Propagación de ondas en medios no lineales

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(1)Propagación de ondas en medios no lineales. Realizado por Ing. Juan Daniel Moya Robayo. Asesor Prof. Dr.-Ing. Arcesio Lizcano Peláez. Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Civil y Ambiental 2011.

(2) Tabla de Contenido 1. Introducción. 2. 2. Modelos Constitutivos. 4. 2.1. Elasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.2. Elasto-Plasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2.1. Elastoplasticidad Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.2.2. Endurecimiento por deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2.3. Transición al caso 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.4.. Modelo de Bounding Surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. 2.3. Hipoplasticidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3. Modelos de Referencia. 32. 3.1. Modelo S ANISAND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2. Modelo Hipoplástico de V-W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3. Extención de los modelos de referencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.1. Modificaciones al modelo S ANISAND . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.2. Modificaciones al modelo Hipoplástico . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4. Limitaciones de los modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4. Métodos de Integración. 68. 4.1. Integración Explícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1.1. Integración explícita de E ULER hacia atras . . . . . . . . . . . . . . 70 4.1.2. Integración explícita con control de error . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.2. Integración implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 5. Propagación de Ondas. 94. 5.1. Ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 5.2. Método de elementos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 II.

(3) TABLA DE CONTENIDO. MIC 2011-10-16B. 5.2.1. Principios variacionales . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Formulación integral de las ecuaciones diferenciales 5.2.3. Aplicación a la ecuación de movimiento . . . . . . . 5.2.4. Esquema de solución no lineal . . . . . . . . . . . . 5.3. Implementación en P LAXIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Ejemplos de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. . . . . . .. 98 99 100 102 105 109. 6. Conclusiones. 115. A. Códigos de las UMAT’s implementadas A.0.1. U MAT S ANISAND 2004 . . . . . A.0.2. U MAT Hipoplasticidad . . . . . . A.0.3. Subrutina User_Mod para P LAXIS A.0.4. Subrutina MyModel para P LAXIS . A.0.5. Subrutina User_add para P LAXIS. 118 119 139 146 148 152. III. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ..

(4) Índice de figuras 2.1. Mecanismo friccionante unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.2. Esquema de endurecimiento isotrópico para el modelo 1D . . . . . . . . . . 14 2.3. Esquema de endurecimiento cinemático para el modelo 1D . . . . . . . . . . 16 2.4. Envolventes de respuesta del modelo hipoplástico para condiciones de carga axisimétricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.5. Envolventes de respuesta de la parte lineal y no lineal de la ecuación hipoplástica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6. Envolventes de respuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.1. Representación geométrica de la superficie de fluencia. . . . . . . . . . . . . 34 3.2. Esquema de las tres superficies adicionales en el plano π. . . . . . . . . . . . 36 3.3. Comparación entre los ensayos realizados por V ERDUGO et al.[38] y las simulaciones hechas con la U MAT S ANISAND en ensayos de compresión no drenados para e0 = 0,735. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4. Comparación entre los ensayos realizados por V ERDUGO et al.[38] y las simulaciones hechas con la U MAT S ANISAND en ensayos de compresión no drenados para e0 = 0,833. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.5. Comparación entre los ensayos realizados por V ERDUGO et al.[38] y las simulaciones hechas con la U MAT S ANISAND en ensayos de compresión no drenados para e0 = 0,907. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.6. Comparación entre los ensayos realizados por V ERDUGO et al.[38] y las simulaciones hechas con la U MAT S ANISAND en ensayos de compresión drenados para p00 = 100 kPa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.7. Comparación entre los ensayos realizados por V ERDUGO et al.[38] y las simulaciones hechas con la U MAT S ANISAND en ensayos de compresión drenados para p00 = 500 kPa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 IV.

(5) ÍNDICE DE FIGURAS. MIC 2011-10-16B. 3.8. Comparación entre los ensayos realizados por P RADHAM et al.[30] y las simulaciones hechas con la U MAT S ANISAND en ensayos isobáricos de compresión triaxial cíclica para p00 = 100 kPa y e0 = 0,653. . . . . . . . . . . . . 43 3.9. Comparación entre los ensayos realizados por P RADHAM et al.[30] y las simulaciones hechas con la U MAT S ANISAND en ensayos isobáricos de compresión triaxial cíclica para p00 = 100 kPa y e0 = 0,845. . . . . . . . . . . . . 44 3.10. Envolventes de respuesta calculadas con la U MAT S ANISAND para el modelo S ANISAND. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.11. Influencia de hs y n en el comportamiento del suelo. . . . . . . . . . . . . . . 47 3.12. Definición del estado de esfuerzos mediante los ángulos ψ y θ . . . . . . . . . 48 3.13. Comparación entre los ensayos realizados por V ERDUGO et al.[38] y las simulaciones hechas con la U MAT Hipoplástica en ensayos de compresión no drenados para e0 = 0,735. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.14. Comparación entre los ensayos realizados por V ERDUGO et al.[38] y las simulaciones hechas con la U MAT Hipoplástica en ensayos de compresión no drenados para e0 = 0,833. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.15. Comparación entre los ensayos realizados por V ERDUGO et al.[38] y las simulaciones hechas con la U MAT Hipoplástica en ensayos de compresión no drenados para e0 = 0,907. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.16. Comparación entre los ensayos realizados por V ERDUGO et al.[38] y las simulaciones hechas con la U MAT Hipoplástica en ensayos de compresión drenados para p00 = 100 kPa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.17. Comparación entre los ensayos realizados por V ERDUGO et al.[38] y las simulaciones hechas con la U MAT Hipoplástica en ensayos de compresión drenados para p00 = 500 kPa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.18. Comparación entre los ensayos realizados por P RADHAM et al.[30] y las simulaciones hechas con la U MAT Hipoplástica en ensayos isobáricos de compresión triaxial cíclica para p00 = 100 kPa y e0 = 0,653. . . . . . . . . . . . . 53 3.19. Comparación entre los ensayos realizados por P RADHAM et al.[30] y las simulaciones hechas con la U MAT Hipoplástica en ensayos isobáricos de compresión triaxial cíclica para p00 = 100 kPa y e0 = 0,845. . . . . . . . . . . . . 54 3.20. Envolventes de respuesta calculadas con la U MAT para el modelo hipoplástico. 55 3.21. Envolventes de respuesta para el modelo S ANISAND modificado. . . . . . . . 57 3.22. Comparación de curvas dinámicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.23. Ciclos de compresión edométrica de corte triaxial drenado. . . . . . . . . . . 59 V.

(6) ÍNDICE DE FIGURAS. MIC 2011-10-16B. 3.24. Interpretación de las deformaciones intergranulares en 1-D. . . . . . . . . . 3.25. Comparación entre los ensayos realizados por V ERDUGO et al.[38] y las simulaciones hechas con la U MAT Hipoplástica modificada en ensayos de compresión no drenados para e0 = 0,735. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.26. Comparación entre los ensayos realizados por V ERDUGO et al.[38] y las simulaciones hechas con la U MAT Hipoplástica modificada en ensayos de compresión no drenados para e0 = 0,833. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.27. Comparación entre los ensayos realizados por V ERDUGO et al.[38] y las simulaciones hechas con la U MAT Hipoplástica modificada en ensayos de compresión no drenados para e0 = 0,907. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.28. Envolventes de respuesta para el modelo hipoplástico modificado. . . . . . 3.29. Simulación de ensayo triaxial drenado con un ciclo de descarga-recarga con el modelo S ANISAND. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.30. Discontinuidad del ángulo θ (nD ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 60. . 63. . 63. . 64 . 64 . 66 . 66. 4.1. Casos de integración a). elástico. b). elastoplástico. . . . . . . . . . . . . . . 72 4.2. Intersección con la superficie de fluencia: transición elástica a plástica . . . . 74 4.3. Intersección con la superficie de fluencia: descarga elastoplástica . . . . . . . 76 5.1. Dominio y fronteras del cuerpo sólido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Esquema iterativo del método N EWTON -R APHSON. . . . . . . . . . . . . . 5.3. Geometría y malla de elementos finitos usada para simular ensayo triaxial cíclico no drenado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Comparación de la simulación numérica con P LAXIS y la integración usando I NCREMENTAL D RIVER[25]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Geometría y malla de elementos finitos usada para simular un sismo. . . . . 5.6. Resultados de la simulación considerando el modelo S ANISAND. . . . . . . 5.7. Resultados de la simulación considerando el modelo Hipoplástico. . . . . . 5.8. Excesos de presiones de poros registrados en la mitad del depósito. . . . . .. VI. . 95 . 104 . 110 . . . . .. 111 112 113 114 114.

(7) Índice de tablas 3.1. Parámetros de la arena de T OYOURA para el modelo S ANISAND . . . . . . . . 39 3.2. Parámetros de la arena de T OYOURA para el modelo Hipoplástico. . . . . . . 49 5.1. Métodos de integración usados para la implementación . . . . . . . . . . . . 105 5.2. Parámetros de los elementos estructurales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 A.1. Lista de U MAT ’ S desarrolladas en este trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . 118. VII.

(8) ÍNDICE DE TABLAS. MIC 2011-10-16B. VIII.

(9) Agradecimientos Quiero agradecer al Profesor Arcesio Lizcano por la colaboración, la asesoría y sobretodo la confianza que depósito en mí a lo largo de mis estudios de maestría. A la Universidad de los Andes por su apoyo financiero durante el periodo de realización de este trabajo y a todos los integrantes del grupo de Geotécnia de la Universidad de los Andes por sus aportes y comentarios. Especialmente quiero agradecer y dedicar este trabajo al Profesor Jorge Alberto Rodriguez quien ha sido mi tutor, me ha dirigido varios trabajos y ha sido quien ha motivado en mí la pasión por el estudio de la geotécnia. Su experiencia y sus numerosos aportes a este campo de la ingeniería me han motivado para seguir preparándome y así poder enfrentar los retos que impone la practica diaria de esta profesión. También agradezco a mi familia y especialmente a mi madre por su apoyo incondicional, a Katherine quien ha sido un apoyo muy importante para mi y a todo el equipo de J EOPROBE LTDA . quienes han estado muy cerca de este trabajo y en parte a quienes debo mis estudios de posgrado.. 1.

(10) Capítulo 1 Introducción La propagación de ondas en suelos ha sido un tema de bastante interés para la ingeniería geotécnica y para la sismología. Su estudio ha permitido hacer predicciones de eventos sísmicos, identificar la fuente sísmica de un terremoto, predecir la composición de la tierra, identificar yacimientos petroleros, hacer exploración geotécnica, plantear políticas de ordenamiento, etc. El estudio de la propagación de ondas se ha basado en teorías de la elasticidad las cuales han sido de gran ayuda para la comprensión de fenómenos mas complejos como la reflexión, refracción y difracción de las ondas; sin embargo estas teorías presentan muchas limitaciones cuando se usan para describir y simular el comportamiento de los suelos granulares ante cargas cíclicas o para evaluar problemas de interacción suelo estructura. El problema de la propagación de ondas tiene su origen en la ecuación de movimiento y consiste en encontrar el campo de desplazamientos generados al interior de un sólido cuando éste es sometido a una excitación transitoria. Para un sistema discreto la ecuación de movimiento se puede escribir como: (1.1) ∑(Fint + Fext ) = mü donde el término de la izquierda involucra todas las fuerzas externas que actuan sobre el cuerpo (internas y externas) y el término de la derecha denota las fuerzas inerciales producidas por la aceleración de la masa. Para problemas que involucran sistemas contínuos la ecuación de movimiento se escribe de forma diferencial mediante la siguiente ecuación: div(T) + f = ρ. 2. ∂u ∂t 2. (1.2).

(11) CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN. MIC 2011-10-16B. donde T es el tensor de esfuezos, f representa las fuerzas por unidad de volumen que actúan sobre el elemento diferencial y ρ es la densidad de masa del cuerpo. El primer término de la parte izquierda de la ecuación 1.2 representa las fuerzas internas del cuerpo y el segundo término representa las fuerzas externas del cuerpo por unidad de volumen. Las fuerzas internas dependen del equilibrio interno del cuerpo y pueden ser descritas mediante alguna relación constitutiva que liga las deformaciones con los esfuerzos. La cinemática del movimiento permite expresar a su vez las deformaciones en términos del campo de desplazamientos, de manera que la ecuación 1.2 se puede escribir en términos de la variable desconocida u. Esta forma de la ecuación de movimiento es conocida como la ecuación de onda y debe ser solucionada para evaluar la propagación de ondas en suelos. Cuando la descripción matemática de los esfuerzos y las deformaciones (ecuación constitutiva) es no lineal, la solución de la ecuación de onda se torna muy complicada de evaluar analíticamente para un problema de contorno, por tanto es necesario hacer una evaluación numérica de la ecuación. La capacidad predictiva de los análisis de propagación de onda depende de una adecuada descripción del comportamiento mecánico del material y una técnica de solución de la ecuación diferencial que garantice eficiencia, estabilidad y precisión. En este trabajo se presentan 2 modelos constitutivos no lineales que involucran los aspectos más relevantes del comportamiento esfuerzo - deformación - resistencia de los suelos y su implementación para poder hacer cálculos numéricos en elementos finitos. Finalmente se presentan los esquemas de solución no lineal que se adoptan para solucionar la ecuación de onda mediante la técnica de elementos finitos.. 3.

(12) Capítulo 2 Modelos Constitutivos Un modelo constitutivo es una descripción matemática del comportamiento mecánico de un material. Los modelos constitutivos describen la relación entre los esfuerzos y las deformaciones de un material cuando éste es sometido a una excitación externa (esfuerzo, deformación, temperatura, etc.). En las últimas décadas se han desarrollado una gran variedad de modelos constitutivos para simular el comportamiento mecánico de los suelos basados en teorías de la elasticidad y la plasticidad. La aceptación y aplicabilidad de cada modelo en un problema determinado depende de las capacidades predictivas de los modelos y los recursos con que se cuenten para determinar los parámetros de cada modelo. El modelo más simple para describir el comportamiento mecánico de los suelos es el modelo elástico lineal, caracterizado por dos constantes cuando se considera isotropía en el material. Este modelo ha sido muy utilizado en la práctica de la ingeniería geotécnica por su simplicidad, pero es bastante limitado para describir la complejidad del comportamiento esfuerzo deformación de los suelos. Actualmente este modelo es muy utilizado para análisis dinámicos de propagación de ondas dada la poca información que requiere y la eficiencia en tiempos de computo para problemas de gran dimensión. Uno de los aspectos más importantes del comportamiento mecánico de los suelos son las deformaciones irreversibles (plásticas) que ocurren debido al reacomodamiento de las partículas durante un proceso de carga. Este efecto no se tiene en cuenta en un modelo lineal elástico y es la causa de muchos problemas catastróficos en ingeniería geotécnica. Para capturar el efecto de las deformaciones irreversibles es necesario incorporar nuevos ingredientes a las ecuaciones constitutivas, tales como leyes de fluencia, leyes de evolución y variables de 4.

(13) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. estado. En el presente capítulo se presenta una revisión de algunas de las teorías más usadas para modelar el comportamiento esfuerzo deformación de los suelos. El capítulo está organizado de la siguiente manera: la sección 2.1 presenta brevemente los aspectos relevantes de la teoría elástica lineal, la sección 2.2 presenta los aspectos fundamentales de la teoría de la plasticidad para el caso unidimensional, tridimensional, y el el concepto de la Bounding Surface para la simulación de cargas cíclicas y finalmente en la sección 2.3 se presenta la teoría hipoplástica propuesta inicialmente por KOLYMBAS[14].. 2.1.. Elasticidad. La teoría de la elasticidad asume que el material presenta solamente deformaciones elásticas y recuperables cuando el material se somete a cualquier cambio de esfuerzos. La relación entre los esfuerzos y las deformaciones se basa en en la ley de H OOKE, la cual puede ser escrita en notación tensorial como: T=C:ε. Ti j = Ci jkl εkl. o. (2.1). donde C es un tensor de cuarto orden que representa la rigidez del material, T es el tensor de esfuerzos efectivos de C AUCHY y ε es el tensor infinitesimal de deformación. Para materiales isotrópicos el tensor C no depende de la dirección de la carga o de la trayectoria de deformación. Esta propiedad se cumple siempre que el tensor de rigidez C permanezca constante después de un cambio de base Ci jkl = Ci0 jkl con C ∈ ê, C0 ∈ ê0. (2.2). lo que significa que el tensor C debe ser isotrópico. Cualquier tensor isotrópico puede ser expresado en términos de la suma de otros tensores isotrópicos. Con el fin de obtener una expresión para C, se considerarán tres tensores isotrópicos unitarios de cuarto orden denotados por P, Q y R. En notación indicial estos tres tensores se definen como: Pi jkl = δi j δkl. (2.3). Ri jkl = δik δ jl. (2.4). Qi jkl = δil δ jk. (2.5). 5.

(14) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. el tensor de cuarto orden C puede ser expresado como una combinación lineal de los tres tensores mencionados anteriormente, de la siguiente manera Ci jkl = λ Pi jkl + αQi jkl + β Ri jkl. (2.6). donde λ , α y β son escalares. Sustituyendo los tensores P, Q y R por su definición en términos del tensor unitario δi j se tiene: Ci jkl = λ δi j δkl + αδil δ jk + β δik δ jl. (2.7). multiplicando la Ecuación 2.7 por εkl , se tiene: Ci jkl = λ δi j δkl εkl + αδil δ jk εkl + β δik δ jl εkl | {z } | {z } αεi j. (2.8). β ε ji. Por la simetría del tensor de deformación (εi j = ε ji ), el término (α + β ) se puede factorizar, y la Ecuación 2.8 queda 1 Ci jkl εkl = λ δi j δkl εkl + (α + β ) (δil δ jk + δik δ jl )εkl |2 {z } εi j =ε ji. 1 = λ δi j δkl + (α + β ) (δil δ jk + δik δ jl ) εkl 2 | {z }. (2.9). Ci jkl. De acuerdo con las siguientes definiciones, 1 = δi j Isym = 21 (δil δ jk + δik δ jl ) 2µ = (α + β ) el tensor de rigidez puede escribirse de forma compacta como: C = λ [1 ⊗ 1] + 2µIsym. (2.10). Otra forma de expresar el tensor de rigidez de cuarto orden C, es reescribiendo la Ecuación 2.10 en términos de los tensores unitarios Ivol , Idev .. 6.

(15) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. 1 2 2 C = 3λ 1 ⊗ 1 + µ1 ⊗ 1 − µ1 ⊗ 1 +2µIsym 3 |3 {z 3 } O. 1 2 1 sym = 3λ 1 ⊗ 1 + µ1 ⊗ 1 + 2µ I − 1 ⊗ 1 3 3 3 1 1 sym 1 ⊗ 1 + 2µ I − 1 ⊗ 1 = (3λ + 2µ) 3 3 C = (3λ + 2µ)Ivol + 2µIdev. (2.11). La ventaja de expresar el tensor de rigidez en términos de los tensores unitarios Ivol , Idev es que la inversa de C puede deducirse fácilmente tomando en consideración que C : C−1 = I y que el tensor de rigidez inverso se puede expresar como una combinación lineal de Ivol y Idev . Con base en lo anterior, y teniendo en cuenta las propiedades de los tensores identidad, el tensor de rigidez inverso se puede escribir como: C−1 =. 1 dev 1 Ivol + I 3λ + 2µ 2µ. (2.12). Las constantes λ y µ son conocidas como las constantes de L AMÉ. Se puede observar que para un material isotrópico, la ley de H OOKE está completamente definida por estos dos parámetros. Las constantes de L AMÉ se pueden relacionar con los parámetros elásticos usados comúnmente, módulo de YOUNG (E), y relación de P OISSON (ν) de acuerdo a las siguientes ecuaciones: νE (2.13) λ= (1 + ν)(1 − 2ν) µ=. E 2(1 + ν). (2.14). Reemplazando las definiciones de λ y µ en la Ecuación 2.11, se tiene el tensor de rigidez C en términos de E, y ν como, C=. E E Ivol + Idev (1 − 2υ) (1 + υ). (2.15). Finalmente la relación constitutiva elástica lineal se obtiene al reemplazar la Ecuación 2.15 en la Ecuación 2.1. E E vol dev T= I + I :ε (2.16) (1 − 2υ) (1 + υ). 7.

(16) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. En muchos casos la ecuación constitutiva elástica 2.16 se suele escribir en términos del módulo Bulk, K y el módulo de corte, G, los cuales están relacionados con E, y ν. En este caso la ecuación elástica se escribe como: i h vol dev :ε T = 3KI + 2GI. (2.17). La definición de K y G es evidente al comparar las Ecuaciones 2.16 y 2.17.. 2.2.. Elasto-Plasticidad. La teoría elastoplástica ha sido ampliamente usada en la ingeniería geotécnica para describir el comportamiento mecánico de los suelos. Esta teoría considera que el material tiene dos tipos de comportamientos, uno elástico, el cual se se presenta siempre que los esfuerzos estén dentro de un rango determinado, y otro plástico que se produce cuando los esfuerzos alcanzan una condición límite o de fluencia. En el estado plástico se producen deformaciones irreversibles en el material. Para poder describir matemáticamente la teoría de la plasticidad es necesario introducir los siguientes conceptos: 1. La fluencia: la fluencia indica el punto donde hay un cambio de comportamiento en el material, específicamente cuando el material deja de comportarse elásticamente y entra en un proceso disipativo o de plasticidad. Comúnmente la fluencia está definida en el espacio de los esfuerzos y se conoce como un valor de esfuerzo límite. 2. La regla de flujo: la regla de flujo indica la evolución las deformaciones plásticas una vez se ha alcanzado la fluencia del material. Por lo general la regla de flujo se asocia a una función potencial cuyo gradiente da como resultado la dirección de las deformaciones plásticas. 3. Leyes de endurecimiento: algunos materiales exhiben endurecimiento por deformación, lo cual se traduce en un corrimiento de la función de fluencia. Dependiendo del tipo de corrimiento de la función de fluencia, el endurecimiento puede ser cinemático o isotrópico. 4. Leyes de evolución: adicional a las variables de endurecimiento, los modelos pueden tener otras variables de estado que cambian durante la etapa de carga. La evolución de estas variables internas está dada por funciones particulares que son llamadas leyes de evolución del material. 8.

(17) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. Para explicar estos conceptos de la forma más sencilla se presentará el caso unidimensional considerando plasticidad perfecta y endurecimiento cinemático e isotrópico. Finalmente se muestra la generalización de las ecuaciones para el caso tridimensional.. 2.2.1.. Elastoplasticidad Unidimensional. Para visualizar la respuesta de un material elastoplástico, consideremos el comportamiento mecánico del mecanismo friccionante unidimensional que se ilustra en la Figura 2.1 e. e. E. T. T Ty. hs1 >hs2 n1 =n 2. 1 2 ln p’. Figura 2.1: Elástico Mecanismo friccionanteElástico unidimensional. -T1. -T1. En la Figura anterior E es el módulo deTo YOUNG del resorte y TTyo es elHipoplástico máximo esfuerzo que puede soportar el mecanismo antes de que el bloque se deslice. Cuando el esfuerzo T es aplicado, el resorte se deforma progresivamente. Si T < Ty solamente se producen deforma- 2 T2 - 2 T2 ciones elásticas y recuperables, pero si T ≥ Ty , el bloque comienza a deslizarce y aparecen T1*/p’ T1 deformaciones permanentes en el mecanismo. Las deformaciones totales del sistema pueden T3 DbT T 2= n = T1 R’ Superficie de escribirse como la suma de las Tdeformaciones elásticasR’ y cplásticas. r Fluencia DT. T. \. e p ε= T3 ε + ε. T. DdT n. D. T 0. Superficie Límite Superficie del estado crítico. (2.18). T2*/p’ T3*/p’ Los superíndices (∗)e y (∗) p indican las componentes elásticas y plásticas respectivamente. Esta condición cinemática es una característica fundamental de la teoría dede la plasticidad y Superficie T2 dilatáncia es conocida como la descomposición de las deformaciones.. Por equilibrio del bloque, el esfuerzo aplicado T es soportado completamente por el resorte. Considerando la ley de H OOKE para un caso uniaxial, el esfuerzo puede escribirse en términos de las deformaciones elásticas como: T = Eε e = E(ε − ε p ). (2.19). El mecanismo puede cambiar su configuración solo si hay un cambio en las deformaciones plásticas durante el proceso de carga. Si se asume que T , ε, y ε p son funciones del tiempo en 9. hs1 =hs2 n1 >n 2. 2 1 ln p’.

(18) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. un intervalo [0,t] → R, se tiene que ε p : [0,t] → R y por consiguiente: ε̇ p =. ∂εp ∂t. (2.20). De la Ecuación 2.20 se puede observar que ε p cambia sólo si ε̇ p 6= 0; por lo tanto si la tasa de deformaciones plásticas es cero, la configuración del mecanismo no cambia. La Ecuación 2.20 se conoce como la regla de flujo, la cual controla la evolución de las deformaciones plásticas en el mecanismo una vez se supera el esfuerzo máximo Ty . La descripción de las deformaciones plásticas en términos de una ecuación de evolución explica por qué es necesario considerar las tasas de deformación en vez de las deformaciones totales. Para describir completamente el comportamiento mecánico del mecanismo de la Figura 2.1, se deben hacer las siguientes suposiciones físicas:. 1. Los esfuerzos en el mecanismo friccionante no pueden ser, en valor absoluto, mas grandes que Ty . Esto implica que los esfuerzos admisibles están obligados a permanecer en el intervalo cerrado [−Ty , Ty ]. De acuerdo con esta suposición se puede escribir la siguiente expresión: f (T ) = |T | − Ty ≤ 0 (2.21) La desigualdad mostrada anteriormente establece el rango admisible de esfuerzos en el material. La función f (T ) es llamada la función de fluencia. f (T ) es una función escalar que indica un cambio de comportamiento en el material. 2. Si la función de fluencia es menor que cero, el material experimenta una respuesta puramente elástica, pero si la función de fluencia es igual a cero, se generan deformaciones plásticas. Esta condición implica: ε̇ p = 0 si f (T ) ≤ 0 ⇒ Ṫ = E ε̇. (2.22). 3. Si la función de fluencia es cero, entonces el mecanismo experimenta deformaciones plásticas. Supóngase que la tasa de deformación plástica (ε̇ p ) tiene la misma dirección del esfuerzo aplicado y que ésta es constante durante toda la etapa de carga. Sea γ ≥ 0 el valor absoluto de la tasa de deformaciones plásticas, entonces se puede escribir lo siguiente: ( γ ≥ 0 si σ = σy > 0 ε̇ p = (2.23) −γ ≤ 0 si σ = −σy < 0 10.

(19) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. La ecuación anterior se puede escribir de forma compacta como: ε̇ p = γsign(σ ). (2.24). La evolución de las deformaciones plásticas es descrita completamente por la Ecuación 2.24. Ahora se pueden establecer dos condiciones que son consecuencia de las suposiciones hechas anteriormente. ) f (σ ) < 0 ⇒ γ = 0 γ f (σ ) = 0 (2.25) f (σ ) = 0 ⇒ γ > 0 Esta condición es conocida como la condición Kuhn-Tucker. La segunda condición esta relacionada con la tasa de la función de fluencia y es conocida con el nombre de condición de persistencia y se escribe como: ) f˙(σ ) = 0 ⇒ γ > 0 γ f˙(σ ) = 0 f˙(σ ) < 0 ⇒ γ = 0. (2.26). Esta última condición puede probarse fácilmente. Cuando la fluencia ocurre ε̇ p 6= 0 y f (T ) = 0. La condición de fluencia se mantiene durante el proceso de carga hasta que ocurre una descarga. Esto significa que la función de fluencia es constante durante una etapa plástica ( f˙ = 0) y decrece cuando una descarga ocurre ( f˙ < 0). Las dos condiciones descritas anteriormente son conocidas como condiciones de consistencia y permiten calcular la tasa de las deformaciones plásticas γ. Tomando la derivada temporal de la función de fluencia (Ecuación 2.21) se tiene: ∂ f ∂T (2.27) f˙ = ∂ T ∂t Sustituyendo la definición de los esfuerzos T dada por la Ecuación 2.19 en la Ecuación 2.27 se tiene: ∂ f ∂T ∂f ∂ = [E(ε − ε p )] ∂ T ∂t ∂ T ∂t =. ∂f [E(ε̇ − ε̇ p )] ∂T. ∂f ∂f E ε̇ − E ε̇ p ∂T ∂T p Reemplazando el valor de ε̇ por la regla de flujo (Ecuación 2.24) se tiene, =. ∂f ∂f f˙ = E ε̇ − Eγsign(T ) ∂T ∂T 11. (2.28). (2.29).

(20) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. La derivada de la función de fluencia con respecto a T es, ∂ ∂f = (|T | − Ty ) = sign(T ) ∂T ∂T. (2.30). Sustituyendo la Ecuación 2.30 en la Ecuación 2.29 se tiene la expresión de f˙. f˙ = sign(T )E ε̇ − Eγ. (2.31). De acuerdo a la condición de persistencia, cuando ocurre un estado plástico se cumple que γ > 0 y f˙ = 0. Esta condición permite obtener una expresión explícita para γ, 0 = sign(T )E ε̇ − Eγ ⇒ γ = sign(T )ε̇. (2.32). El modelo presentado anteriormente es conocido como Plasticidad Perfecta. Esta caracterizado por tener una rigidez nula cuando se alcanza el estado plástico, lo cual significa que un cambio de las deformaciones plásticas no está acompañado por un cambio de esfuerzo. En el Cuadro 2.1 se presenta un resumen con los aspectos más importantes del modelo unidimensional elastoplástico para plasticidad perfecta.. Descomposición de las deformaciones ε = εe + ε p Relación esfuerzo-deformación (Ley de H OOKE) T = E(ε − ε p ) Regla de flujo ε̇ p = γsign(T ) = γ. ∂f ∂T. Función de fluencia f (T ) = |T | − Ty ≤ 0. 12.

(21) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. Condiciones de consistencia γ ≥ 0,. f (σ ) ≤ 0, γ f (σ ) = 0 γ f˙(σ ) = 0. Cuadro 2.1: Resumen de las ecuaciones básicas de elastoplasticidad perfecta en 1D.. 2.2.2.. Endurecimiento por deformación. Experimentalmente algunos materiales presentan un endurecimiento por deformación. Este efecto consiste en un movimiento del punto de fluencia a medida que las deformaciones plásticas aumentan. La consecuencia del endurecimiento es que la curva esfuerzo-deformación presenta un aumento de los esfuerzos mas allá del punto de fluencia inicial, a diferencia del caso de plasticidad perfecta. El endurecimiento implica que la función de fluencia cambia a lo largo de la etapa plástica. En este contexto la regla de endurecimiento hace al material dependiente de la historia de carga. La función de fluencia puede presentar dos tipos de endurecimiento, isotrópico y cinemático. A continuación se describe cada uno de los tipos de endurecimiento para el caso unidimensional. Endurecimiento Isotrópico Este tipo de endurecimiento consiste en una expansión isotrópica del rango elástico, esto significa que el esfuerzo de fluencia aumenta en todas las direcciones en la misma cantidad. Este tipo de endurecimiento se presenta esquemáticamente en la Figura 2.2 para el modelo 1D. Los puntos O-B representan diferentes etapas de carga. Al comienzo del proceso de carga (punto O) el punto de fluencia tiene un valor Ty0 (tanto para extensión como para compresión). El esfuerzo aplicado T se incrementa progresivamente hasta alcanzar el punto A. En este punto solamente se han producido deformaciones elásticas y recuperables en el material. Si el esfuerzo continua incrementando hasta hasta llegar a Ty1 el material experimenta deformaciones plásticas y el punto de fluencia se desplaza hasta el valor de Ty1 . Nótese que el corrimiento de la fluencia se produce tanto para compresión como para extensión de forma simétrica con respecto al origen de los esfuerzos (punto O), sin que el punto O se desplace. En este contexto 13.

(22) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B E. T. T. se dice que el material ha experimentado un endurecimiento ya que para causar nuevamente deformaciones plásticas en el material se deberá aplicar un esfuerzo T > Ty1 > Ty0T. y T T y2 T y1. T B A. Extensión H. T y1 T yo. Extensión. O. Compresión. B A C. H Rango elástico. O. H. 2Tyo. Compresión. Figura 2.2: Esquema de endurecimiento isotrópico para el modelo 1D Para incorporar el endurecimiento isotrópico en la formulación presentada en la sección anterior, es necesario modificar la función de fluencia de manera que tenga en cuenta la expansión del rango elástico en función de las deformaciones plásticas. Este efecto se logra introduciendo una variable adicional a la función de fluencia escrita en la Ecuación 2.21. f (T, α iso ) = |T | − [Ty + Hα iso ] ≤ 0, α iso ≥ 0. (2.33). donde Ty and H son constantes dadas; H es conocido como el módulo plástico, y la variable α iso es una función no negativa de las deformaciones plásticas llamada variable interna de endurecimiento isotrópico. Una función candidata adecuada para describir la evolución de la variable interna α iso es la tasa de deformaciones plásticas. α̇ iso = |ε̇ p | = γ. (2.34). Aplicando la condición de persistencia se puede encontrar una ecuación explícita para el parámetro γ que es llamado comunmemte multiplicador plástico. Tomando la derivada temporal de la función de fluencia e igualando la expresión resultante a cero se obtiene, ∂ f iso ∂f Ṫ + α̇ f˙ = ∂T ∂ α iso 0 = sign(T )E(ε̇ − ε̇ p ) − H α̇ iso. (2.35). Reemplazando la expresión 2.34 en la ecuación 2.35 y despejando para γ se tiene la siguiente 14. Nuevo centro del rango elástico.

(23) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. expresión: E sign(T )ε̇ (2.36) E +H De acuerdo con la relación esfuerzo-deformación, la tasa de esfuerzos se puede escribir en función del multiplicador plástico como: γ=. Ṫ = E(ε̇ − ε̇ p ) = E[ε̇ − γsign(T )]. (2.37). Si f (T, α iso ) ≤ 0 entonces γ = 0 y la tasa de esfuerzos da como resultado Ṫ = E ε̇. Por otro lado, si f (T, α iso ) = 0 entonces γ > 0 y la Ecuación 2.36 puede reemplazarce en la Ecuación 2.37 para obtener la siguiente expresión: Ṫ =. EH ε̇ E +H. (2.38). De acuerdo con lo anterior, la tasa de esfuerzos puede escribirse de forma general y compacta como:   E ε̇ siγ = 0 (2.39) Ṫ = EH  ε̇ si γ > 0 E +H La expresión EH/(E + H) es llamada el módulo elastoplastico tangente y representa la pendiente de la curva esfuerzo-deformación en el estado plástico. Endurecimiento Cinemático El endurecimiento cinemático considera un movimiento del rango elástico sin ningún cambio en la forma del mismo. Este tipo de endurecimiento es muy utilizado en metales por que representa de forma aproximada el conocido efecto BAUSCHINGER, el cual consiste en una reducción del esfuerzo de fluencia cuando se hace un ensayo de compresión precedido de una primera deformación plástica producida en un ensayo de tensión. En la Figura 2.3 se muestra una curva típica esfuerzo-deformación para un material que presenta endurecimiento cinemático. Se puede observar que el rango elástico (representado por lineas a trazos) permanece constante a lo largo de todo el proceso de carga, pero la posición del centro del rango elástico se desplaza de acuerdo con la ley de endurecimiento adoptada. Para tener en cuenta este efecto en el modelo 1D, es necesario introducir una nueva variable. 15.

(24) E. T. T Ty CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS T T y2 T y1. O. MIC 2011-10-16B. T B A. Extensión H. T y1 T yo. B A. Extensión Compresión. C. H. Nuevo centro del rango elástico. O. Rango elástico. H. 2Tyo. Compresión. Figura 2.3: Esquema de endurecimiento cinemático para el modelo 1D. interna de endurecimiento a la función de fluencia. f (T, α kin ) = |T − Kα kin | −Tyo ≤ 0 | {z }. (2.40). η. donde Tyo y K son constantes dadas; K es tambien llamado modulo plástico. La variable α kin es la variable internal de endurecimiento cinemático. La ecuación de evolución más simple para α kin es suponer que: α̇ kin = ε̇ p (2.41) Aplicando el mismo procedimiento usado en las secciones anteriores para obtener el multiplicador plástico, se tiene la siguiente expresión γ = sign(η). E ε̇ E +K. (2.42). y la tasa de esfuerzos puede escribirse como   E ε̇ Ṫ = EK  ε̇ E +K. si γ = 0 si γ > 0. (2.43). Endurecimiento combinado (Isotrópico y Cinemático) Ambos tipos de endurecimiento pueden ser combinados en el modelo 1D para tener una mejor descripción del comportamiento del material. En este caso se necesita introducir las 16.

(25) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. dos variables internas de endurecimiento α iso , α kin a la función de fluencia. La función de fluencia para endurecimiento combinado es f (T, α iso , α kin ) = T − Kα kin − Tyo + Hα iso {z } | {z } | iso Ty (α. η. (2.44). ). Aplicando el mismo procedimiento de las secciones anteriores, para calcular el multiplicador plástico se tiene la siguiente expresión: ∂f ∂ f iso ∂f α̇ kin = 0 f˙ = Ṫ + α̇ + iso ∂T ∂α ∂ α kin E ε̇ E +K +H Reescribiendo la ecuación de la tasa de esfuerzos se tiene:   E ε̇ si γ = 0 Ṫ = E(K + H)  ε̇ si γ > 0 E +K +H ⇒ γ = sign(η). (2.45). La Ecuación 2.45 representa la forma general de la plasticidad en 1D. Los casos presentados en las secciones anteriores son un caso particular de la Ecuación 2.45. En el Cuadro 2.2 se presenta un resumen de las ecuaciones básicas del modelo elastoplástico 1D con endurecimiento por deformación.. Descomposición de las deformaciones ε = εe + ε p Relación esfuerzo-deformación (Ley de Hooke) T = E(ε − ε p ) Regla de flujo ε̇ p = γ. 17. ∂f ∂T.

(26) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. Leyes de endurecimiento α̇ iso = |ε̇ p | ; α̇ kin = ε̇ p Condición de fluencia f (T, α iso , α kin ) = |T − Kα kin | − (Ty + Hα iso ) ≤ 0 Condiciones de consistencia γ ≥ 0, f (T, α iso , α kin ) ≤ 0, γ f (T, α iso , α kin ) = 0 γ f˙(T, α iso , α kin ) = 0. Cuadro 2.2: Resumen de las ecuaciones básicas de elastoplasticidad con endurecimiento por deformación en 1D.. 2.2.3.. Transición al caso 3D. En la sección anterior se presentó el modelo elastoplástico para el caso unidimensional. Todos los componentes básicos discutidos anteriormente aplican para el caso general en 3D. La diferencia para el caso multiaxial radica en que los esfuerzos y deformaciones tienen mas de una componente y son descritos por tensores de segundo orden, de manera que las funciones de fluencia y las leyes de evolución son funciones tensoriales. A continuación se presenta la generalización de cada uno de los componentes básicos de la elastoplasticidad que son: la descomposición de la deformación, la ley elástica, la condición de fluencia, la regla de flujo y las leyes de evolución. Descomposición aditiva de las deformaciones La generalización de la descomposición aditiva de las deformaciones se obtiene al dividir el tensor de deformación ε, en la suma de una componente elástica ε e y una componente plástica ε p . ε = εe + ε p (2.46) 18.

(27) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. donde ε e y ε p son conocidos como los tensores de deformación elástica y plástica respectivamente. Correspondientemente la tasa de deformación puede escribirse como ε̇ = ε̇ e + ε̇ p. (2.47). La energía libre y la ley elástica La energía de H ELMHOLTZ está definida como: Ψ = U −TS. (2.48). donde Ψ es la energía libre de H ELMHOLTZ, U es la energía interna del sistema, T es la temperatura absoluta y S es la entropía. La forma diferencial de la energía libre de H ELMHOLTZ se escribe como: dΨ = dU − SdT − T dS (2.49) De acuerdo con la primera ley de la termodinámica, la tasa de energía interna del sistema es, dU = δ Q − δW. (2.50). donde U es la energía interna, δ Q es la energia adicionada por calor y δW es el trabajo hecho por el sistema. Reemplazando la Ecuación 2.50 en la Ecuación 2.49 se tiene, dΨ = δ Q − δW − SdT − T dS. (2.51). Para un proceso reversible o isotérmico, se puede considerar que δ Q = SdT . Dividiendo ambos lados de la Ecuación 2.51 por el volumen del sistema V , se obtiene la densidad de energía libre ψ. T dS (2.52) dψ = −δ w − V El último término de la ecuación anterior indica el cambio de la entropía del sistema, el cual representa el proceso disipativo. De acuerdo con la segunda ley de a termodinámica, en cualquier sistema, el cambio de la entropía debe ser mayor o igual a cero. Basados en este principio se puede escribir la siguiente desigualdad: T dS = −δ w − dψ ≥ 0 V. (2.53). Para un material disipativo, la densidad de energía libre es función de las deformaciones. 19.

(28) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. elásticas y las variables internas ψ(ε, ε p , q). En este caso la derivada total de la función de densidad libre es: ∂ψ ∂ψ ∂ψ dψ(ε, ε p , q) = dε + p dε p + dq (2.54) ∂ε ∂ε ∂q donde ε p es el tensor de deformaciones plásticas y q son las variables de endurecimiento. Reemplazando la Ecuación 2.54 en la Ecuación 2.53, y expresando el trabajo hecho por el sistema como −δ w = T : dε, se tiene, ∂ψ ∂ψ ∂ψ T dS = T− dq ≥ 0 : dε − p dε p − V ∂ε ∂ε ∂q. (2.55). Para un material elástico, toda la energía es almacenada y por lo tanto la disipación es cero. En este caso la densidad de energía libre depende solamente de las deformaciones totales (dε p = 0; dq = 0). De acuerdo con la Ecuación 2.55 se tiene, T dS ∂ψ = T− : dε = 0 V ∂ε | {z }. (2.56). =0. La anterior desigualdad implica una ley elástica generalizada de la forma, T=. ∂ψ ∂ε. (2.57). si la relación anterior se cumple para cualquier proceso elástico, entonces también se cumple para cualquier proceso en general. Con base en lo anterior, se debe cumplir entonces que en general para cualquier material disipativo, la siguiente desigualdad se debe satisfacer, −. ∂ψ p ∂ψ dε − dq ≥ 0 ∂εp ∂q. (2.58). esta condición impone una fuerte restricción sobre las leyes de evolución que se propongan en cualquier modelo elastoplástico, para no violar el segundo principio de la termodinámica. Cuando las leyes elásticas son deducidas a partir de una función de energía libre, se garantiza que el sistema es conservativo, lo que significa que toda la energía es conservada en procesos cíclicos de carga y descarga. Este tipo de modelos es conocido como hiperelasticidad. Si las leyes elásticas usadas en los modelos elastoplásticos se deducen simplemente a partir de ecuaciones semiempiricas sin hacer uso de ninguna función potencial para obtener los esfuerzos, se dice que el modelo es hipoelástico.. 20.

(29) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. Función de fluencia La función de fluencia indica el estado de esfuerzos (T11 , T22 , T33 )1 , para el cual el flujo plastico es inminente. La condición de fluencia es expresada por una función escalar con argumentos tensoriales de la forma: f (T, q) = 0 (2.59) donde f es la función de fluencia, T es el tensor de esfuerzos y q son las variables de endurecimiento que controlan el limite de fluencia. La función de fluencia ahora delimita una superficie en el espacio de esfuerzos principales la cual establece el rango elástico del material como, E = {T | f (T, q) ≤ 0} (2.60) al interior del dominio elástico no ocurre flujo plástico. Cualquier estado de esfuerzo que se encuentre sobre la superficie de fluencia o al interior de ésta, se dice que es plásticamente admisible. Regla de flujo y leyes de evolución La regla de flujo controla la evolución de las deformaciones plásticas cuando la condición de fluencia es alcanzada. De forma general la regla de flujo puede formularse como: ε̇ p = γ̇N(T, q). (2.61). donde ε̇ p es el tensor de la tasa de deformaciones plásticas, γ̇ es el multiplicador plástico que controla la magnitud de la regla de flujo, y N es un tensor de segundo orden que describe la dirección de la tasa de deformación plástica. El tensor N es posible obtenerlo a partir de una función explícita o a partir de una función potencial g tal que N = ∂T g2 . La función g es conocida como el protencial plástico. Si la función potencial es la misma función de fluencia (g = f ) o si la expresión explícita para N coincide con L = ∂T f , entonces se dice que la regla de flujo es asociada y cumple con el principio de normalidad; de lo contrario se dice que la regla de flujo es no asociada. ( Regla Flu jo. Asociada No − Asociada. 1 Las. si si. N=L N 6= L. (2.62). componentes de esfuerzos T11 , T22 y T33 denotan los esfuerzos principales del estado de esfuerzos T 2 Se adopta la siguiente convención para expresar las derivadas parciales: ∂ y = ∂ y. x ∂x. 21.

(30) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. Las leyes de evolución describen el cambio de las variables internas del modelo. En general las reglas de evolución se pueden definir como: q̇ = γ̇H(T, q). (2.63). donde q̇ es la tasa de cualquier variable interna y H es una función que define la evolución de las variables internas. Las ecuaciones de evolución presentadas anteriormente son complementadas por las condiciones de consistencia. f ≤ 0 γ̇ ≥ 0 f γ̇ = 0. (2.64). El multiplicador plástico El multiplicador plástico para el caso generalizado se obtiene de forma similar como se obtuvo para el modelo unidimensional. Con base en la condición de consistencia se tiene, f˙γ̇ = 0. (2.65). La derivada temporal de la función de fluencia es: f˙ = L : T̊ + ξ∗ ∗ q̊∗. (2.66). donde q∗ es una variable de endurecimiento, ξ∗ = ∂q∗ f , el simbolo (∗) indica el producto apropiado entre ξ∗ y q̊, y L denota la dirección de carga definida anteriormente. Teniendo en cuenta la descomposición aditiva del tensor de esfuerzo, la ley elástica y la regla de flujo definida por la Ecuación 2.61, se puede escribir la tasa de esfuerzos de la siguiente forma: T̊ = Ce : (ε̇ − ε̇ p ) = Ce : (ε̇ − γ̇N). (2.67). Reemplazando las Ecuaciones 2.67 y 2.63 en la Ecuación 2.66, se tiene la siguiente expresión, f˙ = L : Ce : (ε̇ − γ̇N) + γ̇ξ∗ ∗ H∗. (2.68). De la condición de consistencia se tiene que, [L : Ce : (ε̇ − γ̇N) + γ̇ξ∗ ∗ H∗ ] γ̇ = 0. (2.69). ya que γ̇ > 0 cuando el flujo plástico ocurre, entonces la siguiente condición se debe satisfa22.

(31) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. cer, L : Ce : (ε̇ − γ̇N) + γ̇ξ∗ ∗ H∗ = 0. (2.70). operando algebraicamente la expresión anterior y solucionando para γ̇ se tiene la siguiente ecuación general. L : Ce : ε̇ γ̇ = (2.71) L : Ce : N − ξ∗ ∗ H∗ donde −ξ∗ ∗ H∗ = K p se conoce como el módulo plástico. La ecuación constitutiva predice endurecimiento cuando K p > 0 y ablandamiento cuando K p < 0. Operador elastoplastico tangente En general, cualquier modelo elastoplastico puede formularse en forma incremental como: T̊ = C : ε̇. (2.72). donde Ṫ y ε̇ son los tensores de la tasa de esfuerzos y deformaciones respectivamente y C es un tensor de cuarto orden llamado el módulo tangente el cual se define de la siguiente manera: ( Ce en regimen elástico C= (2.73) Cep en régimen plástico donde Ce es el módulo tangente elástico definido en la sección 2.1, y Cep es el módulo tangente elastoplástico. La expresión para el modulo elastoplastico se obtiene de la siguiente forma. De acuerdo con la relación elástica en forma incremental se tiene: T̊ = Ce : (ε̇ − ε̇ p ) = Ce : (ε̇ − γ̇N). (2.74). reemplazando la expresión del multiplicador plástico (Ecuación 2.71) en la ecuación anterior, T̊ = Ce : ε̇ −. Ce : L ⊗ N : Ce : ε̇ L : Ce : N + K p. (2.75). Finalmente reorganizando los términos y factorizando el tensor ε̇ se tiene la siguiente expresión: Ce : L ⊗ N : Ce e : ε̇ (2.76) T̊ = C − L : Ce : N + K p {z } | Cep. donde el tensor de rigidez tangente elastoplástico se indica entre los paréntesis cuadrados. Note que si la regla de flujo es asociada, el operador tangente Cep es simétrico. Para modelos 23.

(32) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. con regla de flujo no asociada el operador Cep es generalmente asimétrico. El tensor elastoplástico tangente es fundamental para hacer simulaciones en elementos finitos. El método numérico usa el tensor Cep para solucionar iterativamente la ecuaciones no lineales que resultan cuando se usan modelos constitutivos no lineales. Este operador garantiza la convergencia cuadrática cuando se usan esquemas de solución tipo N EWTON -R APHSON.. 2.2.4.. Modelo de Bounding Surface. Los modelos de “Bounding Surface” (BS) pueden simular la respuesta no lineal de los materiales desde muy bajas hasta grandes deformaciones tanto para cargas monotónicas como cíclicas, manteniendo los elementos básicos de la teoría de la plásticidad. El módelo de plasticidad de BS fue propuesto inicialmente para describir el comportamiento de metales por DAFALIAS & P OPOV [8] y K RIEG [15], e introducido posteriormente a la mecánica de suelos por M RÓZ et al. [21] y DAFALIAS & H ERRMANN [6]. Al igual que la teoría de la elastoplasticidad el concepto de la BS usa una superficie que limita el estado de esfuerzos, pero se pueden producir deformaciones plásticas al interior de dicha superficie. El concepto de la BS se basa en la siguiente idea: cualquier estado de esfuerzos dentro de la BS se asocia con una única imagen sobre ésta, usando una regla de mapeo determinada. La distancia entre el estado actual de esfuerzos y la imagen sobre la BS es utilizada para calcular el valor del módulo plástico (K p ) y la regla de flujo (N). Adicional a la superficie “Bounding”, el modelo usa otra superficie llamada la superficie de carga ( f = 0). Con base en el teorema de C ARATHEODORY y la naturaleza incrementalmente irreversible de la respuesta plástica, L UBLINER[17] ha mostrado que en un estado plástico, la dirección de carga (L) debe estar a lo largo del gradiente de una superficie de carga f = 0 que pasa por el punto Tn en el espacio de esfuerzos. f (Tn , qn ) = 0. L=m. ∂f ∂ Tn. (2.77). donde m es un factor de normalización para el gradiente, igual a 1 si se desea. En la teoría clásica de la plasticidad ( f = 0) se conoce como la superficie de fluencia e indica la condición posible de esfuerzos. En el contexto de los modelos de BS, el estado de actual de esfuerzos siempre se encuentra sobre la superficie de carga f = 0 (a menos que se considere un núcleo elástico en condiciones de descarga), esto implica que la condición de consistencia ( f˙ = 0) se mantiene durante todo el proceso de carga y por lo tanto el módulo plástico es una función 24.

(33) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. que evoluciona continuamente. De acuerdo a la Ecuación 2.71 se tiene que: K p = −m. ∂f q̊n ∂ qn. (2.78). En la determinación del módulo plástico es precisamente donde la teoría de la BS difiere de la teoría clásica de la plasticidad. Por otro lado la superficie “Bounding” y su gradiente está definida en el espacio de esfuerzos por: F(T̊n , qn ) = 0 ; L̄ = m̄. ∂F ∂ T̄n. (2.79). donde las barras sobre las cantidades indican sus correspondiente valores asociados con la superficie F = 0. La superficie F = 0 siempre incluye a la superficie de carga f = 0, pueden estar en contacto en un punto tangente o pueden ser identicas pero nunca pueden intersectarse. La superficie “Bounding” expresa la dependencia del comportamiento mecánico de los suelos de la historia de carga, en el sentido que el estado plástico depende de que tan lejos esté el estado actual de esfuerzos Tn sobre f = 0 del correspondiente estado de esfuerzos T̄n sobre F = 0. Es importante anotar que la BS no es necesariamente una superficie limite o de falla (aunque tambien puede ser), ya que la BS evoluciona en general con las deformaciones plásticas. La distancia entre la BS y la superficie de carga en cualquier estado de esfuerzos está dada por una determinada regla de proyección o de mapeo que depende en general del estado actual de esfuerzos, y las variables internas de endurecimiento. T̄n = M(Tn , qn ). (2.80). la anterior ecuación debe satisfacer que T̄n = Tn y L̄n = Ln cuando Tn está sobre F = 0. Esta condición garantiza que f y F no se puedan intersectar, lo cual impone una fuerte restricción sobre su relativa evolución. Al igual que la superficie de carga, la BS evoluciona y cualquier cambio T̊n implica un cambio T̄˚ n que debe cumplir la condición F = 0. De acuerdo con la condición de consistencia (Ḟ = 0) se tiene que el modulo plástico para el estado de esfuerzos imagen es: K̄ p = −m̄. ∂F q̊n ∂ qn. (2.81). donde K̄ p es el módulo plástico asociado a la imagen del esfuerzo T̄n sobre la BS y m̄ es nue25.

(34) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. vamente un factor de normalización. El valor del módulo plástico K̄ p es usado para calcular el valor actual del módulo plástico K p en el punto Tn en función de la distancia euclidiana δ = [(T̄n − Tn ) : (T̄n − Tn )]1/2 entre Tn y T̄n , K p = K̂(K̄ p , δ , Tn , qn ). (2.82). tal que K̂ > K̄ p para δ > 0 y K̂ = K̄ p = K p para δ = 0. Ya que el valor de K p es calculado explícitamente mediante la función K̂, la Ecuación 2.82 se convierte en una restricción sobre las demás cantidades para satisfacer la condición de consistencia f˙ = 0. La regla de proyección presentada en el ecuación 2.80 solamente depende del estado de esfuerzos Tn y de las variables de endurecimiento qn en el tiempo tn , lo cual implica relaciones incrementalmente lineales en T. Si la regla de proyección dependiera, ademas del estado de esfuerzos y las variables internas de endurecimiento, de la dirección de deformación ln = T̊n / T̊n , las relaciones se vuelven incrementalmente no lineales. En este caso la regla de proyección se escribiría de forma general como T̊n = M 0 (Tn , qn , ln ). (2.83). En este caso L̄n , K̄ p y δ se vuelven dependientes de ln ; Ln puede o no ser dependiente de ln . Esta regla de proyección hace el modelo incrementalmente no lineal. Este tipo de plasticidad es conocida como hipoplasticidad en el contexto de DAFALIAS[5].. 2.3.. Hipoplasticidad. La hipoplasticidad es una relación incremetal no lineal usada para simular el comportamiento mecánico de suelos granulares. La ventaja de los modelos hipoplásticos radica en la simplicidad de su formulación, y su capacidad para predecir el efecto dilativo de los suelos y la respuesta no lineal tanto para condiciones de carga como de descarga. La ley hipoplástica no distingue a priori entre deformaciones elásticas o plásticas, por lo cual el material experimenta deformaciones irreversibles desde el inicio del proceso de carga. La ley hipoplástica está representada por una simple ecuación tensorial que depende del tensor de esfuerzos de C AUCHY T, el tensor de la tasa de deformación D, y la relación de vacios e. La ecuación constitutiva está formulada en una sistema co-rotacional que ayuda a evitar los errores excesivos que se producen por las rotaciones finitas de las deformaciones. La forma 26.

(35) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. mas general de la ecuación hipoplástica es: T̊ = H(T, D, e). (2.84). donde T̊ es el tensor objetivo de Z AREMBA -JAUMMAN, y H es una función tensorial. Esta función debe ser positiva e isotrópica para satisfacer el principio de objetividad 3 . Con el fin de describir un comportamiento independiente de la tasa de deformación, la función H debe ser positiva y homogénea de primer grado en D tal que H(T, λ D, e) = λ H(T, D, e), donde λ es un multiplicador escalar positivo. La función además debe ser positiva y homogénea de primer grado en T con el fin de reproducir trayectorias de esfuerzos y deformaciones proporcionales. La forma más general de representar una función tensorial isotrópica con dos argumentos tensoriales y simétricos es: H(T, D) = ψ1 1 + ψ2 T + ψ3 D + ψ4 T2 + ψ5 D2 + ψ6 (TD + DT) + ψ7 (TD2 + D2 T) + ψ8 (T2 D + DT2 ) + ψ9 (T2 D2 + D2 T2 ). (2.85). donde ψi son funciones escalares de los invariantes de T, y D: ψi = ψi (trT,trT2 ,trT3 ,trD,trD2 ,trD3 ,tr(T · D),tr(T2 ·D),tr(T·D2 ),tr(T2 ·D2 )). (2.86). La Ecuación 2.85 provee una infinidad de posibilidades, por lo tanto es necesario imponer algunas restricciones y supociciones para elegir las funciones candidatas. La ecuación hipoplástica fue formulada por prueba y error usando diferentes funciones candidatas. Una de las funciones candidatas para el modelo hipoplástico consiste de cuatro términos tensoriales combinados con cuatro parámetros del material C1 ,C2 ,C3 y C4 (G ADEHUS[10] y W EI & KOLYMBAS[39]). T̊ = C1 (trT)D +C2. T2 √ 2 T∗ 2 √ 2 tr(TD) T +C3 trD +C4 trD trT tr(T) tr(T). (2.87). con el esfuerzo desviador T∗ definido como: 1 T∗ = T − (trT)1 3. (2.88). La Ecuación 2.87 puede ser reescrita de forma que se puedan aislar los términos lineales y no. 3 El principio de objetividad establece que cualquier ecuación constitutiva debe ser independiente del sistema. de referencia. 27.

(36) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. lineales de la ecuación. Reorganizando la ecuación hipoplástica se obtiene la siguiente forma: T̊ = L : D − N kDk. (2.89). donde L el el operador hipoelástico de cuarto orden, N es un tensor de rigidez de segundo p orden no lineal en D y kDk = (trD2 ). Envolventes de respuesta Para probar el desempeño de las funciones candidatas, se desarrollaron varias metodologías. Uno de los métodos más comunes es llamado envolventes de respuesta y fue propuesto por G ADEHUS[10]. El método consiste en construir un diagrama polar de la rigidez, graficada para diferentes direcciones de deformación. La envolvente de respuesta se construye aplicando una deformación unitaria y calculando los esfuerzos resultantes mediante la ecuación constitutiva. Este procedimiento se repite para deferentes direcciones de deformación manteniendo constante la magnitud de las deformaciones (||D|| = 1,0). Las envolventes de esfuerzos cal√ culadas son finalmente graficadas en el plano de R ENDULIC ( 2T2 − T1 ), y se evalúa el desempeño de la ecuación diferencial. En la Figura 2.4 se muestra una envolvente de respuesta para el modelo hipoplástico descrito √ por la Ecuación 2.89. Se observa que un círculo en el plano 2D2 − D1 se convierte en una √ elipse en el plano 2T2 − T1 . Se puede observar que las envolventes de respuesta obtenidas en la ley hipoplástica son continuas y suaves. La distancia desde el punto inicial de esfuerzos √ a cada uno de los puntos sobre la envolvente en el plano 2T2 − T1 puede interpretarse como la rigidez tangencial del material en diferentes modos de deformación. Para este ejemplo se puede ver que la rigidez en compresión isotrópica (caracterizada por el circulo blanco) es mas grande que la rigidez en extensión isotrópica. Graficando las envolventes de respuesta para cada término de la Ecuación 2.89 se obtiene que la envolvente para el término elástico L : D es una elipse centrada en T0 , mientras que la envolvente de respuesta para el término no lineal N||D|| resulta ser un desplazamiento de la elipse obtenida como respuesta de la parte lineal de la ecuación. Cada punto T es desplazado una cantidad N||D||∆t (ver Figura 2.5). Las envolventes de respuesta también son usadas para ilustrar fácilmente cómo el concepto de flujo plástico puede ser extendido al modelo hipoplástico (ver Figura 2.6). La condición de fluencia se puede obtener al incrementar progresivamente el desplazamiento de la elipse con el eje hidrostático. Como se observa en la 28.

(37) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. e. e. E. T. T Ty. hs1 >hs2 Figura 2.4: Envolventes de respuesta del modelo hipoplástico para condiciones de carga n1 =n 2 axisimétricas. 1 2 ln p’. Elástico. Elástico. -T1. -T1. To. To. Hipoplástico. - 2 T2. - 2 T2. T1*/p’ T1 Figura 2.5: Envolventes de respuesta de la parte lineal y no lineal de la ecuación hipoplástica. T3 DbT T 2= n = R’ T. R’ Superficie de c r Fluencia D Figura 2.6, a medida que la oblicuidad de T aumenta, el Tpunto que indica el estado inicial de T T d esfuerzos se aproxima a la envolvente de respuesta. En el Dlímite Ty , el desplazamiento cauSuperficie T D T Límite n sado por el término no lineal de la pasa \ T3 ecuación es máximo y el estado inicial de esfuerzos Superficie del estado crítico por la envolvente de respuesta. Esta condición corresponde a una0determinada dirección de T. 1. deformación D tal que T̊ = 0. Debido a la homogeneidad de H(T, D) con respecto a los esT3*/p’ fuerzos, todos los esfuerzos proporcionalesT2*/p’ a Ty tendrán la misma propiedad. Esto constituye entonces una superficie de fluencia cónica en el espacio de esfuerzos principales. Superficie de T2 dilatáncia Función de fluencia La fluencia en el contexto de la hipoplasticidad se puede obtener cuando se alcanza un estado asintótico en el material, lo cual implica que T̊ = 0. Sustituyendo esta condición en la 29.

(38) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. Figura 2.6: Envolventes de respuesta. Ecuación 2.89 y factorizando el operador lineal se tiene: −1 0 = L : (D + L | {z: N} ||D||). (2.90). B. La Ecuación 2.90 se satisface trivialmente con D = 0 o cuando: ~D = L−1 : N. (2.91). donde ~D = D/||D|| representa la dirección de la tasa de deformación. La ecuación anterior impone una condición para el estado de esfuerzos. Tomando la norma a ambos lados de la ecuación se elimina el término ~D y se obtiene una función escalar y(T) que impone la condición de fluencia. y(T) = ||L−1 : N|| − 1 = 0 (2.92) La existencia de una superficie de fluencia no se satisface automáticamente por la forma de la Ecuación 2.90. La existencia de dicha superficie debe ser demostrada para cada función candidata y para cada grupo de parámetros del material. La formulación de los modelos hipoplásticos se ha basado en encontrar funciones candidatas cuya función de fluencia sea similar al criterio de M OHR -C OULOMB. Hipoplasticidad generalizada La forma de la ecuación hipoplástica presentada en la Ecuación 2.89 no muestra claramente las interrelaciones que hay entre los tensores L y N con la regla de flujo y la función de fluen30.

(39) CAPÍTULO 2. MODELOS CONSTITUTIVOS. MIC 2011-10-16B. cia. Por ejemplo si hay un cambio en el tensor L, habrá un cambio en la condición de fluencia y(T) y por consiguiente en la condición de flujo hipoplástico (B). Debido a esta estructura matemática de la ecuación hipoplástica es dificil hacer modificaciones y mejoras al modelo. Con el fin de proveer una mayor flexibilidad a la ecuacion hipoplástica original, se puede reescribir la ecuación de una forma mas intuitiva con componenetes que son responsables de las diferentes características del comportamiento mecánico de los suelos. A partir de la ecuación de referencia 2.89 y considerando las siguientes abreviaciones B = L−1 : N; m = −~B y y(T) = ||B|| − 1, se puede reescribir de forma alternativa la ecuación hipoplástica como: (2.93) T̊ = L : (D − (y(T) + 1)m ||D||) {z } | −B. El tensor m denota la dirección del flujo hipoplástico cuando T̊ = 0 y la función y(T) juega un papel similar a la función de fluencia. En este caso la función y(T) toma valores en el rango −1 ≤ y(T) ≤ 0. Cuando y = 0, la condición de fluencia es inminente y se tiene una condición de plasticidad perfecta, mientras que para y = −1 se tiene una respuesta hipoelástica de la ecuación. Note que el término y(T) + 1 en la Ecuación 2.93 funciona como una función de interpolación entre el comportamiento puramente hipoelástico y el comportamiento puramente plástico. Esta función hace que la transición entre los dos tipos de comportamientos (hipoelástico - hipoplástico) sea progresiva y no súbita como se tiene en elastoplasticidad. Esta característica representa una de las mayores ventajas del modelo hipoplástico, puesto que no distingue entre deformaciones elásticas y plásticas y por lo tanto no existe un comportamiento bilineal de la ecuación. Esto hace que las envolventes de respuesta sean contínuas y suaves en el espacio de esfuerzos, a diferencia de los modelos elastoplásticos donde las envolventes de respuesta tienen vértices. La forma de la Ecuación 2.93 se conoce con el nombre de hipoplásticidad generalizada y ha sido adoptada por muchos autores (H ERLE et al. [11], M ASIN[19]) para modificar la ecuación hipoplástica original. Esta estructura matemática permite tratar diferentes aspectos del modelo de forma independiente como por ejemplo la condición de fluencia y(T) o la regla de flujo hipoplástico B.. 31.