Herramientas computacionales para la aplicación del análisis numérico a las matemáticas financieras - teoria de Markowitz y la ecuación de Black Scholes

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(1)Herramientas Computacionales para la Aplicación del Análisis Numérico a las Matemáticas Financieras: Teoria de Markowitz y la Ecuación de Black Scholes. por. Andrés Borrero Monge. Una tesis presentada al departamento de Matemáticas como parte de los requisitos para el grado de Matemático. Director: Rene Meziat. Universidad de los Andes Bogotá, Colombia Enero, 2007.

(2) Yo, ANDRÉS BORRERO MONGE, maniesto en este documento mi voluntad de ceder a la Universidad de Los Andes los derechos patrimoniales, consagrados en el artículo 72 de la Ley 23 de 1982, del trabajo nal de grado* denominado HERRAMIENTAS COMPUTACIONALES PARA LA APLICACIÓN DEL ANÁLISIS NUMÉRICO A LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS: TEORIA DE MARKOWITZ Y LA ECUACIÓN DE BLACK SCHOLES., producto de mi actividad académica, para optar por el título de MATEMÁTICO en la Universidad de Los Andes. La Universidad de Los Andes, entidad académica sin ánimo de lucro, queda por lo tanto facultada para ejercer plenamente los derechos anteriormente cedidos en su actividad ordinaria de investigación, docencia y publicación. La cesión otorgada se ajusta a lo que establece la Ley 23 de 1982. Con todo, en mi condición de autor me reservo los derechos morales de la obra antes citada con arreglo al artículo 30 de la Ley 23 de 1982. En concordancia suscribo este documento en el momento mismo que hago entrega del trabajo nal a la Biblioteca General de la Universidad de Los Andes.. NOMBRE. FIRMA. CÉDULA. Santafé de Bogotá, D.C., 17 de enero de 2007 * Los derechos de autor recaen sobre las obras cientícas, literarias y artísticas en las cuales se comprenden las creaciones del espíritu en el campo cíentíco, literario y artístico, cualquiera que sea el modo o forma de expresión y cualquiera que sea su destinación, tales como: los libros, folletos y otros escritos; las conferencias, alocuciones, sermones y otras obras de la misma naturaleza; las obras dramáticas o dramáticomusicales; las obras coreográcas y las pantomimas; las composiciones musicales con letra o sin ella; las obras cinematográcas, a las cuales se asimilan las obras expresadas por procedimiento análogo a la cinematografía, inclusive los videogramas, las obras de dibujo, pintura, arquitectura, escultura, grabado, litografía; las obras fotográcas a las cuales se asimilan las expresas por procedimiento análogo a la fotografía; las obras de artes plásticas; las ilustraciones, mapas, planos, croquis y obras plásticas relativas a la geografía, a la topografía, a la arquitectura o a las ciencias, en n, toda producción del dominio cientíco, literario o artístico que pueda reproducirse o denirse por cualquier forma de impresión o de reproducción, por fonografía, radiotelefonía o cualquier otro medio conocido o por conocer. (artículo 2 de la Ley 23 de 1982).

(3) EE. A mi papá, por regalarme mi primer balón de trapo..

(4) Índice general 1. Fundamentos de la Teoría de Cartera 1.1. 1.2. 1.3. 1.4.. Riesgo de Mercado . . . . Portafolio con Dos Activos Más de Dos Activos . . . . Frontera Eciente . . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. . . . .. 6. . 7 . 7 . 11 . 13. 2. Aplicación Práctica de la Teoría de Cartera. 15. 3. Aspectos Formales y Derivación de la Ecuación de Black-Scholes 3.1. Introduccion a las Opciones . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Algunos Tipos de Opciones. . . . . . . . . . . . 3.2. El proceso de Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Cálculo de la Rentabilidad de un Activo . . . . 3.2.2. Evolución Determinística del Precio . . . . . . . 3.2.3. Evolucion aleatoria del precio . . . . . . . . . . 3.3. El Lema de Itô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Eliminando la Aleatoriedad . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Derivación Formal de la Ecuación de Black-Scholes . . 3.5.1. Supuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6. Condiciones de Frontera de Black-Scholes . . . . . . . . 3.6.1. Condiciones de Frontera para diferentes tipos de. 4. Solución Numérica a la Ecuación de Black Scholes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . opciones. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. 4.1. Esquemas de Diferencias Finitas: Dominio, Malla, y Condiciones de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Método Explícito de Diferencias Finitas o Método de Propagación hacia Atrás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Convergencia del Método Explícito de Diferencias Finitas o Método de Propagación hacia Atrás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Implementación del Método de Propagación hacia Atrás . . . . . . . . 4.3.1. La Malla en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Las Condiciones de Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Simulación del Valor de una Opción en el Tiempo . . . . . . . . 4.3.4. Conformando un Potafolio con el Activo y la Opción . . . . . .. 16. 16 17 20 20 21 22 23 24 25 25 29 30. 32 32 38 39 42 42 42 42 43.

(5) Bibliografía. 44. E. L.

(6) 0.0. 1. Introducción El mercado nanciero cada vez presenta más posibilidades de inversión*, presentando diferentes oportunidades para diversicar* los portafolios* y disminuir el riesgo* de incurrir en grandes pérdidas. Mediante el comportamiento histórico de los activos nancieros*, los inversionistas buscan formas de cobertura* para así conformar dichos portafolios de tal forma que tengan la rentabilidad* esperada de los clientes, intentando advertir y predecir la volatilidad* correspondiente a ésta. Es responsabilidad del inversionista, entonces, ofrecer al cliente la composición que prometa mayor estabilidad para cada uno de los diferentes niveles de retorno esperado*. El párrafo anterior, aunque resume el objetivo de los primeros dos capítulos de este proyecto, requiere de ciertas deniciones básicas para llevar el problema a un desarrollo matemático; éstas, aunque serán ampliadas a través del texto, pueden ser expresadas de la siguiente manera: 1.. Activos Financieros: conforman la base de un mercado (y por ende lo denen). Su precio y la cantidad adquirida de éstos determinan el valor de un portafolio.. 2.. Inversión: es la posición (cantidad adquirida) que se toma de cada activo. Así,. dado el precio de cada activo i, Si , la inversión sobre éste es cSi , donde c es la cantidad de unidades adquiridas del activo i.. 3.. Portafolio: es la unión de las inversiones:. n i=1. Ai , donde Ai es la inversión en el. activo i. Así, el valor del portafolio Πi , estará dado por. Πi = Σni=1 Ai . Para efectos de usos futuros, es importante resaltar que esto es equivalente a. Πi = Σni=1 cSi . 4.. Diversicación: es la acción de invertir en varios activos de diferentes características..

(7) 0.0. 2. 5.. Rentabilidad (de un activo): es el cambio porcentual r, en el precio de un activo en el tiempo t :. rt+1 =. St+1 − 1. St. También existen otras formas de denir la rentabilidad, pero en este texto se usará ésta; en el capítulo 3 se explicará con claridad el porqué. 6.. Retorno Esperado (de un portafolio): es el promedio µ de las rentabilidades en el tiempo:. 7.. ΣN rt µ = t=1 . N. Volatilidad (de la rentabilidad de un activo): es la tendencia de la rentabilidad de un activo a alejarse del promedio de ésta en el tiempo. Para su cálculo, se puede trabajar tanto con la varianza como con la desviación estándar. Deniéndo la volatilidad (inicialmente) como la desviación estándar σ , tendremos:. σ= 8.. 2 ΣN t=1 (rt − µ) . N −1. Riesgo (de un portafolio): es la posibilidad de que el portafolio se aleje de la rentabilidad esperada, e incluso pueda incurrir en pérdidas (rentabildad negativa). El riesgo es, entonces, directamente proporcional a la volatilidad de la rentabilidad del portafolio, y para efectos de simplicidad, será el equivalente a dicha volatilidad.. 9.. Cobertura: la búsqueda de la disminución del riesgo de un portafolio, mediante la inversión en diferentes activos.. La última palabra presenta entonces el motivo para diferentes estudios realizados por diferentes áreas: la economía, las nanzas, la estadística, etc. En particular, y con gran aceptación, la matemática nanciera ha presentado importantes resultados. La complejidad de los mercados nancieros actuales y la cantidad de opciones de inversión hacen que las matemáticas nancieras deban desarrollarse en torno a diferentes campos, con herramientas técnicas y formales que sean aceptadas por los inversionistas del mundo. Los grandes y pequeños inversionistas demandan la rigorización del análisis nanciero tratando de llevarlo a un campo menos especulativo y sustentado en las bases matemáticas. Hoy en día los mercados del mundo entero están integrados y los precios de distintos activos en distintos países interactúan entre sí en tiempo real. Por esto, se hace necesario entender cuantitativamente la dinámica a la cual.

(8) 0.0. 3. obedece la jación de los precios de varios activos de los diferentes mercados locales que conforman el inmenso mercado global. Históricamente, de la mano de las matemáticas, la física se ha apoyado en sus herramientas formales para tratar de encontrar patrones cuanticables detrás de observaciones del comportamiento del mundo natural. En principio uno podría esperar que esas herramientas que han servido a la física para encontrar leyes que denen el comportamiento de los objetos que son sujetos de su análisis para aplicarlas en áreas del conocimiento distintas a la ciencias básicas. Dentro de esta expectativa surge la matemática nanciera como un intento por cuanticar las relaciones entre agentes interactuantes en un mercado y las variables que los caracterizan. Dentro de las preguntas principales que son sujeto de la matemática nanciera encontramos las siguientes ¾Cómo extraer información del mercado? ¾Existe algún tipo de patrón que permita hacer predicciones sobre la evolución hacia el futuro de un precio o una tasa? ¾En que escala temporal aparecen esos patrones, y qué tan largas deben ser las series de tiempo? ¾Qué efecto tiene el comportamiento de los agentes del mercado sobre el precio? La respuesta no es sencilla en cuanto a que el comportamiento de los mercados tiene un componente humano difícil de replicar y explicar, que no es un factor en el caso de aplicaciones matemáticas para la física o la ingeniería. La evolución temporal y el cambio son la constante en el problema de pronosticar el comportamiento de un mercado y sus activos constituyentes. De modo que las ecuaciones que se encuentran tendrán un importante componente dinámico y el objetivo es resolver el problema de esta dinámica. Ecuaciones diferenciales en más de una variable y donde el tiempo juega un papel fundamental. El objetivo del presente trabajo es aproximarnos a algunas herramientas y objetos de estudio propios de la matemática nanciera. En ese sentido el capitulo 1 presenta una introducción a la teoría de la cartera desarrollada en 1952 por Harry Markowitz en su famoso artículo. Portfolio Selection [4], que hoy en día es la base para la conformación. de diferentes portafolios de bajo riesgo. En este trabajo Markowitz desarrolla las.

(9) 0.0. 4. herramientas para crear un portafolio eciente , estableciendo una herramienta formal de cobertura para portafolios de inversión. El valor del trabajo de Markowitz radica en que representa la primera formalización matemática aceptada por los diferentes teóricos nancieros. A partir de su trabajo, es posible asignar el armazón formal que la matemática pura y sus herramientas brinda a una aplicación distinta a las usuales. Hoy en día sigue siendo la base y el referente para entender la gestión de riesgo en los mercados nancieros. El capitulo 2 utiliza las herramientas teóricas desarrolladas en el primero para implementar en Excel el cálculo de la frontera eciente para un portafolio compuesto por 5 acciones (con el manejo y entendimiento adecuado, el programa es fácilmente ampliable a varios activos nancieros). El anexo 2.1 hace parte integral del capítulo en el sentido en que presenta la implementación práctica. Se toman las series de tiempo correspondientes a los precios históricos mensuales de 5 acciones y se calcula la frontera eciente. Adicionalmente, para una rentabilidad libre de riesgo ! (que puede. producir, por ejemplo, una inversión en una cuenta de ahorros) se calcula el portafolio de mercado " . El capítulo 3 presenta una forma especial de cobertura: las opciones. Una opción, como se verá de forma más amplia en la sección 3.1 (y explicada con ejemplos detallados en Excel en el anexo 3.1), es el derecho (en el caso del comprador de ésta) u obligación (en el caso del vendedor) que se adquiere para comprar (opción Call) o vender (opción Put) un activo a un precio determinado (por una función # ) en el futuro. Sirve para cubrirse contra riesgos implícitos en el cambio del precio de un activo. En la sección 3.2 buscaremos establecer herramientas que permitan predecir la evolución de este. Con base en el supuesto de que los inversionistas, dados dos portafolios con una rentabilidad esperada dada, preferirán siempre el portafolio que incurra en el menor riesgo, se dene portafolio eciente como el que, a una rentabilidad dada, no existe otro portafolio en el mismo mercado al que los inversionistas preeran. Se denirá con rigurosidad en el capítulo 1. La frontera eciente es la curva donde se encuentran los portafolios eciente para todas las rentabilidades que se pueden esperar con las diferentes composiciones de inversión en los activos del mercado. Será denida y encontrada formalmente en el capítulo 1. ! La rentabilidad libre de riesgo se denirá con rigurosidad en el capétulo 1 y se usará de nuevo en el capítulo 3. " La composición que constituye el portafolio sobre la frontera eciente, el cual presenta un aumento en el retorno esperado producto del riesgo en el que se incurre. Será denido con rigurosidad en el capítulo 1. # La función que determina el precio de venta puede o no ser una constante. En el capítulo 3 veremos algunos ejemplos de éstas. Durante el texto dependerán del precio del activo y del tiempo: . f = f (S, t)..

(10) 0.0. 5. precio, formalizando para este n el. Proceso de Wiener,. que en la práctica servirá. para modelar las variaciones del precio como una función con un componente aleatorio y otro deteminista (se llevará a la práctica en el anexo 3.2). El paso siguiente en el desarrollo de la teoría será llegar al. Lema de Ito,. que es fundamental en el cálculo. estocástico ya que cuantica el cambio en una función dado un cambio en la variable exógena o independiente $ . Finalmente, en la sección 3.4, se deduce la ecuación de Black-Scholes, luego de sustentar los supuestos del mercado en el que ésta se derivará. La ecuación de Black-Scholes será, como veremos formalmente, la que nos permita determinar el valor que se debe pagar por una opción determinada. Siendo ésta una ecuación diferencial, se encontrarán sus condiciones de frontera (en la sección 3.5) para poder encontrar su solución numérica en el capítulo 4, mediante un método de diferencias nitas. Se trabajará con rigurosidad tanto teórica como práctica (en los anexos 4.1 a 4.3) en el. Diferencias Finitas. Método de Propagación hacia Atrás. o. Método Explícito de. para así mostrar mediante diferentes ejemplos en el anexo 4.4. cómo las opciones europeas (donde la función que determina el precio a pagar por el activo en el futuro es una constante. K. en un tiempo determinado. T )%. pueden ser,. efectivamente, unas excelentes formas de cobertura.. El Lema de Ito puede visualizarse como el equivalente en el cálculo estocástico a lo que es la función de Taylor para el cálculo normal. % Ésta será una de las opciones explicadas y mostradas con claridad en la sección 3.1 $.

(11) Capítulo 1 Fundamentos de la Teoría de Cartera El mercado nos ofrece diferentes tipos de titulos, activos, y otras posibilidades para invertir. Al invertir en una de ellas, el inversionista cona en que esta inversión genere rendimientos en un plazo determinado. Supongamos que se invierte en algun tipo de moneda, por ejemplo, dólares. Cómo reacciona el mercado ante una noticia negativa sobre el dólar? Si el precio de éste cae de forma vertiginosa, la inversión se verá afectada negativamente y retornará un rendimiento negativo. Ahora supongamos que adicionalmente el inversionista posee títulos tesoros nacionales. El público, al ver que las inversiones en dólares no son rentables , muy probablemente buscará vender los dolares para asegurar su dinero invirtiendolo en una alternativa más estable en el momento, como serian los títulos del tesoro. Como consecuencia de la inesperada demanda por estos títulos, el precio de éstos empezara a subirá en concordancia con la . La caída en el precio de una inversión, signicó la subida en el precio de la otra. Una inversión compuesta por diferentes activos se denomina portafolio . El valor de un portafolio puede mantenerse estable aun cuando los activos que los componen presenten cambios signicativos. Lo anterior, siempre que los activos que componen el portafolio sean escogidos de tal modo que cuando el valor de alguno caiga, el otro compense con una subida. De esto último se trata la teoría de la cartera, que veremos a continuación y que pretende indicar la forma mas adecuada para componer un portafolio rentable y cuyo valor sea relativamente estable. ley de la oferta y la demanda.

(12) 1.2. 7. 1.1. Riesgo de Mercado El riesgo de mercado es el estudio de las pérdidas en las que puede incurrir un portafolio de acuerdo con las inversiones que lo conformen. Supongamos que debemos invertir el 100 % de nuestro portafolio en uno de dos activos del mercado: el primero ofrece una rentabilidad del 15 % con una probabilidad de 0.75 y del 5 % con una probabilidad de 0.25; el segundo tiene una rentabilidad del 10 % con una probabilidad de 1. El inversionista que preere la rentabilidad invertirá en el primero. Si lo que se busca es una inversión con un riesgo nulo, la inversión preferida sera en el segundo portafolio. Al generalizar este ejemplo para las posibilidades que hay en el mercado, nos enfrentamos a un problema de mayor complejidad a la hora de tomar una decision de inversión. Por eso la necesidad de una medición aceptable de riesgo, que podamos minimizar para la creación de portafolios seguros. Esta medición adecuada debe trabajar sobre la rentabilidad esperada de una inversión, que es una variable aleatoria, y deberá medir la tendencia a oscilar y el periodo de oscilación de esta variable. Una medición adecuada es la volatilidad del activo. Ésta se puede medir matemáticamente de multiples formas pero las mas comunes son la varianza y la desviación estándar de una serie de tiempo correspondiente al precio del activo. Así, denimos el riesgo de un activo como:. Denición 1.1.1. El riesgo de un activo Y con un vector de precios S. Y. será di-. rectamente proporcional a la desviación estándar de SY así como a V ar(SY ), donde. VaR(SY ) es la varianza de los datos del vector de precios. Por ende, entre menor sea la desviación estándar de los datos históricos del activo, diremos que el activo está menos expuesto al riesgo de mercado.. 1.2. Portafolio con Dos Activos La medición del riesgo y el retorno de un portafolio con más de un activo dependerá del monto que se tenga invertido en cada activo. Supongamos que se tiene un portafolio con un valor total de $100, donde invertimos $10 en un activo que renta al 10 % en un día, y $90 en uno que renta 5 % en el mismo día, La rentabilidad del portafolio estará dada por el siguiente calculo: Valor del portafolio en t0 :. 10 + 90 = 100..

(13) 1.2. 8. Valor del portafolio en t1 :. (10 + 10 %(10)) + (90 + 5 %90) = (11 + 94,5) = $105,5. Rentabilidad del portafolio:. 105,5 − 1 = 5,5 % 100. Notemos que esta rentabilidad también se dá por la ecuación:. 10 %(10 %) + 90 %(5 %) = 1 % + 4,5 % = 5,5 % Si llevamos este ejemplo a términos generales tendremos:. Proposición 1.2.1. El Retorno RΠ de un portafolio Π compuesto por 2 activos se da. por la ecuación:. RΠ = w1 R 1 + w2 R 2 ,. (1.1). donde w1 y w2 son los pesos ponderados de los activos en el portafolio, y R1 y R2 son los retornos de cada uno de los activos. Es decir, el retorno de un portafolio es el promedio ponderado de los retornos de los activos que lo componen. Para una prueba rigurosa de esta proposición ver [2]. Este resultado se amplía de forma muy similar para el valor esperado del retorno, con lo que obtenemos la ecuación. E[RΠ ] = w1 E[R1 ] + w2 E[R2 ].. (1.2). La anterior ecuación nos permite ahora determinar la varianza del retorno del portafolio, V ar(RΠ ).. Teorema 1.2.2. Sea σΠ2 la varianza del retorno de un portafolio compuesto por dos. activos, y sean σ1 y σ2 la raíz cuadrada de la varianza del retorno de estos dos activos. Entonces σΠ2 = w12 σ12 + w22 σ22 + 2w1 w2 Cov(R1 , R2 ). Demostración:. (1.3).

(14) 1.2. 9. 2 ] − E[RΠ ]2 σΠ2 = E[RΠ. (1.4). = E[w12 R12 + 2w1 w2 E[R1 R2 ] + w22 R22 ] − (w12 E[R1 ]2 + w22 E[R2 ]2 + 2w1 w2 E[R1 ]E[R2 ]) = w12 E[R12 ] + 2w1 w2 E[R1 R2 ] + w22 E[R22 ] − (w12 E[R1 ]2 + w22 E[R2 ]2 + 2w1 w2 E[R1 ]E[R2 ]) = w12 (E[R12 ] − E[R1 ]2 ) + w22 (E[R22 ] − E[R2 ]2 ) + 2w1 w2 (E[R1 R2 ] − E[R1 ]E[R2 ]) = w12 σ12 + w22 σ22 + 2w1 w2 Cov(R1 , R2 ) Sea ρ12 la correlación entre la rentabilidad del activo 1 y del activo 2. Sabemos que. ρ12 =. Cov(R1 , R2 ) σ1 σ2. lo cual nos permite reescribir (1.3) como. σΠ2 = w12 σ12 + w22 σ22 + 2w1 w2 ρ12 σ1 σ2 .. (1.5). Los casos ρ12 = 1 y ρ12 = −1 son improbables en la práctica. Sin embargo, siempre que se dé alguno de los dos casos, se puede componer un portafolio con σΠ = 0 de la siguiente manera: 1.. Si ρ12 = 1 y σ1 = σ2 entonces. w1 = −. σ2 σ1 , w2 = . σ1 − σ2 σ1 − σ2. Nótese que uno de los anteriores términos debe ser negativo. Esto quiere decir que en el portafolio habría una posición de inversión negativa sobre uno de los activos. Esto signica que el inversionista del portafolio ofrece un activo que en realidad no posee al momento de la transacción. Este tipo de operaciones están permitidas para muchos portafolios e instrumentos. De hecho, lo común es que sea permitido, y se dene como 2.. tener una posición corta sobre el activo.. Si ρ12 = −1 entonces. w2 =. σ2 σ1 , w2 = . σ1 + σ2 σ1 + σ2. Para un desarrollo mas extenso y detallado de los anteriores numerales referirse a Capinzki[2]. Para el caso común, −1 < ρ12 < 1, presentamos el siguiente resultado:.

(15) 1.3. 10. Teorema 1.2.3. Sea s = w2. Si −1 < ρ12 < 1 el portafolio con la mínima varianza se da cuando. s0 =. σ12 − ρ12 σ1 σ2 σ12 + σ22 − 2ρ12 σ1 σ2. (1.6). Demostración: Si w2 = s la ecuación 1.5 se vuelve. σΠ2 = (1 − s)2 σ12 + s2 σ22 + 2(1 − s)sρ12 σ1 σ2 . Derivando respecto a s e igualando a cero, se obtiene. ∂σΠ2 = −2(1 − s)σ12 + 2sσ22 − 2sρ12 σ1 σ2 + 2(1 − s)ρ12 σ1 σ2 = 0. ∂s Resolviendo para s: s0 =. 2σ12 − 2ρ12 σ1 σ2 2(σ12 + σ22 − 2ρ12 σ1 σ2 ). 2 Al calcular la segunda derivada de σΠ respecto a s y recordando que −1 < ρ12 < 1,. obtenemos la desigualdad. 2σ12 + 2σ22 − 4ρ12 σ1 σ2 > 2σ12 + 2σ22 − 4σ1 σ2 = 2(σ1 − σ2 )2 > 0. Lo anterior implica la existencia de un mínimo en s0 ; pero siendo a varianza del portafolio una cuadrática sobre s, sabemos que este mínimo es uno global. La ecuación 1.6 es la posición que minimiza el riesgo. siempre.. Esta posición se logra. siempre y cuando se pueda tener una posición corta sobre un activo en el portafolio. Nos interesa analizar dicho caso. Para cuando no se puede tener una posición corta, el valor de s para minimizar la varianza puede ser uno de tres casos: 1.. Si s0 < 0 ⇒ 0.. 2.. Si 0 ≤ s0 ≤ 1 ⇒ s0 .. 3.. Si s > 1 ⇒ 1.. El anterior resultado es trivial, y su demostración se puede ver en [2]..

(16) 1.3. 11. 1.3. Más de Dos Activos Consideremos un conjunto de n activos de donde escoger para invertir en un portafolio. Entonces cualquier vector. w = [w1, w2, ..., wn]. (1.7). tal que. 1=. uwT ,. (1.8). donde. u = [1, 1, ..., 1] es un vector con todos sus. n. valores iguales a 1, es un portafolio posible. En notación. matricial n i=1. De la misma forma, denimos el vector. wi = 1.. (1.9). m tal que. m = [µ1, µ2, ..., µn] contiene los retornos esperados de los activo. j. n. (1.10). activos. La covarianza entre el activo. se denominará cij , y la matriz simétrica de. entre todas las parejas de activosserá denida como. n xn. i. y el. que contiene la covarianza. C = (cij ).. Los siguientes resultados siguen de la linearidad del valor esperado y de la covarianza, respectivamente y se siguen del trabajo de Markowitz[4]:. mwT. (1.11). wCwT .. (1.12). µΠ = y. σΠ2 =. Generalizando el problema de encontrar un portafolio con una varianza mínima para n activos, demostramos la siguiente proposición:. Proposición 1.3.1. El vector de pesos que dene al portafolio con la menor varianza es.

(17) 1.3. 12. K+−1 . M = K+ −1 T K. (1.13). Demotración: Aplicando el método de multiplicadores de Lagrange para la ecuación 1.12 con la restricción 1.8 obtenemos la ecuación. w. F ( , λ) =. wCwT − λuwT. cuyas derivadas parciales en wi dan. wC − λu = 0.. 2 Entonces. w = λ2 uC−1.. Usando la retricción 1.8 y multiplicando ambos lados de la cuación por. 1=. λ 2. uT , obtenemos. uC−1uT .. Resolviendo para λ, tenemos que. λ= Reemplazando para la ecuación de. 2. uC u. −1 T. .. w que se obtuvo en el proceso de multiplicador de. Lagrange, obtenemos. . uC−1 w = uC −1 T u. Ahora, dado un retorno esperado de µΠ para el portafolio, queremos encontrar. w tal. que se minimice el riesgo (varianza). Para eso, usaremos las siguientes deniciones de notación:. A = B = E =. uC−1ut uC−1mt mC−1mt. D = AE − B 2 .. (1.14) (1.15) (1.16) (1.17).

(18) 1.4. 13. Proposición 1.3.2. Dada una rentabilidad esperada µΠ, el portafolio con la menor varianza sobre los portafolios posibles que puedan tener este retorno esperado, tiene un vector de pesos dado por: w = (E − µΠB)uC. −1. con D = 0. Esta ecuación dene a la. + (µΠ A − B)mC−1 D. (1.18). Línea de Menor Varianza, que nos ayudará a denir dentro. de poco el propósito principal de este capítulo. La demostración de esta proposición es muy similar a la que se dió para la proposición 1.3.1; se sigue igual, pero considerando dos restricciones: la ecuación 1.8 y la ecuación 1.11. Al trabajar con dos multiplicadores de Lagrange para estas dos restricciones minimizando la ecuación 1.12, obtenemos el resultado deseado. Para ver la demostración completa, referirse a Capinzki o Markowitz [2, 4]. Con esta última proposición hemos dado el paso para poder establecer los portafolios en los que se querrá invertir (ya veremos por qué). En la siguiente sección se verán algunas deniciones, y se esbozarán algunos puntos importantes para poner nalmente en práctica la teoría de cartera en el capítulo 2.. 1.4. Frontera Eciente Dados dos portafolios con la misma varianza y diferentes rentabilidades esperadas, el inversionista escogerá el portafolio que tenga la mayor rentabilidad esperada. Asímismo, dados dos portafolios con la misma rentabilidad esperada, y diferentes varianzas, el inversionista escogerá el portafolio con la menor varianza. Este es el principio que rige a la teoría de cartera. Decimos que el portafolio 1 y σ1 ≤ σ2 . Un portafolio es. eciente. domina al portafolio 2 si µ1 ≥ µ2. si no es dominado por ningún otro portafolio,. salvo sí mismo. El conjunto de los portafolios ecientes conforman lo que se dene como la. Frontera Eciente.. Un portafolio que esté sobre la frontera eciente, tendrá el máximo retorno esperado sobre todos los portafolios posibles, dada una varianza, y tendrá la menor varianza sobre todos los portafolios posibles dado un retorno esperado. Bajo este aspecto, es claro que la frontera eciente es un subconjunto de la línea de mínima varianza, y para el calculo de la frontera eciente, es importante la siguiente proposición..

(19) 1.4. 14. Proposición 1.4.1.. Sean M1 y M2 portafolios sobre la línea de mínima varianza. Entonces cualquier portafolio sobre ésta se puede expresar de la forma cM1 + (1 − c)M2 para algún cR. Más aún, si un portafolio se puede expresar de esta forma, entonces está sobre la línea de mínima varianza. La proposición 1.4.1 lo que dice es que dos portafolios sobre la línea de mínima varianza denen de forma única toda la línea. Adicionalmente, esta proposición nos permitirá calcular la frontera eciente usando la teoría vista en la sección 1.2. Consideremos ahora la inclusión de un activo de varianza cero y rentabilidad rf a las posibilidades de inversión, adicional a los n activos que hemos considerado hasta el momento. El nuevo será un activo libre de riesgo, y rf se conocerá entonces como la. tasa libre de riesgo, que será de gran importancia en lo que queda del proyecto. Un plano riesgo-retorno asigna a un activo una coordenada de acuerdo con la tasa de rentabilidad y el riesgo que éste representa. Sobre el plano riesgo-retorno, el activo libre de riesgo tendrá coordenadas (0, rf ). Si rf no es muy alta, podremos trazar una línea que parta de este punto y que sea tangente a la frontera eciente. En el punto. portafolio línea de mercado ;. de tangencia de la línea con la frontera, digamos (σM , µM ), se conforma el. de mercado.. La línea tangente mencionada, se denirá como la. similarmente a la proposición anterior, cualquier portafolio sobre esta línea se podrá conformar a partir del portafolio de mercado y el activo libre de riesgo. Como esta línea es recta sobre el plano riesgo-retorno, la rentabilidad de este portafolio se puede expresar como. µP = r f +. µ M − rf σP , σM. (1.19). con lo que podemos deducir que la exposición a la desviación estándar σP de este portafolio, es premiada con un aumento de rentabilidad. µM −rf σP . σM. Con la herramientas conceptuales desarrollada en este capítulo pasamos al capítlo 2, donde ilustraremos de forma clara esta teoría, poniéndola en práctica en la herramienta más usada por los inversionistas: Excel..

(20) Capítulo 2 Aplicación Práctica de la Teoría de Cartera Lo que hemos visto en la teoría del capítulo 1, es en su totalidad aplicable en lapráctica con herramientas sencillas. En este capítulo veremos cómo podemos, paso a paso, crear un portafolio de mercado a partir de las condiciones que pueda imponernos éste, o los resultados que busquemos. Cada uno de los pasos, estará ilustrado por una hoja de cálculo de Excel en donde mostraremos los cálculos con los que conseguimos cada uno de los resultados. Los pasos que ilustraremos son: 1. Retorno Continuo Compuesto de los Activos 2. Graca Retorno - Riesgo de los Activos 3. Cálculo Matriz de Covarianzas Denida Positiva 4. Cálculo de la Inversa de la Matriz de Covarianzas 5. Valores A,B,C 6. Gráca Frontera Eciente vs. Riesgo-Retorno de los Activos 7. Portafolio de Mínima Varianza 8. Portafolio de Mercado - Retorno Dado En el anexo 2.1 podemos ver estos pasos ilustrados uno a uno. Se explica claramente cómo hacer cada uno de los cálculos en Excel. Para una información detallada de algunos puntos, puede referirse a [1]..

(21) Capítulo 3 Aspectos Formales y Derivación de la Ecuación de Black-Scholes 3.1. Introduccion a las Opciones Una opción es el derecho a comprar o vender un determinado activo (una divisa, un titulo, una acción) a un precio que se ja hoy y se paga en el futuro. La opción en sí constituye un contrato donde el vendedor se compromete a comprar o vender el activo en un tiempo t por un precio jado en t0, conocido como precio stike independientemente del valor al cual se transa el activo en el mercado en el tiempo t, al que se denomina precio spot. De acuerdo con el valor de mercado del activo en el tiempo t, el poseedor de la opción es libre de ejercer la opción o dejarla expirar sin hacer uso de ella. Se habla de una opción call cuando se adquiere el derecho a comprar el activo en el futuro. Por su parte, se habla de una opción put cuando se adquiere el derecho a venderlo (para detalles, se recomienda ver [3]). El vendedor de una opción está obligado a vender ( en el caso de la opción call) o comprar (en el caso de la put) el activo en caso de que el comprador de la opción decida ejercer su derecho. Una opción se caracteriza por tres varibles básicas (mas no únicas): 1. Prima de la opción: es el valor que paga el comprador para obtener el derecho a de compra o venta futura..

(22) 3.1. 17. 2.. El precio strike: es el precio al cual se compra o vende el activo en la fecha de ejecución de la opción. 3.. La fecha en que expira el derecho a ejercer la opción. Las tres variables anteriores, junto con la tasa de retorno libre de riesgo rf y el valor de mercado del activo (precio spot S) son las caracteristicas fundamentales de la opción.. 3.1.1. Algunos Tipos de Opciones. A partir de la denición básica de opción se derivan varios tipos de éstas. Algunos de los tipos más comunes de acciones los denimos a continuación. 1.. Opción Europea: La opción europea es quizás la más comúnmente utilizada. En este contrato el comprador sólo puede ejercer su derecho de compra o venta en la fecha de vencimiento. Así, sin importar el resto de las variables, el comprador de una call europea comprará el activo en su fecha de expiración, si y sólo si el valor del strike (que es el valor de compra pactado en el contrato) es menor al valor spot del activo en tal fecha. De lo contrario, el poseedor de una put europea ejercerá su derecho si y sólo si el precio spot del activo es menor que el precio strike de la opción.. 2.. Opción Americana: La opción americana se puede ejercer en cualquier momento a partir de la fecha de compra y hasta la fecha de expiración inclusive.. 3.. Opcion Asiática: El precio strike de esta opción se calcula a partir de algún promedio del precio del activo durante la vigencia del contrato de la opción. Este promedio puede ser un promedio móvil calculado sobre n dias anteriores a la fecha en la cual se decida ejercer la opción.. 4.. Opción Retrovisora: Para este tipo de opción el precio strike se determina en la fecha de vencimiento y depende de la evolución del precio del activo en el intervalo de tiempo comprendido entre la compra de la opción y su fecha de expiración. En el contrato de opción call se establece que el strike será igual al precio mínimo mostrado por el activo durante el periodo de tiempo de vigencia. La. tasa libre de riesgo se reere al retorno que pagaria una inversión libre de riesgo, e.g. una. cuenta de ahorros..

(23) 3.1. 18. de la opción. Análogamente, si la opción es put, el precio strike será igual al valor máximo al cual se haya transado el activo durante el periodo de vigencia de la opción. A manera de ilustración de las opciones antes descritas determinamos a continuación la utilidad realizada por un poseedor de una opción bajo un escenario dado. Suponemos que se compra una opción en t0 y que tal opción tiene fecha de vencimiento t. Consideraremos que la opción dará a su poseedor la potestad para comprar un dólar en la fecha t (opción call). Para efectos de simplicidad, consideramos que no existen costos de transacción. Es decir que el comprador de la opción no debe pagar nada por la adquisición del derecho (sólo nos jaremos en el pago nal de la opción). El anterior supuesto será desechado en cuanto a que el objetivo de este capítulo es, precisamente, desarrollar una herramienta que permita calcular el monto que el comprador debe pagar por adquirir una opción. Denimos ahora. K = promedio {S(t0 ), S(t1 ), ..., S(t)} ,. (3.1). el precio strike para la opción europea y americana en este caso particular. El conjunto. {S(t0 ), S(t1 ), ..., S(t)} representa los valores spot del activo en el tiempo. La utilidad. máxima posible para el tenedor de estas opciones estará dada por:. Call Europeo:. C(S, t) = máx{0, S(t) − K}.. (3.2). C(S, t) = máx {0, máx{S(t0 ), S(t1 ), ..., S(t)} − K} .. (3.3). C(S, t) = máx {0, Si+9 − mı́n(promedio(Si , Si+1 , ..., Si+9 ))}. (3.4). Call Americano:. Call Asiático:. para. 0 ≤ i ≤ N − 9. La ecuación anterior supone un promedio móvil sobre 10 días..

(24) 3.1. 19. Call Retrovisor:. C(S, t) = máx {0, S(t) − mı́n {S(t0 ), S(t1 ), ..., S(t)}} .. (3.5). En el anexo 3.1 se pueden ver con claridad los cálculos y resultados en el gráco para estas opciones comparadas con la TRM de algunas fechas del año pasado. Si ahora, por el contrario, calculamos los pagos. minimos de estas opciones, obtenemos:. Call Europeo:. máx{(0, S(t) − K}.. (3.6). C(S, t) = máx{0, mı́n (S(t0 ), S(t1 ), ..., S(t)) − K, Sn − K}.. (3.7). Call Americano:. Si >K. Call Asiatico (caso particular promedio movil 10 dias):. C(S, t) = máx{0, Si+9 − máx(promedio(Si , Si+1 , ..., Si+9 ))}. (3.8). para. 0 ≤ i ≤ N − 9, promedio(Si , Si+1 , ..., Si+9 ) < Si+9 . Call Retrovisor:. C(S, t) = máx{0, SN − mı́n(S0 , S1 , ..., SN )}. (3.9). De acuerdo con las fórmulas para la utilidad generada por cada opción, surge la pregunta de cuanto debe pagar un comprador para obtener el derecho implícito en una opción. Además, dada la cobertura y utilidad de cada opción es de esperarse un costo distinto para un call europeo que para un call retrovisor. El monto que el comprador de la opción paga por adquirirla se conoce como. prima ,. y es el costo. subyacente al contrato. De acuerdo con los casos vistos arriba en cuanto a la utilidad generada por cada tipo de opción, se puede ver que el pago esperado por una opción retrovisora será siempre mayor o igual al pago esperado por parte de una opción call europea. En consecuencia, si se tuviera que pagar la misma prima para adquirir cualquiera de las dos opciones,.

(25) 3.2. 20. todos los compradores preferirían adquirir las call retrovisoras. Lo anterior siempre que exista algun vendedor de call retrovisora. Cuánto maás vale una opción retovisora que una opción europea? El objetivo del resto de este capitulo es el de encontrar la respuesta a esta pregunta. En la consecución de este objetivo, plantearemos y modelaremos uno de los metodos de diferencias nitas, que es una herramienta que nos ofrece el análisis numérico.. 3.2. El proceso de Wiener Resulta imposible predecir con exactitud el precio S de un activo para un instante determinado de tiempo t en el futuro. Dicha imposibilidad sugiere un comportamiento de dicho precio de acuerdo con un proceso aleatorio. En particular, es posible pensar que el activo sigue un camino aleatorio generado por información histórica de éste. La. hipótesis de mercado eciente. plantea que la información histórica de un. activo se encuentra totalmente reejada en su precio actual y que el mercado responde de manera inmediata a la inclusión de nueva información concerniente a tal activo. El objetivo de la presente sección es establecer un método que permita medir y cuenticar la reacción del precio actual del activo a cualquier información futura. En acuerdo con [6, 9, 10], los cambios en un precio, dados por la aparición de choques no anticipados (inclusión de nueva información) corresponden a un proceso markoviano de aleatoriedad sin memoria. Para deducir la forma de dicho proceso empezamos por abordar el problema de establecer la rentabilidad generada por una inversión.. 3.2.1. Cálculo de la Rentabilidad de un Activo Supongamos que invertimos. Q0 = $100,000,000 en unas acciones que hoy valen S0 = $10,000 cada una. Sea St = $11,000 el precio en un tiempo posterior t y al cual se desea vender las acciones. La transacción representará para el inversionista una ganancia U:. Para mayor información sobre el mercado eciente referirse a [6].

(26) 3.2. 21. U = (Q0 /S0 ) ∗ St. (3.10). = Q0 ∗ (St /S0 ). (3.11). = Q0 ∗ 1,1. (3.12). = Q0 ∗ (1 + 0,1).. (3.13). Vemos pues que la inversión Q0 arroja un 10 % de crecimiento dado por (1,1 − 1). Haciendo uso de lo anterior podemos encontrar una expresión general para el crecimiento de la inversión, dada por. (St /S0 ) − 1 = (St − S0 )/S0 = dS/S0. (3.14). Es decir, St = S0 + dS , con dS representando el cambio del precio en el tiempo dt. El término general que describe el creciemiento de la inversión es. dS/S.. (3.15). A este crecimiento lo llamamos retorno o rentabilidad de la inversión. A continuación nos interesa encontrar una expresión que nos permita predecir o determinar la rentabilidad de una inversión. Una aproximación generalizada en la modelación de la rentabilidad de un activo considera dicho retorno como la composición de dos elementos: un componente determinístico y otro componente aleatorio.. 3.2.2. Evolución Determinística del Precio Sea el activo sujeto de la inversión tal que tiene una serie histórica de precio como la dada en el anexo 3.1. De ahí podemos ver que el retorno medio de este activo fue de 3,028 % efectivo anual. Al calcular el equivalente diario del retorno obtenemos que equivale a 0,0082 % por cada dt, siendo dt = 1dia. La parte determinística del camino aleatorio seguido por el precio del activo será. µdt. Ahora buscamos aproximar la variación de esta parte determinista según la reacción que el precio tenga a datos externos. Sabemos que el activo tendrá una desviación.

(27) 3.3. 22. estándar sobre el retorno medio, σ . Pero σ es un valor conocido, luego no nos permite modelar la aleatoriedad. Sin embargo, sera la desviación estándar quien dé peso al término aleatorio. Sabemos que si la variacion σ = 0, el retorno del activo será constante y por ende el precio de éste será totalmente determinista. En consecuencia, es necesario introducir un término, dX, que acompañe el componente aleatorio y dé origen al. Proceso de Wiener.. 3.2.3. Evolucion aleatoria del precio El término dX corresponde a una variable aleatoria tomada de una distribución normal, con media cero y varianza dt. Así, si tomamos una variable aleatoria. φ ∼ N (0, 1) y tomamos. √ dX = φ dt,. obtenemos la variable aleatoria, que sigue el proceso de Wiener,. dX ∼ N (0, dt). El cálculo de dX se ve en el anexo 3.2, donde se muestra una hoja excel con sus funciones y el resultado del vector conteniendo dX. La razón por la cual el dX tiene una desviación estándar de dt es porque dt → 0 y una elección diferente para dX llevaría a resultados triviales. Esto se empezará a ver con mayor claridad cuando veamos el Lema de Itô; para una prueba rigurosa, se sugiere un libro de calculo estocastico avanzado ([9] sugiere Schuss (1980)). Consolidando lo visto en las secciones (las dos anteriores) obtenemos nalmente una ecuación diferencial estocástica que regirá el camino aleatorio lognormal del retorno sobre el precio del activo:. dS = σdX + µdt. S. (3.16). El anexo 3.2 permite observar el mecanismo por el cual se obtiene nalmente el camino aleatorio para la TRM futura. Ahí mismo podemos ver cómo afecta cada una de las variables de la fórmula a este precio en cada una de las grácas..

(28) 3.3. 23. 3.3. El Lema de Itô El Lema de Ito se usa con frecuencia en distintas áreas del análisis nanciero. El resultado es súmamente importante, y aunque no lo vamos a probar con rigurosidad ! se mostrará claramente la intuición que lleva al japonés a determinar uno de los teoremas más importantes del cálculo estocástico. En él se cuantica el cambio experimentado por una función ante cambios en la variable de la cual depende. Lo probaremos para una y dos variables, ya que es lo que compete al alcance de este capítulo. Sin embargo, no sobra mencionar que su resultado es generalizable para n variables. Sea f (S) una función suave de S . Al variar S en una cantidad dS → 0, f también varía una cantidad innitesimal, df . Si S es una variable no estocástica, tendremos la expansión de la serie de Taylor. df =. df 1 d2 f 2 dS + dS + ... dS 2 dS 2. (3.17). Retomando la ecuación (3.16) observamos que. dS 2 = (σSdX + µSdt)2 = σ 2 S 2 dX 2 + 2µσS 2 dtdX + µ2 .S 2 dt2. (3.18) (3.19). Recordando que dX 2 → dt cuando dt → 0. Siendo dt cercano a cero, los términos de orden mayor a dt se vuelven por ende despreciables. Es decir, trabajamos en O(dt) =. O(dX 2 ) >> O(dtn ) para n ≥ 2, que en este caso en particular es cota superior de los ordenes mas bajos que O(dt). Así,. dS 2 = σ 2 S 2 dX 2. (3.20). y. dS 2 → σ 2 S 2 dt cuando dt → 0. Al reemplazar las ecuaciones 3.19 y 3.16 en la ecuación 3.17 obtenemos que. df 1 d2 f 2 2 (σSdX + µSdt) + σ S dt dS 2 dS 2 df df 1 d2 f 2 2 = σSdX + (µS + σ S )dt, dS dS 2 dS 2 ! La prueba rigurosa se sale de los objetivos de este trabajo([9] sugiere Schuss (1980)) df =. (3.21) (3.22).

(29) 3.5. 24. que es precisamente el Lema de Ito.". 3.4. Eliminando la Aleatoriedad Según el Lema de Ito, la funcion f obtiene su aleatoriedad tan solo de la variable aleatoria dX, al igual que la proyección para el retorno de S . Si las funciones f y S son linealmente dependientes resulta posible derivar a partir de ellas una función que siga un camino determinístico en dt. Denamos una función g, tal que. g = f − ∆S,. (3.23). con ∆ una variable (que deniremos mas adelante) constante en dt. Así,. dg = df − ∆dS.. (3.24). Usando las formulas (3.16) Y (3.19),. dS = σdX + µdt S y. df df 1 2 2 d2 f df = σS dX + µS + σ S dt dS dS 2 dS 2 y reemplazando en dg (3.24) obtenemos: df 1 d2 f df dX + µS dt + σ 2 S 2 2 dt − ∆SσdX − ∆µSdt dS dS 2 dS df 1 2 2 d2 f df − ∆ dX + µS −∆ + σ S = σS dt. ds ds 2 dS 2. dg = σS. Al denir. ∆≡. df ds. (3.25) (3.26). (3.27). obtenemos. 1 d2 f dg = σ 2 S 2 2 dt, 2 dS. (3.28). que carece de variables aleatorias y por tanto constituye el camino determinístico que buscábamos. Este resultado se usará como herramienta fundamental para deducir la ecuación de Black-Scholes. ". Para una extensión natural del lema de Ito a más variables, ver apéndice 10A de [3]..

(30) 3.5. 25. 3.5. Derivación Formal de la Ecuación de Black-Scholes Aunque ya tenemos gran parte de la teoría, en esta sección daremos los últimos pasos teóricos para poder encontrar la relación que nos permita determinar el valor de la prima a pagar por una determinada opción. Empezamos por deducir la ecuación más utilizada en la valoración de derivados: la ecuación de. Black-Scholes .. 3.5.1. Supuestos Primero debemos determinar los supuestos bajo los que actúa el mercado en el que queremos invertir. 1.. Precio del Activo. El precio del activo sigue un camino aleatorio lognormal. Lo anterior surge de la derivación realizada en la sección (3.2), en donde vimos que la ecuación (3.16) aproxima el comportamiento futuro del activo; el camino aleatorio lognormal es el que da lugar a la distribución lognormal. Para ver esto, empecemos aplicando el Lema de Ito a. f (S) = ln(S). Sabemos que. df 1 = dS S d2 f 1 = − 2. 2 dS S. (3.29) (3.30). Reemplazando las anteriores en el Lema de Ito (3.22), obtenemos:. 1 1 1 2 2 1 df = σS dX + µS − σ S 2 dt S S 2 S 1 = σdX + µ − σ 2 dt. 2. (3.31) (3.32). Siendo dX una variable aleatoria de distribución normal, entonces σdX también tiene distribución normal. Al sumarle una constante df sigue también una distribución normal, con media (µ − 12 σ 2 )dt y desviación estándar σdt, siendo.

(31) 3.5. 26. dX ∼ N (0, dt). La suma (innita) de las df sobre t, dará como resultado a la función f , que seguirá (por linealidad) una distribucion normal: 1 2 2 f ∼N µ − σ t, σ t . 2 En particular, f − f (S0 ) sigue una distribución normal y su función de densidad es entonces 2 2 −(f −f (S0 ))−((µ− 1 1 2 σ )t) 2 2σ t √ exp σ 2πt. (3.33). Reemplazando para f(S), obtenemos. S. 1 2 )t))2. 1 σ 2 )t))2 )−((µ− 2 σ −(ln( −(ln(S)−ln(S0 )−((µ− 2 S0 1 1 2t 2σ 2σ 2 t √ √ exp exp = σ 2πt σ 2πt. ,. (3.34). que es la distribución lognormal. 2.. La tasa libre de riesgo rf y la volatilidad del activo σ son constantes conocidas, o por lo menos, funciones conocidas durante la vida del activo. En particular, este supuesto en la valoración de activos en colombia no se da, ya que la volatilidad para la valoración diaria del activo depende del precio futuro del activo # y de tasas futuras desconocidas. Sin embargo, lo poco que cambian estos valores durante la vida del activo, hace que el papel que toma este supuesto en la ecuación de Black-Scholes, permite aceptarlo para determinar con mucha precisión el valor de la opción.. 3.. Costos de transacción. Suponemos que en este mercado no existen costos de transacción. Si consideramos una prima lo sucientemente alta, el despreciar estos costos para la cobertura del portafolio se vuelve razonable, haciendo este supuesto también aceptable para plantear la ecuación.. 4.. Dividendos. Para conrmar y ampliar información sobre esto, puede ver la circular 100 de 1995 capitulo 18 de la Supernanciera #.

(32) 3.5. 27. Suponemos que el activo subyacente en la opción no paga dividendos durante la vida de ésta. Localmente hablando, las opciones y derivados suelen ser "nondelivery", lo que signica que se reeren únicamente al precio del activo sin importar en absoluto los dividendos que pueda pagar. Además, las leyes suelen obligar a que de haber dividendos se paguen al dueño del activo. Este supuesto es en efecto verdadero en la mayoría de las veces en el mercado. 5.. Arbitraje Para la derivación suponemos que no existen posibilidades de arbitraje. Este supuesto es de vital importancia para la ecuación de Black-Scholes, como se vera a continuación, e implica que no es posible encontrar en el mercado una forma de ganar dinero sin incurrir en algún evento de riesgo $ . Ahora, no sobra anotar que en la práctica las posibilidades de arbitraje sí existen, sí se usan, y hay personas que trabajan encontrándolas. Sin embargo, el supuesto es válido en la medida que para la valoración de una opción se considera que el comprador y el vendedor manejan la misma información. Gracias a eso no deberían existir ventajas en la negociación para ninguna de las partes.. 6.. La compra y venta del activo se puede dar sobre un espacio de tiempo continuo. Es decir, mientras el mercado esté abierto,en cualquier instante de tiempo se puede transar el activo. Ahora, en cada instante en que el activo se ofrece para la compra o la venta, no necesariamente se encontrará comprador para ésta. Este supuesto busca mantener la idea de poder negociar a precios de mercado, lo que, con un título sucientemente líquido (dolar, acciones de alta bursatilidad, TES de largo plazo) se dá y no estamos incurriendo en un absurdo.. 7.. Es posible pactar un contrato de venta de un activo aún cuando el vendedor no posea dicho activo al momento de rmar el contrato. Este supuesto se reere a la posibilidad de tomar posiciones cortas en el portafolio que se maneja (ver capítulo 1).. Teniendo ya los supuestos que serán nuestra base, procedemos a determinar la herramienta principal en la valoración de opciones. Sea V(S,t) el valor de una opción, siendo S el precio del activo y t el tiempo. El Lema de Ito (3.22) nos dice que, asumiendo que V es derivable sobre t una vez (al menos) y 2 veces en S: $. Para ampliar el conceptlo de arbitraje, se recomienda ver el capítulo 4 de [2].

(33) 3.5. 28. dV = σS. d2 V dV dV 1 dV dX + (µS + σ2S 2 2 + )dt dS dS 2 dS dt. (3.35). Sea Π el valor de un portafolio compuesto por un activo y una opción sobre el precio S de ese activo. Si −∆ es el valor que está invertido en el activo, entonces. Π = V − ∆S.. (3.36). Siguiendo la misma metodología de la sección 3.4, para determinar una función libre de aleatoriedad, encontramos que con. ∆=. dV dS. (3.37). obtenemos el cambio absoluto en el valor del portafolio para un tiempo dt:. dΠ =. dV 1 d2 V + σ2S 2 2 dt 2 dS. dt.. (3.38). Por otro lado, sea rf la tasa libre de riesgo. Al invertir una cantidad Π en el banco, obtenemos en dt una ganancia absoluta. rΠdt.. (3.39). Si esta ganancia es mayor que dΠ entonces un inversionista podría pactar vender el portafolio en la fecha de vencimiento de la opción. Mientras tanto podría invertir Π en el banco, obteniendo sin riesgo una ganancia mayor. Asímismo, si. r<. dΠ Π. (3.40). un inversionista podria tomar dinero prestado del banco, a la tasa rf , para invertir en el portafolio, cuyo retorno es mayor que rf . En la fecha de vencimiento se vende el portafolio, se paga el préstamo al banco y obtiene una utilidad dada por la diferencia entre la tasa de retorno. dΠ Π. del portafolio y la tasa r.. En resumen, si rf Πdt > DΠ nos enfrentamos a una oportunidad de arbitraje. Asímismo, si rf Πdt < DΠ también nos encontramos en presencia de una oportunidad de arbitraje. Dado que uno de nuestro supuestos es el de no existencia de oportunidades de arbitraje, se debe cumplir que. rf Πdt = dΠ. Reemplazando la ecuación anterior en (3.38), obtenemos que.

(34) 3.6. 29. rΠdt = Como Π = V − ∆S y ∆ =. dV dS. d2 V dV 1 + σ2S 2 2 dt 2 dS. (3.41). dt.. tenemos %. 1 2 2 d2 V dv dV dt. S dt = + σ S r V − dS dt 2 dS 2 . (3.42). Entonces. rV − r. dv dV 1 d2 V S= + σ2S 2 2 . dS dt 2 dS. (3.43). Finalmente, pasando a restar el lado izquierdo al derecho, obtenemos la Ecuación de Black-Scholes:. dV 1 2 2 d2 V dv + σ S − rV = 0. + rS 2 dt 2 dS dS. (3.44). 3.6. Condiciones de Frontera de Black-Scholes El valor de una opción debe ser único, porque de lo contrario surgirían oportunidades de arbitraje, contradiciendo uno de los supuestos de la secci« 3.5.1. Siendo la ecuación que valora la opción, la ecuación de Black-Scholes, una ecuación diferencial parcial, para lograr una solución única debemos establecer condiciones de frontera. La presencia del término. d2 V , dS 2. nos obliga a establecer dos condiciones para V(S,t). Es. decir, debemos establecer dos relaciones de la forma S = a y S = b. Estas serían, ya que se da un valor a S, ecuaciones sobre t. En particular, Va (t) y Vb (t). El término de mayor grado en t, en la ecuación de Black-Scholes es. dV dt. y por tanto. habrá que encontrar una sola ecuación VT (S) en t=T, con T la fecha de vencimiento de la opción. Las condiciones sobre t, podrán darse de dos formas: T=t inicial o T=t nal. Dependiendo de si la ecuación queda parabolica hacia adelante o parabolica hacia atras, respectivamente. Para profundizar en este tema referirse a [9].. Note que delta es el cambio en el valor del activo cuando el precio cambia. El valor de delta tiene un importante papel en una opción para valorar su riesgo. En el mercado local, particularmente, éste debe ser multiplicado por el valor de la opción y este resultado a su vez por la volatilidad del precio del activo subyacente para determinar su verdadero valor en riesgo [7]. %.

(35) 3.6. 30. 3.6.1. Condiciones de Frontera para diferentes tipos de opciones 3.6.1.1. Call Europeo Para t = T (vencimiento) vemos que la condición nal corresponde al pago dado por la ecuación:. C(S, T ) = max(0, S − K) donde K es el precio strike de la opcion. Para las condiciones sobre S vemos que si. S = 0 su camino aleatorio será determinísticamente 0, por la ecuación 3.16. Por ende, K >S en todos los tiempos, en particular en el vencimiento, y así. C(0, t) = 0. Ahora, para cuando S → ∞, vemos que S >> K para todo K, luego. C(S, t) → ∞ cuando. S→∞ .. 3.6.1.2. Put Europeo Similarmente, entramos en materia con los valores t = T , S = 0, y S → ∞. Siendo P(S,T) el pago al vencimiento de la opción:. P (S, T ) = max(0, K − S). Para P(0,t), vemos que lo que se espera recibir es simplemente el pago strike K, por lo que, descontándolo a la tasa constante libre de riesgo H, tenemos que. P (0, t) = K exp−r(T −t) . Finalmente, para cuando S → ∞ la opción no se ejercerá, ya que K << S , luego. P (S, t) → 0.

(36) 3.6. 31. cuando. S → ∞..

(37) Capítulo 4 Solución Numérica a la Ecuación de Black Scholes La solución a la ecuación diferencial de Black-Scholes, se puede hallar para ciertos tipos de opciones de manera directa. Para un call europeo, por ejemplo, existe una solución de este tipo . Sin embargo, dicha solución directa no necesariamente existe para todas las opciones. En particular, en múltiples ocasiones es necesario recurrir al análisis numérico. En este capítulo estudiaremos el ,o , y el marco teórico y conceptual que le da sustento matemático. Al nal, realizaremos la implementación de este método y presentaremos sus principales resultados.. Método Explícito de Diferencias Finitas Método de Propagación hacia Atrás. 4.1. Esquemas de Diferencias Finitas: Dominio, Malla, y Condiciones de Frontera Para determinar el valor de una opción en un tiempo determinado t, cuando el activo subyacente tiene un precio S, podemos usar una malla de puntos en donde cada punto (S,t) representa un precio S = iδS La. solución a este problema está muy bien descrita y resuelta en [9]. (4.1).

(38) 4.1. 33. y un tiempo. t = T − kδt,. (4.2). con 0 ≤ i ≤ I y 0 ≤ k ≤ N . Con lo anterior S puede tomar el valor máximo. IδS y el tiempo tomará valores en un intervalo que va de 0 a T. Para determinar las condiciones de frontera para la ecuación de Black-Scholes IδS será la representación de S → ∞. Así, el valor de la opción estará dado por. V (S, t) = V (iδS, T kδt) = Vik .. (4.3). En la anterior ecuación (i,k) son las coordenadas sobre la malla y Vik representa el valor de la opción en el punto (i,k). Además denimos. 0≤i≤I y. 0 ≤ k ≤ N, donde I representa el número de pasos en los cuales vamos a analizar el precio y N es el número de pasos temporales. De este modo IδS representa el máximo valor que puede tomar el precio S y N δt el máximo valor que puede tomar el tiempo. La graca 4.1 muestra una esquematización de la malla de puntos. Cómo, a partir de esta información, podemos calcular los distintos términos de la ecuación de Black-Scholes. dV dt. ,. dV , dS. y. d2 V ? dS 2. Basándonos en las deniciones de derivada, sabemos que. ∂V V (S, t + h) − V (S, t) = lı́m . (4.4) h→0 ∂t h Usando la notación de malla, y tomando un δt sucientemente pequeño logramos una aproximación para. ∂V ∂t. dada por. V k − Vik+1 ∂V ≈ i . ∂t δt. (4.5). Para ver el alto grado de aproximación de la anterior, notemos que, por serie de Taylor. V (S, t − δt) = V (S, t) −. ∂V (S, t) δt + O δt2 . ∂t. (4.6).

(39) 4.1. 34. Figura 4.1: La malla para diferencias nitas..

(40) 4.1. 35. Es decir que. Vik = Vik+1 − Resolviendo la anterior para. ∂V (S, t) δt + O δt2 . ∂t. (4.7). (S, t) obtenemos. ∂V ∂t. V k − Vik+1 ∂V (S, t) = i +O ∂t δt. . δt2 δt. (4.8). ,. que tendrá un error sobre el valor real de la opción no mayor a O(δt). Ahora, tenemos tres herramientas capaces de aproximar el valor de 1.. Diferencia adelante:. ∂V ∂S. 2.. Diferencia atrás:. ∂V ∂S. ≈. 3.. Diferencia central:. ∂V ∂S. ≈. ∂V : ∂S. k −V k Vi+1 i . δS. k Vik −Vi−1 . δS. ≈. k −V k Vi+1 i−1 2δS. Al igual que la aproximación de. ∂V ∂t. , la diferencia hacia adelante y la diferencia hacia. atrás tienen un margen de error hasta de O(δt). Para determinar el grado de aproximación de la diferencia central, resolvemos las dos series de Taylor:. V (S + δS, t) = V (S, t) +. ∂V 1 ∂V (S, t)δS + (S, t)δS 2 + O(δS 3 ) ∂S 2 ∂t. (4.9). y. 1 ∂V ∂V (S, t)δS + (S, t)δS 2 + O(δS 3 ). (4.10) ∂S 2 ∂t k k Reemplazando V (S + δS, t) por Vi+1 , y V (S − δS, t) por Vi−1 , y sustrayendo (4.9) de V (S − δS, t) = V (S, t) −. (4.10), obtenemos k k Vi+1 − Vi−1 =2. ∂V (S, t)δS + O(δS 3 ). ∂S. (4.11). Si dividimos a los dos lados por 2δS obtenemos k k − Vi−1 Vi+1 ∂V = (S, t) + O 2δS ∂S. Finalmente resolvemos para. ∂V ∂t. . δS 3 2δS. . (S, t),con lo cual obtenemos. k V k − Vi−1 ∂V (S, t) = i+1 + O(δS 2 ), ∂S 2δS. .. (4.12).

(41) 4.1. 36. donde el error tiene un orden de magnitud O(δS 2 ) << O(δS). En lo que sigue del presente trabajo usaremos la diferencia central siempre que sea posible. Cuando no sea posible (e.g. cuando no se conozca el valor de Vk en i + 1 ó en. i − 1) usaremos las diferencias adelante y atrás. Para este último tipo de diferencias es posible una aproximación tan cercana como la centrar a partir de los valores Vik , k k Vi+1 Vi+2 . Para esta estimación, se puede ver ([10]). Para aproximar. ∂2V , ∂S 2. trabajamos a partir de la diferencia adelante:. V k − Vik ∂V ≈ i+1 ∂S δS. (4.13). y a ésta se le aplica la diferencia atrás. Es decir:. ∂. ∂V ∂S. ∂S. ≈. (. k −V k ) (Vi+1 i δS. − δS. k ) (Vik −Vi−1 ) δS. (4.14). de donde se concluye que k k − 2Vik + Vi−1 Vi+1 ∂ 2V ≈ . ∂S 2 δS 2. (4.15). Al igual que para el caso de la aproximación por diferecia central, se puede deducir que la aproximación (4.15) es también de orden O(δS 2 ). Ya tenemos entonces la forma de aproximar el valor de diferentes puntos de la malla de valores desconocidos a partir de otros conocidos. Resulta evidente la necesidad de conocer unos puntos iniciales a partir de los cuales se pueda comenzar a estimar los demás. Estos puntos son, precisamente, las condiciones de frontera. A continuación nos interesa expresar las condiciones de frontera encontradas en la sección (3.6) en términos de los valores (i,k) que denen la malla de puntos para distintos tipos de opciones. 1.. Call Europeo: Para t = T (vencimiento) vimos que la condición nal corresponde al pago dado por:. C(S, T ) = max(0, S − K) con K igual al precio strike. Es decir, T = T − kδt. Con lo anterior y haciendo uso de la relación para S dada por en la ecuación (4.1) podemos expresar el pago C en terminos de nuestra malla de la siguente manera.

(42) 4.1. 37. Vi0 = max(0, iδS − K). (4.16). para 0 ≤ i ≤ I . Si S = 0, tenemos que. C(0, t) = 0, que se convierte en. C(0, T − kδt) = 0. (4.17). para 0 ≤ k ≤ N . Ahora, para cuando S → ∞, vimos en el capítulo 3 que. C(S, t) → ∞.. (4.18). La condición de frontera cuando S → ∞ se implementa tomando IδS como el valor máximo que toma S. En vista de lo anterior se debe modicar la condición de frontera (4.14) ya que si S → IδS < ∞ el precio strike K ya no es despreciable y afectará el pago C generado por la opción. De modo que (4.18) se convierte en:. C(IδS, kδt) = IδS − K exp−r(T −kδt) para 0 ≤ k ≤ N . 2.. Put Europeo: Sea t = T entonces. P (S, T ) = max(0, K − S) se convierte en. P (iδS, T ) = max(0, K − iδS) para 0 ≤ i ≤ I .. (4.19).

(43) 4.2. 38. Por otro lado, si S=0 entonces. P (0, t) = K exp−r(T −t) es ahora. P (0, T − kδt) = K exp−r+kδt para 0 ≤ k ≤ N . Finalmente, para cuando S → ∞. P (S, t) → 0 se vuelve para nuestra malla. P (IδS, T − kδt) = 0 donde 0 ≤ k ≤ N .. 4.2. Método Explícito de Diferencias Finitas o Método de Propagación hacia Atrás Las condiciones de frontera determinadas en la sección anterior nos permiten calcular el valor de todos los puntos interiores de la malla. Para esto vamos a deducir un método que a partir de los puntos donde k = 0 determina el valor de los puntos de la malla para k ≥ 0. Recordamos la ecuación de Black-Scholes:. ∂V 1 ∂V ∂ 2V + σ 2 S 2 2 + rS − rV = 0, dt 2 ∂S ∂S que, usando las ecuaciones 4.5, 4.13, y 4.15 para reemplazar los términos derivativos, se vuelve.

(44) 4.2. 39. k k − 2Vik + Vi−1 Vik − Vik+1 1 2 2 Vi+1 + σ S δt 2 δS 2 k k V − Vi−1 − rVik = O δt, δs2 . +rS i+1 2δS. (4.20). Ahora, resolviendo para el único término evaluado en k+1 y haciendo a un lado el error:. Vik+1 k = Vi−1 δt. . 1 1 2 2 1 σ S − rs 2 δS 2 δS. . . 1 2 2 1 1 + −2 σ S −r δt 2 δS 2 1 1 2 2 1 k σ S + rS +Vi+1 2 δS 2 2δS Vik. (4.21). Es decir,. Vik+1. =. k Vi−1. δt 1 2 2 δt σ S − rs 2 2 dS dS. . . . 1 2 2 δt 1− 2 σ S + + rδt 2 dS 2 1 2 2 δt rS δt k σ S . + +Vi+1 2 dS 2 2 δS Vik. (4.22). Esta última es la ecuación que determina el método de propagación hacia atrás (o. método explícito de diferencias nitas).. Nótese que la ecuación (4.22) funciona. para 1 ≤ i ≤ I − 1, y depende de las condiciones de frontera para i = 0 e i = IδS . También sabemos que tiene un error de O(δt2 , δtδS 2 ). El método explícito tiene ventajas importantes como son la facilidad a la hora de programarlo en lenguajes de computación sencillos. Como desventaja identicamos la particularidad de las condiciones sobre las cuales el método no diverge. Abordaremos el tema de la convergencia del método a continuación.. 4.2.1. Convergencia del Método Explícito de Diferencias Finitas o Método de Propagación hacia Atrás Para calcular el error del término ViN notemos que en. ViN. =. Vi0. +. N −1 k=0. . Vik+1 − Vik. . (4.23).

(45) 4.2. 40. Figura 4.2: Representación esquemática del método..

(46) 4.3. 41. todos los términos del lado derecho se anulan entre sí, excepto ViN . Como sabemos, el error en cada término es de. O(δt2 , δtδS 2 ), por lo que al sumarlo N veces, se convertirá en. O(N δt2 , N δtδS 2 ). 1 ) debido a que se evalúa en un tiempo T nito. Sin embargo, N = O( δt. Para saber qué necesitamos para evaluar la estabilidad del método, suponemos una solución para la ecuación 4.22 de la forma:. Vik = αk exp. √ 2Πi −1 λ. ,. (4.24). que es la solución oscilatoria de longitud de onda λ propuesta por [10]. Reemplazando en la ecuación 4.22 y resolviendo para α obtenemos. α=. 1 δt 1 − rδt + 2 σ 2 S 2 2 2 δs. . cos. 2Π λ. . √ δt 2Π −1 + −1rS sin . δS λ. (4.25). La existencia de convergencia en el tipo de solución propuesta en la ecuación (4.24) requiere del cumplimiento de |α| ≤ 1. Para que lo anterior siempre se cumpla se requiere, por (4.25) que: 1.. rf ≥ 0. 2.. δt ≤. 3.. δS ≤. 1 σ2 I 2 1 2σ 2 S 2 . 2 |rS|. La condición (1) sabemos que se tiende a dar, ya que r es la tasa libre de riesgo que siempre es positiva. De (2) podemos decir que es una fuerte restricción para nuestro proyecto, ya que implica que si se quiere duplicar el precio máximo del activo IδS , se debe disminuir el paso en el tiempo δt con un factor multiplicativo de 0.25. En el programa del anexo 4.1 señalaremos el lugar donde se controla esta restricción. Por último, (3) no representa un obstáculo preocupante para la convergencia del método ya que por lo general se cumple [10]. Sin embargo, hay que cuidarse de una volatilidad. σ del activo muy baja, ya que (3) puede no cumplirse y hacer que el método diverja..