Variables Aleatorias Continuas

(1)

VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 1.

1. Un maestUn maestro ro ununiveiversirsitartario nunca termio nunca termina su ina su claclase antes de se antes de que suenque suene e lala campana y siempre termina su clase a menos de 2 min después de que campana y siempre termina su clase a menos de 2 min después de que suena la campana. Sea

suena la campana. Sea X X = el tiempo que transcurre entre la campana y el = el tiempo que transcurre entre la campana y el

término de clase y suponga que la

término de clase y suponga que la fdp defdp de X X es: es:

   ≤≤ ≤≤ = = manera manera otra otra de de 0 0 2 2 0 0 )) (( 2 2 x x kx kx x x f f a.

a. Encuentre el valor deEncuentre el valor de k k

b.

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase termine a menos de 1 minuto¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase termine a menos de 1 minuto después de que suene la

después de que suene la campana"campana" c.

c. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase contin#e entre $% y &% s después¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase contin#e entre $% y &% s después de que suene la campana"

de que suene la campana" d.

d. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase contin#e por lo menos &% s¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase contin#e por lo menos &% s después de que suene la

después de que suene la campana"campana" 2.

2. Suponga qSuponga que el erroue el error al 'acer r al 'acer cierta medici(n cierta medici(n es unaes una vava continua continua X X con fdp con fdp

   −− −− ≤≤ ≤≤ = = manera manera otra otra de de x x x x x x f f 0 0 2 2 2 2 )) 4 4 (( 09375 09375 .. 0 0 )) (( 2 2 a.

a. )race la grfica de)race la grfica de f f * * x x +.+.

b. b. CalculeCalcule P P * * X X , %+. , %+. c. c. CalculeCalcule P P *-1 *-1  X X  1+  1+ d. d. CalculeCalcule P P * * X X  - %./ o  - %./ o X X , %./+ , %./+ a. a. 0*+= 30*+= 3 xx22 _{d= *}_{d= *} xx33 ₄₅₊₄₅₊

_⇾

_6=5_6=5

_⇾

_=546_=546 b. b. 7*81+= 7*1+=7*81+= 7*1+= 1 1 8 8 x x 3 3 ¿ ¿00 1 1 =%.12/-%=% =%.12/-%=% c. c. 7*1991./+ =7*1991./+ = 1 1 8 8 x x 3 3 ¿ ¿11 1.5 1.5 =%.21-%.12/=%.2&$ =%.21-%.12/=%.2&$ e. e. 7*81./+=7*81./+= 1 1 8 8 x x 3 3 ¿ ¿1.51.5 2 2 =1-%.21=./;& =1-%.21=./;& 5.

5. <a corrien<a corriente de un te de un deterdeterminadminado circuito medo circuito medido por un amper>metido por un amper>metro es unaro es una varia!le aleatoria continua

varia!le aleatoria continua X X con la funci(n de con la funci(n de densidad siguiente:densidad siguiente:

0

0..007755 00..22 33 55 (( ))

0

0 dde e llo o ccoonnttrraarriioo x x xx f f xx == _ + + ≤ ≤ ≤≤  a.

a. ?rafique la funci(n de densidad de pro!a!ilidad para verificar que el rea?rafique la funci(n de densidad de pro!a!ilidad para verificar que el rea !a@o la curva

(2)

b. Calcule P * X ≤ +. ¿C(mo se compara esta pro!a!ilidad con P * X  +"

c. Calcule la pro!a!ilidad P *5./ ≤ X ≤ ./+ y P *./ , X +

. El tiempo X *minutos+ para que un asistente de la!oratorio prepare el equipo

para un eperimento tiene una distri!uci(n uniforme con A = 2/ y B = 5/.

a. Aerifique que f * x + sea una fdp leg>tima.

0*+= 52 *B+

ʃ

-5_d= − 16 ( x+4) 2 = -1$*%-141$+= 1 b. etermine la fda. 1 -16 ( x+4) 2 8%

c. Utilice el resultado del inciso *!+ para calcular la pro!a!ilidad de que el tiempo para la falla sea entre 2 y / aDos.

7*298/+= 0*/+ 0*2+= -1$461 B 1$45$= 2%461 = %.2; d. ¿Cul es el tiempo esperado para la falla"

E*+= 524*B+

ʃ

2_{= 52 *} x

2(_x+4) 2l B F

ʃ

dx

( x+4) 2

E*+= -1$*-14+= 

e. Si el componente tiene un valor de rescate igual a 1%%4* B x + cuando su

tiempo para fallar sea x  ¿cul es el valor esperado de rescate"

E*'*++=

ʃ

100 4+_x

(

x2 ( x+4)3

)

dx E*+= 1$.$;

/. <a fda para X *= error de medici(n+ es











≤

<

≤

−













−

+

−

<

=

x x x x x x F 2 1 2 2 3 4 32 3 2 1 2 0 ) ( 3 a. Calcule P * X  %+ b. Calcule P *-1  X  1+ c. Calcule P *%./  X +

(3)

a. 7*G  %+= 1₂+₃₂3 (4 x− x 3 3 )¿−2 0 =%./-%=%./ !. 7*-1  X  1+= 1 2+ 3 32(4 x− x3 3 )¿−1 1 =%.65;/-%.1/$2/=%.$6;/ c. 7*,%.%/+= 1₂+₃₂3 (4_x− x 3 3 )¿0.05 2 =1-./16;=%.615

$. Sim!olice con X el tiempo que dura un li!ro prestado con fdp







≤

=

manera otra de x x x f 0 2 0 5 . 0 ) ( a. Calcule E * X +. b. Calcule V * X + y .

c. Si a la persona que solicita el li!ro se le co!ra una cantidad h* X + = X 2

cuando la duraci(n del préstamo es X  calcule el co!ro esperado E Hh* X +I.

;. Jvance del )iempoK en flu@o de trnsito es el tiempo transcurrido entre el tiempo en que un autom(vil termina de pasar un punto fi@o y el instante en que el siguiente autom(vil comienLa a pasar por ese punto. Sea G = avance entre dos autom(viles consecutivos elegidos al aLar. Suponga que en un cierto am!iente de trfico la distri!uci(n del tiempo de avance tiene la forma









≤

>

=

1 0 1 ) ( 4 x x x k x f

a. etermine el valor de  para el cual f*+ es una fdp leg>tima. 0*+=4=1-==5

b. M!tenga la funci(n de distri!uci(n acumulada. 0*+=4=14-14=1--5

c. Utilice la fda del inciso *!+ para determinar la pro!a!ilidad de que el avance eceda 2 s y la pro!a!ilidad de que el avance esté entre 2 y 5 s.

(4)

p**  2+ =4=542*2+= %.12;

p*2    5+ = f2-f5=.12;-4=.%5;=.%66

d. M!tenga el valor medio y la desviaci(n estndar del avance. E*+=1/

N= √ ( x−m)2 _{+f*+= %.6$$}

e. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que el avance esté dentro de una desviaci(n estndar del valor medio"

*N42= %.&2/

6. Eprese con X el tiempo para la falla *en aDos+ de cierto componente

'idrulico. Suponga que la fdp de X es f * x + = 524* x B +5 para x 8 %.

f. Aerifique que f * x + sea una fdp leg>tima.

g. etermine la fda.

h. Utilice el resultado del inciso *!+ para calcular la pro!a!ilidad de que el tiempo para la falla sea entre 2 y / aDos.

i. ¿Cul es el tiempo esperado para la falla"

j. Si el componente tiene un valor de rescate igual a 1%%4* B x + cuando su

tiempo para fallar sea x  ¿cul es el valor esperado de rescate"

&. Considere la fdp para el tiempo total de espera Y de dos auto!uses











≤

−

<

≤

=

manera otra de y y y y y f 0 10 5 5 0 ) ( ₂₅1 5 2 25 1

a. Calcule y grafique la fda de Y. *Sugerencia: considere de forma

separada % 9 y  / y / 9 y 9 1% al calcular F *y +. Una grfica de la fdp

podr>a ser #til.+

b. M!tenga una epresi(n para el *1%% p+mo percentil. *Sugerencia:

considere en forma separada %  p  ./ y ./  p  1.

c. Calcule E *Y + y V *Y +. ¿C(mo se comparan con el tiempo esperado y la

varianLa de un solo auto!#s cuando el tiempo es uniformemente distri!uido en [ ]0,5 " a. 0*+= 1 25 ∫ 0 5 ydy= 1 25 O y2 2 = y2 50¿0 5 0*+= ∫ 5 10 2 5 dy - 3 1 25 ydy = 2 5 y - y2 50¿5 10 !.

(5)

c. E*y+ = ∫ 0 5 y 1 25 ydy= 1 75 y 3 ¿0 5 =1$.$$-%=1.$$ E* y2 _{+ =} ∫ 0 5 y2 1 25 ydy= 1 100 y 4 ¿0 5 =$.2/ A*y+ =$.2/ - 2.;/ =5.2/

1%.El dimetro *en cent>metros+ de unos !alines metlicos para uso industrial es una va aleatoria continua X cuya funci(n de densidad de pro!a!ilidad

est dada por:

   − − < < = caso otro cualquier en 0 1 . 1 9 . 0 para 99 . 0 2 ) ( 2 x c cx cx x f

a. M!tenga el valor de la constante c .

b. Palle la media la desviaci(n estndar y la mediana. c. i!u@e la grfica de f * x +

DISTRIBUCIÓN NORMAL

1.¿Cul es la pro!a!ilidad de que el dimetro de un r!ol seleccionado al aLar esté entre / y Sea Z una va normal estndar calcule las siguientes

pro!a!ilidades di!u@ando figuras siempre que sea posi!le. a. P *% 9 Z 9 2.1;+ b. P *% 9 Z 9 1+ c. P *-2./% 9 Z 9 %+ d. P *- 2./% 9 Z 9 2./%+ e. P *Z 9 1.5;+ f. P *- 1.;/ 9 Z + g. P *- 1./% 9 Z 9 2+ h. P *1.5; 9 Z 9 2./%+ i. P *1./% 9 Z + j. P *|Z | 9 2./%+ a+ 7*%9Q921;+. R*2.1;+  R*%+ = %.&6/&  %./%%%= %.6/% !+ 7*%9Q91+. R*1+  R*%+ = %.615-%./%%% = %.515 c+7*2/%9Q9%+. R*%+  R*-2./%+ = %./%%%  %.%%$2 = %.&56 d+7*2/%9Q92/%+. R*2./%+  R*-2./%+ = %.&&56  %.%%$2 = %.&6;$ e+7*Q915;+. R*1.5;+= %.&1; *directo de la ta!la+

f+7*1;/9Q+. 1  R*-1.;/+ = 1  %.%%1 = %.&/&&

g+7*1/%9Q92%%+. R*2+  R*-1./%+ = %.&;;2  %.%$$6 = %.&1% '+ 7*15;9Q92/%+. R*2./%+  R*1.5;+ = %.&&56  %.&1; = %.%;&1 i+ 7*1/%9Q+. 1  R*1./%+ = 1  %.&552 = %.%$$6

(6)

2.Suponga que la fuerLa que act#a so!re una columna que ayuda a sostener un edificio est normalmente distri!uida con media de 1/.% ips y desviaci(n estndar 1.2/ ips. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la fuerLa: a. sea a lo sumo 1; ips"

b. Se encuentre entre 1% y 12 ips" c. difiera de 1/ ips en a lo sumo 2 E" a. 7*91;+ = 7*L9 17−15 1.25 + = R*1.$+ = %.&/2 !. 7*1%9912+ = 7 * 12−15 1.25 8L8 10−15 1.25 + = R*-2.+ - R*-+ = %.%%62-% = %.%%62 c. 7*1/-2N991/B2N+ = 7*12./991;./+ = 7 * 12−15 1.25 8L8 10−15 1.25 + = R*2+ -R*-2+ = %.&;;2-%.%226 = %.&/

5. El art>culo Vonte Carlo Simulation  )ool for Wetter Understanding of <X0K*J. Structural Engr., 1&&5 pp. 1/6$  1/&&+ sugiere que la resistencia

a la ruptura *si+ para acero grado J5$ est normalmente distri!uida con =

5 y = ./.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la resistencia a la ruptura sea a lo sumo %" y ¿mayor de $%"

b. ¿Cul valor de resistencia a la ruptura separa de los otros al ;/Y ms fuerte"

. Suponga que G tiene una distri!uci(n !inomial con parmetro n = 2/ y p. Calcule una de las siguientes pro!a!ilidades usando la aproimaci(n normal *con la correcci(n de continuidad+ para los casos p = %./ %.$ y %.6 y comprelas con las pro!a!ilidades eactas calculadas de la ta!la correspondiente. a. 7*1/ 9 G 9 2%+ 7*1/ 9 G 9 2%+ = 7*G 9 2%+  7*G 9 1/+ = 1-p*1/-2%+*2/+4.6=2.2/=.%5&2

⎟

⎠

b. 7*G 9 1/+ =./42 *1%41/+=.$$2 c. 7*2% 9 G+=1%42=-1%4-142=./%

/. Suponga que 1%Y de todos los e@es de acero producidos por cierto proceso estn fuera de las especificaciones pero que se pueden volver a tra!a@ar *en lugar de tener que enviarlos a la c'atarra+. Considere una muestra aleatoria de 2%% e@es y eprese con X el n#mero de los que estén fuera de las

especificaciones y se puedan volver a tra!a@ar. ¿Cul es la pro!a!ilidad *aproimada+ de que X sea:

a. a lo sumo 5%"

7*95%+= R**5%-2%+416Z%./= %.&&%$ b. Venos de 5%"

(7)

7*92&+= R*2&-2%+416Z%./= %.&65%

$. Cuando se prue!an tar@etas de circuito que se usan en la fa!ricaci(n de reproductores de discos compactos el porcenta@e de defectuosos a largo plaLo es /Y. Suponga que reci!e un lote de 2/% tar@etas y que la condici(n de cualquier tar@eta es independiente de las dems.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad aproimada de que al menos 1%Y de las tar@etas del lote esten defectuosas"

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad aproimada de que 'aya eactamente 1% defectuosas en el lote" n= 2/% p=.%/ [=np=12./ N=5. a. 7*82/+ = 1 - 7*L9 25+0.5−12.5 3.44 ¿ =1-R*2.52+=1-%.&6&6=%.%1%2 !. 7*=1%+ = 7*L9 10+0.5−12.5 3.44 ¿ - 7*L9 9+0.5−12.5 3.44 ¿ =%./6+ - R*-%.6;+=%.261%-%.1&22=%.%666

;. El art>culo Computer Jssisted \et ]eig't ControlK *^uality 7rogress 1&65 pp. 22 -2/+ sugiere una distri!uci(n normal con media de 15;.2 onLas y desviaci(n estndar de 1.$ onLas para el contenido real de frascos de cierto tipo. El contenido esta!lecido era de 15/ onLas.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que un solo frasco contenga ms que el contenido esta!lecido"

b. 7*,+=14 √ 2 Πσ _{*e-_m+242N2=%.122}

c. Entre 1% frascos seleccionados al aLar ¿cul es la pro!a!ilidad de que por lo menos 6 contengan ms del contenido esta!lecido"

7*6+= 14 √ 2 Πσ _{*e-_m+242N2=.566}

d. Si se supone que la media permanece en 15;.2 ¿a qué valor tendr>a que 'a!erse cam!iado la desviaci(n estndar para que &/Y de todos los frascos contengan ms de lo esta!lecido"

6.a. Si una distri!uci(n normal tiene = 2/ y = / ¿cul es el &1no percentil

de la distri!uci(n"

b. ¿Cul es el seto percentil de la distri!uci(n del inciso *a+"

c. El anc'o de una l>nea gra!ada en un c'ip de circuito integrado est normalmente distri!uido con media de 5.%%% m y desviaci(n estndar

%.1/%. ¿^ué valor separa al 1%Y ms anc'o de todas las l>neas del otro &%Y"

&. <a distri!uci(n de resistencia para resistores de cierto tipo es normal 1%Y de los resistores tienen una resistencia que ecede los 1%.2/$ o'ms y /Y

(8)

una resistencia menor de &.$;1 o'ms. ¿Cules son los valores de la media y la desviaci(n estndar de la distri!uci(n de resistencia"

L=*-G+4d d=*1%.2/$-1%.%5&+41.26 d= %.1$& d=*-G+4L = Aalor planteado *1%.2/$+ G=7romedio *1%.%5&+ L=valor de ta!las *1.26+

Con la resistencia menor d=*-G+4L

= Aalor planteado *&.;$1+ d=*&.;$1-1%.%5&+41.$ d= %.1$&

G=7romedio *1%.%5&+ L=valor de ta!las *1.$+

Vedia: 1%.%5& o'ms esviacion estandar: %.1$& o'ms

1%. <a vida de un lser de semiconductores con una alimentaci(n de energ>a constante tiene una distri!uci(n normal con una vida media de ;%%% 'oras y una desviaci(n estndar de $%% 'oras.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que un lser falle antes de /6%% 'oras" 7*/6%%+= */6%%-;%%%+4$%%= R*-2+= %.%226

!. ¿Cul es la vida media en 'oras que ecede &%Y de los lseres" 7= *- ;%%%+4$%%= %.&%

p*Q91.26+=%.&%  -;%%%4$%%= 1.26 = ;;$6 'rs

d. Un producto contiene tres lseres y el producto falla si cualquiera de ellos falla. Suponga que fallan de manera independiente. ¿^ué valor de!er tener la vida media para que &&Y de los productos ecedan 1%%%% 'oras antes de fallar"

Aa

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que un lser falle antes de /6%% 'oras" b. ¿Cul es la vida media en 'oras que ecede &%Y de los lseres"

c. ¿^ué valor de!er tener la vida media para que &&Y de los lseres ecedan 1%%%% 'oras antes de fallar"

d. Un producto contiene tres lseres y el producto falla si cualquiera de ellos falla. Suponga que fallan de manera independiente. ¿^ué valor de!er tener la vida media para que &&Y de los productos ecedan 1%%%% 'oras antes de fallar"

(9)

11. <a dispersi(n de las atomiLaciones de pesticidas es una preocupaci(n constante de los fumigadores y productores agr>colas. <a relaci(n inversa entre el tamaDo de gota y el potencial de deriva es !ien conocido. El art>culo Effects of 2  0ormulation and ^uinclorac on Spray roplet SiLe and epositionK *ee! "echn#l#gy . 2%%/` 1%5%  1%5$+ investig( los efectos de

formulaciones de 'er!icidas en atomiLaciones. Una figura en el art>culo sugiri( que la distri!uci(n normal con media de 1%/% µm y desviaci(n

estndar de 1/% µm fue un modelo raLona!le de tamaDo de gotas de agua

*el tratamiento de controlK+ pulveriLada a través de una !oquilla de ;$% ml4min.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que el tamaDo de una sola gota sea de menos de 1/%% µm" ¿7or lo menos 1%%% µm"

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que el tamaDo de una sola gota este entre 1%%% y 1/%% µm"

c. ¿C(mo caracteriLar>a el 2Y ms pequeDo de todas las gotas"

d. Si se miden los tamaDos de cinco gotas independientemente seleccionadas ¿cul es la pro!a!ilidad de que por lo menos una eceda de 1/%% µm" a. 7*91/%%+ = 7*L9 1500−1050 150 ¿ = R*5+ =% .&&6; !.7*1%%%991/%%+= 7* 1500−1050 150 ≥ z ≥ 1000−1050 150 ¿ =R*5+-R*-.55+=%.&&6;-%.5;%;=%.$26

c. Con una aproimaci(n.

12. <a dureLa Xocell de un metal se determina al golpear con un punto acerado la superficie del metal y después medir la profundidad de penetraci(n del punto. Suponga que la dureLa Xocell de cierta aleaci(n est normalmente distri!uida con media de ;% y desviaci(n estndar de 5 *la dureLa Xocell se mide en una escala continua+.

a. Si un espécimen es acepta!le solo si su dureLa est entre $; y ;/ ¿cul es la pro!a!ilidad de que un espécimen seleccionado al aLar tenga una dureLa acepta!le"

b. Si la escala acepta!le de dureLa es *;%  c  ;% B c + para que valor de c

tendr>a una dureLa acepta!le &/Y de todos los espec>menes"

c. Si la escala acepta!le es como en el inciso *a+ y la dureLa de cada dieL espec>menes seleccionados al aLar se determina independientemente ¿cul es el n#mero esperado de espec>menes acepta!les entre los dieL" d. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que a lo sumo oc'o de dieL espec>menes

seleccionados independientemente tengan una dureLa menor de ;5.6" *Sugerencia: Y = n#mero entre dieL espec>menes con dureLa menor de

;5.6 es una varia!le !inomial` ¿cul es p"+

(10)

1. Eval#e lo siguiente: a. *$+

b. */42+

c. F *`/+ *funci(n gamma incompleta+

d. F */+ e. F *%+ Eval#e lo siguiente: f. *$+ *b+=*b-1+=; g. */42+ *b+=*b-1+=;42

h. 0*`/+ *funci(n gamma incompleta+ i. 0*/+

e. 0 *%+

2. Suponga que cuando un transistor de cierto tipo se somete a una prue!a acelerada de vida #til la duraci(n X *en semanas+ tiene una distri!uci(n

gamma con media de 2 semanas y desviaci(n estndar de 12 semanas. a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que un transistor dure entre 12 y 2

semanas"

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que un transistor dure a lo sumo 2 semanas"

c. ¿Cul es el &&avo percentil de la distri!uci(n de duraci(n"

d. Suponga que la prue!a en realidad termina después t semanas ¿qué

valor de t es tal que solo la mitad del 1Y de todos lo transistores estarn

funcionando al terminar la prue!a"

5. <as llamadas part>culas *o rayos+ β son en realidad electrones ordinarios

epulsados de manera ecepcional del n#cleo de algunos tomos de ciertos elementos radiactivos. ic'as part>culas @ams eisten como tales dentro del n#cleo paro a veces llegan a crearse durante las transformaciones nucleares pudiendo escapar a grandes velocidades para ser detectadas en una placa fotogrfica. Si una pequeDa porci(n de un elemento radiactivo epulsa en promedio  part>culas β por segundo calcule la pro!a!ilidad de

que transcurran:

a. Vs de dos segundos para que se emitan dos part>culas β`

b. Venos de tres segundos para que se emitan 1% part>culas β.

HSugerencia: suponga que el tiempo de emisi(n de de dic'as part>culas

sigue una distri!uci(n gamma.]

a. 7*+=0*242+=%./&

(11)

. Considere la tasa de falla de un componente eléctrico de una veL cada / 'oras. Es importante considerar el tiempo que transcurre para la falla de dos componentes.

a. Suponiendo que se aplica una distri!uci(n gamma ¿cul es el tiempo medio que transcurre para la falla de dos componentes"

E*G+= *2+*/+=1%

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que transcurran 12 'oras antes de que fallen dos componentes"

0*1242 /+= *$/+= %.;1/

/. En cierta ciudad el consumo de energ>a eléctrica diario en millones de iloatts-'ora es una varia!le aleatoria X que tiene una distri!uci(n gamma

con media µ = $ y varianLa σ2 = 12.

a. Encuentre los valores de α y β.

0*1;/`&16%+ = 1-175 180¿ 9 −¿ e¿ =%./5

b. Encuentre la pro!a!ilidad de que en cualquier d>a dado el consumo de energ>a diario eceda los 12 millones de iloatts-'ora.

0*1/%991;/+=* 175/80¿9 −¿ 9 1809∗ 1758∗_e¿ +- * 150/80¿9 −¿ 9 1809∗ 1508∗_e¿ +=%.%165-%.%%&/=%.%%66 c. !. %.%%66O2=.%1;$

$. El art>culo etermination of t'e V07 of 7ositive 7'otoresists Using t'e Vonte Carlo Vet'odK *Ph#t#graphic Sci. an! Engr. 1&65 pp. 2/  2$%+

propone la distri!uci(n eponencial con parmetro = %.&5 como modelo

para la distri!uci(n de la longitud *m+ de la trayectoria li!re de un fot(n !a@o

ciertas circunstancias. Suponga que el modelo es correcto.

a. ¿Cul es la longitud esperada de la trayectoria y cul es la desviaci(n estndar de la longitud de la trayectoria"

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la longitud de la trayectoria eceda 5.%" ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la longitud de la trayectoria se encuentre entre 1.% y 5.%"

(12)

c. ¿Cul valor se re!asa por solo 1%Y en todas las longitudes de la trayectoria"

;. Un componente tiene duraci(n X eponencialmente distri!uida con

parmetro λ.

a. Si el costo de operaci(n por unidad de tiempo es c  ¿cul es el costo

esperado de operar este componente en su vida #til"

b. En lugar de un valor constante de costo c  como en el inciso *a+ suponga

que el costo es c *1- %./eax + con _a , % de modo que el costo por unidad de tiempo es menor que c cuando el componente es nuevo y ms costoso

a medida que el componente enve@ece. J'ora calcule el costo esperado de operaci(n durante la vida #til del componente.

.E*+ = 14 λ

⇾

c=14 λ

⇾

=14c E*+

⇾

=14c*1-%./ eax ₊

6. Un mecanismo de aire acondicionado funciona con !ase en cinco componentes independientes y la vida #til de cada uno sigue una distri!uci(n eponencial con parmetro 5

1

=

λ

*en aDos+. 7ara que el mecanismo de aire acondicionado funcione se requiere que por lo menos dos de sus cinco componentes a#n sirvan. Calcule la pro!a!ilidad de que el mecanismo de aire acondicionado contin#e funcionando después de 6 aDos. 7*6`%.2+= 1  e-%.2*6+_{= %.;&61}

&. Seg#n un reporte del peri(dico Uno Vs Uno *octu!re de 1&&6+ muc'os funcionarios y servidores p#!licos del go!ierno meicano ocupan la mayor>a de sus 'oras de tra!a@o 'aciendo llamadas telef(nicas personales. Suponga que la duraci(n de las conferencias telef(nicas personales de una funcionaria de la Secretaria de ?o!ernaci(n es una varia!le aleatoria G que sigue una distri!uci(n eponencial con parmetro λ = %.%12 *en minutos+.

Calcule:

a. <a duraci(n promedio de una conversaci(n telef(nica de esta funcionaria. 0=

ƛ

e− ƛx

0=1- e− ƛx=.011_minutos

b. <a desviaci(n estndar de la duraci(n de una llamada. N2=142=14*.%12+=65.55

c. <a pro!a!ilidad de que una conversaci(n telef(nica dura ms de /% minutos.

0=

ƛ

e− ƛx

7*=/%+=1- e− ƛx=¿ _./11

(13)

7*=5%+= 1- e− ƛx=¿ _.5%2

1%.Seg#n un reporte del peri(dico $n# %&' $n# *octu!re de 1&&6+ muc'os

funcionarios y servidores p#!licos del go!ierno meicano ocupan la mayor>a de sus 'oras de tra!a@o 'aciendo llamadas telef(nicas personales. Suponga que la duraci(n de las conferencias telef(nicas personales de una funcionaria de la Secretaria de ?o!ernaci(n es una varia!le aleatoria X que

sigue una distri!uci(n eponencial con parmetro λ = %.%12 *en minutos+.

Calcule:

a. <a duraci(n promedio de una conversaci(n telef(nica de esta funcionaria. b. <a desviaci(n estndar de la duraci(n de una llamada.

c. <a pro!a!ilidad de que una conversaci(n telef(nica dura ms de /% minutos.

d. <a pro!a!ilidad de que dure a lo sumo 5% minutos.

11.En una universidad 'ay un grupo de cinco estudiantes de ingenier>a petrolera que presentaran un eamen de termodinmica de manera individual. 7ara cualquiera de ellos se estima que el tiempo promedio de soluci(n del eamen es de 1' 2% min y adems la distri!uci(n del tiempo se asume que es eponencial. Si el eamen inici( a las &:%% a.m. calcule la pro!a!ilidad de que:

a. 7or lo menos un estudiante logre terminar el eamen antes de las &:% a.m.

b. Entre dos y cuatro estudiantes inclusive terminen el eamen en el lapso comprendido entre las &:/% y 1%:%% a.m.

c. etermine el n#mero ms pro!a!le de estudiantes que terminaran el eamen antes de las 1%:1% a.m.

d. ¿Considera que la 'ip(tesis de la distri!uci(n eponencial es un modelo adecuado para el tiempo de soluci(n de un eamen"

DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL

1. En cierta ciudad el consumo de energ>a eléctrica diario en millones de iloatts-'ora es una varia!le aleatoria X que tiene una distri!uci(n gamma

con media = ./ y = %.6.

a. Encuentre los valores de α y β.

b. Encuentre la pro!a!ilidad de que en cualquier d>a dado el consumo de energ>a diario eceda los 12 millones de iloatts-'ora.

2. Sea X = la mediana de la potencia 'oraria *en deci!elios+ de seDales de

radio que se transmiten y reci!en entre dos ciudades. <os autores del art>culo 0amilies of istri!utions for Pourly Vedian 7oer and nstantaneous 7oer of Xeceived Xadio SignalsK *J. (e'earch )atinal Bereau #f Stan!ar' vol. $; 1&$5 pp. ;/5  ;$2+ argumentan que la

distri!uci(n lognormal es un modelo de pro!a!ilidad raLona!le para X . Si los

valores de los parmetros son = 5./ y = 1.2 calcule lo siguiente:

(14)

E*G+= eZ[BN2₄₂

E*G+= e5./ B 1.22_{42 = $6.%5}

A*G+= e2*5./+ B 1.2Z2_*e1.2Z2_-1+

A*G+= $51.;;/$

esviacion estndar= $6.%/

b. <a pro!a!ilidad de que la potencia reci!ida esté entre /% y 2/% dW.

7*2/%+= *ln12/%-5./+4 1.2= *1.$6+= %.&/5/ 7*/%+

ᵩ

= %.&/5/  %.$551= %.52%

c. <a pro!a!ilidad de que X sea menor que su valor medio. ¿7or qué esa

pro!a!ilidad no es %./"

7*G$6+= *ln$6-5./+41.2= %./&&/

5. Una @ustificaci(n te(rica !asada en el mecanismo de falla de cierto material sirve de fundamento a la suposici(n de que la resistencia a la ductilidad X

de un material tiene una distri!uci(n lognormal. Suponga que los parmetros son µ = / y σ = %.1

a. Calcule E * X + y V * X +.

b. Calcule P * X, 12%+.

c. Calcule P *11% 9 X 9 15%+.

d. Si dieL muestras diferentes de una aleaci(n de acero de ese tipo se someten a una prue!a de resistencia ¿cuntas de!er>a esperarse que tuvieran resistencia de por lo menos 12%"

e. Si fueran /Y de los valores ms pequeDos de resistencia inacepta!les ¿cul ser>a la resistencia m>nima acepta!le"

. El art>culo )'e Statistics of 7'ytotoic Jir 7ollutantsK *. Xoyal Stat. Soc. 1&6& pp. 165  1&6+ sugiere la distri!uci(n lognormal como un modelo para la concentraci(n de SM2 so!re cierto !osque. Suponga que los parmetros

son = 1.& y = %.&.

a. ¿Cules son el valor medio y la desviaci(n estndar de la concentraci(n"

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la concentraci(n sea a lo sumo 1%" ¿Entre / y 1%"

7*G1%+=14 √ 2_ΠXO _{e*-<\G-[+242h2 =.o6&2}

7*/G1%+ =01%-0/=.%6&2-14 √ 2_Π 5.9 _{e*-<\/-1.&42*.&+*2 +=. .%6/55=.%56$}

/. Se sa!e que la tasa promedio de uso de agua *miles de litros por 'ora+ en cierta comunidad implica una distri!uci(n logar>tmica normal con parmetros

(15)

µ = / y σ = 2./ Es importante para prop(sitos de planeaci(n o!tener una

apreciaci(n de los per>odos de alta utiliLaci(n.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que para cualquier 'ora dada se usen a lo sumo /% %%% litros de agua"

¿Cul es la pro!a!ilidad de que se usen entre 5% %%% y /% %%%"

c. ¿Cul es el valor esperado de galones de agua que se usan en cualquier 'ora dada"

d. En un per>odo de 1/ 'oras ¿urante cuantas 'oras se esperar>a que se usaran a lo sumo 1% %%%"

DISTRIBUCIÓN !EIBULL

1. <a vida #til X *en cientos de 'oras+ de cierto tipo de tu!os al vac>o tiene una

distri!uci(n de ]ei!ull con parmetros α = 2 y β = 5. Calcule lo siguiente:

a. E * X + y V * X +

b. P * X ≤ $+

c. P */ ≤ X ≤ $+

2.los autores del art>culo J 7ro!a!ilistic nsulation <ife Vodel for Com!ined )'ermal-Electrical StressesK *EEE )rans. Mn Elect. nsulation 1&6/: /1&  /22+ epresan que la distri!uci(n de ]ei!ull se utiliLa ampliamente en pro!lemas de estad>stica relacionados con la o!solescencia de materiales aislantes s(lidos su@etos a enve@ecimiento y esfuerLo. 7roponen el uso de la distri!uci(n como modelo para el tiempo *en 'oras+ 'asta que fallan espec>menes aislantes s(lidos sometidos a un volta@e de CJ. <os valores de los parmetros dependen del volta@e y la temperatura` suponga α = 2./ y β =

2%% *los datos de este art>culo indican estos valores+.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la vida #til de un espécimen sea a lo sumo 2%%" ¿Venos de 2%%" ¿Vas de 5%%"

P( X =200)= α α ᵝ x α −1 e−( x ᵝ )α = 1-e-*4!+a=.$521 7*,5%%+= _ᵝα _αxα −1e −( x ᵝ )α = 1-e-*4!+a= .&5$

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la vida #til de un espécimen esté entre 1%% y 2%%" 7*1%%2%%+= _ᵝα _αxα −1e−( x ᵝ )α = 1-e-*4!+a=.$521- _ᵝα _αxα −1e−( x ᵝ )α = 1-e-*4!+a=.$52-.1$2=.;%

2. Suponga que la vida de servicio en aDos de la !ater>a de un aparato para sordos es una varia!le aleatoria que tiene una distri!uci(n de ]ei!ull con α

= 2 y β = 2.

(16)

E*+=2-1_{ *1B142+= %.51}

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que tal !ater>a esté en operaci(n después de 2 aDos"

7*82+= 1-e-₂2_{42= %.$521}

5. Sea X la resistencia a la tensi(n *si+ a  2%%hC de un espécimen de acero

de acero de cierto tipo que e'i!e fragilidad en fr>oK a !a@as temperaturas. Suponga que X tiene una distri!uci(n de ]ei!ull con α = 2% y β = 1%%.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que X sea a lo sumo 1%/ si"

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la resistencia se encuentre entre 1%% y 1%/ si"

c. ¿Cul es la mediana de la distri!uci(n de resistencia"

. En el art>culo Xesponse of SiCf 4Si5\ Composites Under Static and Cyclic

<oading  Jn Eperimental and Statistical JnalysisK *J. Engr. %aterial' an! "echn#l#gy, 1&&;: 16$  1&5+ se sugiere que la resistencia a la tensi(n en

V7a de materiales compuestos !a@o las condiciones especificadas se puede modelar mediante una distri!uci(n de ]ei!ull con α = & y β = 16%.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la resistencia de un espécimen seleccionado al aLar sea mayor de 1;/" ¿e que esté entre 1/% y 1;/" b. Si se escogen al aLar dos espec>menes y sus resistencias son

independientes entre s> ¿cul es la pro!a!ilidad de que al menos uno tenga resistencia entre 1/% y 1;/"

c. ¿^ué valor de resistencia separa al 1%Y ms dé!il de espec>menes del &%Y restante"