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Estimación por intervalos

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Academic year: 2020

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Estimación por intervalos.

ESTIMACIÓN

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

MaEugenia Cruces, Salvador J. Molina y MaDolores Sarrión

UNIVERSIDAD DE MÁLAGA Departamento de Estadística y Econometría Parcialmente financiado a través del PIE13-024 (UMA).

(2)

Estimación por intervalos.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

(3)

Estimación por intervalos.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

(4)

Estimación por intervalos.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

(5)

Estimación por intervalos.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

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Estimación por intervalos.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

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Estimación por intervalos.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

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Estimación por intervalos.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

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Estimación por intervalos.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

(10)

Estimación por intervalos.

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

Intervalos de confianza para la diferencia de medias Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones

(11)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

(12)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Introducción

Las propiedades de los estimadores garantizan un cierto comportamiento de su distribución de probabilidad.

Sin embargo, al resumir la información muestral en un único valor (laestimación puntual) no hacemos, de forma explícita, ninguna valoración sobre elerror o discrepancia

inherente al proceso de estimación:

Estimador bueno =⇒

por término medioestimación buena

Laestimación por intervalospermite medir, en términos de probabilidad o de confianza, laprecisióncon la que el estimador permite estimar el parámetro:

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Introducción

Las propiedades de los estimadores garantizan un cierto comportamiento de su distribución de probabilidad. Sin embargo, al resumir la información muestral en un único valor (laestimación puntual) no hacemos, de forma explícita, ninguna valoración sobre elerror o discrepancia

inherente al proceso de estimación:

Estimador bueno =⇒

por término medioestimación buena

Laestimación por intervalospermite medir, en términos de probabilidad o de confianza, laprecisióncon la que el estimador permite estimar el parámetro:

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Introducción

Las propiedades de los estimadores garantizan un cierto comportamiento de su distribución de probabilidad. Sin embargo, al resumir la información muestral en un único valor (laestimación puntual) no hacemos, de forma explícita, ninguna valoración sobre elerror o discrepancia

inherente al proceso de estimación:

Estimador bueno =⇒

por término medioestimación buena

Laestimación por intervalospermite medir, en términos de probabilidad o de confianza, laprecisióncon la que el estimador permite estimar el parámetro:

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Introducción

Las propiedades de los estimadores garantizan un cierto comportamiento de su distribución de probabilidad. Sin embargo, al resumir la información muestral en un único valor (laestimación puntual) no hacemos, de forma explícita, ninguna valoración sobre elerror o discrepancia

inherente al proceso de estimación:

Estimador bueno =⇒

por término medioestimación buena

Laestimación por intervalospermite medir, en términos de probabilidad o de confianza, laprecisióncon la que el estimador permite estimar el parámetro:

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Introducción

Las propiedades de los estimadores garantizan un cierto comportamiento de su distribución de probabilidad. Sin embargo, al resumir la información muestral en un único valor (laestimación puntual) no hacemos, de forma explícita, ninguna valoración sobre elerror o discrepancia

inherente al proceso de estimación:

Estimador bueno =⇒

por término medioestimación buena

Laestimación por intervalospermite medir, en términos de probabilidad o de confianza, laprecisióncon la que el estimador permite estimar el parámetro:

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Introducción

Las propiedades de los estimadores garantizan un cierto comportamiento de su distribución de probabilidad. Sin embargo, al resumir la información muestral en un único valor (laestimación puntual) no hacemos, de forma explícita, ninguna valoración sobre elerror o discrepancia

inherente al proceso de estimación:

Estimador bueno =⇒

por término medioestimación buena

Laestimación por intervalospermite medir, en términos de probabilidad o de confianza, laprecisióncon la que el estimador permite estimar el parámetro:

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

(19)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo aleatorio

X1, X2, · · ·, Xnuna muestra aleatoria simple de una

variableX ∼f(x;θ),θ ∈Ω⊆R

T1(X1, ...,Xn)≡T1yT2(X1, ...,Xn)≡T2 dos funciones de

la muestra.

Intervalo aleatorio

El intervalo(T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar

θal nivel de probabilidad(1−α), 0< α <1, si

(20)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo aleatorio

X1, X2, · · ·, Xnuna muestra aleatoria simple de una

variableX ∼f(x;θ),θ ∈Ω⊆R

T1(X1, ...,Xn)≡T1yT2(X1, ...,Xn)≡T2 dos funciones de

la muestra.

Intervalo aleatorio

El intervalo(T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar

θal nivel de probabilidad(1−α), 0< α <1, si

(21)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo aleatorio

X1, X2, · · ·, Xnuna muestra aleatoria simple de una

variableX ∼f(x;θ),θ ∈Ω⊆R

T1(X1, ...,Xn)≡T1yT2(X1, ...,Xn)≡T2 dos funciones de

la muestra.

Intervalo aleatorio

El intervalo(T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar

θal nivel de probabilidad(1−α), 0< α <1, si

(22)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo aleatorio

X1, X2, · · ·, Xnuna muestra aleatoria simple de una

variableX ∼f(x;θ),θ ∈Ω⊆R

T1(X1, ...,Xn)≡T1yT2(X1, ...,Xn)≡T2 dos funciones de

la muestra.

Intervalo aleatorio

El intervalo(T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar

θal nivel de probabilidad(1−α), 0< α <1, si

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo aleatorio

X1, X2, · · ·, Xnuna muestra aleatoria simple de una

variableX ∼f(x;θ),θ ∈Ω⊆R

T1(X1, ...,Xn)≡T1yT2(X1, ...,Xn)≡T2 dos funciones de

la muestra.

Intervalo aleatorio

El intervalo(T1,T2)es un intervalo aleatorio para estimar

θal nivel de probabilidad(1−α), 0< α <1, si

(24)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza

Si(T1,T2)≡(T1(X1, ...,Xn),T2(X1, ...,Xn))es un intervalo

aleatorio para estimar el parámetroθal nivel de probabilidad

(1−α), 0< α <1, y

(x1, ...,xn)es una muestra observada

(T1(x1, ...,xn),T2(x1, ...,xn))

(25)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza

Si(T1,T2)≡(T1(X1, ...,Xn),T2(X1, ...,Xn))es un intervalo

aleatorio para estimar el parámetroθal nivel de probabilidad

(1−α), 0< α <1, y

(x1, ...,xn)es una muestra observada

(T1(x1, ...,xn),T2(x1, ...,xn))

(26)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza

Si(T1,T2)≡(T1(X1, ...,Xn),T2(X1, ...,Xn))es un intervalo

aleatorio para estimar el parámetroθal nivel de probabilidad

(1−α), 0< α <1, y

(x1, ...,xn)es una muestra observada

(27)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza

Intervalo de confianza

(28)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo aleatorio|Intervalo de confianza

Aleatorio

(29)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo aleatorio|Intervalo de confianza

Aleatorio

(30)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo aleatorio|Intervalo de confianza

Confianza

(31)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo aleatorio|Intervalo de confianza

Confianza

(32)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Nivel de confianza, 100

(

1

α)

Supongamos un nivel de confianza = 95 %.

O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.

Interpretación:

Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,

El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.

El 5 % restante no lo contendrá.

(33)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Nivel de confianza, 100

(

1

α)

Supongamos un nivel de confianza = 95 %.

O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.

Interpretación:

Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,

El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.

El 5 % restante no lo contendrá.

(34)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Nivel de confianza, 100

(

1

α)

Supongamos un nivel de confianza = 95 %.

O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.

Interpretación:

Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,

El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.

El 5 % restante no lo contendrá.

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Nivel de confianza, 100

(

1

α)

Supongamos un nivel de confianza = 95 %.

O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.

Interpretación:

Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,

El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.

El 5 % restante no lo contendrá.

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Nivel de confianza, 100

(

1

α)

Supongamos un nivel de confianza = 95 %.

O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.

Interpretación:

Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,

El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.

El 5 % restante no lo contendrá.

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Nivel de confianza, 100

(

1

α)

Supongamos un nivel de confianza = 95 %.

O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.

Interpretación:

Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,

El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.

El 5 % restante no lo contendrá.

(38)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Nivel de confianza, 100

(

1

α)

Supongamos un nivel de confianza = 95 %.

O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.

Interpretación:

Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,

El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.

El 5 % restante no lo contendrá.

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Nivel de confianza, 100

(

1

α)

Supongamos un nivel de confianza = 95 %.

O, equivalentemente, un nivel de probabilidad =0.95.

Interpretación:

Fijado el intervalo aleatorio, al considerar todos los intervalos numéricos que corresponden a las distintas muestras observadas,

El 95 % de ellos (aproximadamente) contendrá el verdadero valor del parámetro.

El 5 % restante no lo contendrá.

(40)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Método para la construcción de intervalos de

confianza

Partimos de un estimadorθbdel parámetro desconocidoθ.

Buscamos una función deθby deθ,g(θ, θb ), en la que no

intervenga ningún otro parámetro poblacional desconocido, yque tenga distribución conocidae independiente de cualquier otro parámetro poblacional desconocido.

(41)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Método para la construcción de intervalos de

confianza

Partimos de un estimadorθbdel parámetro desconocidoθ.

Buscamos una función deθby deθ,g(θ, θb ), en la que no

intervenga ningún otro parámetro poblacional desconocido, yque tenga distribución conocidae independiente de cualquier otro parámetro poblacional desconocido.

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Método para la construcción de intervalos de

confianza

Partimos de un estimadorθbdel parámetro desconocidoθ.

Buscamos una función deθby deθ,g(θ, θb ), en la que no

intervenga ningún otro parámetro poblacional desconocido, yque tenga distribución conocidae independiente de cualquier otro parámetro poblacional desconocido.

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Método para la construcción de intervalos de

confianza

Partimos de un estimadorθbdel parámetro desconocidoθ.

Buscamos una función deθby deθ,g(θ, θb ), en la que no

intervenga ningún otro parámetro poblacional desconocido, yque tenga distribución conocidae independiente de cualquier otro parámetro poblacional desconocido.

Determinamos un intervalo numéricoen el que la distribución tome valorescon probabilidad 1−α.

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Método para la construcción de intervalos de

confianza

Partimos de un estimadorθbdel parámetro desconocidoθ.

Buscamos una función deθby deθ,g(θ, θb ), en la que no

intervenga ningún otro parámetro poblacional desconocido, yque tenga distribución conocidae independiente de cualquier otro parámetro poblacional desconocido.

(45)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

(46)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

(47)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) conocida

Hipótesis Básicas

La varianza poblacional (σ2) es conocida. La población es normal.

Si la población no es normal, el tamaño de muestra (n) es suficientemente grande.

Intervalo para estimarµcon C = 100(1-α) %

x −z1−α2 σ √

n,x+z1− α 2

σ √ n

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

(49)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

(50)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) conocida

El intervalo de confianza

x −z1−α 2

σ

n,x +z1− α 2

σ

√ n

(51)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) conocida

El intervalo de confianza

x −z1−α 2

σ

n,x +z1− α 2

σ

√ n

(52)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) conocida

El intervalo de confianza

x −z1−α 2

σ

n,x +z1− α 2

σ

√ n

Suele escribirse como

x

±

z

1−α 2

σ

(53)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) conocida

El intervalo de confianza

x −z1−α 2

σ

n,x +z1− α 2

σ

√ n

Suele escribirse como

x

±

z

1−α 2

σ

n

(54)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) conocida

El margen de error o error máximo admisible

ε=z1−α 2

σ √

n =

Amplitud del intervalo 2

depende de:

El nivel de confianza.

Más confianza=⇒más amplitud (Si el resto se mantiene) Del error típico del estimador(√σ

n).A menor variabilidad,

menor amplitud (Si el resto se mantiene)

Del tamaño de muestra (n)

(55)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) conocida

El margen de error o error máximo admisible

ε=z1−α 2

σ √

n =

Amplitud del intervalo 2

depende de:

El nivel de confianza.

Más confianza=⇒más amplitud (Si el resto se mantiene) Del error típico del estimador(√σ

n).A menor variabilidad,

menor amplitud (Si el resto se mantiene)

Del tamaño de muestra (n)

(56)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) conocida

El margen de error o error máximo admisible

ε=z1−α 2

σ √

n =

Amplitud del intervalo 2

depende de:

El nivel de confianza.

Más confianza=⇒más amplitud (Si el resto se mantiene)

Del error típico del estimador(√σ

n).A menor variabilidad,

menor amplitud (Si el resto se mantiene)

Del tamaño de muestra (n)

(57)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) conocida

El margen de error o error máximo admisible

ε=z1−α 2

σ √

n =

Amplitud del intervalo 2

depende de:

El nivel de confianza.

Más confianza=⇒más amplitud (Si el resto se mantiene) Del error típico del estimador(√σ

n).A menor variabilidad,

menor amplitud (Si el resto se mantiene)

Del tamaño de muestra (n)

(58)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) conocida

El margen de error o error máximo admisible

ε=z1−α 2

σ √

n =

Amplitud del intervalo 2

depende de:

El nivel de confianza.

Más confianza=⇒más amplitud (Si el resto se mantiene) Del error típico del estimador(√σ

n).A menor variabilidad,

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Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

EJEMPLO 1

El gasto medio por persona y día en una muestra de 50 turistas seleccionados aleatoriamente entre los que visitaron la Costa del Sol la pasada temporada estival fue de 106 euros.

(60)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) desconocida

Si la desviación típica es desconocida, el intervalo

x−z1−α 2

σ √

n,x+z1−α2

σ √

n

no nos sirve para estimarµ.

Como la población es normal, sabemos que

Podemos sustituir la desviación típica poblacional (σ) por su estimación (s), si utilizamos la distribucióntn−1lugar de

(61)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) desconocida

Si la desviación típica es desconocida, el intervalo

x−z1−α 2

σ √

n,x+z1−

α 2

σ √

n

no nos sirve para estimarµ.¡Los extremos son desconocidos!

Como la población es normal, sabemos que

Podemos sustituir la desviación típica poblacional (σ)

por su estimación (s), si utilizamos la distribucióntn−1

(62)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) desconocida

Si la desviación típica es desconocida, el intervalo

x−z1−α 2

σ √

n,x+z1−α2

σ √

n

no nos sirve para estimarµ.

Como la población es normal, sabemos que

Podemos sustituir la desviación típica poblacional (σ) por su estimación (s), si utilizamos la distribucióntn−1lugar de

(63)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) desconocida

Si la desviación típica es desconocida, el intervalo

x−z1−α 2

σ √

n,x+z1−α2

σ √

n

no nos sirve para estimarµ.

Como la población es normal, sabemos que

X−µ

S/√n−1 ∼tn−1.

Podemos sustituir la desviación típica poblacional (σ) por su estimación (s), si utilizamos la distribucióntn−1lugar de

(64)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) desconocida

Si la desviación típica es desconocida, el intervalo

x−z1−α 2

σ √

n,x+z1−α2

σ √

n

no nos sirve para estimarµ.

Como la población es normal, sabemos que

(65)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para la media poblacional (

µ

).

Varianza poblacional (

σ

2

) desconocida

Hipótesis Básicas

La varianza poblacional (σ2) es desconocida.

La población es normal.

Intervalo para estimar la media poblacional (µ) con C= 100(1-α) %

x −tn−1;1−α 2

s √

n−1,x +tn−1;1−

α 2

s √

n−1

(66)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

(67)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Ejemplo 2

El gasto medio por persona y día en una muestra de 50 turistas seleccionados aleatoriamente entre los que visitaron la Costa del Sol la pasada temporada estival fue de 106 euros con una desviación típica de 30 euros.

(68)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para

µ

. Muestras de tamaño

grande

Si la población no es normal, pero la muestra es de tamaño grande (n≥30)

El intervalo

x−z1−α 2

σ √

n,x+z1−α2 σ √ n

,

es un intervalo para estimarµconC∼=100(1−α) %.

(69)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para

µ

. Muestras de tamaño

grande

Si la población no es normal, pero la muestra es de tamaño grande (n≥30)

El intervalo

x−z1−α 2

σ √

n,x +z1−α2 σ √ n

,

es un intervalo para estimarµconC∼=100(1−α) %.

(70)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo de confianza para

µ

. Muestras de tamaño

grande

Si la población no es normal, pero la muestra es de tamaño grande (n≥30)

El intervalo

x−z1−α 2

σ √

n,x +z1−α2 σ √ n

,

es un intervalo para estimarµconC∼=100(1−α) %.

(71)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Ejemplo 3

(72)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

(73)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la proporción poblacional (p). Muestras

grandes.

Para n suficientemente grande,

b

P

p

s

b

P

(

1

P

b

)

n

(74)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la proporción poblacional (p). Muestras

grandes.

A partir de ese resultado se construye el intervalo

b

p−z1−α 2

r

b

p(1−bp)

n ,bp+z1−α

2

r

b

p(1−bp)

n

!

,

donde

z1−α

2, tal que,P(Z ≤z1− α

2) =1− α 2

Es un intervalo de confianza aproximado para estimar la

proporción poblacional,p, conC=100(1−α) %

(75)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la proporción poblacional (p). Muestras

grandes.

A partir de ese resultado se construye el intervalo

b

p−z1−α 2

r

b

p(1−bp)

n ,bp+z1−α

2

r

b

p(1−bp)

n

!

,

donde

z1−α

2, tal que,P(Z ≤z1− α

2) =1− α 2

Es un intervalo de confianza aproximado para estimar la

proporción poblacional,p, conC=100(1−α) %

(76)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la proporción poblacional (p). Muestras

grandes.

A partir de ese resultado se construye el intervalo

b

p−z1−α 2

r

b

p(1−bp)

n ,bp+z1−α

2

r

b

p(1−bp)

n

!

,

donde

z1−α

2, tal que,P(Z ≤z1− α

2) =1− α 2

Es un intervalo de confianza aproximado para estimar la

proporción poblacional,p, conC=100(1−α) %

(77)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la proporción poblacional (p). Muestras

grandes.

A partir de ese resultado se construye el intervalo

b

p−z1−α 2

r

b

p(1−bp)

n ,bp+z1−α

2

r

b

p(1−bp)

n

!

,

donde

z1−α

2, tal que,P(Z ≤z1− α

2) =1− α 2

Es un intervalo de confianza aproximado para estimar la

proporción poblacional,p, conC =100(1−α) %

(78)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Ejemplo 4

En una muestra de 300 clientes, seleccionados aleatoriamente de entre los que hicieron uso de las

instalaciones de un determinado complejo hotelero, 50 no estaban satisfechos con la calidad de dichas

instalaciones.

(79)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

(80)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para

σ

2

.

X

N

(µ, σ)

,

µ

conocida.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).

µconocida.

S2

µel estadístico definido por

Sµ2=

n

X

i=1

(Xi−µ)2

n .

Sabemos que

nS2 µ

σ2 ∼χ

2

(81)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para

σ

2

.

X

N

(µ, σ)

,

µ

conocida.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).

µconocida.

S2

µel estadístico definido por

Sµ2=

n

X

i=1

(Xi−µ)2

n .

Sabemos que

nS2 µ

σ2 ∼χ

2

(82)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para

σ

2

.

X

N

(µ, σ)

,

µ

conocida.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).

µconocida.

S2

µel estadístico definido por

Sµ2=

n

X

i=1

(Xi−µ)2

n .

Sabemos que

nS2 µ

σ2 ∼χ

2

(83)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para

σ

2

.

X

N

(µ, σ)

,

µ

conocida.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).

µconocida.

S2

µel estadístico definido por

Sµ2=

n

X

i=1

(Xi−µ)2

n .

Sabemos que

nS2 µ

σ2 ∼χ

2

(84)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para

σ

2

.

X

N

(µ, σ)

,

µ

conocida.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).

µconocida.

S2

µel estadístico definido por

Sµ2=

n

X

i=1

(Xi−µ)2

n .

Sabemos que

(85)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para

σ

2

.

X

N

(µ, σ)

,

µ

conocida.

A partir del resultado anterior, fijadoα, 0< α <1, obtenemos el intervalo

nSµ2

χ2n;1−α 2

, nS 2 µ χ2n;α 2

!

,

χ2n;α

2 yχ

2

n;1−2α son los valores que en la distribuciónχ

2

n

acumulan probabilidades α2 y1−α

2, respectivamente.

(86)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para

σ

2

.

X

N

(µ, σ)

,

µ

conocida.

A partir del resultado anterior, fijadoα, 0< α <1, obtenemos el intervalo

nSµ2

χ2n;1−α 2

, nS 2 µ χ2n;α 2

!

,

χ2n;α

2 yχ

2

n;1−2α son los valores que en la distribuciónχ

2

n

acumulan probabilidades α2 y1−α

2, respectivamente.

(87)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

(88)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para

σ

2

.

X

N

(µ, σ)

,

µ

desconocida.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).

µdesconocida.

S2

X la varianza muestral; es decir,

SX2 =

n

X

i=1

(Xi−X)2

n .

Sabemos que

nSX2

σ2 ∼χ

2

(89)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para

σ

2

.

X

N

(µ, σ)

,

µ

desconocida.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).

µdesconocida.

S2

X la varianza muestral; es decir,

SX2 =

n

X

i=1

(Xi−X)2

n .

Sabemos que

nSX2

σ2 ∼χ

2

(90)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para

σ

2

.

X

N

(µ, σ)

,

µ

desconocida.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).

µdesconocida.

S2

X la varianza muestral; es decir,

SX2 =

n

X

i=1

(Xi−X)2

n .

Sabemos que

nSX2

σ2 ∼χ

2

(91)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para

σ

2

.

X

N

(µ, σ)

,

µ

desconocida.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).

µdesconocida.

S2

X la varianza muestral; es decir,

SX2 =

n

X

i=1

(Xi−X)2

n .

Sabemos que

nSX2

σ2 ∼χ

2

(92)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para

σ

2

.

X

N

(µ, σ)

,

µ

desconocida.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µ, σ).

µdesconocida.

S2

X la varianza muestral; es decir,

SX2 =

n

X

i=1

(Xi−X)2

n .

Sabemos que

(93)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para

σ

2

.

X

N

(µ, σ)

,

µ

desconocida.

A partir del resultado anterior, fijadoα, 0< α <1, obtenemos el intervalo

nS2X χ2n−1;1−α

2

, nS

2

X

χ2n−1;α 2

!

,

χ2n1;α

2 yχ

2

n−1;1−2α son los valores que en la distribuciónχ

2

n−1

acumulan probabilidades α2 y1−α

2, respectivamente.

(94)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para

σ

2

.

X

N

(µ, σ)

,

µ

desconocida.

A partir del resultado anterior, fijadoα, 0< α <1, obtenemos el intervalo

nS2X χ2n−1;1−α

2

, nS

2

X

χ2n−1;α 2

!

,

χ2n1;α

2 yχ

2

n−1;1−2α son los valores que en la distribuciónχ

2

n−1

acumulan probabilidades α2 y1−α

2, respectivamente.

(95)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

(96)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS

1 Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Intervalos de confianza para la media

Intervalo de confianza para la proporción. Muestras grandes Intervalos de confianza para la varianza

(97)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias (

µ

X

µ

Y

),

varianzas poblacionales conocidas.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σX).

Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σY).

Las muestras independientes.

σX yσY conocidas.

Sabemos que,

X−Y −(µX −µY)

s

σ2

X

n + σ2

Y

m

(98)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias (

µ

X

µ

Y

),

varianzas poblacionales conocidas.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σX).

Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σY).

Las muestras independientes.

σX yσY conocidas.

Sabemos que,

X−Y −(µX −µY)

s

σ2

X

n + σ2

Y

m

(99)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias (

µ

X

µ

Y

),

varianzas poblacionales conocidas.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σX).

Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σY).

Las muestras independientes.

σX yσY conocidas.

Sabemos que,

X−Y −(µX −µY)

s

σ2

X

n + σ2

Y

m

(100)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias (

µ

X

µ

Y

),

varianzas poblacionales conocidas.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σX).

Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σY).

Las muestras independientes.

σX yσY conocidas.

Sabemos que,

X−Y −(µX −µY)

s

σ2

X

n + σ2

Y

m

(101)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias (

µ

X

µ

Y

),

varianzas poblacionales conocidas.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σX).

Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σY).

Las muestras independientes.

σX yσY conocidas.

Sabemos que,

X−Y −(µX −µY)

s

σ2

X

n + σ2

Y

m

(102)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias (

µ

X

µ

Y

),

varianzas poblacionales conocidas.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σX).

Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σY).

Las muestras independientes.

σX yσY conocidas.

Sabemos que,

X−Y−(µX −µY)

s

σ2

X σ2Y

(103)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias (

µ

X

µ

Y

),

varianzas poblacionales conocidas.

Basándonos en el resultado anterior, fijado 0< α <1, obtenemos que

X−Y−z1−α 2

s

σ2X n +

σ2Y

m,X −Y +z1−α2

s

σX2 n +

σY2 m

,

es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales,µX −µY, al nivel de probabilidad

1−α, en las condiciones anteriores. El valorz1−α

2 es tal queP(Z ≤z1−

α

2) =1−

(104)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias (

µ

X

µ

Y

),

varianzas poblacionales conocidas.

Basándonos en el resultado anterior, fijado 0< α <1, obtenemos que

X−Y−z1−α 2

s

σ2X n +

σ2Y

m,X −Y +z1−α2

s

σX2 n +

σY2 m

,

es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales,µX −µY, al nivel de probabilidad

1−α, en las condiciones anteriores. El valorz1−α

2 es tal queP(Z ≤z1−

α

2) =1−

(105)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias (

µ

X

µ

Y

),

varianzas poblacionales conocidas.

Basándonos en el resultado anterior, fijado 0< α <1, obtenemos que

X−Y−z1−α 2

s

σ2X n +

σ2Y

m,X −Y +z1−α2

s

σX2 n +

σY2 m

,

es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales,µX −µY, al nivel de probabilidad

1−α, en las condiciones anteriores.

El valorz1−α

2 es tal queP(Z ≤z1−

α

2) =1−

(106)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias (

µ

X

µ

Y

),

varianzas poblacionales conocidas.

Basándonos en el resultado anterior, fijado 0< α <1, obtenemos que

X−Y−z1−α 2

s

σ2X n +

σ2Y

m,X −Y +z1−α2

s

σX2 n +

σY2 m

,

es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales,µX −µY, al nivel de probabilidad

(107)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias (

µ

X

µ

Y

),

(108)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias

µ

X

µ

Y

.

Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σ).

Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σ).

Las muestras independientes.

σ desconocida.

Sabemos que,

X −Y −(µX −µY)

s

nS2

X +mS2Y

n+m−2

r

1

n +

1

m

(109)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias

µ

X

µ

Y

.

Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σ).

Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σ).

Las muestras independientes.

σ desconocida.

Sabemos que,

X −Y −(µX −µY)

s

nS2

X +mS2Y

n+m−2

r

1

n +

1

m

(110)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias

µ

X

µ

Y

.

Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σ).

Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σ).

Las muestras independientes.

σ desconocida.

Sabemos que,

X −Y −(µX −µY)

s

nS2

X +mS2Y

n+m−2

r

1

n +

1

m

(111)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias

µ

X

µ

Y

.

Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σ).

Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σ).

Las muestras independientes.

σ desconocida.

Sabemos que,

X −Y −(µX −µY)

s

nS2

X +mS2Y

n+m−2

r

1

n +

1

m

(112)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias

µ

X

µ

Y

.

Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σ).

Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σ).

Las muestras independientes.

σ desconocida.

Sabemos que,

X −Y −(µX −µY)

s

nS2

X +mS2Y

n+m−2

r

1

n +

1

m

(113)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias

µ

X

µ

Y

.

Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.

X1,X2,· · ·,Xnm.a.s. deX ∼N(µX, σ).

Y1,Y2,· · ·,Ymm.a.s. deY ∼N(µY, σ).

Las muestras independientes.

σ desconocida.

Sabemos que,

X −Y −(µX −µY)

s

nS2

X +mS2Y

n+m−2

r

1

n +

1

m

(114)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias

µ

X

µ

Y

.

Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.

Basándonos en el resultado anterior, fijado 0< α <1, obtenemos que

X −Y ±tn+m−2;1−α 2

s

nS2

X +mS2Y

n+m−2

r

1

n +

1

m,

es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales,µX −µY, al nivel de probabilidad

1−α, en las condiciones enunciadas. El valor

tn+m−2;1−α

2 es tal queP(tn+m−2≤tn+m−2;1−

α

2) =1−

α

(115)

Estimación por intervalos.

Introducción

Intervalo aleatorio e intervalo de confianza

Intervalos particulares

Determinación del tamaño muestral

Intervalo para la diferencia de medias

µ

X

µ

Y

.

Varianzas poblacionales desconocidas, pero iguales.

Basándonos en el resultado anterior, fijado 0< α <1, obtenemos que

X −Y ±tn+m−2;1−α 2

s

nS2

X +mS2Y

n+m−2

r

1

n +

1

m,

es un intervalo aleatorio para estimar la diferencia de medias poblacionales,µX −µY, al nivel de probabilidad

1−α, en las condiciones enunciadas. El valor

tn+m−2;1−α

2 es tal queP(tn+m−2≤tn+m−2;1−

α

2) =1−

α

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