Trabajo final de Licenciatura en Cs. Matem´aticas
Espacios de Priestley generalizados
Autor: Denis Anibal Tolaba
Director: Sergio A. Celani
Universidad Nacional del Centro
de la Provincia de Buenos Aires
Facultad de Ciencias Exactas
Departamento de Matem ´atica
´Indice general
1 Conceptos preliminares 8
1.1 Conjuntos ordenados . . . 8
1.2 Ret´ıculos y semiret´ıculos . . . 9
1.3 Filtros e Ideales . . . 11
1.4 Semiret´ıculos distributivos . . . 14
1.5 Filtros e ideales de Frink . . . 17
1.6 Filtros optimales . . . 19
2 Representaci ´on tipo Stone 22 2.1 Preliminares . . . 22
2.2 Representaci´on por conjuntos . . . 23
2.3 DS-espacios . . . 24
3 Dualidad tipo Priestley 29 3.1 Espacios de Priestley . . . 29
3.2 Representaci´on por filtros optimales . . . 34
3.3 Espacios de Priestley generalizados . . . 37
3.4 Dualidad para homomorfismos . . . 45
3.5 Relaci´on con losDS-espacios . . . 50
4 Semiret´ıculos implicativos 54 4.1 Definiciones preliminares . . . 54
4.2 Dualidad de Priestley para semiret´ıculos implicativos . . . 56
5 Extensi ´on distributiva libre 59 5.1 Homomorfismos superiores . . . 59
5.2 Construcci´on de la extensi´on distributiva libre . . . 61
Agradecimientos
En primer lugar quiero agradecerle a Sergio por proponerme este tema, por confiar en m´ı y ayudarme a realizar este trabajo.
A los docentes que han sido de mucha influencia en mi formaci´on como profesor y licenciado. A todos aquellos compa˜neros de c´atedra e integrantes del Departamento de Matem´atica que me han brindado su apoyo constante para que pudiera concluir esta etapa como estudiante.
En lo personal, a mis padres por apoyarme en todo sentido desde que inici´e esta carrera, sin cuestionamientos y confiando en cada una de las decisiones que he tomado a lo largo de este camino.
A mis queridos hermanos por el aguante y cari˜no de siempre a pesar de la distancia que nos separa, principalmente a Sergio que no solo es mi hermano sino tambi´en mi primer amigo y me ha dado la posibilidad de ser t´ıo de un hermoso sobrino.
A mi abuela Margarita, a quien recuerdo con mucho cari˜no por aquellos hermosos d´ıas de mi infancia.
A mis amigos de la vida. Diego y Fern´an por las charlas de f´utbol, los d´ıas de playa y los momentos de locura que hemos pasado.
A mis pseudo hermanas Juli, Flor y Yasm´ın por mantenernos unidos a pesar de la distancia y darme todo el cari˜no de una familia.
A Martin, Manu y Manolo por bancarme en las largas noches de estudio y compartir reencuen-tros, charlas y momentos de f´utbol junto a Dami y Tin.
A todas las amistades que he conseguido gracias a esta carrera y a´un seguimos en contacto por cualquier medio. En particular agradecer a Mauro quien es un gran referente y por sobre todo un gran amigo. A Lu, Flor, Sil, Anto, Lau, Nati y Dai que siempre me bancan, est´an al d´ıa con mi progreso y todos mis logros. Compartimos muchas cursadas y momentos de estudio, intensos, pesados, con altas y bajas as´ı como tambi´en lindos momentos de ocio, paseos, mates y charlas.
Por ´ultimo quiero dedicarle un especial agradecimiento a Lujan (Marilu como sol´ıan decirle) por hacerme un lugar en su familia y considerarme un hijo m´as. Son incontables las veces que me alentaste a terminar la carrera, a no quedarme estancado. Me hubiera encantado que pudieras verlo.
Introducci ´
on
Las representaciones topol´ogicas juegan un papel fundamental en muchas ´areas de la matem´ati-ca. En particular son importantes en el estudio de estructuras algebraicas ordenadas, como grupos reticulados, ret´ıculos distributivos, ´algebras de Heyting, ´algebras de Boole, MV-´algebras, etc. Los primeros trabajos en esta direcci´on corresponden a los estudios que inici´o Marshall H. Stone mo-tivados por ciertos problemas en la teor´ıa espectral de espacios de Hilbert. En su primer art´ıculo [20] Stone demostr´o que toda ´algebra de Boole es isomorfa al ´algebra de Boole de todos los con-juntos cerrados y abiertos de un espacio topol´ogico compacto satisfaciendo la propiedad de que el conjunto de los abiertos y cerrados del espacio forman una base. Este tipo de espacios son conocidos como espacios Booleanos oespacios de Stone. Posteriormente, en el art´ıculo [19], el mismo Stone extendi´o su representaci´on al caso de ret´ıculos distributivos y ´algebras de Heyting, probando que todo ret´ıculo distributivo puede ser identificado como el conjunto de los abiertos y compactos de un espacio topol´ogicoT0con la propiedad de que la familia de todos los abiertos y
compactos son una base de abiertos cerrada bajo intersecciones finitas. Esta clase de espacios son conocidos como espacios espectrales. Los trabajos de Stone estaban motivados por problemas surgidos en el An´alisis Funcional, pero la influencia de estos trabajos en otras ramas de la Ma-tem´atica ha sido fundamental. Particularmente produjo un fuerte impacto en L´ogica MaMa-tem´atica, Teor´ıa de Categor´ıas, Computaci´on te´orica [22], Teor´ıa de la Medida y Topolog´ıa General [14] y anillos conmutativos unitarios [13].
Los trabajos de Stone fueron los cimientos de una nueva rama de la matem´atica, conocida hoy como Teor´ıa de dualidades. Esta rama intenta estudiar con herramientas categ´oricas dualidades o equivalencias entre categor´ıas algebraicas y categor´ıas donde los objetos son alg´un tipo de espacio topol´ogico. Todas estas dualidades son conocidas como dualidades tipo Stone cuando son exten-siones o generalizaciones de la dualidad desarrollada en los primeros trabajos de M. Stone. Otra rama de la matem´atica originada en los trabajos de Stone es la que hoy se conoce como topolog´ıa sin puntos (pointless topology) [14] y es una de las t´ecnicas m´as importantes en el estudio de sem´anticas formales.
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para los ret´ıculos distributivos m´as geom´etrica que la representaci´on original de Stone. La dualidad de Priestley result´o ser una t´ecnica muy ´util en el estudio de estructuras algebraicas ordenadas, principalmente aquellas que son sem´anticas algebraicas de l´ogicas proposicionales.
Todo ret´ıculo distributivo consta de dos estructuras conviviendo entre s´ı. SihL,∨,∧,0,1i es un ret´ıculo distributivo, entonceshL,∨iyhL,∧ison semiret´ıculos de tal forma que producen el mismo orden y que est´an relacionados por las propiedades de absorci´on:
x∧(x∨y) =x x∨(x∧y) =x.
Por otra parte, un resultado conocido afirma que todo ret´ıculo es distributivo si y s´olo si el ret´ıculo de sus filtros es distributivo. Este resultado tambi´en puede ser formulado en t´erminos de ideales. Todo ret´ıculo es distributivo si el ret´ıculo de sus ideales es distributivo. Si ahora ´unicamente con-sideramos un semiret´ıculo con ´ınfimo y ´ultimo elemento hL,∧,1ide tal forma que todo par de elementos tenga cota superior, es posible demostrar que el conjunto de los filtros forma un ret´ıcu-lo. Esto se debe a que en la definici´on de filtro intervienen ´unicamente el orden y la operaci´on de ´ınfimo. La operaci´on de supremo no juega ning´un papel. Por lo tanto, es natural estudiar la clase de los semiret´ıculos con ´ınfimo donde el conjunto de los filtros sea distributivo. George Gr¨atzer [12] fue uno de los primeros en observar la importancia de los semiret´ıculos con la propiedad de que los filtros forma un ret´ıculo distributivo. A tales semiret´ıculos se los denomina semiret´ıculos distribu-tivos. Gr¨atzer prob´o que la representaci´on topol´ogica desarrollada por Stone pod´ıa generalizarse al caso de los semiret´ıculos distributivos, para lo cual introdujo ciertos espacios topol´ogicos que resultan una generalizaci´on natural de los espacios espectrales. Siguiendo esta l´ınea de trabajo, en los art´ıculos [6], [7] y [8] se profundiz´o el estudio de esta clase de estructuras, dando diferentes caracterizaciones de esta noci´on de distributividad y completando los resultados sobre represen-taci´on que hab´ıa comenzado Gr¨atzer hasta obtener una dualidad categ´orica completa. La novedad principal de [6] es la caracterizaci´on de homomorfismos de ∧-semiret´ıculos que preservan ´ulti-mo elemento por medio de ciertas relaciones binarias definidas entre ciertos espacios espectrales. Es importante destacar que un ret´ıculo acotado hL,∨,∧,0,1i es distributivo si y s´olo si el se-miret´ıculohL,∧,1i es distributivo. De igual manera, es posible probar que sihL,∧,→,1ies un semiret´ıculo implicativo, entonces el reductohL,∧,1ies distributivo [9], [15], [7].
Como ya mencionamos anteriormente, los semiret´ıculos distributivos tienen una buena repre-sentaci´on topol´ogica por medio de una generalizaci´on de los espacios espectrales. Surge entonces la siguiente pregunta: ¿Es posible construir una representaci´on al estilo Priestley de los semi-ret´ıculos distributivos? Es decir ¿podemos construir una representaci´on topol´ogica, pero utilizan-do espacios topol´ogicos ordenautilizan-dos de tal forma que cuanutilizan-do estemos en presencia de un ret´ıculo distributivo acotado obtengamos la dualidad original de Priestley? La respuesta es afirmativa. En los art´ıculos [2] y [3] Guram Bezhanishvili y Ram´on Jansana desarrollaron una completa repre-sentaci´on y dualidad para los semiret´ıculos distributivos con primer elemento a trav´es de una generalizaci´on de los espacios de Priestley. M´as precisamente en [2] se definen los espacios de
Priestley generalizadoscomo cuaternashX, X0,≤, τidondehX,≤, τies un espacio de Priestley, yX0 es un subconjunto denso del espacio topol´ogicohX, τi tal que para cadax ∈ X existe un
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existe una dualidad categ´orica entre la categor´ıa de los espacios de Priestley generalizados junto con apropiados morfismos, y la categor´ıa de los semiret´ıculos distributivos con primer elemento y apropiados morfismos. Esto permiti´o, entre otras aplicaciones, caracterizar topol´ogicamente a los filtros de semiret´ıculos, a los ideales de orden, a los ideales de Frink, a los filtros optimales, etc. Otra importante aplicaci´on de esta dualidad se muestra en el art´ıculo [3], donde se prueba la conexi´on de la familia de subsemiret´ıculos distributivos de un semiret´ıculo dado y ciertas relacio-nes definidas en el espacio de Priestley dual. Es interesante destacar que todo espacio de Priestley generalizado tiene asociado un espacio tipo espectral cuyo conjunto soporte es el subconjuntoX0.
Estos resultados sirven para relacionar la representaci´on tipo Stone dada en [6] con esta nueva representaci´on.
Hay dos diferencias importantes entre las dos representaciones discutidas. Por un lado, los es-pacios tipo Stone o espectrales utilizados en los trabajos [6] y [8] son eses-pacios T0, y el orden
asociado es el orden usual que se define en cualquier espacio topol´ogicoT0. En cambio los
es-pacios de Priestley generalizados son T2 y el orden ≤ no es el mismo orden que el asociado a
la topolog´ıa. Otra diferencia importante es la complejidad de la definici´on. La definici´on de los espacios tipo Stone es mucho m´as sencilla. En cambio la definici´on de los espacios de Priestley generalizados es bastante m´as compleja, pues interviene no solamente el conjunto base, sino tam-bi´en un orden y un subconjunto distinguido. Pero esa mayor complejidad se compensa por visi´on geom´etrica de la dualidad y por las aplicaciones.
El objetivo de este trabajo es presentar de una forma unificada y lo m´as accesible posible, los principales resultados sobre la representaci´on topol´ogica para los semiret´ıculos distributivos con primer elemento utilizando espacios de Priestley generalizados y dar algunas aplicaciones de esta representaci´on. Aprovecharemos estos resultados para determinar una dualidad para la variedad de los semiret´ıculos implicativos acotados, para lo cual introduciremos la noci´on de espacios ge-neralizados de Esakia.
Este trabajo est´a dividido en dos partes. La primera abarca los cap´ıtulos 1 y 2, y est´a destinada a recordar los conceptos y resultados fundamentales para el desarrollo de los siguientes cap´ıtulos. En la segunda que abarca los cap´ıtulos 3, 4 y 5, se presenta la dualidad de Priestley para ret´ıculos distributivos acotados, luego se desarrolla tal dualidad para el caso de semiret´ıculos distributivos acotados, su extensi´on para semiret´ıculos implicativos acotados y su relaci´on con la extensi´on distributiva libre de semiret´ıculos distributivos.
En el cap´ıtulo 1 introduciremos las nociones b´asicas asociadas a conjuntos ordenados, ret´ıculos y semiret´ıculos. Y daremos nociones generales de filtros e ideales para semiret´ıculos que nos permitir´an desarrollar una representaci´on topol´ogica para∧-semiret´ıculos distributivos acotados.
En el cap´ıtulo 2 recordaremos los principales conceptos y resultados de los trabajos [6], [8] y [12] sobre la dualidad de tipo Stone para∧-semiret´ıculos distributivos acotados. Varios de estos resultados son aplicados o generalizados en los pr´oximos cap´ıtulos.
´Indice general ´Indice general
introducci´on de los espacios de Priestley generalizados que se define en la siguiente secci´on. Com-probaremos que todo espacio de Priestley generalizado tiene asociado un∧-semiret´ıculo distribu-tivo acotado y rec´ıprocamente cada∧-semiret´ıculo distributivo acotado tiene asociado un espacio de Priestley generalizado. Luego daremos una dualidad entre homomorfismos de∧-semiret´ıculos distributivos acotados y morfismos de Priestley generalizados. Veremos que los morfismos entre espacios de Priestley generalizados son relaciones binarias definidas entre espacios de Priestley generalizados. Por ´ultimo veremos que todo espacio de Priestley generalizado. tiene asociado un
DS-espacio acotado.
En el Cap´ıtulo 4 daremos la nociones b´asicas para∧-semiret´ıculos implicativos y espacios de Esakia. Extenderemos esta ´ultima a la noci´on de espacio de Esakia generalizado y desarrollaremos su dualidad de tipo Priestley a partir de los resultados obtenidos en el cap´ıtulo anterior.
1 Conceptos preliminares
En este cap´ıtulo introduciremos las definiciones b´asicas y teoremas necesarios sobre conjuntos ordenados, ret´ıculos y semiret´ıculos que utilizaremos en el resto del trabajo. Se puede consultar los libros [1] y [5] para ver las demostraciones y resultados correspondientes.
1.1.
Conjuntos ordenados
Definici´on 1.1. Un orden definido en un conjunto X es una relaci´on binaria “≤” enX tal que para todox, y, z∈X,se cumplen las siguientes condiciones:
1. x≤x (reflexiva).
2. Six≤yey≤xentonces sex=y (antisim´etrica). 3. Six≤yey≤zentonces serx≤z (transitiva).
El par(X,≤),donde≤es un orden sobreX,se dir´aconjunto (parcialmente) ordenado. Definici´on 1.2. Sea(X,≤)un conjunto ordenado. Un subconjuntoY ⊆X escreciente,si para todox ∈X, y ∈ Y tal quey ≤x,entoncesx ∈Y. Un subconjuntoY ⊆ X esdecreciente, si para todox∈X,y∈Y tal quex≤y, entoncesx∈Y.
El menor subconjunto creciente que contiene a un subconjuntoY ⊆Xes el conjunto
[Yi={x∈X :y≤x, para alg´uny∈Y}.
De forma an´aloga, el menor subconjunto decreciente que contiene a un conjuntoY ⊆Xcomo
hY] ={x∈X :y≥x, para alg´uny∈Y}.
Para el caso queY ={a}, denotaremos por[{a}i= [aiyh{a}] =ha]a los conjuntos creciente y decreciente generados porarespectivamente.
Dado un conjunto ordenado(X,≤),el conjunto de todos los subconjuntos crecientes deXser´a simbolizado porPc(X).De manera similar, el conjunto de todos los subconjuntos decrecientes deX ser´a simbolizado porPd(X).Observemos que(Pc(X),⊆)y(Pd(X),⊆)son conjuntos
1.2 Ret´ıculos y semiret´ıculos Conceptos preliminares
1.2.
Ret´ıculos y semiret´ıculos
Sea(X,≤)un conjunto ordenado y a, b ∈ X.El supremo y el ´ınfimo del conjunto {a, b}, si existen, ser´an simbolizados pora∨bya∧b,respectivamente. Es decir:
sup{a, b}=a∨b
´ınf{a, b}=a∧b
En el caso de un subconjuntoK ⊆L, el supremo y el ´ınfimo deKser´a simbolizado porW
Ky
V
Krespectivamente.
Definici´on 1.3. Sea(L,≤)un conjunto parcialmente ordenado. Diremos que(L,≤)es unret´ıculo si para todo subconjunto finitoK ⊆Lexiste el supremoW
Ky el ´ınfimoV
K.
A partir de ahora, sin lugar a confusi´on, un ret´ıculo(L,∧,∨)ser´a denotado directamente por su conjunto soporteL.
Definici´on 1.4. SeaLun ret´ıculo.
Diremos queLtieneprimer elementosi existe un elemento, que denotaremos por0,tal que
0≤x,para todox∈L.
Diremos queLtiene´ultimo elementosi existe un elemento, que denotaremos por1,tal que
x≤1, para todox∈L.
Diremos que un ret´ıculoLesacotadosi existe primer elemento0y ´ultimo elemento1.Es decir:
0≤x≤1, para todox∈L.
Un ret´ıculo L es completo si existe el ´ınfimo y el supremo de cualquier subconjunto no vac´ıo.
Definici´on 1.5. SeaL un ret´ıculo. Diremos que L es distributivo si para todo a, b, c ∈ L,se cumple que
a∨(b∧c) = (a∨b)∧(a∨c).
Es sencillo comprobar que la condici´on de distributividad de la definici´on anterior es equivalente a
a∧(b∨c) = (a∧b)∨(a∧c).
Al igual que en la definici´on de ret´ıculos, podemos definir a un semiret´ıculo como un conjunto ordenado cumpliendo determinadas propiedades.
1.2 Ret´ıculos y semiret´ıculos Conceptos preliminares
Los semiret´ıculos pueden ser caracterizados como estructuras algebraicas como veremos a con-tinuaci´on.
Definici´on 1.7. Unsemiret´ıculoes un ´algebraS = (S,◦)del tipo(2)que satisface las siguientes identidades:
1. (x◦y)◦z=x◦(y◦z),
2. x◦y=y◦x,
3. x◦x=x.
Es decir,◦es una operaci´on binaria asociativa, conmutativa e idempotente.
SeaSun semiret´ıculo. Diremos queStiene ´ultimo elementosi existe un elemento, que denota-remos por1,tal quex≤1,para todox∈S.
Dado un semiret´ıculoS = (S,◦),podemos definir las siguientes relaciones binarias≤∧,≤∨ en
Scomo:
a≤∧ b si y s´olo si a◦b=a
y
a≤∨ b si y s´olo si a◦b=b,
respectivamente.
Mostraremos que las relaciones≤∧ y≤∨ son ordenes parciales sobreS, que se denominanel
orden inducido por◦.
Teorema 1.8. SeaS = (S,◦)un semiret´ıculo y sean≤∧ y≤∨ las relaciones binarias definidas
anteriormente. Entonces
(S,≤∧)es un∧-semiret´ıculo en el cuala∧b=a◦b, para todoa, b∈S,y
(S,≤∨)es un∨-semiret´ıculo en el cuala∨b=a◦b,para todoa, b∈S.
Demostraci´on. Veamos que el par(S,≤∧)es un∧-semiret´ıculo. Primero debemos probar que la relaci´on≤∧es un orden sobreS.De la condici´on3., se tiene que≤∧es reflexivo, puesa≤∧ asi
y s´olo sia◦a=a.Sia≤∧ byb≤∧ a,entonces se tiene quea=a◦b=b◦a=butilizando
la condici´on2.Es decir,≤∧ es antisim´etrica. Finalmente, sia ≤∧ byb ≤∧ c,entonces por la
condici´on1.se tiene quea◦c= (a◦b)◦c =a◦(b◦c) = a◦b =a,es decir quea◦c =ay sucede si y s´olo sia≤∧c,lo cual prueba que≤∧es transitiva. Por lo tanto≤∧es un orden parcial
sobreS.
Probemos quea◦b=a∧b, para todo par de elementosa, b ∈S.Claramente se ve quea◦b
es una cota inferior de{a, b}, dado quea◦(a◦b) = (a◦a)◦b=a◦b,entoncesa◦b≤∧ a,y
se prueba de manera similar quea◦b≤∧ b.Veamos quea◦bes la mayor de las cotas inferiores.
Seacotra cota inferior de{a, b},entonces(a◦b)◦c=a◦(b◦c) =a◦c=c,por consecuencia
c ≤∧ a◦b, probando que a◦b es la mayor cota inferior de {a, b}. Por lo tanto tenemos que
a∧b=a◦b.
Con argumentos similares se demuestra que≤∨es un orden parcial sobreS,y que el par(S,≤∨)
1.3 Filtros e Ideales Conceptos preliminares
Dado un ret´ıculoL, se le puede asociar dos semiret´ıculos. Un∧-semiret´ıculo y un∨-semiret´ıculo. Como en esta memoria s´olo vamos a trabajar con∧-semiret´ıculos, directamente nos referiremos a ellos como semiret´ıculos. Tambi´en vamos a asumir que todo semiret´ıculo tiene ´ultimo elemento1. A partir de ahora, si no hay lugar a confusi´on, un semiret´ıculo(S,∧)ser´a denotado directamente porS.
1.3.
Filtros e Ideales
En esta secci´on vamos a revisar los principales resultados sobre filtros e ideales en semiret´ıculos. Particularmente nos interesa repasar las nociones de filtro irreducible, primo e ideal de orden. Para m´as detalles ver [6] y [12].
Definici´on 1.9. SeaLun semiret´ıculo. Un subconjunto no vac´ıo F ⊆ Les un filtrode Lsi se cumplen las siguientes condiciones:
1. Six∈F yx≤y,entoncesy∈F.
2. Six, y∈F, entoncesx∧y∈F.
Un filtroF es propio siF 6=L.
Observemos que siF es un filtro propio, entonces existe un elementox ∈ F, y comox ≤ 1, entonces1∈F.
Definici´on 1.10. SeaLun semiret´ıculo. Un subconjunto no vac´ıoI ⊆ Les unidealdeL si se cumplen las siguientes condiciones:
1. Siy∈Iyx≤y, entoncesx∈I.
2. Six, y∈I, y existe el supremox∨y, entoncesx∨y∈I.
Un idealI es propio siI 6=L.
Un filtro de un semiret´ıculo es un subconjunto no vac´ıo, creciente y cerrado bajo∧.Dualmente, un ideal es un subconjunto no vac´ıo, decreciente y cerrado bajo los supremos existentes∨. Sim-bolizaremos porFi(L)eId(L)a los conjuntos de los filtros y de los ideales deLrespectivamente, ambos ordenados por medio de la relaci´on de inclusi´on.
Observaci´on1.11. En un ret´ıculo la noci´on de ideal definida anteriormente coincide con la usual.
Definici´on 1.12. SeaLun semiret´ıculo yHun subconjunto deLno vac´ıo. El filtro generado por
Hes
[H) =\{F :F ∈Fi(L)yH ⊆F}.
El ideal generado porHes
1.3 Filtros e Ideales Conceptos preliminares
Definici´on 1.13. Un filtroFse dice que est´a finitamente generado siF = [X),para alg´un subcon-junto finito no vac´ıoX⊆L. De manera an´aloga, un idealIse dice que est´a finitamente generado siI = (X],para alg´un subconjunto finito no vac´ıoX⊆L.
SiH ={a},entonces escribimos[a)y(a]y los llamaremos filtro principal generado porae ideal principal generado pora,respectivamente.
Notemos que el filtro (ideal) generado por un subconjunto no vac´ıo es el menor filtro (ideal) que contiene al conjunto. Ahora daremos una caracterizaci´on de los filtros generados por un conjunto v´alida tanto en semiret´ıculos como en ret´ıculos. Una caracterizaci´on similar para ideales s´olo es v´alida en el caso de ret´ıculos.
Proposici´on 1.14. SeaLun semiret´ıculo yHun subconjunto deLno vac´ıo. Entonces:
[H) ={x∈L:∃{h0, ..., hn} ⊆H y(h0∧ · · · ∧hn≤x)}.
SiLes un ret´ıculo, entonces
(H] ={x∈L:∃{h0, ..., hn} ⊆H y(x≤h0∨ · · · ∨hn)}.
Teorema 1.15. SeaLun semiret´ıculo con ´ultimo elemento1. Entonces:
1. hFi(L),⊆ies un ret´ıculo completo donde las operaciones est´an definidas por:
^
j∈J
Fj =
\
j∈J
Fj
_
j∈J
Fj = [
[
j∈J
Fj)
2. SiLes un ret´ıculo, entonceshId(L),⊆ies un ret´ıculo completo donde las operaciones est´an definidas por:
^
j∈J
Ij =
\
j∈J
Ij
_
j∈J
Ij = (
[
j∈J
Ij]
Del resultado anterior obtenemos como caso particular que sia, b∈L,entonces
[a)∧[b) = [a∨b), si existea∨b
[a)∨[b) = [a∧b)
y
(a]∧(b] = (a∧b]
1.3 Filtros e Ideales Conceptos preliminares
En todo lo que sigue vamos a considerar que todo semiret´ıculo tiene ´ultimo elemento. Por lo tanto, tenemos que para cualquier par de elemntosa, b∈L,[a)∩[b)6=∅, es decir, cualquier par de elementos tiene una cota superior.
Definici´on 1.16. SeaLun semiret´ıculo. SeaF un filtro propio deL. Entonces
1. F esirreducible si para todoF1, F2 ∈ Fi(L) tal que F = F1 ∩F2, entoncesF = F1 o
F = F2. Es decir, F es irreducible si es un elemento irreducible en el semiret´ıculo de los
filtrosFi(L). Denotemos porX(L)al conjunto de todos los filtros irreducibles deL. 2. F es primo o d´ebilmente irreducible si para todo F1, F2 ∈ Fi(L) tal que F1 ∩F2 ⊆
F,entonces F1 ⊆ F oF2 ⊆ F. Es decir, F es primo si es un elemento primo en el
se-miret´ıculo de los filtros Fi(L). Denotaremos con Xw(L) al conjunto de todos los filtros
primos deL.
3. Un filtro propioF de L esmaximal si para cadaK ∈ Fi(L) tal queF ⊆ K, entonces
F =KoK =L.
Denotaremos conUl(L)el conjunto de los filtros maximales deL. 4. Un filtro de ordenF es un subconjunto deLtal que:
a) F 6=∅eF 6=L
b) ∀a∈Lsib≤ayb∈F, entoncesa∈F (creciente)
c) ∀a, b∈F, ∃c∈F/c≤ayc≤b.
5. Un ideal de ordenI es un subconjunto deLtal que:
a) I 6=∅eI 6=L
b) ∀a∈Lsia≤byb∈I, entoncesa∈I(decreciente)
c) ∀a, b∈I, ∃c∈I/a≤cyb≤c.
Denotemos porFior(L)eIdor(L)a los conjuntos de todos los filtros e ideales de orden deL.
Definici´on 1.17. SeaLun semiret´ıculo. Un ideal de orden propioI de Lesprimosi para cada
a, b∈Ltal quea∧b∈I, entoncesa∈I ob∈I.
Observaci´on1.18. SiLes un semiret´ıculo, todo ideal de orden es un ideal.
Observaci´on1.19. En general, las nociones de filtro primo e irreducible no coinciden. Justamente una de las caracterizaciones de los semiret´ıculos distributivo afirma que un semiret´ıculo es dis-tributivo cuando todo filtro primo es irreducible. Esto se demostrar´a en el Teorema 1.29 de la siguiente secci´on.
Lema 1.20. Sea L un semiret´ıculo. Entonces Xw(L) ⊆ X(L), es decir, todo filtro primo es
irreducible.
1.4 Semiret´ıculos distributivos Conceptos preliminares
Lema 1.22. Sea L un semiret´ıculo y sea F ⊆ L. Entonces F es un filtro primo si y s´olo si Fc={x∈L:x /∈F}es un ideal de orden primo.
Vamos a dar ahora un teorema que es una generalizaci´on del teorema del filtro Primo para semiret´ıculos que generaliza el resultado dado por G. Gr¨atzer en [12]. Recordemos primero el siguiente resultado.
Lema 1.23(de Zorn). SeaAun conjunto y seaFun subconjunto deP(A). Supongamos que para toda cadenaC en el conjunto ordenadohF,⊆i se verifica queS
C ∈ F. Entonces F tiene un elemento maximal.
Teorema 1.24(del Filtro Irreducible). SeaLun semiret´ıculo. SiF ∈Fi(L)eI ∈Idor(L)tal que
F ∩I =∅, entonces existe un filtro irreducibleP tal queF ⊆P yP∩I =∅. Demostraci´on. Consideremos el conjunto
F={H∈Fi(L) :F ⊆HyH∩I =∅}.
Dado queF ∈ F,entoncesF 6=∅.Es claro que la uni´on de una cadena de elementos deF,es un elemento deF.Entonces, por el Lema de Zorn, existe un filtro maximalP enF.Tenemos que probar queP ∈Fi(L).
Seana, b /∈P y consideremos los filtros
Pa= [P ∪ {a})y Pb= [P ∪ {b}).
EntoncesPa, Pb ∈ F/ , lo cual implica quePa∩I 6=∅yPb∩I 6=∅.Luego, existenp1, p2 ∈P y
x, y∈I tal quep1∧a≤xyp2∧b≤y.Dado queI es un ideal de orden, entonces existec∈I
tal quec /∈P, x≤cey≤c.Tomandop=p1∧p2,tenemos quep∧a≤cyp∧b≤c. Por Lema
1.21, concluimos queP ∈X(L). Corolario 1.25. SeaLun semiret´ıculo.
1. SiF ∈Fi(L)ya /∈F, entonces existeP ∈X(L)tal queF ⊆Pya /∈P. 2. Siab, entonces existeP ∈X(L)tal quea∈P yb /∈P.
3. Todo filtro propioF es intersecci´on de los filtros irreducibles que lo contienen.
1.4.
Semiret´ıculos distributivos
1.4 Semiret´ıculos distributivos Conceptos preliminares
Definici´on 1.26. SeaLun semiret´ıculo. Diremos queLesdistributivosi para todoa, b0, b1 ∈L
tal queb0∧b1≤aentonces existena0, a1∈Ltal queb0 ≤a0, b1 ≤a1ya=a0∧a1.
El siguiente resultado relaciona la distributividad en semiret´ıculos con la distributividad en ret´ıculos.
Lema 1.27. SeaLun semiret´ıculo distributivo. Entonces para todoa, b∈L, existe und∈Ltal quea≤dyb≤d. Como consecuencia,Fi(L)es un ret´ıculo.
Ahora mostraremos diferentes caracterizaciones de la noci´on de distributividad dada en la De-finici´on 1.26. La mayor´ıa de las caracterizaciones son generalizaciones de conocidos resultados sobre ret´ıculos distributivos. La primera caracterizaci´on que presentamos se debe G. Gr¨atzer [12]. La segunda caracterizaci´on es en t´erminos de filtros irreducibles y primos. Esta caracterizaci´on fue demostrada en [6].
A partir de ahora,Ldenotar´a un∧-semiret´ıculo con ´ultimo elemento1.
Teorema 1.28. SeaLun semiret´ıculo. EntoncesLes distributivo si y s´olo siFi(L)es un ret´ıculo distributivo.
Demostraci´on. ⇒) Supongamos que Les distributivo, entonces por el Lema 1.27,Fi(L) es un ret´ıculo. Probemos queFi(L)es distributivo. SeanI, J, K ∈Fi(L). Veamos que
I∨(J∩K) = (I ∨J)∩(I∨K).
Sabemos que en todo ret´ıculo valeI∨(J∩K)⊆(I∨J)∩(I∨K).Probemos la otra inclusi´on. Observemos que siF, H ∈Fi(L), entoncesF∨H ={x=f∧h:f ∈Fyh∈H}. En efecto,
x ∈F ∨Hsi y s´olo si existenf ∈F yh∈ Htal quef ∧h ≤x, pero comoLes distributivo, existenf1, h1 ∈Stal quef ≤f1, h≤h1 yx=f1∧h1,dondef1∈F yh1 ∈Hpor serF yH
filtros.
Ahora veamos que
(I∨J)∩(I∨K)⊆I ∨(J∩K).
Seaa∈(I∨J)∩(I∨K),entoncesa∈(I∨J)ya∈(I∨K), es decir,
a=a1∧b1 =a2∧b2
dondea1, a2 ∈ I, b1 ∈J yb2 ∈ K.Comoa1∧b1 ≤b2,por distributividad deS,tenemos que
existena01, b01 ∈Stal quea1 ≤a01, b1 ≤b10 yb2 =a01∧b10. Adem´as, al serb1 ≤b01yJ un filtro,
se tiene queb01 ∈J.Con un razonamiento similar, coma1≤a01,entoncesa01 ∈I.Tambi´en como
b2 =a01∧b01,entoncesb2≤b10 y por serKun filtro se tiene queb01∈K. Por lo tantob01 ∈J∩K.
Comoa = a2 ∧b2 = (a2 ∧a01)∧b10, dondea2 ∧a01 ∈ I y b01 ∈ J ∩K, concluimos que
a∈I∨(J∩K).
1.4 Semiret´ıculos distributivos Conceptos preliminares
entonces
[a) = [a∨(b0∧b1))
= [a)∩([b0)∨[b1))
= ([a)∩[b0))∨([a)∩[b1)).
Comoa∈([a)∩[b0))∨([a)∩[b1)), entonces existena0∈[b0)ya1 ∈[b1). Es decir tenemos que
b0 ≤a0yb1 ≤a1tal quea=a0∧a1 y por lo tantoLes distributivo.
Teorema 1.29. SeaLun semiret´ıculo. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
1. Les distributivo.
2. Xw(L) =X(L).
Demostraci´on. 1.⇒2.Por el Lema 1.20 tenemos queXw(L)⊆X(L). Nos queda por demostrar la otra inclusi´on. SeaP ∈X(L)yF1, F2 ∈Fi(L)tal queF1∩F2 ⊆P. Entonces, comoFi(L)
es distributivo,
P = (F1∩F2)∨P
= (F1∨P)∩(F2∨P).
ComoP ∈X(L), entoncesP =F1∨P oP =F2∨P, lo cual implica queF1⊆PoF2⊆P.
Por lo tanto,P ∈Xw(L).
2. ⇒ 1.Utilizando el Teorema 1.28, vamos a demostrar que el conjuntoFi(L), considerado como un ret´ıculo, es distributivo.
SeanF1, F2, F3∈Fi(L). Bastar´a probar que
F1∩(F2∨F3)⊆(F1∩F2)∨(F1∩F3).
Supongamos lo contrario. Entonces existea∈F1∩(F2∨F3)−(F1∩F2)∨(F1∩F3). Por el
Corolario 1.25, existeP ∈Xw(L) =X(L)tal que(F1∩F2)∨(F1∩F3)⊆P ya /∈P, entonces
F1∩F2 ⊆ P yF1∩F3 ⊆P. Por definici´on de filtro primo, tenemos queF1 ⊆P oF2 ⊆P y
F1⊆PoF3⊆P. Dado quea∈F1ya /∈P, entoncesF2 ⊆P yF3 ⊆P,es decir,F2∨F3 ⊆P
y como consecuencia, se tiene quea∈F1∩(F2∨F3)⊆P, lo cual es una contradicci´on.
SiLes un semiret´ıculo distributivo, entonces las nociones irreducible y primo coinciden. En consecuencia el Teorema 1.24 es verdadero para filtros primos. Por lo tanto el Teorema 1.24 se convierte en el famoso Teorema del Filtro Primo para ret´ıculos distributivos, o en el caso de ´alge-bras de Boole, en el Teorema del ultrafiltro.
Teorema 1.30. SeaLun semiret´ıculo. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
1.5 Filtros e ideales de Frink Conceptos preliminares
2. SiF ∈ Fi(L)eI ∈Idor(L)tal queF ∩I = ∅, entonces existe un filtro primoP tal que
F ⊆P yP∩I =∅.
Demostraci´on. 1. ⇒ 2.ComoLes distributivo, tenemos que Xw(L) = X(L) por el Teorema
1.29. Aplicando el Teorema 1.24, tenemos que existeP ∈X(L)tal queF ⊆P yP∩I =∅.
2.⇒1.Probemos que el ret´ıculoFi(L)es distributivo. SeanF1, F2, F3 ∈Fi(L). Sabemos que
(F1∩F2)∨(F1∩F3)⊆F1∩(F2∨F3), as´ı que bastar´a con que probemos que
F1∩(F2∨F3)⊆(F1∩F2)∨(F1∩F3).
Supongamos queF1∩(F2∨F3)*(F1∩F2)∨(F1∩F3),entonces existea∈F1∩(F2∨F3)
tal quea /∈(F1∩F2)∨(F1∩F3). Tenemos entonces que
[(F1∩F2)∨(F1∩F3)]∩(a] =∅.
Por hip´otesis, existe un filtro primoP tal que
(F1∩F2)∨(F1∩F3)⊆P yP ∩(a] =∅.
Entonces,a /∈P. Es claro queF1 ∩F2 ⊆ P yF1∩F3 ⊆P. PeroP es primo, luego tenemos
queF1 ⊆ P o F2 ⊆ P, y por el mismo razonamientoF1 ⊆ P oF3 ⊆ P. Dado quea ∈ F1 y
a /∈ P, tenemos queF1 * P y por lo tantoF2, F3 ⊆ P. Pero a su vez, comoF2∨F3 ⊆ P y
a∈F2∨F3 ⊆P,entoncesa∈P, lo cual lleva a una contradicci´on.
Tenemos entonces que(F1∩F2)∨(F1∩F3) =F1∩(F2∨F3), y el ret´ıculoFi(L)es distributivo.
Por el Teorema 1.28, concluimos queLes distributivo.
Resumimos en un teorema todas las caracterizaciones hasta aqu´ı probadas.
Teorema 1.31. SeaLun semiret´ıculo. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
1. Les distributivo.
2. Fi(L)es un ret´ıculo distributivo. 3. Xw(L) =X(L).
4. SiF ∈ Fi(L)eI ∈Idor(L)tal queF ∩I = ∅, entonces existe un filtro primoP tal que
F ⊆P yP∩I =∅.
Las equivalencias entre las condiciones(1)y(4)del Teorema 1.31 fueron demostradas por J. Varlet en [21]. La equivalencia entre (1)y (2)fue probada por G. Gr¨atzer [12]. Por ´ultimo, las equivalencias entre(1)y(3)fueron demostradas por S. Celani en [6].
1.5.
Filtros e ideales de Frink
1.5 Filtros e ideales de Frink Conceptos preliminares
´unicamente de una estructura de orden, no de la posible existencia de ´ınfimos o supremos. Para denotar queXes un subconjunto finito de un conjuntoAescribiremosX ⊆f A.
Las siguientes definiciones fueron dadas por O. Frink en su art´ıculo [11]. El motivo principal de Frink es dar alg´un tipo de extensi´on de las nociones de filtro e ideal en conjuntos ordenados.
Definici´on 1.32. SeaP un conjunto ordenado.
Un subconjunto F de P es un filtro de Frinksi y s´olo si para todoX ⊆f F y para todo
a∈P si
\
{(x] :x∈X} ⊆(a], entoncesa∈F.
Un subconjuntoIdeP es unideal de Frinksi y s´olo si para todoX⊆f Iy para todoa∈P
si
\
{[x) :x∈X} ⊆[a), entoncesa∈I.
Denotaremos al conjunto de filtros de Frink comoFiF(P) y al conjunto de ideales de Frink
comoIdF(P).
Una de las limitaciones del conjunto de ideales (filtros) de orden es que no forman un sistema de clausura y en consecuencia se pierden importantes propiedades, como por ejemplo no contar con una noci´on de ideal (filtro) de orden generado. A pesar de esto la noci´on de ideal (filtro) de orden es necesaria para desarrollar una representaci´on topol´ogica tipo espectral para semiret´ıculos distributivos, como hemos visto anteriormente.
En contraposici´on con las nociones de filtro e ideal de orden, los conceptos de filtros e ideales de Frink si producen sistemas de clausura y adem´as existen descripciones de filtros e ideales de Frink generados por un conjunto.
Proposici´on 1.33. [11] SeaPun conjunto ordenado. EntoncesFiF(P)eIdF(P)son sistemas de
clausura.
Es sencillo demostrar que si F ∈ FiF(P), entonces F es creciente. Similarmente, si I ∈
IdF(P), entoncesI es decreciente.
En el siguiente resultado vemos cual es la relaci´on con las nuevas nociones introducidas.
Lema 1.34. SeaP un conjunto ordenado. EntoncesIdor(P)⊆IdF(P)yFior(P)⊆FiF(P).
Demostraci´on. SeaI∈Idor(P)y seana1, . . . , an∈I tal que[a1)∩ · · · ∩[an)⊆[a).
Probaremos quea∈I.
C´omoIes un ideal de orden, existec∈Ital queai ≤cpara cada1≤i≤n. Entoncesc∈[ai)
para cada1≤i≤n. De esta manerac∈[a1)∩ · · · ∩[an)⊆[a)y en consecuenciac∈[a), luego
a≤c. Comoc∈I eI es decreciente tenemos quea∈I. Por lo tantoI ∈IdF(P).
De forma an´aloga se puede probar queFior(P)⊆FiF(P).
El siguiente resultado afirma que los ideales de Frink y los filtros de Frink coinciden con las nociones usuales en semiret´ıculos, y por lo tanto en ret´ıculos. M´as precisamente.
Lema 1.35. SihL,∧iun ´ınfimo semiret´ıculo. EntoncesFiF(L)− {∅}= Fi(L).
1.6 Filtros optimales Conceptos preliminares
Sabemos que en un ´ınfimo semiret´ıculo las nociones de filtro de orden y filtro de Frink coin-ciden. En el pr´oximo lema es una especie de rec´ıproca de esto. La demostraci´on queda como ejercicio para el lector.
Proposici´on 1.36. SeaPun conjunto ordenado con ´ultimo elemento. EntoncesFior(P) = FiF(P)
si y s´olo siP es un ´ınfimo semiret´ıculo.
Demostraci´on. Ver [11].
SeaP un conjunto ordenado. Por la proposici´on 1.33 las familias FiF(P) e IdF(P) son
sis-temas de clausura. En consecuencia son ret´ıculos completos. Podemos entonces considerar los operadores de clausura asociados y definir el filtro e ideal de Frink generado por un subconjunto
X ⊆P. En tal caso vamos a denotar porFF(X)yIF(X)al filtro y al ideal de Frink generado por
un conjuntoX, respectivamente. Si X = {x1, . . . , xn}, entonces el ideal y el filtro finitamente
generados ser´an denotados porIF(x1, . . . , xn)yFF(x1, . . . , xn), respectivamente. Debido a que
FiF(P)eIdF(P)son ret´ıculos completos, entonces el supremo y el ´ınfimo enFiF(P)est´an dados
por:
^
F =\Fy _F = FF(
[
F),
para cualquier subfamiliaF de FiF(P). Similarmente, el supremo y el ´ınfimo en IdF(P)est´an
definidos por:
^
I =\Iy _F = IF(
[
I),
para cualquier subfamiliaIdeIdF(P).
Ahora vamos a dar una ´util caracterizaci´on de los ideales y filtros de Frink generados por un conjunto. La demostraci´on es inmediata.
Teorema 1.37. SeaP un conjunto ordenado. SeaX⊆P. Entonces
IF(X) ={a:∃ {x1, . . . , xn} ⊆X: [x1)∩ · · · ∩[xn)⊆[a)}
y
FF(X) ={a:∃ {x1, . . . , xn} ⊆X: (x1]∩ · · · ∩(xn]⊆(a]}.
1.6.
Filtros optimales
Ahora estamos interesados en introducir y estudiar la noci´on de filtro optimal en un conjunto ordenado. Los filtros optimales juegan un papel fundamental en el desarrollo de la teor´ıa de repre-sentaci´on por medio de espacios de Priestley de los semiret´ıculos distributivos acotados y de los semiret´ıculos implicativos acotados, como veremos m´as adelante.
1.6 Filtros optimales Conceptos preliminares
Vamos a denotar con Opt(P) el conjunto ordenado de los filtros optimales de un conjunto ordenadoP. A continuaci´on damos distintas caracterizaciones de la noci´on de filtro optimal que ser´an de utilidad m´as adelante. La demostraci´on es una simple aplicaci´on de la definici´on y de conocidos conceptos en conjuntos ordenados.
Lema 1.39. SeaPun conjunto ordenado. SeaFun filtro de Frink propio. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
1. F es optimal.
2. sia1, . . . an∈/ F y n
T
i=1
[ai)⊆[a), entoncesa /∈F.
3. Si
n
T
i=1
[ai)⊆[a)ya /∈F, entonces existe1≤i≤ntal queai∈/ F.
De ahora en m´as vamos a considerar semiret´ıculos distributivos acotados. En el pr´oximo resul-tado vamos a dar un teorema tipo filtro primo. Este teorema permite separar filtros con ideales de Frink por medio de filtros optimales. Observemos su parecido con el Teorema del Filtro Irreduci-ble 1.24. Pero obervemos que el caso del teorema del Filtro irreduciIrreduci-ble necesitamos la noci´on de ideal de orden. En en pr´oximo teorema se necesita la noci´on de ideal de Frink.
Teorema 1.40(del Filtro Optimal). SeaLun semiret´ıculo distributivo acotado. SeaF ∈Fi(L)e I ∈IdF(L). SiF∩I =∅, entonces existeP ∈Opt(L)tal queF ⊆P yP ∩I =∅.
Demostraci´on. SeaF ∈Fi(L)eI ∈IdF(L)tal queF∩I =∅. Consideremos el conjunto
F ={H∈Fi(L) :F ⊆HyH∩I =∅}.
Como F 6= ∅ y toda cadena de elementos deF est´a enF, entonces podemos aplicar el lema de Zorn. Luego existe un elemento maximalP en F. Comprobemos que este filtro es optimal. Supongamos que existen a1, . . . an ∈/ P y
n
T
i=1
[ai) ⊆ [a), pero a ∈ P. Consideremos los filtros
Fai =F(P ∪ {ai}). EntoncesFai ∈ F/ . Luego para cada1 ≤ i≤ nexistenfi ∈Fai yxi ∈ I
tales quefi∧ai ≤xi. Seaf =
^
fi. Entoncesf ∧ai ≤xi. Luego
\
[xi)⊆\[f∧ai) =\([f)Y[ai)) = [f)Y\[ai)
⊆[f)Y[a) = [f∧a).
La notaci´onYindica el supremo entre los filtros principales. Comoxi ∈I,
\
[xi) ⊆[f∧a)eI
es un ideal de Frink, entoncesf∧a∈I, lo que es un absurdo. Por lo tanto,P es optimal.
Teorema 1.41. SeaLun semiret´ıculo distributivo. Entonces
1. Todo filtro primo es optimal, es decir,X(L)⊆Opt(L).
1.6 Filtros optimales Conceptos preliminares
3. Todo filtro es intersecci´on de filtros optimales.
Demostraci´on. (1)SeaP un filtro primo. Seana1, . . . an∈/ P y supongamos que n
T
i=1
[ai) ⊆[a).
Sia ∈ P, entonces
n
T
i=1
[ai) ⊆ P, y al serP primo, ai ∈ P para alg´un1 ≤ i ≤ n, lo que es
imposible. Por lo tantoP es optimal.
(2)SeaP optimal. ComoP es propio, existe una∈ Ltal quea /∈P. EntoncesP ∩(a] =∅. Por el Teorema del Filtro Primo, existe un filtro primoQtal queP ⊆Qya /∈Q.
(3)Es inmediato.
2 Representaci ´
on tipo Stone
En esta secci´on vamos a recordar la representaci´on de semiret´ıculos distributivos losDS−espacios como una generalizaci´on de los espacios espectrales definidos por M. Stone [19]. Recordemos que de acuerdo a la dualidad desarrollada por Stone todo ret´ıculo distributivo es representable por me-dio de un espacio espectral. Los resultados que se presentar´an en esta secci´on est´an desarrollados en detalle en [6], y particularmente en [8].
2.1.
Preliminares
Vamos a introducir ahora, las definiciones y resultados necesarios que utilizaremos en el resto del cap´ıtulo. Comenzamos recordando algunas nociones topol´ogicas b´asicas.
Definici´on 2.1. Unespacio topol´ogicoes un par(X, τ),dondeXes un conjunto no vac´ıo yτ es una familia de subconjuntos deXcon las siguientes propiedades:
1. ∅yXest´an enτ,
2. La uni´on arbitraria de elementos deτ est´a enτ,
3. La intersecci´on finita de elementos deτ est´a enτ.
Definici´on 2.2. SeaXun conjunto. Unabasepara una topolog´ıa sobreX es una colecci´onτ de subconjuntos deX,llamados elementos b´asicos, tal que:
1. Para cadax∈X,existeO ∈τ tal quex∈O,
2. Six∈O1∩O2,dondeO1, O2∈τ, entonces existeO3 ∈τ tal quex∈O3⊆O1∩O2.
Definici´on 2.3. SeaXun conjunto. UnasubbaseΓpara una topolog´ıaτsobreXes una colecci´on de subconjuntos deXtal queX= S
Oi∈Γ
Oi.
La siguiente definici´on nos ser´a de gran utilidad.
Definici´on 2.4. SeaXun conjunto y seaP(X)el conjunto de todos los subconjuntos deX. Una subfamiliaA ⊆ P(X)se dir´adualmente dirigida, si para todoU, V ∈A,existeW ∈Atal que
W ⊆U∩V.
De ahora en m´as, L denotar´a un ∧-semiret´ıculo con ´ultimo elemento 1. Recordemos que si
(X,≤) es un conjunto ordenado, entonces la terna (Pc(X),∩, X) es un semiret´ıculo, donde
2.2 Representaci´on por conjuntos Representaci´on tipo Stone
Definici´on 2.5. [8] SeaXun espacio topol´ogico y seaK una base de abiertos-compactos deX. Diremos queXessobersi satisface las siguientes condiciones:
XesT0,
Para cada subconjunto cerradoY y cada subfamilia dualmente dirigidaA ⊆ P(X)tal que
Y ∩Ui6=∅, para todoUi∈A, entoncesY ∩T{Ui:Ui∈A} 6=∅.
Veremos a continuaci´on que ciertas bases de un espacio topol´ogico generan un semiret´ıculo dis-tributivo.
SeaXun espacio topol´ogico y seaK una base de abiertos-compactos deX. Consideremos la familia
SK(X) ={U :Uc∈K}.
Teorema 2.6. SeaXun espacio topol´ogico yK una base de abiertos-compactos deXcerrada bajo uniones finitas. Entonces
hSK(X),∩, Xi es un semiret´ıculo distributivo con ´ultimo elementoX.
Demostraci´on. Es claro queSK(X)es un semiret´ıculo puesK est´a cerrada bajo uniones finitas. Sean U, V, W ∈ K tal que W ⊆ U ∪V. Vamos a probar que existen U0, V0 ∈ K tal que
W =U0∪V0,U0 ⊆U yV0 ⊆V. Por complementaci´on obtendremos queSK(X)es distributivo.
ComoW = (W ∩U)∪(W ∩V)y los conjuntosW∩U yW ∩V son abiertos yKes una base, entonces existen subfamilias{Ui:i∈I}y{Vj :j∈J}de elementos deKtales que
W = (W ∩U)∪(W ∩V) =[{Ui:i∈I} ∪
[
{Vj :j∈J}.
ComoWes compacto, existenU1, . . . , Un, V1, . . . , Vmtales queW =U1∪· · ·∪Un∪V1∪· · ·∪Vm.
ComoKes cerrado bajo uniones finitas, entoncesU1∪ · · · ∪Un=U0, yV1∪ · · · ∪Vm=V0∈K.
Es claro queU0 ⊆W∩U ⊆UyV0 ⊆W∩V ⊆V. Por lo tanto, por complementaci´on obtenemos queSK(X)es distributivo.
El teorema anterior ser´a utilizado m´as adelante en la representaci´on topol´ogica de los semi-ret´ıculos distributivos.
2.2.
Representaci ´
on por conjuntos
SeaLun semiret´ıculo distributivo. Consideremos el conjunto ordenadoX(L)y consideremos tambi´en la aplicaci´on
ϕ:L→ Pc(X(L))
definida por
ϕ(a) ={P ∈X(L) :a∈P}.
2.3DS-espacios Representaci´on tipo Stone
Teorema 2.7(de Representaci´on). SeaLun semiret´ıculo distributivo. EntoncesLes isomorfo a la sub´algebraϕ[L] ={ϕ(a) :a∈L}dePc(X(L)).
Demostraci´on. Seaa ∈ L. Primero veamos que ϕ(a) ∈ Pc(X(L)). Sea P ∈ ϕ(a)y P ⊆ Q. Como P ∈ ϕ(a), entonces a ∈ P, pero entonces a ∈ Q, es decir,Q ∈ ϕ(a). Tenemos que
ϕ(a)∈ Pc(X(L)).
Probemos ahora queϕ(a∧b) =ϕ(a)∩ϕ(b)y queϕ(1) =X(L). SeaP ∈ϕ(a∧b),entonces
a∧b ∈ P.Como a∧b ≤ ay a∧b ≤ b, se tiene que a, b ∈ P, es decir,P ∈ ϕ(a)∩ϕ(b). Rec´ıprocamente, si P ∈ ϕ(a)∩ϕ(b), entoncesa ∈ P yb ∈ P.Comoa∧b ∈ P,se tiene que
P ∈ϕ(a∧b). Claramenteϕ(1)⊆X(L). SeaP ∈X(L)y seaa∈P, entoncesa≤1,es decir,
1∈P yP ∈ϕ(1).
Nos falta demostrar por ´ultimo que la aplicaci´onϕes inyectiva. Seana, b ∈ Ltal quea6= b. Veamos queϕ(a)6=ϕ(b). Comoa6=b, entoncesaboba. Siabentonces[a)∩(b] =∅.
Por Teorema 1.24, tenemos que existeP ∈X(L)tal que[a)⊆P yP∩(b] =∅, entoncesa∈P
yb /∈P,es decir,P ∈ϕ(a)yP /∈ϕ(b). Sibase razona de manera an´aloga. Por lo tantoϕes
inyectiva yL∼=ϕ[L].
2.3.
DS-espacios
El teorema de representaci´on 2.7 es la herramienta esencial para demostrar la representaci´on por conjuntos que estudiaremos en esta secci´on. La idea es definir un espacio topol´ogico sobre el conjunto de los filtros primosX(L)de un semiret´ıculo L. El espacio topol´ogico asociado se genera por medio de una base, que como veremos, la base adecuada ser´a la familia de conjuntos
ϕ[L]c={ϕ(a)c=X(L)−ϕ(a) :a∈L}.
Proposici´on 2.8. SeaLun semiret´ıculo distributivo. Entonces:
1. X(L) =S{ϕ
(a)c:a∈L},
2. Para todoa, b ∈Ly para todoP ∈X(L)tal queP ∈ϕ(a)c∩ϕ(b)c, existe unc∈Ltal queP ∈ϕ(c)c⊆ϕ(a)c∩ϕ(b)c,
3. Para todoa∈Ly para todoB ⊆L, si
ϕ(a) =\{ϕ(b) :b∈B}, entonces existe un subconjunto finitoB0 ⊆Btal que
ϕ(a) =\{ϕ(b) :b∈B0}.
Demostraci´on. 1.Seaa∈L. TomemosP ∈ϕ(a)c,entoncesP ∈X(L)yϕ(a)c⊆X(L).Por lo
tantoS
{ϕ(a)c :a∈L} ⊆X(L). Veamos la otra inclusi´on. SeaP ∈X(L).ComoP es propio, entonces existea ∈ L tal que a /∈ P,es decir,P /∈ ϕ(a),o lo que es equivalente a decir que
P ∈ϕ(a)c.Hemos demostrado queX(L) =S{ϕ
2.3DS-espacios Representaci´on tipo Stone
2.Seana, b∈LyP ∈X(L)tal queP ∈ϕ(a)c∩ϕ(b)c.Como
P ∈(X(L)−ϕ(a))∩(X(L)−ϕ(b))
entonces a, b /∈ P y por hip´otesis, P ∈ X(L) = Xw(L). Como a, b ∈ Pc y Pc ∈ Ido(L),
entonces existe c ∈ Pc tal que a ≤ c y b ≤ c, es decir, P ∈ ϕ(c)c. Nos resta probar que
ϕ(c)c⊆ϕ(a)c∩ϕ(b)c.SeaQ∈ϕ(c)c,entoncesc /∈Qya, b /∈Q,pues sia∈Q, comoa≤c
yQes filtro, entoncesc ∈ Q,lo cual es una contradicci´on. Entonces Q /∈ ϕ(a)yQ /∈ ϕ(b),es decirQ∈ϕ(a)c∩ϕ(b)c.Por lo tantoP ∈ϕ(c)c⊆ϕ(a)c∩ϕ(b)c.
3.Seaa ∈ LyB ⊆ Ltal queϕ(a) = T
{ϕ(b) : b ∈ B}. Sea[B) el filtro generado porB.
Entoncesa∈[B), pues en caso contrario,[B)∩(a] =∅y por Teorema 1.24 tenemos que existe
P ∈X(L)tal que[B)⊆P ya /∈P.Pero esto implica queP ∈T{ϕ
(b) :b∈B}yP /∈ϕ(a),
lo cual es una contradicci´on. Entonces comoa∈[B), tenemos que existeB0 ={b1, .., bn} ⊆B
tal queb1∧ · · · ∧bn≤ay
ϕ(b1∧ · · · ∧bn) =ϕ(b1)∩ · · · ∩ϕ(bn)⊆ϕ(a).
Por lo tantoT{ϕ
(b) : b∈ B0} ⊆ ϕ(a).La inclusi´onϕ(a) ⊆ϕ(b1)∩ · · · ∩ϕ(bn)es inmediata.
Tenemos entonces queϕ(a) =ϕ(b1)∩ · · · ∩ϕ(bn),es decir,ϕ(a) =T{ϕ(b) :b∈B0}.
Dado un semiret´ıculo distributivoL, por el punto1de la Proposici´on 2.8, tenemos que la familia
ϕ[L]c={ϕ(a)c=X(L)−ϕ(a) :a∈L}
es una subbase para una topolog´ıa definida sobreX(L). Por el inciso(2), tenemos queϕ[L]ces una base para una topolog´ıaτ sobreX(L). Entonces la estructura
hX(L), τi
es un espacio topol´ogico, dondeϕ[L]ces una base para la topolog´ıaτ. Este espacio ser´a llamado el espacio dualdeL, o el espacio espectral asociado aL. Esta clase de espacios son una generaliza-ci´on de los espacios que Marshall Stone estudi´o en relageneraliza-ci´on con los ret´ıculos distributivos. Por eso este tipo de espacios tambi´en se los suele llamar espacios tipo Stone o espacios tipo espectrales.
En la pr´oxima proposici´on vamos a caracterizar a los conjuntos abiertos, los abiertos y compac-tos y vamos a demostrar una propiedad fundamental que nos permitir´a definir a losDS-espacios.
Proposici´on 2.9. SeaLun semiret´ıculo distributivo y seahX(L), τiel espacio dual deL. Enton-ces:
1. Un subconjunto propioU ⊆X(L)es abierto enhX(L), τisi y s´olo si existe un filtroF de Ltal queU =ϕ(F)c, donde
ϕ(F) ={P ∈X(L) :F ⊆P}.
2.3DS-espacios Representaci´on tipo Stone
3. SeaY un subconjunto cerrado enhX(L), τi, y seaA ⊆ X(L) una subfamilia dualmente dirigida de subconjuntos abiertos-compactos tal que Y ∩Ui 6= ∅, para todo Ui ∈ A,
entoncesY ∩T
{Ui:Ui∈A} 6=∅.
Demostraci´on. 1.⇒)SeaU un subconjunto abierto dehX(L), τi.Dado queϕ(L)ces una base
del espaciohX(L), τi, se tiene que
U =[{ϕ(a)c:a∈B⊆L}.
ConsideremosF = [B)el filtro generado porB.Tenemos entonces que
ϕ(F)c={ϕ(a)c:a∈F}
= [ a∈B.
{ϕ(a)c:a∈B}
Por lo tanto,U =ϕ(F)c.
⇐)Rec´ıprocamente, es inmediato chequear que siF es un filtro deL,entonces
ϕ(F) =\{ϕ(a) :a∈F}.
Por lo tanto tenemos queϕ(F)ces un abierto enL.
2.⇒)SeaU un abierto-compacto enhX(L), τiPor el inciso1tenemos que
U =ϕ(F)c=[{ϕ(a)c:a∈F}.
para alg´un filtroF deL. Dado queU es compacto, existen{a1, .., an} ⊆F tal que
U =ϕ(a1)c∪ · · · ∪ϕ(an)c
= (ϕ(a1)∩ · · · ∩ϕ(an))c
=ϕ(a1∧ · · · ∧an)c.
⇐)SeaU ⊆X(L)y supongamos que existea∈Ltal queU =ϕ(a)c.EntoncesU es abierto, y por el inciso3de la Proposici´on 2.8, tambi´en tenemos queU es compacto.
3.SeaY un subconjunto cerrado enhX(L), τiy seaK ={Ui :i∈I}una familia dualmente dirigida de subconjuntos abiertos-compactos dehX(L), τital queY ∩Ui6=∅,para todoi∈I.
Por inciso2, para cadai∈I, existeLtal queUi =ϕ(ai)c.Consideremos el conjunto
H={ai ∈L:Ui =ϕ(ai)c}
y consideremos el ideal generado porH, es decir
(H] ={x∈L:x≤c, para alg´unc∈H}.
Probemos que(H]es un ideal de orden enA. Seana, b∈(H],entonces existenc1, c2 ∈Htal
2.3DS-espacios Representaci´on tipo Stone
unc∈Htal que
ϕ(c)c⊆ϕ(c1)c∩ϕ(c2)c
es decir
ϕ(c1)∪ϕ(c2)⊆ϕ(c)
entoncesa≤cyb≤c.Por lo tanto(H]∈Ido(L).
ComoY es cerrado, usando el inciso 1, tenemos que existeF ∈ Fi(L) tal queY = ϕ(F).
Probemos queF ∩(H] = ∅.Supongamos lo contrario. Entonces existea∈ F yc ∈H tal que
a≤c.Por hip´otesis,ϕ(F)∩ϕ(c)6=∅,entonces existeP ∈X(L)tal queF ⊆P yc /∈P.Pero dado quea∈Fya∈P,como consecuencia se tiene quec∈P,lo cual es una contradicci´on. Por lo tantoF∩(H] =∅.Por Teorema 1.24, existeP ∈X(L)tal queF ⊆P yP∩(H] =∅.Luego,
P ∈ϕ(F) =Y yP ∈T{U
i :i∈I},es decir,
Y ∩\{Ui:i∈I} 6=∅.
De esta forma la proposici´on queda demostrada.
Las propiedades probadas anteriormente para el espacio(X(L), τ)motiva introducir una defi-nici´on abstracta de los espacios asociados a los semiret´ıculos distributivos.
Ahora definiremos los espacios topol´ogicos, tipo Stone, duales de los semiret´ıculos distributi-vos.
SiXes un espacio topol´ogico, escribiremos conKO(X)a la familia de todos los subconjuntos deXque son abiertos y compactos. Notemos que
SiU, V ∈KO(X), entoncesU ∪V ∈KO(X),
∅ ∈KO(X).
Cuando el espacio es compacto, entoncesX∈KO(X).
Definici´on 2.10. [8] SeaX un espacio topol´ogico. Diremos queX es unDS-espacio si es un espacio sober y el conjunto de todos los abiertos-compactos KO(X) forman una base para la topolog´ıa.
De acuerdo al Teorema 2.6, siXes unDS-espacio, comoKO(X)es un base, la familiaSKO(X)(X) =
{U :X−U ∈KO(X)}es un semiret´ıculo distributivo bajo la operaci´on de intersecci´on de con-juntos. Si adem´as el espacioXes compacto, entoncesSKO(X)(X)tiene primer elemento∅.
Para simplificar la notaci´on escribiremosS(X)en vez deSKO(X)(X).
Por claridad formulamos el siguiente resultado.
Teorema 2.11. Sea(X, τ)unDS-espacio. Entonces
(S(X),∩, X)
2.3DS-espacios Representaci´on tipo Stone
Demostraci´on. La prueba se sigue del Teorema 2.6.
Teorema 2.12. SeaLun semiret´ıculo distributivo. Entonces
(X(L), τ),
donde la topolog´ıaτ es generada tomando como base la familiaϕ[L]c={ϕ(a)c:a∈L}, es un DS-espacio y la aplicaci´onϕ:L→ϕ[L]es un isomorfismo.
Demostraci´on. Por la Proposici´on 2.9, tenemos que(X(L), τ)es unDS-espacio donde el con-junto de todos los abiertos y compactos coincide con la familiaϕ[L]c ={ϕ(a)c:a∈L}. Por el
Teorema 2.7 la aplicaci´onϕes un isomorfismo de semiret´ıculos.
Resumiendo lo anterior tenemos que:
1. SiLes un semiret´ıculo distributivo, entoncesX(L) = (X(L), τ)es unDS-espacio. Si adem´asLtiene primer elemento0, entonces el espacioX(L)es compacto.
2. SiXes unDS-espacio, entoncesS(X) = (S(X),∩, X)es un semiret´ıculo distributivo. Si el espacioXes compacto, entoncesS(X)tiene primer elemento∅.
Adem´as de los puntos anteriores, tambi´en se puede demostrar lo siguiente:
Si L es un semiret´ıculo distributivo, entonces L es isomorfo al semiret´ıculo distributivo
S(XL))asociado alDS-espacio(X(L), τ)por medio de la aplicaci´onϕ.
SiX es unDS-espacio, entoncesX es homeomorfo alDS-espacioX(S(X))asociado al semiret´ıculo distributivoS(X)por medio de la aplicaci´onε:X →X(S(X))definida por
ε(x) ={U ∈S(X) :x∈U}.
3 Dualidad tipo Priestley
En este cap´ıtulo vamos a estudiar la dualidad desarrollada por Guram Bezhanishvili y Ram´on Jansana en los art´ıculos [2, 3, 4] para los semiret´ıculos distributivos acotados. Esta dualidad es una extensi´on de la conocida dualidad para ret´ıculos distributivos debida a Hilary Priestley [17] y [18]. La idea fundamental se basa en que todo semiret´ıculo distributivo acotado se lo puede sumergir en un ret´ıculo distributivo (la extensi´on distributiva libre) y que el espacio de Priestley de dicho ret´ıculo permite recuperar el semiret´ıculo cuando se lo dota de ciertas restricciones, como por ejemplo fijar en el espacio un subconjunto de filtros que corresponden a los filtros primos del semiret´ıculo. Este subconjunto, junto con otras propiedades, permite recuperar el semiret´ıculo.
3.1.
Espacios de Priestley
En esta secci´on vamos a recordar la dualidad de Priestley para ret´ıculos distributivos acotados. Daremos la noci´on de espacio de Priestley y veremos que tiene asociado un ret´ıculo distributivo. Tambi´en veremos que todo ret´ıculo distributivo acotado tiene asociado un espacio de Priestley.
Definici´on 3.1. Un espacio topol´ogico ordenado es un triplehX,≤, τidondeXes un conjunto,
≤es un orden parcial yτ una topolog´ıa deX.
Un espacio topol´ogico ordenadohX,≤, τi es totalmente disconexo en el orden si para cada
x, y ∈Xtales quex yexiste un conjuntoU ⊆X abierto-cerrado y creciente tal quex∈U e
y /∈U.
Un conjunto abierto-cerrado tambi´en es conocido como conjunto clopen. De aqu´ı en adelante usaremos esta denominaci´on.
Definici´on 3.2. Unespacio de Priestleyes un espacio topol´ogico ordenado totalmente disconexo en el orden que es compacto.
SeahX,≤, τi un espacio de Priestley. Por un lado, denotaremos al conjunto de los cerrados (abiertos) crecientes por CC(X) (OC(X)). Y al conjunto de los cerrados (abiertos) decrecientes porCd(X)(Od(X)). Por otro lado, al conjunto de clopen crecientes lo denotaremos porD(X). Y al conjunto de clopen decrecientes lo denotaremos porD(X)c.
Observaci´on. Notemos que
hD(X),∪,∩,∅, Xi
y
hD(X)c,∪,∩,∅, Xi
forman ret´ıculos distributivos acotados.
3.1 Espacios de Priestley Dualidad tipo Priestley
Proposici´on 3.3. Sea un espacio de PriestleyhX,≤, τi, entonces la colecci´on
D(X)∪D(X)c
es una subbase para la topolog´ıaτ.
Demostraci´on. Sea O un abierto del espacio tal que O 6= ∅, X . Para cada x ∈ O vamos a encontrar dos clopen crecientesUxyVxtales quex∈Ux∩Vxc⊆O. De este modo
O=[Ux∩Vxc x∈O
por lo que obtendremos lo deseado. Seax∈O, consideremos los conjuntos
I ={y /∈O:xy} yJ ={y /∈O :yx}.
Para caday ∈I seaUy un clopen creciente tal quex∈ Uy peroy /∈Uy, y paray ∈J seaVy
un clopen creciente tal quey∈Vyperox /∈Vy. As´ı
Oc⊆ [
y∈I
Uyc∪ [
y∈J
Vy.
Puesto queOces cerrado y el espacio es compacto, es un subconjunto compacto. Por lo tanto, existenI0 ⊆I yJ0 ⊆J finitos tales que
Oc⊆ [
y∈I0
Uyc∪ [
y∈J0
Vy.
SeanUx=TUy y∈I0
yVx=SVy y∈J0
. As´ı,x∈Uxyx /∈Vx. Adem´asOc⊆Uxc∪Vxy en consecuencia
x∈Ux∩Vxc⊆O
Observaci´on. De la proposici´on anterior se sigue que en todo espacio de Priestley la colecci´on de los conjuntos de la forma
B ={U ∩Vc:U, V ∈D(X)}
es una base para la topolog´ıa.
Proposici´on 3.4. Sea un espacio de PriestleyhX,≤, τi.
1. Los clopen crecientes forman una base para los abiertos crecientes, es decir, todo abierto creciente es la uni´on de una familia de clopen crecientes.
2. Los clopen decrecientes forman una base para los abiertos decrecientes, es decir, todo abierto decreciente es la uni´on de una familia de clopen decrecientes.
3.1 Espacios de Priestley Dualidad tipo Priestley
4. Los clopen crecientes forman una base para los cerrados crecientes, es decir, todo cerrado creciente es la intersecci´on de una familia de clopen crecientes.
Las pruebas de las siguientes propiedades sobre espacios de Priestley se pueden encontrar en [17, 18].
Proposici´on 3.5. Sea un espacio de PriestleyhX,≤, τi, entonces:
1. x≤ysi y s´olo si para todoU ∈D(X), six∈U entoncesy∈U.
2. SiY ⊆ X es cerrado decreciente yx ∈ X \Y, existe un clopen decrecienteU tal que Y ⊆U yx /∈U.
3. SiY, Z ⊆Xson cerrados disjuntos, el primero decreciente y el segundo creciente, entonces existe un clopen decrecienteU tal queY ⊆U yZ∩U =∅.
4. SiY ⊆Xes cerrado creciente yx∈X\Y, existe un clopen crecienteU tal queY ⊆U y x /∈U.
Ahora recordaremos como construir el espacio de Pristley asociado a una ret´ıculo distributivo. SeaL un ret´ıculo distributivo acotado. SeaX(L)el conjunto de los filtros primos de L. Para cadaa ∈ L, consideremosϕ(a) = {P ∈X(L) :a∈P}. Observemos que esta notaci´on ya fue utilizada en el caso de semiret´ıculos distributivos.
El Teorema de Representaci´on para ret´ıculos distributivos acotados afirma que la aplicaci´on
ϕ :L → PC(X(L))es un homomorfismo de ret´ıculos distributivos acotados inyectiva. Es decir
L ' ϕ[L]. De esta manera observemos que todo ret´ıculo distributivo acotado es isomorfo a un subret´ıculoDde un ret´ıculo distributivoPC(X)para alg´un conjunto ordenadohX,≤i.
SeaLun ret´ıculo distributivo acotado. Consideremos la topolog´ıaτ enX(L)determinada por la subbase
{ϕ(a) :a∈L} ∪ {ϕ(a)c:a∈L}.
Teorema 3.6. El espacio topol´ogico ordenadoX(L) =hX(L),⊆, τies un espacio de Priestley. Demostraci´on. Supongamos queP, Q∈ X(L)son tales queP *Q. Seaa∈P −Q.Entonces
P ∈ϕ(a)peroQ /∈ϕ(a). Por lo tanto el espacio es totalmente disconexo en el orden. Veamos que el espacio es compacto. SeanI, J ⊆Ltales que
X(L)⊆ [
a∈I
ϕ(a)∪[ϕ(b)c b∈J
.
SeaH el ideal generado porI y seaF el filtro generado porJ. SiI =∅,H ={0}y siJ =∅,
F = {1}. Si H∩F = ∅, entonces por el Teorema del Filtro Primo existeP ∈ X(L) tal que
F ⊆P yH∩P =∅. As´ı para cadaa∈ I,P /∈ ϕ(a); y para cadab ∈ J,P ∈ ϕ(b). Pero esto contradice la suposici´on sobreI yJ . Por lo tantoH∩F 6=∅. Ahora razonamos por casos.
Si H = {0}, 0 ∈ F. Por tanto existen b1, . . . , bn ∈ J tales que b1 ∧ · · · ∧bn = 0. As´ı
3.1 Espacios de Priestley Dualidad tipo Priestley
Si F = {1}, 1∈ H. Por tanto existen a1, . . . , am ∈ I tales que a1 ∨ · · · ∨am = 1. As´ı
ϕ(a1)∪ · · · ∪ϕ(am) =X(L).
SiH6={0}yF 6={1}, entoncesI 6=∅yJ 6=∅. Seac∈H∩F. Seanb1, . . . , bk ∈Jy sean
a1, . . . , aj ∈Itales que
b1∧ · · · ∧bk≤c≤a1∨ · · · ∨aj.
Entonces, siP ∈X(L)es tal quec∈P , de esa manera tenemos queP ∈ϕ(a1∨ · · · ∨aj). Y
sic /∈P,P /∈ϕ(b1∧ · · · ∧bk). Por lo tanto, para cadaP ∈X(L)vale que
P ∈ϕ(a1∨ · · · ∨aj)∪ϕ(b1∧ · · · ∧bk)c.
En los tres casos hemos encontrado un subcubrimiento finito. Se concluye que el espacio
hX(L),⊆, τies compacto.
Definici´on 3.7. Dado un ret´ıculo distributivo acotadoLel espacio topol´ogico ordenadohX(L),⊆, τi
es el espacio de Priestley deL, o espacio dual deL.
Hasta el momento hemos visto que todo ret´ıculo distributivo acotado tiene asociado el espacio de PriestleyhX(L),⊆, τi. Por otro lado hemos visto que todo espacio de PriestleyhX,≤, τitiene asociado un ret´ıculo distributivo acotadoD(X).
Ahora nos interesa saber cu´al es la relaci´on entreLyD(X(L))por un lado, y por otro lado la relaci´on entreXyX(D(X)).
Proposici´on 3.8. SeaLun ret´ıculo distributivo acotado, los clopen crecientes de su espacio de PriestleyX(L)son los conjuntos de la formaϕ(a)cona∈L; y los decrecientes son de la forma ϕ(a)ccona∈L. Es decir
D(X(L)) ={ϕ(a) :a∈L} y
D(X(L))c={ϕ(a)c:a∈L}.
Demostraci´on. SeaU un clopen creciente. Debemos probar que existeb∈Ltal queU =ϕ(b). SiU =∅, entoncesU =ϕ(0)y siU =X(L), entoncesU =ϕ(1).
SiU 6= ∅, X(L). SeaP ∈ U, para cadaQ /∈ U,P * Qpuesto queU es creciente. Fijemos
para cadaQ /∈U,aQ ∈P tal queaQ∈/Q. Entonces
Uc= [ Q /∈U
UacQ = [ Q /∈U
ϕ(aQ)c.
Al serU abierto,Uces cerrado y por tanto compacto. As´ı
Uc=Uac
Q1 ∪ · · · ∪U
c aQn
para ciertosQ1, . . . , Qn∈Uc. PeroP ∈UaQ1 ∩ · · · ∩UaQn ⊆U. SeaaP =aQ1 ∧ · · · ∧aQn.
As´ı
3.1 Espacios de Priestley Dualidad tipo Priestley
Por lo tanto,
U = [
P∈U
UaP
Por compacidad, seanP1, . . . , Pm ∈ U tales queU = UaP1 ∪ · · · ∪UaPm. Entonces, si b =
aP1 ∨ · · · ∨aPmtenemos queU =ϕ(b).
Dualmente se prueba que un conjuntoUes clopen decreciente si y s´olo siU =ϕ(b)cpara alg´un
b∈L.
SeaLun ret´ıculo distributivo acotado. Sabemos por el Teorema de Representaci´on de Stone queLes isomorfo aϕ[L] = {ϕ(a) :a∈L},probaremos que ϕes justamente el dual deX(L),
es decirϕ[L]'D(X(L)).
Teorema 3.9. SeaLun ret´ıculo distributivo acotado. SeahX(L),⊆, τi su espacio de Priestley asociado. Entonces L es isomorfo a D(X(L)) por medio de la funci´on ϕ : L → D(X(L))
definida porϕ(a) ={P ∈X(L) :a∈P}.
Demostraci´on. Seg´un se ha visto D(X(L)) = {ϕ(a) :a∈L}. Por lo tantoϕes sobreyectiva. Probemos que es inyectiva. Supongamos quea, b∈Lya6=b. De esta maneraaboba.
Sia b consideremos el filtro[a)y el ideal(b]que son disjuntos. Por el Teorema del Filtro
Primo existe un filtro primoP tal que[a)⊆P yP ∩(b] =∅. As´ıP ∈ϕ(a)peroP /∈ϕ(b). Por lo tantoϕ(a)6=ϕ(b).
Sib a razonamos an´alogamente. Por ´ultimo, es inmediato comprobar que se cumplen las
siguientes condiciones:ϕ(a)∩ϕ(b) =ϕ(a∧b),ϕ(a)∪ϕ(b) =ϕ(a∨b),ϕ(0) =∅yϕ(1) =X(L). Por lo tantoϕes un isomorfismo de ret´ıculos distributivos acotados.
SeaX=hX,≤, τiun espacio de Priestley. Hemos visto que al dotar a la familia de conjuntos clopen crecientesD(X)de las operaciones de intersecci´on y uni´on se obtiene un ret´ıculo distri-butivo. Probaremos que el espacio de Priestley asociado a dicho ret´ıculo es homeomorfo aX, en cuanto a la topolog´ıa, e isomorfo aX, en cuanto al orden.
Teorema 3.10. SeaX =hX,≤, τiun espacio de Priestley. EntoncesXyX(D(X))son isomor-fos como conjuntos ordenados y homeomorisomor-fos como espacios topol´ogicos por medio de la funci´on ε:X→X(D(X))definida porε(x) ={U ∈D(X) :x∈U}.
Demostraci´on. Es f´acil ver que para cadax∈X,ε(x)es un filtro primo.
Veamos queεes inyectiva. Six, y ∈ X yx y oy x. Six y, seaU ∈ D(X)tal que
x∈Uey /∈U. EntoncesU ∈ε(x)−ε(y), en consecuenciaε(x)6=ε(y). Siyx, se argumenta
an´alogamente.
Veamos queεes sobreyectiva. SeaP ∈X(D(X))y sean las familias de conjuntos
{Ui∈D(X) :Ui ∈P} y {Vj ∈D(X) :Vj ∈/ P}.
Probemos que
\
Ui∩
\
3.2 Representaci´on por filtros optimales Dualidad tipo Priestley
Supongamos lo contrario. Entonces tenemos queT
Ui ⊆ SVi. Como TUi es un conjunto
cerrado, por compacidad obtenemos que existe una familia finitaV1, . . . , Vntal queTUi ⊆V1∪
. . .∪Vn=V. Luego,Vc⊆SUic. ComoVces cerrado, entonces es compacto. Luego obtenemos
una familia finitaU1, . . . , Uktal queVc⊆U1c∪. . .∪Ukc= (U1∩. . .∩Uk)c=Uc. Por lo tanto
U ⊆V, y comoP es filtro, dado queU =U1∩. . .∩Uk ∈P implica queV ∈P, lo que es una
contradicci´on. Por lo tanto existex∈T
Ui∩TVjc. Luego es sencillo comprobar queε(x) =P.
Demostremos queεes un isomorfismo de orden. Sabemos que x ≤ y si y s´olo si para cada
U ∈D(X)tal quex∈U,y∈U , es decir, si y s´olo siε(x)≤ε(y).
Finalmente veamos queεes continua. Dado que el espacio es Hausdorff y compacto tendremos queεes un homeomorfismo. Basta mostrar que las preim´agenes de elementos de la subbase son conjunto abiertos. SeaU ∈D(X),entonces
ε−1(ϕ(U)) ={x∈X:ε(x)∈ϕ(U)}={x∈X:x∈U}=U
que es clopen. Adem´as,
ε−1(ϕ(U)c) ={x∈X:ε(x)∈/ ϕ(U)}={x∈X:x /∈U}=Uc
que es clopen.
3.2.
Representaci ´
on por filtros optimales
En el Cap´ıtulo 2 vimos que todo semiret´ıculo distributivoLse puede representar por medio de un semiret´ıculo de conjuntos. Dicha representaci´on se basa en considerar el conjunto de todos los filtros primos deLy la familiaϕ[L] ={ϕ(a) :a∈L}. A partir de dicha representaci´on pudimos construir un espacio topol´ogico sobre el conjuntoX(L)tomando como base de la topolog´ıaτ la familia de conjuntosϕ[L]sober y con una base de abiertos y compactos.
Pero en los semiret´ıculos distributivos tambi´en podemos trabajar con la noci´on de filtros op-timales. Dado un semiret´ıculo L, veremos que es posible definir en el conjunto ordenado de los filtros optimalesOpt(L)una topolog´ıa. El espacio resultante es un espacio de Priestley. Sabemos que todo espacio de Priestley se le asocia un ret´ıculo distributivo acotado. Dicho ret´ıculo es el con-juntoD(Opt(L))de todos los conjuntos abiertos, cerrados y crecientes del espacio. Claramente
L ser´a isomorfo a un semiret´ıculo de D(Opt(L)), y ser´a un isomorfismo en el caso de que L
sea un ret´ıculo. Pero tambi´en puede existir otro semiret´ıculo distributivoL0 tal que D(Opt(L))
sea isomorfo aD(Opt(L0))y sin embargoLyL0 no ser isomorfos. Por lo tanto la informaci´on que nos ofrece el conjunto de los filtros optimales no es suficiente para recuperar el semiret´ıculo distributivo inicial. Para poder recuperar el semiret´ıculo inicial deberemos parametrizar al espacio de Priestley. Dicho par´ametro ser´a un subconjunto del reducto del espacio topol´ogico con ciertas propiedades especiales. Una de ellas, por ejemplo, es que ese conjunto ser´a un subconjunto denso.