Prácticas del capítulo II.4

§1 Imagen de una c´onica por una proyectividad §2 Proyectividades entre c´onicas

§3 Invariancia de una c´onica por una homolog´ıa §4 Homolog´ıa entre c´onicas secantes

§5 Puntos dobles de una proyectividad §6 Puntos dobles de una involuci´on §7 Rectas dobles de una proyectividad §8 Rectas dobles de una involuci´on §9 As´ıntotas de una hip´erbola

§10 C´onicas por cuatro puntos y una tangente §11 C´onicas por tres puntos y dos tangentes §12 C´onicas por dos puntos y tres tangentes §13 C´onicas por un punto y cuatro tangentes §14 Conjugado de un punto respecto de un haz §15 Conjugada de una recta respecto de un haz §16 La c´onica de los once puntos

§17 El primer problema de Poncelet §18 El segundo problema de Poncelet

Pr´

actica II.3.4

Imagen de una c´onica por una proyectividad

Enunciado Compru´ebese experimentalmente que una proyectividad del plano en s´ı mismo transforma una c´onica en otra c´onica.

Indicaciones Consid´erese la proyectividad σ que transforma el s´ımplex

(A, B, C, D) en el s´ımplex (A0, B0, C0, D0). Mediante la macro de la pr´actica I.4.7, tr´acense las respectivas im´agenesP₁0,P₂0,P₃0,P₄0 yP₅0 de los cinco puntos

P1, P2, P3, P4 y P5 que definen una c´onica Q. Sea Q0 la c´onica determinada

por los P_i0. Ahora CABRI permite saber si la imagenX0 de un punto X que se anima sobre _Qpertenece a _Q0.

Pr´

actica II.4.2

Enunciado De una proyectividad σ : _{Q → Q}0 entre dos c´onicas no degeneradas se conocen las respectivas im´agenes A0, B0 yC0 de los puntosA,

B y C. Obt´engase la imagenX0 de cualquier otro punto X _{∈ Q}.

Indicaciones De acuerdo con en teorema II.4.1, bastar´a con encontrar una proyectividad de todo el plano que extienda aσ. Sea estaτ. Comoτ tran-forma tangentes en tangentes, debe llevarM = A⊥_∩BC aM0 = (A0)⊥_∩B0_C0_.

De ah´ı que se pueda escoger τ de forma que aplique el s´ımplex (A, B, C, D)

en el (A0, B0, C0, D0), con D cualquier punto fijado sobre _Q distinto de A, B

y C, N = AD_{∩ BC}, D0 = B0_C0_{∩ A}0_N0_{, y N}0 _{el transformado de N por la}

Pr´

actica II.4.3

Invariancia de una c´onica por una homolog´ıa

Enunciado Una recta porOcorta a una c´onica_Qen dos puntos distintos

A yA0. Compru´ebese experimentalmente que la homolog´ıa de centroOy eje

O⊥ que transforma A en A0 deja a la c´onica invariante.

Pr´

actica II.4.4

Enunciado Dos c´onicas no degeneradas se cortan seg´un un par de pun-tos que determinan la recta e. Encu´entrese alguna homolog´ıa de eje e que transforme una c´onica en la otra.

Indicaciones Un buen candidato para el centro de la homolog´ıa es el punto de intersecci´on de las tangentes comunas a las dos c´onicas, pues tales rectas ser´ıan invariantes por ella. Rec´urrase entonces a la macro de lapr´actica II.2.14.

Pr´

actica II.4.5

Puntos dobles de una proyectividad

Enunciado Escr´ıbase una macro que d´e los puntos dobles de una pro-yectividad σ : r _{→ r} de la que se conocen los respectivos transformados A0,

B0 y C0 de tres puntos A,B y C de la recta r.

Indicaciones El m´etodo, ya explicado en la _{§secci´on II.4.1}de los apun-tes, requiere que haya alguna c´onica ya trazada, y un puntoX sobre ella. La m´as simple para redactar una macro CABRI es la circunferencia. Luego se trata, a fin de minimizar losobjetos inicialesde la macro, de escoger de modo autom´atico alguna circunferencia relacionada con los datos. En la figura, por ejemplo, se ha tomado la centrada en B que pasa por A0, y como punto X

una de sus intersecciones con la mediatriz del segmento determinado por B

y A0.

Pr´

actica II.4.6

Enunciado Escr´ıbase una macro que d´e los puntos dobles de una invo-luci´on σ : r _{→ r} de la que se conocen los respectivos transformados A0 y B0

de dos puntos A y B de la recta r.

Indicaciones Tras lo dicho en la pr´actica anterior, no se precisan indi-caciones.

Pr´

actica II.4.7

Rectas dobles de una proyectividad

Enunciado Red´actese una macro que trace las rectas dobles de la pro-yectividad σ : P∗ _{→ P}∗ que transforma la rectaa en la a0, la ben la b0 y la c

en la c0.

Indicaciones Como se anunci´o en los apuntes, una posibilidad de abor-dar este problema es realizando el proceso dual al descrito en lapr´actica II.4.5. No obstante, tambi´en hay un m´etodo directo. Si se considera una c´onica _Q no degenerada que pase por P y, en ella, los puntos A = (a_{∩ Q) − {P }},

A0 = (a0_{∩Q)−{P }},B = (b_{∩Q)−{P }},B0 = (b0_{∩Q)−{P }},C = (c_{∩Q)−{P }}

yC0 = (c0_{∩ Q) − {P }}, entoncesσ inducir´a otra proyectividad en_Qque aplica

A enA0, B enB0, yC en C0. Los puntos dobles de esta ´ultima proyectividad vienen dados por las intersecciones (0, 1 ´o 2) del eje de Steiner con _Q. Si estas son, por ejemplo, U y V, entonces las rectas dobles de σ no son otras que P U y P V.

Quna circunferencia que se trace en funci´on de los datos. En la figura se ha escogido una centrada en la rectaa y pasando por P.

Pr´

actica II.4.8

Enunciado Red´actese una macro que trace las rectas dobles de una involuci´on σ : P∗ _{→ P}∗, conocidas las respectivas transformadas a0 y b0 de dos rectas a y bdel haz P∗.

Indicaciones Si se ha realizado la pr´actica precedente, no se precisan indicaciones.

Pr´

actica II.4.9

Enunciado Tr´acense las as´ıntotas de una hip´erbola dada.

Indicaciones Cons´ultese el ejercicio II.4.3 y rec´urrase a las macros de las pr´acticas II.3.1 y II.3.2.

Pr´

actica II.4.10

C´onica por cuatro puntos y una tangente

Enunciado Escr´ıbase una macro que trace las posibles c´onicas que con-tienen a los v´ertices de un s´ımplex (A, B, C, D) y son tangentes a una recta

r que no pasa por ellos.

Indicaciones Consid´erese el haz de c´onicas del tipo I determinado por el s´ımplex(A, B, C, D). Seg´un el teorema de Desargues-Sturm (teorema II.4.7), este haz induce una involuci´on σ en r tal que r_{∩ Q = {X, σ(X)}}, para cada

X _{∈ r}, donde _Q es la ´unica c´onica del haz que pasa por X. De ah´ı que los puntos de tangencia de las c´onicas buscadas sean los puntos dobles de σ.

El problema es ahora sencillo. No hay m´as que usar la macro de la

pr´actica II.4.6, y recordar que dos de las c´onicas del haz son las que degeneran en AB_{∪ CD} y AC _{∪ BD}.

Pr´

actica II.4.11

C´onicas por tres puntos y dos tangentes

Enunciado Escr´ıbase una macro que trace las posibles c´onicas (0, 1, 2,

3 ´o 4) que pasan por 3 puntos no alineados A, B y C y son tangentes a dos rectas distintas t1 y t2 que no los contienen.

Indicaciones El m´etodo para resolver este problema ya ha sido comen-tado en los apuntes al final de la_{§secci´on II.4.3}.

Pr´

actica II.2.12

C´onica por dos puntos y tres tangentes

Enunciado Tr´acense las posibles c´onicas que pasan por dos puntosT1 y

T2 y son tangentes a tres rectas no concurrentesa,byc, conT1, T2 ∈ a ∪ b ∪ c/ .

Indicaciones No es casualidad que se hayan denotado los elementos que aqu´ı intervienen con las mismas letras que los de la pr´actica anterior, pero intercambiando las may´usculas por las min´usculas. Y es que el m´etodo que aqu´ı se ha escogido es justo el dual del que se utilizara all´ı. As´ı, si se considera la involuci´on σ del haz de rectas que pasan por a_{∩ b} en s´ı mismo que aplica,

a en b, y (a_{∩ b)T}1 en (a∩ b)T2, sus rectas dobles l y m se corresponder´an

con los objetos duales de los puntos L y M hallados entonces. Realizando lo propio con el haz de rectas que pasan por a_{∩ c}, se construyen nuevas rectas

m y n, que dan lugar a los puntos P = m_{∩ n}, Q = m_{∩ r}, R = l _{∩ r} y

c, T1P y T2P, la cual puede ser trazada ahora de varias maneras. Por decir

una, rec´urrase a la macro de lapr´actica II.2.11.

En la figura se ha visualizado el caso de 4 soluciones, cada una en un color distinto para que sean distinguidas con facilidad.

Pr´

actica II.4.13

C´onicas por un punto y cuatro tangentes

Enunciado Escr´ıbase una macro que trace las posibles c´onicas que son tangentes a las 4 rectas a, b, c y d de un cuadril´atero, y que pasen por un punto R no perteneciente a ninguno de sus lados.

Pr´

actica II.4.14

Conjugado de un punto respecto de un haz

Enunciado Es bien sabido (ejercicio II.4.10) que para todo puntoP del plano existe un ´unico P0 conjugado de P respecto de todas las c´onicas de un haz no degenerado. Escr´ıbase una macro que trace ese punto P0, cuyos objetos iniciales sean P y los cuatro puntos base A, B, C y D de un haz del tipo I.

Indicaciones El punto P0 ha de pertenecer a todas las polares de P

respecto de las c´onicas del haz. De ah´ı con que baste mecanizar alg´un proceso de elecci´on de dos de las c´onicas del haz para recurrir despu´es a la macro de la pr´actica II.2.1.

Pr´

actica II.4.15

Conjugada de una recta respecto de un haz

Enunciado En el ejercicio II.4.11 se ped´ıa demostrar que la aplicaci´on

σ que lleva cada punto X a su conjugado X0 respecto de todas las c´onicas de un haz del tipo I transforma rectas en c´onicas. Escr´ıbase una macro que trace esta c´onica dados una recta r y un haz determinado por un s´ımplex

(A, B, C, D), y compru´ebese experimentalmente que σ(r) es una c´onica. Indicaciones Para trazar la c´onica pedida, son precisos 5 puntos. Me-can´ıcese pues de alguna forma la elecci´on de P1, P2, P3, P4 y P5 sobre r, y

h´allense sus respectivos conjugados respecto del haz por medio de la macro de la pr´actica anterior. Una idea puede ser tomarP1 = AD∩ r, P5 = AB∩ r

e intercalar entre ellos los dem´as a base de puntos medios.

Para la comprobaci´on emp´ırica del ejercicio II.4.11, an´ımese otro punto

X sobrer y corrob´orese que su conjugadoX0 respecto del hazpertenece a la c´onica determinada por los Qi = σ(Pi).

Pr´

actica II.4.16

Enunciado Compru´ebese experimentalmente que la c´onica de los once puntos (v´ease elejercicio II.4.12) pasa por donde tiene que pasar.

Pr´

actica II.4.17

Enunciado Dados una c´onica _Q y tres puntos P, Q y R sobre ella, tr´acense los posibles tri´angulos inscritos en_Qtales que cada uno de sus lados pase exactamente por uno de los tres primeros puntos.

Indicaciones Esc´ojase un punto A sobre la c´onica. La homolog´ıa de centro P y eje P⊥ deja a _Qinvariante y transforma A en la otra intersecci´on

A1 de P A con la c´onica. La homolog´ıa de centro Q y eje Q⊥ lleva A1 a

A2, con Q ∩ QA2 = {A1, A2}. Por ´ultimo, la homolog´ıa de centro R y

eje R⊥ aplicar´ıa A2 en el otro punto A0 en que la c´onica corta a RA2. Si

A0 = A, entonces (A, A1, A2) es uno de los tri´angulos buscados. En otro

caso, la aplicaci´on σ : A_{7→ A}0 es una proyectividad de la c´onica en s´ı misma pues resulta de componer tres proyectividades. Conviene definir una macro provisional que d´e la imagen X0 = σ(X) de cualquier otro punto X _{∈ Q}. Si

de Poncelet tendr´a 0, 1 ´o 2 soluciones.

Ahora bastar´a con tomar otros dos puntos B y C en la c´onica y hallar el eje de Steiner e de σ .

En la figura se ilustra el caso de dos soluciones, aunque solo se ha resal-tado una de ellas, la(L, M, N ), con L una de las dos intersecciones del eje de Steiner con_Q.

Pr´

actica II.4.18

Enunciado Dadas dos c´onicas_Qy _Q0, el segundo problema de Poncelet estudia las circunstancias bajo las que puede inscribirse un pol´ıgono de n

lados en la primera de ellas, tal que est´e circunscrito en la segunda. Aunque no ser´a probado aqu´ı, sepa el lector que en caso de existir alguna soluci´on, cada punto P de la primera c´onica da lugar a nuevas soluciones sin m´as que ir trazando una sucesi´on de puntos sobre _Q, cada uno de los cuales no es sino la intersecci´on con _Q de una de las tangentes del punto anterior a la c´onica

Q0_.

En esta pr´actica se propone comprobar experimentalmente este hecho para el caso de los tri´angulos (n = 3).

Indicaciones Con la ayuda de las macros redactadas con anterioridad, constr´uyase una soluci´on particular al segundo problema de Poncelet, esto es, dos c´onicas _Q y _Q0 m´as un tri´angulo (A, B, C) con sus v´ertices en _Q y sus

lados tangentes a _Q0. Situado un punto P en la primera c´onica, sean Q y

R las intersecciones con _Q de las tangentes a _Q0 por P. Compru´ebese ahora que QR es tangente a _Q0.

Si se anima P sobre _Q, se visualizar´an la totalidad de las soluciones al segundo problema de Poncelet. Obs´ervese que, en ocasiones, puede que el tri´angulo(P, Q, R) degenere al superponerse dos de sus v´ertices.