Variables Aleatorias Continuas

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VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 1.

1. Un maestUn maestro ro ununiveiversirsitartario nunca termio nunca termina su ina su claclase antes de se antes de que suenque suene e lala campana y siempre termina su clase a menos de 2 min después de que campana y siempre termina su clase a menos de 2 min después de que suena la campana. Sea

suena la campana. Sea X  X  = el tiempo que transcurre entre la campana y el = el tiempo que transcurre entre la campana y el

término de clase y suponga que la

término de clase y suponga que la fdp defdp de X  X  es: es:

   ≤≤ ≤≤ = = manera manera otra otra de de 0 0 2 2 0 0 )) (( 2 2  x  x kx kx  x  x  f    f   a.

a. Encuentre el valor deEncuentre el valor de k k 

b.

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase termine a menos de 1 minuto¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase termine a menos de 1 minuto después de que suene la

después de que suene la campana"campana" c.

c. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase contin#e entre $% y &% s después¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase contin#e entre $% y &% s después de que suene la campana"

de que suene la campana" d.

d. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase contin#e por lo menos &% s¿Cul es la pro!a!ilidad de que la clase contin#e por lo menos &% s después de que suene la

después de que suene la campana"campana" 2.

2. Suponga qSuponga que el erroue el error al 'acer r al 'acer cierta medici(n cierta medici(n es unaes una vava continua continua X  X  con fdp con fdp

   −− −− ≤≤ ≤≤ = = manera manera otra otra de de  x  x  x  x  x  x  f    f   0 0 2 2 2 2 )) 4 4 (( 09375 09375 .. 0 0 )) (( 2 2 a.

a. )race la grfica de)race la grfica de f f  * * x  x +.+.

b. b. CalculeCalcule P P  * * X  X  , %+. , %+. c. c. CalculeCalcule P P *-1 *-1  X  X   1+  1+ d. d. CalculeCalcule P P  * * X  X   - %./ o  - %./ o X  X  , %./+ , %./+ a. a. 0*+= 30*+= 3 xx22 d= *d= * xx33 45+45+

 6=5 6=5

 =546 =546 b. b. 7*81+= 7*1+=7*81+= 7*1+= 1 1 8 8 x x 3 3 ¿ ¿00 1 1 =%.12/-%=% =%.12/-%=% c. c. 7*1991./+ =7*1991./+ = 1 1 8 8 x x 3 3 ¿ ¿11 1.5 1.5 =%.21-%.12/=%.2&$ =%.21-%.12/=%.2&$ e. e. 7*81./+=7*81./+= 1 1 8 8 x x 3 3 ¿ ¿1.51.5 2 2 =1-%.21=./;& =1-%.21=./;& 5.

5. <a corrien<a corriente de un te de un deterdeterminadminado circuito medo circuito medido por un amper>metido por un amper>metro es unaro es una varia!le aleatoria continua

varia!le aleatoria continua X  X  con la funci(n de  con la funci(n de densidad siguiente:densidad siguiente:

0

0..007755 00..22 33 55 (( ))

0

0 dde e llo o ccoonnttrraarriioo  x  x xx  f  f xx ==   + + ≤ ≤ ≤≤  a.

a. ?rafique la funci(n de densidad de pro!a!ilidad para verificar que el rea?rafique la funci(n de densidad de pro!a!ilidad para verificar que el rea !a@o la curva

(2)

b. Calcule P * X ≤ +. ¿C(mo se compara esta pro!a!ilidad con P * X   +"

c. Calcule la pro!a!ilidad P *5./ ≤ X ≤ ./+ y P *./ , X +

. El tiempo X  *minutos+ para que un asistente de la!oratorio prepare el equipo

para un eperimento tiene una distri!uci(n uniforme con A = 2/ y B = 5/.

a. Aerifique que f * x + sea una fdp leg>tima.

0*+= 52 *B+

 ʃ 

-5d= − 16 ( x+4) 2 = -1$*%-141$+= 1 b. etermine la fda. 1 -16 ( x+4) 2 8%

c. Utilice el resultado del inciso *!+ para calcular la pro!a!ilidad de que el tiempo para la falla sea entre 2 y / aDos.

7*298/+= 0*/+ 0*2+= -1$461 B 1$45$= 2%461 = %.2; d. ¿Cul es el tiempo esperado para la falla"

E*+= 524*B+

 ʃ 

2 = 52 *  x

2( x+4) 2l B F

 ʃ 

dx

( x+4) 2

E*+= -1$*-14+= 

e. Si el componente tiene un valor de rescate igual a 1%%4* B x + cuando su

tiempo para fallar sea x  ¿cul es el valor esperado de rescate"

 E*'*++=

 ʃ 

100 4+ x

(

x2 ( x+4)3

)

dx E*+= 1$.$;

/. <a fda para X  *= error de medici(n+ es

<

 

 

 

 



 

 

+

<

=

 x  x  x  x  x  x  F  2 1 2 2 3 4 32 3 2 1 2 0 ) ( 3 a. Calcule P * X   %+ b. Calcule P *-1  X   1+ c. Calcule P *%./  X +

(3)

a. 7*G  %+= 12+323 (4 x− x 3 3 )¿−2 0 =%./-%=%./ !. 7*-1  X   1+= 1 2+ 3 32(4 x−  x3 3 )¿−1 1 =%.65;/-%.1/$2/=%.$6;/ c. 7*,%.%/+= 12+323 (4 x− x 3 3 )¿0.05 2 =1-./16;=%.615

$. Sim!olice con X  el tiempo que dura un li!ro prestado con fdp

=

manera otra de  x  x  x  f   0 2 0 5 . 0 ) ( a. Calcule E * X +. b. Calcule V * X + y .

c. Si a la persona que solicita el li!ro se le co!ra una cantidad h* X + = X 2

cuando la duraci(n del préstamo es X  calcule el co!ro esperado E  Hh* X +I.

;. Jvance del )iempoK en flu@o de trnsito es el tiempo transcurrido entre el tiempo en que un autom(vil termina de pasar un punto fi@o y el instante en que el siguiente autom(vil comienLa a pasar por ese punto. Sea G = avance entre dos autom(viles consecutivos elegidos al aLar. Suponga que en un cierto am!iente de trfico la distri!uci(n del tiempo de avance tiene la forma



>

=

1 0 1 ) ( 4  x  x  x k   x  f  

a. etermine el valor de  para el cual f*+ es una fdp leg>tima. 0*+=4=1-==5

b. M!tenga la funci(n de distri!uci(n acumulada. 0*+=4=14-14=1--5

c. Utilice la fda del inciso *!+ para determinar la pro!a!ilidad de que el avance eceda 2 s y la pro!a!ilidad de que el avance esté entre 2 y 5 s.

(4)

p**  2+ =4=542*2+= %.12;

p*2    5+ = f2-f5=.12;-4=.%5;=.%66

d. M!tenga el valor medio y la desviaci(n estndar del avance. E*+=1/

N= √ ( x−m)2 +f*+= %.6$$

e. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que el avance esté dentro de una desviaci(n estndar del valor medio"

*N42= %.&2/

6. Eprese con  X   el tiempo para la falla *en aDos+ de cierto componente

'idrulico. Suponga que la fdp de X  es f * x + = 524* x  B +5 para x  8 %.

f. Aerifique que f * x + sea una fdp leg>tima.

g. etermine la fda.

h. Utilice el resultado del inciso *!+ para calcular la pro!a!ilidad de que el tiempo para la falla sea entre 2 y / aDos.

i. ¿Cul es el tiempo esperado para la falla"

 j. Si el componente tiene un valor de rescate igual a 1%%4* B x + cuando su

tiempo para fallar sea x  ¿cul es el valor esperado de rescate"

&. Considere la fdp para el tiempo total de espera Y  de dos auto!uses

<

=

manera otra de  y  y  y  y  y  f   0 10 5 5 0 ) ( 251 5 2 25 1

a. Calcule y grafique la fda de Y. *Sugerencia: considere de forma

separada % 9 y   / y / 9 y  9 1% al calcular F *y +. Una grfica de la fdp

podr>a ser #til.+

b. M!tenga una epresi(n para el *1%% p+mo percentil. *Sugerencia:

considere en forma separada %  p  ./ y ./  p  1.

c. Calcule E *Y + y V *Y +. ¿C(mo se comparan con el tiempo esperado y la

varianLa de un solo auto!#s cuando el tiempo es uniformemente distri!uido en [ ]0,5 " a. 0*+= 1 25 ∫ 0 5 ydy= 1 25 O y2 2 = y2 50¿0 5   0*+=  ∫ 5 10 2 5 dy - 3 1 25 ydy = 2 5 y - y2 50¿5 10 !.

(5)

c. E*y+ = ∫ 0 5 y 1 25 ydy= 1 75 y 3 ¿0 5 =1$.$$-%=1.$$ E* y2 + = ∫ 0 5  y2 1 25 ydy= 1 100 y 4 ¿0 5 =$.2/ A*y+ =$.2/ - 2.;/ =5.2/

1%.El dimetro *en cent>metros+ de unos !alines metlicos para uso industrial es una va  aleatoria continua X  cuya funci(n de densidad de pro!a!ilidad

est dada por:

   − − < < = caso otro cualquier en 0 1 . 1 9 . 0  para 99 . 0 2 ) ( 2  x c cx cx  x  f  

a. M!tenga el valor de la constante c .

b. Palle la media la desviaci(n estndar y la mediana. c. i!u@e la grfica de f * x +

DISTRIBUCIÓN NORMAL

1.¿Cul es la pro!a!ilidad de que el dimetro de un r!ol seleccionado al aLar  esté entre / y Sea Z   una va normal estndar calcule las siguientes

pro!a!ilidades di!u@ando figuras siempre que sea posi!le. a. P *% 9 Z  9 2.1;+ b. P *% 9 Z  9 1+ c. P *-2./% 9 Z  9 %+ d. P *- 2./% 9 Z  9 2./%+ e. P *Z  9 1.5;+ f. P *- 1.;/ 9 Z + g. P *- 1./% 9 Z  9 2+ h. P *1.5; 9 Z  9 2./%+ i. P *1./% 9 Z +  j. P *|Z | 9 2./%+ a+ 7*%9Q921;+. R*2.1;+  R*%+ = %.&6/&  %./%%%= %.6/% !+ 7*%9Q91+. R*1+  R*%+ = %.615-%./%%% = %.515 c+7*2/%9Q9%+. R*%+  R*-2./%+ = %./%%%  %.%%$2 = %.&56 d+7*2/%9Q92/%+. R*2./%+  R*-2./%+ = %.&&56  %.%%$2 = %.&6;$ e+7*Q915;+. R*1.5;+= %.&1; *directo de la ta!la+

f+7*1;/9Q+. 1  R*-1.;/+ = 1  %.%%1 = %.&/&&

g+7*1/%9Q92%%+. R*2+  R*-1./%+ = %.&;;2  %.%$$6 = %.&1% '+ 7*15;9Q92/%+. R*2./%+  R*1.5;+ = %.&&56  %.&1; = %.%;&1 i+ 7*1/%9Q+. 1  R*1./%+ = 1  %.&552 = %.%$$6

(6)

2.Suponga que la fuerLa que act#a so!re una columna que ayuda a sostener  un edificio est normalmente distri!uida con media de 1/.% ips y desviaci(n estndar 1.2/ ips. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la fuerLa: a. sea a lo sumo 1; ips"

b. Se encuentre entre 1% y 12 ips" c. difiera de 1/ ips en a lo sumo 2 E" a. 7*91;+ = 7*L9 17−15 1.25 + = R*1.$+ = %.&/2 !. 7*1%9912+ = 7 * 12−15 1.25 8L8 10−15 1.25 + = R*-2.+ - R*-+ = %.%%62-% = %.%%62 c. 7*1/-2N991/B2N+ = 7*12./991;./+ = 7 * 12−15 1.25 8L8 10−15 1.25 + = R*2+ -R*-2+ = %.&;;2-%.%226 = %.&/

5. El art>culo Vonte Carlo Simulation  )ool for Wetter Understanding of  <X0K*J. Structural Engr., 1&&5 pp. 1/6$  1/&&+ sugiere que la resistencia

a la ruptura *si+ para acero grado J5$ est normalmente distri!uida con =

5 y = ./.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la resistencia a la ruptura sea a lo sumo %" y ¿mayor de $%"

b. ¿Cul valor de resistencia a la ruptura separa de los otros al ;/Y ms fuerte"

. Suponga que G tiene una distri!uci(n !inomial con parmetro n = 2/ y p. Calcule una de las siguientes pro!a!ilidades usando la aproimaci(n normal *con la correcci(n de continuidad+ para los casos p = %./ %.$ y %.6 y comprelas con las pro!a!ilidades eactas calculadas de la ta!la correspondiente. a. 7*1/ 9 G 9 2%+ 7*1/ 9 G 9 2%+ = 7*G 9 2%+  7*G 9 1/+ = 1-p*1/-2%+*2/+4.6=2.2/=.%5&2

b. 7*G 9 1/+ =./42 *1%41/+=.$$2 c. 7*2% 9 G+=1%42=-1%4-142=./%

/. Suponga que 1%Y de todos los e@es de acero producidos por cierto proceso estn fuera de las especificaciones pero que se pueden volver a tra!a@ar *en lugar de tener que enviarlos a la c'atarra+. Considere una muestra aleatoria de 2%% e@es y eprese con  X   el n#mero de los que estén fuera de las

especificaciones y se puedan volver a tra!a@ar. ¿Cul es la pro!a!ilidad *aproimada+ de que X  sea:

a. a lo sumo 5%"

7*95%+= R**5%-2%+416Z%./= %.&&%$ b. Venos de 5%"

(7)

7*92&+= R*2&-2%+416Z%./= %.&65%

$. Cuando se prue!an tar@etas de circuito que se usan en la fa!ricaci(n de reproductores de discos compactos el porcenta@e de defectuosos a largo plaLo es /Y. Suponga que reci!e un lote de 2/% tar@etas y que la condici(n de cualquier tar@eta es independiente de las dems.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad aproimada de que al menos 1%Y de las tar@etas del lote esten defectuosas"

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad aproimada de que 'aya eactamente 1% defectuosas en el lote" n= 2/% p=.%/ [=np=12./ N=5. a. 7*82/+ = 1 - 7*L9 25+0.5−12.5 3.44 ¿ =1-R*2.52+=1-%.&6&6=%.%1%2 !. 7*=1%+ = 7*L9 10+0.5−12.5 3.44 ¿ - 7*L9 9+0.5−12.5 3.44 ¿ =%./6+ - R*-%.6;+=%.261%-%.1&22=%.%666

;. El art>culo Computer Jssisted \et ]eig't ControlK *^uality 7rogress 1&65 pp. 22 -2/+ sugiere una distri!uci(n normal con media de 15;.2 onLas y desviaci(n estndar de 1.$ onLas para el contenido real de frascos de cierto tipo. El contenido esta!lecido era de 15/ onLas.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que un solo frasco contenga ms que el contenido esta!lecido"

b. 7*,+=14 √ 2 Πσ  *e-_m+242N2=%.122

c. Entre 1% frascos seleccionados al aLar ¿cul es la pro!a!ilidad de que por lo menos 6 contengan ms del contenido esta!lecido"

7*6+= 14 √ 2 Πσ  *e-_m+242N2=.566

d. Si se supone que la media permanece en 15;.2 ¿a qué valor tendr>a que 'a!erse cam!iado la desviaci(n estndar para que &/Y de todos los frascos contengan ms de lo esta!lecido"

6.a. Si una distri!uci(n normal tiene = 2/ y = / ¿cul es el &1no percentil

de la distri!uci(n"

b. ¿Cul es el seto percentil de la distri!uci(n del inciso *a+"

c.  El anc'o de una l>nea gra!ada en un c'ip de circuito integrado est normalmente distri!uido con media de 5.%%% m y desviaci(n estndar 

%.1/%. ¿^ué valor separa al 1%Y ms anc'o de todas las l>neas del otro &%Y"

&. <a distri!uci(n de resistencia para resistores de cierto tipo es normal 1%Y de los resistores tienen una resistencia que ecede los 1%.2/$ o'ms y /Y

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una resistencia menor de &.$;1 o'ms. ¿Cules son los valores de la media y la desviaci(n estndar de la distri!uci(n de resistencia"

L=*-G+4d d=*1%.2/$-1%.%5&+41.26 d= %.1$& d=*-G+4L = Aalor planteado *1%.2/$+ G=7romedio *1%.%5&+ L=valor de ta!las *1.26+

Con la resistencia menor d=*-G+4L

= Aalor planteado *&.;$1+ d=*&.;$1-1%.%5&+41.$ d= %.1$&

G=7romedio *1%.%5&+ L=valor de ta!las *1.$+

Vedia: 1%.%5& o'ms esviacion estandar: %.1$& o'ms

1%. <a vida de un lser de semiconductores con una alimentaci(n de energ>a constante tiene una distri!uci(n normal con una vida media de ;%%% 'oras y una desviaci(n estndar de $%% 'oras.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que un lser falle antes de /6%% 'oras" 7*/6%%+= */6%%-;%%%+4$%%= R*-2+= %.%226

!. ¿Cul es la vida media en 'oras que ecede &%Y de los lseres" 7= *- ;%%%+4$%%= %.&%

p*Q91.26+=%.&%  -;%%%4$%%= 1.26 = ;;$6 'rs

d. Un producto contiene tres lseres y el producto falla si cualquiera de ellos falla. Suponga que fallan de manera independiente. ¿^ué valor  de!er tener la vida media para que &&Y de los productos ecedan 1%%%% 'oras antes de fallar"

Aa

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que un lser falle antes de /6%% 'oras" b. ¿Cul es la vida media en 'oras que ecede &%Y de los lseres"

c. ¿^ué valor de!er tener la vida media para que &&Y de los lseres ecedan 1%%%% 'oras antes de fallar"

d. Un producto contiene tres lseres y el producto falla si cualquiera de ellos falla. Suponga que fallan de manera independiente. ¿^ué valor de!er tener la vida media para que &&Y de los productos ecedan 1%%%% 'oras antes de fallar"

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11. <a dispersi(n de las atomiLaciones de pesticidas es una preocupaci(n constante de los fumigadores y productores agr>colas. <a relaci(n inversa entre el tamaDo de gota y el potencial de deriva es !ien conocido. El art>culo Effects of 2  0ormulation and ^uinclorac on Spray roplet SiLe and epositionK *ee! "echn#l#gy . 2%%/` 1%5%  1%5$+ investig( los efectos de

formulaciones de 'er!icidas en atomiLaciones. Una figura en el art>culo sugiri( que la distri!uci(n normal con media de 1%/% µm y desviaci(n

estndar de 1/% µm fue un modelo raLona!le de tamaDo de gotas de agua

*el tratamiento de controlK+ pulveriLada a través de una !oquilla de ;$% ml4min.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que el tamaDo de una sola gota sea de menos de 1/%% µm" ¿7or lo menos 1%%% µm"

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que el tamaDo de una sola gota este entre 1%%% y 1/%% µm"

c. ¿C(mo caracteriLar>a el 2Y ms pequeDo de todas las gotas"

d. Si se miden los tamaDos de cinco gotas independientemente seleccionadas ¿cul es la pro!a!ilidad de que por lo menos una eceda de 1/%% µm" a. 7*91/%%+ = 7*L9 1500−1050 150 ¿ = R*5+ =% .&&6; !.7*1%%%991/%%+= 7* 1500−1050 150 ≥ z ≥  1000−1050 150 ¿ =R*5+-R*-.55+=%.&&6;-%.5;%;=%.$26

c. Con una aproimaci(n.

12. <a dureLa Xocell de un metal se determina al golpear con un punto acerado la superficie del metal y después medir la profundidad de penetraci(n del punto. Suponga que la dureLa Xocell de cierta aleaci(n est normalmente distri!uida con media de ;% y desviaci(n estndar de 5 *la dureLa Xocell se mide en una escala continua+.

a. Si un espécimen es acepta!le solo si su dureLa est entre $; y ;/ ¿cul es la pro!a!ilidad de que un espécimen seleccionado al aLar tenga una dureLa acepta!le"

b. Si la escala acepta!le de dureLa es *;%  c  ;% B c + para que valor de c 

tendr>a una dureLa acepta!le &/Y de todos los espec>menes"

c. Si la escala acepta!le es como en el inciso *a+ y la dureLa de cada dieL espec>menes seleccionados al aLar se determina independientemente ¿cul es el n#mero esperado de espec>menes acepta!les entre los dieL" d. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que a lo sumo oc'o de dieL espec>menes

seleccionados independientemente tengan una dureLa menor de ;5.6" *Sugerencia: Y  = n#mero entre dieL espec>menes con dureLa menor de

;5.6 es una varia!le !inomial` ¿cul es p"+

(10)

1. Eval#e lo siguiente: a. *$+

b. */42+

c. F *`/+ *funci(n gamma incompleta+

d. F */+ e. F  *%+ Eval#e lo siguiente: f. *$+ *b+=*b-1+=; g. */42+ *b+=*b-1+=;42

h. 0*`/+ *funci(n gamma incompleta+ i. 0*/+

e. 0 *%+

2. Suponga que cuando un transistor de cierto tipo se somete a una prue!a acelerada de vida #til la duraci(n X  *en semanas+ tiene una distri!uci(n

gamma con media de 2 semanas y desviaci(n estndar de 12 semanas. a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que un transistor dure entre 12 y 2

semanas"

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que un transistor dure a lo sumo 2 semanas"

c. ¿Cul es el &&avo percentil de la distri!uci(n de duraci(n"

d. Suponga que la prue!a en realidad termina después t semanas ¿qué

valor de t  es tal que solo la mitad del 1Y de todos lo transistores estarn

funcionando al terminar la prue!a"

5. <as llamadas part>culas *o rayos+ β son en realidad electrones ordinarios

epulsados de manera ecepcional del n#cleo de algunos tomos de ciertos elementos radiactivos. ic'as part>culas @ams eisten como tales dentro del n#cleo paro a veces llegan a crearse durante las transformaciones nucleares pudiendo escapar a grandes velocidades para ser detectadas en una placa fotogrfica. Si una pequeDa porci(n de un elemento radiactivo epulsa en promedio  part>culas β por segundo calcule la pro!a!ilidad de

que transcurran:

a. Vs de dos segundos para que se emitan dos part>culas β`

b. Venos de tres segundos para que se emitan 1% part>culas β.

HSugerencia: suponga que el tiempo de emisi(n de de dic'as part>culas

sigue una distri!uci(n gamma.]

a. 7*+=0*242+=%./&

(11)

. Considere la tasa de falla de un componente eléctrico de una veL cada / 'oras. Es importante considerar el tiempo que transcurre para la falla de dos componentes.

a. Suponiendo que se aplica una distri!uci(n gamma ¿cul es el tiempo medio que transcurre para la falla de dos componentes"

E*G+= *2+*/+=1%

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que transcurran 12 'oras antes de que fallen dos componentes"

0*1242 /+= *$/+= %.;1/

/. En cierta ciudad el consumo de energ>a eléctrica diario en millones de iloatts-'ora es una varia!le aleatoria X  que tiene una distri!uci(n gamma

con media µ = $ y varianLa σ2 = 12.

a. Encuentre los valores de α y β.

0*1;/`&16%+ = 1-175 180¿ 9 −¿ e¿ =%./5

b. Encuentre la pro!a!ilidad de que en cualquier d>a dado el consumo de energ>a diario eceda los 12 millones de iloatts-'ora.

0*1/%991;/+=* 175/80¿9 −¿ 9 1809∗ 1758∗e¿ +- * 150/80¿9 −¿ 9 1809∗ 1508∗e¿ +=%.%165-%.%%&/=%.%%66 c. !. %.%%66O2=.%1;$

$. El art>culo etermination of t'e V07 of 7ositive 7'otoresists Using t'e Vonte Carlo Vet'odK *Ph#t#graphic Sci. an! Engr. 1&65 pp. 2/  2$%+

propone la distri!uci(n eponencial con parmetro = %.&5 como modelo

para la distri!uci(n de la longitud *m+ de la trayectoria li!re de un fot(n !a@o

ciertas circunstancias. Suponga que el modelo es correcto.

a. ¿Cul es la longitud esperada de la trayectoria y cul es la desviaci(n estndar de la longitud de la trayectoria"

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la longitud de la trayectoria eceda 5.%" ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la longitud de la trayectoria se encuentre entre 1.% y 5.%"

(12)

c. ¿Cul valor se re!asa por solo 1%Y en todas las longitudes de la trayectoria"

;. Un componente tiene duraci(n X  eponencialmente distri!uida con

parmetro λ.

a. Si el costo de operaci(n por unidad de tiempo es c  ¿cul es el costo

esperado de operar este componente en su vida #til"

b. En lugar de un valor constante de costo c  como en el inciso *a+ suponga

que el costo es c  *1- %./eax + con a , % de modo que el costo por unidad de tiempo es menor que c  cuando el componente es nuevo y ms costoso

a medida que el componente enve@ece. J'ora calcule el costo esperado de operaci(n durante la vida #til del componente.

.E*+ = 14 λ

 c=14 λ

 =14c E*+

 =14c*1-%./ eax +

6. Un mecanismo de aire acondicionado funciona con !ase en cinco componentes independientes y la vida #til de cada uno sigue una distri!uci(n eponencial con parmetro 5

1

=

λ 

*en aDos+. 7ara que el mecanismo de aire acondicionado funcione se requiere que por lo menos dos de sus cinco componentes a#n sirvan. Calcule la pro!a!ilidad de que el mecanismo de aire acondicionado contin#e funcionando después de 6 aDos. 7*6`%.2+= 1  e-%.2*6+= %.;&61

&. Seg#n un reporte del peri(dico Uno Vs Uno *octu!re de 1&&6+ muc'os funcionarios y servidores p#!licos del go!ierno meicano ocupan la mayor>a de sus 'oras de tra!a@o 'aciendo llamadas telef(nicas personales. Suponga que la duraci(n de las conferencias telef(nicas personales de una funcionaria de la Secretaria de ?o!ernaci(n es una varia!le aleatoria G que sigue una distri!uci(n eponencial con parmetro λ = %.%12 *en minutos+.

Calcule:

a. <a duraci(n promedio de una conversaci(n telef(nica de esta funcionaria. 0=

ƛ

e− ƛx

0=1- e− ƛx=.011minutos

b. <a desviaci(n estndar de la duraci(n de una llamada. N2=142=14*.%12+=65.55

c. <a pro!a!ilidad de que una conversaci(n telef(nica dura ms de /% minutos.

0=

ƛ

e− ƛx

7*=/%+=1- e− ƛx=¿ ./11

(13)

7*=5%+= 1- e− ƛx=¿ .5%2

1%.Seg#n un reporte del peri(dico $n# %&' $n# *octu!re de 1&&6+ muc'os

funcionarios y servidores p#!licos del go!ierno meicano ocupan la mayor>a de sus 'oras de tra!a@o 'aciendo llamadas telef(nicas personales. Suponga que la duraci(n de las conferencias telef(nicas personales de una funcionaria de la Secretaria de ?o!ernaci(n es una varia!le aleatoria  X  que

sigue una distri!uci(n eponencial con parmetro λ = %.%12 *en minutos+.

Calcule:

a. <a duraci(n promedio de una conversaci(n telef(nica de esta funcionaria. b. <a desviaci(n estndar de la duraci(n de una llamada.

c. <a pro!a!ilidad de que una conversaci(n telef(nica dura ms de /% minutos.

d. <a pro!a!ilidad de que dure a lo sumo 5% minutos.

11.En una universidad 'ay un grupo de cinco estudiantes de ingenier>a petrolera que presentaran un eamen de termodinmica de manera individual. 7ara cualquiera de ellos se estima que el tiempo promedio de soluci(n del eamen es de 1' 2% min y adems la distri!uci(n del tiempo se asume que es eponencial. Si el eamen inici( a las &:%% a.m. calcule la pro!a!ilidad de que:

a. 7or lo menos un estudiante logre terminar el eamen antes de las &:% a.m.

b. Entre dos y cuatro estudiantes inclusive terminen el eamen en el lapso comprendido entre las &:/% y 1%:%% a.m.

c. etermine el n#mero ms pro!a!le de estudiantes que terminaran el eamen antes de las 1%:1% a.m.

d. ¿Considera que la 'ip(tesis de la distri!uci(n eponencial es un modelo adecuado para el tiempo de soluci(n de un eamen"

DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL

1. En cierta ciudad el consumo de energ>a eléctrica diario en millones de iloatts-'ora es una varia!le aleatoria X  que tiene una distri!uci(n gamma

con media = ./ y = %.6.

a. Encuentre los valores de α y β.

b. Encuentre la pro!a!ilidad de que en cualquier d>a dado el consumo de energ>a diario eceda los 12 millones de iloatts-'ora.

2. Sea X  = la mediana de la potencia 'oraria *en deci!elios+ de seDales de

radio que se transmiten y reci!en entre dos ciudades. <os autores del art>culo 0amilies of istri!utions for Pourly Vedian 7oer and nstantaneous 7oer of Xeceived Xadio SignalsK *J. (e'earch )atinal  Bereau #f Stan!ar' vol. $; 1&$5 pp. ;/5  ;$2+ argumentan que la

distri!uci(n lognormal es un modelo de pro!a!ilidad raLona!le para X . Si los

valores de los parmetros son = 5./ y = 1.2 calcule lo siguiente:

(14)

E*G+= eZ[BN242

E*G+= e5./ B 1.2242 = $6.%5

A*G+= e2*5./+ B 1.2Z2*e1.2Z2-1+

A*G+= $51.;;/$

esviacion estndar= $6.%/

b. <a pro!a!ilidad de que la potencia reci!ida esté entre /% y 2/% dW.

7*2/%+= *ln12/%-5./+4 1.2= *1.$6+= %.&/5/ 7*/%+

= %.&/5/  %.$551= %.52%

c. <a pro!a!ilidad de que X  sea menor que su valor medio. ¿7or qué esa

pro!a!ilidad no es %./"

7*G$6+= *ln$6-5./+41.2= %./&&/

5. Una @ustificaci(n te(rica !asada en el mecanismo de falla de cierto material sirve de fundamento a la suposici(n de que la resistencia a la ductilidad  X 

de un material tiene una distri!uci(n lognormal. Suponga que los parmetros son µ  = / y σ = %.1

a. Calcule E * X + y V * X +.

b. Calcule P * X, 12%+.

c. Calcule P *11% 9 X  9 15%+.

d. Si dieL muestras diferentes de una aleaci(n de acero de ese tipo se someten a una prue!a de resistencia ¿cuntas de!er>a esperarse que tuvieran resistencia de por lo menos 12%"

e. Si fueran /Y de los valores ms pequeDos de resistencia inacepta!les ¿cul ser>a la resistencia m>nima acepta!le"

. El art>culo )'e Statistics of 7'ytotoic Jir 7ollutantsK *. Xoyal Stat. Soc. 1&6& pp. 165  1&6+ sugiere la distri!uci(n lognormal como un modelo para la concentraci(n de SM2 so!re cierto !osque. Suponga que los parmetros

son = 1.& y = %.&.

a. ¿Cules son el valor medio y la desviaci(n estndar de la concentraci(n"

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la concentraci(n sea a lo sumo 1%" ¿Entre / y 1%"

7*G1%+=14 √ 2 ΠXO e*-<\G-[+242h2 =.o6&2

7*/G1%+ =01%-0/=.%6&2-14 √ 2 Π  5.9 e*-<\/-1.&42*.&+*2 +=. .%6/55=.%56$

/. Se sa!e que la tasa promedio de uso de agua *miles de litros por 'ora+ en cierta comunidad implica una distri!uci(n logar>tmica normal con parmetros

(15)

µ = / y σ = 2./ Es importante para prop(sitos de planeaci(n o!tener una

apreciaci(n de los per>odos de alta utiliLaci(n.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que para cualquier 'ora dada se usen a lo sumo /% %%% litros de agua"

¿Cul es la pro!a!ilidad de que se usen entre 5% %%% y /% %%%"

c. ¿Cul es el valor esperado de galones de agua que se usan en cualquier  'ora dada"

d. En un per>odo de 1/ 'oras ¿urante cuantas 'oras se esperar>a que se usaran a lo sumo 1% %%%"

DISTRIBUCIÓN !EIBULL

1. <a vida #til X  *en cientos de 'oras+ de cierto tipo de tu!os al vac>o tiene una

distri!uci(n de ]ei!ull con parmetros α = 2 y β = 5. Calcule lo siguiente:

a. E * X + y V * X +

b. P * X ≤ $+

c. P */ ≤ X ≤ $+

2.los autores del art>culo J 7ro!a!ilistic nsulation <ife Vodel for Com!ined )'ermal-Electrical StressesK *EEE )rans. Mn Elect. nsulation 1&6/: /1&  /22+ epresan que la distri!uci(n de ]ei!ull se utiliLa ampliamente en pro!lemas de estad>stica relacionados con la o!solescencia de materiales aislantes s(lidos su@etos a enve@ecimiento y esfuerLo. 7roponen el uso de la distri!uci(n como modelo para el tiempo *en 'oras+ 'asta que fallan espec>menes aislantes s(lidos sometidos a un volta@e de CJ. <os valores de los parmetros dependen del volta@e y la temperatura` suponga α = 2./ y β =

2%% *los datos de este art>culo indican estos valores+.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la vida #til de un espécimen sea a lo sumo 2%%" ¿Venos de 2%%" ¿Vas de 5%%"

 P( X =200)= α  α  ᵝ  x α −1 e−(  x ᵝ )α  = 1-e-*4!+a=.$521 7*,5%%+= ᵝ α α xα −1e −( x ᵝ )α  = 1-e-*4!+a= .&5$

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la vida #til de un espécimen esté entre 1%% y 2%%" 7*1%%2%%+= ᵝ α α xα −1e−(  x ᵝ )α  = 1-e-*4!+a=.$521- ᵝ α α xα −1e−(  x ᵝ )α  = 1-e-*4!+a=.$52-.1$2=.;%

2. Suponga que la vida de servicio en aDos de la !ater>a de un aparato para sordos es una varia!le aleatoria que tiene una distri!uci(n de ]ei!ull con α

= 2 y β = 2.

(16)

E*+=2-1  *1B142+= %.51

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que tal !ater>a esté en operaci(n después de 2 aDos"

7*82+= 1-e-2242= %.$521

5. Sea X  la resistencia a la tensi(n *si+ a  2%%hC de un espécimen de acero

de acero de cierto tipo que e'i!e fragilidad en fr>oK a !a@as temperaturas. Suponga que X  tiene una distri!uci(n de ]ei!ull con α = 2% y β = 1%%.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que X  sea a lo sumo 1%/ si"

b. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la resistencia se encuentre entre 1%% y 1%/ si"

c. ¿Cul es la mediana de la distri!uci(n de resistencia"

. En el art>culo Xesponse of SiCf 4Si5\ Composites Under Static and Cyclic

<oading  Jn Eperimental and Statistical JnalysisK *J. Engr. %aterial' an!  "echn#l#gy, 1&&;: 16$  1&5+ se sugiere que la resistencia a la tensi(n en

V7a de materiales compuestos !a@o las condiciones especificadas se puede modelar mediante una distri!uci(n de ]ei!ull con α = & y β = 16%.

a. ¿Cul es la pro!a!ilidad de que la resistencia de un espécimen seleccionado al aLar sea mayor de 1;/" ¿e que esté entre 1/% y 1;/" b. Si se escogen al aLar dos espec>menes y sus resistencias son

independientes entre s> ¿cul es la pro!a!ilidad de que al menos uno tenga resistencia entre 1/% y 1;/"

c. ¿^ué valor de resistencia separa al 1%Y ms dé!il de espec>menes del &%Y restante"

Figure

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