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COSMOLOGIA
EN LA TEORIA GENERAL DE LA RELATIVIDAD
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Índice
Introducción ... 3
Relatividad general y cosmología ... 3
La métrica de Friedmann-Robertson-Walker ... 5
Las ecuaciones de Friedmann ... 10
El contenido de energía y materia del universo ... 12
Modelos cosmológicos ... 15
El espacio de Einstein-de Sitter y otros universos espacialmente planos ... 15
Universos dominados por materia con k general ... 17
Datos experimentales ... 21
Ley de Hubble ... 21
Medidas de distancias astronómicas ... 22
Estructuras a gran escala ... 27
La edad del Universo ... 29
La edad de los elementos químicos. ... 29
Datación radiactiva de una estrella vieja ... 30
La edad de los cúmulos de estrellas más viejos... 30
La edad de las enanas blancas más viejas ... 30
Materia oscura ... 32
Primeras evidencias de materia oscura ... 32
Evidencias aún más rotundas ... 32
Materia oscura no bariónica ... 33
Tipos de materia exótica no bariónica... 34
Materia oscura fría ... 35
Energía Oscura ... 35
Radiación de fondo de microondas ... 36
Supernovas de tipo Ia y aceleración del universo ... 40
La constante de Hubble ... 43
Algunos problemas con los desplazamientos al rojo ... 44
El universo primitivo
... 45
Alternativas al Big Bang ... 45
Inflación ... 46
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Introducción
Utilizaremos como hipótesis de trabajo el principio cosmológico, es decir que a grandes escalas el universo es homogéneo e isótropo llegado al resultado de una métrica de curvatura constante llamada métrica de Friedmann-Robertson-Walker en la que po-demos distinguir tres casos diferenciados: espacio cerrado, abierto hiperbólico y parabó-lico. Resolveremos las ecuaciones de Einstein según esa métrica y para las posibles dis-tribuciones de energía materia, comparando los resultados con los datos experimentales del corrimiento al rojo y del a constante de Hubble. Haremos pues una posible descrip-ción de la evoludescrip-ción del universo desde su origen Big Bang hasta sus posibles finales. Veremos los problemas que surgen en la observación y las hipótesis de materia oscura y energía oscura. Veremos a su vez las dificultadas para la interpretación de los datos as-trofísicos y su discusión por parte de diferentes sectores de la comunidad científica.
Relatividad general y cosmología
Cosmología (del griego teoría del universo) es probablemente el área de cono-cimientos más antigua. Aún, hasta hace poco, sólo podríamos contestar a algunas de sus preguntas más básicas. Esta pobre situación ha cambiado dramáticamente en los últimos años pasados gracias a medidas precisas de una amplia gama de parámetros cosmológi-cos.
Obviamente es imposible encontrar una solución exacta de las ecuaciones de Einstein que describe el universo entero con todo detalle. Pero esto tampoco es lo que pretende la cosmología que describe la dinámica del universo entero a muy grandes escalas, donde la influencia de galaxias individuales e incluso cúmulos de galaxias son meramente perturbaciones despreciables (del orden de 100 Mpsc).
El primer principio es el Principio Cosmológico, que pretende decir algo so-bre la forma del universo. La idea es que, sea como sea la evolución del universo, en cualquier momento su aspecto es el mismo en todos los puntos y en todas las direc-ciones.
En cualquier momento, el universo es homogéneo e isótropo a muy grandes esca-las.
Por lo tanto, el Principio Cosmológico implica que la métrica del universo se puede escribir como una familia de hipersuperficies (superficies tridimensionales) espaciales, cada una homogénea e isótropa, que representan el universo a un tiempo
t constante y juntos describen la evolución en el tiempo.
Un espacio que es homogéneo e isótropo es máximamente simétrico, es decir, tiene el número máximo de simetrías. Matemáticamente, las variedades que son máxima-mente simétricos son espacios con curvatura constante, una propiedad que se re-fleja en la siguiente condición sobre el tensor de Riemann:
ℛ = − (1)
4 Principio Cosmológico fija casi completamente la forma de la métrica.
La validez del Principio Cosmológico parece estar confirmados mediante las observaciones astronómicas del espacio profundo con radioondas y rayos X cósmicos indican que el universo efectivamente es bastante homogéneo a escalas de 109 años luz. Pero la mejor indicación del la veracidad del Principio Cosmológico llegó en 1965, cuando Penzias y Wilson descubrieron la radiación cósmica de fondo de mi-croondas, correspondiendo a la radiación térmica, proveniente de un cuerpo negro con una temperatura de T = 2,7K . Esta radiación cósmica de fondo es en realidad el residuo de la radiación térmica de un pasado mucho más caliente del universo y fue predicha por el físico ruso George Gamov (1904 - 1968) en 1948, como una consecuencia directa del modelo del Big Bang. La radiación cósmica de fondo, que nos proporciona información sobre cuando el universo todavía era muy joven, resul-ta ser muy isótropa, confirmando de manera extraordinaria el Principio Cosmológico. En realidad no fue hasta 1992 cuando el satélite COBE logró medir las primeras anisotropías en la radiación de fondo, cuyas fluctuaciones son sólo del orden de ∆T /T ∼ 10−5
.
El segundo principio básico de la cosmología relativista es el Postulado de
Weyl, que intenta modelar el contenido de materia del universo. Igual que el
Princi-pio Cosmológico afirma que las fluctuaciones de densidad son muy pequeñas a es-cala cosmológica, el Postulado de Weyl dice que las velocidades propias de la materia son pequeñas en comparación con el movimiento cosmológico.
Postulado de Weyl: La materia a escalas cosmológicas se comporta
co-mo un fluido perfecto, cuyas componentes se mueven a lo largo de geo-désicas temporales, que no se intersectan, salvo (posiblemente) en un punto en el pasado.
También el Postulado de Weyl se ve satisfecho en las observaciones: aunque sin duda existen interacciones gravitatorias entre las distintas galaxias, que en oca-siones llevan las galaxias a colisionarse y mezclarse, en general las velocidades parti-culares causadas por estas interacciones son despreciables con respecto a las veloci-dades generadas por la evolución del universo.
El Postulado de Weyl supone una clase de observadores privilegiados en el universo: los que están en reposo con respecto al fluido perfecto y cuyo movimiento por lo tanto únicamente está determinado por la evolución del universo. A estos ob-servadores se les suele llamar obob-servadores comóviles. También podemos definir un
tiempo cosmológico, siendo la dirección temporal de un observador comóvil. Este
tiempo cosmológico será útil para describir la evolución del universo y calcular su edad.
La métrica de Friedmann-Robertson-Walker
El Principio Cosmológico y el Postulado de Weyl determinan casi por comple-to la forma de la métrica del espacio tiempo. Por un lado, el Postulado de Weyl impli-ca que se puede foliar el espaciotiempo con una familia de hipersuperficies espacia-les, que son las superficies de simultaneidad t = cte con respecto al tiempo cosmoló-gico t. Y por otro lado, el Principio Cosmolócosmoló-gico dicta que estas superficies han de ser maximalmente simétricas. La hipótesis para la métrica por lo tanto se puede es-cribir sin pérdida de generalidad como
5 = − ( ) ( ) (2)
donde es la métrica de las secciones espaciales tridimensionales con curvatura constante. En otras palabras, el tensor de Riemann de la métrica satisface la condición
ℛ = − (3)
La función ( ) es el factor de escala, una función del tiempo cosmológico que mide la expansión o la contracción del universo de las secciones espaciales. Obsér-vese que para que las secciones espaciales sean homogéneas e isótropas en todo mo-mento, todas las direcciones espaciales tienen que evolucionar de la misma manera y por lo tanto el factor de escala tiene que ir multiplicando a todas las direcciones espa-ciales. En principio es posible incluir una función del tiempo f 2(t) multiplicando el
término dt2, pero es fácil de ver que se podría absorber esta función con una redefini-ción de la coordenada temporal. La métrica (2) con la condiredefini-ción (3) es por lo tanto la métrica más general de un universo homogéneo e isótropo.
El problema central de la cosmología relativista es determinar las funciones
S2(t) y ( ) en la hipótesis (2) en función del contenido de energía y materia del universo. El factor de escala S2(t) se determinará a través de las ecuaciones de
Eins-tein, ya que éstas describen la dinámica del sistema. Hallar ( ) es un problema puramente geométrico, puesto que implica resolver la ecuación (3). Interpretaremos las soluciones de esta ecuación.
La isotropía del espacio implica una simetría esférica, por lo tanto podemos es-cribir la métrica en las secciones espaciales como
̃ = ( ̅) ̅ + ̅ ( + sin ) (4)
donde ( ̅) es una función aún desconocida de la coordenada radial ̅. En lugar de sustituir esta hipótesis en la ecuación (3), vamos a determinar la función ( ̅) a través de la ecuación para el tensor de Ricci:
= −2 (5)
En un espacio tridimensional las condiciones (3) y (5) son equivalentes, por lo tanto es preferible resolver la última, ya que es más sencillo calcular el tensor de Ricci que el de Riemann. Sin embargo en general la condición (5) es claramente más débil que la condición (3). Todas las métricas de curvatura constante satisfacen la ecuación (5), pero no todas las métricas que satisfacen (5) tienen curvatura constante. Las métricas que satisfacen la ecuación (5) se llaman métricas tipo Einstein.
Los símbolos de Christoffel no nulos de la hipótesis (4) son
Γ = B Γ = Γ = 1 r̅
Γ = −r̅e Γ = − sin θ cos θ (6) Γ = −r̅ sin θ e Γ = cotg θ
6 de modo que las componentes no-triviales del tensor de Ricci vienen dadas por
̅ ̅ = − ̅ = −1 + − ̅ = sin (7) donde la prima denota la derivada con respecto a ̅. La ecuación (5) se reduce entonces, en nuestro caso, a dos ecuaciones independientes
̅ = , − (1 − ̅ ′) + 1 = 2 ̅ (8) que tienen como solución
=
̅ (9)
La métrica de una superficie (tridimensional) con curvatura constante viene dada por lo tanto por
̃ =
̅ ̅ + ̅ ( + sin ) (10)
donde la constante K puede tener un valor arbitrario positivo, negativo o cero, co-rrespondiendo respectivamente a una variedad tridimensional con curvatura constan-te positiva, negativa o cero. Para inconstan-terpretar esta métrica y para futuro comodidad es conveniente sacar un factor común
|K|−1 , escalando la coordenada radial ̅ =
| | (para K = 0). La métrica (10) en-tonces coge la forma
̃ = | | + ( + sin ) para ≠ 0
̃ = + ( + sin ) para = 0 (11)
donde ahora la constante k está definida como k = K/|K |.
Para interpretar la métrica (11), hay que considerar uno por uno los tres casos de K positivo, negativo o cero. El caso más sencillo es sin duda K=0: en (11) recono-cemos directamente la métrica para R3 en coordenadas esféricas. Esto era de es-perar, ya que para K=0 la ecuación (3) se reduce a la condición para el espacio plano. Intuitivamente sabemos que R3 es un espacio de curvatura constante, puesto que tiene curvatura cero en todos los puntos.
El caso K > 0, es decir curvatura constante positiva, es un poco más sutil. Nóte-se que ahora k = 1 y por lo tanto el rango de la coordenada r cubre sólo el interva-lo ] − 1, 1[, ya que la componente se vuelve singular cuando r → ±1. Es por lo tanto natural hacer el cambio de coordenadas
= ⇔ =
√ (12) de modo que la métrica (11) se convierte en
7
2
1
Esta métrica es la de una esfera tridimensional S3 con radio . La manera más fácil de verlo es embeber (13) en el espacio plano cuadridmensional R4 a través de las coordenadas
= sin sin cos
= sin sin sin
= sin cos
= cos (14)
Claramente estas coordenadas satisfacen la ligadura + + + = , de modo que las coordenadas {χ, θ, φ} efectivamente describen una tres-esfera en R4 con radio . Además la métrica (13) corresponde a la métrica de esta tres-esfera, porque sustituyendo el cambio de
coordenadas (14) en la métrica cartesiana de R4 (¡sin olvidarse de la ligadura!) obtenemos
= + + + = [ + ( + sin )] (15)
El último caso es la variedad con curvatura constante negativa, K < 0, o equivalentemente k = −1. En este caso podemos hacer el cambio de coordenadas
= ℎ ⟺ =
√ (16)
de modo que la métrica (11) se convierte en
̃ = [ + ℎ ( + sin )] (17)
Esta métrica describe un hiperboloide tridimensional H3 , lo que se puede com-probar considerando el cambio de coordenadas
= sinh sin cos
= sinh sin sin
= sinh cos
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Figura 1. Los tres espacios con curvatura constante (aquí en su versión bidimensional): la esfe-ra SN con curvatura positiva (izquierdo), el plano RN con curvatura cero (centro) y el hiperbo-loide HN con curvatura negativa (derecha), cada uno con su ángulo acimutal θ. La esfera SN se puede embeber en el espacio euclideo RN+1 , mientras que el hiperboloide HN se puede embe-ber en el espacio lorentiano R1,N .
El hiperboloide H3 no se puede embeber en R4 , sino en su versión lo-rentziana, el espacio de Minkowski R3,1 efectivamente, las coordenadas satisfacen la ligadura + + − = − , lo que determina en R3,1 una superficie a distancia temporal constante 1
| | del origen (véase la figura 2). La métri-ca (17) se obtiene sustituyendo el métri-cambio de coordenadas (18) y la ligadura en la
métrica = − + + +
En resumen, las tres superficies tridimensionales con curvatura constante son por lo tanto la esfera S3 (curvatura positiva), el plano R3 (curvatura cero) y el hi-perboloide H3 (curvatura negativa). No es sorprendente que fue en estos espacios donde históricamente se desarrolló la geometría diferencial, dado que estos son los casos con más simetría: la geometría plana en R3 de Euclides (siglo III A.C.), la geometría esférica por la cartografía y astronomía y la geometría no-euclidea de János Bolyai (1802-1860) y Nicolay Lobachevsky (1792-1856) para el hiperboloide en el siglo XIX. No fue hasta Gauss y Riemann a lo largo del siglo XIX, cuando se gene-ralizó la geometría diferencial para variedades arbitrarias.
Por lo tanto, sustituyendo la forma de la métrica (11) en nuestra hipótesis cos-mológica (2), vemos que la métrica de un universo homogéneo e isótropo siempre se puede escribir como
= − ( ) + ( + sin ) (19)
donde hemos absorbido el radio |K | de los espacios tridimensionales en un nuevo fac-tor de escala a(t), definido como
( ) = | | ( ) para ≠ 0
( ) = ( ) para = 0 (20)
La imagen por lo tanto es que a cualquier momento t = t0 , las secciones
espa-ciales son superficies de curvatura constante y el factor de escala a(t) representa de cierto modo el “tamaño” de esta superficie espacial. En el caso de k = 1, la función
a(t) es el radio de la tres-esfera en el momento t y, aunque para los otros dos casos es
ex-9 pansión o contracción de la sección espacial y marca por lo tanto una escala en las secciones espaciales. La expansión del universo por lo tanto no se corresponde con la imagen de diferentes galaxias alejándose unas de otras debido a los movimientos ra-diales de cada una de ellas en un espacio fijo, sino más bien a la imagen del conteni-do de materia y energía diluyénconteni-dose, debiconteni-do a la constante creación de espacio, con el aumento del factor de escala. Obsérvese que para k = 0, es factor de escala es adimen-sional, pero para k = ±1, a(t) tiene dimensiones de longitud.
La métrica (19) se llama la métrica de Friedmann-Robertson-Walker (FRW), llamada así por el físico-meteorólogo ruso Alexander Friedmann (1888 - 1925), el físico americano Howard Robertson (1903 - 1961) y el matemático inglés Arthur Walker (1909 - 2001). Friedmann propuso en 1922 la métrica (19) como hipótesis para el universo, dedujo las ecuaciones de Friedmann y obtuvo una de las primeras soluciones realistas de un universo en expansión. En 1935 y 1936 Robertson y Wal-ker demostraron independientemente que la métrica que propuso Friedmann es la hipótesis más general que describe un universo homogéneo e isótropo. Las coordena-das en que está escrita la métrica de FRW en (19) se suelen llamar coordenacoordena-das
comóviles, ya que el tiempo t es el tiempo propio de un observador que se mueve
con la expansión del universo.
Las ecuaciones de Friedmann
Ya que tenemos la forma general de la métrica de un universo homogéneo e isótropo, podemos concentrarnos en el verdadero problema de la cosmología relati-vista: la evolución del universo, codificado en la dinámica del factor de escala a(t). Para esto hay que resolver la ecuación de Einstein, utilizando los resultados que acabamos de derivar y la descripción apropiada de la materia.
Para calcular los tensores de curvatura de la métrica (19), conviene escribirla como
= − ( ) ( ) (21)
donde ( ) es la métrica de las secciones espaciales de curvatura constante, que hemos calculado antes. No sólo de esta forma podemos tratar los tres casos k =
−1, 0, 1 simultáneamente, sino también resulta que el resultado es explícitamente
in-dependiente de las coordenadas utilizadas en las secciones espaciales, ya que lo único que necesitamos saber es que
= − , = −2 , = −6 (22)
Un cálculo rutinario revela que los símbolos de Christoffel no nulos son
= ̇ g = ̇ = (23)
donde el punto indica derivar con respecto a la coordenada t y los son los símbolos de Christoffel (6) de la métrica . Del mismo modo el tensor de Ricci, el escalar de Ricci y el tensor de Einstein vienen dados por
10
= −3 + ̇ = [ + 2 ̈ + ̇ ] (24)
Aunque no es estrictamente necesario para resolver las ecuaciones de Einstein, conviene calcular también el tensor de Riemann, para estudiar las singularidades de las soluciones que vamos a encontrar. Las únicas componentes que no son cero son de la forma
= − ̈ = − [ + ̇ ] − (25)
En cosmología la combinación
= ̇ (26)
se llama el parámetro de Hubble y mide la velocidad de expansión (o contracción) en comparación con la escala del universo. Como tiene dimensión de longitud inver-sa, el parámetro de Hubble marca una escala de tiempo y de distancia para el modelo cosmológico en consideración. El tiempo de Hubble tH es la edad que tendría el
uni-verso si se hubiera expandido siempre con la misma velocidad que ahora, y la
lon-gitud de Hubble es la distancia que ha viajando la luz en el tiempo de Hubble.
Obsér-vese que el tiempo de Hubble no es (necesariamente) la edad real del universo (de hecho sólo lo es para un modelo específico), ni la longitud de Hubble es una indi-cación para el tamaño real, aunque en muchos casos sí es de la mismo orden de magnitud.
Para determinar a(t), hay que resolver un sistema de ecuaciones diferenciales para el factor de escala a(t), que se obtiene sustituyendo la métrica de FRW (21) en las ecuaciones de Einstein
− = − (27)
donde el tensor de energía-momento contiene las contribuciones de todos los tipos de energía- momento presente en el universo (materia, radiación, constante cosmológi-ca, ...). por el Principio de Weyl se puede considerar el contenido del universo co-mo un fluido perfecto. Podeco-mos escribir por lo tanto
= = P (28)
donde = ∑ y = ∑ son respectivamente la densidad y la presión total de todos los tipos de energía y materia presentes en el universo.
En 1922 Friedmann sustituyó la métrica (21) en las ecuaciones de Einstein, ob-teniendo así las ecuaciones de Friedmann (y corrigiendo un error que cometió Eins-tein al derivar estas ecuaciones para su modelo del universo estático de 1917):
̇
=1
3 −
̈
+ ̇ = − − (29)
Aunque al conjunto de estas ecuaciones se le llama las ecuaciones de Fried-mann, también a la primera ecuación sólo, la componente {tt} de la ecuación de Eins-tein, se le denomina confusamente la ecuación de Friedmann, mientras que la se-gunda, la componente {ij}, se llama la ecuación de evolución. Se puede simplificar
11 bastante esta última, combinándola con la ecuación de Friedmann, dando lugar a la
ecuación de aceleración
̈
= − ( + 3 ) (30)
La ecuación de Friedmann relaciona por lo tanto la velocidad de expansión del universo con la densidad de energía y con la curvatura de las secciones espaciales. Obsérvese que sólo es una ecuación diferencial de primer orden y por lo tanto no es realmente una ecuación de movimiento, sino más bien una ligadura para H , ρ y k. Por otro lado, la ecuación de evolución sí es una ecuación de segundo orden y actúa como la ecuación de movimiento de a(t) (de ahí su nombre). En la práctica mu-chas veces basta con resolver la ecuación de Friedmann para determinar el factor de escala. Veremos en la siguiente sección que la ley de conservación de energía y la ecuación de Friedmann implican la ecuación de aceleración.
Finalmente, a veces conviene reescribir la métrica de FRW (21) en las llama-das coordenallama-das conformes, donde el factor de escala aparece en la métrica como un factor conforme. Se define el tiempo conforme τ , a través de una reparametriza-ción de la coordenada temporal, como
dτ = a−1(t)dt ⇔ dt = a(τ )dτ (31)
de modo que la métrica (21) coge la forma
= ( ) − (32)
donde el factor de escala a(τ ) = a(t(τ )) ahora es una función del tiempo confor-me. El tiempo conforme no es el tiempo propio de ningún observador en particular (obsérvese que τ tiene dimensiones de longitud inversa para k = 0, pero es adimensio-nal para k = ±1), pero estas coordenadas tienen algunas ventajas, como por ejem-plo dejar claro que las métricas FRW con k = 0 son conformamente planas.
Los tensores de curvatura en estas coordenadas vienen dados por = 3[ ′′ − ( ′) ] , = −3[ + ( ′) ]
= −[2 + ′′ − ( ′) ] , = [ + 2 ′′ − ( ′) ]
= 3[2 + 2 ′′] (33)
donde el acento indica una derivación con respecto al tiempo conforme τ . Las ecuaciones de Friedmann en estas coordenadas son entonces
′
=1
3 −
− = − − (34)
y la ecuación de aceleración viene dada por
= ( + 3 ) (35)
12 Como hemos visto, la evolución del universo depende de la densidad de energía
ρ y de la presión P , de modo que hay que especificar éstas para poder resolver las
ecuaciones de Friedmann. Sin embargo, a su vez, la densidad de energía y la presión cambian con la evolución del universo y dependen por lo tanto del factor de escala. Necesitamos entonces información adicional, que determina como varía
a(t) con la densidad y la presión.
Esta información nos la da la ley de conservación de energía
∇ T = 0 (36)
Aunque (36) es una ecuación vectorial, sólo la componente temporal nos pro-porciona una relación entre ρ, P y a(t). Sustituyendo (23) y (28) en la ley de con-servación de energía, encontramos en coordenadas comóviles
̇ + 3 ̇( + ) = 0 (37)
Esta ecuación, por rara que pueda parecer a primera vista, es en realidad una identidad conocida de la termodinámica. Multiplicando (37) por a3 , podemos reescri-birla como
[ ] = − [ ] (38)
Si interpretamos a3(t) como el volumen de un trozo de la sección espacial en el
momento t, vemos que la ley de conservación de energía dice que el cambio de ener-gía en un volumen es igual a menos la presión por el cambio de volumen. En otras pa-labras, hemos recuperado una formulación de la primera ley de la termodinámica
dE = −P dV. (39)
Con la ley de conservación de energía podemos demostrar que las dos ecuacio-nes de Friedmann en realidad no son independientes: derivando la ecuación de Frie-dmann (29a) con respecto a t y usando (37), obtenemos después de un poco de cálcu-lo la ecuación de aceleración (30). La ecuación de Friedmann y la conservación de energía implican por lo tanto la ecuación de aceleración y consecuentemente la de evolución. Dado que siempre trabajaremos con fluidos perfectos, que satisfacen la conservación de la energía, en la práctica sólo tenemos que resolver la ecuación de Friedmann para determinar la evolución del sistema.
La ley de conservación de energía (37) es imposible de resolver, si no es-pecificamos con qué tipo de energía estamos tratando. El tipo de energía o materia viene especificado por la dependencia de la presión Pα de la densidad ρα ,
expre-sado en la ecuación de estado
Pα = ω(α) ρα , (40)
donde ω(α) es el parámetro de la ecuación de estado. En principio ω(α) no tiene
por-qué ser constante, pero la homogeneidad y la isotropía de la métrica de FRW obliga a ω(α) sea independiente de las coordenadas x. Además se suele tomar ω(α) también
independiente de t: cada fluido perfecto está caracterizado por un valor de ω(α) y,
co-mo vereco-mos en breve, diluye de manera diferente con la expansión del universo. Si en distintas épocas el universo está dominado por distintos tipos de energía, es
13 preferible caracterizar estas por varios fluidos perfectos, que por uno solo con un parámetro de estado variable en el tiempo.
Como hemos dicho ya, cada valor de ω(α) define un tipo de fluido perfecto. Por
ejemplo, ω = 0 corresponde a un fluido perfecto con solamente densidad de materia, sin presión y describe por lo tanto materia fría, sin interacciones, o polvo. Por otro lado ω = 1/3 corresponde a materia muy caliente, materia relativista o radiación y
ω = −1 corresponde a una constante cosmológica. El hecho de que estos valores de ω correspondan a estos tipos de fluidos se deriva a través de las leyes de la
termodi-námica.
Sustituyendo la ecuación de estado (40) en la ecuación de conservación de energía (37), encontramos la siguiente ecuación diferencial para ρα en términos de a,
( ) = ( )( ) (42)
donde ρ0 es la densidad en un momento dado t = t0 (por ejemplo en la
actuali-dad) en que normalizamos el factor de escala como a(t0 ) ≡ 1. En particular, para
materia fría (ω = 0) vemos que la densidad va como a−3, es decir, la materia se diluye de manera inversamente proporcional al volumen. Por otro lado, la densidad de energía de radiación (ω = 1/3) evoluciona como a−4,es decir aparte de diluirse inver-samente proporcional al volumen, pierde energía en el corrimiento hacia el rojo de la radiación, ya que al expandirse el universo, también aumenta la longitud de las ondas de la radiación de manera lineal en a. Por último, una constante cosmológica (ω = −1) proporciona una densidad de energía constante por unidad de volumen. En este sentido, una constante cosmológica realmente corresponde a la energía del vacío.
Una observación interesante surge al sustituir la ecuación de estado en la ecua-ción de aceleraecua-ción:
̈
= − (1 + 3 ) (43)
Una expansión acelerada del universo sólo es posible cuando el universo está dominado por un fluido perfecto con parámetro de estado ω < −1/38 . Un universo con materia fría o radiación sufrirá una deceleración, debido a la atrac-ción gravitatoria del contenido de energía y materia. Más concretamente se define el parámetro de deceleración como
= ̈
̇ (44)
Obsérvese que q es un parámetro adimensional, que indica la deceleración del universo para valores de q positivo y aceleración para q negativo.
Otra observación importante sacamos de la ecuación de Friedmann: para que las secciones espaciales sean planas (k = 0), es preciso que la densidad de ener-gía en el universo sea igual a una densidad crítica
14 Si la densidad es menor (mayor) que la densidad crítica, necesariamente te-nemos que k = −1 (k = +1) y por lo tanto las secciones espaciales tienen necesaria-mente que tener curvatura negativa (positiva). En este caso se suele hablar de un uni-verso abierto (cerrado), mientras que k = 0 se le denomina un uniuni-verso plano (¡refi-riéndose obviamente a las secciones espaciales, no a la curvatura cuadrimensional!).
Podemos definir el parámetro de densidad total, que mide la densidad total en términos de la densidad crítica
Ω = (46)
Como hemos dicho antes, el universo es espacialmente plano para Ω = 1, abierto para Ω < 1 y cerrado para Ω > 1. También es conveniente definir los
pará-metros de densidad parciales de cada componente del fluido perfecto
Ω = (47)
que mide la importancia de cada fluido en comparación con la densidad crítica. Por construcción tenemos que
∑ Ω = Ω (48)
Modelos cosmológicos
El espacio de Einstein-de Sitter y otros universos espacialmente planos
Presentado en 1932 en un artículo conjunto de los dos científicos que aparecen en su nombre, fue considerado una buena descripción de nuestro universo hasta bien avanzado los años 1980.
El espacio de Einstein-de Sitter supone que el universo consiste principalmente de materia fría con densidad crítica, o sea Ω = 1 y Ω = Ω = 0. Debido a la den-sidad crítica de materia, las secciones espaciales son planas (k = 0) y la ecuación de Friedmann
̇
= (49)
es directamente integrable, si recordamos que la materia fría se diluye con el factor de escala como ( ) = ( ). La solución a esta ecuación diferencial es
( ) = (50)
donde la constante = es el parámetro de Hubble en el momento t = t0
(cuando ( )= y ( )= 1. La métrica del espacio de Einstein-de Sitter es por lo tanto de la forma
15
= − (51)
Esta métrica parece singular para t = 0 y efectivamente el escalar de Ricci,
= (52)
diverge para t = 0, lo que implica que la singularidad es física. La coordenada temporal corre por lo tanto en el intervalo ]0, ∞[ donde la singularidad en t = 0 representa el ori-gen del universo. Se suele llamar Big Bang tanto a la singularidad inicial, como a los modelos cosmológicos que la predicen. El nombre lo puso el astrofísico británico Fred Hoyle (1915 - 2001) en una entrevista con la BBC en 1950, para mofarse de la idea, puesto que él era partidario de la teoría del estado estacionario, que predice un univer-so sin evolución, de edad infinita. El espacio de Einstein-de Sitter es por lo tanto el primer modelo que encontramos según el cual el universo no ha existido desde siem-pre.
La edad del universo se calcula fácilmente de la expresión (50) del factor de escala: denominando la actualidad t = t0 y normalizando el factor de escala como a(t0 )
= 1, vemos que la edad del universo en el modelo de Einstein-de Sitter viene dada por
= (53)
Hasta la segunda mitad de los años 1990, se estimaba el valor actual del parámetro de Hubble H0 entre 50 y 90 km/s/Mpc, lo que resultaba en una edad entre
aproximadamente 6,5 y 13 mil millones de años. La cota superior en realidad está cerca del valor que se cree hoy en día, pero la cota inferior es claramente demasiado corta, puesto que hay estrellas y estructuras que existen desde hace más tiempo que esto. El problema más grave por lo tanto del modelo de Einstein y de Sitter era que predecía una edad demasiado corta para nuestro universo.
Merece la pena mirar la evolución de universos espacialmente planos domina-dos por otro tipo de energía, es decir para general. Tomando en cuenta que la densidad de energía en general disminuye como ( ) = ( )) , la ecuación de Friedmann se reduce a
̇ = (54)
con H0 definido en (67). La solución general viene dada por
( ) = ( ) ( ) (55)
16
Figura 2: La evolución del factor de escala para distintos valores de (para universos espacialmente planos): un universo dominado por materia fría (línea fina continua) inicialmente crece más lentamen-te que un universo dominado por radiación (línea discontinua), pero decelera menos rápidamenlentamen-te, de modo que después de un cierto tiempo crecerá más rápido. Todos los universos con > −
deceleran, el universo con = − (linea punteada) crece de manera constante y universos con < − (línea continua en negrita) son acelerados. Los universos tienen una edad más elevada,
cuanta más bajo sea . Por otro lado, puesto que todos tienen el mismo valor para H0, el tiempo de
Hubble tH es el mismo para todos.
Obsérvese que el factor de escala depende del parámetro de estado , y por lo tanto universos con distintos contenidos de energía, tienen evoluciones diferentes: en el espacio de Einstein-de Sitter el factor de escala va como ( )~ , pero por ejemplo un universo dominado por radiación ( = ) crece como ( )~ . Es decir, en tiempos primordiales, un universo con radiación se expande más rápido que un universo con materia, pero también decelera más rápido, de modo que tarde o temprano su factor de escala será alcanzado por el factor de escala de Einstein-de Sitter y quedará atrás (véase Figura 2). Si los distintos modelos evolucionan a ritmos diferentes, también quiere decir que tienen edades distintas, por lo menos si todos coinciden en el valor actual del parámetro de Hubble H0 . Igual que en el caso de Einstein-de Sitter, se calcula la edad
desde el factor de escala. De (55) vemos que para general (pero ≠ −1) =
( ) (56)
y por lo tanto el universo es más joven, cuanto más alto es el valor de . La métrica general para universos espacialmente planos (con ≠ −1)
= − ( ) ( ) (57)
tiene una singularidad del tipo Big Bang para t = 0: el escalar de Ricci viene dado por
=
17 lo que efectivamente es divergente para todo , salvo = . Para saber qué es lo que pasa en este último caso, tenemos que calcular otro escalar de curvatura. Por ejemplo, vemos que para estas métricas el invariante de curvatura
=
( ) (59)
es singular para cualquier valor de , y en particular para = . Todos estos uni-versos empezaron por lo tanto con un Big Bang, salvo ≠ 1, que ha existido desde siempre.
Universos dominados por materia con k general
Por último miraremos a los modelos para universos con materia fría, que no tengan necesaria- mente la densidad crítica. Ya hemos dicho en la sección 12.4 que si la densidad es menor que la crítica, las secciones espaciales tienen curvatura negati-va, mientras que si la densidad es mayor, las secciones espaciales son cerradas.
Calcular la métrica de estas soluciones resulta más fácil en las coordenadas con-formes (32). En estas coordenadas, las ecuaciones de Friedmann (34) para un fluido perfecto con = 0 se pueden escribir como
3(ℎ + ) = 2ℎ + ℎ + = 0 (60)
donde ℎ = / es el parámetro de Hubble en coordenadas conformes y la prima indica una derivación con respecto al tiempo conforme . La ecuación de evolución se puede integrar fácilmente para como función de h, resultando
= −2 ∫ (61)
que se puede resolver con técnicas estándar para todos los valores de k.
Miremos primero el caso k = 0, a pesar de que ya sabemos que la solución es el espacio de Einstein-de Sitter, para familiarizarnos con las coordenadas conformes. En este caso la integral (61) se resuelve como
= −2 ∫ = 2ℎ + (62)
de modo que podemos escribir h, y por lo tanto a, en función de como
ℎ = = ( + ) (63)
donde c y son constantes de integración. Se puede reabsorber c con una redefinición de , pero se determinará por la ecuación de Friedmann, que todavía nos queda por resolver. Sustituyendo la solución para a en la primera ecuación de (60), vemos que el factor de escala viene dado por
( ) = (64)
y la métrica es de la forma
18 Para ver que esta solución es realmente el espacio de Einstein-de Sitter (51), sólo hace falta ir a coordenadas comóviles a través del cambio de coordenadas (31)
= ⇔ = [12 ] (66) Efectivamente sustituyendo la expresión para ( ) en (64), obtenemos la expresión (50).
El caso = −1 es nuevo, pero la integral (61) se resuelve fácilmente:
= −2 ∫ = 2 ℎ ℎ (67)
de modo que
ℎ = ℎ ⇒ = ℎ (68)
Otra vez la ecuación de Friedmann determina la constante de integración como = , un parámetro con dimensión de longitud, como era de esperar, de modo que la métrica viene dada por
= ℎ [ − − Ω ] (69)
Al intentar escribir esta métrica en coordenadas comóviles, nos encontramos con un problema técnico. El cambio de coordenadas (31) puede expresar t en función de
= [sinh − ] (70)
pero no al revés, de modo que no podemos obtener una expresión exacta para a(t). Sin embargo, si podemos aprender algunas cosas de esta métrica, mirando los tensores de curvatura y la evolución en tiempos muy tardíos.
El escalar de Ricci viene dado por
= 3 ℎ (71)
de modo que, al igual que el espacio de Einstein-de Sitter, tiene una singularidad del tipo Big Bang. Sin embargo, la expansión es mucho más rápida que en el caso k =
0. Aunque no podemos invertir la relación (70) en general, sí podemos mirar lo que
pasa cuando ≫ 1. En este caso tenemos que
≈ (72)
y por lo tanto
( ) ≈ (73)
Por lo tanto vemos que un universo dominado por materia con densidad más baja que la densidad crítica se aproxima en tiempos tardíos (o no tan tardíos, ya que va exponencialmente) al espacio de Minkowski. En otras palabras, un universo con densi-dad subcrítica se expande tan rápido y diluye la materia tanto, que el universo se
apro-19 xima al espacio plano. La evolución del factor de escala para todo está dibujada en Figura 3.
Por último, miremos el caso k = 1. Entonces la integral (61) se resuelve como
= −2 ∫ = 2 ℎ (74)
de modo que podemos escribir h y por lo tanto a en función de como
ℎ = cot ⇒ = sin (75) Otra vez la ecuación de Friedmann determina la constante de integración en función de la densidad como = , de modo que métrica viene dada por
= [ − − Ω ] (76)
También aquí encontramos problemas al intentar escribirla en coordenadas comóviles. El cambio de coordenadas (31) puede expresar t en función de
= [ −sin ] (77)
Figura 3: El factor de escala para universos dominados por materia con distintos valores de k: un universo con densidad crítica (k = 0, línea continua) corresponde al espacio de Einstein-de Sitter; el caso subcrítico ( = −1, linea discontinua) expande más rápido y se aproxima en tiempos tardíos al
espacio de Minkowksi; el caso supercrítico (k = 1, línea punteada) expande muy rápido inicialmente, pero está frenado por la gran cantidad de materia y recolapsará en un tiempo finito. Hace falta inter-pretar este diagrama con cuidado, puesto que a(t) en el caso k = 0 es adimensional, mientras que tiene dimensión de longitud para k = ±1.
20 pero no al revés. Sin embargo, con las dos expresiones para ( ) y ( ) sí tenemos una parametrización de a(t), que nos permite interpretar la solución: la curva a(t) representa una cicloide(véase Figura 3). El factor de escala por lo tanto crece ini-cialmente muy rápido, pero está frenado por la gran cantidad de materia (recuerda que estamos en el caso supercrítico), hasta parar del todo y contraerse otra vez. Al cal-cular el escalar de Ricci,
= 3 sin (78)
vemos que la métrica no sólo es singular en = 0 (t = 0, el Big Bang), sino también en = 2 o equivalentemente en = . El recolapso causará un aumento de la densi-dad que resultará en otra singularidensi-dad, parecida al Big Bang, denominada Big Crunch (Gran Colapso), que hará desaparecer el universo entero. Lo curioso es que cuanto más grande sea la densidad del universo, más tardará en colapsarse.
Vemos por lo tanto que el espacio de Einstein-de Sitter es justo el caso límite entre un universo cerrado y uno abierto. Teniendo justo la densidad crítica, no hay suficiente materia para frenar la expansión por completo y iniciar un recolapso, pero sí lo suficiente para diluirse del todo y hacer que el universo se convierte en Minkowski.
Datos experimentales
Ley de Hubble
La primera observación con significado puramente cosmológico fue la ley de Hubble. Hubble obtuvo una relación lineal entre el desplazamiento al rojo z y distan-cia D
c z = H0 D (79)
donde c es la velocidad de la luz y H0 es la constante de Hubble, expresada
habitual-mente en Km s-1Mpc-1. Esta relación aproximada para pequeños desplazamientos al rojo podría implicar, por extrapolación directa, una relación lineal entre la velocidad y la distancia que se cumpliera para cualquier distancia considerada.
21 Este hecho puede ser interpretado como que el Universo está en expansión. Pero una ley de la forma
v = H D (80)
conocida como relación velocidad-distancia (y muchas veces confundida con la ley de Hubble) tiene muchas más implicaciones. La primera es que ésta es la única relación posible que produce una expansión homóloga que no cambia la forma de las estructuras en el Universo. La segunda es que es compatible con una visión Copernicana donde nuestra posición en el universo no es de particular importancia. Todos los observadores, en cualquier lugar del universo verán el mismo tipo de ley.
La tercera es que para una distancia suficientemente grande, un objeto se puede alejar con una velocidad mayor que la de la luz, lo que implica que hay algún tipo de horizonte cosmológico al que tenemos que dar una explicación dentro de un modelo razonable del Universo observable. Este horizonte conocido como radio de Hubble, se produce a una distancia
D = c/H
0=3000 h
-1Mpc
Donde h es un número adimensional ampliamente utilizado: h = (H0 / 100).
Por último, si extrapolamos la expansión hacia atrás en el tiempo, parece ser que podría haber un tiempo en que las galaxias estuvieran mucho más cerca y la densidad del universo podría crecer indefinidamente si nos vamos suficientemente atrás en el tiempo. Podemos hacer una primera estimación del tiempo de expansión (denominado tiempo de Hubble) como la inversa de la constante de Hubble.
tH = 1/H0 = 9.78 h-1 Gaños
donde 1 Gaño = 109 años = mil millones de años = 1 eón.
Figura 4.Representación de la velocidad frente a la distancia con los datos originales de 1929.
Figura 5. Representación de 1996 de la distancia frente a velocidades de más de 30,000 Km/s (z = 0.1). Como se ve la relación permanece lineal con gran aproximación.
22 Medidas de distancias astronómicas
Los astrónomos han desarrollado una gran variedad de técnicas para enfrentarse al problema de la medida de distancias. La esencia del método utilizado en la mayoría de técnicas es sencilla de ex-plicar. Si uno tiene una bombilla situa-da a una distancia y la aleja hasta el doble de distancia, su brillo aparente disminuye cuatro veces, si la alejamos al triple de distancia el brillo aparente disminuye en nueve veces y así sucesi-vamente. Este tipo de variación se co-noce como la ley inversa del cuadra-do de la distancia. Entonces, si cono-ciésemos el brillo intrínseco de un ob-jeto en el cielo, podríamos usar esta ley para determinar la distancia. Todo parece fácil hasta que uno piensa que existen tres problemas básicos aquí:
1. Encontrar objetos en otras galaxias suficientemente similares a los que podemos estudiar a distancias cortas y entender bien sus propiedades físicas para que nos permitan utilizarlos como candelas estándar, es decir, fuentes de luz de brillo intrínseco conocido.
2. Relacionado con el primero está un factor temporal que debemos tener en cuen-ta, puesto que estamos observando objetos en galaxias lejanas que se hallan en nuestro pasado temporal, y no podemos asegurar que las propiedades de los ob-jetos estudiados en el presente sean extrapolables a las propiedades de los mis-mos en el pasado. Este es el problema de la evolución temporal.
3. Determinar los factores de corrección debidos al material (gas y polvo) que se sitúe entre el objeto observado y el observador, problema que uno capta inme-diatamente si decide determinar la distancia a una bobilla en medio de la niebla. Esto se conoce como corrección del factor de extinción.
A continuación se mencionan algunos métodos muy utilizados que requieren una calibración, es decir, conocer de alguna manera las propiedades físicas de los objetos implicados:
1. ESTRELLAS PULSANTES COMO CANDELAS ESTÁNDAR Cefeidas
Las variables Cefeidas son estrellas jóvenes, de masa intermedia (2-10 masas solares) y pulsantes, con periodos de varios días. Se llaman así por el miembro más bri-llante de la clase, Delta Cephei. Estas estrellas son pulsantes debido a las zonas de hi-drógeno y helio ionizado que se encuentran cerca de la superficie. Este hecho fija la temperatura, más o menos, de la estrella y produce una franja de inestabilidad en el dia-grama H-R. Se sabe desde hace años que existen dos grupos de cefeidas: las clásicas, con una amplitud elevada y una curva de luz asimétrica, y las cefeidas-s con una ampli-tud más moderada y una curva de luz simétrica.
23 El diagrama anterior muestra una estrella creciendo y enfriándose, luego dismi-nuyendo de tamaño y calentándose. Las Cefeidas son más brillantes cuando están cerca de su tamaño mínimo. Puesto que todas las Cefeidas están aproximadamente a la misma temperatura, el tamaño de una Cefeida determina su luminosidad. Un objeto pulsante y grande tiene un periodo de oscilación más largo que un objeto del mismo tipo que sea más pequeño. Por lo tanto debe existir una relación periodo-luminosidad para las Cefei-das. Si uno tiene dos Cefeidas cuyos periodos de oscilación difieren en un factor dos, la de mayor periodo es aproximadamente 2.5 veces más luminosa que la de periodo corto. Puesto que es fácil medir el periodo de una estrella variable, las Cefeidas son una mara-villa para determinar las distancias a galaxias. Además, las Cefeidas son tan brillantes que se pueden observar en galaxias tan lejana como M100 en el cúmulo de Virgo. El único problema con las Cefeidas es la calibración de la relación periodo-luminosidad, pues debe realizarse usando Cefeidas situadas en las Nubes de Magallanes y en cúmulos estelares cuya distancia haya sido determinada por ajuste de la secuencia principal del cúmulo. Y uno debe preocuparse por que la calibración podría depender de la abundancia de metales en la Cefeida, la cual es mucho menor en la Gran Nube de Magallanes que en galaxias espirales luminosas del tipo M100.
Indicadores RR Lyrae
Las estrellas RR Lyrae son estrellas pulsantes variables como las Cefeidas, aun-que éstas son estrellas de baja masa (< 0.8 masas solares), periodos cortos (0.2-1.2 días) y amplitudes por debajo de las dos magnitudes. Se observan dentro de cúmulos globula-res, son estrellas de Población II de baja metalicidad y parece ser que todas tienen la misma luminosidad. Puesto que las masas de las RR Lyrae están determinadas por las masas de las estrellas que están saliendo de la secuencia principal, esta constancia en la luminosidad puede deberse a las similitudes en la edad de los cúmulos globulares. 2. Función de luminosidad de las nebulosas planetarias
Las nebulosas planetarias son estrellas que han evolucionado a través de las fa-ses de gigante roja y gigante roja asintótica (ver diagrama HR) y han expulsado sus ca-pas externas de hidrógeno sin fusionar, formando una nebulosa ionizada que rodea a una estrella central pequeña y muy caliente. Éstas emiten grandes cantidades de luz en la línea espectral de 501 nm del oxígeno dos veces ionizado (OIII) que las hace fáciles de encontrar. Las nebulosas planetarias más brillantes que se han observado parecen tener el mismo brillo en muchas galaxias, por lo que sus flujos pueden ser usados como indicador de distancia. Este método está correlacionado con el método de fluctuación del brillo superficial, el cual es sensible a la rama asintótica de estrellas gigantes antes de que expulsen sus envolturas.
3. Las estrellas más brillantes
Cuando una galaxia está lo suficientemente cerca, las estrellas individuales pue-den ser separadas individualmente. La más brillante de esas estrellas puede ser usada
24 para estimar la distancia a la galaxia. Frecuentemente la gente asume que existe un lími-te superior fijo al brillo de las estrellas, pero esto parece ser una hipólími-tesis débil. Sin em-bargo, en una población suficientemente grande de estrellas brillantes, se puede hacer una estimación razonablemente buena de la distancia.
4. Diámetros de las mayores regiones H II
Las estrellas muy calientes y luminosas ionizan el gas hidrógeno que se encuen-tra a su alrededor produciendo lo que se denomina una región H II como la nebulosa de Orión. El diámetro de las mayores regiones H II en galaxias ha sido utilizado como "va-ra estándar" pa"va-ra medir distancias. Pero parece ser nuevamente una hipótesis débil. 4. Supernovas de tipo Ia
Las supernovas de tipo I son explosiones de enanas blancas situadas en sistemas binarios. La acreción de materia que se produce desde la estrella compañera hace que la enana blanca alcance el límite superior de masa (límite de Chandraeskhar) donde pierde su estabilidad. Entonces la estrella empieza a colapsar y la compresión propicia la com-bustión explosiva del carbono que produce una destrucción total de la estrella. La radia-ción que se emite procede principalmente de la descomposiradia-ción radiactiva del níquel y el cobalto producidos en la explosión. El pico de luminosidad está relacionado con la rapidez de la caída de la curva de luz. Cuando se aplica esta correlación, la luminosidad relativa de una supernova de tipo Ia puede determinarse dentro de un intervalo de error del 20%. Se han observadas unas cuantas Supernovas Ia en galaxias lo bastante cerca-nas para permitir que el Telescopio Espacial Hubble determine las distancias y lumino-sidades absolutas mediante el uso de Cefeidas, permitiendo una de las mejores determi-naciones de la constante de Hubble.
5. Fluctuaciones del brillo superficial
Cuando una galaxia es demasiado lejana para detectar las estrellas individuales, uno puede todavía estimar la distancia utilizando las fluctuaciones estadísticas en el número de estrellas por pixel en un CCD. Una galaxia cercana podría proyectar unas 100 estrellas por pixel, mientras que una más lejana, un número como 1000. La galaxia cercana podría tener ±10% de fluctuaciones en el brillo superficial mientras que la gala-xia más distante sólo un 3%.
Los siguientes métodos utilizan propiedades globales de las galaxias y deben calibrarse: 6. Relación Tully-Fisher
La velocidad de rotación V(rot) de una galaxia espiral puede ser utilizada como indicador de su luminosidad L. La relación observacional es aproximadamente
L = Constante × V(rot)4
Puesto que la velocidad rotacional de una galaxia espiral puede medirse utili-zando un espectrógrafo óptico o un radiotelescopio, se puede determinar la luminosidad. Combinada con medidas del flujo F, puede ser inferida la distancia D mediante la rela-ción
25 El diagrama que se muestra a continuación representa dos galaxias: una gigante espiral lejana y una espiral enana mucho más cercana a la Tierra. Ambas cubren el mismo ángulo en el cielo y tienen el mismo brillo aparente.
Pero la galaxia distante tiene una velocidad de rotación mayor, y así la diferencia entre el desplazamiento al rojo relativo que presenta uno de los lados y el desplazamien-to al azul del otro en la galaxia gigante será más notable. De esa manera pueden ser in-feridas las distancias relativas de ambas galaxias.
7. Relación Faber-Jackson
La dispersión de velocidades estelares s(v) (que básicamente es la raíz cuadrada del promedio del cuadrado de las velocidades estelares) en una galaxia elíptica puede también ser utilizada como indicador de su luminosidad. Esta relación es aproximada-mente
L = Const × s(v)4
Puesto que la dispersión de velocidades en una galaxia elíptica puede medirse usando un espectrógrafo óptico, puede determinarse la luminosidad, que combinada con medidas de flujo no da una estimación de la distancia
8. El cúmulo de galaxias más brillante
La galaxia más brillante de un cúmulo de galaxias ha sido usada como una can-dela estándar. Éste método adolece de las mismas dificultades que el de la estrella más brillante y el de las regiones H II de mayor tamaño: los cúmulos ricos con numerosas galaxias contienen seguramente ejemplos de galaxias muy luminosas aunque ese tipo de galaxias sea más bien raro, mientras que cúmulos menos ricos probablemente no con-tendrán tales miembros brillantes.
Los siguientes métodos no requieren calibración: 9. Retraso temporal en lentes gravitatorias.
Cuando se observa un cuásar a través de una lente gravitatoria (deflexión de la luz por el efecto gravitatorio de una galaxia o cúmulo de galaxias interpuesto en la línea de visión del observador), múltiples imágenes del mismo cuásar pueden verse, tal y
co-mo se muestra en el diagrama que está a continuación:
26 Los caminos que sigue la luz desde el cuásar hasta nosotros tienen longitudes que difie-ren en una cantidad que depende de la distancia la cuásar y del ángulo de deflexión. Puesto que los cuásares presentas variaciones de luminosidad, la diferencia de longitu-des recorrida por la luz puede ser calculada observando las diferencias temporales en variaciones particulares de la luminosidad de la fuente que se producen en varias imá-genes.
10. Efecto Sunyaev-Zeldovich
El gas caliente situado en los cúmulos de galaxias distorsiona el es-pectro de la radiación cósmica de fondo observada a través de dichos cúmulos. El siguiente diagrama muestra un es-quema de este proceso. Los electrones libres del gas dispersan una pequeña fracción de los fotones del fondo de microondas que son sustituidos por fo-tones ligeramente más energéticos
La diferencia entre el fondo de radiación visto a través del cúmulo y el fondo de radiación sin modificar que se ve en cualquier otra región del cielo puede medirse. En realidad, sólo aprox. un 1% de los fotones que pasan a través del cúmulo son dispersa-dos por los electrones del gas caliente ionizado que se encuentra en éste, y el aumento de energía de estos fotones es de aprox. un 2%. Todo esto lleva a una carencia de foto-nes de baja energía del orden del 0.02% (0.01×0.02), que produce una reducción de la temperatura de brillo de unos 500 microKelvin cuando miramos en la dirección del cú-mulo. A frecuencias altas (mayores que unos 218 GHz) el cúmulo aparece más brillante que el fondo. Este efecto es proporcional a:
La densidad de electrones libres
El grosor del cúmulo en nuestra línea de visión
La temperatura de los electrones
La emisión de rayos X procedente del gas caliente es proporcional a:
El cuadrado de la densidad electrónica
La anchura del cúmulo a lo largo de la línea de visión
De la temperatura electrónica y de la frecuencia de los rayos X
Si se asume que la anchura a lo largo de la línea de visión es la misma que el diámetro del cúmulo, la distancia puede ser entonces inferida del diámetro angular del cúmulo.
27 Esta técnica es complicada, y años de duro trabajo por pioneros como Mark Bir-kinshaw (BirBir-kinshaw, M. 1998) sólo ha permitido estimar unas pocas distancias, y un valor de la constante de Hubble que tiende a situarse alrededor de 60 (km/s)/Mpc sin un intervalo de error convincente.
Figura 6. Cuadro resumen del alcance de los métodos de estimación de distancias
Estructuras a gran escala
Supercúmulos. Consisten habitualmente en cadenas de poco más de una decena de cúmulos. Nuestro propio Supercúmulo Local está centrado en Virgo y es relativamente pobre, con un radio de unos 15 Mpc. Los mayores supercúmulos, como el asociado con Coma, pueden extenderse sobre unos 100 Mpc de distancia.
Vacíos, estructuras laminares y filamentos. Los surveys de galaxias de desplazamien-tos al rojo elevados revelan una estructura de pompas de jabón, metafóricamente ha-blando, con las galaxias básicamente confinadas en estructuras laminares y filamento-sas. Los vacíos son la característica observable dominante (ocupando el 90% del espa-cio) con diámetros típicos de unos 25 Mpc y llegando a monstruos del tipo del vacío de Bootes con un diámetro de algo más de 120 Mpc. También destacan estructuras lamina-res como la "Gran Muralla" con unas dimensiones del orden de unos 100 Mpc.
28
Figura 7. El survey de galaxias CfA muestra la estructura a gran escala hasta distancias del orden de 150 Mpc, esto es un 2% de la distancia hasta el borde del universo observable. Nosotros estaríamos situados en el centro y la zona donde no hay galaxias representadas corresponde principalmente a la proyección del plano de la Vía Láctea. La posición de las galaxias están representadas por puntos blan-cos y las enormes estructuras filamentosas y laminares son tan evidentes como los vacíos entre ellas a modos de pompas de jabón.
Muestras de campo profundo
Desde la puesta en funcionamiento del telescopio espacial Hubble, disponemos cada vez de más imágenes de galaxias extremadamente lejanas que muestran cómo eran sólo un par de eones (miles de millones de años) después de la Gran Explosión. Una de los misterios más interesantes que han revelado estas imágenes es que las galaxias pare-cen haberse formado antes de lo predicho en la mayoría de los modelos de formación.
Figura 8. Imagen de campo profundo de agrupaciones de galaxia tomada por el telescopio espacial Hubble
La edad del Universo
29
La edad de los elementos químicos.
La edad de los cúmulos de estrellas más viejos.
La edad de las enanas blancas más viejas. La edad de los elementos químicos
La edad de los elementos químicos puede ser estimada utilizando las propieda-des de la propieda-desintegración radiactiva. Las edapropieda-des mejor definidas que se pueden determi-nar por este método son las transcurridas desde la solidificación de una muestra de roca. Cuando una roca se solidifica, los elementos químicos frecuentemente se separan en diferentes tipos de fragmentos cristalinos. Por ejemplo, el sodio y el calcio son elemen-tos bastante comunes, pero su comportamiento químico es bastante diferente, por lo que uno los encuentra en diferentes granos de una roca.
Cuando este método se aplica a rocas de la superficie terrestre, las más viejas datan de unos 3.8 mil millones de años atrás. Aplicado a meteoritos se obtienen valores tan altos como 4.56 mil millones de años. Esto determina perfectamente la edad del Sistema Solar.
Cuando se aplica a un sistema en evolución como el gas presente en la Vía Lác-tea, la precisión del método no es tan buena. Uno de los problemas es que no hay sepa-ración en granos con diferente cristalización, por lo que deben usarse los valores absolu-tos de las proporciones de isótopos en lugar de la pendiente del ajuste lineal. Esto hace que sea necesario conocer la cantidad exacta de cada isótopo que estaba originalmente presente, por lo que se necesita un modelo preciso de la producción de elementos. Un par de isótopos que ha sido usado es el Resnio y el Osmio: en particular, el Re-187 se desintegra en Os-187 con una vida media de 40 mil millones de años. Parece ser que un 15% del Re-187 se ha desintegrado, lo que nos lleva a una edad de 8 a 11 mil millones de años. Pero ésta es sólo la edad media de formación de la materia que forma el Siste-ma Solar, y ningún Resnio u Osmio se ha producido por al menos 4.56 mil millones de años. Por eso necesitamos unos modelos de cuándo fueron producidos los elementos. Si todos los elementos fueron producidos muy pronto después del Big Bang, entonces la edad del universo debería rondar los t0 = 8-11 mil millones de años. Pero si los
elemen-tos son producidos continuamente a una tasa constante, entonces la edad media de la materia del Sistema Solar es
(to + tSS)/2 = 8-11 Gaños
donde 1 Gyr = 109 años que puede resolverse despejando la edad del universo
to = 11.5-17.5 Gaños
Datación radiactiva de una estrella vieja
Un artículo muy interesante de Cowan et al. (1997, ApJ, 480, 246 ó Cowan et al. 1998) discute la abundancia de Torio en una estrella vieja del halo. Normalmente no es posible medir las abundancias de isótopos radiactivos en otras estrellas porque las líneas espectrales son demasiado débiles. Pero en la estrella CS 22892-052, pueden verse las
30 líneas del Torio debido a que las del hierro son muy débiles. La fracción Th/Eu en esta estrella es 0.219, comparado con el 0.369 que se mide en el Sistema Solar hoy en día. El Torio se desintegra con una vida media de 14.05 Gyr, por lo que el Sistema Solar se formó con una fracción Th/Eu = 24.6/14.05 × 0.369 = 0.463. Si la estrella CS 22892-052 se formó con la misma fracción Th/Eu, la edad estimada de la estrella es de 15.2±3.5 Gyr. En realidad, la estrella debería se ligeramente más vieja debido a que alguna cantidad de Torio que podría haber formado parte del Sistema Solar se desintegró antes de que el Sol se formara, y esta corrección dependerá de la historia de nucleosíntesis en la Vía Láctea. Sin embargo, ésta es una medida interesante porque es independiente de méto-dos basaméto-dos en la evolución de la Secuencia Principal.
La edad de los cúmulos de estrellas más viejos
Mientras las estrellas convierten hidrógeno en helio en sus núcleos, éstas caen en una misma banda en el diagrama H-R: la Secuencia Principal. Puesto que la luminosi-dad de una estrella varía con su masa M como M3 ó M4, la vida de una estrella en la secuencia principal varía como t = const×M/L = k×L-0.7. Así, si uno mide la luminosi-dad de las estrellas más luminosas de la secuencia principal, uno consigue un límite superior para la edad del cúmulo:
Edad < k×Lmax-0.7
Éste es un límite superior porque la ausencia de estrellas más brillantes que las observadas (Lmax) podría deberse a que ninguna estrella se ha formado en el rango
apro-piado de masas. Pero en cúmulos con miles de estrellas, tal salto en la función de masa es bastante improbable, y una buena estimación de la edad estará dada por la relación anterior.
Han aplicado esta técnica a cúmulos globulares y han encontrado que la edad del Universo es mayor que 12.07 Gyr con un 95% de confianza. Estos investigadores dicen que la edad es proporcional a uno entre la luminosidad de las estrellas RR Lyrae que son usadas para determinar la distancia al cúmulo globular. Chaboyer (1997) da una mejor estimación de 14.6±1.3 Gyr para la edad de los cúmulos globulares. Pero recien-temente, los resultados de Hipparcos muestran que los cúmulos globulares están más lejos de lo que previamente se pensaba, por lo que sus estrellas son más luminosas. Gra-tton et al. calculan edades entre 11 y 13 Gyr, y Chaboyer et al. deducen 11.5±1.7 Gyr para la edad media de los cúmulos globulares más viejos.
La edad de las enanas blancas más viejas.
Una enana blanca es un objeto estelar que es tan pesado como el Sol pero que tiene un radio como el de la Tierra. La densidad media de una enana blanca es un millón de veces mayor que la del agua. Estas estrellas moribundas se forman en el centro de las gigantes rojas, pero no son visibles hasta que la envoltura de la gigante es expulsada al espacio. Cuando esto ocurre, la radiación ultravioleta que proviene del núcleo estelar ioniza el gas circundante y produce una nebulosa planetaria. La envoltura de la estrella continúa alejándose del núcleo central hasta que se hace invisible, abandonando el nú-cleo residual caliente que se conoce como enana blanca. Las enanas blancas brillan sólo de su calor residual. Las enanas blancas más viejas serán también más frías y así brilla-rán de forma más débil. Observando por tanto enanas blancas poco brillantes, se puede estimar el periodo por el que la estrella se ha estado enfriando. Oswalt, Smith, Wood and Hintzen (1996, Nature, 382, 692) han utilizado este método para estimar la edad del
31 disco de la Vía Láctea en 9.5+1.1-0.8 Gyr. La edad del Universo es al menos 2 Gyr ma-yor que este valor, unos 11.5 Gyr.
Es importante observar que aunque los intervalos de error son considerables, es bastante impresionante que métodos tan diferentes sean consistentes entre sí, situando la edad del universo entre los 10 y los 18.7 Gyr.
Edad del Universo t0
Método valor
(eo-nes) referencia
Abundancia de uranio en la estrella de baja metalicidad
CS 31082001 >12.5±3 Cayrel et al. 2001
Abundancia de Torio en la estrella del halo CS 22892-052 > 15±4
Cowan et al. (1997, ApJ, 480, 246) Cowan et al. 1998 Cúmulos globulares >12±1 >11.5±1.7 13.5±1.5 12.6 +3.4-2.2 Gratton et al.1997 Chaboyer et al.1997 Krauss & Chaboyer 2001 Krauss, L.M., and Chaboyer, B,
2003, Science, 299, 65
edad de las enanas blancas más viejas
>9.5+1.1-0.8
>12-13
Oswalt, Smith, Wood and Hintzen (1996, Nature, 382,
692) Hansen 2002 Combinación de medidas de la proporción 238U:232Th en el
Sistema Solar y en estrellas viejas y de baja metalicidad 14.5
+2.8 -2.2
Dauphas (2005, Nature, 435, 1203)
Análisis estadístico de las medidas disponibles
12.7+3-2 13 ± 3 13.4+1.4-1.0 13.7± 0.2 Krauss, L.M. 2001 Lahav 2001 Ferreras, Melchiorri & Silk
2001
Spergel et al. 2003 (WMAP)
Conclusión: todavía las medidas directas de la edad del universo son suficientemente imprecisas, pero no deja de sorprender la compatibilidad general con la estimación di-námica de alta precisión de WMAP (Spergel et al. 2003). Quizás el valor de mayor confianza viene a ser la estimación de la edad de los cúmulos globulares por diversos métodos incluyendo funciones de luminosidad, enfriamiento de enanas blancas impli-can una convergencia en edades del orden de 11-13 eones, lo que dejaría al menos 1 eón para la formación de la galaxia, lo que es compatible con resultados recientes.
