Límites y Continuidad de funciones de dos variables

(1)

Límites y Continuidad de funciones de dos

variables

1.- Si en un cierto punto

 

_a,_b __R2_{existe el}

   x,ylima,b f

 

x,y LR, entonces: □ a) f es continua en (a, b).

□ b) Existen los límites reiterados de f en (a, b) y ambos valen L.

X c) ____R _,____R_{tal que si un punto (x, y) del dominio de f pertenece al disco}

abierto de centro (a, b) y radio , con (x, y)  (a, b), entonces la distancia de f(x, y) a L es menor que . 2.- Si z = f(x, y) es continua en _{R , entonces:}2 X a) Existe y es finito el    x,ylima,b f

 

x,y,

 

2 R b a,   .

□ b) f admite derivadas parciales en todo punto

 

_a,_b __R2_. □ c) f es diferenciable en todo _{R .}2

3.- Sea z = f(x,y) una función tal que sus límites radiales en P0(0,0) valen todos L.

Podemos asegurar que:



a) 

   x y,lím0,0 f x y

 

, L.



b) Los límites reiterados, si existen, también valen L.

X c) Si se verifica que f



rcos ,r senα



L  g

 

r y

0 ( ) 0 r lím g r   , entonces     x y,lím0,0 f x y

 

, L. 4.- Si lím_ _f(x,y) L R o o,y x ) y , x (    , podemos afirmar:

a) Existen los límites reiterados en



xo,yo



y ambos valen L.

X b) Existen los límites radiales en



xo,yo



y todos valen L. c) f es continua en



xo,yo



. 5.- El    _x,y _0,0 2 2 xy lím x y   : a) Vale 0. X b) No existe. c) Vale 1. 6.- Supongamos que

   x,ylim0,0 f

 

x,y es, en principio, una indeterminación y se efectúa el cambio a coordenadas polares, quedando _{   }

 



 



  f x,y limF r, lim 0 r 0 , 0 y , x y supongamos

también que F

     

r, g r h r, , entonces: a) Si limg

 

r 0

0

r  , podemos asegurar que    x,ylim0,0 f

 

x,y = 0. b) Si h

 

r, depende sólo de , podemos asegurar que NO existe

   x,ylim0,0 f

 

x,y .

X c) Si limg

 

r 0 0

r  y h

 

r, es una función acotada para todo , podemos asegurar

(2)

7.- Estamos calculando    x,y a,b





L lim f x, y   y demostramos que:





5 2r sen



2 cos



3 sen         f r cos , r senα

para todos r y α. Entonces podemos asegurar que:

X a) L existe y vale 5. b) L existe y vale 0

c) No existe el límite buscado.

8.- Sea 2x y si y x x y f (x, y) si y x   _{ }          , se verifica:

X a) No existe ningún valor de α para el cual f sea continua en (0,0). b) f es continua en (0,0) independientemente del valor de α. c) Para que f sea continua en (0,0), ha de ser α=0.

9.- ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta para una función z=f(x,y)?

X a) Si se verifica que f x, y

 

 L g

 

r, L < h r

 

0 cuando r0, entonces 

 ,  0, 0

 

,



x ylímx y f x y

b) Si existen los límites reiterados de f en un punto (x0,y0), entonces existe

 ,  0, 0

 

,



x ylímx y f x y

c) Si existen los límites radiales de f, entonces existe

 ,  0, 0

 

,



x ylímx y f x y .

10.- Sea z=f(x,y) la ecuación de una superficie en R3. Se llama “curva de nivel” de dicha superficie a toda línea en el plano R2 que tenga por ecuación:

X a) f (x, y) k, k Im(f).  b) f(x,y)=0.

c) Ninguna de las anteriores.

11.- Supongamos que









x 2 y 5 y 5 x 2 lím lím f (x, y) lím lím f (x, y) 3       . a) (x,y) (2,5)lím f (x, y) 3  b) No existe (x,y) (2,5)lím f (x, y) . X c) Si existe el (x,y) (2,5)lím f (x, y) vale 3. 12.- Sea 2 2 2 2 x y si (x, y) (0,0) f (x, y) x y 0 si (x, y) (0,0)        _  , se verifica: X a)    x,ylim f x, y0,0





 . b)    x,ylim f x, y0,0





 , pero, no es continua (0,0).

(3)

13.- Si









x 0 y 0 y 0 x 0 lím lím f (x, y) lím lím f (x, y) k       , entonces se verifica: a) x 0 y mx lím f (x, y) k m R      b) (x,y) (0,0)lím f (x, y) k  . X c) Si existe el (x,y) (0,0)lím f (x, y) vale k. 14.- Si

(x,y) (0,0)lím f (x, y) k  , entonces se verifica que:

a) Existen los límites reiterados y ambos valen k. b) f es continua en (0,0).

X c) Existen los límites reiterados y ambos valen k, o bien, alguno de ellos no existe.

15.- Si

(x,y) (a,b)lím f (x, y) L  , entonces se verifica que:

X a) Si existen los límites reiterados y coinciden, han de ser iguales a L. b) L=f(a,b), siempre que f esté definida en dicho punto.

c) Existen los límites reiterados y valen L.

16.- Sea una función z=f(x,y) que en el origen (0,0) verifica que existen sus límites reiterados y valen L, entonces:

a)

   x,ylim f x, y0,0





L

  .

X b) Si existe

   x,ylim f x, y0,0





vale L. c) x 0 y mx lím f (x, y) L m R      17.- Supongamos que    , 0,0

 

,     y mx x ylím f x y L R. Entonces:

a) Existen los límites reiterados de f en (0,0). b) f es continua en (0,0).

X c) Si f es continua en (0,0), ha de ser f(0,0)=L.

18.- Sea z = f(x, y) una función de R2 en R ¿De cuál de las siguientes situaciones se puede deducir que lím f(x,y)

) 0 , 0 ( ) y , x (  = 7?: a) lím límf(x,y) 7 0 y 0 x        . X b) f(x,y)7 r2cos ,  r, R.

c) Todos los límites radiales en (0,0) existen y valen 7.

19.- Sea 3 2 2 x si (x, y) (0,0) f (x, y) x y 0 si (x, y) (0, 0)       _  , se verifica: X a)    x,ylim f x, y0,0





0. b) f no es continua (0,0).

(4)

20.- Las curvas de nivel de la superficie 1 4 z 9 y 2 x2 _ 2 _ 2 _

correspondientes a una cota k:

X a) Se reducen a un punto si k =  2.

b) Son elipses de semiejes a = 3, b = 2 si k =  1.

c) Solo existen para k  0.

21.- El dominio de la función f(x,y) = x y es

a) El conjunto de puntos de R2 por encima de la recta y = -x. b) El conjunto de puntos de R2 por debajo de la recta y = -x.

X c) El conjunto de puntos de R2 formado por los puntos situados por encima de la recta y = -x y los puntos de dicha recta.

22.- La curva de nivel de la superficie z = xy correspondiente a z = 1:

X a) Es una hipérbola equilátera.  b) Son un par de rectas.  c) No es una cónica.

23.- Sea z = f(x, y) = _x2 _₃_y2_{, con}

 

_x,_y __R2_{. Se verifica que:} □ a) f admite curva de nivel zR.

□ b) f alcanza en (0, 0) un valor mínimo relativo, pero, no un mínimo absoluto.

X c) La curva de nivel correspondiente a z = 2 es una elipse de centro (0, 0) y semieje mayor a = 2.

24.- La curva de nivel de la función

 

₂ ₂ y x 1 y 8 y , x f    correspondiente a c = 2 es

a) Una circunferencia de centro C(0, 4) y radio 3 .

b) Una elipse de centro C(0, 2).

X c) Una circunferencia de centro C(0, 2) y radio 3 .

25.- Consideremos la superficie de ecuación z ₂ 1₂

x y 8



  . La curva de nivel para z=1 es:

a) La circunferencia de centro (0,0) y radio 9.

X b) La circunferencia de centro (0,0) y radio 3. c) Ninguna de las dos anteriores.

26.- La curva de nivel de la superficie z = ln(xy ) correspondiente a z = 0:

X a) Es una hipérbola equilátera.  b) Son un par de rectas.  c) No es una cónica.

27.- Consideremos la superficie de ecuación x2 _2yz2 _xz_0_{. Puede afirmarse que:}

X a) Todas sus curvas de nivel son parábolas, excepto una de ellas que es una recta. b) Esta superficie sólo admite curvas de nivel para z0.

c) La curva de nivel correspondiente a la cota k = 5 está contenida en el plano z = 5.

(5)

b) z=0.

c) no es una curva de nivel.

29.- Consideremos la superficie de ecuación xy+z3=5. La curva de nivel para el punto (2,2) es:

X a) xy=4. b) z=2. c) xy=1.