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ALGEBRA LINEAL Y GEOMETR´
IA
Curso 2009/10
Aquellos ejercicios marcados con el s´ımbolo (∗) tienen, a nuestro juicio, una dificultad mayor que aqu´ellos que no han sido marcados.
Lista n´umero uno.
Sistemas de ecuaciones. El m´etodo de Gauss-Jordan
1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a) 3x − 2y = 6 9x + 4y = 108 b) x + y − 2z = 9 2x − y + 4z = 4 2x − y + 6z = −1
2. Hallar la ecuaci´ony=ax2+bx+cde la par´abola que pasa por los puntosP1= (−1,−10), P2= (1,−6) yP3= (2,−13).
3. Hier´on, rey de Siracusa, hab´ıa dado a un platero 7489 gramos de oro para hacer una corona que quer´ıa ofrecer a J´upiter. Como sospechaba de la honradez del orfebre y tem´ıa que remplazase oro por plata le pidi´o a Arqu´ımedes que lo averiguara sin da˜nar la corona. Arqu´ımedes sumergi´o completamente la corona en agua, y el agua desalojada pes´o 467 g.. Se sabe que al sumergir el oro en agua, el agua desalojada pesa 52/1000 del peso del oro sumergido, mientras que al sumergir la plata en agua, el agua desalojada pesa 95/1000 del peso de la plata sumergida. Comprobar que el orfebre enga˜n´o al rey y hallar los gramos de oro y plata de la corona real.
4. Calcular las edades actuales de una madre y sus dos hijos, sabiendo que hace 14 a˜nos la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento, que dentro de 10 a˜nos la edad de la madre ser´a la suma de las edades que los hijos tendr´an entonces, y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendr´a 42 a˜nos.
5. Bajo ciertas condiciones se puede mezclar tolueno con ´acido n´ıtrico para obtener trinitroto-lueno (tambi´en conocido como TNT) y agua. Ajustar la correspondiente reacci´on qu´ımica:
x C7H8+y HN O3→z C7H5O6N3+w H2O.
6. (∗) Seanx, y, ztres n´umeros enteros tales que los enterosx+y+z, x−y−2zy 3x+ 4y−2z
son m´ultiplos de 5. Demostrar quex, y yz son m´ultiplos de 5.
7. Resolver, por el m´etodo de Gauss-Jordan, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:
a) x − 3y + 5z = 0 2x − 4y + 2z = 0 5x − 11y + 9z = 0 b) x − 2y + 3z + 4t + 5u = 0 x + 4y + 7t + 2u = 0 2x + 2y + 3z + 11t + 7u = 0 3x + 6y + 3z + 18t + 9u = 0 c) x + y + iz + t = 0 2x − y + 2z − t = 1 x + iy − z + it = 2 x + y + z − t = 0
8. Discutir, en funci´on del par´ametrom, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales: a) x + 2y + z = 1 −x + 2z = 3 3x + 2y + mz = 1 b) x + my + z = 1 mx + y + (m−1)z = m x + y + z = m+ 1
9. (∗) ¿Tiene soluci´on el sistema
2 sinα − cosβ + 3 tanγ = 3 4 sinα + 2 cosβ − 2 tanγ = 10 6 sinα − 3 cosβ + tanγ = 9
?
10. (∗) Discutir en funci´on del valor de los n´umeros realesαyβ, y resolver cuando sea posible, los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
a) αx + y + z = 1 αx + αy + z = β αx + αy + αz = β βx + y + z = 1 b) 3x + y + αz = 0 x − y − z = 0 βx + y + z = 0 x + βy − z = 0
11. Estudiar para qu´e valores del n´umero complejoλel sistema de ecuaciones lineales
λx + y = λ3 x + λy = 1
carece de soluci´on, para qu´e valores la soluci´on es ´unica y para qu´e valores existen infinitas soluciones.
Lista n´umero dos.
Matrices. Teorema de Rouch´e-Frobenius.
1. (∗) Una matriz B cuyas filas son todas no nulas se dice que es escalonada si el primer coeficiente no nulo de cada una de sus filas posterior a la primera est´a situado en una columna de ´ındice estrictamente mayor que el ´ındice de la columna que contiene al primer coeficiente no nulo de la fila anterior. En general una matrizAes escalonada si o bien es nula o bien admite una escritura del tipo
A=
B
0
tal que todas las filas deB son no nulas yB es escalonada. (1) Decir cu´ales de las siguientes matrices son escalonadas:
A1= 1 3 0 5 −1 0 0 0 1 0 6 5 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 , A2= 1 2 1 0 1 −1 0 2 −2 , A3= 1 2 1 −1 3 7 5 0 2 6 8 2 0 0 0 0 .
(2) Demostrar que el rango de una matriz escalonada es igual al n´umero de filas no nulas. Esto nos proporciona un nuevo m´etodo para calcular el rango de una matrizA, pues basta con encontrar una matriz escalonada N equivalente por filas a A y contar el n´umero de filas no nulas deN.
(3) Calcular por este procedimiento el rango de las matrices del apartado (1).
2. a) Decir cu´ales de las siguientes matrices son equivalentes por filas hallando su forma escalonada reducida por filas:
A= 1 −2 0 −3 0 0 −1 0 0 0 0 0 B= 0 3 −6 −4 −1 3 −10 −4 2 −6 20 2 C= 0 0 −1 0 2 −4 1 −6 −1 2 1 3
b) Encontrar la forma escalonada reducida por columnas de las matrices anteriores y decir cu´ales son equivalentes por columnas.
c) Hallar, si existen, las soluciones de los sistemas cuyas matrices ampliadas son las anteriores.
3. Calcular el rango de cada una de las siguientes matrices:
A= 0 1 2 −1 0 1 0 −2 4 2 0 2 0 0 1 2 3 5 1 1 −1 0 2 1 1 2 2 1 5 7 B = 2 −3 1 0 1 0 −1 0 1 2 0 0 1 −3 2 2 1 0 1 −6 5 6 2 0 0 0 0 1 1 1
4. Comprobar para la matriz
A= 2 5 1 −3 5 −1 3 2 −3 −3 3 −4 −1 2 9 ,
que el rango por columnas coincide con el rango por filas.
5. Hallar el rango de la siguiente matriz seg´un los valores del par´ametroa:
a 1 1 2 2 a a2 1 2 1 1 2 .
6. Demostrar que si una matrizA de tama˜nom×ntiene rangom, entonces cualquier sub-matriz conncolumnas tambi´en tiene rango m´aximo.
7. Discutir seg´un los valores deayb el sistema con coeficientes reales:
ax + y + z = 1 x + ay + z = b x + y + az = b2
8. Estudiar los sistemas de ecuaciones lineales
x1 − x2 + 2x3 + 3x4 − 6x5 = b1 2x1 + x2 + x3 − x4 + x5 = b2 x1 − 4x2 + 5x3 + 10x4 − 19x5 = b3 3x1 − x2 − x3 + 2x4 − 3x5 = b4
en los casos en que los t´erminos independientes son
(b1, b2, b3, b4) = (−1,4,−7,0) y (b1, b2, b3, b4) = (0,2,1,1).
9. (∗) ¿Qu´e deben cumplir los n´umeros realesa, bycpara que el sistema de ecuaciones
y2+z2= 2a2+1 2x 2 x2+z2= 2b2+12y2 x2+y2= 2c2+1 2z 2
tenga una soluci´on en la quex, yyz sean n´umeros reales?
10. (∗) Seann≥2 un entero positivo ya1, . . . , an∈Kdistintos dos a dos.
(1) Calcular los rangos de las matrices
Mn = 1 n n · · · n n n 2 n · · · n n n n 3 · · · n n .. . ... ... . .. ... n n n · · · n−1 n n n n · · · n n yA(a1, . . . , an) = 1 1 · · · 1 a1 a2 · · · an a2 1 a22 · · · a2n .. . ... . .. ... an1−1 an2−1 · · · an−1 n
(2) Discutir el sistema de ecuaciones lineales
x1 + nx2 + nx3 + · · · + nxn−1 = n nx1 + 2x2 + nx3 + · · · + nxn−1 = n nx1 + nx2 + 3x3 + · · · + nxn−1 = n .. . ... ... ... ... nx1 + nx2 + nx3 + · · · + (n−1)xn−1 = n nx1 + nx2 + nx3 + · · · + nxn−1 = n
Lista n´umero tres.
Operaciones con matrices.
1. SeanA= 1 2 1 0 3 −1 2 0 1 ∈ M3(K) yB= 0 1 2 0 0 −1 0 0 0 ∈ M3(K). Calcular: A2yB2 ; (At)2+AAt+AtA−3I3 y (At)2+AtB+BtA.
¿Existe alguna matriz no nulaX tal queXA=BXt? 2. Consideramos las matrices
A= 1 −1 2 2 1 3 y B= 1 0 0 −1 2 1 .
¿Existe alguna matriz no nulaX que cumplaXA=BXt? 3. Se consideran las matrices
A= 2 −1 5 5 , B= 1 3 −2 0 , C= 1 2 2 −2 1 2 yD = −4 −3 −2 −1 0 −1
Hallar las matricesX eY que son soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) 3X + 2Y = A 2X + Y = B : b) 2X + Y = C X − 3Y = D
4. a) Encontrar todas las matrices cuadradas de orden 3 que conmutan con la matriz
A= 0 1 0 0 0 1 0 0 0 .
b) (∗) Encontrar todas las matrices cuadradas de ordenn que conmutan con la matriz diagonal de ordennen cuya diagonal est´an los n´umeros 1, . . . , n.
c) (∗) Encontrar todas las matrices cuadradas de orden nque conmutan con todas las matrices diagonales de ordenn.
5. (∗) Sean m, nyptres enteros positivos y dos matrices A∈ Mm×p(K) y B ∈ Mn×p(K).
Encontrar una condici´on necesaria y suficiente para que exista una matrizC∈ Mn×m(K)
tal queB=CA. Aplicar esa condici´on cuando
A= 1 2 3 1 0 2 2 6 7 y B = 2 2 5 1 1 1 .
6. (∗) Recordamos que las operaciones elementales por filas que podemos aplicar a una matriz
Ason:
(i) Multiplicar una fila por un escalar no nulo.
(ii) Sumar a una fila otra multiplicada por un escalar no nulo. (iii) Intercambiar dos filas.
Comprobar que el resultado de aplicar cualquiera de estas operaciones elementales a la matriz A es el mismo que el de multiplicar la matriz A por la izquierda por la matriz
E que se obtiene al aplicar a la matriz identidad I dicha operaci´on elemental. A una tal matrizE se le denomina matriz elemental.
Demostrar que cada matriz elemental es invertible y que su inversa es de nuevo una matriz elemental, y que una matriz es invertible si y s´olo si es producto de matrices elementales.
7. (∗) Dadas las matrices: A= 1 −2 0 −3 0 0 −1 0 0 0 0 0 , B= 0 3 −6 −4 −1 3 −10 −4 2 −6 20 2 , C= 0 0 −1 0 2 −4 1 −6 −1 2 1 3 ,
a) Encontrar una matrizEAproducto de matrices elementales de forma queHA=EAA, donde HA representa la forma escalonada reducida por filas de A. Hacer lo mismo para las restantes matrices.
b) Encontrar una matrizEA0 producto de matrices elementales de forma queHc
A=AE0A, dondeHc
Arepresenta la forma escalonada reducida por columnas deA. Hacer lo mismo para las restantes matrices.
8. (∗) Se llama forma can´onica equivalente de una matriz a la matriz escalonada reducida por columnas de su matriz escalonada reducida por filas. Comprobar que una matrizX y su forma can´onica equivalenteCX tienen el mismo rango. Probar que existen productosP yQde matrices elementales tales queCX =P XQ. Dadas las matrices
A= 1 2 1 5 2 5 1 14 4 9 3 24 , B = 1 −2 3 −1 5 −1 2 −3 2 −1 0 0 1 −1 1 yC= 1 0 −1 1 0 2 2 2 −1 4 5 3
hallar y su forma can´onica equivalente y su rango. Hallar productos Q y P de matrices elementales tales queCA=P AQ. Proceder an´alogamente con las matricesB yC. 9. (∗) Demostrar que si todas las filas de una matriz A suman α y todas las filas de una
matrizB suman β, entonces todas las filas de su producto sumanαβ.
10. Calcular, por el m´etodo de Gauss, el rango de la matrizA. Utilizar el mismo m´etodo para encontrar la matriz inversa deB.
A= 0 −1 3 1 −1 2 0 2 0 4 8 1 1 3 5 −2 , B = 2 1 3 0 −1 1 0 −2 0 1 2 0 1 0 1 1 .
11. Hallar la inversa de cada una de las siguientes matrices:
a) 3 3 4 1 1 1 3 4 3 , b) −1 0 1 0 1 −1 0 1 1 1 −1 0 1 1 1 −1 , c) 1 a 0 0 0 0 1 a 0 0 0 0 1 a 0 0 0 0 1 a 0 0 0 0 1 .
12. (∗) Dadas dos matrices, K ∈ Mn×m(K) y L ∈ Mm×n(K) cuyo producto KL = In es la matriz identidad, decimos que K (resp. L) tiene inversa por la derecha (resp. por la izquierda). Esto generaliza la noci´on de matriz invertible. Demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes:
(i) K tiene inversa por la derecha.
(ii) rg(AK) = rg(A) para cualquier matrizAcon ncolumnas. (iii) rg(K) =n.
¿Qu´e se puede decir de la unicidad de la inversa deK por la derecha si admite alguna? Formular y probar la caracterizaci´on an´aloga para la inversa por la izquierda.
13. Seaα∈R. Demostrar que para cada enterok≥1 se cumple:
cosα −senα senα cosα k = cos(kα) −sen(kα) sen(kα) cos(kα) .
Lista n´umero cuatro. Determinantes.
1. Calcular los siguientes determinantes:
a) 1 −2 −3 4 −2 3 4 −5 3 −4 −5 6 −4 5 6 −7 , b) 1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 −1 1 1 1 , c) 1 +i 1 2 0 2 +i 3 4 3 4 +i 2 3 2 1−i 2 4 6 , d) x+a b c a x+b c a b x+c , e) 1 1 1 a b c b+c c+a a+b , f) 1 2 0 0 0 3 4 0 0 0 −8 9 2 −7 7 5 −6 0 1 8 8 7 0 0 −1 , g) 1 2 3 4 · · · n −1 0 3 4 · · · n −1 −2 0 4 · · · n .. . ... ... ... . .. ... −1 −2 −3 −4 · · · 0 ,
2. a) (∗) Dados escalaresa1, . . . , an, b1, . . . , bn, calcular el determinante
Dn= det a1+b1 b1 b1 · · · b1 b2 a2+b2 b2 · · · b2 b3 b3 a3+b3 · · · b3 .. . ... ... . .. ... bn bn bn · · · an+bn .
b) Suponemosn= 6, a1=· · · =a6= 1 y cada bk =xk. Para qu´e valor del enteroxse cumple queD6= 1093.
3. (∗) Calcular, para cada enteron≥2,el determinante
∆n= det 12 22 · · · n2 22 32 · · · (n+ 1)2 .. . ... . .. ... n2 (n+ 1)2 · · · (2n−1)2 .
4. (∗) Sea A∈ M3(Z) una matriz m´agica de orden 3, esto es, sus coeficientes son n´umeros
enteros y la suma de los elementos de cada fila coincide con la suma de los elementos de cada columna y coincide tambi´en con lo que suma cada una de las diagonales. Demostrar que el determinante deA es m´ultiplo entero de la suma de los coeficientes deA.
5. (∗) Consideremos la siguiente disposici´on del tri´angulo de Tartaglia 1 1 1 1 1 1 . . . 1 2 3 4 5 . . . 1 3 6 10 . . . 1 4 10 . . . 1 5 . . . 1 . . .
Calcular el determinante de la matriz cuadrada de ordennque forman losn2coeficientes
6. Determinar para qu´e valores dea∈Ctiene inversa la matriz A= −1 a 0 2 0 a −1 3 −1 , y calcularla. 7. a) Probar que 1 cosx cos 2x
cosx cos 2x cos 3x
cos 2x cos 3x cos 4x
= 0 para todo n´umero realx.
b) ¿Por qu´ex= 2 es soluci´on de la ecuaci´on
x 4 2 3−x x 1 1 1 +x x = 0? Hallarlas todas.
8. (∗) Seannun n´umero entero mayor que 1 yu, v dos n´umeros reales. Discutir, en funci´on de los valores de estos dos ´ultimos, el sistema de ecuaciones lineales
u x1 + x2 + x3 + · · · + xn = 1 x1 + u x2 + x3 + · · · + xn = v x1 + x2 + u x3 + · · · + xn = v2 .. . ... ... ... ... x1 + x2 + x3 + · · · + u xn = vn−1.
9. (∗) Encontrar todas las ternas de n´umeros complejosa, b, cque satisfacen las igualdades
a + b + c = 3 a2 + b2 + c2 = 3 a3 + b3 + c3 = 3
10. Comprobar que para cualquier matriz A=
a b c d ∈ M2(K) se cumple A2−(a+d)A+ det(A)I2= 0.
Deducir que siAes invertible, entoncesAdj(A) = (a+d)I2−A, y obtener una f´ormula de c´alculo deA−1. ¿Cu´ando esAsu propia inversa?
Lista n´umero cinco. Espacios vectoriales.
1. Consideremos el conjuntoR2 con la operaci´on interna:
(x, y) + (x0, y0) = (x+x0, y+y0),
y una de las siguientes operaciones externas:
λ(x, y) = (λx,0), o (λx, λy), o (λ+λx−1, λ+λy−1), o (λy, λx).
Decidir en cada caso si las operaciones definen una estructura de espacio vectorial enR2.
2. EnR3 definimos las operaciones suma⊥y producto por escalares?como sigue:
(x1, x2, x3)⊥(y1, y2, y3) = (x1+y1+ 1, x2+y2−1, x3+y3+ 3), λ ?(x1, x2, x3) = (λx1+λ−1, λx2−λ+ 1, λx3+ 3λ−3).
Estudiar si (R3,⊥, ?) es o no un espacio vectorial real.
3. (∗) Sean V1 yV2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorialE, ambos distintos de E. Demostrar queV1∪V26=E.
4. Sea E el espacio vectorial de las aplicaciones de R en R. Demostrar que los siguientes
subconjuntos son subespacios vectoriales deE:
E1={f ∈E:f(3) = 0}; E2={f ∈E;f(7) =f(1)}yE3={f ∈E:f(−x) =−f(x)}
5. Determinar cu´ales de los siguientes subconjuntosV del espacio vectorialEson subespacios vectoriales. (1) E=R5 yV ={(x 1, x2, x3, x4, x5)∈R5:x1+ 2x3−x4=x2+ 3x3−4x5= 0}. (2) E=Rn yV ={(x 1, . . . , xn)∈Rn:x1+· · ·+xn= 3}. (3) E=R3 yV ={(1 +a+b,1−a,1−b)∈ R3:a, b∈R}. (4) E=Rn yV ={(x1, . . . , xn)∈Rn:xi≤0, 1≤i≤n}. (5) E=R3 yV ={(t, t2, t3)∈R3:t∈R}.
6. (∗) ¿Es el conjuntoT ={(x, y, z)∈R3: 3x2+y2−z2= 0}un subespacio vectorial deR3?
¿Qu´e subespacios deR3contienen a T?
7. Estudiar la dependencia lineal de los vectores:
(1)u1= (1,2,1,0), u2= (−1,3,4,1), u3= (3,1,0,4), u4= (5,1,2,1) enR4.
(2)f1=T3, f2=T2+T3, f3= 2 +T+T3, f4= 6 + 3T+T2+ 6T3 en
C[T].
8. a) Determinar los valores de los n´umeros realesa y b para que el vector (1,4, a, b) sea combinaci´on lineal de los vectores (1,2,−1,2) y (0,1,2,1).
b) Demostrar que para cada terna de n´umeros realesa,byclos vectores (1, a, b), (0,1, c) y (0,0,1) son linealmente independientes.
c) ¿Para qu´e valores de los n´umeros reales a y b son linealmente independientes los vectores
(1,1,0, a),(3,−1, b,−1) y (−3,5, a,−4)?
9. Hallar tres polinomios P1(X), P2(X) y P3(X) en R5[X] linealmente independientes tales
quePi(0) = 1,Pi(1) = 0 yPi(2) =−5 (i= 1,2,3).
10. Escribir la matrizE=
3 1
1 −1
como combinaci´on lineal de de las matrices:
A= 1 1 1 0 , B = 0 0 1 1 y C= 0 2 0 −1 .
11. Sean{u1, . . . , un}vectores linealmente independientes en un espacio vectorialE. Se definen nuevos vectores v1=u1, vj=u1− j X i=2 ui, para 2≤j≤n.
Estudiar si los vectores{v1, . . . , vn}son tambi´en linealmente independientes. 12. Sean u1, u2, u3 yu4 vectores deKn tales que las ternas de vectores
{u1, u2, u3}, {u1, u2, u4}, {u1, u3, u4}, {u2, u3, u4}
son linealmente independientes. ¿Se puede asegurar que tambi´en son linealmente indepen-dientes los vectores{u1, u2, u3, u4}?
13. Sean a, b, c∈Cy consid´erense los tres vectores
u1= (a, a2, a3), u2= (b, b2, b3), u3= (c, c2, c3).
¿Qu´e debe cumplirse para que sean linealmente independientes? 14. En el espacio vectorialE =RRformado por todas las funciones
R→Rse consideran las
siguientes
f1:R→R:x→1; f2:R→R:x→senx; f3:R→R:x→cosx;
f4:R→R:x→sen2x; f5:R→R:x→sen(x+ 2); f6:R→R:x→cos2x.
¿Cu´al es el m´aximo n´umero de ellas linealmente independientes?
15. Consideremos el espacio vectorial real formado por las funciones continuas reales de varia-ble real, y para cadaλ∈Rel subconjunto
Eλ={f ∈E:f(0) =λ}.
Lista n´umero seis.
Espacios vectoriales de tipo finito.
1. (∗) En el conjuntoRde los n´umeros reales se considera la estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo Q de los n´umeros racionales, en la que la suma de elementos de Res la
habitual, y el producto del escalarλ∈Qpor el vectoru∈Res el producto usualλudeλ
yu como n´umeros reales. Comprobar que esto define efectivamente enRuna estructura
de espacio vectorial sobreQy decidir si se trata o no de un espacio vectorial de tipo finito.
2. SeaB={u1, u2, u3, u4}una base del espacio vectorialE. Estudiar si los vectores
v1=u1−u3+ 2u4, v2= 2u1+ 3u2+u3+u4, v3=u1+ 3u2+ 2u3−u4 yv4=u1+u2+u4
son linealmente independientes. Extraer de ellos el mayor n´umero posible que lo sean, y construir una base deEque contenga a esos elegidos.
3. Estudiar si los conjuntos siguientes son base del espacio vectorial dado: a) {1, X+ 3,(X+ 3)2,(X+ 3)3} en R3[X]. b) 1 0 1 1 , 0 1 1 1 , 1 1 0 1 , 1 1 1 0 enM2(R). c) 1 1 1 1 , 1 −1 −1 1 , −1 1 1 −1 , −1 0 0 1 enM2(R).
4. a) Demostrar que los conjuntos siguientes son bases deR4:
B1={(1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,1),(0,0,0,1)}, B2={(1,2,0,0),(0,1,2,−1),(1,−1,−1,−1),(0,1,1,0)}.
b) Encontrar las coordenadas del vectoru= (1,2,−1,−2) respecto de cada una de las bases anteriores.
5. Estudiar si son dependientes o independientes los siguientes conjuntos de vectores y en-contrar una base del subespacio vectorial que generan:
a){(2,3,1),(1,0,1),(0,3,−1)};
b){(2,3,1,0,1),(0,1,2,1,4),(0,0,1,4,5),(0,0,0,3,1)};
c){(1,2,1),(2,4,1),(−3,−6,−3)}. 6. EnK3 se consideran los subespaciosE
1=L[(1,2,1),(1,3,2)] yE2 =L[(1,1,0),(3,8,5)]. Comprobar queE1=E2. 7. Se considera la matrizA= 2 1 −2 0
. Probar que el conjunto
H={X∈ M2(K) : XA=AX}
es un subespacio vectorial deM2(K) y calcular su dimensi´on.
8. En el espacio vectorialK5consideramos el subespacio vectorialLde ecuaciones impl´ıcitas:
x + 2y − z = 0 y + 2z − t + w = 0 3x + 4y − 7z + 2t − 2w = 0
a) Comprobar que los vectoresu1= (1,0,1,1,−1) yv1= (0,0,0,1,1) pertenecen aL. b) ¿Son linealmente independientes los vectoresu1 yv1?
d) Prolongar{u1}hasta una base B2 deL, que no contenga a ning´un m´ultiplo dev1. e) Escribir las coordenadas de los vectores: (2,−1,0,0,1), (1,1,3,5,−2) respecto de las
basesB1 yB2.
9. ¿Es {(2,1,1),(−2,1,3),(1,3,1)} una base de K3? Obtener las coordenadas de (1,1,1)
respecto de dicha base. Hallar la matriz del cambio de base respecto a la base est´andar. 10. SeaK3[T] el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 3. Probar que
{(1 +T)3, T(1 +T)2, T2(1 +T), T3} es una base de
K3[T] y hallar las coordenadas de
los polinomios 1, T, T2, T3. respecto de esta base. Calcular las matrices de cambio de base
correspondientes.
11. Dados los conjuntos de vectores
B={(3,2,5),(2,1,3),(1,0,2)} y B0={(−2,1,3),(−2,1,2),(1,−1,3)}:
a) Demostrar que son bases de K3 y hallar las matrices del cambio de base en los dos
sentidos.
b) Hallar las coordenadas respecto de la base B0 del vectorv ∈
K3 cuyas coordenadas
respecto deB sonvB= (2,−1,−4).
c) Hallar las coordenadas respecto de la baseB del vector w∈ K3 cuyas coordenadas
respecto deB0 son dew
B0 = (0,1,5).
d) Escribir las coordenadas dev ywrespecto de la base estandar.
12. SeaW =L[v1, v2, v3, v4]⊂R[T], dondev1=T3−2T2+ 4T+ 1,v2= 2T3−3T2+ 9T−1,
v3=T3+ 6T−5 yv4= 2T3−5T2+ 7T+ 5. Hallar una base y la dimensi´on deW.
13. Hallar la dimensi´on y una base del subespacioV deK5 cuyas ecuaciones impl´ıcitas son:
x1 + 2x2 + 2x3 − x4 + 3x5 = 0 x1 + 2x2 + 3x3 + x4 + x5 = 0 3x1 + 6x2 + 8x3 + x4 + 5x5 = 0
14. Hallar una base, su dimensi´on y unas ecuaciones impl´ıcitas del subespacioV deK4descrito
con respecto de la base est´andar por las siguientes ecuaciones param´etricas:
V : x1 = 2λ1 − λ2 + λ3 + λ4 x2 = λ1 + λ2 + 2λ3 + λ4 x3 = 3λ1 + 3λ3 + 2λ4 x4 = −λ1 + 5λ2 + 4λ3 + λ4
15. SeaV el subespacio deK5descrito con respecto de la base est´andar mediante las siguientes
ecuaciones impl´ıcitas:
V :
3x1 − 4x2 + x3 + 2x4 + 4x5 = 0 x1 − x3 + 2x4 = 0
Encontrar ecuaciones impl´ıcitas deV respecto de la baseBdeK5formada por los vectores
u1=e1, u2=e1+e2, u3=e1+e2+e3, u4=e1+e2+e3+e4 yu5=e1+e2+e3+e4+e5
16. Hallar un sistema de ecuaciones homog´eneas cuyo espacio de soluciones sea el m´ınimo subespacio que contiene a los vectores (−1,0,1,0,0), (0,−1,1,1,0) y al subespacio de soluciones del sistema:
x1 − x2 + x4 = 0 x1 + x2 + x3 − x5 = 0 x2 + x4 − x5 = 0
Lista n´umero siete.
Operaciones con subespacios.
1. Dado un subconjunto linealmente independiente{u1, u2, u3}de un espacio vectorialE, se consideran los subespaciosH1=L[u1+u2, u2+u3] yH2=L[u1+u2+u3, u2−u3]. ¿Cu´al es la dimensi´on deH1∩H2?
2. SeaB={u1, u2, u3, u4}una base del espacio vectorial E y sean: (i)V el subespacio deE
de ecuacionesx1+x2=x3+x4= 0, y (ii)W el subespacio deE generado por los vectores
w1=u1+u2, w2=u1+u3 yw3 =u1+u4. Calcular las dimensiones de los subespacios
V,W,V ∩W yV +W.
3. Para cada uno de los siguientes pares de subespacios U, W de K4, hallar una base, la
dimensi´on y ecuaciones impl´ıcitas y param´etricas de U, deW, deU+W y deU∩W: a) U =L[(1,1,0,−1),(1,2,3,0)],W =L[(1,2,2,−2),(2,3,2,−3),(1,3,4,−3)]. b) U ={x2+x3+x4= 0},W ={x1+x2= 0, x3−2x4= 0}.
c) U =L[(1,2,1,3),(0,1,2,1),(6,11,4,17)],W : 4x1−x2+x3−x4 = 0. ¿Es directa alguna de las sumasU+W?
4. (∗) En un espacio vectorial E se consideran tres subespacios vectoriales V1, V2, V3, y las igualdades siguientes:
V1∩(V2+V3) =V1∩V2+V1∩V3, V1+V2∩V3= (V1+V2)∩(V1+V3),
Estudiar si son ciertas y, si no, modificarlas para que lo sean.
5. (∗) SeaV un subespacio vectorial propio de un espacio vectorialE de tipo finito. ¿Cu´al es el subespacio vectorial deE generado por el complementario E\V?
6. Para cada escalara∈Kse considera el subespacio vectorial deK3 definido por
Ha ={(x, y, z)∈K3:ax−y+z= 0}.
Seau= (1,1,1). ¿Para qu´e valores dease cumple la igualdadK3=H
a⊕L[u]?
7. (∗) SeanV1 yV2 dos subespacios vectoriales del espacio vectorialE de tipo finito, ambos distintos deE. Supongamos que dim(V1) = dim(V2). Probar que tienen un suplementario com´un: existe un subespacioW ⊂E tal que V1⊕W =E=V2⊕W.
8. Seanayb n´umeros reales y consideremos los subespaciosH y LdeR4 cuyas ecuaciones
impl´ıcitas son H : bx1−bx2+x4 = 0 x3 = 0 yL: (a−1)(2x1−x2)−2x3 = 0 2bx1−(a+b)x2+ 2x4 = 0 a) Calcular la dimensi´on deH yL. ¿Existen valores deaybpara los que H=L? b) ¿C´omo han de serayb para queH+L6=R4?
9. SeaH ⊂R4 el subespacio definido comoH={x−y+z−2t=x−2y+z−t= 0}. Hallar
las ecuaciones impl´ıcitas de un subespacioL⊂R4tal que
R4=L⊕H.
10. (∗) Seannun entero positivo,E =Kn[T] el espacio vectorial formado por los polinomios
de grado menor o igual quencon coeficientes en el cuerpoK.
(1) Dado un polinomio no constantef ∈E, demostrar que
Vf ={P∈E: P es m´ultiplo def}
es un subespacio vectorial deE. Hallar una base deVf y otra de un suplementario suyo. (2) Dados dos subespaciosVf yVg del tipo anterior, describir su intersecci´on.
11. Se consideran las matrices λ+µ −µ
µ λ−µ
conλ, µ∈K.
(1) Mostrar que todas esas matrices constituyen un subespacio vectorialV deE=M2(K).
Hallar una base suya y su dimensi´on.
(2) Demostrar que siM ∈V, entonces Mn∈V para cadan≥0.
(3) Encontrar un suplementario vectorial W deV en E que tambi´en tenga la propiedad (2) y otroW0 que no la tenga.
12. Sean B={u1, u2, u3, u4} una base del espacio vectorial E, v =u1+u2+u3+u4 yL el
subespacio vectorial del que unas ecuaciones impl´ıcitas respecto deBson
x1 − 3x2 − 2x3 = 0
x2 + x3 + x4 = 0
Obtener una base del espacio vectorial cocienteE/Ly calcular las coordenadas, respecto de dicha base, de la clase [v].
13. SeanH ={(x, y, z, t)∈K4:x−y=z+t= 0}yL=L[(2,1,1,1),(0,1,−1,−1),(1,0,1,1)]
subespacios vectoriales deK4.
a) Hallar una base deH y las ecuaciones impl´ıcitas deL. b) HallarH∩L yH+L. ¿Es H+Lsuma directa?
c) SiU =L[(0,2,1,0),(0,0,0,1)] hallarH+U yL+U. ¿Se trata de sumas directas? d) Encontrar una base y la dimensi´on de los espacios cociente:K4/H,
K4/L,K4/(H∩L), K4/(H+L),H/(H∩L) y (H+L)/L.
14. Sean B={u1, u2, u3, u4} una base del espacio vectorialE yL=L[v1, v2],donde
v1=u1+u3, v2=u1+u2−u3−u4
(1) Encontrar en E \ L dos vectores independientes cuyas clases sean (resp. no sean) independientes en el cocienteE/L.
(2) Encontrar cuatro vectores linealmente independientes en E cuyas clases en E/L no sumen 0 y de modo que existan vectores proporcionales a ellos cuyas clases s´ı lo sumen. 15. SeaE=Kn[T] el espacio vectorial de los polinomios de grado≤n.
(1) Mostrar que para cualesquiera a1, . . . , ar ∈Kdistintos dos a dos, el conjuntoVa⊂E formado por los polinomios que se anulan en todos losaies un subespacio vectorial deE. ¿De qu´e dimensi´on?
(2) Sean a1, . . . , ar ∈ K y b1, . . . , bs ∈ K dos colecciones de escalares, en ambos casos
Lista n´umero ocho. Aplicaciones lineales.
1. Determinar cu´ales de las siguientes aplicacionesK2→
K2 son lineales:
f1((x, y)) = (y, x); f2((x, y)) = (0, x); f3((x, y)) = (1, x+y); f4((x, y)) = (x2, y2).
2. Seaf :K2→
K3la aplicaci´on lineal determinada por las condicionesf((1,0)) = (1,1,1) y
f((0,1)) = (1,0,0). Calcularf((2,−1)) y hallar el n´ucleo y la imagen def. 3. Encontrar las ecuaciones de la aplicaci´on linealf :K3→K3que cumple:
f(1,0,1) = (1,0,−1), f(2,1,0) = (0,3,1), f(−1,0,−2) = (0,1,1).
Calcular la imagen y la imagen inversa del subespacioV generado por (1,0,0) y (0,1,1). 4. Seaf :K4→
K3 la aplicaci´on lineal dada por
f(x, y, z, t) = (x+z+t, x+y+ 2z+t, y+z).
a) Encontrar bases de im(f), ker(f) y del espacio vectorial cociente K4/ker(f).
b) Encontrar matrices, respecto de bases adecuadas, de las aplicaciones lineales que inter-vienen en la factorizaci´on can´onica def. Comprobar, mediante el producto adecuado de estas matrices, que la aplicaci´onf se factoriza en la composici´on de las otras tres. c) Calcular bases tales que las matrices de la factorizaci´on can´onica respecto de ellas
tengan ceros y unos en su diagonal principal, y ceros fuera de ella.
5. Consid´erense los vectores deK3: v1= (1,0,0),v2= (0,0,1),v3= (1,1,0) y v4= (1,0,1).
Seanw1 yw2dos vectores cualesquiera de K2.
a) ¿Existe alguna aplicaci´on lineal f de K3 en
K2 tal que f(v1) = w1, f(v2) = w2, f(v3) =w1+w2,f(v4) =w1−w2?
b) Demostrar que existe una ´unica aplicaci´on linealg deK3 enK2 tal queg(v1) =w1,
g(v2) =w2, g(v3) =w1−w2,g(v4) =w1+w2. c) ¿Cu´ales son las posibles dimensiones del n´ucleo deg?
6. (∗) Calcular la matriz respecto de la base est´andar de la aplicaci´on linealf :K3→K3que
cumple las cuatro condiciones siguientes:
i) La recta generada por (1,0,0) tiene por imagen la recta x=z=y.
ii) La imagen del vector (0,1,0) es el vector (−2,1,1).
iii) El n´ucleo def est´a generado por el vector (1,1,1).
iv) La imagen inversa del planoy+z= 0 contiene al vector (0,0,1). 7. Encontrar una aplicaci´on linealf :K3→
K3que cumpla las tres condiciones siguientes:
i)f((1,0,0))∈L[(0,0,1)], ii)f2=f y iii) ker(f) ={(x, y, z)∈K3:x+z= 0}.
8. (i) ¿Existe alguna aplicaci´on linealK1991→
K1991 cuya imagen coincida con su n´ucleo?
(ii) ¿Existen una aplicaci´on lineal inyectivaf :E→F y otra suprayectivag:F →E tales que dim(F) = 357 e im(f) = ker(g)?
9. (∗) Seana, b∈R, f :R3→
R3:x7→y la aplicaci´on lineal dada poryt=Axtdonde
A= 1 1 2 2 0 2 a 1 3 y consideremos el vectoru= (1−b, b,1 +b).
(1) Determinar a y b para que u ∈ im(f) 6= R3. Obtener una base y unas ecuaciones
impl´ıcitas y param´etricas de im(f) y ker(f).
(2) Encontrar un subespacio vectorialL⊂R3de dimensi´on m´ınima entre los que cumplen
10. Sean E la base est´andar deK4 yu1= (1,0,1,0),u2= (0,1,0,1) vectores deK4. Se pide:
a) Construir un subespacioW deK4 tal queK4=W ⊕L[u1, u2].
b) Construir una aplicaci´on linealf :K4→K4 tal que ker(f) =L[u1, u2] e im(f) =W.
c) Decidir si existe alguna aplicaci´on lineal g : K4 → K4 tal que ker(g) = L[e1, e2] e
im(g) =L[e1, e3, u2].
11. (1) Sean f : E → F una aplicaci´on lineal entre espacios vectoriales y V un subespacio vectorial deE. Probar quef−1(f(V)) =V si y s´olo si V contiene al n´ucleo def.
(2) Seanf :E →E una aplicaci´on lineal y u∈E un vector que no est´a en su n´ucleo. Se consideran las siguientes igualdades:
im(f) =L[f(u)] y E =L[u]⊕ker(f).
¿Es cierto que la primera implica la segunda? ¿Y el rec´ıproco?
12. (∗) Seaf :K4→K4:x7→y la aplicaci´on lineal dada por yt=Axt donde
A= 1 1 −2 −1 1 0 −1 −1 2 −1 −1 −2 1 0 −1 −1 .
Hallar un subespacio vectorialV deK4cuya dimensi´on sea mayor que la def(V) y menor
que la def−1(f(V)).
13. Sean E = C3[T] (polinomios de grado ≤ 3), y F = M2(C). Se consideran las bases
B={1, T, T2, T3}deE y B0= 1 0 0 0 , 0 0 1 0 , 0 1 0 0 , 0 0 0 1
deF. Para cadaλ∈Cfijo, consideramos la aplicaci´on linealϕ:E→F
ϕ(a0+a1T+a2T2+a3T3) =a0I+a1A+a2A2+a3A3, dondeA=
λ 0
1 λ
; denotamosM la matriz deϕrespecto de las basesByB0. Se pide:
(1) Calcular, en funci´on deλ, las dimensiones del n´ucleo y de la imagen deϕ.
(2) Comprobar que W ={D ∈ im(ϕ) : tr(D) = 0} es un subespacio vectorial de F, y calcular su dimensi´on.
(3) Seaf :C4→C4:x7→y la aplicaci´on lineal definida poryt=M xt. ¿Para qu´e valores
deλes ker(f)∩im(f)6={0}?
14. (∗) Sean E = K3[T] el espacio vectorial formado por los polinomios de grado menor o
igual que 3 cuyos coeficientes pertenecen al cuerpoKyL el subespacio generado por los polinomios
P1(T) = 3 + 2T+T2, P2(T) =−2−3T +T3, P3(T) = 1−T+T2+T3.
Consideramos el espacio cociente F = E/Ly la proyecci´on can´onica π : E → F y sean
f, g:E→Klas aplicaciones lineales definidas, respectivamente, por:
f :P(T)7→2P(0)−P(1), g:P(T)7→P0(−2).
Lista n´umero nueve. Espacio dual.
1. EnE=K3se considera la baseBconsistente en los vectores (1,0,1),(0,1,−2) y (−1,−1,0).
(1) Encontrar las f´ormulas de los elementos de la base dualB∗ deB.
(2) Calcular las coordenadas respecto deB∗ de las siguientes formas lineales h1(x, y, z) =x+ 2y+z, h2(x, y, z) = 7x+ 14z, h3(x, y, z) = 3x+y+z.
Deducir queh1, h2, h3forman una base del espacio dual E∗.
(3) Calcular las coordenadas de los vectores de la base deEde la que{h1, h2, h3}es dual. 2. Se consideran enE=K4 los vectoresu
1= (1,0,0,1), u2= (0,3,1,0) yu3= (1,0,1,2).
(1) Probar queu1,u2,u3son independientes y encontrar una baseBdeEque los contenga.
Determinar la base dualB∗ deB.
(2) Determinar el subconjuntoX deE∗ consistente en las formas que se anulan enu1y en
u2, pero no enu3. ¿EsX subespacio vectorial deE∗? ¿Qu´e subespacio deE∗ genera X? 3. SeanE=K5 yw1,w2,w3,w4 los elementos deE∗definidos por:
w1(x, y, z, s, t) =x+y+z, w2(x, y, z, s, t) =x+s+t, w3(x, y, z, s, t) =t, w4(x, y, z, s, t) =x+y+ 2z+s+t;
¿existe una base deE∗ que contenga aw1, w2,w3, w4?
4. Hallar las coordenadas de la forma linealw:K4→Kdefinida porw(x, y, z, t) = 3x−5y+
4z+t, respecto de la base dual de la base estandarE ={e1, e2, e3, e4}, y de la base dual de la baseB={(1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,0,0,0)}.
5. Se consideran enK3 y
K4sus bases est´andarE3 yE4, respectivamente. Se pide:
a) Hallar las matrices respecto deE3yE4de todas las aplicaciones linealesf :K3→K4
que cumplen quef(e1) = (−1,1,−1,0),L[f(e2)] =L[(1,0,2,1)] y
ker(f) :
x1 − x2 = 0
x1 + x2 + x3 = 0
b) (∗) Consideramos las formas lineales
h: K4 → K (x1, x2, x3, x4) 7→ −2x1+x2+x3−x4 y k: K 3 → K (y1, y2, y3) 7→ 2y1−y2+12y3
De todas las aplicaciones lineales obtenidas ena), calcular la matriz respecto deE3 y
E4de aqu´ella cuya aplicaci´on lineal dualf∗: (K4)∗→(K3)∗ transformahenk.
c) Sea f la aplicaci´on lineal determinada en el apartado b). Encontrar bases en los espacios vectorialesK3,
K3/ker(f), im(f) yK4de forma que las matrices, respecto de
dichas bases, de las aplicaciones lineales que proporcionan la factorizaci´on can´onica de
f, tienen ceros y unos en sus diagonales principales y ceros fuera de ellas. Determinar esas matrices.
6. Seaf :K3→K3la aplicaci´on lineal dada porf(x, y, z) = (x−2y−2z,−x+z, x−y−2z).
a) Demostrar quef es una simetr´ıa, es decir, que f2=IdR3.
b) Determinar la base de la simetr´ıa: U = {u ∈ K3 : f(u) = u} y la direcci´on de la
simetr´ıa:W ={u∈K3:f(u) =−u}, calculando bases deU y deW.
c) Encontrar una baseBdeK3 tal queMf(B) =
1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 .
d) Sea B∗ la base de (
K3)∗ dual de la base B = {(2,−1,1),(1,1,0),(1,0,1)} de K3.
Escribir la matriz de cambio de baseC(B∗,E∗
3), dondeE3∗ es la base de (K3)∗ dual de
la base est´andar deK3.
e) Construir una aplicaci´on linealg:K3→K3 tal que ker (g) =U e im (g) =W.
7. (∗) SeanB={u1, u2, u3}una base del espacio vectorial realE y para cadaa∈R
conside-ramos la aplicaci´on linealf :E→E cuya matriz respecto de la baseB es
M(a) =Mf(B) = a 1 1 1 a 1 1 1 a .
SeaL el subespacio deE generado por el vectoru=u1+u2+u3. (1) ¿Cu´al es la dimensi´on de ker(f)∩im(f)?
(2) Hallar una base del subespaciof−1(L) y calcular su dimensi´on. (3) SeaB∗={h
1, h2, h3} la base dual deB. Se consideran las formas lineales k=h1+h2−ah3 y `=ah1+h2−3h3
y la proyecci´on can´onicaπ:E→F =E/f−1(L). Determinar para qu´e valores deaexisten elementosϕyψ en el espacio dual deF tales que k=ϕ◦πy`=ψ◦π. ¿Es en tal caso
{ϕ, ψ} una base del dual deF?
8. SeanE=R2[T] (polinomios de grado≤2) y las formas linealesϕ1, ϕ2, ϕ3∈E∗ definidas
por
ϕi:E→R:P(T)7→
Z 1
0
ti−1P(t)dt.
Demostrar que{ϕ1, ϕ2, ϕ3}es una base deE∗, y determinar de qu´e base deE es dual. 9. (∗) SeanV el subespacio deK4generado por los vectores (1,1,1,1) y (1,0,−1,1), yW un
subespacio suplementario deV. Denotamos p:K4 →K4 la proyecci´on lineal sobre W en
la direcci´on deV. Calcular la imagen de la aplicaci´on lineal
p∗: (K4)∗→(K4)∗:α7→α◦p,
y decidir si la forma lineal
β:K4→K:x= (x1, x2, x3, x4)7→x1−x2+x3−x4
pertenece o no a ella.
10. Sean a, b y c tres n´umeros reales y consideramos el subespacio vectorial L de R3 cuyas
ecuaciones impl´ıcitas respecto de la base est´andar sonx−z=y−az= 0.Seanf yg las formas lineales sobreR3 definidas por
f(x, y, z) =bx+y+cz y g(x, y, z) = (1 +c)x−bz,
y sea π : R3 → R3/L la proyecci´on can´onica. Obtener los valores de a, b y c sabiendo
que tanto f comog factorizan a trav´es del cociente R3/Ly que dichas factorizaciones no
Lista n´umero diez.
Polinomio caracter´ıstico. Subespacios invariantes.
1. a) Seaf un endomorfismo no diagonalizable deC2 de traza 2. Calcular det(f).
b) SeaAuna matriz cuadrada de orden dos con traza 5 y determinante 4. ¿Es diagona-lizable?
2. ¿Existe alguna matriz regular de orden 7 con coeficientes reales, cuyo polinomio carac-ter´ıstico sea−X7+X3−X?
3. ¿Existe alg´un endomorfismo f : K9 → K9 con dos subespacios propios H, L tales que
dim(H)−dim(L) = 6 y dim(L(H, L)) = 16?
4. ¿Existe alg´un endomorfismof deK4 tal que los subespacios
W1: ( x−y+z+t= 0 x−z= 0 y W2: ( x−y= 0 x−z= 0
sean los subespacios propios asociados a dos valores propios? 5. Se consideran los siguientes subespacios deK4:
H : ( x−y+z−t = 0 x+y+z+t = 0 L : ( x+y+z = 0 x+ 2z = 0
Probar que existe un ´unico endomorfismof deK4 cuyos valores propios son 1, 2,H es el
subespacio propio asociado a 1 yLes el subespacio propio asociado a 2.
6. Hallar la matriz respecto de la base est´andar del endomorfismo f de K4 que cumple
f(1,0,1,0) = (2,1,−1,0),L[(0,1,−1,0)] es el subespacio de vectores propios de f para el valor propio−1 yH ={x+z=x−y+t= 0} es el subespacio de vectores propios de f
para el valor propio 2.
7. ¿Para qu´e valores dea, b∈Ces diagonalizable, como matriz con coeficientes complejos, la
matriz A= 1 0 0 b 2 b 0 0 a ?
8. Sean ay b dos n´umeros complejos. Consideramos el endomorfismo f de C3 cuya matriz
respecto de la base est´andar es
a −1 −1 1 0 −1 0 b 0
¿Para qu´e valores deaybel n´ucleo def tiene dimensi´on 1 y f no es diagonalizable?
9. Hallar los valores de a y b para que la matriz A =
2 0 0 a 2 0 b 0 a sea diagonalizable en M3(C).Encontrar, para esos valores deayb, una matrizP ∈ M3(C) tal queP−1AP sea
diagonal.
10. Consideremos los subespaciosW yLdeK4cuyas ecuaciones impl´ıcitas respecto de la base
est´andar E4son
W :x=t, y=z y L:y=z=t.
¿Existen endomorfismosf deK4cuyo n´ucleo seaW y cuya imagen seaL? ¿Existe alguno
11. Encontrar la potencian-´esima de la matrizA= −7 −6 12 10 .
12. (∗) En un criadero de conejos se denota por xn e yn el n´umero de machos y hembras al cabo dena˜nos. Sabiendo quex1= 2,y1= 1, y
xn+1 = 5xn−3yn
yn+1 = 6xn−4yn hallar el n´umero total de conejos al cabo de 20 a˜nos.
13. (∗) Calcular el t´ermino general de la sucesi´onxn que cumple
x1= 1, x2=−2 y xn =−xn−1+ 2xn−2.
14. Hallar el polinomio caracter´ıstico, los valores propios y los subespacios invariantes de los endomorfismos deCn cuyas matrices respecto de la base est´andar son las siguientes:
a) −4 −6 0 3 5 0 3 6 5 ; b) 0 1 5 9 2 1 6 8 0 0 0 3 0 0 1 −2 ; c) 1 −3 3 3 −5 3 6 −6 4 ; d) −3 1 −1 −7 5 −1 −6 6 −2 .
¿Cu´ales de los anteriores endomorfismos son diagonalizables? 15. (∗) Denotemosx= (x, y, z, t) y seaf :K4→K4el endomorfismo
f(x) = (2x,−x−y+ 2t,2x−y−z,−3x+ 2t).
Mostrar que los hiperplanosx= 0 yx−3y+ 2t= 0 son invariantes, y obtener todos los planos invariantes def contenidos en los hiperplanos anteriores.
16. (∗) Calcular los subespacios invariantes de los endomorfismos siguientes: a) f :K3→ K3 dado por f(x, y, z) = (−2x−5z, x−y, x+ 2z). b) f :K4→K4 de ecuaciones y1 y2 y3 y4 = −1 2 −1 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 −1 1 −1 x1 x2 x3 x4 c) f :K4→K4 de ecuaciones y1 y2 y3 y4 = 4 2 1 1 −2 0 −1 −1 −2 −2 2 0 0 0 8 2 x1 x2 x3 x4 d) f :K4→K4 definido por f(x1, x2, x3, x4) = (x1,2x2,3x3,4x4).
17. (∗) Denotemosx= (x1, x2, x3, x4) y seaf :C4→C4 el endomorfismo definido por
f(x) = (2x1−x3,−2x1+ 4x2+ 2x3,4x3+x4,4x4).
Calcular todos los autovectores de f, y obtener todos los planos invariantes def en los que est´an contenidos.
Lista n´umero once. Formas de Jordan.
1. Demostrar que cualquier matriz cuadrada real de orden 2 cuyo determinante es negativo, es semejante enM2(R) a una matriz diagonal.
2. SeaA∈ M3(C) una matriz no diagonal con un ´unico autovalorλy que cumple la igualdad
(A−λI)2= 0. Calcular la forma de JordanJ
A de la matrizA. 3. Calcular 2−1 1 0 15 .
4. Hallar la forma de Jordan de una matriz M de orden 13 con coeficientes complejos de la que se sabe que tiene un solo autovalor, el rango de (M −2I13) es ≥ 11 y el rango de (M−2I13)8es 1.
5. (∗) Hallar la forma de Jordan de un endomorfismof deC2n del que se sabe que ker(f) =
im(f).
6. ¿Existe alg´un endomorfismof deR3 con un valor propioλque satisfaga las igualdades
dim(im(f −λId) = 2 y dim(im(f−λId)2) = 0?
7. Seaa, b n´umeros complejos y f el endomorfismo de C3 cuya matriz respecto de la base
est´andar es −1 a−1 −1 1 b a+ 1 1 1 1 ,
Hallaraybsabiendo que im(f) = ker(f◦f), y obtener la forma de Jordan def.
8. Determinar qu´e condiciones deben cumplir los n´umeros complejosαyβpara que la forma de Jordan de la matriz 1 α αβ 0 1 α2β 0 α(1 +β) 1 sea 1 0 0 1 1 0 0 1 1 .
9. Hallar la forma de Jordan de un endomorfismof deC3 tal que ker(f) = im(f2).
10. Hallar una base B del espacio vectorial de los polinomios con coeficientes complejos de grado≤4 tal que la matriz respecto de la baseBdel endomorfismo definido porf(p(X)) =
p(X+ 1) sea una matriz de Jordan.
11. Calcular en funci´on dea, b∈Cla forma de Jordan de
2a −1 0 b 2 0 4 0 b .
12. De un endomorfismof deC5se sabe que su polinomio caracter´ıstico es (2−X)3(X−3)2.
Determinar todas las formas de Jordan posibles def.
13. Discutir seg´un los valores dea,b,c la expresi´on del polinomio m´ınimo de la matriz
A= 1 a b 0 1 c 0 0 1 .
(∗) ¿Es cierto que si los polinomios m´ınimo y caracter´ıstico de un endomorfismo coinciden (salvo signo), entonces el endomorfismo es diagonalizable?
15. Para cada una de las matrices siguientes hallar: los polinomios caracter´ıstico y m´ınimo, la forma can´onica de Jordan, la base de Jordan correspondiente y tambi´en una matrizP tal queP−1M P sea la forma de Jordan de M:
a) −1 1 1 −3 3 1 −2 1 2 , b) 3 −1 0 5 −1 −1 2 −1 1 , c) 0 1 0 −2 3 0 −1 1 1 , d) −1 0 3 −2 −1 2 1 0 −4 0 6 −3 −2 0 2 0 , e) 2 0 1 −1 −1 −1 6 −7 1 1 1 1 2 2 −4 6 , f) 2 2 −3 4 −2 2 1 0 3 3 −5 7 4 2 −6 7 , g) 1 1 −1 2 −1 3 −1 2 1 1 −1 3 2 0 −2 3 , h) 1 0 0 0 −1 2 1 0 −1 0 2 0 −1 0 1 1 , i) 3 1 0 0 −4 −1 0 0 7 1 2 1 −17 −6 −1 0 , j) 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −1 −1 −1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 , k) 2 −2 −9 −2 5 0 0 −2 0 1 1 −1 −4 −1 2 0 0 2 0 −1 1 −1 −4 −1 2 ,
16. ¿Es diagonalizable un endomorfismo f deC2 tal que fk es la identidad deC2 para cierto
enterok≥1?
17. Determinar la forma de Jordan de M =
1 2 −2 1 1 0 1 2 −1 y la suma P2000 n=0(−1) nMn.
18. Encontrar los polinomios caracter´ıstico y m´ınimo de un endomorfismo f deC8 del que se
sabe lo siguiente:
a) sus valores propios son: 1,−1 ei=√−1,
b) la matriz de Jordan correspondiente al valor propio 1 tiene dimensi´on 3 y dos cajas, c) la del valor propio−1 tiene dimensi´on 1,
Lista n´umero doce.
Clasificaci´on de formas bilineales.
1. ¿Cu´ales de las siguientes funciones son formas bilineales sobreRn? a) ϕ((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) =x1|y1|+· · ·+xn|yn|. b) ϕ((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) =|x1y1+· · ·+xnyn|. c) ϕ((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) = (x1+· · ·+xn)(y1+· · ·+yn). d) ϕ((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) = p x2 1y12+· · ·+x2ny2n.
e) ϕ((x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)) = x1y1+· · ·+xkyk donde k es un n´umero natural fijo tal que 1≤k≤n.
En los casos de respuesta afirmativa, estudiar si son sim´etricas o antisim´etricas y calcular la matriz deϕrespecto de la base est´andar de Rn.
2. Sean f, g : E → K dos formas lineales sobre un espacio vectorial E de dimensi´on finita
sobre el cuerpoK. Probar que la funci´onϕ:E×E→Kdefinida porϕ(u, v) =f(u)g(v), para todos los vectoresu, v∈E, es una forma bilineal. SiB={u1, u2, . . . , un}es una base deE, calcularMB(ϕ) en funci´on de las matrices def yg respecto deB.
3. Demostrar que la funci´on
ϕ:R2[X]×R2[X] → R
(p, q) 7→ R1
0 p(t)q(t)dt
es una forma bilineal sim´etrica y calcular su matriz respecto de la base {1, X, X2} de
R2[X]. Calcularϕ(p, q) parap(X) = 1 +X yq(X) = 2X−X2.
4. Determinar cu´ales de las siguientes funciones ϕ : Mn(K)× Mn(K) → K son formas
bilineales:
a) ϕ(A, B) =tr(AtB); b) ϕ(A, B) =tr(A)tr(B).
5. Sea B = {e1, e2, e3} una base del espacio vectorial E y sea ϕ la forma bilineal sobre E
definida porϕ(u, v) =u1v1−u1v2+ 3u2v2, donde
u=u1e1+u2e2+u3e3 y v=v1e1+v2e2+v3e3.
Hallar la matriz deϕrespecto de la baseB0={e0
1, e02, e03}, dondee01=e1+e2+e3,e02=−e2
ye03=e1−e3. Calcular tambi´enϕ(u, v) parau= 2e01+e03 yv=−e0 2+ 2e03.
6. Dada la forma bilineal ϕ:R1[X]×R1[X]→ Rde la que se sabe que es sim´etrica y que
ϕ(X+ 1, X+ 1) = 8,ϕ(X+ 2, X+ 2) = 11 yϕ(X, X) = 3, calcular su matriz respecto de la base est´andar {1, X}deR1[X].
7. Seanλ∈Ryϕ:R2×
R2→Rla forma bilineal dada por
ϕ((x1, x2),(y1, y2)) = 2x1y1−4x1y2+ 5x2y1+λx2y2.
Determinarλpara que ϕsea degenerada. Para este valor deλhallar bases de los subes-pacios vectoriales:
U ={u∈R2:ϕ(u, v) = 0∀v∈R2} y V ={v∈R2:ϕ(u, v) = 0∀u∈R2}
8. Probar que la funci´on ϕ : R2×R2 → R definida por ϕ(x, y) = x1y1−2x1y2+ 3x2y2,
donde x = (x1, x2) e y = (y1, y2) es una forma bilineal y escribirla como suma de una forma bilineal sim´etrica y otra antisim´etrica. Escribir la expresi´on anal´ıtica de la forma cuadr´atica asociada aϕy clasificarla.
9. Dadas las matrices A= 1 0 1 0 2 2 1 2 3 y B = 1 −1 −1 −1 1 1 −1 1 1
hallar dos matrices regularesX eY enM3(C) tales queXtAX eYtBY sean diagonales.
10. Determinar cu´ales de las siguientes formas bilineales sim´etricas son equivalentes i) sobre
R3yii) sobreC3:
a) ϕ1((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) =x1y1−12x1y3−12x3y1,
b) ϕ2((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = 12x1y2+12x2y1−x3y3,
c) ϕ3((x1, x2, x3),(y1, y2, y3)) = 12x1y2+12x2y1+x3y3.
11. ¿Es la funci´onq:R2→R: (x, y)7→x4+y4 una forma cuadr´atica sobreR2?
12. Para cada una de las siguientes formas cuadr´aticasq:Kn →Kdeterminar la forma bilineal
sim´etrica asociadaϕq y una baseBdeKn tal que la matrizMB(ϕ) sea diagonal:
a) q(v) =ix2−2y2 para todov= (x, y)∈C2, b) q(v) = 4x2−9xy+ 5y2 para todov= (x, y)∈R2, c) q(v) = 6xypara todov= (x, y)∈R2, d) q(v) = 2xy+y2−2xz para todov= (x, y, z)∈ R3, e) q(v) =−x2−4xy+ 3y2+ 2z2 para todov= (x, y, z)∈ R3, f) q(v) =xy+yz+ztpara todov= (x, y, z, t)∈R4,
13. Se considera la funci´onq:R2[X]→Rdefinida porq(p) =R01p(t)
2dt. Se pide:
a) Probar queqes una forma cuadr´atica.
b) Calcular la matriz deq respecto de la base B ={1, X, X2} de
R2[X], y determinar
su rango y su signatura. 14. Dada la forma bilinealf :R3×
R3→Rdefinida por
f(x, y) =x1y1+x1y2+x1y3+x2y1+x2y2−x3y1+ 2x3y3
hallar su forma cuadr´atica asociada qf, la matriz de qf respecto de alguna base de R3 y
su signatura. 15. SeaM = 1 2 2 5
.Demostrar que la funci´onϕ:M2(R)×M2(R)→Rdada porϕ(A, B) =
tr(AtM B) es una forma bilineal sim´etrica y calcular su su rango y su signatura. 16. Clasificar las siguientes formas cuadr´aticas sobreR3:
a) φ(x, y, z) =x2−z2−2xy+xz; b) φ(x, y, z) = 2x2+y2+ 5z2−2xy−2yz+ 6xz c) φ(x, y, z) =−x2−2y2−z2+ 2xy+ 2yz.
17. Sean A ∈ M4(K) la matriz cuyo coeficiente de la fila i y la columna j es i−j y M la
matriz antisim´etrica de orden 4 cuyo coeficiente de la filai y la columnaj, coni < j, es
Lista n´umero trece.
Espacios vectoriales eucl´ıdeos.
1. Demostrar que la expresi´on
hu, vi= 10x1y1+ 3(x1y2+x2y1) + 2x2y2+x2y3+x3y2+x3y3,
dondeu= (x1, x2, x3) yv= (y1, y2, y3), define un producto escalar enR3. Hallar una base
ortonormal deR3 respecto a dicho producto escalar.
2. Siu= (x1, x2, x3) yv= (y1, y2, y3), ¿definen las siguientes expresiones productos escalares
enR3?
a) hu, vi= 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+x1y2+x1y3+x2y1+x2y3+x3y1+x3y2. b) hu, vi=x1y1+ 2x2y2+ 3x3y3+ 2x2y3+ 2x3y2.
3. ¿A qu´e intervalo debe pertenecer el n´umero realapara que la forma cuadr´aticaq(x, y) = 2x2+axy+ 6y2 sobre
R2 sea definida positiva?
4. Hallar una base ortonormal de los siguientes subespacios vectoriales de R4 respecto del
producto ecalar usual:
V1=L[(2,0,0,1),(1,2,2,3),(5,2,2,5)] V2=L[(−1,0,1,1),(2,1,1,1),(0,1,3,6)] V3=L[(1,1,−1,1),(2,1,1,2),(3,1,1,1)]
V4=L[(0,1,0,1),(2,1,0,1),(−1,0,0,1),(0,0,1,0)]
5. Sea W = {x+y+z = 0} ⊂ R3. Calcular la proyecci´on ortogonal sobre W del vector
u= (1,1,0). Calcular tambi´en su proyecci´on sobreW⊥.
6. Seap:R2→R2 la proyecci´on ortogonal deR2 sobreW =L[(3,4)]. Se pide hallar:
a) la matriz deprespecto de la base est´andar deR2,
b) una base del complemento ortogonal deW, y
c) una base ortonormalB deR2 tal que la matriz deprespecto deB sea
1 0 0 0
. 7. (∗) Probar que rg(A) = rg(AtA) para toda matrizA∈ Mn(R).
8. Demostrar que el producto vectorial cumple la siguiente igualdad:
ku×vk2=kuk2kvk2− hu, vi2.
Deducir que el producto vectorial no depende de la base salvo producto por±1, y que esta ambig¨uedad se resuelve mediante la condici´on de signo
det{u×v, u, v}>0.
9. (∗) Demostrar la siguiente propiedad del producto vectorial:
u×(v×w) =hu, wiv− hu, viw.
¿Es este producto asociativo?
10. (∗) La Universidad organiza una fiesta, al comienzo del curso acad´emico, a la que est´an invitados todos los estudiantes del programa Erasmus. En ella, dos de un mismo pa´ıs no se saludan, pues ya se conocen, mientras que dos de pa´ıses distintos pueden saludarse o no, pero en el primer caso una ´unica vez. A la fiesta asisten, en total, m estudiantes de
npa´ıses diferentes. Demostrar que el n´umero total de saludos no excede de 21nm2(n−1).
Lista n´umero catorce.
Endomorfismos de espacios vectoriales eucl´ıdeos.
1. La matriz de una rotaci´on vectorial f respecto de una base {u, v} de R2 que define la
misma orientaci´on que la base est´andar es
1 −3/2 2/3 0
Determinar el ´angulo de rotaci´on, el ´angulo que forman uyv y la raz´on kvk
kuk.
2. Seaf una simetr´ıa axial deR2de ejeL[u]. Probar que para cada vectorv∈R2 el ´angulo
que forman los vectoresv yf(v) es el doble del que formanv yu.
3. Dada la baseB={u1= (1,1,0), u2 = (1,0,1), u3 = (1,2,0)} de R3 y los endomorfismos
f, gyhdeR3cuyas las matrices respecto deBson
a) 4 3 6 −1 −1 −1 −2 −2 −3 , b) 0 −5 1 0 1 0 1 3 1 , c) 1 0 −1 1 2 3 0 1 1 .
respectivamente, decidir cu´ales son ortogonales.
4. (∗) Describir geom´etricamente el endomorfismof de R3 cuya matriz respecto de la base
est´andar es 3/4 1/4 √6/4 1/4 3/4 −√6/4 −√6/4 √6/4 1/2
5. Hallar el eje y el ´angulo de giro de la rotaci´on vectorial deR3 cuya matriz respecto de la
base est´andar es
1 9 8 1 −4 −4 4 −7 1 8 4
6. Escribir la matriz de la rotaci´on vectorial de R3 de ´angulo α= π
4 en torno al eje L[u1],
dondeu1= (1/√2,1/√2,0), eligiendo como orientaci´on paraL[u1]⊥ la inducida por u1. 7. Sea A= 1 0 0 1 0 −1 1 −1 0
la matriz, respecto de la base est´andar, de un endomorfismo f de R3. Comprobar que
se trata de una simetr´ıa y calcular su direcci´on y su base. ¿Esf una simetr´ıa ortogonal respecto del producto escalar usual?
8. Encontrar las ecuaciones de la simetr´ıa especular respecto del plano 2x+y+z= 0.
9. Dada la matriz con coeficientes reales A =
1 0 1 0 0 1 −2 0 1 −2 5 0 0 0 0 6
, encontrar una matriz
ortogonalC tal queCtAC sea diagonal.
10. a) ¿Existe alg´un endomorfismo de R3 que sea autoadjunto respecto del producto escalar
usual, y cuyos subespacios propios sean los subespaciosW yU de ecuaciones impl´ıcitas:
W :
(
x+y+z= 0
11. Seaφla forma bilineal sim´etrica de R3cuya matriz respecto de la base est´andar es Mφ(E3) = −1 −2 0 −2 3 2 0 2 2
Encontrar una base ortonormalBdeR3 tal queMφ(B) sea diagonal.
12. Seaφla forma bilineal sim´etrica de R3cuya matriz respecto de la base est´andar es
3 1 −2 1 3 −2 −2 −2 4
a) Demostrar queφes un producto escalar y encontrar el complemento ortogonal de la recta:x−y= 0, y−z= 0 en el espacio vectorial eucl´ıdeo (R3, φ),
b) Consideramos el endomorfismo deR3 f(x, y, z) =1 2(3x+y), 1 2(x+ 3y), 1 2(x+y+ 2z) .
Comprobar que todos los vectores del plano:x+y= 0 son vectores fijos def. c) Encontrar, si es posible, una base ortonormal de (R3, φ) formada por vectores propios
def. ¿Esf un endomorfismo autoadjunto de (R3, φ)?
13. Sean{xn},{yn}dos sucesiones de n´umeros reales que satisfacen las siguientes condiciones:
xn+1= √ 2 2 (xn−yn), yn+1= √ 2 2 (xn+yn),
conx1=−1,y1= 3. Calcularx34,y34; x84,y84;x1747,y1747;x40000, y40000. 14. Calcular −7/9 4/9 4/9 4/9 −1/9 8/9 4/9 8/9 −1/9 2001 , 1/9 8/9 −4/9 −4/9 4/9 7/9 8/9 1/9 4/9 1999 .
15. (∗) Seaf el endomorfismo de R4 cuya matriz respecto de la base est´andar E4 es
M = 2 1 0 0 1 2 0 0 0 0 2 1 0 0 1 2 .
a) Encontrar una base ortonormalBdeR4 tal que la matrizN =M
f(B) sea diagonal, y hallar una matriz invertibleP tal queN =P−1M P.
b) SeaF la forma bilineal sim´etrica sobre R4 cuya matriz respecto de la base est´andar
esM. Demostrar que F define un producto escalar en R4, y encontrar una base B0
de R4 tal que la matriz MF(B0) sea diagonal. Encontrar adem´as una base que sea ortogonal respecto del producto escalarF y respecto del producto escalar usual. c) Encontrar un endomorfismo deR4distinto de±Id que sea simult´aneamente ortogonal
respecto deF y respecto del producto escalar usual.
16. Clasificar, seg´un los valores del par´ametro reala, las formas cuadr´aticas reales
fa(x, y, z) =x2+y2+ (a+ 1)z2+ 2ayz+ 2xz y ga(x, y, z) =x2+ 2y2+ 2z2−2xy+ 2ayz.
Lista n´umero quince. Subvariedades afines.
1. ¿Es af´ınmente independiente el conjunto de puntos deK3:{(1,2,3),(−1,3,1),(7,−1,9)}?
2. Demostrar que los conjuntos de puntos
{(1,−1,2),(2,0,2),(2,−2,2),(1,−1,3)} y {(0,1,1),(1,1,2),(1,1,0),(0,2,1)}
son referencias afines de K3. Construir, para cada uno de ellos, la referencia cartesiana
asociada; encontrar la matriz de cambio de referencia, y obtener las coordenadas del punto (0,1,1) respecto de cada uno de dichos sistemas de referencia.
3. Demostrar que
R={p= (1,1,0);u1= (0,0,2), u2= (−1,1,1), u3= (−1,0,1)}
es un sistema de referencia cartesiano de K3. Hallar las coordenadas respecto de R del
punto (1,1,1), y las ecuaciones respecto de Rdel subespacio af´ın que pasa por el punto (1,−1,1) y cuya direcci´on esW =L[(0,1,0),(1,0,1)].
4. Sea A un plano af´ın. Si las coordenadas de cierto punto p ∈ A respecto del sistema de referenciaR1 ={O;u1, u2} son (3,6) y respecto de R2 ={O0;v1, v2} son (−1,1), hallar
las coordenadas deO0 respecto deR1 sabiendo quev1= 2u1−u2 yv2= 3u1. 5. En el espacio af´ın de dimensi´on tres se considera la rectarde ecuaciones impl´ıcitas
r:
x1 − 2x2 + 3x3 = 1
x1 + x2 − x3 = −1
respecto de cierto sistema de referenciaR1={p;e1, e2, e3}. Encontrar unas ecuaciones de dicha recta respecto del sistema de referencia
R2={q=p+ 3e1;u1=e1−e2, u2=e2−e3, u3=e1+e3}.
6. En el espacio af´ın de dimensi´on cinco se consideran los subespacios afines
M :{x1= 1, x2= 0, x3= 1, x4= 0} y N :{x1= 0, x2= 1, x5= 5}
Determinar la posici´on relativa deM yN. Obtener ecuaciones impl´ıcitas del menor subes-pacio af´ınV(M, N) que contiene aM ∪N.
7. En el espacio af´ın de dimensi´on cinco, se consideran los subespacios afines de ecuaciones impl´ıcitas, respecto de cierto sistema de referencia,
M ={x1−3x2+ 5x3−x4= 3, x1+ 2x2−3x3−2x4+x5= 1} N ={x1−2x2+x3−x4+x5= 3, x2+x3−x4+x5= 2}
a) Hallar la posici´on relativa deM yN, ecuaciones impl´ıcitas deM∩N y deV(M, N), un conjunto de puntos af´ınmente independiente que genereM∩N y otro que genereV(M, N).
b) Hallar un punto y el subespacio de direcci´on deM∩N.
8. En el espacio af´ın real de dimensi´on cinco, se consideran los subespacios afines de ecuaciones impl´ıcitas, respecto de cierto sistema de referencia,
M ={x1−2x2+x3−x4= 3, x1−x2−3x3+x4+ 2x5= 1}
N ={2x1−3x2−2x3+ 2x5= 3, x2−4x3+ 2x4+ 2x5= 2, x1−x2+x3= 0}
Calcular la posici´on relativa de ambos subespacios, las ecuaciones impl´ıcitas deM∩N y deV(M, N), as´ı como un conjunto de puntos af´ınmente independiente que genereM∩N
9. En el espacio af´ın de dimensi´on 4 se consideran los planos afines
π1={x1= 1, x1+x2−x3−x4=−1} y π2={x1+x2−x3= 0,2x1+x2−x3−2x4=−1}.
a) ¿Cu´al es la posici´on relativa deπ1yπ2?
b) Calcular una ecuaci´on o ecuaciones impl´ıcitas deV(π1, π2) y un conjunto de puntos af´ınmente independientes que genereV(π1, π2).
c) Encontrar un planoπ3 que se cruce conπ1.
10. En el espacio af´ın de dimensi´on 4 se consideran los puntosA= (1,0,0,0) yB= (1,1,1,1), el hiperplano de ecuaci´onη:x−y+z−t= 2 y el plano de ecuaciones param´etricas
π: x = 1+ λ − µ y = λ + µ z = 2 + λ t = = −1 + µ
Sea R={(1,−1,0,0); (1,1,0,0),(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,0,0,1)} otro sistema de referen-cia. Se pide:
a) Hallar las coordenadas de los puntosAyB y las ecuaciones deη yπrespecto de R. b) Calcular, respecto del sistema de referenciaR, las ecuaciones impl´ıcitas del plano que
pasa por los puntosAyB y es paralelo a la recta intersecci´on deη yπ. 11. Determinar la recta deK4 que es paralela a los hiperplanos afines
H1: 3x+ 2y−z+ 8t= 2 y H2:x−y−z= 3,
pasa por el puntoA= (1,0,1,0) y corta al plano de ecuaciones: 2x−y= 0,y+z= 5. 12. Consideramos el plano π y dos puntos P y Q de K4, cuyas ecuaciones y coordenadas
respecto del sistema de referencia est´andar son, respectivamente,
π:
(
x+y= 0
z+t= 1 , P= (1,−1,0,1), Q= (1,0,0,0). a) Encontrar un planoπ0 tal queπ∩π0={P}.
b) Encontrar una rectarque pase por el puntoQy tal queV(r, π) =K4.
c) ¿Existe una rectastal queP ∈syV(s, π) =K4?
d) Hallar un sistema de referenciaR deK4 tal que las ecuaciones de π respecto de R
seanx= 0, z= 0.
13. En el espacio af´ınK4 se consideran los subespacios afinesM yN de ecuaciones
M : x = λ + µ y = 1 − λ + µ z = −1 + λ + µ t = − λ N : x − 2y − 2z + t = 4 x − 2z − t = −2 x − y − 2z = 1
a) Estudiar la posici´on relativa de M yN.
b) Encontrar una recta paralela aM y que est´e contenida enN.
c) ¿Existe alg´un sistema de referencia deK4 respecto del cual las ecuaciones deM sean
x= 0,y= 0?
14. a) Encontrar unas ecuaciones impl´ıcitas de la recta deK3que pasa por el punto (0,1,0)
y es paralela a los planosπ1:x+y+ 2z= 4 yπ2:x−y−z= 1.
b) Estudiar la posici´on relativa de las rectas
r: ( x − y + z = 0 2x + y + z = 1 y s: x = 1 + λ y = 2 + λ z = + λ
Lista n´umero dieciseis. Aplicaciones afines.
1. En cada uno de los siguientes casos hallar la matriz, respecto del sistema de referencia est´andar, de la aplicaci´on af´ın f de K2 que satisface las condiciones dadas. Encontrar
adem´as el conjunto de puntos fijos def.
a) f(0,0) = (1,−1), f(1,0) = (3,−1), f(0,1) = (2,2); b) f(2,1) = (1,2),f(−1,−1) = (1,1), f(0,1) = (2,−1); c) f(`1) =m1,f(`2) =m2, f(`3) =m3 donde
`1:x= 1;`2:y=x;`3:y=−2;m1: 2x−y= 0;m2:x+y= 0;m3: 2x+y= 1.
2. SeanA1 yA2 dos espacios afines yf :A1→A2 una aplicaci´on af´ın cuya matriz respecto
de los sistemas de referenciaR1={p;e1, e2, e3} deA1 yR2={q;u1, u2} deA2 es
M = 1 0 0 0 3 1 0 0 0 0 1 1
Determinar la matriz def respecto de los sistemas de referencia cartesianos
R01={p+e1+ 2e3;e3, e1+e2, e2+e3} y R02={q+ 2u1;u1+u2,−u2}.
3. (∗) Hallar la matriz, respecto del sistema de referencia est´andar, de la aplicaci´on af´ın
f de K2 que deja invariantes todas las rectas que pasan por el punto (2,1) y tal que
f(1,0) = (4,3).
4. (∗) Hallar la matriz, respecto del sistema de referencia est´andar, de la aplicaci´on af´ın f
de K2 que cumple que toda recta r es paralela a f(r), el punto (1,3) permanece fijo y f(2,1) = (4,−3).
5. Sean las rectasr1:x−2y=−2,r2:x+y= 1 yr3:x+ 4y=−2 deK2. Escribir la matriz
respecto del sistema de referencia est´andar de la aplicaci´on af´ınf deK2 que transforma r1, r2yr3 enr3, r2yr1 respectivamente.
6. (∗) Sean `1, `2 ⊂ K2 las rectas de ecuaciones x+y = 1 y x−y = 1 respectivamente.
¿Existe alguna aplicaci´on af´ın f de K2 del que`1 y `2 sean rectas invariantes, de modo
quef|`1 sea una simetr´ıa central yf|`2 sea una homotecia de raz´on 3? ¿Es f ´unico? En caso afirmativo,
a) ¿cu´ales son las rectas deK2 invariantes porf?
b) ¿cu´ales son los puntos fijos def?
c) ¿cu´al es la matriz def respecto del sistema de referencia cartesiano est´andar? 7. Hallar la imagen por la aplicaci´on af´ınf deK3 cuya matriz respecto del sistema de
refe-rencia est´andar es
1 0 0 0 −1 2 −1 1 2 1 1 2 0 0 1 0
del plano de ecuaci´onx−y+ 2z= 1. Describir el subespacio de puntos fijos de f. 8. Hallar el centro y la matriz respecto del sistema de referencia est´andar de la homotecia f
