Entonces es sencillo comprobar que
hD(E),∩,∪, Xi
es un ret´ıculo distributivo. SiEes acotado, es decir, si∅ ∈E, entonceshD(E),∩,∪,∅, Xies un ret´ıculo distributivo acotado. De esta manera, dado un semiret´ıculo distributivoL, los ret´ıculos
hD(ϕ[L]),∩,∪,∅, X(L)i
y
hD(β[L]),∩,∪,∅,Opt(L)i
son ret´ıculos distributivos acotados.
Sabemos que los semiret´ıculoshϕ[L],∩, X(L))iy hβ[L],∩,Opt(L)i son isomorfos. Ahora veremos que la clausura bajo uniones de dichos conjuntos son ret´ıculos distributivos isomorfos. Este ret´ıculo, ser´a lo que llamaremos m´as adelante la extensi´on libre deL.
Teorema 3.14. SeaLun semiret´ıculo distributivo acotado. Entonces
hD(ϕ[L]),∩,∪,∅, X(L)i ∼=hD(β[L]),∩,∪,∅,Opt(L)i. Demostraci´on. Consideremos la funci´onf :D(ϕ[L])−→D(β[L])definida por
f(ϕ(a1)∪ · · · ∪ϕ(an)) =β(a1)∪ · · · ∪β(an).
Es claro quef est´a bien definida. Adem´asf que es un homomorfismo de ret´ıculos sobreyectivo. Por la Proposici´on 3.12 obtenemos que
ϕ(a1)∪ · · · ∪ϕ(an) =ϕ(b1)∪ · · · ∪ϕ(bm)
si y s´olo si
β(a1)∪ · · · ∪β(an) =β(b1)∪ · · · ∪β(bn).
Entoncesf es inyectiva. Por lo tantof es un isomorfismo de ret´ıculos.
3.3.
Espacios de Priestley generalizados
SeaLun semiret´ıculo distributivo acotado. Recordemos que la funci´on
β :L→ P(Opt(L)),
definida por
β(a) ={P ∈Opt(L) :a∈P}
nos permite probar el Teorema de Representaci´on 3.11 que afirma queL es isomorfo a un sub- semiret´ıculo de P(Opt(L)). Ahora vamos a dotar de una topolog´ıa tipo Priestley al conjunto
3.3 Espacios de Priestley generalizados Dualidad tipo Priestley
Opt(L)de tal forma que, con algunos otros par´ametros, se pueda recuperar una copia isomorfa de
L.
Consideremos la familia
SL={β(a) :a∈L} ∪ {β(b)c:b∈L}.
Esta familia forma una subbase para una topolog´ıaτ definida en el conjuntoOpt(L)pues
Opt(L) =[{β(a) :a∈L} ∪ {β(b)c:b∈L}.
Notemos queU es un b´asico si y s´olo si existen conjuntos finitos{a1, . . . , an}y{b1, . . . , bm}de
Ltales que
U =β(a1)∩ · · · ∩β(an)∩β(b1)c∩ · · · ∩β(bm)c
=β(a1∧ · · · ∧an)∩β(b1)c∩ · · · ∩β(bm)c
=β(a)∩β(b1)c∩ · · · ∩β(bm)c.
Por lo tanto los b´asicos de la topolog´ıaτson de la formaβ(a)∩β(b1)c∩ · · · ∩β(bm)c, para alguna
familia finita{a, b1, . . . , bm}deL. Es decir,
Teorema 3.15. SeaLun semiret´ıculo distributivo acotado. Consideremos la topolog´ıaτ generada por la subbaseSL. Entonces la terna
hOpt(L),⊆, τi es un espacio de Priestley.
Demostraci´on. Comprobemos que el espaciohOpt(L),⊆, τies compacto. SeanA, B ⊂Ltales que
Opt(L) =[{β(a) :a∈A} ∪ {β(b)c:b∈B}.
Consideremos el filtro generado por B, es decir, F(B), y el ideal de Frink generado por A, es decir, IF(A) = ( c∈L:∃a1, . . . an∈L n \ i=1 [ai)⊆[c) ) . Si suponemos que F(B)∩IF(A) =∅,
entonces por el Teorema del Filtro Optimal, existe un P ∈ Opt(L) tal que F(B) ⊆ P y P ∩ IF(A) =∅. Luego,
P ∈\{β(b) :b∈B} y P /∈[{β(a) :a∈A}.
En consecuencia
3.3 Espacios de Priestley generalizados Dualidad tipo Priestley
Lo que es un absurdo. Por lo tanto, existe un elemento c ∈ F(B)∩ IF(A). Entonces existe
a1, . . . an∈Ayb1, . . . , bm ∈B tales queb1∧ · · · ∧bm ≤cy n
T
i=1
[ai)⊆[c). Luego por Teorema
3.12, β(b1∧ · · · ∧bm) =β(b1)∩ · · · ∩β(bm)⊆β(c)⊆ [ {β(ai) : 1≤i≤n} y en consecuencia [ {β(ai) : 1≤i≤n} ∪β(b1)c∪ · · · ∪β(bm)c= Opt(L).
Con esto hemos probado que el espacio es compacto.
El espacio es totalmente disconexo, pues para cada parP, Q ∈ Opt(L) tal queP *Qexiste
una∈P ya /∈Q. Por lo tanto,P ∈β(a)yQ /∈β(a).
ComohOpt(L),⊆, τies un espacio de Priestley, entonces elret´ıculo dualformado por todos los cerrados-abiertos y crecientes
D(Opt(L)) = (D(Opt(L)),∪,∩,∅,Opt(L)),
es un ret´ıculo distributivo acotado. Este es un ret´ıculo que contiene una copia isomorfa al semi- ret´ıculoL. Para poder recuperar el semiret´ıculo vamos a tener que considerar ciertas restricciones al espacio de PriestleyhOpt(L),⊆, τi. Ahora nos dedicaremos a estudiar cuales son dichas res- tricciones. Esto nos llevar´a a definir el concepto de espacio de Priestley generalizado.
Primero veamos que papel cumple el conjunto de los filtros irreducibles en el espacio
hOpt(L),⊆, τi.
Lema 3.16. Sea L un semiret´ıculo distributivo acotado. Consideremos el espacio de Priestley
Opt(L) =hOpt(L),⊆, τi. Entonces
1. El conjunto de los filtros primosX(L)es un subconjunto denso deOpt(L).
2. Todo abierto crecienteU deOpt(L)es uni´on de elementos de{β(a) :a∈L}.
Demostraci´on. (1) Debemos probar quecl(X(L)) = Opt(L). Pero esto es equivalente a probar que para todo b´asico no vac´ıoU del espacioOpt(L)intersecta aX(L), es decir,U∩X(L)6=∅, para todo b´asicoU 6=∅.
SeaU un b´asico no vac´ıo. Entonces existena, b1, . . . , bn∈Ltales que
U =β(a)∩β(b1)c∩ · · · ∩β(bn)c.
Como U 6= ∅, entonces β(a) *
[
{β(bi) : 1≤i≤n}. Luego por Teorema 3.12 ϕ(a) *
[
{ϕ(bi) : 1≤i≤n}, es decir, existe unP ∈ϕ(a)yP /∈
[
{ϕ(bi) : 1≤i≤n}. Luego,
P ∈ϕ(a)∩ϕ(b1)c∩ · · · ∩ϕ(bn)c∩X(L).
3.3 Espacios de Priestley generalizados Dualidad tipo Priestley
(2) SeaU un abierto y creciente deOpt(L). SeaP ∈U. Para cadaQ /∈U, al serU creciente,
P *Q. Luego para cadaQ /∈U existe unaQ∈Ltal queaQ∈PyaQ ∈/ Q. Entonces
Uc⊆[{β(aQ)c:Q /∈U} y P ∈
\
{β(aQ) :Q /∈U}.
ComoUces cerrado y el espacio es compacto, entoncesUces compacto. Luego, existenaQ1, . . . , aQn ∈
Ltales queP ∈β(aQ1∧· · ·∧aQn) =β(aP)yβ(aP)⊆U. Por lo tanto,U =
[
{β(aP) :P ∈U}.
Sea L un semiret´ıculo distributivo acotado. Si U es un conjunto clopen creciente del espacio
hOpt(L),⊆, τi, entonces existena1, . . . , an∈Ltales que
U =β(a1)∪ · · · ∪β(an).
En particular cualquier conjunto de la formaβ(a)es un clopen creciente. Ahora vamos a caracte- rizar exactamente los clopen crecientes que son de esta forma.
Teorema 3.17. SeaLun semiret´ıculo distributivo acotado. Consideremos el espacio de Priestley
Opt(L) =hOpt(L),⊆, τi. SeaU un clopen creciente deOpt(L). Entonces las siguientes condi- ciones son equivalentes:
1. U =β(a), para alg´una∈L.
2. Uc= (X(L)∩Uc].
3. m´axUc⊆X(L).
Demostraci´on. (1) ⇒ (2)Como X(L) ⊆ Opt(L), entonces X(L)∩Uc ⊆ Uc, y al ser Uc
decreciente, se tiene que(X(L)∩Uc]⊆Uc.
SeaP ∈ Uc = β(a)c. Entonces a /∈ P. LuegoP ∩(a] = ∅, y por el Teorema del Filtro Primo, existe unQ ∈ X(L)tal que P ⊆ Qya /∈ Q. Luego,P ∈ (X(L)∩Uc]. Por lo tanto,
Uc= (X(L)∩Uc].
(2)⇒ (3)SeaP ∈m´axUc.EntoncesP ∈Uc= (X(L)∩Uc], luego existeQ∈X(L)∩Uc
tal queP ⊆Q. Pero al serP maximal enUc,P =Q∈X(L).
(3) ⇒ (1) Como U es clopen creciente, entonces existen a1, . . . , an ∈ L tales que U =
β(a1)∪ · · · ∪β(an). Consideremos el filtroF =
\
{[ai) : 1≤i≤n}y el ideal de Frink I =
IF(a1, . . . , an). Si F ∩I = ∅, por Teorema del filtro Optimal existe un P ∈ Opt(L) tal que
F ⊆ P y P ∩I = ∅. Entonces, para cada 1 ≤ i ≤ n,ai ∈ I y ai ∈/ P.Luego, P /∈ U =
β(a1) ∪ · · · ∪β(an). Por dualidad de Priestley existe un Q ∈ m´axUc tal que P ⊆ Q. Por
hip´otesis,Qes primo y adem´asF =\{[ai) : 1≤i≤n} ⊆P ⊆Q. Luego,ai ∈Qpara alg´un 1 ≤ i ≤ n, lo que es imposible. Por lo tanto,F ∩I 6= ∅. Entonces existe un a ∈ F ∩I. Es decir,a∈\{[ai) : 1≤i≤n}y\{[ai) : 1≤i≤n} ⊆[a). Entoncesa=a1∨ · · · ∨an, y en
consecuenciaU =β(a).
Ya estamos en condiciones de definir el espacio de Priestley dual de un semiret´ıculo distributivo. Primero definimos a los subconjuntos admisibles.
3.3 Espacios de Priestley generalizados Dualidad tipo Priestley
Definici´on 3.18. Sea hX,≤, τi un espacio de Priestley. Sea X0 un subconjunto denso de X.
Diremos que un clopenU esadmisibleenX0sim´axUc⊆X0.
Dado un espacio de Priestley hX,≤, τ, X0i generalizado, denotamos con X∗ o con S(X) al
conjunto de todos los clopen admisibles enX0, es decir
S(X) ={U ∈D(X) : maxUc⊆X0}.
Ya estamos en condiciones de dar la definici´on de los espacios tipo Priestley duales a los semi- ret´ıculos distributivos acotados.
Observaci´on3.19. Recordemos que un conjuntoI ={Ui ∈S(X)}es directo si para cada familia finitaU1, . . . , Un∈I existe unV ∈I tal queUi ⊆V para cada1≤i≤n.
Definici´on 3.20. Un espacio de Priestley generalizado es una estructurahX,≤, τ, X0ital que
1. hX,≤, τies un espacio de Priestley.
2. X0es un subconjunto denso deXtal queX= (X0].
3. x∈X0si y s´olo siIx ={U ∈S(X) :x /∈U}es un conjunto directo.
4. El orden≤queda determinado por los conjuntos admisibles. Es decir, x ≤ y si y s´olo si
∀U ∈S(X)x∈U implica quey∈U.
Notemos que cuandoX=X0las condiciones (2) a (4) son redundantes.
Teorema 3.21. SeaLun semiret´ıculo distributivo acotado. Entonces
hOpt(L),⊆, τ, X(L)i es un espacio de Priestley generalizado.
Demostraci´on. Hemos probado anteriormente que hOpt(L),⊆, τi es un espacio de Priestley. Tambi´en demostramos que el conjuntoX(L) es un subconjunto denso de hOpt(L),⊆, τi . Por el Teorema 3.17 un clopen crecienteU es admisible si y s´olo siU =β(a), para alg´una∈L. Por lo tanto
S(Opt(L)) =β[L].
Probemos quex∈X(L)si y s´olo siIx={β(a) :x /∈β(a)}. Seax∈X(L)y seanβ(a), β(b)∈
Ix. Entoncesx /∈β(a), β(b)y en consecuenciaa, b /∈x. Comoxes un filtro primo deL, tenemos
que[a)∩[b) * x. Por lo tanto existec ∈ [a)∩[b)tal que c /∈ x. De esta manerax /∈ β(c) y
tenemos queβ(a)∪β(b)⊆β(c). Por lo tantoβ(c)∈Ixy este es directo.
SeaIxdirecto y supongamos quex /∈X(L). Entonces existen filtrosF1yF2tales queF1∩F2⊆
x pero F1 * x y F2 * x. Sean a ∈ F1 −x y b ∈ F2 −x, entonces x /∈ β(a), β(b). Luego
β(a), β(b)∈Ix. ComoIxes directo, existeβ(c)∈Ixtal queβ(a)∪β(b)⊆β(c). De esta manera
c /∈xyc∈[a)∩[b)⊆F1∩F2 ⊆x. Por lo tantoc∈x, lo cual es una contradicci´on.
3.3 Espacios de Priestley generalizados Dualidad tipo Priestley
Teorema 3.22. SeahX,≤, τ, X0iun espacio de Priestley generalizado. Entonces
hS(X),∩,∅, Xi es un semiret´ıculo distributivo acotado.
Demostraci´on. Probemos queS(X)es cerrado bajo intersecciones. SeanU, V ∈S(X). Entonces
max((U ∩V)c) = max(Uc∪Vc)⊆maxUc∪maxVc⊆X0.
Por lo tanto,U∩V ∈S(X).
Adem´asmax(Xc) = max(∅) =∅ ⊆X0. Luego,X ∈S(X).
Tambi´en,max(∅c) = maxX⊆X
0, y por lo tanto∅ ∈S(X).
Veamos ahora queS(X)es distributivo. ConsideremosU, V, W ∈S(X)tal queU ∩V ⊆W. Entonces Wc ⊆ Uc∪Vc. Para cadax ∈ max(Wc) tenemos que x ∈ Uc o x ∈ Vc. Por lo tanto,W ∈ Ix yU ∈IxoV ∈ Ix. Comox ∈ X0, entonces por (3) de la definici´on de espacio
de Priestley generalizado tenemos que W, U ∈ Ix oW, V ∈ Ix.SiW, U ∈ Ix entonces existe
Ux ∈Ixtal queW ∪U ⊆Ux. Si,W, V ∈Ixentonces existeVx ∈Ixtal queW ∪V ⊆Vx. Por
lo tanto
Wc=[{Kx :x∈max(Wc)}
dondeKx = Uxco Kx = Vxc. ComoWces compacto, y cada conjuntoKx es abierto, entonces
existe subconjuntos finitosAyB demaxWctal que
Wc=[{Uc x :x∈A} ∪ [ {Vc x :x∈B}. SeaU0 =T {Ux :x∈A}yV0 =T{Vx :x∈B}. Es claro queU ⊆U0 yV ⊆V0 yU0, V0 ∈
S(X). ComoWc=U0c∪V0c, entoncesW =U0∩V0. Por lo tantohS(X),∩,∅, Xies distributivo.
De los resultados anteriores obtenemos el siguiente teorema de representaci´on.
Teorema 3.23 (de Representaci´on). Para cada semiret´ıculo distributivo acotadoLexiste un es- pacio de Priestley generalizadohX,≤, τ, X0ital queLes isomorfo aS(X).
Probaremos a continuaci´on algunas propiedades que ser´an necesarias m´as adelante. Lema 3.24. SeaXun espacio de Priestley generalizado. Entonces
1. Para cadaU ∈D(X),cl(U ∩X0) =U.
2. Para toda familiaU1, . . . , Un, U ∈S(X), tenemos que
\
[Ui)⊆[U) si y s´olo siU ⊆[Ui.
3. La clausura deS(X)bajo uniones finitas esD(X).
3.3 Espacios de Priestley generalizados Dualidad tipo Priestley
Demostraci´on. (1) Sea U ∈ D(X). ComoX0 es denso enX yU es abierto, entoncescl(U ∩
X0) =cl(U).ComoU es cerradocl(U) =U. Por lo tanto,cl(U ∩X0) =U.
(2)Supongamos queT
[Ui)⊆[U). Primero veamos queU ∩X0 ⊆SUi. Seax∈U ∩X0. Si
x /∈S
Ui, entoncesx /∈Ui, para cada1 ≤i≤n. Por condici´on (3) de la definici´on 3.20, existe
V ∈ S(X) tal queUi ⊆ V para cada1 ≤ i ≤ n, yx /∈ V. Entonces V ∈ T[Ui) ⊆ [U), es
decir, U ⊆ V, comox ∈ U esto implica que x ∈ V, lo que es una contradicci´on. Por lo tanto
U ∩X0 ⊆ SUi. Entoncescl(U ∩X0) ⊆ SUi y por el punto(1),cl(U ∩X0) = U. Entonces
U ⊆S
Ui.
Supongamos que U ⊆ S
Ui. Para la otra implicaci´on consideremos V ∈ T[Ui). Entonces
Ui ⊆V, para cada1 ≤i≤n. Luego,SUi ⊆V. LuegoU ⊆V,es decir,V ∈[U). Por lo tanto
T
[Ui)⊆[U).
(3)SeaS(X)∪ la clausura bajo uniones finitas deS(X). ClaramenteS(X) ⊆ D(X)y como
D(X) est´a cerrado bajo uniones, S(X)∪ ⊆ D(X). Comprobemos la otra inclusi´on. SeaU ∈ D(X). Ya que∅, X∈S(X), podemos suponer queU 6=∅, X. Fijamosx∈U. Para caday /∈U, comoU es creciente,xy. Luego, por condici´on (4) de la definici´on 3.20 para caday /∈Uexiste
unUy ∈S(X)tal quex∈Uyey /∈Uy. Entonces,
Uc⊆[ Uyc:y /∈Uy .
ComoUces compacto, existeny
1, . . . , yn∈/ Utales queUc⊆Uyc1∪· · ·∪U
c
yn = (Uy1∩· · ·∩Uyn)c.
Luegox∈Ux =Uy1 ∩ · · · ∩Uyn ⊆U. ComoS(X)es cerrado bajo intersecciones finitas,Ux ∈
S(X). En consecuencia,U =S
{Ux :x∈U}, y comoX es compacto, existenx1, . . . , xn ∈U
tales queU =Ux1 ∪ · · · ∪Uxn, es decirU ∈S(X). Por lo tantoS(X)
S
=D(X).
(4)Por dualidad de priestley, sabemos que la familiaD(X)∪{Ac:A∈D(X)}es una subbase
para la topolog´ıa deX. Entonces la familia{A−B :A, B∈D(X)}es una base. Por el punto (3) anterior,A = Sn i=1Ui yB = Sm j=1Vj, conUi, Vj ∈ S(X), para1 ≤i ≤ny1 ≤j ≤ m. Luego A−B = n [ i=1 Ui− m [ j=1 Vj = n [ i=1 (Ui∩ m \ j=1 Vjc).
Entonces los elementos de la base{A−B:A, B∈D(X)}son intersecciones finitas de elemen- tos deS(X)∪{Uc:U ∈S(X)}. Por lo tanto, la familiaS(X)∪{Uc:U ∈S(X)}es una subbase
de la topolog´ıa deX.
SeaX =hX,≤, τ, X0iun espacio de Priestley generalizado. Para cadax ∈X consideremos el conjunto
ε(x) ={U ∈S(X) :x∈U}.
Ahora vamos a probar que podemos considerar una funci´onε:X→Opt(S(X)).
Teorema 3.25. SeaXun espacio de Priestley generalizado. Entonces para cadax∈X, tenemos queε(x)∈Opt(S(X)). Six∈X0,entoncesε(x)es un filtro primo o irreducible deS(X).
Demostraci´on. Seax∈X, probemos queε(x)es un filtro deS(X). Por un lado seanU ∈S(X)
3.3 Espacios de Priestley generalizados Dualidad tipo Priestley
lado, siU, V ∈ε(x)entoncesx∈U, V. Luegox∈U ∩V y en consecuenciaU ∩V ∈ε(x).Por lo tantoε(x)es un filtro deS(X).
Probemos queS(X)−ε(x)es un ideal de Frink. Supongamos queU1, . . . , Un∈S(X)−ε(x),
U ∈ S(X) y
n
\
i=1
[Ui) ⊆ [U). Por (2) del Lema anterior tenemosU ⊆ n [ i=1 Ui. Comox /∈ n [ i=1 Ui
entoncesx /∈U. Por lo tanto,U ∈S(X)−ε(x)y en consecuenciaS(X)−ε(x)es un ideal de Frink, es decir,ε(x)∈Opt(S(X)).
Por ´ultimo, supongamos quex ∈ X0. Sean U, V ∈ S(X) tales que U, V /∈ ε(x). Entonces
x /∈ U y x /∈ V, se sigue queU, V ∈ Ix. ComoIx es directo, existe unW ∈ S(X) tal que
U ∪V ⊆W yx /∈W. Por lo tantoε(x)∈X(S(X)).
Teorema 3.26. SeaXun espacio de Priestley generalizado. Entonces la funci´on
ε:X→Opt(S(X))
es un isomorfismo de orden, un homeomorfismo y adem´asε[X0] =X(S(X)).
Demostraci´on. Es claro que por la condici´on (4) de la Definici´on de espacio de Priestley gene- ralizado tenemos que para todo x, y ∈ X, x ≤ y si y s´olo siε(x) ⊆ ε(y). Entonces εes un isomorfismo de orden. Probemos queεes sobreyectiva. SeaP ∈ Opt(S(X)).Consideremos las familias{Ui ∈S(X) :Ui∈P}y{Vj ∈S(X) :Vj ∈/ P}. Entonces probemos que
\
{Ui :Ui∈P} ∩
\
Vjc:Vj ∈/ P 6=∅.
Supongamos lo contrario. Entonces
\
{Ui :Ui ∈P} ⊆ {Vj :Vj ∈/ P},
y comoT
{Ui :Ui ∈P}es un subconjunto cerrado de un espacio compacto, entonces es com-
pacto. Luego existe una familia finita {V1, . . . , Vn} tal queT{Ui :Ui ∈P} ⊆ V1 ∪. . .∪Vn.
LuegoV1c∩ · · · ∩Vnc⊆S
{Uc
i :Ui ∈P}, y nuevamente por compacidad obtenemos un conjunto
finito{U1, . . . , Uk}tal queV1c∩ · · · ∩Vnc ⊆ U1c∪ · · · ∪Ukc. Entonces,U = U1 ∩ · · · ∩Uk ⊆
V1∪ · · · ∪Vn. ComoS(X)es un semiret´ıculo,U ∈S(X)y adem´asU ∈P, por ser filtro. Como
T
[Vi) ⊆ [U)si y s´olo siU ⊆ V1 ∪ · · · ∪Vn, teniendo en cuenta queVi ∈/ P, yP es optimal,
Por (2) del Lema 1.39 tenemos que U /∈ P, lo que es una contradicci´on. Por lo tanto existe un
x ∈T
{Ui:Ui∈P} ∩T
n
Vjc:Vj ∈/ P
o
. Ahora es sencillo comprobar queε(x) =P, y por lo tantoεes sobreyectiva.
Por teorema anterior sabemos que para cadax∈X0,ε(x)∈X(S(X)). Veamos que
ε|X0:X0 →X(S(X))
es sobreyectiva. SeaP ∈ X(S(X)). ComoP es tambi´en optimal, yεes sobreyectiva, entonces existex∈Xtal queε(x) =P. Debemos probar quex∈X0. Supongamos quex /∈X0. Entonces