conocidas.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σX).
Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σY).
Las muestras independientes.
σX yσY conocidas.
Sabemos que,
X−Y −(µX −µY)
s
σ2
X
n + σ2
Y
m
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias (
µ
X−
µ
Y),
varianzas poblacionales conocidas.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σX).
Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σY).
Las muestras independientes.
σX yσY conocidas.
Sabemos que,
X−Y −(µX −µY)
s
σ2
X
n + σ2
Y
m
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias (
µ
X−
µ
Y),
varianzas poblacionales conocidas.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σX).
Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σY).
Las muestras independientes.
σX yσY conocidas.
Sabemos que,
X−Y −(µX −µY)
s
σ2
X
n + σ2
Y
m
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias (
µ
X−
µ
Y),
varianzas poblacionales conocidas.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σX).
Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σY).
Las muestras independientes.
σX yσY conocidas.
Sabemos que,
X−Y −(µX −µY)
s
σ2
X
n + σ2
Y
m
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias (
µ
X−
µ
Y),
varianzas poblacionales conocidas.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σX).
Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σY).
Las muestras independientes.
σX yσY conocidas.
Sabemos que,
X−Y −(µX −µY)
s
σ2
X
n + σ2
Y
m
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias (
µ
X−
µ
Y),
varianzas poblacionales conocidas.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σX).
Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σY).
Las muestras independientes.
σX yσY conocidas.
Sabemos que,
X−Y−(µX −µY)
s
σ2
X σ2Y
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias (
µ
X−
µ
Y),
varianzas poblacionales conocidas.
Basándonos en el resultado anterior, fijado 0< α <1, obtenemos que
X−Y−z1−α 2
s
σ2X n +
σ2Y
m,X −Y +z1−α2
s
σX2 n +
σY2 m
,
es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales,µX −µY, al nivel de probabilidad
1−α, en las condiciones anteriores. El valorz1−α
2 es tal queP(Z ≤z1−
α
2) =1−
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias (
µ
X−
µ
Y),
varianzas poblacionales conocidas.
Basándonos en el resultado anterior, fijado 0< α <1, obtenemos que
X−Y−z1−α 2
s
σ2X n +
σ2Y
m,X −Y +z1−α2
s
σX2 n +
σY2 m
,
es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales,µX −µY, al nivel de probabilidad
1−α, en las condiciones anteriores. El valorz1−α
2 es tal queP(Z ≤z1−
α
2) =1−
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias (
µ
X−
µ
Y),
varianzas poblacionales conocidas.
Basándonos en el resultado anterior, fijado 0< α <1, obtenemos que
X−Y−z1−α 2
s
σ2X n +
σ2Y
m,X −Y +z1−α2
s
σX2 n +
σY2 m
,
es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales,µX −µY, al nivel de probabilidad
1−α, en las condiciones anteriores.
El valorz1−α
2 es tal queP(Z ≤z1−
α
2) =1−
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias (
µ
X−
µ
Y),
varianzas poblacionales conocidas.
Basándonos en el resultado anterior, fijado 0< α <1, obtenemos que
X−Y−z1−α 2
s
σ2X n +
σ2Y
m,X −Y +z1−α2
s
σX2 n +
σY2 m
,
es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales,µX −µY, al nivel de probabilidad
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias (
µ
X−
µ
Y),
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias
µ
X−
µ
Y.
Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σ).
Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σ).
Las muestras independientes.
σ desconocida.
Sabemos que,
X −Y −(µX −µY)
s
nS2
X +mS2Y
n+m−2
r
1
n +
1
m
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias
µ
X−
µ
Y.
Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σ).
Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σ).
Las muestras independientes.
σ desconocida.
Sabemos que,
X −Y −(µX −µY)
s
nS2
X +mS2Y
n+m−2
r
1
n +
1
m
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias
µ
X−
µ
Y.
Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σ).
Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σ).
Las muestras independientes.
σ desconocida.
Sabemos que,
X −Y −(µX −µY)
s
nS2
X +mS2Y
n+m−2
r
1
n +
1
m
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias
µ
X−
µ
Y.
Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σ).
Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σ).
Las muestras independientes.
σ desconocida.
Sabemos que,
X −Y −(µX −µY)
s
nS2
X +mS2Y
n+m−2
r
1
n +
1
m
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias
µ
X−
µ
Y.
Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σ).
Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σ).
Las muestras independientes.
σ desconocida.
Sabemos que,
X −Y −(µX −µY)
s
nS2
X +mS2Y
n+m−2
r
1
n +
1
m
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias
µ
X−
µ
Y.
Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.
X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σ).
Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σ).
Las muestras independientes.
σ desconocida.
Sabemos que,
X −Y −(µX −µY)
s
nS2
X +mS2Y
n+m−2
r
1
n +
1
m
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias
µ
X−
µ
Y.
Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.
Basándonos en el resultado anterior, fijado 0< α <1, obtenemos que
X −Y ±tn+m−2;1−α 2
s
nS2
X +mS2Y
n+m−2
r
1
n +
1
m,
es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales,µX −µY, al nivel de probabilidad
1−α, en las condiciones enunciadas. El valor
tn+m−2;1−α
2 es tal queP(tn+m−2≤tn+m−2;1−
α
2) =1−
α
Estimación por intervalos.
Introducción
Intervalo aleatorio e intervalo de confianza
Intervalos particulares
Determinación del tamaño muestral
Intervalo para la diferencia de medias
µ
X−
µ
Y.
Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.
Basándonos en el resultado anterior, fijado 0< α <1, obtenemos que
X −Y ±tn+m−2;1−α 2
s
nS2
X +mS2Y
n+m−2
r
1
n +
1
m,
es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales,µX −µY, al nivel de probabilidad
1−α, en las condiciones enunciadas. El valor
tn+m−2;1−α
2 es tal queP(tn+m−2≤tn+m−2;1−
α
2) =1−
α