Criterios de Optimización Geométrica para una Termocupla Peltier

Criterios de Optimización Geométrica para una Termocupla Peltier

Alexander Vargas Almeida, Miguel Ángel Olivares Robles

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación, Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Culhuacán, IPN.Avenida Santa Ana 1000, San Francisco Culhuacán, Coyoacán, 04430, México, D.F., 55

57296000, alexvargas.almeida@gmailcom, [email protected]. Resumen

Un módulo termoeléctrico es un dispositivo que consiste de termocuplas de materiales semiconductores que generan energía eléctrica por medio de un gradiente de temperatura, o bien pueden ser usados para remover calor de un punto a otro (enfriamiento) cuando se somete a una diferencia de potencial eléctrico. Actualmente estos dispositivos están siendo aplicados para generación de pequeños voltajes y para refrigeración de pequeños espacios. Sin embargo existe la posibilidad de mejorar su eficiencia o coeficiente de desempeño y de este forma aprovechar sus ventajas para aplicaciones a mayor escala. Para alcanzar este objetivo se han tomado diferentes rutas, entre las que destaca el análisis de los parámetros geométricos para mejorar el diseño de módulos termoeléctricos. En este trabajo se muestran los criterios básicos que se aplican para el diseño de estos sistemas incluyendo la selección de los materiales, considerando el caso específico de una termocupla para enfriamiento.

Palabras Clave: Coeficiente de Desempeño, Diferencia de Temperatura, Efecto Peltier, Efecto

Seebeck, Figura de mérito.

I. Introducción

Los efectos Seebeck y Peltier son fenómenos de transporte de calor y de carga eléctrica, en base a los cuales ocurren la generación de corriente eléctrica y enfriamiento respectivamente [1,2,3]; en dispositivos termoeléctricos. El elemento básico que constituye a estos dispositivos es una termocupla de materiales semiconductores [4,5] (ver Fig. 1). Formada por dos segmentos de estos materiales, a los que llamaremos legs.

Un parámetro que mide la eficiencia de una termocupla es la figura de mérito [6] la cual está representada por la siguiente ecuación:

𝑍 = (𝛼2− 𝛼1)2 �𝑙1𝜌1 𝑎1 + 𝑙2𝜌2 𝑎2 � � 𝑎1𝜅1 𝑙1 + 𝑎2𝜅2 𝑙2 � (1) Donde 𝛼₁, 𝑙1𝜌1 𝑎1 , 𝑎1𝜅1 𝑙1 y 𝛼 2, 𝑙2𝜌2 𝑎2 , 𝑎2𝜅2 𝑙2 son los coeficientes Seebeck, resistencia eléctrica y

conductancia térmica de los materiales 1 y 2 respectivamente. Calor absorbido Cerámico Tipo P Tipo N Conductor (Cu) Cerámico Calor rechazado Disipador Corriente directa (+) (-) + + ++ + + ++ - - - - - -

Fig. 1. Termocupla de materiales semiconductores tipo N y tipo P.

Para el caso de enfriamiento por efecto Peltier las cantidades que permiten conocer la eficacia de una termocupla son el Coeficiente de Desempeño (COP) y la máxima diferencia de temperatura ΔTmax [7,8,9]

El objetivo principal dentro del campo de refrigeración termoeléctrica es obtener el dispositivo más eficaz, esto involucra que los materiales que se utilizan para su fabricación deben proporcionar los mejores valores de los parámetros antes mencionados. Para el cumplimiento de ésta condiciónlas propiedades termoeléctricas de los materiales se encuentran limitadas por las dimensiones geométricas de las legs (área y longitud) de la termocupla.

En este trabajo consideramos tres cocientes, que incluyen parámetros geométricos de una termocupla, en términos de los cuales derivamos las condiciones que deben cumplir los materiales [10] para su óptimo desempeño. La importancia de nuestro análisis es que abordamos el caso más general, a saber, distintas longitudes y distintas áreas para las legs de la termocupla.

II. Optimización con respecto a los parámetros geométricos.

El sistema a estudiar consiste de una termocupla formada por una leg de área a1 y longitud l1 y otra leg de área a2y longitud l2 (ver Fig. 2). Las cantidades Z, COP y ΔT son maximizadas con respecto a los cocientes (γ = 𝑎2

𝑎1), (ϒ = 𝑙2 𝑙1) y�Γ = 𝑎2/𝑙2

𝑎1/𝑙1�.

II.1 Figura de merito

A. Longitudes iguales (𝑙1 = 𝑙2) y áreas

diferentes.

La figura de merito para este caso es [11]:

Fig. 2. Termocupla con legs de diferentes áreas y diferentes longitudes. 𝑍𝑎= (𝛼2+ 𝛼1) 2 (𝑎1𝜅1+ 𝑎2𝜅2) �_𝑎𝜌1₁+𝜌_𝑎2₂� (2) Usando el cociente𝛾 =𝑎2 𝑎1 se obtiene: 𝑍𝛾 = (𝛼2− 𝛼1) 2 (𝜌1𝜅1+ 𝜌1𝜅2𝛾 + 𝜌2𝜅1𝛾−1+ 𝜌2𝜅2)(3) El valor de γ que maximiza a Z es:

𝛾𝑚𝑎𝑥= √𝜅1�𝜌2 √𝜅2�𝜌1(4) Evaluando 𝑍_𝛾 en este valor, se tiene:

𝑍𝛾−max = (𝛼2− 𝛼1) 2

(√𝜅1�𝜌1+ √𝜅2�𝜌2)2(5)

B. Áreas iguales (𝒂𝟏 = 𝒂𝟐) y longitudes

diferentes

En esta condición la figura de merito es:

𝑍𝛶 = (𝛼2− 𝛼1) 2

𝜅1𝜌₁+𝜅2_𝛶𝜌1+ 𝛶𝜅1𝜌₂+ 𝜅2𝜌₂(6) Donde 𝛶 =𝑙2

𝑙1.

El valor que maximiza a 𝑍_𝑙es:

𝛶𝑚𝑎𝑥= √𝜅2�𝜌1 √𝜅1�𝜌2 (7) l2 a2 a1 l1

Para el cual 𝑍𝛶−max = (𝛼2− 𝛼1) 2 (√𝜅1�𝜌1+ √𝜅2�𝜌2)2 (8) C. Cociente 𝛤 =𝑎2𝑙1_𝑎 1𝑙2. La figura de merito es:

𝑍𝛤= (𝛼2− 𝛼1) 2

𝜅1𝜌₁+ 𝛤𝜅2𝜌₁+𝜅1_𝛤𝜌2+ 𝜅2𝜌₂ (9) El valor que maximiza a 𝑍_𝛤 es:

𝛤𝑚𝑎𝑥 = √𝜅1�𝜌2

√𝜅2�𝜌1 (10) Para el cual se tiene:

𝑍𝛤−𝑚𝑎𝑥 = (𝛼2− 𝛼1) 2 (√𝜅1�𝜌₁+√𝜅2�𝜌₂)2

(11)

II.2 Coeficiente de desempeño (COP)

En la literatura de enfriamiento termoeléctrico es conocido el resultado para el coeficiente de desempeñomaximizado con respecto a la corriente [7], en este trabajo usamos este resultado que ya está dado y ahora lo maximizamos con respecto a los parámetros geométricos. El coeficiente de desempeño (COP) en el mejor valor de corriente, ahora es dado como función de las áreas y de las longitudes por la siguiente ecuación: 𝜙𝑗−𝑚𝑎𝑥 = −𝑇𝐻 𝑇𝑐 + 𝑇𝑐�1 + 𝑇𝑀(−𝛼1+𝛼2)2 𝜅1𝜌1+𝑎2𝜅2𝜌1_𝑎1 +𝑎1𝜅1𝜌2_𝑎2 +𝜅2𝜌2 1 + ΔT�1 + 𝑇𝑀(−𝛼1+𝛼2)2 𝜅1𝜌1+𝑎2𝜅2𝜌1_𝑎1 +𝑎1𝜅1𝜌2_𝑎2 +𝜅2𝜌2 (12)

En esta ecuación el valor de corriente que maximiza al COP ya ha sido sustituido y como mencionamos anteriormente, tenemos el valor máximo del COP como función de las áreas y longitudes de las legs.

A. Longitudes iguales (𝑙1 = 𝑙2) y areas

diferentes.

Para este caso el coeficiente de desempeño como función de 𝛾 es: 𝜙𝑗−𝑚𝑎𝑥−𝛾= −𝑇𝐻 𝑇𝑐+ 𝑇𝑐�1 + 𝑇𝑀(−𝛼1+𝛼2)2 𝜅1𝜌1+𝛾𝜅2𝜌1+𝜅1𝜌2_𝛾 +𝜅2𝜌2 1 + ΔT�1 + 𝑇𝑀(−𝛼1+𝛼2)2 𝜅1𝜌1+𝛾𝜅2𝜌1+𝜅1𝜌2_𝛾 +𝜅2𝜌2 (13)

El valor de 𝛾 que maximiza a esta cantidad es:

𝛾𝑚𝑎𝑥=√𝜅1�𝜌2 √𝜅2�𝜌₁(14) Entonces 𝜙𝑎evaluado a este valor de 𝛾 es:

𝜙𝑗−𝑚𝑎𝑥−𝛾−𝑚𝑎𝑥 = −𝑇𝐻+ 𝑇𝑐2�1 + 𝑇𝑀(𝛼1−𝛼2) 2 (√𝜅1�𝜌1+√𝜅2�𝜌2)2 𝑇𝑐(1 + 𝛥𝑇)�1 + 𝑇𝑀(𝛼1−𝛼2) 2 (√𝜅1�𝜌1+√𝜅2�𝜌2)2) (15)

B. Áreas iguales (𝒂𝟏 = 𝒂𝟐) y longitudes

diferentes

El coeficiente de desempeño como función del cociente de longitudes está dado por:

𝜙𝑗−𝑚𝑎𝑥−𝛶= −𝑇𝐻 𝑇𝑐 + 𝑇𝑐�1 + 𝑇𝑀(−𝛼1+𝛼2)2 𝜅1𝜌1+𝜅2𝜌1_𝛶 +𝛶𝜅1𝜌2+𝜅2𝜌2 1 + ΔT�1 + 𝑇𝑀(−𝛼1+𝛼2)2 𝜅1𝜌1+𝜅2𝜌1_𝛶 +𝛶𝜅1𝜌2+𝜅2𝜌2 (16)

El valor de𝛶que maximiza al COP es: 𝛶𝑚𝑎𝑥 =√

𝜅2�𝜌1

√𝜅1�𝜌2

(17) Y está dado por:

𝜙𝑗−𝑚𝑎𝑥−𝛶−𝑚𝑎𝑥= −𝑇𝐻+ 𝑇𝑐2�1 + 𝑇𝑀(𝛼1−𝛼2) 2 (√𝜅1�𝜌1+√𝜅2�𝜌2)2 𝑇𝑐(1 + 𝛥𝑇)�1 + 𝑇𝑀(𝛼1−𝛼2) 2 (√𝜅1�𝜌1+√𝜅2�𝜌2)2) (18) C. Cociente 𝛤 =𝑎2𝑙1 𝑎1𝑙2.

El COP como función de 𝛤 está dado por:

𝜙𝑗−𝑚𝑎𝑥−𝛤= −𝑇𝐻 𝑇𝑐+ 𝑇𝑐�1 + 𝑇𝑀(−𝛼1+𝛼2)2 𝜅1𝜌1+𝛤𝜅2𝜌1+𝜅1𝜌2_𝛤 +𝜅2𝜌2 1 + ΔT�1 + 𝑇𝑀(−𝛼1+𝛼2)2 𝜅1𝜌1+𝛤𝜅2𝜌1+𝜅1𝜌2_𝛤 +𝜅2𝜌2 (19)

El valor de 𝛤que maximiza este resultado es: 𝛤𝑚𝑎𝑥 = √𝜅1�𝜌2

√𝜅2�𝜌1 (20) Para el cual el COP es:

𝜙𝑗−𝑚𝑎𝑥−𝛤−𝑚𝑎𝑥= −𝑇𝐻+ 𝑇𝑐2�1 + 𝑇𝑀(𝛼1−𝛼2) 2 �√𝜅1�𝜌1+√𝜅2�𝜌2�2 𝑇𝑐�1 + ΔT�1 + 𝑇𝑀(𝛼1−𝛼2) 2 �√𝜅1�𝜌1+√𝜅2�𝜌2�2� (21)

II.3 Máxima diferencia de temperatura

La máxima diferencia de temperatura en una termocupla, como función de los parámetros área y longitud está dada por la siguiente ecuación:

ΔTmax= 𝑇𝑐

2_(−𝛼

1+ 𝛼2)2

2 �𝜅1𝜌1+𝑎2_𝑎𝑙1₁𝜅_𝑙2₂𝜌1+𝑎1_𝑎𝑙2₂𝜅_𝑙1₁𝜌2+ 𝜅2𝜌2�

(22) A. Longitudes iguales (𝑙1 = 𝑙2) y areas

diferentes.

La máxima diferencia de temperatura como función de 𝛾

está dado por la siguiente ecuación:

ΔTmax−𝛾= 𝑇𝑐 2_(−𝛼

1+ 𝛼2)2

2(𝜅1𝜌1+ 𝛾𝜅2𝜌1+𝜅1_𝛾𝜌2+ 𝜅2𝜌2) (23)

El valor de 𝛾 que maximiza esta diferencia de temperatura

es:

𝛾𝑚𝑎𝑥 =√

𝜅1�𝜌2 √𝜅2�𝜌1

(24)

Para el cual la máxima diferencia de temperatura es:

ΔTmax−𝛾−𝑚𝑎𝑥= 𝑇𝑐 2_(𝛼

2− 𝛼1)2

2(√𝜅1�𝜌1+ √𝜅2�𝜌2)2 (25)

B. Áreas iguales (𝒂𝟏 = 𝒂𝟐) y longitudes

diferentes

Para este caso la diferencia de temperaturas está dada por: ΔTmax−𝛶= 𝑇𝑐

2_(𝛼

2− 𝛼1)2

2(𝜅1𝜌1+𝜅2_𝛶𝜌1+ 𝛶𝜅1𝜌2+ 𝜅2𝜌2) (26)

Y el valor de 𝛶 la maximiza es:

𝛶𝑚𝑎𝑥 =√

𝜅2�𝜌1 √𝜅1�𝜌2

(27)

Y el valor de la máxima diferencia de temperatura es: ΔTmax−𝛶−𝑚𝑎𝑥= 𝑇𝑐 2_(𝛼 2− 𝛼1)2 2(√𝜅1�𝜌1+ √𝜅2�𝜌2)2 (28) C. Cociente 𝛤 =𝑎2𝑙1_𝑎 1𝑙2

La máxima diferencia de temperatura como función de 𝛤 está dada por:

ΔTmax−𝛤= 𝑇𝑐

2_(𝛼

2− 𝛼1)2

2(𝜅1𝜌₁+ 𝛤𝜅2𝜌₁+𝜅1_𝛤𝜌2+ 𝜅2𝜌₂) (29) Y el valor que la maximiza es:

𝛤𝑚𝑎𝑥 = √𝜅1�𝜌2

√𝜅2�𝜌1 (30) Para el cual se tiene:

ΔTmax−𝛤−𝑚𝑎𝑥 𝑇𝑐 2_(𝛼 2− 𝛼1)2 2(√𝜅1�𝜌₁+√𝜅2�𝜌₂)2 (31) III. Resultados

Ahora los resultados son evaluados utilizando valores numéricos (reportados en la literatura) [12] de las propiedades termoeléctricas de los materiales más utilizados para construir

termocuplas. Estos materiales son Sb2 Te3 (tipo p = 1) y Bi2 Te3 (tipo n =2) y.(ver Tabla 1).

Material α(V/K) ρ (Ωm) κ (W/mK) Bi2 Te3 -210 x 10-6 9 x 10-6 1.5 Sb2 Te3 110 x10-6 3.5 x 10-6 1.5

Tabla 1. Propiedades termoeléctricas de los materiales tipo N y tipo P. Método de Fabricación

Metalorganic Chemical Vapor Deposition (MOCVD). Fuente L. M. Goncalves.

Con los valores de la tabla anterior se han obtenido los valores máximos, (ver Tabla 2).

Cantidad γmax=1.60357 ϒmax=0.62361 Γmax=1.60357

ZT 0.86323 0.86323 0.86323 COP (ϕ) 5.7017 5.7017 5.7017 ΔTmax 94.2872 94.2872 94.2872

Tabla 2. Valores máximos de la figura de merito (Z), coeficiente de rendimiento (COP) y máxima

diferencia de temperatura (ΔTmax).

Utilizando los valores numéricos se han obtenido las gráficas para la figura merito, coeficiente de rendimiento y máxima diferencia de temperatura en función de γ, ϒ, Γ.Considerando que tanto la longitud y área de una leg se encuentran dentro del mismo orden de magnitud,ha sido posible tener de forma simultánea en el eje x a los tres cocientes γ, ϒ, Γ.

Fig. 3. Figura de merito como función de los cocientes geométricos γ, ϒ, Γ.

Fig. 4. Coeficiente de rendimiento como función de los cocientes geométricos γ, ϒ, Γ.

Fig. 5. Máxima diferencia de temperatura como función de los cocientes geométricos γ, ϒ, Γ.

IV. Discusión

Como primer punto cabe notar que los valores numéricos que hemos obtenido para 𝛾_𝑚𝑎𝑥 =

1.60357, 𝛶𝑚𝑎𝑥 = 0.62361, 𝛤𝑚𝑎𝑥= 1.60357 , por medio de algunos de los conjuntos de ecuaciones como las ecs. (4, 7, 10), coinciden con los máximos observados en las gráficas. (3, 4, 5).

Nuestros resultados muestran que para cada una de las cantidades Z, COP y ΔTmax ,los valores de 𝛾𝑚𝑎𝑥 y 𝛶𝑚𝑎𝑥son distintos.Pero𝛾𝑚𝑎𝑥 y 𝛤𝑚𝑎𝑥son iguales en cada caso. Otro aspecto que cabe mencionar es que, independientemente de cual sea el parámetro, cada una de las cantidades Z, COP y ΔTmax, siempre alcanzan el mismo valor máximo, ZT ≈ 0.86, COP (𝜙) ≈5.70,

coinciden. Y cuando se tiene γ = ϒ = Γ = 1, las curvas de Zγ, Zϒy ZΓ se intersectan.

Estos resultados implican que el valor máximo de cada una de las cantidades Z, COP y ΔTmax se puede obtener optimizando el sistema con respecto a alguno de los tres parámetros γ, ϒ, Γ. Es suficiente con optimizar únicamente una de las Z, COP y ΔTmax debido a que las tres son maximizadas por el mismo valor ya sea de 𝛾_𝑚𝑎𝑥 , 𝛶𝑚𝑎𝑥 𝑜 𝛤𝑚𝑎𝑥.

Como comentario final podríamos agregar que los resultados de este trabajo han comprobado que los materiales Bi2 Te3 y Sb2 Te3 cumplen con buenas propiedades termoeléctricas para la construcción de módulos Peltier, como es bien conocido en el campo de termoelectricidad [13], por ejemplo si se observa la gráfica 3, se alcanza un valor máximo de ZT ≈ 0. 86 , el valor estándar que se ha establecido para ZT es 1 [14].

V. Conclusiones

En este trabajo se han presentado los primeros resultados obtenidos para la optimización de una termocupla con respecto a parámetros geométricos, hemos mostrado que considerando el mismo orden de magnitud para los parámetros γ, ϒ, Γ, cada una de las cantidades Z, COP y ΔTmax, alcanzan el mismo valor máximo. La importancia de estos resultados radica en mostrar cómo se relacionan la geometría de la termocupla y las propiedades termoeléctricas de los materiales que se utilizan para construirla. Este aspecto se muestra por ejemplo en las ecuaciones (4, 7 9). Esto representa un criterio para seleccionar materiales termoeléctricos los cuales deben cumplir las condiciones dadas por tales ecuaciones.

Como trabajo futuro consideramos que un estudio más completo debe hacerse sobre este sistema, en particular es de interés incluir el efecto Thomson en la ecuación de balance de calor de la termocupla. Para proporcionar una aproximación más realista pretendemos incluir la resistencia de contacto.

VI. Referencias

[1] J. C. Zheng, “Recent advances on thermoelectric materials”, Front. Phys. China, volume 3, 2008, pp. 269 – 279.

[2] G. J. Snyder. “Small Thermoelectric Generators”, The Electrochemical Society Interface 2008. pp. 54 – 56.

[3] S.B. Riffat, X. Ma. “Thermoelectrics: a review of present and potential

applications”. Applied Thermal Engineering. Volumen 23. 2003. pp. 913 – 935.

[4] S. Lineykin, S. Ben – Yaakov, “Modeling and Analysis of Thermoelectric Modules”, IEEE Transactions on Industry Applications, Volumen 43, 2007, pp. 505 – 512.

[5] M. Terry, M. A. Subramanian, “Thermoelectric Materials Phenomena, and Applications: A Bird´S Eye View”. MRS BULLETIN.Volumen 31.Marzo 2006. pp. 188.

[6] R. R. Heikes, R. W. Ure, Thermoelectricity: Science and Engineering. 1961. Interscience Publishers. New York. pp. 6. [7] H. J. Goldsmith, Thermoelectric

Refrigeration. 1964. Temple Press Books LTD. London. pp 5 – 11.

[8] G. Savelli, M. Plissonnier, “New Methodology of thermoelectric modules design to an increase of performances.” Power MEMS 2009, pp. 288 – 291.

[9] Thermoelectric Module (Peltier Module) Specifications. TE Technology, INC. USA. 2010.

[10] Y. Zhang, Z. Bian, A. Shahouri, “Improved maximum cooling by optimizing the geometry of thermoelectric leg elements.” International Conference on Thermoeletrics, 2005, pp. 233 – 236.

[11] H. J. Goldsmith, Introduction to Thermoelectricity 2009. Interscience Publishers. New York. pp. 11.

[12] L. M. Goncalves, C. Couto, P. Alpuim, D. M. Rowe, J. H. Correia, “Thermoelectric Properties of Bi2Te3 /Sb2Te3 Thin Films”, Materials Science Fórum Vols. 514 – 516, May 2006, pp. 156 – 160.

[13] The Science of Thermoelectric Materials.http://www.its.caltech.edu/~jsnyder

/thermoelectrics/. Julio 2013.

[14] IPM – ZT – Meter – 870 K: Realtime Measurement of the Figure of Merit. Fraunhofer Institute for Physical Measurement Techniques . Alemania.

VII. Autores

Lic. en física Alexander Vargas Almeida

Obtuvo su título de Licenciatura en Física por la Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, actualmente estudiante de Maestría de Ingenieríaen Sistema Energéticos en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica (ESIME) unidad Culhuacán, del IPN. Realizó una visita de investigación en el Instituto de Tecnología de California.

Dr. Miguel Ángel Olivares Robles Recibió el

grado de Maestro en Ciencias en Física y el Grado de Doctor en Ciencias 1994 y 1997 respectivamente, en la Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa (UAM-Iztapalapa). Realizó su Estancia Posdoctoral en el Department of Physics, Ohio University durante los años 1999 y 2000. Actualmente es Profesor Investigador Titular C, definitivo y de tiempo completo en la Sección de Estudios de Posgrado e Investigación de la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Culhuacan (ESIME-Culhuacan) del Instituto Politécnico Nacional (IPN). Miembro del Sistema Nacional de Investigadores (SNI) ininterrumpidamente desde 1997 a la fecha.