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(1)

Tema 4: Introducción a la programación lineal

Departamento de Métodos Cuantitativos para Economía y Empresa Universidad de Las Palmas de Gran Canaria Dávila Cárdenes, Nancy Dorta González, Pablo García Artiles, Mª Dolores Gómez Déniz, Emilio Profesores:

1

Objetivos Generales

Objetivos Específicos Objetivos

Introducción al planteamiento y resolución de problemas de programación lineal (PPL), así como su aplicación a diversos problemas económicos de asignación óptima de recursos escasos.

 Plantear adecuadamente un problema de asignación de recursos como programa lineal.

 Resolver gráficamente problemas de dos variables.  Plantear y resolver el problema dual de un programa lineal.  Interpretar de forma precisa las soluciones duales óptimas.

2 ÍNDICE DE CONTENIDOS

2. RESOLUCIÓN GRÁFICA Y RESULTADOS.

1. PLANTEAMIENTO DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL (PPL).

3. DUALIDAD. PRECIOS SOMBRA.

1. PLANTEAMIENTO DE UN PPL: Ejemplo 1

Un pastelero dispone de 150 kg. de harina, 50 de azúcar y 30 de mantequilla para hacer dos tipos de dulces. Supongamos que se necesitan 3 kilos de harina, 2 de azúcar y 1 de mantequilla para hacer una docena de dulces del tipo A, mientras que las cantidades para una docena del tipo B son, respectivamente, 6, 1 y 1 kilo. El beneficio que obtiene por la venta de una docena de dulces tipo A es 20 y por una docena del tipo B es 30. Hallar el número de docenas a producir de cada dulce para maximizar el beneficio del pastelero.

Materia prima Requerimientos (kg./docena) Disponibilidad (en kg.) Dulce A Dulce B

Harina 3 6 150

Azúcar 2 1 50

Mantequilla 1 1 30

Beneficio por docena 20 € 30 €

3

Llamando:

x1=Docenas dulces tipo A, x2= Docenas dulces tipo B,

 Objetivo: maximizar el beneficio.

 Restricciones: disponibilidad de materias primas. El planteamiento del problema es el siguiente:

x1, x20: condición de no negatividad de la solución

1 2

max 20 30

3 6 150

s.a

2 50

30

, 0

z x x

x x

x x

 

 



4

Una dieta equilibrada ha de contener al menos 16 unidades de carbohidratos y 20 de proteínas. El alimento A contiene 2 unidades de carbohidratos y 4 de proteínas, y el alimento B contiene 2 unidades de carbohidratos y 1 de proteínas. Si el alimento A tiene un coste unitario de 12 u.m. y el B de 8 u.m., hallar las unidades de cada alimento que se han de comprar para minimizar el coste.

Notando x1: Unidades alimento A, x2: Unidades alimento B,

 Objetivo: minimizar el coste.

 Restricciones: necesidades de nutrientes. El planteamiento en este caso es:

1 2

min 12 8

s.a 2 2 16

4 20

, 0

z x x

x x

x x

 

 

(2)

El planteamiento general del un PPL es:

1. PLANTEAMIENTO DE UN PPL: Generalidades

   

     



   

 

1 1 22

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 2

max(min)

( )( ) s.a

( )( )

( )( ) , , , 0,

n n n n n n

m m mnn m

n

z c x c x c x

a x a x a x b

x x x

donde:

 son constantes conocidas.

 son las variables de decisión,a determinar.

 es la función objetivo.

 son las restricciones

del problema.

 1 1 2 2 n n

z c x c x c x

     

1 1 2 2 ( )( ) , 1,2,...,

i i in n i

a x a x a x b i m

 , 1,2,..., j

x j n

 

, , , 1,2,..., , 1,2,..., j i ij

c b a i m j n

6

1. PLANTEAMIENTO DE UN PPL: Generalidades

 Solución factible: Cualquier n-upla que verifique las

restricciones del problema.

 Región factible o conjunto de oportunidades (X): El conjunto de soluciones factibles del problema.

 Solución óptima Solución factible donde se

alcanza el óptimo del PPL.

 Valor óptimo El valor de la función

objetivo en la solución óptima.

1 2

( ,x x,...,xn)

   

* * * *

1 1 2 2 . .. n n:

z c x c x c x

* * *

1 2

(x x, ,...,xn):

7

8

1. PLANTEAMIENTO DE UN PPL: Formas canónica y estándar

 Un PPL de maximización está en forma canónicasi sus restricciones son de menor o igual.

 Un PPL de minimización está en forma canónicasi sus restricciones son de mayor o igual.

 Un PPL está en forma estándar cuando sus restricciones son de igualdad (salvo las de no negatividad).

9 Forma

estándar Forma canónica

Problema de minimización Problema de

maximización



  

 



 1

1 max

. . 1,..,

, 0 1,..,

n

jj j n

ijj i i j

j i z c x

s a a x h b i m

x h j n

1

1 max

. . 1,..,

0 1,..,

n

j j j

n

ijj i j

j

z c x

s a a x b i m

x j n



 

 



1

1 min

. . 1,..,

0 1,..,

n

j j j

n

ijj i j

j z c x

s a a x b i m

x j n



 





  

 



1

1 min

. . 1,..,

, 0 1,..,

n

j j j

n

ij j i i j

j i z c x

s a a x h b i m

x h j n

10

 En el planteamiento general de un PPL podemos aplicar las siguientes transformaciones que permiten escribirlo de la forma más conveniente:

a) Toda restricción de desigualdad cambia de sentido al multiplicar ambos miembros por -1:

b) Toda restricción de igualdad puede descomponerse en dos de desigualdad:

1 1 2 2 1 1 2 2 .

i i in n i i i in n i

a xa x a x b a xa x a x  b

1 1 22

, .

i i in n i

a x a x a x b

   



     

   



 



11

1. PLANTEAMIENTO DE UN PPL:Formas canónica y estándar

1 1 2 2

, 0.

i i in n i i

i i in n i

i

a x a x a x h b

a x a x a x b

h

    



      _



 

1 1 2 2 1 1 2 2

max min c x c x c xn n (c xc x c xn n).

c) Toda restricción de desigualdad puede transformarse en una de igualdad sumando o restando variables no negativas denominadas

variables de holgura:

d) Todo problema de maximización se puede transformar en uno de minimización y viceversa:

1 1 22

, 0.

i i in n i i

i i in n i

i

a x a x a x h b

a x a x a x b

h

    



     

 

(3)

12

Ejercicio: Escribir en forma canónica y estándar

1 2 3

1 2

1 2 3

min 3 2 2

4 s.a

2

2 4

, , 0

z x x x

x x x

x x

x x x

x x x

  

  

 

  



1 2 3

1 2

1 2 3

min 3 2 2

s.a 4

2

2 4

, , 0

z x x x

x x x

x x

x x x

x x x

  

  

   

  

    



Forma canónica

1 2 3

1 2 3 1

1 2 2

1 2 3

1 2 3 1 2

min 3 2 2

s.a 4

2

2 4

, , , , 0

z x x x

x x x h

x x h

x x x

x x x h h

  

   

  



Forma estándar

2. RESOLUCIÓN GRÁFICA Y RESULTADOS:Resolución gráfica

Tomamos el planteamiento del ejemplo 1 anterior

1 2

max 20 30

3 6 150

s.a

2 50

30

, 0

z x x

x x

x x

 

 



13 a) Se representa el conjunto factible X, definido por la intersección de los

semiplanos delimitados por las rectas siguientes en el primer cuadrante:

1 1 2

2 1 2

3 1 2

3 6 150;

2 50;

30;

r x x

  

r2

r1 r3

X

b) Se superponen las rectas de nivel de la función objetivo en el sentido del vector gradiente (max)o el opuesto del vector gradiente (min)

14  Rectas de nivel:20x130x2k, k

 Vector gradiente:  z (20,30),que es proporcional al (10,15).

r2

r1 r3

P

X

(10,15)

c) La recta de nivel de mayor valor que interseca el conjunto X es la que pasa por el punto P, el cual está definido por las rectas r1y r3:

15 d) A partir de la forma estándar del problema obtenemos la solución

óptima de las variables de holgura:

* *

1 2 1 2

*

1 2

3 6 150 10, 20

30 800

x x x x

x x z

  _  



   

(solución óptima) (valor óptimo)

1 2

1 2 1

1 2 2

1 2 3

1 2 1 2 3

max 20 30

3 6 150

s.a

2 50

30

, , , , 0

z x x

x x h

x x h h h

 

  



  

* 1 * 2 * 3

0 10

0 h h h

La primera y tercera restricción se saturan

2. RESOLUCIÓN GRÁFICA Y RESULTADOS:Ejemplo 2

El planteamiento en forma canónica y estándar del ejemplo 2 es

1 2

min 12 8

s.a 2 2 16

4 20

, 0

z x x

x x

x x

 

 



1 2

1 2 1

1 2 2

1 2 1 2

min 12 8

s.a 2 2 16

4 20

, , , 0

z x x

x x h

x x h h

 

  



La representación gráfica es:

X

P r24x1+x2=20

(3,2) r12x1+2x2=16

* * * *

1 2 1 2 1 2

*

1 2

2 2 16 4, 4, 0, 0

4 20 80

x x x x h h

x x z

  _    



   

La solución es el punto Pr1r2

2. RESOLUCIÓN GRÁFICA Y RESULTADOS:Otros casos

Además de la solución única encontrada en los ejemplos anteriores, un PPL puede presentar otras tres posibilidades:

Problema no acotado: La región factible y la función objetivo son no acotadas. Por ejemplo:

1 2

2

1 2

max 5

s.a 2

4

, 0

z x x

x

x x

x x  



 



X

r1x2=2

r2x1+x2=4

(1,5)

Problema no factible: El conjunto factible es vacío. Por ejemplo:

1 2

max 3

s.a 1

2 2

, 0

z x x

x x

x x  

 

  



(4)

18

2. RESOLUCIÓN GRÁFICA Y RESULTADOS:Otros casos

Solución óptima múltiple: La solución se encuentra en una arista del conjunto factible. Por ejemplo:

 

 

 



1 2

max 2 4

s.a 4 1

2 10

, 0

z x x

x x

x x X

r1x1-4x2=1

r2x1+2x2=10

(1,2)

P1

P2

Se comprueba que el valor óptimo se alcanza en los vértices P1y P2





1 1 2

* *

1 1 2

*

1 2

0

0 0, 5

2 10 20

P x r

x x x

x x z

  

 _  



   

2 1 2

** **

1 2 1 2

**

1 2

4 1 7, 3 / 2

2 10 20

P r r

x x x x

x x z

 

  _  



   

19

2. RESOLUCIÓN GRÁFICA Y RESULTADOS:Resultados

El óptimo de un problema de programación lineal se alcanza, si existe, en un vértice del conjunto factible.

Podemos deducir los siguientes resultados generales:

 Si el conjunto factible es cerrado y acotado, el problema de programación lineal tiene solución óptima.

Un problema de programación lineal tiene cuatro posibles resultados:

- Solución óptima única (vértice). - Solución óptima múltiple (arista). - Problema no acotado. - Problema no factible.

20 X=Ø

f

(a) (b)

(c) (d)

(e) o

o o

A B

o

2. RESOLUCIÓN GRÁFICA Y RESULTADOS:Resultados

No factible No acotado

No acotado con

solución óptima Solución múltiple

Solución única

21

2. RESOLUCIÓN GRÁFICA Y RESULTADOS:Ejemplos

Representar y resolver:

1 2

1

2

1 2

max 40 30 1

s.a 8

2 8

1 2

8

3 3

, 0.

x x

x

x x

x x 

 

 



1) 1 2

1 2

min 2 4

s.a. 2 8

3 4

, 0

x x

x x 

 

 

 2)

22

3. DUALIDAD. PRECIOS SOMBRA:Ejemplo

Dada la solución del ejemplo 1:

1 2

max 20 30

3 6 150

s.a

2 50

30

, 0

z x x

x x

x x

 

 



P

* *

1 2

*

10, 20, 800

x x

z

 



¿Cuánto aumentará el valor óptimo (beneficio máximo) si disponemos de 2 unidades más de mantequilla (tercera restricción)?

23

3. DUALIDAD. PRECIOS SOMBRA:Ejemplo

El problema se transforma en:

1 2

max 20 30

3 6 150

s.a

2 50

,

32 0

z x x

x x

x x

 

 



P

X P’

El óptimo se desplaza del punto P al P’, que es:

** **

1 2 1 2

**

1 2

3 6 150 14, 18

32 820

x x x x

x x z

  _  



   

El precio sombra(y3*) es el incremento del beneficio por cada unidad de incremento en la disponibilidad del recurso, o sea,

* * 3

3

820 800 10 32 30 z

y b

 

  

(5)

24

3. DUALIDAD. PRECIOS SOMBRA:Problema dual

Dado un PPL en forma canónica:

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 2 max(min) ( ) s.a ( ) ( ) , , , 0,

n n n n n n

m m mnn m

n

z c x c x c x

a x a x a x b

x x x

                          (P)

Se define problema dual (D) del problema primal (P) al PPL:

                         

1 1 2 2

11 1 212 1 1

12 1 22 2 2 2

1 1 2 2

1 2 min(max) ( ) s.a ( ) ( ) , , , 0,

m m m m m m

n n mn m n

m

w b y b y b y

a y a y a y c

y y y

(D) 25                

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

max 2 4 2

s.a: 2 4 2 9

3 7 5

4 6 7

, , , 0.

z x x x x

x x x x

x x x

x x x x

               1 2 3

1 2 3

1 2

1 2 3

min 9 5 7

s.a: 2 4 2

4 3 6 4

7 1

2 2

, , 0.

w y y y

y y y

y y

y y y

(P)

Maximizaren 4variables, 3restricciones de .

(D) Minimizaren 3variables,

4restricciones de .

3. DUALIDAD. PRECIOS SOMBRA:Problema dual

26

3. DUALIDAD. PRECIOS SOMBRA:Ejemplos

El problema dual del problema (P) es (D):

1 2 3

min 3

s.a 2 2 4

3 4 10

, , 0

z x x x

x x x

x x x

          (P) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

max 4 10

s.a. 2 1

3 3

2 4 1

, 0

w y y

y y y y y y y y            (D)

Ejercicio: Hallar el problema dual de los siguientes problemas:

1) 2)

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

max 2 4 2

s.a: 2 4 2 9

3 7 5

4 6 7

, , , 0.

z x x x x

x x x x

x x x

x x x x

                1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

min 3 2

s.a: 2 3

2 3 6

2 2 5

, 0

z x x

x x x x x x x x           27

3. DUALIDAD. PRECIOS SOMBRA:Resultados

Dados un par de PPL primal y dual

1

max

. . 1,..,

0 1,.., n

j j j n

ij j i j

j

z c x

s a a x b i m

x j n

      



1 1 min

. . 1,..,

0 1,.., m

i i i m

ij i j i

i

w b y

s a a y c j n

y i m

      



(P) (D)

El valor en la función objetivo de cualquier solución factible del primal (max) es siempre menor o igual que el valor en la función objetivo de cualquier solución factible del dual (min). O sea, dados (x1,x2,…,xn)X, (y1,y2,…,ym)Y,

1 1

n m

j j i i

j i

z c x b y w

  







 * * * * * * * 1 2 * * * 1 1 1 2

( , ,..., ) solución óptima de (P)

. ( , ,..., ) solución óptima de (D

•

)

n m

n

j j i i

j i

m

x x x

z c x b y w

y y y  

 

_



_



3. DUALIDAD. PRECIOS SOMBRA:Resultados

Pueden darse las siguientes posibilidades:

- (P) tiene solución óptima (D) tiene solución óptima En este caso los valores óptimos de (P) y (D) coinciden . - (P) es no acotado (D) es no factible.

- (P) es no factible (D) es no acotado o no factible.

     

   

* * * * * * * *

1 2 1 2

* * * * * * * *

1 2 1 2

( , ,..., ; , ,..., ) solución óptima de (P) 0, 1,2,..., , ( , ,..., ; , ,..., ) solución óptima de (D) 0, 1,2,..., .

n m j j

m n i i

x x x h h h x t j n

y y y t t t y h i m

3. DUALIDAD. PRECIOS SOMBRA: Holguras complementarias

Dados un par de PPL primal y dual en forma estándar

1

max

. .

, 0 1,.., , 1,..,

n j j j n

ij j i i j

j i

z c x

s a a x h b

x h

i m j n

       



1 1 min . . , 0 1,.., , 1,..,

m i i i m

ij i j j i

i j

w b y

s a a y t c

y t

i m j n

(6)

30

3. DUALIDAD. PRECIOS SOMBRA: Ejemplo

Hallar los precios sombra de cada una de las materias primas (harina, azúcar y mantequilla) del ejemplo 1. Indicar, a idéntico precio, en cuál de las materias sería más beneficioso aumentar la disponibilidad.

Los problemas primal y dual del ejemplo 1 en forma canónica son:

1 2

max 20 30

3 6 150

s.a

2 50

30

, 0

z x x

x x

x x

 

 



1 2 3

min 150 50 30

s.a 3 2 20

6 30

, , 0

w y y y

y y y

y y y

  

  



(P) (D)

31

y en forma estándar son:

1 2

1 2 1

1 2 2

1 2 3

1 2 1 2 3

max 20 30

3 6 150

s.a

2 50

30

, , , , 0

z x x

x x h

x x h h h

 

  



1 2 3

1 2 3 1

1 2 3 2

1 2 3 1 2

min 150 50 30

s.a 3 2 20

6 30

, , , , 0

w y y y

y y y t

y y y t t

  

   



(P) (D)

La solución del primal es:(x x h h h1*, *2;1*,2*,3*)(10,20;0,10,0).

Aplicando el Teorema de holguras complementarias, tenemos que

* * *

1 1 1

* * *

2 2 2

* * *

22 2

0 0,

0 0.

x t t

y h y

   



   

 _{ } _



32

El resto de la solución del dual se obtiene de las restricciones del problema en forma estándar

  _ _ _

   _

1 3 * *

1 3

3 20 10

, 10. 3

6 30

y y