Introducción Opciones Instituciones financieras Modelo de Merton
Evaluación del riesgo del tipo de cambio
mediante opciones en modelos con saltos.
Andrés Sosa
II Jornadas de Ingeniería Matemática
Introducción Opciones Instituciones financieras Modelo de Merton
Marco teórico
Muchas economías latinoamericanas presentan un alto grado de dolarización financiera. Dada esta circunstancia, los bancos toman depósitos en moneda extranjera y otorgan préstamos en ella misma. No importando que un gran porcentaje de
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Marco teórico (2)
Pero en la medida que el tipo de cambio sube, el costo
financiero de los préstamos en moneda extranjera se eleva en términos de la moneda local y trae consigo un aumento del riesgo de liquidez convirtiéndose algunos en incobrables.
Definición
El riesgo crediticiose define como la pérdida esperada
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Marco teórico (2)
Pero en la medida que el tipo de cambio sube, el costo
financiero de los préstamos en moneda extranjera se eleva en términos de la moneda local y trae consigo un aumento del riesgo de liquidez convirtiéndose algunos en incobrables.
Definición
El riesgo crediticiose define como la pérdida esperada
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Situación histórica
- En Uruguayeste riesgo se activó en las recesiones producidas en los años 1982 y 2002. En ambos casos, el tipo de cambio experimentó saltos del orden del 100% o más en unos pocos días.
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Por lo tanto...
Introducción Opciones Instituciones financieras Modelo de Merton
Qué es una opción call europea?
Es un derivado financiero en el cual se vinculan dos instituciones, el beneficiario y el vendedor. Al negociar una opción en tiempot=0, el beneficiario tiene el derecho a comprar una unidad de stock a un precio prefijadoK llamado precio del ejercicio solamente en un tiempot=T llamado tiempo de madurez.
El beneficiario no está obligado a ejercer su derecho.
SiXT <K ⇒no se realiza la compra.
SiXT ≥K ⇒se ejecuta la compra.
En términos matemáticos, el beneficiario de la opción ganará la cantidad de dinero
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Qué es una opción call europea?
Es un derivado financiero en el cual se vinculan dos instituciones, el beneficiario y el vendedor. Al negociar una opción en tiempot=0, el beneficiario tiene el derecho a comprar una unidad de stock a un precio prefijadoK llamado precio del ejercicio solamente en un tiempot=T llamado tiempo de madurez.
El beneficiario no está obligado a ejercer su derecho.
SiXT <K ⇒no se realiza la compra.
SiXT ≥K ⇒se ejecuta la compra.
En términos matemáticos, el beneficiario de la opción ganará la cantidad de dinero
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Qué es una opción call europea?
Es un derivado financiero en el cual se vinculan dos instituciones, el beneficiario y el vendedor. Al negociar una opción en tiempot=0, el beneficiario tiene el derecho a comprar una unidad de stock a un precio prefijadoK llamado precio del ejercicio solamente en un tiempot=T llamado tiempo de madurez.
El beneficiario no está obligado a ejercer su derecho.
SiXT <K ⇒no se realiza la compra.
SiXT ≥K ⇒se ejecuta la compra.
En términos matemáticos, el beneficiario de la opción ganará la cantidad de dinero
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Básicas del Modelo de Black-Scholes
En el modelo Black-Scholes existen dos formas de inversión.
1 Activo sin riesgo, con una tasa de interés constante
r ≥0;es tal que una inversión inicial se convierte en tiempos posteriores mediante unproceso determinista.
2 Activo con riesgo, cuyo precio lo denotaremos comoXs en
t =sque depende de varias variables y estásometido al azarpor lo tanto no conocemos su evolución futura cierta.
Por lo tanto la pregunta que surge intuitivamente es:
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Básicas del Modelo de Black-Scholes
En el modelo Black-Scholes existen dos formas de inversión.
1 Activo sin riesgo, con una tasa de interés constante
r ≥0;es tal que una inversión inicial se convierte en tiempos posteriores mediante unproceso determinista.
2 Activo con riesgo, cuyo precio lo denotaremos comoXs en
t =sque depende de varias variables y estásometido al azarpor lo tanto no conocemos su evolución futura cierta. Por lo tanto la pregunta que surge intuitivamente es:
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Básicas del Modelo de Black-Scholes (2)
En su trabajo Black y Scholes encontraron que el precio es
V0=X0Φ z
−K e−rT Φ w
.
Donde z = ln(X0/K)+(r+0.5σ2)T
σ√T w =z−σ √
T
yΦ(x)es la función de distribución de la variable aleatoria normal estándar. Las constantes que utilizamos son
- K es el precio del ejercicio,
- T es el tiempo de madurez de la opción,
- r es la tasa de interés del activo sin riesgo,
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Básicas del Modelo de Black-Scholes (2)
En su trabajo Black y Scholes encontraron que el precio es
V0=X0Φ z
−K e−rT Φ w
.
Donde z = ln(X0/K)+(r+0.5σ2)T
σ√T w =z−σ √
T
yΦ(x)es la función de distribución de la variable aleatoria normal estándar.
Las constantes que utilizamos son - K es el precio del ejercicio,
- T es el tiempo de madurez de la opción,
- r es la tasa de interés del activo sin riesgo,
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Básicas del Modelo de Black-Scholes (2)
En su trabajo Black y Scholes encontraron que el precio es
V0=X0Φ z
−K e−rT Φ w
.
Donde z = ln(X0/K)+(r+0.5σ2)T
σ√T w =z−σ √
T
yΦ(x)es la función de distribución de la variable aleatoria normal estándar. Las constantes que utilizamos son
- K es el precio del ejercicio,
- T es el tiempo de madurez de la opción,
- r es la tasa de interés del activo sin riesgo,
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Portafolio
En el portafolio de de las instituciones financieras existen dos tipos de préstamos:
1 El deudor toma el préstamo en una moneda diferente a la cual genera sus ingresos.
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Portafolio
En el portafolio de de las instituciones financieras existen dos tipos de préstamos:
1 El deudor toma el préstamo en una moneda diferente a la cual genera sus ingresos.
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Caso 1
El deudor podría llegar a tener problemas en el caso que aumentara el tipo de cambio. Un préstamo de estas
características se puede expresar comoun préstamo libre de riesgo y una opción call de monedas vendida por el banco.
Se beneficia el deudor en el caso que el precio del dolar supere el precio de ejercicio fijado.
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Caso 2
El deudor podría llegar a tener problemas para hacer frente a su deuda si tuviese costos pactados en moneda local ante disminuciones en el tipo de cambio. Un préstamo de estas características se puede expresar comoun préstamo libre de riesgo y en una opción put de monedas vendida por el banco.Se beneficia el deudor en el caso que el precio del dolar decaiga sobre el precio de ejercicio fijado.
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Básicas del Modelo de Merton
En el modelo denominado Merton Jump Diffusionel cambio total del precio del activo está compuesto por dos causas.
La primera es un cambio que solo causa variaciones marginales en el valor del activo. Esta componente está modelada por unmovimiento browniano geométricoel cual tiene trayectorias continuas.
La segunda es un cambio el cual ya no solo causa cambios marginales. Esta componente se modela de acuerdo a un
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Básicas del Modelo de Merton
En el modelo denominado Merton Jump Diffusionel cambio total del precio del activo está compuesto por dos causas. La primera es un cambio que solo causa variaciones marginales en el valor del activo. Esta componente está modelada por unmovimiento browniano geométricoel cual tiene trayectorias continuas.
La segunda es un cambio el cual ya no solo causa cambios marginales. Esta componente se modela de acuerdo a un
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Básicas del Modelo de Merton
En el modelo denominado Merton Jump Diffusionel cambio total del precio del activo está compuesto por dos causas. La primera es un cambio que solo causa variaciones marginales en el valor del activo. Esta componente está modelada por unmovimiento browniano geométricoel cual tiene trayectorias continuas.
La segunda es un cambio el cual ya no solo causa cambios marginales. Esta componente se modela de acuerdo a un
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Proceso de Poisson
Definición
Sea{τi}con i≥1una secuencia de variables aleatorias exponenciales, independientes de parámetroλ. Consideramos las variables aleatorias Tn=Pi=ni=1τi. Entonces el proceso de conteo(Nt,t≥0)definido como Nt =Pn≥11t≥Tn es llamado
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Proceso de Poisson compuesto
Definición
Unproceso de Poisson compuestode intensidadλy tamaño de salto de distribución f es un proceso estocástico Zt definido como
Zt = Nt
X
i=1
Yi
Introducción Opciones Instituciones financieras Modelo de Merton
Fórmula de Merton
En el caso que suponemos que el proceso de saltoY tiene distribuciónf. La fórmula se expresa de la siguiente forma
F(S,t) =
P∞
n=0
exp(−λτ)(λτ)n
n! En
W SXnexp(−λkτ), τ,E, σ2,r
.
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Fórmula de Merton
En el caso que suponemos que el proceso de saltoY tiene distribuciónf. La fórmula se expresa de la siguiente forma
F(S,t) =
P∞
n=0
exp(−λτ)(λτ)n
n! En
W SXnexp(−λkτ), τ,E, σ2,r
.
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Fórmula de Merton (2)
Pero en el caso donde el proceso de saltoY tiene distribución log-normal la fórmula es cerrada y el precio de la opción es
F(S, τ) =P∞n=0exp(−λn!0τ)(λ0τ)nfn(S, τ).
Dondeλ0 =λ(1+k) y
fn(S, τ) =W(S, τ,E,vn2,rn).
Donde
- vn2=σ2+nτδ2 conδ2=Var(log(Y)),
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Fórmula de Merton (2)
Pero en el caso donde el proceso de saltoY tiene distribución log-normal la fórmula es cerrada y el precio de la opción es
F(S, τ) =P∞n=0exp(−λn!0τ)(λ0τ)nfn(S, τ).
Dondeλ0 =λ(1+k) y
fn(S, τ) =W(S, τ,E,vn2,rn).
Donde
- vn2=σ2+nτδ2 conδ2=Var(log(Y)),
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Fórmula de Merton (3)
Observamos quefn(S, τ)es el valor de la opción condicional a que existirán exactamentensaltos durante la vida de la opción.
Interpretación
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Fin
