SUPERIOR DE ENSENADA, BAJA CALIFORNIA
PROGRAMA DE POSGRADO EN CIENCIAS EN ´OPTICA
Efectos ´opticos no-lineales y guiado de onda en nanopart´ıculas met´alicas
Tesis
para cubrir parcialmente los requisitos necesarios para obtener el grado de
Doctor en Ciencias
Presenta:
Bonifacio Alejandro Can Uc
Ensenada, Baja California, M´exico,
Dr. Ra´ul Rangel Rojo
Director del Comit´e
Dr. Eugenio Rafael M´endez M´endez
Miembro del Comit´e
Dr. Santiago Camacho L´opez
Miembro del Comit´e
Dr. Carlos Torres Torres
Miembro del Comit´e
Dr. Anatoly Khomenko
Miembro del Comit´e
Dr. Pedro Negrete Regagnon
Coordinador del posgrado en ´Optica
Dr. Jesus Favela Vara
Director
de Estudios de Posgrado
Resumen de la tesis de Bonifacio Alejandro Can Uc, presentada como requisito parcial para la obtenci´on del grado de Doctor en Ciencias en ´Optica con orientaci´on en ´Optica F´ısica.
Efectos ´opticos no-lineales y guiado de onda en nanopart´ıculas met´alicas
Resumen elaborado por:
Bonifacio Alejandro Can Uc
Las nanopart´ıculas met´alicas embebidas en un diel´ectrico han mostrado varias propiedades interesantes, tales como no-linealidades ´opticas grandes y tiempos de respuesta en el r´egimen de picosegundos. Por ello, estos materiales han llamado la atenci´on para su posible aplicaci´on en sistemas ´opticos, y en particular cuando est´an embebidas en matrices v´ıtreas, por su susceptibilidad ´optica de tercer orden χ(3) relacionada con la resonancia del
plasm´on, y cuya parte real est´a ligada con el ´ındice de refracci´on no-lineal n2. El tama˜no, la
forma y la composici´on de las nanopart´ıculas en un material, son par´ametros de dise˜no que pueden ser controlados para incrementar la respuesta ´optica no-lineal en el material.
En este trabajo de tesis, estudiamos la respuesta ´optica no-lineal de tercer orden en muestras que contienen nanopart´ıculas de plata con geometr´ıa esf´erica, con geometr´ıa elipsoidal alineadas en una direcci´on preferencial y en muestras que presentan un sistema mono y bi-capa de nanopart´ıculas acompa˜nadas con puntos cu´anticos de Si. Estas muestras fueron fabricadas por medio de implantaci´on de iones y sujetas a tratamientos t´ermicos en atm´osferas reductoras para la nucleci´on de las nanopart´ıculas. Las contribuciones de absorci´on y refracci´on a la respuesta ´optica no-lineal de estas muestras, fueron estudiadas por medio de la t´ecnicaZ-scan usando un l´aser de Ti:Zafiro en el r´egimen pulsado con pulsos de 80 f s de duraci´on y con una longitud de onda centrada en 825 nm. En todas las muestras estudiadas se observ´o un n2 de signo positivo, mientras que el
coeficiente de absorci´on de dos fotones β, se encontraron tanto valores positivos como negativos. Se observ´o una anisotrop´ıa en ambas contribuciones a la no-linealidad, la absortiva y la refractiva, para las nanopart´ıculas alargadas. Tambi´en fue posible separar las componentes lentas y r´apidas en la no-linealidad relacionadas con efectos t´ermicos y electr´onicos, respectivamente.
Por otro lado, con el fin de aplicar estos materiales en dispositivos de gu´ıas de onda, tambi´en se presenta la fabricaci´on y caracterizaci´on de gu´ıas de onda ´opticas de canal basados en nanopart´ıculas de plata embebidas en silica. Las gu´ıas de onda fueron fabricadas por medio de un proceso de implantaci´on multiple de iones a diferentes energ´ıas usando una mascarilla con el fin de obtener zonas implantadas predeterminadas en forma de gu´ıas de onda de canal con un espesor apropiado. Para caracterizar las gu´ıas de onda producidas utilizamos la t´ecnica de imagen por luz esparcida y acoplamiento por prisma para analizar las p´erdidas por propagaci´on, el ´ındice de refracci´on efectivo y de aqu´ı, el perfil de ´ındice de refracci´on de la zona implantada. Estudiamos tambi´en la estructura de los modos de las gu´ıas observando su distribuci´on espacial.
properties, such as large optical nonlinearities, with response times in the ps regime. Thereby these materials have attracted a considerable amount of attention for their application in optical systems, in particular, when the nanoparticles are embedded in glass matrices, for their third-order optical susceptibilityχ(3) related with surface plasmon resonance, and whose
real part is related to the nonlinear refractive indexn2. The size, shape and composition of nanoparticles in a composite become design parameters that can be manipulated to enhance the third-order nonlinear response of the composite.
In this thesis we study the third order nonlinear optical response of samples containing silver nanoparticles with spherical geometry, aligned elongated nanoparticles in a preferential direction, and samples having a mono and bi-layer system of nanoparticles accompanied by
Si quantum dot. All the samples were fabricated by an ion-implantation process, and a thermal annealing process in a reducting atmosphere to produce nucleation of nanoparticles. The absorptive and refractive contributions to the nonlinear response of the sample were studied using the Z-scan technique with a pulsed Ti:Sapphire laser producing 80 f s pulses at 825 nm. All the samples studied showed a positive behavior of n2, while the nonlinear
optical absorption coefficient sign went fromβ <0 toβ >0. Strong anisotropy was observed in both the refractive and absorptive contributions to the nonlinearity in the case of aligned elongated nanoparticles, as well the fast electronic and slow thermal contributions to the nonlinear response were resolved.
On the other hand in order to apply these materials in optical waveguides, we also present the fabrication and characterization of channel waveguides based on composites containing silver nanoparticles in silica. The waveguides were fabricated by ion multi-implantation process with different ions energies using a nickel-cobalt alloy mask in order to produce channel waveguides with appropriate width. Scattered light imaging method and light coupled-prism were performed in order to study the waveguide propagation losses and effective refractive index, and hence, to reconstruct the refractive index profile of the implanted area. Furthermore light coupling allowed the analysis of the intensity spatial distribution of the waveguide modes.
A la memoria de mi abuelita.
A mis padres y hermanos.
momentos m´as dif´ıciles en la realizaci´on de mis estudios de doctorado.
Ampliamente al Dr. Ra´ul Rangel por su paciencia, consejos y cr´ıticas, as´ı como tambi´en su
´
animo hacia la investigaci´on, amistad y compa˜nerismo en el plan de trabajo y fuera de este.
A los Dr’s Eugenio M´endez, Santiago Camacho, Carlos Torres y Anatoly Khomenko por sus
comentarios, opiniones y criticas durante la realizaci´on de este trabajo al ser parte de mi
comit´e de tesis.
A mis compa˜neros y amigos del Laboratorio de Pulsos Ultra-cortos y Procesamiento de
Materiales del Departamento de ´Optica.
A todos los investigadores, personal t´ecnico y administrativo del Departamento de ´Optica,
gracias por su importante servicio, acertadas sugerencias y consejos.
A mis compa˜neros y amigos del Departamento de ´Optica y del CNyN, por sus amistad y
compa˜nerismo en el plan de trabajo y fuera de este.
A mis amigos y casi hermanos de M´erida y de Ensenada.
Al CICESE, por darme la oportunidad de hacer los estudios de doctorado en ciencias y al
Tabla de contenido
P´agina
Resumen en espa˜nol iii
Resumen en ingl´es iv
Dedicatoria v
Agradecimientos vi
Lista de figuras ix
Lista de tablas xiv
1. Introducci´on 1
1.1 Fen´omenos ´opticos no-lineales de tercer orden . . . 3
1.2 Optica no-lineal en telecomunicaciones . . . .´ 7
1.2.1 Requerimientos en materiales . . . 8
1.2.2 Materiales nano-estructurados para ´optica no-lineal . . . 9
1.3 Objetivos de la tesis. . . 10
1.4 Estructura de la tesis . . . 11
2. Materiales nanoestructurados 13 2.1 Plasm´on de superficie. . . 13
2.2 Propiedades lineales para nanopart´ıculas met´alicas. . . 15
2.2.1 El coeficiente de extinci´on . . . 16
2.2.2 Funci´on diel´ectrica para una nanopart´ıcula. . . 17
2.2.3 Resonancias de nanopart´ıculas esf´ericas y elipsoidales . . . 18
2.3 Optica no-lineal en nanocompositos. . . .´ 26
3. Fabricaci´on de nano-compuestos por implantaci´on de iones 28 3.1 Implantaci´on de iones met´alicos en matrices diel´ectricas. . . 30
3.1.1 Nanopart´ıculas esf´ericas . . . 31
3.1.2 Nanopart´ıculas alargadas. . . 32
3.2 Muestras estudiadas. . . 34
3.2.1 Nanocompositos con nanopart´ıculas esf´ericas y alargadas . . . 34
3.2.2 Nanocompositos que contienen nanopart´ıculas y puntos cu´anticos deSi . . . 38
4. Respuesta ´optica no-lineal de tercer orden. 43 4.1 Absorci´on y refracci´on no-lineal . . . 44
4.1.1 Absorci´on no-lineal . . . 45
4.1.2 Refracci´on no-lineal . . . 49
4.2 La t´ecnica z-scan . . . 50
4.2.1 Z-scan en presencia de refracci´on no-lineal . . . 54
4.2.2 Z-scan en presencia de absorci´on no-lineal . . . 58
5.1 Preparaci´on de las gu´ıas . . . 88
5.2 Propiedades de guiado de luz . . . 92
5.2.1 P´erdidas por propagaci´on y propagaci´on de modos . . . 93
5.2.2 ´Indice de refracci´on efectivo . . . 99
5.2.3 Perfil de ´ındice de refracci´on . . . 101
6. Resumen y Conclusiones 104
Lista de referencias 111
Lista de figuras
Figura P´agina
1 Diagrama de niveles de energ´ıa para el proceso de generaci´on de tercer arm´onico. 4
2 Diagrama de niveles de energ´ıa para el proceso mezcla de cuatro ondas. . . . 5
3 Diagrama de niveles de energ´ıa para el proceso de absorci´on de dos fotones. . 6
4 (a) L´ıneas del campo el´ectrico y distribuci´on de carga asociadas a un plasm´on de superficie en la interfaz de un metal y un diel´ectrico; (b) decaimiento de la componente perpendicular del campo E al plano principal en la superficie, y (c) la l´ınea continua es la la relaci´on de dispersi´on del plasm´on de superficie sobre una interfaz plana metal-diel´ectrico mientras que la l´ınea punteada muestra la relaci´on de dispersi´on de la luz. . . 14
5 Esfera bajo la influencia de un campo el´ectrico est´atico uniforme. . . 19
6 Campos el´ectricosE1 y E2 dentro y fuera de la esfera y diferentes entre si. . 20
7 Simulaci´on del coeficiente de absorci´on para una part´ıcula de plata de radio a
en un diel´ectrico con ´ındice de refracci´on n0 = 1.254. . . 22
8 Espectro de absorci´on de compositos quantum-dot con diferencias en el tama˜no, hechos por implantaci´on i´onica con iones de Cu en Silicio con la misma dosis. La curva punteada muestra la posici´on de la resonancia del plasm´on de superficie (Haglund et al., 1994). . . 23
9 Ilustraci´on de una part´ıcula elipsoidal. . . 23
10 Simulaci´on de la absorbancia para una nanopart´ıcula de plata orientada a 45◦ con sus semi-ejes a > b=c y una relaci´on de aspecto entre su eje mayor y su eje menor de 1.6, siendo el eje mayor de 8nmen silice (Noguez, 2007). . . . 25 11 Esquema de implantaci´on i´onica para la generaci´on de nanopart´ıculas
embebidas en un diel´ectrico. La profundidad de implantaci´on est´a denotada por d, mientras que L es el espesor de la capa implantada. ∆T es el cambio de temperatura que promueve la recuperaci´on de la estructura cristalina de la matriz y la nucleaci´on de las nanopart´ıculas. . . 31
12 Esquema de fabricaci´on de nanopart´ıculas alargadas embebidas en un diel´ectrico. La profundidad de implantaci´on d y el espesor de la capa met´alica L, dependen de los par´ametros de control de la primera implantaci´on para la formaci´on de las nanopart´ıculas esf´ericas. La deformaci´on de las nanopart´ıculas se hace mediante una segunda implantaci´on usando iones deSi. . . 34 13 Micrograf´ıa de alta resoluci´on de las nanopart´ıculas con geometr´ıa esf´erica de
la distribuci´on de las nanopart´ıculas en el sustrato y en el recuadro inferior derecho, se puede ver una nanopart´ıcula en detalle . . . 36
16 Espectros de absorbancia a) y b) de las muestras que contienen nanopart´ıculas esf´ericas y alargadas, respectivamente. En ambas mediciones, se usaron dos polarizaciones y ortogonales entre si de la fuente de luz utilizada. . . 37
17 Esquema de fabricaci´on de nanopart´ıculas met´alicas con puntos cu´anticos de
Si con implantaci´on de iones. . . 40 18 Espectros de absorci´on de las muestras Bi−Ag, 1M −Ag y 3M −Ag. . . . 41 19 Comportamiento de la transmitancia a irradiancias bajas en un material. . . 47
20 Absorci´on de un material que es representado con dos niveles de energ´ıa usando: absorci´on de un fot´on de alta energ´ıa (izquierda) y absorci´on de dos fotones de baja energ´ıa (derecha). . . 48
21 Comportamiento de la transmitancia a irradiancias altas en un material. a) Absorci´on no-lineal inducida y b) absorci´on no-lineal saturable . . . 48
22 Comportamiento espacial de un haz gaussiano al pasar por una muestra no-lineal. a) Autoenfocamiento y b) autodesenfocamiento. . . 50
23 Sistema experimental de la t´ecnica z-scan. . . 51
24 Diagrama esquem´atico del comportamiento de una muestra no-lineal en varias posiciones alrededor del plano focal. . . 52
25 La imagen en a) muestra el comportamiento de la traza de la transmitancia normalizada de una muestra no-lineal en varias posicionesa,b,cydalrededor del plano focal. En b) se pueden ver las trazas de transmitancia para dos muestras con diferente signo de n2. . . 53
26 Trazas de transmitancia para dos muestras con diferente signo del coeficiente de absorci´on no-lineal en la medici´on del z-scan abierto . . . 54
27 Propagaci´on de un haz dentro de una muestra no-lineal. . . 56
Lista de figuras(continuaci´on)
Figura P´agina
29 Simulaci´on del z-scan en presencia de absorci´on no-lineal. a) Traza de un z-scan con abertura cerrada, en el que se obtiene una combinaci´on tanto de refracci´on no-lineal como de absorci´on no-lineal. b) Traza de z-scan con abertura abierta, donde el sistema solo es susceptible a cambios debido a la absorci´on no lineal; en este caso para un proceso de absorci´on de dos fotones. c) Divisi´on de las trazas de z-scan cerrado entre el z-scan abierto, en la que se consigue la obtenci´on de la parte refractiva de la no-linealidad. . . 60
30 Diagrama de la cavidad del l´aser de Ti:Zafiro usado. . . 61
31 Espectro de los pulsos del l´aser Ti:zafiro, donde la linea continua es el ajuste gaussiano te´orico y los datos experimentales, est´an representados por los c´ırculos en negro. . . 62
32 Diagrama del sistema de auto-correlaci´on para la medici´on del ancho temporal de los pulsos del l´aser de Ti:Zafiro. El espejo del brazo horizontal del sistema proporciona el retraso entre los pulsos. . . 63
33 Trazas de autocorrelacion del l´aser de pulsos. a) Autocorrelacion en intensidad y b) autocorrelaci´on interferom´etrica. . . 64
34 a) Esquema del sistema empleado para la medici´on del perfil del haz mediante la t´ecnica de la navaja. b) imagen que ve el detector al pasar la navaja en la posici´on transversal del sistema y c) es la potencia medida de una medici´on M en la t´ecnica de la navaja. . . 66
35 Obtenci´on del perfil del haz de Ti:Zafiro usado en la t´ecnica de z-scan en una medici´on M t´ıpica de la prueba de la navaja. a) Datos experimentales obtenidos en la prueba de la navaja con respecto a la posici´on transversal del eje de propagaci´on del haz. b)Perfil del haz reconstruido a partir de los resultados en la prueba de la navaja. . . 67
36 Datos experimentales de la cintura del haz medida enHW1/e2M como funci´on
de la posici´on en el eje de propagaci´on z del haz del l´aser de Ti:Zafiro. La linea continua es el ajuste te´orico para una M2 = 1.47±0.03. . . 68 37 Sistema experimental de la t´ecnica z-scan utilizado. . . 69
los datos en rojo, son los resultados para z-scan abierto. Tambi´en se muestran los ajustes te´oricos en linea continua. . . 72
40 ∆Tp−v como funci´on del ´angulo de polarizaci´on de entrada para el z-scan cerrado para las muestra que contiene nanopart´ıculas alargadas. El ajuste te´orico es efectuado mediante un coseno cuadrado y que confirma con esto la anisotrop´ıa observada. . . 73
41 Modificaci´on al sistema de z-scan, donde el cortador de haz modula el l´aser y es ubicado en el foco del telescopio Kepleriano. . . 74
42 Dependencia de transmitancia m´axima prefocalTp y la transmitancia m´ınima posfocal Tv como funci´on dela frecuencia del cortador de haz. . . 75 43 Tp−1 y ∆Tp−v como funci´on de la irradiancia pico de las muestra que contiene
nanopart´ıculas alargadas. Las mediciones presentadas, tambi´en son generadas usando el cortador de haz a una frecuencia de 700 Hz. . . 77 44 Simulaci´on SRIM de las capas de nanopart´ıculas de Ag y de puntos cu´anticos
deSien las muestras Bi−Ag, 3M−Ag y 1M−Ag(L´opez-Su´arezet al., 2015). 79 45 Distribuci´on esquem´atica de las capas de nanopart´ıculas de Ag de los puntos
cu´anticos deSi en las muestras estudiadas (L´opez-Su´arez et al., 2015). . . . 80 46 Trazas del z-scan abierto obtenidas para las muestras Bi−Ag, 1M −Ag y
3M −Ag. . . 81 47 Trazas abierta y cerrada dez-scan para la muestra que contiene nanopart´ıculas
de Ag + puntos cu´anticos de Sien SiO2. . . 82
48 Esquema de una gu´ıa de canal basada en multi-implantaci´on de iones a diferentes ener´ıas. . . 87
49 Esquema de la fabricaci´on de las gu´ıas de onda de canal fabricadas con el uso de una mascarilla de niquel-cobalto, mediante un proceso de multi-implatantaci´on de iones de Ag. . . 89 50 Simulaci´on SRIM para un proceso de multi-implantaci´on de iones de Ag en
SiO2. . . 90
Lista de figuras(continuaci´on)
Figura P´agina
52 Espectro de absorci´on de la gu´ıa de onda plana, basada en nanopart´ıculas y que muestra la usual resonancia del plasm´on de superficie para nanopart´ıculas de Ag de geometr´ıa esf´erica. . . 92 53 Esquema del proceso de pulido de las muestras que contienen las gu´ıas de onda
de canal. . . 93
54 Esquema del sistema empleado para medir la distribuci´on de los modos de propagaci´on y las p´erdidas por el m´etodo de luz esparcida de la superficie de la muestra que contiene las gu´ıas de onda, mediante el CCD-1 y CCD-2, respectivamente. . . 94
55 Esquema del sistema experimental de la t´ecnica de imagen por luz esparcida. 95
56 Im´agenes obtenidas de la luz esparcida en la superficie del sustrato en donde se acopl´o luz a una gu´ıa de onda de 10 micras. La imagen b, es la imagen procesada de a. . . 96
57 Potencia integrada con respecto eje de propagaci´on de en la gu´ıa de onda para la muestra de 10 micras de ancho. El eje y de la figura, contiene el logaritmo natural de la potencia integrada. . . 96
58 Distribuci´on de irradiancia de los modos de propagaci´on a la salida de la gu´ıa de onda en 2D y 3D. . . 98
59 Distribuci´on de irradiancia en 2D de los modos de propagaci´on de la las gu´ıas de onda estudiadas. los incisos a, b y c, pertenecen a la gu´ıa de onda de 10 micras de ancho, los incisos d, e y f, son para la gu´ıa de onda de 15 micras de ancho y mientras que el resto es para la gu´ıa de 20 micras de ancho. . . 99
60 Distribuci´on de irradiancia en 3D de los modos de propagaci´on de la las gu´ıas de onda estudiadas. Las im´agenes procesadas pertenecen de igual manera a la cada una de las im´agenes en la figura 59. . . 100
61 Esquema experimental para la obtenci´on de los ´ındices de refracci´on efectivos de los modos de propagaci´on en las guias de onda fabricadas. . . 100
62 ´Indice de refracci´on efectivo de los modos guiados en la muestra de gu´ıa de onda plana basada en nanopart´ıcula producida por implantaci´on de iones. . . 101
4 Coeficientes ´opticos lineales y no-lineales, as´ı como tambi´en las figuras de m´erito de todas las muestras estudiadas. . . 85
5 Energ´ıas y fluencias usadas para la obtenci´on del perfil de implantaci´on visto en la figura 50. . . 90
Introducci´on
Para descubrir la respuesta que experimenta un material ante la propagaci´on de un haz de luz
intenso necesitamos conocer la interacci´on de los campos electromagn´eticos con los ´atomos
que constituyen la materia. Las ecuaciones de Maxwell en un medio diel´ectrico y en presencia
de cargas y corrientes libres, se pueden escribir como (Banerjee y Poon, 1991):
∇ ·D~ =ρ, (1)
∇ ·B~ = 0, (2)
∇ ×E~ =−∂ ~B
∂t, (3)
∇ ×H~ =~j+∂ ~D
∂t, (4)
donde E~ es el campo el´ectrico, D~ el vector de desplazamiento el´ectrico; el cual describe la propagaci´on del campo en el medio, B~ el campo magn´etico, H~ la inducci´on magn´etica,~j es el vector de densidad de corriente, y ρla densidad de carga.
A nivel macrosc´opico la propagaci´on del campo el´ectrico en un medio est´a descrita por
las relaciones constitutivas del material, de donde se puede obtener la informaci´on sobre las
propiedades el´ectricas y magn´eticas del medio (Guenther, 1990).
~
D=0E~ +P ,~ y H~ = ~ B
µ − ~
M , (5)
donde P~ es la polarizaci´on macrosc´opica del medio y M~ su magnetizaci´on, 0 y µ0 son la permitividad el´ectrica y la permeabilidad magn´etica del vac´ıo, respectivamente.
Para una mejor descripci´on del significado de una no-linealidad ´optica, consideremos al
momento dipolar por unidad de volumen, o polarizaci´onP~, dependiente de la magnitud del campo E~ aplicado. Esta dependencia puede obtenerse ya sea de un modelo microsc´opico (cl´asico como el modelo de Drude-Lorenz, o cu´antico), o de una relaci´on fenomenol´ogica
del medio. La susceptibilidad lineal del material es, en realidad, una cantidad compleja;
χ(1) =Reχ(1)+Imχ(1), donde la parte real est´a relacionada con los fen´omenos de refracci´on
y birrefringencia, mientras que la parte imaginaria est´a relacionada con los fen´omenos de
absorci´on y dicroismo.
En ´optica no-lineal, la respuesta ´optica puede ser descrita generalizando la ecuaci´on 6,
en la que se expresa la polarizaci´onP~ ahora como una serie de potencias en la magnitud del campo E~:
~
PN L =P~0+0χ(1)·E~ +0χ(2) :E ~~E +0χ(3)...E ~~E ~E+... , (7)
donde P0~ es la polarizaci´on espont´anea o permanente (presente s´olo en los materiales ferroel´ectricos) y χ(n) representa la susceptibilidad de orden n del material (con n ≥2 para
procesos ´opticos no-lineales) la cu´al es un tensor complejo de rango n + 1, que contiene informaci´on propia del material. Con respecto a la naturaleza tensorial de la susceptibilidad
(hasta 3(n+ 1) elementos), algunos de sus elementos ser´an iguales a cero o iguales entre si debido a las propiedades de simetr´ıa del material (Sauter, 1996). Por ejemplo, para un
material que presenta centro-simetr´ıa los elementos del tensor de susceptibilidad de segundo
orden ser´an igual a cero (Boyd, 2008).
Algunos ejemplos de efectos no-lineales de orden dos son: la generaci´on del segundo
arm´onico, en la que se genera un campo electromagn´etico a frecuencia 2ω a partir de un campo de alta irradiancia a frecuencia ω, donde el coeficiente no-lineal relevante es
χ(2)(−2ω;ω, ω), esta notaci´on nos dice que se tiene una respuesta a 2ω de dos haces de
entrada a frecuencia ω; la generaci´on param´etrica, en donde un campo a frecuencia ωB puede generar dos haces a frecuenciasωS y ωI, donde la suma de estas ´ultimas es igual a la frecuencia del campo de excitaci´on, que est´a asociada a χ(2)(−ωS;ωB,−ωI); etc.
generaci´on del tercer arm´onico, an´alogo a la generaci´on del segundo arm´onico, s´olo que
ahora un haz a frecuencia ω genera un haz a 3ω, caracterizado por χ(3)(−3ω;ω, ω, ω); la
mezcla de cuatro ondas degenerada (FWM, Four-Wave Mixing en ingl´es), en donde tres
haces a frecuencia ω interact´uan en el material no-lineal para generar un cuarto haz tambi´en a la frecuencia ω, pero viajando en general en una direcci´on diferente y est´a asociado a χ(3)(−ω;ω, ω, ω); la refracci´on nolineal, en la cual el ´ındice de refracci´on
caracter´ıstico del material cambia como funci´on de la irradiancia del campo incidente,
caracterizada por χ(3)(−ω;ω,−ω, ω); la absorci´on de dos fotones que se puede asociar a χ(3)(−ω;ω, ω,−ω); etc.
1.1 Fen´omenos ´opticos no-lineales de tercer orden
Desde los tiempos de Maxwell, los fen´omenos no-lineales como la saturaci´on de la
magnetizaci´on, las descargas el´ectricas producidas en un gas, la rectificaci´on de ondas de
radio, y las caracter´ısticas electr´onicas de uniones tipo p-n, son ejemplos de fen´omenos ya
conocidos para entonces (Shen, 1984). Otros autores, situan el origen de los fen´omenos
´
opticos no-lineales con la generaci´on de segundo arm´onico, observada a partir de un laser de
rub´ı por Franken et al. (1961) y despu´es del primer l´aser funcional por Maiman (1960).
Consecutivamente, se descubrieron y observaron m´as de los fen´omenos ´opticos no-lineales
que se conocen hoy en d´ıa y que han impulsado el campo de la ´optica no-lineal, as´ı como
haci´endolo un campo muy interesante de aplicaciones.
Por otro lado, el acceso a irradiancias altas con la aparici´on del l´aser, permiti´o que la
interacci´on de los campos electromagn´eticos sean de magnitud comparable a los campos
el´ectricos inter-at´omicos en un material, lo que ocasiona que la respuesta del material
presente un efecto no-lineal. Dicha no-linealidad, se manifiesta a trav´es de los fen´omenos
´
opticos no-lineales, los cuales, modifican las propiedades ´opticas del medio y que a su vez,
tambi´en modifican el campo que se propaga en ´este. Debido a la importancia de conocer los
mecanismos f´ısicos que se estudian en este trabajo de tesis, se presentar´a una breve
descripci´on de los procesos ´opticos no-lineales de tercer orden. Estos procesos pueden
ocurrir simult´aneamente afectando cada uno el desempe˜no del otro, por lo que resulta
importante conocer las caracter´ısticas importantes de cada uno de ellos.
tercer arm´onico, la mezcla de cuatro ondas degenerada (FWM,Four-Wave Mixing en ingl´es),
la refracci´on no-lineal y la absorci´on de dos fotones, por mencionar algunos.
La generaci´on del tercer arm´onico, es an´aloga a la generaci´on del segundo arm´onico,
s´olo que en este caso un haz a frecuencia ω genera un haz a 3ω; proceso caracterizado por
χ(3)(−3ω;ω, ω, ω). De acuerdo con la descripci´on con fotones, figura 1 en este caso, tres fotones con frecuenciaω son destruidos y un fot´on a frecuencia 3ω es creado.
Figura 1. Diagrama de niveles de energ´ıa para el proceso de generaci´on de tercer arm´onico.
La mezcla de cuatro ondas no degenerada(FWM,Four-Wave Mixing en ingl´es), involucra
generalmente la aniquilaci´on de dos fotones a frecuencias ω1ω2 y crea dos fotones, llamados se˜nal y acompa˜nante ωiωs; el proceso est´a asociado a χ(3)(−ωi;ω1, ω2,−ωs) y se puede interpretar de manera cu´antica como se muestra en la figura 2.
As´ı como en los procesos param´etricos mencionados, en este caso tambi´en se debe
Figura 2. Diagrama de niveles de energ´ıa para el proceso mezcla de cuatro ondas.
ω1 +ω2 =ωi+ωs, adem´as para que este proceso sea eficiente, debe cumplirse la condici´on de empatamiento de fases:
∆−→k =−→ks+ − →
ki− − →
k1− − →
k2 = 0. (9)
La refracci´on nolineal, en la cual, existe una dependencia del ´ındice de refracci´on
caracter´ıstico del material como funci´on de la irradiancia del campo incidente I, dado por:
n=n0+n2I, (10)
donde n0 es el ´ındice de refracci´on lineal y n2 se denomina como el ´ındice de refracci´on
no-lineal, el cual est´a relacionado con la parte real deχ(3) mediante:
n2 =
3 4ε0n20c
Renχ(3)o. (11)
Tal dependencia del ´ındice de refracci´on con la irradiancia de la luz que incide en el
material, es conocida como refracci´on no-lineal o efecto Kerr ´optico y est´a asociada a
χ(3)(−ω;ω,−ω, ω). M´as adelante, este proceso ser´a explicado con un detalle m´as profundo, dado que es de suma importancia en los estudios de este trabajo de tesis.
La absorci´on de dos fotones que se puede asociar a χ(3)(−ω;ω, ω,−ω); est´a relacionada con la absorci´on nolineal α(I) a trav´es de:
α(I) = α0+βI, (12)
dondeα0 es el ´ındice de refracci´on lineal yβ es es coeficiente de absorci´on de dos fotones que se relaciona con la susceptibilidad de tercer orden,χ(3), a trav´es de:
β = 4π
λcε0n20
absorci´on de dos fotones (figura 3). Para tener una mayor probabilidad de excitaci´on por
dos fotones, es necesario el uso de irradiancias altas, en donde la probabilidad del proceso es
proporcional al cuadrado de la irradiancia de excitaci´on (G¨oppert Mayer, 1931).
Figura 3. Diagrama de niveles de energ´ıa para el proceso de absorci´on de dos fotones.
Estos fen´omenos, donde la luz misma controla la propagaci´on de la luz, resultan ideales
para implementar mecanismos de control ´optico de se˜nales que pueden ser aplicados por
ejemplo, al desarrollo de dispositivos fot´onicos, como pueden ser: dispositivos de
conmutaci´on ´optica, limitadores ´opticos, mezcladores, moduladores ´opticos, dispositivos de
almacenamiento e incluso dispositivos l´ogicos (Camacho et al., 2005; Yu et al., 2003; Inouye
et al., 2000). Esta clase de dispositivos pueden explotar la alta velocidad de respuesta de
los fen´omenos ´opticos no-lineales, por lo que resultan ideales para aplicaciones en sistemas
de transmisi´on y procesamiento de informaci´on en el ´area de las telecomunicaciones
1.2 Optica no-lineal en telecomunicaciones´
Desde los a˜nos 80 se reconoci´o que la tecnolog´ıa electr´onica llegar´ıa a un l´ımite de velocidad
de procesamiento de informaci´on, por lo que se propuso a la tecnolog´ıa ´optica como una
alternativa para el futuro de las telecomunicaciones, ya que debido a las caracter´ısticas de la
luz, la tecnolog´ıa ´optica podr´ıa manejar vol´umenes altos de informaci´on (Najafi, 1992; Olsson
y Blumenthal, 2001).
Por otro lado las propiedades de propagaci´on de los materiales con una no-linealidad de
tercer orden, presentan una dependencia con el cuadrado de la magnitud del campo, o bien,
con la irradiancia incidente. En este sentido, los fen´omenos en donde la luz es la responsable
de controlar la propagaci´on de la misma, resultan ser id´oneos para el procesamiento ´optico
de se˜nales y que pueden ser aplicados en el desarrollo de dispositivos fot´onicos. Algunos
ejemplos de dispositivos que explotan la respuesta de los fen´omenos ´opticos no-lineales son;
conmutadores ´opticos, limitadores ´opticos, mezcladores, moduladores ´opticos, dispositivos de
almacenamiento y dispositivos l´ogicos (Camachoet al., 2005; Inouyeet al., 2000). Ello resulta
en un importante inter´es para las aplicaciones en sistemas de transmisi´on y procesamiento
de informaci´on en telecomunicaciones.
En la actualidad, los sistemas de comunicaci´on necesitan de interfaces para la conversion
de las se˜nales ´opticas a electr´onicas y viceversa para el enrutamiento y conmutaci´on de
se˜nales ´opticas. Esto implica que la velocidad de transmisi´on total del sistema es reducida
por los dispositivos utilizados en el manejo de se˜nales. Otra problem´atica existente en las
interfases ´optico-electr´onicas-´opticas, es que los dispositivos electr´onicos requieren manejar la
informaci´on en un formato estandarizado, por lo que se requiere cambiar la forma, velocidad
y niveles de potencia de los pulsos transmitidos en cada punto de enrutamiento (Brzozowski
y Sargent, 2007).
En este sentido, una aplicaci´on que ha sido propuesta desde hace algunos a˜nos para
realizar operaciones l´ogicas con luz aplicables en sistemas de procesamiento ´optico de
informaci´on, es la conmutaci´on puramente ´optica de se˜nales. Esta aplicaci´on est´a basada en
la obtenci´on de una interacci´on entre dos haces de luz explotando la respuesta ´optica
no-lineal del material donde se propagan. La idea importante est´a en aprovechar la alta
frecuencia de la luz, lo que en principio permitir´ıa procesar la informaci´on a tasas mucho
OTDM (Optical Time Domain Multiplexing), que consiste en transmitir m´ultiples se˜nales
´
opticas por una sola fibra, intercalando en el tiempo diferentes paquetes de informaci´on de
cada se˜nal. Para que esta t´ecnica sea eficiente se requiere aplicar conmutaci´on ultra-r´apida
en la distribuci´on de las se˜nales, por lo que se necesitan materiales cuya respuesta no-lineal
tenga un tiempo ultra-r´apido de recuperaci´on (Olsson y Blumenthal, 2001).
Para llevar a cabo estas aplicaciones, se requiere que el manejo de se˜nales sea de un proceso
degenerado y que no implique cambios en la frecuencia fundamental en la se˜nal transmitida
(Tamayo Rivera, 2009).
1.2.1 Requerimientos en materiales
Un material que presenta una modificaci´on del ´ındice de refracci´on y de su absorci´on ´optica
cuando se hace incidir un haz intenso de luz (n =n0+n2Iyα=α0+βI), es un buen candidato
importante en los dispositivos de conmutaci´on ´optica, ya que muchas de las configuraciones
propuestas est´an basadas en cambios en el ´ındice de refracci´on del material. Esta modificaci´on
del ´ındice de refracci´on o efecto Kerr ´optico, en particular, lejos de resonancia puede ser una
buena opci´on para el desarrollo de dispositivos de conmutaci´on ´optica ultrarr´apida, ya que
posee un tiempo de respuesta cuasi-instant´aneo (Tamayo Rivera, 2009). Un punto importante
es que para competir con la velocidad de procesamiento de conmutaci´on existentes (∼ 10
Gbps), el tiempo de recuperaci´on del material deber´ıa ser menor a 100 ps, ya que el tiempo de respuesta del material determina la velocidad m´axima de procesamiento de datos.
Debido a esto los requerimientos importantes de los materiales para aplicaciones en
procesos ´opticos de informaci´on, es que los tiempos de respuesta del efecto no-lineal deban
ser menores que el ancho temporal del pulso de excitaci´on y la suma de los tiempos de
Por otro lado, una manera de evaluar estos materiales a partir de la respuesta ´optica
no-lineal se hace mediante las figuras de m´erito que est´an basadas en cascabilidad, los
cuales nos dan un indicio acerca de cuan d´ebil es la absorci´on tanto lineal α0 como no-lineal
β comparado con el ´ındice de refracci´on no-lineal n2.
Para la obtenci´on de dichos par´ametros de control, existen varias t´ecnicas experimentales
en donde se puede estudiar la respuesta no-lineal de tercer orden, tales como el barrido en z (
Z-Scan, por sus siglas en ingl´es), compuerta Kerr ´optica (OKG, idem), por mencionar algunas.
Cada t´ecnica presenta diferentes grados de dificultad tanto para el desarrollo experimental
como para el an´alisis de resultados, adem´as de que cada t´ecnica permite determinar diferentes
componentes del tensor de susceptibilidad. La t´ecnica del “barrido en z”, est´a basada en la
observaci´on de cambios en fase traducidos a cambios en amplitud cuando una muestra es
barrida a trav´es del plano focal de un haz gaussiano enfocado (Sheik-Bahae et al., 1990).
Esto lo hace una t´ecnica de f´acil implementaci´on de la que se pueden obtener el ´ındice
de refracci´on no-lineal n2, el coeficiente de absorci´on no-lineal β, as´ı como sus signos. Sin
embargo, el barrido en z, no permite resolver la respuesta no-lineal en el tiempo. En la
compuerta Kerr ´optica dos haces se acoplan en el material a trav´es de la modulaci´on cruzada
de la fase (XPM), de tal forma que el ´ındice de refracci´on efectivo visto por cada haz no s´olo
depende de la intensidad del mismo, sino tambi´en de la intensidad del haz co-propagante
(Ippen y Shank, 974). En esta t´ecnica, se puede observar la birrefringencia no-lineal inducida
por un haz intenso de luz en un material normalmente isotr´opico, la cual ser´a proporcional
a la intensidad del haz incidente (Tamayo Rivera, 2009). Al cambiar el valor del retraso
temporal del haz de prueba con respecto al haz de bombeo, se puede resolver la dependencia
temporal de la respuesta no-lineal del material, es decir, la respuesta de χ(3)temp, adem´as de que permite acceder a diferentes componentes del tensor de susceptibilidad.
1.2.2 Materiales nano-estructurados para ´optica no-lineal
Hasta ahora se ha explorado y evaluado la respuesta ´optica no-lineal en una gran gama de
materiales para su posible explotaci´on en este tipo de dispositivos. Los materiales
estudiados incluyen: semiconductores, pol´ımeros, vidrios y nanopart´ıculas (Oliver y
Reyes-Esqueda, 2008). Las nanopart´ıculas met´alicas de Au, Ag y Cu han demostrado ser
de los materiales mediante la manipulaci´on del tama˜no, la forma y la densidad de las
nanopart´ıculas (Rangel-Rojoet al., 2009).
En este trabajo de tesis se estudian las propiedades ´opticas no-lineales y guiado de luz en
materiales consistentes en nanopart´ıculas met´alicas. La idea de estos estudios es que estos
materiales puedan resultar ´utiles en la implementaci´on de sistema ´opticos informaci´on para
telecomunicaciones. Los estudios de las propiedades ´opticas no-lineales, fueron llevados a
cabo con el uso de un l´aser de Ti:Za de femtosegundos que cuenta el laboratorio de Pulsos
Ultra-Cortos y Procesamiento de Materiales del Departamento de ´Optica en el CICESE. Con
respecto a los estudios de guiado de luz, los experimentos fueron conducidos en el laboratorio
antes mencionado y en el laboratorio de Pel´ıculas Delgadas en el mismo departamento.
1.3 Objetivos de la tesis.
El objetivo principal de este proyecto de tesis, se centra en el estudio de las propiedades
´
opticas no-lineales y guiado de luz de nanocompositos consistentes en nanopart´ıculas para su
potencial implementaci´on en dispositivos de procesamiento de informaci´on. Para conseguir
este objetivo principal, habr´a que trabajar en los siguientes objetivos particulares:
• Estudio de las propiedades ´opticas no-lineales de compositos que contienen
nanopart´ıculas de plata con dos geometr´ıas diferentes y en un sistema de mono y
bi-capa de nanopart´ıculas acompa˜nadas de una capa de puntos cu´anticos de Si y que dichas nanopart´ıculas est´an embebidas en sustratos de SiO2.
• Fabricaci´on de gu´ıas de onda de canal para el estudio de las propiedades de guiado de
• Estudio de las propiedades de propagaci´on de gu´ıas de onda ´opticas de canal
consistentes en nanopart´ıculas met´alicas.
1.4 Estructura de la tesis
Este trabajo de tesis est´a dividido en 6 cap´ıtulos, donde el primero, hace una breve
descripci´on sobre algunos fen´omenos ´opticos relacionados con la susceptibilidad de tercer
orden χ(3). Tambi´en, en este cap´ıtulo se hace una breve descripci´on acerca de la importancia del estudio de las propiedades de nanopart´ıculas para su posible aplicaci´on en
sistemas ´opticos de informaci´on.
En el cap´ıtulo 2 se hace una descripci´on con un grado de profundidad de la relaci´on de
las propiedades ´opticas tanto lineales como no-lineales de nanopart´ıculas met´alicas a trav´es
de la resonancia del plasm´on de superficie. Tambi´en se mencionan los efectos que se tienen
en la resonancia del plasm´on con respecto a efectos de tama˜no o con respecto a la geometr´ıa
de las nanopart´ıculas con la respuesta ´optica del material. De esta manera, es m´as f´acil
para el lector entender la relaci´on de la resonancia del plasm´on con respecto a los fen´omenos
no-lineales que se estudian en esta tesis.
El capitulo 3, describen los procesos involucrados para la fabricaci´on de nanopart´ıculas
estudiadas en este trabajo de tesis. Entre los procesos descritos, figuran el proceso de
implantaci´on de iones, los procesos t´ermicos involucrados para la obtenci´on de
nanopart´ıculas met´alicas y los procesos de implantaci´on para la obtenci´on de
nanopart´ıculas alargadas. Por otro lado, una vez descritos los procedimientos, se describen
los resultados de las muestras estudiadas, muestras que contienen nanopart´ıculas embebidas
en sustratos de SiO2.
En el cap´ıtulo 4, se puede encontrar una descripci´on de los fen´omenos de absorci´on y
refracci´on no-lineal de tercer orden, que a su vez, se involucran directamente con los
par´ametros de n2 y β; importantes para los procesos ´opticos de se˜nales. Tambi´en, se
presenta la teor´ıa de la t´ecnica Z-scan utilizada para la medici´on de los coeficientes ´opticos
no-lineales. Al final, se muestran los resultados obtenidos de las mediciones de las partes
tanto absortivas como refractivas a la no-linealidad de las muestras estudiadas. Dentro de
los aspectos importantes que se estudian en la muestras, es su dependencia con la geometr´ıa
Cap´ıtulo 2
Materiales nanoestructurados
Las propiedades ´opticas lineales y no-lineales de materiales nanoestructurados han sido de
gran importancia desde hace ya un largo tiempo desde el punto de vista cient´ıfico-tecnol´ogico.
Con la b´usqueda de nuevos materiales nanoestructurados, se han podido encontrar muchos
materiales con caracter´ısticas electr´onicas, magn´eticas, qu´ımicas, biol´ogicas, ´opticas, etc,
espec´ıficas para muchas aplicaciones. En este sentido, con el desarrollo de nanopart´ıculas con
metales nobles, es posible manipular las propiedades ´opticas lineales y no-lineales mediante
la modificaci´on de la estructura del material. Este hecho se basa en que las propiedades
´
opticas de estos materiales son principalmente determinadas por la resonancia del plasm´on
de superficie y por tanto, son fuertemente dependientes de la geometr´ıa de las nanopart´ıculas
y del medio que las rodea (Gonz´alezet al., 2008). Aunque los plasmones de superficie son bien
conocidos desde ya hace largo tiempo, tal dependencia ha abierto la posibilidad de sintonizar
la respuesta ´optica de las nanopart´ıculas met´alicas. Por ello, para comprender mejor la
relaci´on entre la estructura de un material nanocompuesto y sus propiedades ´opticas lineales
y no-lineales, es de gran importancia entender la f´ısica que hay de por medio en dichos
materiales nano-estrucutrados debido a la presencia de un campo electromagn´etico de la luz
incidente.
2.1 Plasm´on de superficie.
La oscilaci´on coherente de los electrones de conducci´on debida a la acci´on de un campo
electromagn´etico, ocasiona un desplazamiento de la nube de electrones del n´ucleo. lo que da
lugar a una distribuci´on de carga superficial. La atracci´on entre las cargas positivas y
negativas, inducen la aparici´on de fuerzas restitutivas que se caracterizan por las frecuencias
de oscilaci´on de las nubes electr´onicas. Esta oscilaci´on en el metal tiene un car´acter
longitudinal colectivo del gas de electrones de conducci´on y dicha oscilaci´on colectiva es
conocido como la resonancia de plasm´on de superficie. Los plasmones de superficie son
Figura 4. (a) L´ıneas del campo el´ectrico y distribuci´on de carga asociadas a un plasm´on de superficie en la interfaz de un metal y un diel´ectrico; (b) decaimiento de la componente perpendicular del campo E al plano principal en la superficie, y (c) la l´ınea continua es la la relaci´on de dispersi´on del plasm´on de superficie sobre una interfaz plana metal-diel´ectrico mientras que la l´ınea punteada muestra la relaci´on de dispersi´on de la luz.
En la figura 4a se observa que los plasmones de superficie son de car´acter transversal
magn´etico (H est´a en la direcci´on y) y la generaci´on de la carga superficial requiere de un campo el´ectrico normal a la superficie. En la figura 4b se puede ver que el campo del plasm´on
es evanescente ya que decae de manera exponencial ortogonalmente a la superficie hacia
ambos lados de la interfase, es decir, tanto del lado del metal como del lado del diel´ectrico.
En el medio diel´ectrico, t´ıpicamente aire o vidrio, la longitud de decaimiento del campo,δd, es del orden de la mitad de la longitud de onda de la luz involucrada, mientras que la longitud
de decaimiento dentro del metal,δm, est´a determinada por la capa met´alica. Por ´ultimo en 4c se observa la curva de dispersi´on para los modos del plasm´on de superficie, donde se puede
ver el problema de desacoplamiento que debe ser superado para poder excitar plasmones en
una interfase. En una interfase plana esto requiere de alg´un cambio en la geometr´ıa, como
por ejemplo el uso de un prisma en la configuraci´on de Kretschmann y Raether (1968). En
el caso de nanopart´ıculas embebidas en un diel´ectrico, esto no es problema, porque en la
y su normal, logren generar la excitaci´on de plasm´on de superficie (Mie, 1908; Podlipensky
et al., 2002).
En este punto, se debe enfatizar que dependiendo de la geometr´ıa del sistema, los
plasmones de superficie son llamados de diferente manera; los llamados plasmones de
superficie viajeros son los confinados en una superficie met´alica plana, mientras que los
llamados plasmones de superficie localizados son los que son confinados en part´ıculas y que
no viajan por el diel´ectrico (Zayats y Smolyaninov, 2003). El primero, el plasm´on de
superficie viajero tiene una dependencia con el vector de onda, es decir, son excitados
solamente si la frecuencia y el vector de onda de la luz de excitaci´on coinciden con la
frecuencia y el vector de onda del plasm´on de superficie viajero, adem´as, el plasm´on de
superficie viajero es un modo superficial de propagaci´on. En contraste, los plasmones
localizados son caracterizados por ser discretos, por tener frecuencias complejas que
dependen del tama˜no y la forma del objeto para que el plasm´on de superficie sea confinado,
adem´as que pueden ser excitados resonantemente con luz a frecuencia y polarizaci´on
apropiados e independientemente del vector de onda de la luz de excitaci´on. Por
consiguiente, los plasmones de superficie localizados pueden decaer con la emisi´on de luz.
Debido a que los plasmones de superficie localizados son confinados en la part´ıcula, ello
resulta en un incremento en la amplitud del campo el´ectrico inducido en la peque˜na
part´ıcula (o campo el´ectrico local), debido al peque˜no volumen del modo del plasm´on de
superficie localizado. Este efecto contribuye a numerosos fen´omenos tales como incremento
en la emisi´on de luz de materiales luminiscentes, incremento del esparcimiento,
esparcimiento Raman y, tambi´en conlleva a un incremento en la magnitud de la respuesta
no-lineal efectiva del material (Zayats y Smolyaninov, 2003). Como la resonancia del
plasm´on de superficie es una consecuencia directa del contraste diel´ectrico, las
caracter´ısticas espectrales de ´esta resonancia son determinadas por las propiedades de
conductividad electr´onica del medio.
2.2 Propiedades lineales para nanopart´ıculas met´alicas.
La importancia en el estudio de la respuesta lineal de los nanocopositos met´alicos es
definitivamente necesario para el estudio de las propiedades ´opticas no-lineales de estos.
2.2.1 El coeficiente de extinci´on
Cuando una part´ıcula est´a bajo la acci´on de un campo electromagn´etico, los electrones en
el medio oscilan coherentemente, transformando energ´ıa a partir de la onda
electromagn´etica incidente (Noguez, 2007). Tal es el caso en el que en un sistema
experimental t´ıpico, la atenuaci´on de una onda electromagn´etica a trav´es de un material
debida a la suma de esparcimiento y absorci´on, es llamada extinci´on electromagn´etica. Si
consideremos un medio compuesto de nanopart´ıculas en un medio homog´eneo, de tal
manera que las interacciones entre part´ıculas son pr´acticamente nulas, la extinci´on en el
material, σext, puede ser modelado como la respuesta ´optica de una nanopart´ıcula inmersa en una concentraci´on de nanopart´ıculas (Noguez, 2007).
σext=N(Cabs+Csca), (14) donde N es la concentraci´on de nanopart´ıculas por unidad de volumen en el material, Cabs
y Csca son las secciones transversales de absorci´on y de esparcimiento de una part´ıcula. En
este caso, vamos a considerar que el tama˜no de las nanopart´ıculas son lo suficientemente
grandes para considerar el modelo cl´asico y lo suficientemente peque˜nas para ver efectos en
la dependencia de las propiedades ´opticas debido a su tama˜no y forma. En este sentido,
las inhomogeneidades de las part´ıculas son lo suficientemente peque˜nas comparadas con la
longitud de onda y a su vez, se puede hacer una descripci´on en t´erminos de la funci´on
diel´ectrica macrosc´opica; dependiente de la frecuencia y en algunos casos, del tama˜no de la
onda incidente.
Al resolver las ecuaciones de Maxwell, es posible encontrar la respuesta ´optica de una
de las ecuaciones de Maxwell, la soluci´on exacta de la respuesta ´optica para una esfera de
radio a, inmersa en un medio homog´eneo y sometida por una onda plana monocrom´atica (Mie, 1908; Kreibig y Vollmer, 1995). Por otro lado, se ha podido llegar a soluciones para
part´ıculas sin geometr´ıa esf´erica usando alguna aproximaci´on; como esferoides o elipsoides
por Asano y Yamamoto (1980) y Lind y Greenberg (1966) respectivamente, por mencionar
algunos.
Aqu´ı se tratar´a de explicar de una manera generalizada la respuesta de una part´ıcula a
partir de la funci´on diel´ectrica para calcular la absorci´on de luz en las nanopart´ıculas.
2.2.2 Funci´on diel´ectrica para una nanopart´ıcula.
La funci´on diel´ectrica medida experimentalmente en los metales en bulto se puede usar como
el inicio del c´alculo de la extinci´on de las nanopart´ıculas. Dicha funci´on, contempla las
contribuciones de las transiciones electr´onicas intra-banda e inter-banda, y se puede describir
de la siguiente manera:
exp(ω) =inter(ω) +intra(ω), (15) en donde las contribuciones inter-banda, se deben a procesos de transici´on electr´onica de
las bandas ocupadas a las vac´ıas y separadas por una brecha de energ´ıa. En este caso, los
electrones est´an ligados por una fuerza restitutiva dada por la diferencia de energ´ıa entre
los estados base y de excitaci´on electr´onicos en los metales; usualmente en la regi´on
ultra-violeta. Para el caso de las contribuciones de las transiciones intra-banda, ´estas vienen de las
transiciones electr´onicas cercanas al nivel de Fermi hacia bandas no completamente llenas ´o
en la superposici´on de dos bandas llena y vac´ıa, respectivamente. ´Estas transiciones proveen
mecanismos de absorci´on a bajas energ´ıas. Por esto es que los electrones en el nivel de Fermi
para los metales son excitados por fotones de baja energ´ıa, de manera que se consideran
esencialmente electrones libres. Las contribuciones de los electrones libres a exp(ω), pueden describirse por el modelo de Drude (Kittel, 1996; Bohren y Human, 1983):
intra(ω) = 1−
ω2p
ω(ω+i/τ), (16)
(Coronado y Schatz, 2003). Para incluir el t´erminoτ(a) debido a la dispersion en la superficie, se deben modificar las contribuciones intra-banda, por lo que partiendo de la ecuaci´on 15 se
puede obtener la contribuci´on de las cargas ligadas restando la contribuci´on de los electrones
libres de la funci´on diel´ectrica.
(ω, a) =inter(ω) +intra(ω, a) = {exp(ω)−intra(ω)}+{1−
ω2p
ω(ω+i/τ +i/τ(a))}, (17) aqu´ı, se considera la dispersi´on superficial en una esfera, 1/τ =vf/a, siendo vf la velocidad de Fermi de la nube electr´onica, y considerando que mientras m´as peque˜na sea la part´ıcula,
el efecto de dispersi´on superficial se hace tambi´en m´as importante. En su trabajo Noguez
(2007), demostr´o que los efectos de dispersi´on superficial no cambian la localizaci´on de los
modos superficiales, pero si tienen efecto en el acoplamiento de tales modos con el campo
aplicado, as´ı como picos de resonancia m´as anchos y menos intensos.
2.2.3 Resonancias de nanopart´ıculas esf´ericas y elipsoidales
Ahora que se tiene noci´on sobre los efectos de tama˜no y de forma en la funci´on diel´ectrica, es
necesario usar un m´etodo adecuado para encontrar las resonancias del plasm´on de superficie.
En la actualidad se usan m´etodos como la aproximaci´on del dipolo discreto (DDA por sus
siglas en ingl´es) (Dreine, 1988), representaci´on espectral y diferencias finitas (Fuchs, 1975),
por mencionar algunos. Para obtener dichas soluciones, tambi´en hay que tomar en cuenta que
las transiciones electr´onicas inter-banda absorben energ´ıa, pero sin contribuir a la resonancia
Part´ıculas esf´ericas
La explicaci´on sobre las resonancias que provoca una nanopart´ıcula esf´erica ya ha sido dado
con mucho detalle en la extensa literatura, sin embargo, en este trabajo solo se abordar´a una
breve explicaci´on del problema.
Primero, vamos a considerar una esfera homog´enea e isotr´opica que est´a situada en un
medio arbitrario y que est´a sometida por un campo E0. Dado el tama˜no tan peque˜no de la nanopart´ıcula con respecto a la longitud de onda de la luz, el campo en toda la nanopart´ıcula
se puede considerar como uniforme en la figura 5. Esto es para obtener una soluci´on en donde
se pueda demostrar que una esfera sometida por un campo E0 electrost´atico, es equivalente
a un dipolo ideal; en consecuencia, se puede llegar a asumir que para prop´ositos del c´alculo,
se puede reemplazar la esfera con un dipolo ideal con momento dipolarmαhE0, y as´ı poder
obtener las secciones transversales cuando el campo aplicado es una onda plana.
Figura 5. Esfera bajo la influencia de un campo el´ectrico est´atico uniforme.
Para comenzar, tomemos en consideraci´on que las constantes diel´ectricas de la esfera y el
medio que la rodea son diferentes entre s´ı, por lo que una carga ser´a inducida en la superficie
de la esfera. Por consiguiente, el campo aplicado ser´a distorsionado por la introducci´on de
la esfera. Los campos el´ectricos dentro y fuera de la esfera, E1 y E2 respectivamente (figura
6), pueden derivarse de los potenciales escalares φ1 y φ2.
E1 =−∇φ1, E2 =−∇φ2, (18)
donde
Figura 6. Campos el´ectricosE1 yE2 dentro y fuera de la esfera y diferentes entre si.
Tomando en cuenta que los potenciales son independientes del ´angulo azimutal, debido
a la simetr´ıa del problema, y que adem´as, en el la interfase entre la esfera y el medio que la
rodea, se debe satisfacer:
φ1 =φ2, 1 δφ1
δr =2 δφ2
δr , (20)
donde,1 es la constante diel´ectrico de la esfera y 2 es la del material envolvente.
Adem´as,
lim
r→∞φ2 =−E0rcos(θ) = −E0z, (21)
esto es, que para grandes distancias fuera de la esfera, el campo el´ectrico es igual al campo
aplicado sin perturbaci´on. Aqu´ıθ representa la direcci´on de la onda esparcida con respecto a la direcci´on de propagaci´on de la fuente. Entonces, es posible mostrar que el potencial
escalar fuera de la esfera es:
φ2 =a3E0
1−2 1+ 22
cos(θ)
r , (22)
El resultado, muestra que se trata del mismo potencial si se hubiera reemplazado la esfera
por un dipolo, consistente de una carga positiva y otra negativa separadas por una distancia
d= 2a. Esto significa que el campo aplicado induce un momento dipolar P, proporcional al campo y que nos permite definir la polarizabilidadαh.
P=αhE0, αh = 4πa3
1−2
1 + 22. (23)
Al sustituir el campo est´atico aplicado por una onda plana, se puede llegar a mostrar
que el dipolo rad´ıa un campo esparcido que es proporcional a la polarizabilidad y al campo
part´ıculas (Bohren y Human, 1983):
Cext =Cabs =kIm(αh) = πa24xIm
n 1−2 1+ 22
o
, (24)
La expresi´onCext =Cabsen la ecuaci´on 24, sucede para cuando el esparcimiento es peque˜no
comparado con la absorci´on. Con estas bases, es posible obtener el valor de la absorci´on lineal
de una part´ıcula esf´erica a trav´es deα =ρCabs, dondeρ es la densidad de las part´ıculas. Por consiguiente, para el caso de nanopart´ıculas esf´ericas de materiales alcalinos y metales nobles
con constante diel´ectrica m = 0m +i
00
m embebida en un diel´ectrico con d, el espectro de absorci´on se puede obtener separando las componentes real e imaginaria de la polarizabilidad
mediante el uso del complejo conjugado (0m+ 2d)−i00m del denominador, lo que resulta en:
α = 4πρka3n2dImn m−d
m+ 2d
o
= 24π
2ρa3n2
d
λ
00m
(0
m+ 2d)2+00m2 = 8π
2ρa3
λ |f1(ω)| 2 00
m, (25)
donde se puede obtener el factor de correcci´on de campo local:
|f1(ω)|2=
3n2
d (0
m+ 2d)2+00m2
. (26)
La expresi´on 25 muestra una resonancia bien definida en el espectro de absorci´on del
material a trav´es de la condici´on de resonancia del plasm´on de superficie:
0m(ωsp) + 2d
2
+00m(ωsp)2 = 0. (27)
En la figura 7 se muestra una simulaci´on de la absorci´on (25) para una nanopart´ıcula de
plata embebida en silice. Los valores de la funci´on diel´ectrica, fueron basados en los valores
experimentales obtenidos por Johnson y Christy (1972). De esta figura, es f´acil observar un
pico bien definido de la resonancia del plasmon de superficie. Esta teor´ıa, desarrollada por
Maxwell-Garnett (1904), no contiene efectos con el tama˜no de la nanopart´ıcula.
Experimentalmente se ha visto que la posici´on y el ancho del plasm´on de superficie
dependen ligeramente del tama˜no de las nanopart´ıculas (Mattei et al., 2010; Meldrum
et al., 2010; Lance et al., 2003; Chiu et al., 2003). Se necesitan teor´ıas m´as completas para
Figura 7. Simulaci´on del coeficiente de absorci´on para una part´ıcula de plata de radioaen un diel´ectrico con ´ındice de refracci´onn0= 1.254.
Efectos del tama˜no de las nanopart´ıculas.
La importancia de los procesos de absorci´on y esparcimiento como funci´on del tama˜no de la
nanopart´ıcula puede ser determinada para part´ıculas esf´ericas a partir de la teor´ıa de Mie.
Asumiendo que las nanopart´ıculas no interact´uan entre s´ı, los efectos del tama˜no pueden
ser divididos en tres regiones para nanopart´ıculas esf´ericas. La primera regi´on, es para
part´ıculas cuyos di´ametros est´an por debajo de los 5nm, donde los efectos cu´anticos llegan a ser importantes, la teor´ıa del medio efectivo tiene mayor validez (Stepanov, 2011).
La segunda regi´on est´a comprendida para part´ıculas desde 5 a 50nm de di´ametro, en donde se espera que la funci´on diel´ectrica del metal sea aproximadamente igual a la del
metal en bulto. En ´esta regi´on, la extinci´on est´a dominada por el t´ermino de absorci´on
dipolar para part´ıculas menores a 25 nm de di´ametro, siendo mas grande el esparcimiento a medida que el di´ametro se incrementa. En este caso las contribuciones de las secciones
transversales de absorci´on y de esparcimiento como funci´on del tama˜no de la nanopart´ıcula
son tambi´en funciones de efectos i´onicos.
El tercer regimen es para part´ıculas de di´ametro mayor a 50nm. En esta ´ultima regi´on, t´erminos multipolares de orden alto son requeridos para describir la extinci´on con el
esparcimiento y la absorci´on. Adicionalmente, los t´erminos multipolares de ordenes altos
Figura 8. Espectro de absorci´on de compositos quantum-dot con diferencias en el tama˜no, hechos por implantaci´on i´onica con iones de Cu en Silicio con la misma dosis. La curva punteada muestra la posici´on de la resonancia del plasm´on de superficie (Haglundet al., 1994).
se encuentran en la segunda regi´on, el campo aplicado es casi constante y la absorci´on
puede ser descrita por la aproximaci´on dipolar derivada por Mie y Maxwell-Garnett y
refinada por Fr¨olich.
Part´ıculas elipsoidales
Para part´ıculas elipsoidales, la situaci´on es m´as complicada. Ahora consideremos una
part´ıcula elipsoidal bajo la influencia de un campo electromagn´etico externo uniforme. El
elipsoide tiene un volumen (4π/3)abc, en donde a, b y c son los semiejes del elipsoide. Dondea > b > c y puede describirse la superficie del elipsoide mediante:
Figura 9. Ilustraci´on de una part´ıcula elipsoidal.
x2 a2 +
y2 b2 +
z2
φ(x, y,−z) =φ(−x, y,−z) = φ(x,−y,−z) =φ(−x,−y,−z), (29) Esto significa que solo se debe considerar el potencial en dos octantes: uno en el eje
positivo z y el otro en el negativo de z. En caso contrario, habr´ıa que introducir la funci´on el´ıptica Weierstrassian (Bohren y Human, 1983).
En el octante en dondex, y, z son positivas, denotamosφ1 como el potencial dentro de la part´ıcula;φ2 el potencial fuera de la part´ıcula, que puede relacionarse como la superposici´on del potencial del campo externoφ0y el potencialφpde perturbaci´on causado por la part´ıcula, que a una distancia lo suficientemente grande, este ´ultimo se considera igual a cero. Cuando
ξa2, el valor ξ'r2 y por consiguiente, se requiere que lim
ξ→∞φp = 0. (30)
Adem´as, se debe cumplir que los potenciales en la frontera entre la part´ıcula y el medio
que la rodea sean continuas, esto es:
φ1(0, η, ζ) = φ0(0, η, ζ) +φp(0, η, ζ), 1 δφ1
δξ =m δφ0
δξ +m δφp
δξ , (ξ = 0), (31)
donde1 es la constante diel´ectrica del elipsoide y 2 es la del material envolvente.
Es posible demostrar mediante la ecuaci´on de Laplace en coordenadas el´ıpticas, los
potenciales dentro y fuera de la part´ıcula son:
φ1 = φ0
1 + Lj(1−m) m
, (32)
φp =φ0 abc
2
m−1 m
Z ∞
ξ
dq
(j2+q)f(q)
1 + Lj(1−m) m
, (33)
con
f(q) = n(q+a2)(q+b2)(q+c2)
o1/2
y Lj =
abc
2
Z ∞
0
dq
j =a, b, c.
A distancias lo suficientemente grandes comparadas con el semieje m´as largo (a) de la nanopart´ıcula, la integral en la ecuaci´on 33 es aproximadamente 2/3ξ−3/2 para ξ'r2 a2.
Por consiguiente, es posible reconocer que el potencial generado es semejante al potencial de
un dipolo y con momento dipolar:
P= 4πmabc
1−m 3m+ 3Lj(1 −m)
E0 (34)
lo que genera una polarizabilidad αhj del elipsoide bajo la influencia de un campo paralelo al semiejej.
αhj = 4πabc
1−m 3m+ 3Lj(1−m)
(35)
Con estos resultados es posible describir el espectro de absorci´on de una nanopart´ıcula
elipsoidal embebida en un medio a trav´es de α = ρkIm{αhj} y con ello, encontrar las resonancias debido a la geometr´ıa de la nanopart´ıcula. Usando la polarizabilidad αhj y el formalismo de representaci´on espectral, Noguez (2007), pudo generar la absorci´on de una
nanopart´ıcula elipsoidal de plata orientada a 45◦ con sus semi-ejes a > b=c y una relaci´on de aspecto entre el eje mayor y el eje menor (a/b) de 1.6 siendo el eje mayor de 8nm y embebida en silice.
Figura 10. Simulaci´on de la absorbancia para una nanopart´ıcula de plata orientada a 45◦ con sus semi-ejes
a > b=cy una relaci´on de aspecto entre su eje mayor y su eje menor de 1.6, siendo el eje mayor de 8nmen silice (Noguez, 2007).
La figura 10 se muestran los resultados de Noguez (2007) para el espectro de absorci´on
de una nanopart´ıcula alargada. Para este caso se observa que hay ahora dos resonancias del
plasmon de superficie y que se manifiesta una o la otra dependiendo de la polarizaci´on de la
2.3 Optica no-lineal en nanocompositos.´
Los compositos consistentes de nanopart´ıculas embebidas en un diel´ectrico han sido un tema
interesante debido a sus propiedades ´opticas, ya que las caracter´ısticas lineales y no-lineales
del composito est´an determinadas de manera conjunta por los materiales que lo integran,
como ya fue comentado anteriormente. La idea de obtener un par´ametro de ajuste en este
tipo de materiales es involucrar dos sustancias diferentes para formar un material compuesto,
en el que la proporci´on en la mezcla, as´ı como la distribuci´on y forma de las estructuras, sirvan
como par´ametros de ajuste de la respuesta ´optica del material (Tamayo Rivera, 2009). Para
el caso de nanopart´ıculas met´alicas embebidas en un dielectrico, ´estas presentan propiedades
´
opticas no-lineales muy significativas; por ejemplo, para nanopart´ıculas esf´ericas de Au-Cu
embebidas por implantaci´on i´onica en una matriz de Si, el valor den2 = 10−10 cm2/W−1 en
comparaci´on den2 = 5×10−16 cm2/W−1 que tiene el Si para una λ= 527 nm(Cattaruzza
et al., 2005). Otro claro ejemplo radica en la morfolog´ıa de las nanopart´ıculas, ya que se ha
encontrado que la anisotrop´ıa de las nanopart´ıculas resultan en una birrefringencia muy fuerte
debido al dicro´ısmo cuando se est´a cerca de la resonancia del plasm´on de superficie. Esto,
bajo ciertas circunstancias, podr´ıa dar lugar a efectos de segundo orden, como la generaci´on
de segundo arm´onico (Rocha-Mendoza et al., 2011). Esta relevancia se basa en el hecho que
sus propiedades ´opticas son principalmente determinadas por la resonancia del plasm´on de
superficie y por tanto, son fuertemente dependientes de la geometr´ıa de las nanopart´ıculas y
del medio que las rodea (Gonz´alez et al., 2008); lo que a su vez implica una dependencia de
la susceptibilidad, tanto lineal como no-lineal, con el tama˜no de las nanopart´ıculas (Maillard
et al., 2003; Evanoff y Chumanov, 2005). Otra propiedad que presentan estos materiales
2001; Hache et al., 1986). Por otro lado el tiempo de recuperaci´on del material es de suma
importancia para aplicaciones en donde se requiere procesar informaci´on a tasas m´as altas
que las logrables por los medios electr´onicos convencionales (Oliver y Reyes-Esqueda, 2008).
Es importante tomar en cuenta que los efectos de confinamiento cu´antico tambi´en juegan
un papel importante cuando los compositos son tan peque˜nos que el camino libre medio de
los electrones en la capa de conducci´on es significativamente m´as peque˜no que el tama˜no de
la nanopart´ıcula. Otra de las ventajas es que la no-linealidad inducida en materiales de este
tipo se atribuye al movimiento del gas de electrones del plasm´on (mecanismo electr´onico), por
lo que se esperan tiempos de respuesta cuasi-instant´aneos del material, lo cual es interesante
para el caso de aplicaciones ´opticas ultrarr´apidas.
La susceptibilidad ´optica efectiva de tercer orden χ(3)ef f es fuertemente reforzada por los campos el´ectricos locales cercanos a la frecuencia de resonancia del plasm´on de superficie, lo
que implica que existe un reforsamiento resonante. Este incremento es considerablemente
m´as grande para metales que para semiconductores. En la aproximaci´on diel´ectrica, la
susceptibilidad nolineal de tercer orden de un composito met´alico viene dada por (Haglund
et al., 1994):
χ(3)ef f =p 9d
01 +i001 + 2d
2χ (3)
met+χ
(3)
d ≡pf
2 1|f1|2χ
(3)
met+χ
(3)
d , (36)
donde χ(3)met y χ(3)d son las susceptibilidades de tercer orden del composito met´alico y del diel´ectrico respectivamente y p es la fracci´on de llenado (en volumen) de las part´ıculas met´alicas. La cantidad f1(ω) es el factor de correcci´on del campo local, que toma en cuenta
el hecho de que el campo en la vecindad de la nanopart´ıcula es diferente al campo incidente.
Cabe resaltar que α var´ıa como | f1(ω) |2, mientras que χ(3) var´ıa como | f1(ω) |2 f1(ω)2,
por lo que variaciones en este factor afectan fuertemente el valor de la χ(3)ef f. De aqu´ı, podemos ver que se puede manipular la respuesta no-lineal cambiando el contraste
diel´ectrico con las part´ıculas mediante la selecci´on de los materiales e incluso con la
geometr´ıa y tama˜no de las nanopart´ıculas. Otro aspecto muy importante en la respuesta
no-lineal es el reforzamiento resonante que se obtiene por la presencia del plasmon de
