Espacios de Banach Estrictamente Convexos

1.1.

1.1.

Introducci´

Introducci´

on

on

En

En este este capcap´´ıtulo ıtulo daremdaremos os un un brevbreve e resumresumen en de de la la teorteor´´ıa ıa de de los los espacespacios ios de de BanacBanach;h;

enunciaremos algunas definiciones , propiedades y resultados que nos ser´

enunciaremos algunas definiciones , propiedades y resultados que nos ser´an de gran utilidadan de gran utilidad

en el desarrollo de este trabajo.

en el desarrollo de este trabajo.

T

Todo odo lo lo anterior en anterior en su mayorsu mayor´´ıa ıa es es visto visto en un en un curso de curso de An´An´alisis Funcional de la licen-alisis Funcional de la

licen-ciatura, por lo cual la prueba de la mayor parte de ellos no ser´

ciatura, por lo cual la prueba de la mayor parte de ellos no ser´a realizada en este trabajoa realizada en este trabajo

indic´

indic´andose la referencia bibliogr´andose la referencia bibliogr´afica en donde ubicarla.afica en donde ubicarla.

En concreto, daremos la definici´

En concreto, daremos la definici´on de espacio de Banach, espacio reflexivo, espacioon de espacio de Banach, espacio reflexivo, espacio

separable, normas equivalentes, espacio producto, espacio cociente y el teorema de

separable, normas equivalentes, espacio producto, espacio cociente y el teorema de

Hahn-Banach; el cual ser´

Banach; el cual ser´a desarrollado en forma completa ya que, es bien conocido que laa desarrollado en forma completa ya que, es bien conocido que la

extensi´

extensi´on que se indica en el enunciado no es ´on que se indica en el enunciado no es ´uniunica ca d´d´andose andose en en capcap´´ıtulos ıtulos posterioresposteriores

condiciones bajo las cuales tal extensi´

condiciones bajo las cuales tal extensi´on es ´on es ´unica.unica.

Denotaremos por (

Denotaremos por (E,E,

_

_

..

_

_

) un espacio de Banach,) un espacio de Banach, BBE E  ==

{

{

xx

∈

∈

E/E/





xx

≤

≤

11

}

}

yy

S 

S E E ==

{

{

xx

∈

∈

E/E/





xx





= = 11

}

}

bola unitaria y la esfera unitaria enbola unitaria y la esfera unitaria en E E , respectivamente., respectivamente.

1.

1.2.

2.

De

Defin

finic

ic

io

ione

nes

s

y

y

Ej

Ejem

empl

plos

os

Definici´

Definici´on 1.1.on 1.1. Sea Sea  E E 

_

_

==

_∅

_∅

y y  dd :: E E 

_×

_×

E E 

₋

₋

_→

_→

[0[0,,++

_∞

_∞

)) , decimos que , decimos que  dd es es ununa a m´m´etetrica rica 

sobre 

sobre  E E  si:si:

i.-i.- dd((x,x,yy))

_≥

_≥

00 y y  dd((x,x,yy) ) = = 00

_⇔

_⇔

xx == yy

iii.-iii.- dd((x,x,zz))

_≤

_≤

dd((x,x,yy) +) + dd((y,y,zz))

_∀

_∀

x,y,zx,y,z

_∈

_∈

E E 

Al par 

Al par  ((E,E,dd)) se le llama se le llama esespacpacio io m´m´etetriricoco..

Ejemplo 1.1.

Ejemplo 1.1. SeSea a  E E ==

_

_

_∅

_∅

y consideremos y consideremos  dd :: E E 

_×

_×

E E 

₋

₋

_→

_→

[0[0,,++

_∞

_∞

)), definida por:, definida por:

d d((x,x,yy) ) ==













1 1 si si  xx

_

_

== yy 0 0 si si  xx == yy d

d es es ununa a m´m´etetrica rica lllalamamada da m´m´etretrica ica didiscscretareta, , y y as´as´ı ı  ((E,E,dd)) es es un un espaciespacio o m´m´etrietrico.co.

Ejemplo 1.2.

Ejemplo 1.2. SeSea a  E E = = IIRR y consideremos y consideremos  dd :: E E 

_×

_×

E E 

₋

₋

_→

_→

[0[0,,++

_∞

_∞

)), definida por:, definida por:

d

d((x,x,yy) ) ==

_|

_|

xx

₋

₋

yy

_|

_|

_∀

_∀

x,x,yy

_∈

_∈

E E 

entonces 

entonces  ((E,E,dd)) es es un un espaciespacio o m´m´etrietrico.co.

Definici´

Definici´on 1.2.on 1.2. Sea Sea  E E  un espacio vectorial, decimos que un espacio vectorial, decimos que  E E  es un es un espacio normadoespacio normado

si para cada 

si para cada  xx

_∈

_∈

E E  corresponde un n´ corresponde un n´ umero real umero real 

_

_

xx

_

_

llamado la norma de llamado la norma de  xx, la cual , la cual 

satisface:

satisface:

i.-i.-

_

_

xx

_

_

_≥

_≥

00 y y 

_

_

xx

_

_

= = 00

_⇔

_⇔

xx = = 00

ii.-ii.-

_

_

αxαx

_

_

==

_|

_|

αα

_|

_|

xx

_

_

, , αα

_∈

_∈

IIRR, , xx

_∈

_∈

E E 

iii.-iii.-

_

_

xx++yy

_

_

_≤

_≤

_

_

xx

_

_

++

_

_

yy

_

_

_∀

_∀

x,x,yy

_∈

_∈

E E 

T

Tal espacio noral espacio normado lo denotmado lo denotamos como amos como ((E,E,

_

_

_·

_·

_

_

).).

Ejemplo 1.3.

Ejemplo 1.3. ℓℓ _p pnn, , nn

_∈

_∈

NN_{,, 11}

_≤

_≤

_{p p <<}

_∞

_∞

_{, es el espacio que consiste de , es el espacio que consiste de  nn}

₋

₋

_uplas uplas 

x

x = = ((αα11,,αα22, . ., . . . . , α, αnn)), donde , donde  ααii

∈

∈

IIRR,,

∀

∀

11

≤

≤

ii

≤

≤

nn..

ℓ

ℓ _p pnn con la norma con la norma 

_

_

xx

_

_

 p p ==





nn





i i=1=1

|

|

α αii

|

|

 p p





11/p/p es un espacio normado. es un espacio normado. Ejemplo 1.4.

Ejemplo 1.4. Consideremos ahora Consideremos ahora  ℓℓ_∞∞nn , el espacio vectorial de todas las , el espacio vectorial de todas las  nn

₋

₋

uplas uplas 

x

x = = ((αα11,,αα22, . ., . . . . , α, αnn)), donde , donde  ααii

∈

∈

IIRR,,

∀

∀

11

≤

≤

ii

≤

≤

nn..

ℓ

ℓnn_∞∞ con la norma con la norma 

_

_

xx

_

_

∞∞ = sup= sup

{|

{|

ααii

|

|

: : 11

≤

≤

ii

≤

≤

nn

}

}

es un espacio normado.es un espacio normado.

Ejemplo 1.5.

Ejemplo 1.5. ℓℓ∞∞, el espacio de todas las sucesiones , el espacio de todas las sucesiones  xx ==

{

{

ααnn

}

}

de escalares acotadas,de escalares acotadas,

con la norma 

Ejemplo 1.6.



_C

_[a,b],

_{ · }

∞



, es un espacio normado, donde 

C

[a,b] =

{

f  : [a, b]

−→

IR : f es continua 

}

y

 · 

∞ = m´ax

{|

f (t)

|}

.

Es claro que si d(x, y) :=

_

x

₋

y

_

entonces d es una m´etrica, por lo tanto todo espacio normado es un espacio m´etrico.

Definici´on 1.3. Un espacio normado (E,

_

.

_

) es un espacio de Banach si  E  con la  m´etrica inducida por 

_

.

_

es completo.

A continuaci´on daremos algunos ejemplos de espacios de Banach.

Ejemplo 1.7. ( Rn_,

_{ · }

_{2) con  n}

_≥

_{1 es un espacio de Banach, donde} 



x

_

2 =



n



k=1

|

xk

|

2



1/2

denota la norma euclideana.

Ejemplo 1.8. ( ℓ p ,

 · 

 p) , 1

≤

p <

∞

, es un espacio de Banach donde 



x

_

 p =



∞



k=1

|

xk

|

 p



1/p

Ejemplo 1.9. ( c0,

 · 

∞) , es un espacio de Banach donde  c0 denota el conjunto de 

todas las sucesiones de n´ umeros reales que convergen a cero y 



x

_

∞ = sup k≥1

{|

xk

|

: k

∈

N

}

.

Ejemplo 1.10. ( L p([0, 1]),

 · 

 p) 1

≤

p <

∞

, es un espacio de Banach . L p([0, 1])

consiste en el conjunto de todas las funciones medibles  f  : [0, 1]

_→

R _{tales que}  1

 

0

|

f (t)

_|

 pdt <

_∞

siendo



f 

_

 p=





1

 

0

|

f (t)

_|

 p dt





1/p .

Ejemplo 1.11.



_C

_[a,b],

_{ · }

∞



es un espacio de Banach; ya que al tomar una sucesi´ on 

de Cauchy 

_{

f n

}

de elementos del espacio converge uniformemente a alguna funci´ on  f 

Cabe se˜nalar que no todos los espacios normados son espacios de Banach. El siguiente ejemplo, nos muestra la existencia de un espacio normado que no es completo.

Ejemplo 1.12. Sea 



_C

[a, b],

_{ · }

2



. Definamos 

 · 

2 como



f 

_

2=





b

 

a

|

f (t)

_|

2 dt





1/2

entonces,



_C

[a, b],

_{ · }

2



es un espacio normado pero no es un espacio de Banach.

Definici´on 1.4. Sea  E  un espacio vectorial sobre R _{y sean} 

_{ · }

_y 

_{||| · |||}

_{dos normas sobre} 

E . Se dice que 

_·

es equivalente a 

_|||·|||

, es decir 

_·

∼

_|||·|||

_{; si existen  k1, k2 constantes} 

positivas tales que:

k1



x

 ≤ |||

x

||| ≤

k2



x



para todo x

∈

E 

Teorema 1.1. En un espacio de dimensi´ on finita todas las normas son equivalentes. Una demostraci´on detallada de este teorema la podemos obtener en [1].

Ejemplo 1.13. En  Rn _{las normas} 

_·

_1,

_·

_{2 y} 

_·

_{∞ son todas equivalentes;}

ya que 



x

_

2

≤ 

x



1

≤

n



x



2 para todo x

∈

IR (1.1)

y 



x

_

∞

≤ 

x



2

≤

√ 

n



x



∞ para todo x

∈

IR (1.2)

luego de  (1.1) y  (1.2) se tiene que 

 · 

1

∼  · 

2

∼  · 

∞

Ejemplo 1.14. Para cada  x

_∈

(ℓ1,

 · 

1) definimos:



x

_

=



_

x

_

2₁ +

_

x

_

2₂



1/2 para todo x

_∈

ℓ1 donde 



x

_

1 = ∞



n=1

|

xn

|

,



x



2 =



∞



n=1

|

xn

|

2



1/2

entonces 



x

_

1

≤ 

x

 ≤

√ 

n



x



1 para todo x

∈

ℓ1

con lo cual se tiene que la norma 

_

x

_{ ∼ }

x

_

1 en  ℓ1.

Ejemplo 1.15. En 

_C

[a, b] no todas las normas son equivalentes.

En efecto, tomando C [0, 1] con 

_{ · }

1 y 

 · 

∞, estas normas no son equivalentes,

puesto que 



f 

_

1 =

 

1 0

|

f (t)

_|

dt

_≤

 

1 0 sup

_|

f (t)

_|

dt =

_

f 

_

∞ pero si definimos  f n(t) =































nt si  0

_≤

t

_≤

1/n 2

₋

nt si  1/n < t < 2/n 0 si  t > 2/n

tenemos que 

_

f n



∞ = 1 y 



f n



1 = 1/n , n = 1, 2, . . . entonces podemos ver 

que no existe  k

_∈

IR tal que 

k

_

f n



∞

≤ 

f n



1. para todo n

∈

N

Definici´on 1.5. Sea (E,

_

.

_

) un espacio de Banach. Se dice que  E  es separable si contiene  un subconjunto denso numerable.

Son ejemplos de espacios separables:

Ejemplo 1.16. (R_,

_{| · |}

_{) y  (}Rn_,

_{ · }

_{2), son espacios separables ya que el conjunto de} 

los n´ umeros racionales  Q y  Qn son subconjuntos densos numerables en  IR y  IRn respectivamente.

Ejemplo 1.17. ℓ p , 1

≤

p <

∞

son separables; ya que  ℓ p = [

{

en : n

∈

N

}

].

Ejemplo 1.18. c0 es separable, al tomar de manera similar al ejemplo anterior 

Ejemplo 1.19.

_C

[a, b] con la m´etrica definida as´ı: d(f, g) = m´ax

x∈[a,b]

|

f (x)

−

g(x)

|

.

En virtud del teorema de aproximaci´ on de Weierstrass (ver [1]) sabemos que el conjunto de los polinomios es un subconjunto denso en este espacio. Sin embargo, esta colecci´ on no es numerable. Ahora, la colecci´ on de todos los polinomios con coeficientes racionales es un  subconjunto numerable, denso en 

_C

_[a,b], por lo tanto (

_C

_[a, b], d) es un espacio separable.

Ejemplos de espacios que no son separables:

Ejemplo 1.20. L∞[0, 1] denota el conjunto de todas las funciones medibles acotadas 

en [0, 1]. Entonces, L∞[0, 1] no es separable; pues, si tomamos  B la colecci´ on de todas las 

 funciones con dominio [0,1]. Entonces, B es un subconjunto no numerable de  L∞[0, 1]

tal que 

_

f 

₋

g

_

∞ = 1, siempre que  f  y  g sean miembros diferentes de  B.

Ejemplo 1.21. ℓ∞ no es separable; pues, si  B es el subconjunto de  ℓ∞ que consiste 

en todas las sucesiones cuyos t´erminos son del conjunto

_{

0, 1

_}

, en  B es no numerable y 



(αn)

−

(β n)



∞ = 1 si  (αn) y  (β n) son miembros diferentes de  B.

Definici´on 1.6. Sea  (E,

_{ · }

) un espacio normado. El espacio dual de  E  es el  espacio vectorial normado

_B 

(E, IR) formado por todos los funcionales lineales acotados  en  E .

Este espacio se denota por  E ∗ y es llamado espacio dual topol´ ogico de  E  con la  norma 



f 

_

= sup

x=0

|

f (x)

_|



x

_

´ o



f 



= sup_x=1

|

f (x)

|

Definici´on 1.7. Sea  (E,

_{ · }

) un espacio normado. El segundo dual de  E  es el  espacio dual  (E ∗)∗ de  E ∗ y lo denotamos por  E ∗∗.

Definici´on 1.8. Sea  (E,

_{ · }

) un espacio normado, el isomorfismo can´ onico es la   funci´ on natural  J  : E 

_−→

E ∗∗ que asocia a  E  con  E ∗∗, de la manera siguiente,

J (x) = x∗∗ para alg´ un  x∗∗

_∈

E ∗∗ donde 

x∗∗(x∗) = x∗(x) ,

_∀

x∗

_∈

E ∗.

Definici´on 1.9. Un espacio normado E  es reflexivo si la aplicaci´ on  J  : E 

_→

E ∗∗ es  sobreyectiva.

Son ejemplos de espacios reflexivos los siguientes: 1.- ℓ p , 1 < p <

∞

2.- L p , 1 < p <

_∞

3.- Todo espacio de Hilbert es reflexivo ya que por el Teorema de representaci´on de Riesz se puede establecer un isomorfismo lineal entre X y X∗.

4.- Todo espacio de dimensi´on finita es reflexivo ya que dim X = dim X∗ = dimX∗∗ y un operador lineal 1

₋

1 entre espacios de dimensi´on finita de la misma dimensi´on es tambi´en sobreyectivo.

Ejemplos de espacios que no son reflexivos: 1.- ℓ1

2.- ℓ∞

3.- L∞

4.- c0

1.3. El Teorema de Hahn-Banach

Unos de los resultados importantes en esta secci´on de Preliminares es el teorema de Hahn-Banach y sus consecuencias, por lo que daremos una demostraci´on detallada de dichos resultados.

Definici´on 1.10. Sea  E  un espacio lineal. Una aplicaci´ on   p : E 

_→

R _{que satisface:}

(a) p(x)

_≥

0 para todo x

_∈

E 

(b) p(x + y)

_≤

p(x) + p(y) para todo x, y

_∈

E  (subaditiva)

(c) p(αx) = αp(x) para todo x

_∈

E,α > 0; (positivamente hom´ogenea)

Se denomina funcional convexo. Si s´olo verifican las dos ´ultimas condiciones la apli-caci´on se llama funcional sublineal.

Lema 1.1. Sea  M  un subespacio propio de un espacio lineal real  E  y sea  x0

∈

M .

Consideremos  N  = [M 

_{∪ {}

x0

}

] y supongamos que  f  es un funcional lineal sobre 

M , p un funcional sublineal definido en  E  tal que:

f (x)

_≤

p(x) para todo x

_∈

M 

Entonces  f  puede extenderse a un funcional lineal  F  definido sobre  N  con la propiedad de  que 

F (x)

_≤

p(x) para todo x

_∈

N 

Demostraci´on. .- Puesto que f (x)

_≤

p(x)

_∈

M, entonces para y1, y2

∈

M, vemos

que:

f (y1

−

y2) = f (y1)

−

f (y2)

≤

p(y1

−

y2) = p(y1 + x0

−

y2

−

x0)

≤

p(y1 + x0) + p(

−

y2

−

x0)

Agrupando por separado los t´erminos que contienen a y1 y y2, tenemos que:

−

 p(

₋

y2

−

x0)

−

f (y2)

≤

p(y1 + x0)

−

f (y1) (1.3)

Fijemos y1 y hagamos variar a y2

∈

M. De (1.3) deducimos que el conjunto de

n´umeros reales

{−

 p(

₋

y2

−

x0)

−

f (y2)/y2

∈

M 

}

tiene una cota superior y tambi´en extremo superior. Definamos entonces

a = sup

_{−

 p(

₋

y2

−

x0)

−

f (y2)/y2

∈

M 

}

De la misma forma, podemos asegurar la existencia de

b = ´ınf 

_{

 p(y1 + x0)

−

f (y1)/y1

∈

M 

}

Luego; de (1.3) tenemos

a

_≤

b as´ı que debe existir c0

∈

R tal que

a

_≤

c0

≤

b

En el caso en que a = b, c0 es precisamente el valor com´un.

Entonces, para todo y

_∈

M,

−

 p(

₋

y

₋

x0)

−

f (y)

≤

c0

≤

p(y + x0)

−

f (y) (1.4)

Puesto que x0

∈

M, podemos expresar cualquier x

∈

N  como

x = y + αx0

siendo α

_∈

K  ´unico e y

_∈

M  ´unico.

Puesto que esta representaci´on es ´unica, la aplicaci´on F  : N 

_−→

R

definida por

est´a bien definida y es adem´as un funcional lineal sobre el subespacio N . Tambi´en es evidente que, si x

_∈

M ,

F (y) = f (y), es decir, F  extiende a f .

Falta s´olo demostrar que F (x)

_≤

p(x) para todo x

_∈

N. Para ello consideremos 3 casos:

Para todo x

_∈

N, con x = y + αx0 debe ser

α = 0, α > 0 ´o α < 0

(1) α = 0. Basta ver que F (y + αx0) = F (y) y aplicamos luego la hip´otesis.

(2) α > 0. Consideremos el miembro derecho de (1.4), sustituyendo y por y/α, se tiene que:

c0

≤

p



y

α + x0



−

f (y/α)

Multiplicando por α y puesto que p es un funcional sublineal, tenemos f (y) + αc0

≤

p(y + αx0)

o bien

F (x)

_≤

p(x)

(3) α < 0. Consideremos ahora el miembro izquierdo de (1.4) y sustitu´ımos y por y/α. Obtenemos

−

 p(

₋

y/α

₋

x0)

−

f (y/α)

≤

c0

−

 p(

₋

y/α

₋

x0)

≤

c0 + f (y/α)

Al multiplicar por α, resulta

(

₋

α) p(

₋

y/α

₋

x0)

≥

α c0 + f (y)

y por ser

₋

α > 0

 p(y + αx0)

≥

α c0 + f (y),

Teorema 1.2. (Hahn-Banach)(Versi´ on espacios vectoriales reales)

Sea  M  un subespacio del espacio vectorial  E , p  un funcional sublineal sobre  E  y  f  un   funcional lineal sobre  M  tal que, para todo x

_∈

M,

f (x)

_≤

p(x)

Entonces existe un funcional lineal  F  en  E  que extiende a  f  y tal que  F (x)

_≤

p(x) para  todo x

_∈

E.

Demostraci´on. Sea S  =

_{

f  : Dˆ _f ˆ

→

R : ˆf  lineal que extiende a f  y tal que ˆf 

≤

p(x)

}

En primer lugar notemos que S 

_

=

_∅

ya que f 

_∈

S . Definamos una relaci´on de orden en S :

Diremos que ˆf 1 < ˆf 2 para todo f ˆ1, ˆf 2

∈

S  si f ˆ2 extiende a f ˆ1

Entonces “ < ” es una relaci´on de orden parcial en S  ya que, “ < ” es; (a) Reflexiva Si f ˆ1 < ˆf 1 entonces D_f ˆ₁

⊂

D_f ˆ₁ luego; ˆ

f 1 = f ˆ1 (todo funcional extiende a s´ı mismo)

(b) Sim´etrica Si f ˆ1 < ˆf 2 y f ˆ2 < ˆf 1 entonces D_f ˆ₁

⊂

D_f ˆ₂ y D_f ˆ₂

⊂

D_f ˆ₁ luego; ˆ f 2 = f ˆ1

(c) Transitiva Si f ˆ1 < ˆf 2 y f ˆ2 < ˆf 3 entonces D_f ˆ₁

⊂

D_f ˆ₂

⊂

D_f ˆ₃ luego; ˆ f 3

|

D_f ˆ 1 = ˆ f 2 = f ˆ1

Veamos ahora que (S, <) es inductivamente ordenado.

Sea T 

_⊂

S, totalmente ordenado y veamos que T  posee cota superior. Definamos ˆ f T  :



ˆ f ∈T  D_f ˆ

→

R por ˆ f T (x) = ˆf (x) si x

∈

D_f ˆ

Antes de ver que ˆf T  est´a bien definida, debemos comprobar que su dominio es un

subespacio. Si

x

_∈



ˆ f ∈T 

D_f ˆ,

entonces x

_∈

D_f ˆ y puesto que D_f ˆ es subespacio, deducimos que; para α

∈

R, se tiene

αx

_∈

D_f ˆ Supongamos que x, y

_∈



ˆ f ∈T  D_f ˆ

Esto implica que, x

_∈

D_f ˆ_x , y

∈

D_f ˆ_y para alg´un ˆf x , f ˆy

∈

T  y puesto que T  es

totalmente ordenado, o bien D_f ˆ_x

⊂

D_f ˆ_y ´o bien D_f ˆ_y

⊂

D_f ˆ_x. Sin p´erdida de

generalidad supongamos que se cumple la primera inclusi´on, as´ı x, y

_∈

D_f ˆ_y,

de lo cual se tiene que

x + y

_∈

D_f ˆ_y dado que D_f ˆ_y es subespacio.

Luego,

_

ˆ f ∈T 

Veamos ahora que ˆf T  est´a bien definida. Supongamos que

x

_∈

D_f ˆ_x y y

∈

D_f ˆ_y

Por definici´on de ˆf , tenemos: ˆ

f T (x) = ˆf x(x) y f ˆT (x) = ˆf y(x)

Como T  es totalmente ordenado, ˆf x es una extensi´on de ˆf y y tambi´en ˆf y es una extensi´on

de ˆf x. En cualquier caso,

ˆ

f x(x) = ˆf y(x),

as´ı ˆf T  est´a bien definida.

Es evidente que ˆf T  es una aplicaci´on lineal, que extiende a f  y que

ˆ f T (x)

≤

p(x) para todo x

∈



ˆ f T  D_f ˆ adem´as, si ˆf 

_∈

T  entonces D_f ˆ

⊂



ˆ f ∈T  D_f ˆ y f ˆT 

|

_{D ˆf} = ˆf 

esto nos dice, por definici´on, que;

ˆ

f < ˆf T 

As´ı, ˆf T  es cota superior de T . De ´esta manera, (S, <) es inductivamente ordenado. Luego,

por el Lema de Zorn, S  tiene un elemento maximal F , esto es; F  : Df 

→

R

es un funcional lineal que extiende a f  y tal que

F (x)

_≤

p(x) para todo x

_∈

DF 

y adem´as, si ˆf 

_∈

S  y F < ˆf  implica que F  = ˆf .

Para completar la prueba del teorema s´olo basta comprobar que DF  = E .

Aplicando el Lema anterior, vemos que F  puede extenderse a otro funcional lineal F  que extiende a f  y tal que

F (x)

_≤

p(x) cuando x

_∈

[DF 

∪ {

x0

}

]

As´ı pues, F 

_∈

S, y extiende a F , lo que contradice la maximilidad de F . Por lo tanto, x0 no puede existir y el dominio de F  es todo el espacio E 

Como veremos luego, cada funcional continuo definido en un subespacio de un espacio de Banach X tiene una extensi´on al espacio total (con la misma norma). Pero, para un funcional dado pueden existir muchos funcionales en X (con la misma norma) los cuales extienden al funcional dado; de hecho, si f 1 y f 2 son extensiones de f 

∈

X entonces la

combinaci´on convexa de f 1 y f 2 tambi´en es una extensi´on de f  como se muestra en el

siguiente teorema.

Teorema 1.3. Sean  X un espacio normado, Y

_⊂

X y  f 1 y  f 2 extensiones de 

f  : Y 

_−→

K _{que preservan la norma, entonces} 

ˆ

f  = λf 2 + (1

−

λ)f 1

tambi´en es extensi´ on de  f  y preserva la norma, para todo λ

_∈

[0, 1].

Demostraci´on. Sea y

_∈

Y y veamos que ˆf  extiende a f . Entonces ˆ

f (y) = λf 2(y) + (1

−

λ)f 1(y)

= λf (y) + (1

₋

λ)f (y) ya que f 1 y f 2 son extensiones de f 

= f (y)

Luego se tiene que ˆf  es extensi´on de f. Para ver que ˆf  preserva la norma, tomemos x

_∈

X entonces,

|

f (x)ˆ

_{| ≤}

λ

_|

f 2(x)

|

+ (1

−

λ)

|

f 1(x)

|

≤

(λ

_

f 2



+ (1

−

λ)



f 1



)



x



pero, dado que; por hip´otesis

_

f 1



=



f 2



=



f 



entonces

|

f (x)ˆ

_{| ≤ }

f 

_

x

_

con lo cual se tiene que



f ˆ

_{ ≤ }

f 

_

(1.5)

Ahora, si x

_∈

Y entonces tenemos

|

f (y)

_|

=

_|

f (y)ˆ

_{| ≤ }

f ˆ

_

y

_

y as´ı;



f 

_{ ≤ }

f ˆ

_

(1.6)

por lo tanto, de (1.5) y (1.6) se tiene



f ˆ

_{ ≤ }

f 

_

.

El siguiente es un ejemplo que nos permite ver de una manera m´as clara lo establecido en el teorema anterior.

Ejemplo 1.22.

Sean  X = IR2 con la norma 

_

(x, y)

_

=

_|

x

_|

+

_|

y

_|

y  Y  :=

_{

(x, 0) : x

_∈

IR

_}

. definamos 

f  : Y

_→

IR por  f (x, y) = x Es evidente que  Y

_⊆

X.

f  es lineal pues, para  x, y

_∈

Y con  x = (x1, 0) y  y = (x2, 0)

ι.

₋

f (x + y) = f ((x1, 0) + (x2, 0))

= x1 + x2

ιι.

₋

f (αx) = f (α(x1, 0)) = f ((αx1, 0)) = αx1 = αf (x) Adem´ as,

|

f (x, y)

_|

=

_|

x

_{| ≤ }

(x, y)

_

por otro lado si 

_|

f (1, 0)

_|

= 1 y  (x, y)

_∈

Y, entonces 

|

f (x, y)

_{| ≤ }

f 

_

(x, y)

_{ ≤ }

(x, y)

_

⇒



f 

_{ ≤}

1 (1)

De igual manera si 

_|

f (x, y)

_|

= 1 tenemos 

|

f (x, y)

_|

= 1

_{≤ }

f 

_

(x, y)

_

⇒

1

_{≤ }

f 

_

(2)

luego, de  (1) y  (2) se tiene 



f 

_

Y = 1

As´ı; f  es un funcional lineal acotado en  Y y 

_

f 

_

= 1.

Definamos ahora dos funcionales  f 1, f 2

∈

X tales que  f 1



= f 2 y veamos que ambos son 

extensiones distintos de  f  y que preservan la norma. Sean 

f 1 : IR2

→

IR

f 1(x, y) = x + y

f 2 : IR2

→

IR

f 2(x, y) = x

−

y

Claramente  f 1 y  f 2 son lineales. Adem´ as 

ı.

_{− |}

f 1(x, y)

|

=

|

x + y

| ≤ |

x

|

+

|

y

|

=



(x, y)



⇒

|

f 1(x, y)

| ≤ 

(x, y)



ıı.

_{− |}

f 2(x, y)

|

=

|

x

−

y

| ≤ |

x

|

+

|

y

|

=



(x, y)



⇒

|

f 2(x, y)

| ≤ 

(x, y)



Luego, f 1 y  f 2 son acotados.

Si  (x, y)

_∈

Y entonces 

f 1(x, y) = f 1(x, 0) = x = f (x, y)

luego, f 1 extiende a  f.

De manera similar se ve que  f 2 extiende a  f.

Si  (x, y)

_∈

X entonces;

|

f 1(x, y)

|

=

|

x + y

| ≤ |

x

|

+

|

y

|

=

_

(x, y)

_

⇒

|

f 1

| ≤

1 =



f 



⇒

|

f 1

| ≤ 

f 



Si  (x, y)

_∈

Y entonces 

|

f (x, y)

_|

=

_|

f 1(x, y)

|

pues  f 1 extiende a  f 

≤ 

f 1



(x, y)



⇒



f 

_{ ≤ }

f 1



As´ı,



f 

_

=

_

f 1



Hemos visto que  f 1 extiende a  f  y adem´ as, preserva la norma.

De manera similar se verifica para  f 2. Por lo tanto f 1 y  f 2 son extensiones de  f 

distintos las cuales preservan la norma; as´ı,



f 

_

Y  =



f 1



X =



f 2



X

En el Cap´ıtulo 3 referente a la Caracterizaci´on de los espacios estrictamente convexos el teorema 3,9 nos da condiciones que nos permiten asegurar la unicidad de la extensi´on del Teorema de Hahn Banach.

1.3.1. Consecuencias del Teorema de Hahn-Banach

En esta secci´on se expondr´an ciertas consecuencias importantes del teorema de Hahn-Banach. La mayor´ıa de ellas referentes al estudio de funcionales lineales acotados; en particular, se demostrar´a que, fijado un vector x del espacio, siempre existe un funcional lineal acotado que toma en x el valor

_

x

_

.

Teorema 1.4. Sea  E  un espacio normado, M  un subespacio de  E. Si  f 

_∈

M ∗ entonces  existe un funcional  F 

_∈

E ∗ que extiende a  f  y tal que 



F 

_

=

_

f 

_

Demostraci´on. Puesto que por hip´otesis f  es un funcional lineal acotado, entonces, para todo x

_∈

M,

|

f (x)

_{| ≤ }

f 

_

.

_

x

_

Definamos

 p : E 

_→

R _por

 p(x) =

_

f 

_

.

_

x

_

es evidente que las siguientes afirmaciones son ciertas: (1) p(x)

_≥

0 para todo x

_∈

E 

(2) p(x + y)

_≤

p(x) + p(y) para x, y

_∈

E  (3) p(αx) =

_|

α

_|

p(x) para x

_∈

E  y α

_∈

R

As´ı, una vez verificadas ´estas afirmaciones, es claro que p(x) es un funcional sublineal sim´etrico convexo.

Adem´as,

_|

f (x)

_|≤

p(x) para todo x

_∈

M  ya que

|

f (x)

_{|≤ }

f 

_

.

_

x

_

= p(x) para todo x

_∈

M 

Luego, por el Teorema de Hahn-Banach existe F 

_∈

E ∗ que extiende a f  y tal que

Resulta evidente de ac´a que F  es un funcional acotado y que



F 

_{ ≤ }

f 

_

(1.7)

por otro lado:

|

f (x)

_|

=

_|

F (x)

_|

para todo x

_∈

M  (ya que F  extiende a f ). As´ı



f 

_

= sup x=1

|

f (x)

_|

= sup x=1

|

F (x)

_{| ≤}

sup x=1

|

F (x)

_|

=

_

F 

_

de donde se obtiene



f 

_{ ≤ }

F 

_

(1.8)

Por lo tanto de (1.7) y (1.8) concluimos



F 

_

=

_

f 

_

Teorema 1.5. Sea x0

∈

E, x0



= 0. Entonces existe un funcional lineal acotado F 

∈

E ∗

con 

_

F 

_

= 1 tal que 

F (x0) =



x0



Demostraci´on. Consideremos M  = [

_{

x0

}

] y definamos

f  : M 

_→

K

f (x) = α

_

x0



si x = α x0

es evidente que f  es una funcional lineal bien definido. Por otro lado

|

f (x)

_|

=

_|

α

_

x0

 |

=

|

α

| 

x0



=



αx0



=



x



Adem´as



f 

_

= sup x=1

|

f (x)

_|

= sup x=1



x

_

= 1

Por el teorema anterior, existe un funcional f 

_∈

E ∗ que extiende a f  y adem´as



F 

_

=

_

f 

_

= 1 Entonces,

F (x0) = f (x0) =



x0



ya que x0

∈

M y F  extiende a f 

Teorema 1.6. Sean  (X,

_{ · }

) un espacio de Banach y  x

_∈

X. Entonces 



x

_

= sup

_{|

x∗x

_|

: x∗

_∈

BX∗

}

Adem´ as; este supremo es alcanzado en alg´ un punto de  BX∗.

Demostraci´on. Si x = 0, entonces la f´ormula para

_

x

_

es trivialmente cierta y el supremo se alcanza en cada punto de BX∗.

Supongamos entonces que x

_

= 0. Como

|

x∗(x)

_{| ≤ }

x∗

_

x

_{ ≤ }

x

_

siempre que x∗

_∈

BX∗

entonces,



x

_{ ≥}

sup

_{|

x∗(x)

_|

: x∗

_∈

BX∗

}

.

Por el teorema anterior existe x∗₀

_∈

X∗ tal que

_

x₀∗

_

= 1 y x∗₀ =

_

x

_

y as´ı



x

_

= sup

_{|

x∗(x)

_|

: x∗

_∈

BX∗

}