Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

(1)

Revista

Internacional

de

Métodos

Numéricos

para

Cálculo

y

Diseño

en

Ingeniería

w w w . e l s e v i e r . e s / r i m n i

Modelo

de

un

proceso

de

cristalización

continua

de

un

sorbete

por

medio

de

la

metodología

de

momentos

J.E.

González

Ramírez

a,b,∗

_,

_D.

_Leducq

a

_,

_M.

_Arellano

a

_y

_G.

_Álvarez

a a_IRSTEA,_Division_GPAN,₁_rue_{Pierre-Gilles}_de_Gennes,_Antony,_92160,_Francia

b_Facultad_de_Ciencias_Químicas,_Universidad_Autónoma_de_San_Luis_Potosí,_Manuel_Nava_6,_Zona_{Universitaria,}_78210,_San_Luis_Potosí,_México

i n f o r m a c i ó n

d e l

a r t í c u l o

Historiadelartículo:

Recibidoel22dediciembrede2011 Aceptadoel4dejuniode2012 On-lineel27deagostode2012 Palabrasclave: Modelodecristalización Sorbete Helado Reduccióndemodelo Métododemomentos

r

e

s

u

m

e

n

Laetapadeprecongelaciónesunimportantepasoenelprocesodemanufacturadeheladosysorbetes dadoquelascondicionesdeoperacióntienenunafuerteinfluenciasobrelamicroestructuraypor con-secuenciasobrelosatributossensorialesdelproductofinal.Estaetapadeprecongelaciónesllevadaa caboenunintercambiadordecalordesuperficieraspadadondelacalidaddelproductoesfuertemente influenciadaporlascondicionesdeoperacióntalescomolatemperaturadeevaporacióndeun refri-gerante,elgastomásicodelaalimentación,lavelocidaddelraspadoryunapresiónprovocadaporla introduccióndeaire.Conlafinalidaddeestudiarlapertinenciadeunsistemadecontrolbasadoenla influenciadelasvariablesdelprocesosobrelacalidaddelproducto,estetrabajopresentaunmodelo paraunacristalizacióncontinuadeunsorbeteutilizandolametodologíademomentos,elcuales vali-dadocondatosexperimentales.Elmodelorealizadoporestametodologíademomentosescapazde representarlainfluenciadelascondicionesdeoperacióndurantelacristalizacióndesorbetesobrelas característicasfinalesdelproductotalescomoeltama˜nodecristalylatemperaturadesalidadel inter-cambiadordesuperficieraspada(ICSR)enausenciadeaire.Elmodelobasadoenmomentosseestudia, entonces,comolareduccióndelmodelodelaecuacióndebalancedepoblacióneincluyelosfenómenos denucleaciónheterogéneaycrecimiento.Deestemodo,elmodelodesarrolladorepresenta requeri-mientoscomputacionalesmínimosyestáaltamenteadaptadoparatareasdeoptimizacióny/ocontrol delproceso.

Model

of

a

continuous

crystallization

process

for

a

sorbet

by

the

moments

methodology

Keywords: Crystallizationmodel Sorbet Icecream Modelreduction Methodofmoments

a

b

s

t

r

a

c

t

Freezingisanimportantstepinthemanufacturingprocessofice-creamandsorbet,sincetheoperating conditionshaveastronginfluenceonthemicro-structure,andconsequentlyonthesensorialattributes ofthefinalproduct.Thissteepoffreezingiscarriedoutbyascrapedsurfaceheatexchanger(SSHE) wheretheproductqualityisconditionedbyprocessconditionsastheevaporationtemperatureofa refrigerantfluid,themixflowrate,thedasherspeedandthecylinderpressureduetotheairintroduction. Inordertostudytherelevanceofacontrolsystembasedontheinfluenceofprocessvariablesonproduct quality,thispaperpresentsamodelforacontinuouscrystallizationofasorbetusingthemethodof moments,whichisvalidatedbyexperimentaldata.Themodelcreatedbythismethodologyhasbeenable torepresenttheinfluenceoftheprocessconditionsduringthecrystallizationofthesorbetonthefinal productcharacteristicssuchascrystalsizeandthedrawtemperatureintheoutletoftheSSHEinabsence ofair.Themodelbasedinmomentsisstudiedasareducedmodelofthepopulationbalanceequation andincludesthephenomenaofheterogeneousnucleationandgrowth.Thismodeldevelopedrepresents minimalcomputationalrequirementsandishighlyadaptedforoptimizationand/orprocesscontroltasks. ©2011CIMNE(UniversitatPolitècnicadeCatalunya).PublishedbyElsevierEspaña,S.L.Allrights reserved.

∗ Autorparacorrespondencia.

Correoelectrónico:[email protected](J.E.GonzálezRamírez).

(2)

J.E.GonzálezRamírezetal/Rev.int.métodosnumér.cálc.diseñoing.2013;29(4):215–224 Nomenclatura Letraslatinas Cp Capacidadcalorífica[Jkg−1_K−1_] D Diámetro[m] G Velocidaddecrecimiento[ms−1_] L Medidadecristal[m]

Lc Medidacriticadecristales[m]

Lech Longituddelintercambiador[m]

Mj Momentojdecristalización

N Velocidaddenucleación[m−3_s−1_]

PS Superficieponderadaporelvolumen[m−1_]

Q Flujodecalor[W]

re Radioexterno[m]

r_i Radiointerno[m]

S Superficiedeintercambiodecalor[m2_]

t Tiempo[s]

T Temperaturadelproducto[CoK]

Te Temperaturadeevaporación[CoK]

Tsat Temperaturadesaturación[CoK]

U Coeficiente global de transferencia de calor

[Wm−2_K−1_] u Energíainterna[Wm-3] V Volumen[m3_] ˆV Volumenespecífico[m3_Kg−1_] VR Velocidadderotación[rps] xg◦ Volumenmásico[m3kg−1] Letrasgriegas

␣ Coeficientedenucleaciónhomogénea[m−3_s−1_]

␣′ _Coeficiente_de_nucleación_homogénea_[m−2_s−1_]

␤ Coeficientedecrecimiento[ms−1_]

␹ Factor de corrección de la velocidad de

cizalla-miento[-]

␥ Potenciaparalaecuacióndenucleaciónhomogénea

[-]

␥′ _Potencia_para_la_ecuación_de_nucleación

heterogé-nea[-]

˙ Velocidaddecizallamiento[s−1_]

Ŵ Factordecorreccióndeviscosidad[-]

␸g Fracciónvolumétricadehielo

␭ Conductividadtérmica[Wm−1_K−1_]

␮ Viscosidaddelproducto[Pa-s]

␮s Viscosidaddelasolución[Pa-s]

␳ Masavolumétrica[kgm−3_]

␴ Potenciaparalaecuacióndecrecimiento

␻0 Fraccióninicialdesólidos[-]

␺ Terminodepoblacióndecristales[npm−3_]

Abreviaciones

ICSR Intercambiadordecalordesuperficieraspada

DTC Distribucióndeltama˜nodecristal

PBE Ecuacióndebalancedepoblación

Subíndices

frigo Frigorífica

crist Decristalización

visc Dedisipaciónviscosa

1. Introducción

Elproceso actualpara la produccióndel heladoy/o sorbete

sebasaenlautilizacióndeintercambiadoresdecalorde

super-ficieraspada(ICSR)quepermiteelóptimo intercambiodecalor

entreunamezclalíquidaylasuperficiedelintercambiador.Este

ICSRtienecomoprincipalobjetivofuncionarcomouncristalizador

yestácompuestoconceptualmentepor2tubosconcéntricos.Por

eltuboexteriorsevaporizaunfluidorefrigerantequees

despla-zadoporunamáquinaderefrigeración.Demanerasimilar,porel

tubointeriorseencuentraunejegiratorioprovistodecuchillas

ras-padoras.Elobjetivodeestascuchillasesrasparlaparedmientras

unamezclaliquidapasaatravésdeestetubointeriorysecristaliza

utilizandolaenergíadonadaporlavaporizacióndelrefrigeranteal

otroladodelintercambiador[1].Elobjetivogeneraldeesteproceso

eslaobtencióndeunatexturaligera,unabuena«cremosidad»,una

alta«cucharabilidad»ysensacióndefrio.Estoconlleva,por

conse-cuencia,alobjetivoencomúndediversostrabajos,queelproducto

contengaloscristalesmáspeque˜nosposibles[2,3].

Ungrannúmerodetrabajosenlaliteraturahandesarrollado

estudiossobreelroldeltama˜nodecristalsobrelamicroestructura

ylaspropiedadessensorialesdeheladosysorbetes.Porejemplo

sehamostradoqueeltama˜nodecristalafectaladureza;asíun

heladoconcristalesgrandes esmásduroque otroconcristales

peque˜nos[3].Porotrolado,sehareportadounaclaracorrelación

entrela«detectabilidad»deltama˜nomediodeloscristales[4].La

«cremosidad»delproductocomoatributoestambiénrelacionada

conlamicroestructuradeunhelado,dondeunaaltadensidadde

partículasresultaenunproductonaturalmentecremoso[5].

Todosestostrabajosmencionadoshacenenfocaralos

investiga-doreseneláreaparatrabajarsobrelaoptimizacióndelosprocesos

deproduccióndehelados.Porejemplo,Inoueetal.[6]establecen

unmodeloempíricodelprocesodeheladousandolametodología

desuperficiederespuesta.Ellosrealizaronunanálisisestadísticode

lainfluenciade5variablesdirigidashaciaelprocesoyelproducto

mismo.Dichasvariablesfueronelgastomásicodemezcla,la

canti-daddeaireinyectadoalamicroestructuradelproducto,lapresión

delcilindrodecristalización,lavelocidaddelraspadoryla

tem-peraturadesalidadelproducto.Ligancadaunadeestasvariables

conlasmedicionesdetama˜nodepartículayladesestabilización

delagrasa.Porotrolado,DrewettyHartel[7]realizarontambién

unmodeloempíricobasadoenelanálisisestadístico(ANOVA)para

laprediccióndeltama˜nomediodepartículacontrolandoeltipode

endulzante,lavelocidaddelraspadoryeltiempoderesidenciadela

mezclaenelcristalizador.Apesardeestetipodeaproximaciones,

losmodelosrealizadosnopuedenserutilizadosparapredecirel

comportamientodealgunaotrafórmulauotroprocesode

produc-cióndehelado.Estosmodelossonapropiadosparaelconocimiento

delaspropiedadesdelproductobajociertascondicionesen

régi-menestacionario,peroparalaprediccióndelcomportamientodel

productoacopladoalprocesosenecesitaelbuenconocimientode

lacinéticadecristalización,asícomodelatransferenciadecaloren

elICSR.

Sonmuypocoslostrabajosenfocadosalmodeladofísicoparala

cristalizacióndelhelado.Enestostrabajoselfenómenode

crista-lizaciónescomúnmentedescritoporunaecuacióndebalancede

población(BPEporsussiglaseninglés).Estemodelode

cristaliza-ciónhasidopropuestoparalaobtencióndeunadistribucióndetalla

deloscristales(DTC),teniendoelinconvenientedesercomplejoa

resolver[8,9]. ∂n ∂t

Acumulación +

v

∇

n

Convención + ∂ ∂L(Gn)

Crecimiento = N

Nacimiento − F

Desaparición (1)

Laintegracióndeestaecuaciónsebasaenderivadas

parcia-lesquenecesitandividirseentalladelaspartículasasícomoen

tiempo.Laresoluciónnuméricadeestetipodedivisiónsepuede

mostrarsuficientementecostosaentiempodecálculo,yentonces

(3)

J.E.GonzálezRamírezetal/Rev.int.métodosnumér.cálc.diseñoing.2013;29(4):215–224

Así,enelmarcodelainvestigacióndeunmodelorobustocon

vistasdelcontrol demando deun procesode cristalización,el

métodonombrado«métododemomentos»sevuelveatractivo,el

cualpuedeserutilizadocomounavíaparareducirelmodelodeBP.

Elprincipiodelametodologíaconsisteencalcularlosdiferentes

momentosdelaecuacióndefinidospor:

Mj=

∞

0

Ljn(L,t)dL (2)

Enestecaso,sololos4primerosmomentos(j=0a3)sonlos

másinteresantesparaunautilidadenoptimización-control.Así,el

momentocero(M0)representaelnumerodepartículas,M1

pro-porcionalatallamediadeloscristales,M2lasuperficietotaldelos

cristalesyM3lasumadelosvolúmenesdecristalesporunidadde

volumendeproducto[10–12].

Elmodeladodelacristalizaciónporelmétododemomentosha

sidolargamenteestudiado,siempretomandocomobasela

ecua-cióndebalancedepoblación.Algunosconsideranquelareducción

delBPhacialosmomentosproporcionaunaaproximación

favora-bleaunmodelocompleto.Porejemplo,ChiuyChristofides[13]

utilizanelmétododemomentosreduciendolaecuacióndeBPpara

implementarloenunlazodecontrolparauncristalizador

conti-nuo.Enotrotrabajo,D.Shietal.[14]reducen,deigualmanera,

elmodelodebalancedepoblaciónporelmétododemomentos.

Ellosinvestiganlareduccióndegradosdelibertadporelcontrolde

ladistribucióndetalladecristalessobreuncristalizadorcontinuo

y/oporlotes.Porotrolado,ChangyHartel[15]sehanpropuestola

reduccióndelaecuacióndeBPporelmétododemomentoscomo

unanuevaestrategiadeprocesosdecristalizaciónevaporatoriaen

batchosemibatch.

Se constata, entonces, que el método de momentos es una

opciónreala serimplantadasobreelmodeladode

cristalizado-resensuperficieraspada,objetivoprincipaldeestetrabajo.Deesta

manera,lapresenteinvestigaciónproporcionaráunadescripción

minuciosasobrelareduccióndelmodeloBPEmedianteelmétodo

demomentosconlafinalidaddecrearunmodelocapazde

simu-larunprocesodecristalizacióndeunsorbeteenunICSRcontinuo.

Estemodelointegrarálosefectosdecadaunadelasvariablesdel

proceso,asícomodelacinéticadenucleaciónycrecimientode

cristales.Unadelasprincipalesventajasdeestemodeloessu

efi-ciencianumérica,porlocualpuedeserusadoparalaoptimización

ycontroldeprocesosdeproduccióndeheladosysorbetes.

2. Formulacióndelmodelo

2.1. Modelodecristalizaciónymétododemomentos

Elmodelodecristalizaciónpormediodelbalancedepoblación

hasidoaplicadoanumerososprocesosindustrialesdandocomo

resultadounaaproximaciónapropiadaparaelmodeladodinámico

deprocesosdecristalizacióndehielo.Laecuacióndebalancede

población(PBEporsussiglaseninglés)permitedescribirelestado

delsistemapormediodeunafuncióndedensidad,tomandoen

cuentalosdiferentesfenómenosquecontrolandichafunciónde

densidad,talcomolosonlafragmentación,lacoalescencia,el

cre-cimientoyla conservaciónde movimientode laspartículas. La

ecuaciónresultantedeestemodeloesunaecuaciónderivativa

par-cialaltamentenolineal,lacualrequieredeunmétodonumérico

pararesolverla(ec.3).

∂ ∂t +

v

·

∇

· ∂ ∂L(G )

Crecimiento = B

Creación − D

Desaparición (3)

dondeteseltiempo, (L,x,y,z,t)eslafuncióndedensidad

(fun-cióndedistribucióndecristales),Lesladimensióncaracterística,

v

eselvectordevelocidadconvectiva,Geslatasadecambiodela

dimensióncaracterística,ByDsonlostérminosdeformaciónde

nuevoscristalesylaremocióndecristalesyaexistentes

respecti-vamente.

Unamaneratradicionalpararesolver estaecuaciónnolineal

esutilizandoelmétododeclases,elcualimplicalacreacióndemás

deuncentenardeecuacionesdiferencialesparaladeterminación

deunadistribucióndetama˜nosdepartícula,locualconllevaaaltos

requerimientoscomputacionalesyportantounmodelonoapto

paraelcontroldelprocesodondeserequieretenerrespuestas

rápi-dasparalasolucióndeproblemasocasionadosporperturbaciones

enelproceso.Pararesolveresteproblema,unaalternativaviablees

elusodelametodologíademomentos,lacualesunaaproximación

discretaydirectaparalaresolucióndelaPBE.Estemétodo

trans-formalaPBEenungrupodeecuacionesdiferencialesordinarias

[16],elcualtienerequerimientoscomputacionalespeque˜nos

per-mitiendosuusoeficientementeeneldise˜nodesistemasdecontrol.

Elmodelofísicofinalenestecasoesunmodelo«reducido»masno

unosimplificadoempleandociertonúmerodehipótesissobrelas

propiedadestermodinámicasquepermitenhaceruna

aproxima-ciónalaPBE.Laúnicarestricciónparaestemodeloeslacantidad

limitadadeinformaciónqueescapazdearrojar.

Losmomentosdeestametodologíasondefinidosporla

expre-sión:

Mj=

∞

0

Lj (L,t)dL (4)

Deestaformalos4primerosmomentos(j=0a3)puedenser

interpretadosfísicamente:sisesuponeporejemploquelas

par-tículassonesféricas,queLeseldiámetrodelapartículayque

esladensidaddepartículasporunidaddevolumen,elmomento

deordencero(M0)representaentonces,porunidaddevolumen,el

númerototaldepartículas,M1lasumadediámetros,M2unnúmero

proporcionalalasumadesussuperficiesyM3alasumadesus

volúmenes[10–12].

AfindetransformarlaPBEenmomentossereordenalaecuación

(1)tomandoencuentasolamentelanucleacióndepartículas,con

lassiguientesconsideraciones:

1.Serealizalasuposicióndeuntama˜noinicialLcparaloscristales

unavezquesehancreado.Estetama˜noes,sinembargo,difícilde

caracterizarexperimentalmente,porloquesepuedecrearcon

unvalorarbitrario.

2.Elfenómenodeatricióny/oerosióndepartículasson

desprecia-dos.

3.Elfenómenodeaglomeraciónesigualmentediscriminado[14].

Dadaslasconsideracionesexpuestassurgecomoprimera

apro-ximaciónlaecuación(5): ∂ (L,t) ∂t +

v

∇

+ ∂ ∂L

G

=Nı(L−Lc) (5)

donde␦eslafuncióndeDiracyLceldiámetroinicialdela

partí-culaunavezquesucreación.Estaprimeraaproximaciónconsidera

undiámetrocríticodecristal(Lc)estimadoen5×10−6mparaser

consideradocomotal.Paraestecasolavelocidaddenucleaciónse

consideraconstantealigualquesuhomólogaparaelcrecimiento

decristales.Talcomoseveráenladeduccióndelosmomentosde

cristalización,lafuncióndeDiracserádespreciadaaltenercomo

objetivolaobtencióndeuntama˜nomediodepartícula,porloque

lafuncióndenucleaciónesfunciónsolamentedelavelocidaddela

(4)

Aplicandoentonceslametodologíademomentosseobtiene:

∞ 0 Lj

∂ (L,t) ∂t +

v

∇

+ ∂ ∂L

G

dL= ∞

0 Lj

_Nı_(L₋_L c)

dL (6)

ParafacilitarelestudiodelatransformacióndelaPBEseestudia

detalladamentecadaunodelostérminosdelaecuación(6).

1.Término de acumulación: si se refiere a la definición del

momentodeordenj,eltérminoseconvierteenlaecuación(7):

∞ 0 Lj∂ (L,t) ∂t dL= dMj dt (7)

2.Términodeconveccióndepartículas:paraeltérminode

con-vecciónseconsideraquetodaslaspartículastienenlamisma

velocidad,porloqueseconvierteenlaecuación(8).

∞

0

Lj

v

∇

dL=

v

∇

M_j (8)

3.Términode crecimiento:la integracióndeltérminode

creci-mientodelaspartículas,considerandoqueGesindependiente

deltama˜nocaracterístico,conllevaalaecuación(9)ypor

con-secuenciaalaecuación(10):

∞ 0 Lj∂ ∂L

G (L,t)

dL=G

Lj

∞ 0 −jG

∞ 0 Lj−1_dL ₍₉₎

ComoLj_(L)L→∞_−→₀_y_que_Lj_(L)_−→0,L→0 _se_obtiene:

∞ 0 Lj∂ ∂L

G (L,t)

dL=−jG·Mj−1 (10)

4.Términodenucleación:teniendoencuentaunavelocidadde

nucleaciónconstante,laintegracióndenucleaciónnosllevaala

ecuación(11):

∞

0

LjNı(L−Lc) dL=LjcN (11)

Así,elsistemadeecuacionesfinalqueseobtiene,sisolo

consi-deramoslosprimeros4momentos,serepresentaporelsistemade

ecuacionesdiferencialesrepresentadoporlaecuación(12):

dM0 dt +

v

∇

M0−N=0 dM1 dt +

v

∇

M1−GM0−LcN=0 dM2 dt +

v

∇

M2−2GM1−Lc2N=0 dM3 dt +

v

∇

M3−3GM2−Lc3B=0 (12)

Afindemodelarenestadoestacionarioelprocesode

cristaliza-cióndeunsorbete,seplanteandiversashipótesisquesepresentan

acontinuación:

1.Sesuponequesolocristalizaaguayquelaspartículasformadas

sonesféricas.

2.Sediscriminaladifusiónradialenelintercambiador.

3.Latemperaturadeevaporaciónodepareddelcristalizadorse

suponeconstantesobretodaellargodelintercambiador.

4.Seconsideraunflujodetipopistón,porconsecuencia,eltérmino

deconvecciónnoseutilizaenlasecuacionesdelmodelo.

Paradeterminarfinalmenteelmodeloesnecesarialadefinición

delacinéticadecristalización,asícomoelfenómenode

transferen-ciadecalordentrodelintercambiador.Enelcasodelacinéticade

cristalizaciónsedebentomarencuentalascinéticasdenucleación

ydecrecimientodecristales,quesondescritasacontinuación:

•Velocidaddenucleaciónydecrecimientodecristales

Lavelocidaddenucleaciónpropuestaesexpresadaapartirde

laecuación13[17]:

N= ˛(Tsat−T)ı

Nucleación homogénea

+ ˛′(T−Te)ı

′

Nucleación heterogénea

(13)

donde˛y˛’sonloscoeficientesdevelocidaddenucleación

homogéneayheterogénearespectivamente,ıyı’eselordende

cristalización,Tsatlatemperaturaenelequilibriotermodinámicoo

latemperaturadesaturaciónyTeeslatemperaturadelapareddel

intercambiador.

Sedistinguenaquí 2categorías denucleación: lanucleación

homogéneaylanucleaciónheterogénea.Laprimeraseproduce

espontáneamentesobrecualquierpuntosobreelfluidocristalizado

caracterizadaporsercalculadaconelprincipiodeun

desequili-briotermodinámicoylasegundasoloseproducesobrelapared

delcristalizadorcontroladaprincipalmenteporlatemperaturade

pared.

Delapartedelcrecimientodepartículas,estefenómenopuede

sermodeladoapartirdeexpresionesempíricasreportadasenla

bibliografía,lascualessebasanenundesequilibriotermodinámico.

Lasecuacionesseobservanenlaecuación(14)[17].

G=KG(C−C∗)m o G=ˇ(Tsat−T) (14)

dondeKGoˇsonloscoeficientesdevelocidaddecrecimiento

deloscristales,mosonpotencias,Ceslaconcentraciónde

par-tículas.Paraesteestudio,lavelocidaddecrecimientoseexpresa

enfuncióndelsubenfriamientodelasoluciónmediantela

dife-renciadetemperaturadelfluidoconrespectoalatemperaturade

saturación.

•_Aspectos_térmicos

Elaspectotérmicodelmodeloserealizabasándoseenelbalance

deenergíaporunidaddevolumendeuncristalizador,dondese

tomaencuentalaenergíainterna«u».Así,laexpresión15

deter-minalasdiferentestransferenciasdecalorqueintervienenenel

equipo. du

dt =

→

v

∇

u+q_crist+qvisc (15)

Enestecasoueslaenergíainternaporunidaddevolumen.En

elequilibrio,estavariableesunafuncióndelatemperaturaTyde

lafracciónvolumétricadehieloϕg.Considerandolascapacidades

térmicasconstantesconrespectoalatemperaturaparacadauno

desusconstituyentes,discriminandoelcalordemezclaytomando

comoreferenciaTR=0◦C,laecuacióndeestadoseescribecomose

muestraenlafórmula16. u= ϕg ˆVe

kg hielo m3 sorbete

−Hf+CpgT

+ ̟0 ˆV

kg solución m3 sorbete CpsT +

1−̟0 ˆV − ϕg ˆVe

kg agua (líquida) m3 sorbete CpeT (16)

(5)

dondeHfeselcalorlatentedefusióna0◦Cporunidaddemasa

deagua,Cpg,CpsyCpesonlascapacidadescaloríficasmásicasdel

hielo,delsolutoydelaguarespectivamente,

̟

0lafracciónde

sóli-dosinicialy ˆVy ˆVesonlosvolúmenesespecíficosdelasolucióny

delhielorespectivamente.

Despreciando ladiferencia en lascapacidades caloríficas del

aguaydelhielo(queseconvierteenlaconsideraciónqueelcalorde

fusiónesindependientedelatemperatura),seplantealaecuación

(17). u= ϕg ˆVe

−Hf

+

̟0Cps+(1−̟0)Cpe ˆV

T (17)

Sepuedeasíobtenerunaecuaciónexplícitadelatemperatura

enfuncióndeuyϕgdadaporlaecuación(18).

T=a·u+b·

∇

ϕg (18) donde a= 1 (̟0·Cps+(1−̟0)·Cpe) (19) y b= Hf·e s(̟0·Cps+(1−̟0)·Cpe) (20)

Descomponiendolaecuación(15),eltérminoqcristque

repre-sentael flujodecalor sobre lapareddelcristalizador definela

expresión(21).

qcrist=PS·U(Te−T) (21)

dondeUeselcoeficienteglobaldetransferenciadecalor,Tela

temperaturadeparedconsideradaigualalatemperaturade

eva-poración(despreciandolosefectosderesistenciadeconducciónen

lapared)yPSlasuperficiedeintercambiodecalorporunidadde

volumen,estaúltimadefinidaporlaecuación(22).

PS= Superficiecambio Volumencristalizador = 2reLech

re2−ri2

Lech =

2re re2−ri2

(22)

dondereeselradiodelcristalizador,rielradioequivalentedel

raspadoryLechlalongituddelcristalizador.

Porotrolado,qviscdelaecuación(15)representalaproducción

decalorprovocadaporladisipaciónviscosa.Parasucálculo,

utili-zamosentonceslaecuación(23),lacualesampliamenteutilizada

enlaliteraturaaralosequiposqueutilizanvelocidadesdeagitación

ocizallamiento[9,18,19].

qvisc=˙ 2 con ˙ =·2VR (23)

dondeesla viscosidaddelfluido, ˙ lavelocidadde

cizalla-miento,uncoeficientedeajusteyVRlavelocidadderotacióndel

raspador.Paraestecaso,laviscosidaddelfluidohasidoevaluada

apartirdelarelacióndeThomas(1965)utilizadatambiénporQin

etal.[20].Estarelaciónutilizalaviscosidaddelasoluciónno

conge-lada(s=f(T,Cs,˙ ),lafracciónvolumétricadehieloϕgyunfactor

decorrección ,queseobservaenlaecuación(24):

=s

1+2,5ϕg+10,5ϕ2g+ ·0,00273exp

_16,_6ϕ

g

(24)

Con todo lo anterior, ha sidoposible la construcciónde un

grupodeecuacionesdiferencialesordinariasparaelmodelo del

cristalizador,vistoporelsistema(25),elcualestácompuestopor

5ecuacionesdiferencialesyunaecuaciónalgebraica:

T=a·u+b· 6M3 du dt =U·PS(Te−T) +˙ 2 dM0 dt −N=0 dM1 dt −GM0−LcN=0 dM2 dt −2GM1−L 2 cN=0 dM3 dt −3GM2−L 3 cN=0 (25)

Latabla1recapitulaunoporunolasdiferentesvariablesque

intervienenenestesistemadeecuaciones,dividiendopor

ecua-cionesdeestadodelmodelo,losparámetrosfijadosdeacuerdo

conlaliteraturayaquellosquesetienenqueidentificarpormedio

experimental.

Lasecuacionesdiferencialesseintegranutilizandounmétodo

deRungeKuttaporpasosdevariablesmediantelaherramientade

resolucióndesistemadeecuacionesdiferencialesordinariasdel

programaMatlab®_(ODE45)._Esta_integración_se_efectúa_sobre_un

periododetiempoquecorrespondealtiempoderesidenciamedio

de la mezcla a cristalizar sobre ICSR. Este modelo, aunque se

entiendequesedefineapartirdesistemasdeecuaciones

diferen-ciales,esunmodeloquedeterminalaspropiedadesdelprocesoen

elrégimenestacionario.

3. Materialesymétodos

3.1. Mezcladesorbete

Paralaelaboracióndelsorbeteseutilizaunamezclaindustrial

prefabricadadearomalimón.Dichamezclatienecomoprincipales

constituyentesagua,jugodelimónconcentrado,azúcar,fructosa,

gomadexantanoydeguar.Elcontenidodesolidosseevalúaen

25,2◦_C_Brix, _con_una _densidad_a _293,15_K_de_1.110_kg/cm3 _y_un

puntodecongelacióninicialde270,55K.

3.2. Equipodecristalización

Parallevaracabolacristalizaciónyformacióndelsorbetese

uti-lizaunpilotoWCBTechnohoy®_modelo_MF-50_de_escala

semiindus-trial(fig.1).Lamáquinacuentaconunabombadealimentaciónde

materiaprimacapazdeenviaruncaudalentre25y75kg/h,unrotor

paraelICSRcapazdegirarentre4a16,7revolucionesporsegundo

(rps),unaalimentacióndeaireyunamáquinaderefrigeraciónque

utilizacomogasrefrigeranteelR22.Eldiámetrointernodeltubode

intercambiodecalordelequipoesde0,40cmconunvolumentotal

delcilindrode0,785cm3_._Al_interior_del_cilindro_se_encuentra_una

barrasólidaqueestáprovistade2cuchillasmontadasdemanera

Tabla1

Listadeparámetrosyvariablesdelmodelodecristalización.Parámetrosfijadospor mediodeliteratura[9,17]opormedioexperimental

Descripción Variablesoparámetros

Variablesdeestado M0,M1,M2,M3yu

Parámetrosaidentificar , yU

Parámetrosfijadosdeacuerdoconlaliteratura oporexperienciasanteriores

˛=0,˛′₌_5x108

ı=1,ı′₌₂

ˇ=5x10−7_,₌₁

(6)

Figura1.DiagramadelpilotoexperimentalMF-50.

1. Tanquedealmacenamientodemezclaparasorbeteconsistemaparamantenertemperaturaconstantede278K. 2. Bombadealimentacióndelamezcla

3. ICSR

4. Salidadelproducto 5. Sensordetemperatura 6. SensorparalaDTC

flotante,formandoasíelrotormencionado,elcualfuncionacomo

raspadordelasuperficieconunvolumentotalde0,351cm3_.

3.3. Sensoresenlínea

Medicióndeladistribucióndeltama˜nodecristal(DTC).Lamedida

dela distribucióndetama˜nodecristalfuerealizada

inmediata-mentealasalidadelcristalizadormediantelautilizacióndelsensor

Mettler-ToledoLasentec®_Focused_Beam_Reflectance_Method_probe

(FBRMModel S400A-8). El sensor FBRM provee la información

medianteuna medidadeladispersióndecristales haciendoun

barridomediante unláser quegira a granvelocidad.Paraesto,

seinsertalaFBRMdirectamentealtubodesalidadelequipo,con

unángulode45◦_y_con_una_{alimentación}_interna_de_nitrógeno_de

8,33× 10−5_m3_•s−1_para_evitar_la_{condensación}_sobre_la_ventana

dezafiro,queeslainterfaceentreelmaterialmedidoyelláserque

proporcionalamedición.Losdatossoncalculadospormediodela

ponderacióndeltiempodereflectanciamedidoylavelocidad

tan-gencialdelláser,dandoasíundiámetrodecuerdadelaspartículas.

Estemétodoyahasidoempleadoenotrasaplicacionesde

cristali-zación,principalmenteenprocesosfarmacéuticosyquímicoscon

locualsehacomprobadosufuncionalidadcomosensorenlínea

[17].Deunamanerasimilar,seempleócomonuevosistemaparael

seguimientodelaevolucióndeladistribucióndeltama˜node

cris-tales de agua en cristalizadores alimenticios donde se emplea

la congelación mostrando de igual manera su amplia gama de

aplicaciones[21,22].

Temperaturadesalidadelsorbeteycálculodelafraccióndehielo.

Latemperaturadesalidadelsorbetefuemedidamedianteeluso

deunsensordeprecisióndetipoPT100marcaBaumer®_(±_0,1k)

conunafuncionalidadenelrangode−50a+205◦_C._Este_sensor_ha

sidocalibradoconunasondadecalibraciónennuestrolaboratorio

deajustedesensores.Estesensorconundiámetrode5,8y

longi-tudde50mmfueposicionadosobrelacanalizacióndesalidadel

sorbeteasolo50mmdedistanciadelasondademedidadelaDTC.

Paraelcálculodelacantidaddehieloproducido,sesuponeel

equilibriotermodinámicoalasalidadelICSR.Paraestoseutilizala

expresión(26)paraelcálculodelafraccióndesólidosresiduales

encombinaciónconlaecuación(27).Esnecesarioaclararquela

expresión(26)hasidoobtenidamediantelacurvadesaturaciónde

lamezcladesorbeteobservadaenlafigura2,dondeademásde

tenerunmedioparacalcularlafraccióndehielolaregresiónhecha

permitecalcularlatemperaturadesaturacióndelamezclaa

par-tirdelospuntosinicialesdecongelación.Estafigurafueobtenida

apartirdesolucionesdelamismamezcladesorbeteadiferentes

(7)

0

-2

-4

-6

-8 ..._{Mezcla sorbete aroma limón}

Tf= -83,182xs3 + 22,041xs2 -11,097xs + 0,0141 R2_{= 0,9988}

Xs:fracción de sólidos totales w/w

T de congelación [ °C] -10 -12 -14 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6

Figura2. Curvadesaturaciónparalamezcladesorbetearomalimón.

unanálisisdemicrocalorimetríaDSCmedianteelusodeunequipo

Mettler-Toledo®_DSC_(modelo_DSC_822e/200W)._Para_la_realización

decadaunadelaspruebassepesaronentre8y15mgdemuestra

enunamicrobalanza(Mettler-Toledo®_modelo_DT5_con_una

reso-luciónde0,001mg)sobreunaceldaestándardealuminiode40␮l

yseposicionaenelequipo.Lamuestraesentoncesexpuestaauna

rampadecalentamientoquevade−40a20◦_C_a_una_velocidad_de

2◦_C_min−1_. xsr=−5,29×10−5·T4−1,6737×10−3 ·T3−2,0195×10−2·T2−0,13738·T (26) xsi=(1−xmg)xsr⇔xmg=1− xsi xsr (27) 3.4. Dise˜noexperimental

Eldise˜noexperimentalseplanteamedianteunarreglofactorial

usandolateoríadelcompuestocentralcon3nivelesdecontrol.

Enestecaso,los3nivelesdecontrolsonlasvariabledelproceso

(temperaturadeevaporaciónTevap,velocidaddelraspadorVRyel

gastomásicodealimentaciónalcristalizadorMFR).Estedise˜nose

apreciaenlastablas2y3.

Esteplandeexperimentoscuentacon4repeticionesdelpunto

centralparaelcálculodelerrorexperimental,aunqueserealizan

todoslospuntosdeldise˜noporduplicado.Serealizan,asímismo,

pruebasfueradelplandeexperimentosconlafinalidadde

estu-diarlafuncionalidaddelmodeloparacadaunadelasvariablesdel

proceso,lascualesdeigualmaneraserealizanporduplicadoyse

observanenlosúltimos3puntosdelatabla3.Todaslaspruebas

sonrealizadassinalimentacióndeairealproceso.

4. Resultadosydiscusión

Losresultadossebasanenlavalidacióndelmodelode

cristaliza-ción,lacualserealizaen2etapas.Laprimeraetapaconsistióenel

ajustedelmodeloconlosdatosexperimentalesobtenidoscon

res-pectoalatemperaturayeltama˜nodecuerdamedioenelsorbete

alasalidadelequipopormediodeunalgoritmodeoptimización

Tabla3

Plandeexperienciascompleto

Valorescodificados Valoresdecodificados

No MFR TEvap. VR MFR[kg/s] TEvap.[K] VR[rpm] 1 0 0 0 0,0139 257,9 12,5 2 +1 +1 +1 0,0181 255,15 15,0 3 −1 +1 +1 0,0097 255,15 15,0 4 −1 −1 +1 0,0097 260,65 15,0 5 −1 −1 −1 0,0097 260,65 10,0 6 +1 −1 −1 0,0181 260,65 10.0 7 +1 +1 −1 0,0181 255,15 10,0 8 +1 −1 +1 0,0181 260,65 15,0 9 −1 +1 −1 0,0097 255,15 10,0 10 +␣ 0 0 0,0208 257,9 12,5 11 −␣ 0 0 0,0069 257,9 12,5 12 0 +␣ 0 0,0139 253,25 12,5 13 0 −␣ 0 0,0139 262,55 12,5 14 0 0 +␣ 0,0139 257,9 16,7 15 0 0 −␣ 0,0139 257,9 9,1 Experimentossuplementarios 16 — — — 0,0097 257,9 12,5 17 — — — 0,0097 253,25 12,5 18 — — — 0,0097 262,55 12,5 19 — — — 0,0097 260,65 12,5 20 — — — 0,0097 255,15 12,5

basadoenladiferenciademínimoscuadrados.Enlasegundaetapa

serealizaelanálisiscomparativoentrelosvaloresexperimentales

ylosresultadosdelmodeloverificandolasdiferentestendenciasde

acuerdoalasvariablesdecontroldelamáquina(MFR,TevapyVR).

Todaslascomparacioneshechashansidoenelrégimen

estaciona-riodelproceso,debeserconsideradaqueningunadelasvariables

yrespuestasvaríanconrespectoaltiempo.Conestepropósitola

máquinadebeserestabilizadaparadespuésrealizarmedicionesde

10mindecadaunadelasrespuestasconunpasodetiempode5s.

4.1. Ajustedelosparámetrosdelmodelo

Latabla4muestralosresultadosexperimentalesobtenidosa

partirdeldise˜nodeexperimentosplanteadoenlapartede

materia-lesymétodos.Losresultadosmostradosenestatablarepresentan

losdatosdetama˜nomediodecuerdaytemperaturadesalidadel

productocristalizadoapartirunaadquisicióndevaloresdurante

600sdespuésdealcanzarelrégimenestable,dondeseconsidera

quelaspropiedadesnoexcedenungradodetoleranciamáximo

de±1%conrespectoalalectura.

Paralarealizacióndelajustedelosparámetrosdelmodelode

cristalizaciónseescribióunarutinadeoptimizacióndondese

ana-lizaelerrorabsolutodecadaunodelosresultadosexperimentales

conlosdelmodelo.Losvaloresinicialesparalosparámetrosdela

cinéticadecristalizaciónseobtuvieronporlaliteratura[9].Para

elcoeficienteglobaldetransferenciadecalor(U)seproponecomo

valoriniciallamediaaritméticadelosvaloresmedidos.Este

coe-ficientese estima a partir dela hipótesis dela nula existencia

del fenómeno de subfusión, es decir que la mezcla desciende

bruscamente a latemperaturainicial decongelaciónseguido la

disminuciónprogresiva delatemperaturamientras seaumenta

lacantidaddehieloformado(fig.3).Elcálculodeestecoeficiente,

Tabla2

Plandeexperienciascodificado

Valorescodificados

Parámetrosdelproceso −␣ −1 0 +1 +␣

MFR[kg/s] 0,0069 0,0097 0,0139 0,0181 0,0208

TEvap[K] 262,55 260,65 257,9 255,15 253,25

(8)

J.E.GonzálezRamírezetal/Rev.int.métodosnumér.cálc.diseñoing.2013;29(4):215–224 Tabla4

Resultadosexperimentalesparaeldise˜nodeexperimentos Variablesderespuesta No T[K] TC[m.₁₀6_] 1 269,11±0,05 6,59±0,06 2 268,6±0,04 6,6±0,05 3 267,65±0,08 6,66±0,07 4 269,32±0,01 6,58±0,06 5 269,21±0,05 6,21±0,02 6 269,93±0,02 6,57±0,06 7 268,62±0,02 7,01±0,05 8 269,92±0,03 6,45±0,05 9 266,92±0,04 6,77±0,01 10 269,76±0,08 6,65±0,03 11 267,99±0,04 6,62±0,05 12 267,19±0,05 6,67±0,07 13 270,04±0,04 6,29±0,02 14 269,37±0,16 6,53±0,05 15 269,06±0,05 7,44±0,01 Experimentossuplementarios 16 268,32±0,03 7,01±0,05 17 266,99±0,01 6,48±0,01 18 269,71±0,07 6,97±0,03 19 269.19±0,03 6,45±0,04 20 267,3±0,04 6,63±0,05

T:temperaturadelproducto;TC:tama˜nomediodecuerdadeloscristales.

6 Zona de enfriamiento S1 Zona de congelación S2 4 2 0 T [ °C] -2 -4 -6 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Si/S 0,7 0,8 0,9 1

Figura3. Perfildetemperaturadelproductovistadeacuerdoalasuperficiede transferenciadecalordisponible.

Si:superficiedetransferenciadecalorutilizadaparaenfriarocongelarlamezcla;S1: superficiedetransferenciadecalorutilizadaparaenfriarlamezcla;S2:superficiede transferenciadecalorutilizadaparacongelarlamezcla;S:superficiedetransferencia decalortotal.

entonces,sellevaacabomedianteelsiguientesistemade

ecuacio-nes: Qfrigo=

0

mR22(Hevap) (28)

dondeQfrigoeslapotenciafrigorífica, ˙mR22eselflujomásicodel

refrigeranteR22yHevapeselcalorlatentedeenelevaporado.

S= pi· De· Lech

Q1=U·S1∗((Ti+Tcong)/2−Tevap)

Q2= U· S2∗ ((Tcong+ Tprod)/2− Tevap)

S= S1+ S2 S1 S2 = MFRCpmix(Ti− Tcong) MFRHcongxmg Qfrigo= Q1+ Q2 (29)

dondeSeslasuperficiedeintercambiodecalorenelICSR,De

eseldiámetrodelICSR(0,05m),Tieslatemperaturadeentrada

delamezcla,Tcongcorrespondealatemperaturadeinicialde

con-gelacióndelamezcladelsorbete,Q1eslapotenciarequeridapara

elenfriamiento dela mezcladesutemperaturadeentradaala

temperaturadecongelaciónyQ2lapotenciautilizadaparallevar

alproductodesutemperaturadecongelaciónalatemperaturade

salida(S1yS2sonlassuperficiesdetransferenciadecalorutilizadas

paracadapotenciarespectivamente).

Larutinaescritaselanzaconelgrupocompletodepruebas

expe-rimentales,elcualanalizacadaunadelasrespuestasdelmodelo

conlosdatosexperimentales.Conelobjetivodeminimizarelerror

globalabsolutodetodoelgrupodeexperimentosseobtienen

final-mentelosparámetrosajustadosdelmodeloqueseobservanenla

tabla5.

Elmodeloconlosparámetrosajustadosesresueltoporla

herra-mientaODE45delprogramaMatlabenuntiempode0,05sconun

ordenadorquecuentaconunprocesadorCoreDuo2GHzIntel.La

funcionalidaddelmodeloesmostradaconlasfiguras4y5donde

seobservaelajustedelmodeloconlosdatosexperimentales.Enel

casodelatemperaturadelproducto(fig.4)elerrormáximoentre

losvaloresobtenidosconelmodeloylosdatosexperimentalesfue

de±0,3%.Enelcasodeltama˜nomediodecuerdaparaloscristales

(fig.5)elerrormáximoselocalizaen22%haciendolacomparación

modelo-experimentación,dondeel80%delospuntoscomparados

exhibenunerrorabsolutoinferioral15%ylamayoraglomeración

depuntosseencuentraenuncampoinferioral10%delmismo

tipodeerror.

4.2. Validacióndelainfluenciadelasvariablesdelproceso

4.2.1. Gastomásicodelamezcladelsorbete

Elgastomásicodelamezclatieneefectodirectosobreeltiempo

deresidenciadelproductodentrodelICSR.Consecuentemente,la

Tabla5

Parámetrosdelmodeloajustadosconresultadosexperimentales

Parámetro Valorajustado

U[W/m2_-C] _2.400 ˛[s−1_m−3_K−1_] ₀ ˛’[s−1_m−3_K−1_] _7,6_×₁₀8 ˇ[ms−1_K−1_] ₅×10−7 ı[–] 1 ı’[–] 2 [–] 1 Lc[m] 5×10−6 270

Temperatura del producto + 0.3% R2 _{= 0,91} 269 268 T e mperatura modelo [K] 267 266 265 265 266 267 268 Temperatura experimental [K] 269 270

Figura4. Comparacióndetodoslosdatosexperimentalesymodeladosde tempe-raturadelsorbetealasalidadelequipoenrégimenestacionario.

(9)

J.E.GonzálezRamírezetal/Rev.int.métodosnumér.cálc.diseñoing.2013;29(4):215–224 8 Tamaño medio de cuerda de cristales +22% +15% +10% 7.5 7,5 6.5 6,5 5.5 5,5 7 7 Tamaño de cuerda experimental [m.10−6_]

T

a

maño de cuerda modelo [m

. 10 − 6] 8 6 6 5 5

Figura5.Comparacióndetodoslosdatosexperimentalesymodeladosdeltama˜no mediodecuerdaenelsorbetealasalidadelequipoenrégimenestacionario.

temperaturadesalidadelsorbeteaumentaconelincrementodel

gastomásicoalamismatemperaturadeparedodeevaporación

[1,2,4].Esto hasidoconfirmadoexperimentalmente,locualfue

reproducidoporelmodelo(fig.6).Enlafigura6seaprecia

tam-biénlaevolucióndeltama˜nodecristalconelaumentodelflujo

másico,locualesatribuidoalamodificacióndeltiempode

resi-denciadelproductoenelICSR,elcualconllevalosfenómenosde

nucleaciónyderecristalizacióndelaspartículasformadas[7].

4.2.2. Influenciadelatemperaturadeevaporación

Esbienconocidoquelatemperaturadeevaporacióntieneun

efectodirectosobre eltama˜nodecristaldehieloyla

tempera-turadesalidadelproducto[4].Unareduccióndelatemperatura

deevaporaciónincrementadirectamentelavelocidadde

enfria-mientoqueintensificalavelocidaddenucleacióneinhibelatasa

decrecimiento.Usualmenteelefectosobrelanucleaciónesmás

significativoqueelefectodecrecimiento.Consecuentemente,el

diámetromediodepartículas tiendeadisminuirdebidoalgran

númerodepeque˜noscristalespresentesenlamicroestructuradel

producto.Elefectosobrela temperaturadesalidadelproducto

esmásintuitivo;unareduccióndelatemperaturadeevaporación

intensificalatransferenciadecalor,elcontenidodehieloaumenta

yportantolatemperaturadelproductodecrecesignificativamente.

Los2efectosdescritosseobservanenlafig.7.

Los2 efectos descritosanteriormentedebidosa la

tempera-turadeevaporaciónsonreproducidosporelmodelo.Lasmedidas

experimentalesmuestranunaimportantereduccióneltama˜node

cuerdaenfuncióndelareducciónenlatemperaturade

evapora-ción.

4.2.3. Efectodelavelocidaddelraspador

Lavelocidaddelraspadortienesuprincipalinfluenciasobrela

temperaturadelproductodebidoalaenergíatransmitidaporel

fenómenodefricciónalsorbete.Estainfluenciaestomadaencuenta

enelmodelomediantelavariacióndelaviscosidadylaenergíade

disipaciónviscosa.Latemperaturadesalidaqueseprediceconel

modeloylosdatosexperimentalesmuestranunincrementode1◦_C

cuandolavelocidadvaríade600a900rpm,queesplasmadoenla

figura8.Esteefectoyahasidoanteriormenteanalizadooestudiado

[1,6].

Se observa una diferencia máxima de 9% entre los

resulta-dosexperimentalesysimuladosparalatemperaturadesalidadel

sorbete.Estas diferencias son menores cuandoel gasto másico

incrementa.Aloconcernientealosresultadosparaeltama˜node

cuerda,losdatosnomuestranuncambiosignificativo

experimen-talmenteparaelrangoenlascondicionesdeoperaciónutilizadas.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 TC Modelo T Modelo T Experimental TC Experimental 278 280 276 274 272 T [ K ] 270 268 266 0 0,005 0,01 0,015 MFR [kg.s−1_] 0,02 0,025 T amaño de cuerda [m . 10 − 6]

Figura6.Comparacióndelatemperaturayeltama˜nomediodecuerdapredichos yexperimentalesenfuncióndelgastomásicodelamezcladesorbete(temperatura deevaporación257,9K,velocidaddelraspador12,5rps).

290 TC Experimental T Experimental TC Modelo T Modelo 10 9 8 7 6 5 T a maño de cuerda [m . 10 − 6] 4 3 2 1 0 285 280 275 T [ K ] 270 265 260 250 252 254 256 258 T evaporación [K] 260 262 264

Figura7. Comparacióndelatemperaturayeltama˜nomediodecuerda predi-chosyexperimentalesenfunciónlatemperaturadeevaporación(gastomásico 0,0097kg•s−1_,_velocidad_del_raspador_12,5_rps).

270 T Experimental T Modelo 269 268 T [ K ] 267 266 8 9 10 11 12 VR [rps] 13 14 15 16

Figura8.Comparacióndelatemperaturapredichosyexperimentalesenfunción ladelavelocidadderotacióndelraspador(gastomásico0,0097kg•h−1_,_temperatura

deevaporación257,9K).

5. Conclusión

Seharealizadoconéxitolareduccióndelmodelode

(10)

lametodologíademomentoslacualpermitereducir

considerable-mentelosrequerimientoscomputacionalesparalasimulacióndel

procesoenestadoestacionario.Eldise˜noexperimentalempleado

hapermitidolaobtencióndedatosdetama˜nomediodecuerdayde

temperaturadesalidadelsorbetecristalizado,loscualeshansido

utilizadosparalavalidacióndelmodelodesarrollado.Apartirde

unalgoritmodeoptimizaciónydedatosobtenidosde

investiga-cionespreviassehapodidoajustarlosparámetrosdelmodelo.De

estemodo,sehaconstatadoqueelmodeloescapazdereproducir

lainfluenciadelasvariablesdelprocesosobrelacalidaddel

pro-ductoconerroresinferioresal10%conrespectoalaescalautilizada.

Elmodelopresentadoenestetrabajoesaltamenterecomendado

parasuimplementaciónensistemasdecontroldecristalizaciónde

heladosysorbetes.

Agradecimientos

EsteartículocientíficoincluyeresultadosdelproyectoCAFEque

essoportadoporelprogramadeAlimentación,AgriculturayPesca,

yBiotecnologíadela comunidadeuropea(Númerode contrato

KBBE-212754).Laresponsabilidadcientíficaquedaacargodelos

autores.

ThispaperincludesresultsoftheCAFEprojectthatissupported

bytheFood,AgricultureandFisheries,andBiotechnologyprogram

oftheEuropeanCommunity(ContractnumberKBBE-212754).The

scientificresponsibilityrestswithitsauthors.

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