Conferencia-1-V

(1)

Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia Funcionamiento de las redes en el campo de la Frecuencia

Unidad V

Funcionamiento de las redes en el campo de

la frecuencia

Conferencia 1

(2)

Objetivos

Definir el concepto de Funciones de redDefinir el concepto de Funciones de red

Definir la función de red en términos de polos y cerosDefinir la función de red en términos de polos y ceros..

Elaborar diagramas de BODE (Magnitud y Fase), considerando los Elaborar diagramas de BODE (Magnitud y Fase), considerando los siguientes factores: términos constantes, polos y ceros en el origen y

siguientes factores: términos constantes, polos y ceros en el origen y

de orden "N", polos y ceros simples, polos y ceros cuadráticos de

redes eléctricas.

5.1 Introducción

5.2 Análisis de respuesta de frecuencia variable.

Funciones de la red.Funciones de la red.

Polos y ceros. Polos y ceros.

5.3 Análisis de frecuencia compleja

Respuesta utilizando el diagrama de Bode:Respuesta utilizando el diagrama de Bode:

Términos constantes, Polo o ceros en el origen de orden 'n'Términos constantes, Polo o ceros en el origen de orden 'n'

Polo o cero simple, Polos o ceros cuadráticosPolo o cero simple, Polos o ceros cuadráticos

Contenido

(3)

Una red que contiene un capacitor y una bobina opera de manera Una red que contiene un capacitor y una bobina opera de manera diferente si se cambia la frecuencia. Esto se debe a que la impedancia

diferente si se cambia la frecuencia. Esto se debe a que la impedancia

de ambos elementos del circuito dependen de la frecuencia. Si la

frecuencia de las fuentes de la red varía en algún rango, podemos

esperar que también la red experimente variaciones en respuesta a

esos cambios de frecuencia.

esos cambios de frecuencia. 5.1 Introducción

5.1 Introducción

Un ejemplo concreto es un amplificador estereofónico. La señal de

entrada contiene ondas de sonido con frecuencias que van de

principio a fin; y, sin embargo, el amplificador debe ampliar cada

componente de frecuencia exactamente en la misma proporción a fin

de alcanzar una reproducción perfecta del sonido

Esto no es una tarea trivial, y cuando Usted compra un muy buen Esto no es una tarea trivial, y cuando Usted compra un muy buen amplificador, parte del precio refleja el diseño necesario para lograr

amplificador, parte del precio refleja el diseño necesario para lograr

una amplificación constante sobre la amplia gama de frecuencias.

(4)

Los dispositivos de comunicación modernos utilizan dispositivos

llamados filtros para separar las señales eléctricas en base a su

contenido en frecuencia. Por lo tanto, es importante describir las

relaciones que dependen de la frecuencia, tanto la amplitud como la

fase, entre la señal senoidal de entrada y la señal senoidal de salida.

Nuestro estudio consistirá en examinar el funcionamiento de redes Nuestro estudio consistirá en examinar el funcionamiento de redes eléctricas cuando son excitadas por fuentes de frecuenta variable.

eléctricas cuando son excitadas por fuentes de frecuenta variable.

Estos efectos son importantes en el análisis y diseño de redes reales

como filtros, sintonizadores y amplificadores que tienen una extensa

aplicación en sistemas de comunicación y control.

La respuesta en frecuencia de un circuito es la relación dependiente La respuesta en frecuencia de un circuito es la relación dependiente de la frecuencia, tanto en magnitud como en fase, entre una entrada

de la frecuencia, tanto en magnitud como en fase, entre una entrada

senoidal de estado estable y una señal de salida senoidal de estado

estable.

(5)

La impedancia de la Resistencia es: La impedancia de la Resistencia es: ZZ_R_R = R = R = R = R|0|0oo, donde la magnitud , donde la magnitud

y la fase son constantes e independientes de la frecuencia. La gráfica

de magnitud y fase de la impedancia del Resistor en el dominio de la

frecuencia se muestra en la Figura 1.

5.2 Análisis de la respuesta de frecuencia variable 5.2 Análisis de la respuesta de frecuencia variable

La impedancia de la Bobina es: La impedancia de la Bobina es: ZZ_L_L = j = jL = L = LL|90|90oo, donde la fase es _{, donde la fase es}

constante a 90º pero la magnitud es directamente proporcional a la

frecuencia. La gráfica de magnitud y fase de la impedancia de la

Bobina en el dominio de la frecuencia se muestra en la Figura 2.

(6)

La impedancia del Capacitor es: La impedancia del Capacitor es: ZZ_C_C = 1/j = 1/j_C = (1/C = (1/_C)C)|-90|-90oo, donde la _{, donde la}

fase es constante a -90º pero la magnitud es inversamente

proporcional a la frecuencia. La gráfica de magnitud y fase de la

impedancia del Capacitor en el dominio de la frecuencia se muestra en

la Figura 3.

(7)

Ahora veamos el circuito RLC serie mostrado Ahora veamos el circuito RLC serie mostrado en la Figura 4, donde la impedancia

en la Figura 4, donde la impedancia

equivalente es:

C

j

L

j

R





1 



eq

(8)

La Figura 5 muestra la magnitud y fase de esta impedancia en función La Figura 5 muestra la magnitud y fase de esta impedancia en función de la frecuencia.

de la frecuencia.

C

j

RC

j

LC

j



)

1 (

2

_



eq

Z

Observe que a muy bajas frecuencia, el capacitor aparece como un Observe que a muy bajas frecuencia, el capacitor aparece como un circuito abierto y, por consiguiente la impedancia es muy grande en

circuito abierto y, por consiguiente la impedancia es muy grande en

esta escala. A altas frecuencias el capacitor tiene un efecto muy

pequeño y la impedancia es dominada por la bobina, cuya impedancia

se sigue elevando con la frecuencia.

(9)

A medida que los circuitos se hacen más complicados, las ecuaciones A medida que los circuitos se hacen más complicados, las ecuaciones se vuelven más molestas. En un intento por simplificarlas, hacemos la

se vuelven más molestas. En un intento por simplificarlas, hacemos la

sustitución s=j

sustitución s=j (Esta sustitución tiene un significado más (Esta sustitución tiene un significado más importante). Con esta sustitución, la expresión para la impedancia

importante). Con esta sustitución, la expresión para la impedancia ZZ_eq_eq

se convierte en:

Si revisamos los cuatros circuitos vistos hasta aquí, encontramos que Si revisamos los cuatros circuitos vistos hasta aquí, encontramos que en cada caso la impedancia es la razón de dos polinomios en s y es de

en cada caso la impedancia es la razón de dos polinomios en s y es de

la forma general

sC

sRC

LC

s

2



1 

eq

Z

0 1 1 1 0 1 1 1

b

s

b

s

b

s

b

a

s

a

s

a

s

a

D(s)

N(s)

n n n n m m m m





_   



Z(s)

Esta ecuación es válida para impedancias y también para todos los Esta ecuación es válida para impedancias y también para todos los voltajes, las corrientes, las admitancias y las ganancias en la red. La

voltajes, las corrientes, las admitancias y las ganancias en la red. La

única restricción es que los valores de todos los elementos de circuito

(resistencias, capacitores, bobinas y fuentes dependientes) deben ser

(10)

Considere la red que se muestra en Considere la red que se muestra en la Figura 6. Se desea determinar la

la Figura 6. Se desea determinar la

variación del voltaje de salida como

función de la frecuencia en la escala

de 0 a 1KHz.

EjemploEjemplo

Usando el divisor de voltaje, la salida puede expresarse comoUsando el divisor de voltaje, la salida puede expresarse como

SoluciónSolución s o V V                C j L j R R   1 s o

V

_















1 )

(

_j

2

_LC

_j

_CR

CR

j



(11)

Utilizando los valores de los elementos, la ecuación se convierte en:Utilizando los valores de los elementos, la ecuación se convierte en:

En este punto podemos sustituir simplemente los diferentes valores de En este punto podemos sustituir simplemente los diferentes valores de la frecuencia en la escala de interés en la ecuación, y determinar la

la frecuencia en la escala de interés en la ecuación, y determinar la

magnitud y fase del voltaje de salida.

o j j j 0 | 10 1 ) 10 * 95 . 37 ( ) 10 * 53 . 2 ( ) ( ) 10 * 95 . 37 )( ( 3 4 2 3          _  _    o V

Usando un gran número de esos puntos podemos hacer gráficas de la Usando un gran número de esos puntos podemos hacer gráficas de la magnitud y fase del voltaje de salida como función de la frecuencia.

magnitud y fase del voltaje de salida como función de la frecuencia.

Este efectivo pero tedioso método puede simplificarse bastante si se

aplica un software (Pspice, Matlab, etc).

Las gráficas que resultan de la magnitud y la fase se muestran en la Las gráficas que resultan de la magnitud y la fase se muestran en la Figura 7.

(12)

La función de red es designada generalmente como La función de red es designada generalmente como H(s)H(s), y define la , y define la razón de respuesta a la entrada. Como la función describe una

razón de respuesta a la entrada. Como la función describe una

reacción debida a una excitación en algún otro punto del circuito, las

funciones de la red de estación también se llaman

funciones de la red de estación también se llaman funciones de funciones de

transferencia

transferencia. Además, las funciones de transferencias no están . Además, las funciones de transferencias no están limitadas a razones de voltaje. Lo mismo que en redes eléctricas, las

limitadas a razones de voltaje. Lo mismo que en redes eléctricas, las

entradas o salidas pueden ser voltajes o corrientes hay cuatro posibles

de la red, como se enlista en la siguiente tabla.

(13)

EjemploEjemplo

También hay funciones de puntos de entradaTambién hay funciones de puntos de entrada, que son impedancias o , que son impedancias o admitancias definidas en un solo par de terminales. Por ejemplo, la

admitancias definidas en un solo par de terminales. Por ejemplo, la

impedancia de entrada de una red es una función de entrada.

Entrada

Entrada SalidaSalida Función de TransferenciaFunción de Transferencia SímboloSímbolo

Voltaje

Voltaje VoltajeVoltaje Ganancia de VoltajeGanancia de Voltaje GG_V_V(s)(s)

Corriente

Corriente VoltajeVoltaje TransimpedanciaTransimpedancia Z(s)Z(s)

Corriente

Corriente CorrienteCorriente Ganancia de CorrienteGanancia de Corriente GG_I_I(s)(s)

Voltaje

Voltaje CorrienteCorriente TransadmitanciaTransadmitancia Y(s)Y(s)

Para el circuito mostrado en la Figura Para el circuito mostrado en la Figura 8, determine la Transadmitancia

8, determine la Transadmitancia

[

(14)

SoluciónSolución

Haciendo LKV a la malla 1 se obtiene:Haciendo LKV a la malla 1 se obtiene:

Resolviendo las ecuaciones para Resolviendo las ecuaciones para II₂₂(s) (s) se obtiene:se obtiene: (R

(R₁₁+sL)+sL)II₁₁(s)(s) – sL – sLII₂₂(s)(s) = = VV₁₁(s)(s)

Haciendo LKV a la malla 2 se obtiene:Haciendo LKV a la malla 2 se obtiene: _-sL_-sL_I_I₁₁_(s)_(s)_{+ (R}_{+ (R}₂₂_+sL+1/sC)_+sL+1/sC)_I_I₂₂_(s)_(s)_{= 0}_{= 0}

VV₂₂(s)(s) = = II₂₂(s)(s)RR₂₂

2 2 2

1

)(

1 /

)

(

R

sL

R

sL

sC

s

L

sL







V

(s)

I

1

2

Por lo tanto, la Transadmitancia es:Por lo tanto, la Transadmitancia es:

1 2 1 2 2 1 2 ) ( ) ( )

( R R LCs L R R C s R

LC s

s     

(15)

Y la ganancia de voltaje es:Y la ganancia de voltaje es:

Polos y CerosPolos y Ceros

Como hemos indicado anteriormente, la función de red puede Como hemos indicado anteriormente, la función de red puede expresarse como la razón de los dos polinomios en s. Además notamos

expresarse como la razón de los dos polinomios en s. Además notamos

que como los valores de nuestros elementos de circuitos, o fuentes

controladas, son números reales, los coeficientes de los dos polinomios

serán reales. Por lo tanto, expresamos una función de red en la forma:

1 2 1 2 2 1 2

)

(

)

(

)

(

R

LCs

L

R

C

s

R

LCR

s





(16)

donde N(s) es el polinomio del numerador de orden m y D(s) es el donde N(s) es el polinomio del numerador de orden m y D(s) es el polinomio del denominador de orden n. La ecuación anterior también

polinomio del denominador de orden n. La ecuación anterior también

puede escribirse en la forma siguiente:

Donde KDonde K_o_o es una constante, z es una constante, z₁₁, , _, z, z_m_m son las raíces de N(s), y p son las raíces de N(s), y p₁₁, , _, p, p_n_n son las raíces de D(s).

son las raíces de D(s).

)

(

)

)(

(

)

(

)

)(

(

2 1 2 1 n m o

p

s

p

s

p

s

z

s

z

s

z

s

K







H(s)

Observe que si s=zObserve que si s=z₁₁, o z, o z₂₂, , , z, z_m_m, entonces , entonces H(s)H(s) se hace cero y de aquí se hace cero y de aquí z

z₁₁, , _, z, z_m_m se llaman ceros de la función de transferencia. De manera se llaman ceros de la función de transferencia. De manera similar, si s=p

similar, si s=p₁₁, o p, o p₂₂, , , p, p_n_n, entonces , entonces H(s)H(s) se hace infinito y, por se hace infinito y, por consiguiente p

consiguiente p₁₁, , , p, p_m_m se llaman ceros polos de la función de se llaman ceros polos de la función de transferencia.

transferencia.

Los ceros o polos realmente son complejos. Sin embargo, si ellos son Los ceros o polos realmente son complejos. Sin embargo, si ellos son complejos deben presentarse en pares conjugados, ya que los

complejos deben presentarse en pares conjugados, ya que los

coeficientes de los polinomios son reales

(17)

La representación de la función de la red especificada en términos de La representación de la función de la red especificada en términos de polos y ceros, es extremadamente importante y en general se emplea

polos y ceros, es extremadamente importante y en general se emplea

para representar cualquier sistema lineal invariante en el tiempo. La

importancia de esta forma se deriva del hecho de que las propiedades

dinámicas de un sistema pueden recogerse de un examen de los polos

del sistema.

5.3 Análisis de frecuencia senoidal5.3 Análisis de frecuencia senoidal

Aunque hay casos específicos en los que una red opera a sólo una Aunque hay casos específicos en los que una red opera a sólo una frecuencia (por ejemplo, la red del sistema de potencia), en general

frecuencia (por ejemplo, la red del sistema de potencia), en general

estamos interesados en el comportamiento de una red como función

de la frecuencia. En análisis senoidal de estado estable, la función de la

red puede expresarse como:

) (

)

(



e

j 

M



H(s)

donde M(donde M()=|)=|HH(j(j)| y )| y (() es la fase. Una gráfica de esas dos ) es la fase. Una gráfica de esas dos funciones, que se llaman comúnmente

funciones, que se llaman comúnmente magnitud y característica de magnitud y característica de

fase

(18)

Si las características de la red son trazadas en una escala Si las características de la red son trazadas en una escala semilogarítmica, es decir, una escala lineal para la ordenada y una

semilogarítmica, es decir, una escala lineal para la ordenada y una

escala logarítmica para la abscisa, se conocen como

escala logarítmica para la abscisa, se conocen como gráficas de Bodegráficas de Bode

(llamadas así en recuerdo de Hendrik W. Bode).

Respuesta de frecuencia usando una gráfica de BodeRespuesta de frecuencia usando una gráfica de Bode

Esta gráfica es una herramienta poderosa en el análisis y diseño de Esta gráfica es una herramienta poderosa en el análisis y diseño de sistemas dependientes de la frecuencia y de las redes, como filtros,

sistemas dependientes de la frecuencia y de las redes, como filtros,

sintonizadores y amplificadores.

Al usar la gráfica, hacemos gráficas de 20logAl usar la gráfica, hacemos gráficas de 20log₁₀₁₀M(M() contra log) contra log₁₀₁₀(() en ) en vez de M(

vez de M(_) contra () contra (_). La ventaja de esta técnica es que más que ). La ventaja de esta técnica es que más que trazar las características punto por punto, podemos emplear

trazar las características punto por punto, podemos emplear

aproximaciones en línea recta para obtener la característica de manera

muy eficiente.

La ordenada para la gráfica de la magnitud es el decibel (dB). Esta La ordenada para la gráfica de la magnitud es el decibel (dB). Esta unidad fue empleada originalmente para medir la razón de potencias,

unidad fue empleada originalmente para medir la razón de potencias,

es decir:

(19)

Si las potencia son absorbidas por dos resistencias iguales, entoncesSi las potencia son absorbidas por dos resistencias iguales, entonces

El término “dB” ha llegado a ser tan popular que ahora se usa para El término “dB” ha llegado a ser tan popular que ahora se usa para razones de voltaje y corriente, como se ilustra en la ecuación anterior,

razones de voltaje y corriente, como se ilustra en la ecuación anterior,

haciendo caso omiso de la impedancia empleada en cada caso.

En el caso senoidal en estado estable, En el caso senoidal en estado estable, HH(j(j_) puede escribirse en ) puede escribirse en general como: general como: R R R R 2 2 10 2 2 10 | | | | log 10 / | | / | | log 10 dB de numero 1 2 1 2 I I V V   | | | | log 20 | | | | log 20 dB de

numero ₁₀ ₁₀

(20)

Recuerde que s=jRecuerde que s=j y y =1/=1/, entonces la ecuación anterior se puede , entonces la ecuación anterior se puede escribir como:

escribir como:

Observe que ambas ecuaciones contienen los siguientes factores Observe que ambas ecuaciones contienen los siguientes factores típicos:

típicos:

1. Un factor K1. Un factor K_o_o>0 independiente de la frecuencia.>0 independiente de la frecuencia.



]

)

/

(

)

/

(

2

1 )[

/

1 (

]

)

/

(

)

/

(

2

1 )[

/

1 (

)

(

2 2 3 3 3 1 b b b a N o

s

K

















)

H(j

2. Polos o ceros en el origen de la forma j2. Polos o ceros en el origen de la forma j, es decir, (j, es decir, (j))+N+N para ceros _{para ceros}

y (j

y (j))-N-N para polos. para polos.

3. Polos o ceros de la forma (1+j3. Polos o ceros de la forma (1+j_).).

(21)

Tomando el logaritmo de la magnitud de la funciónTomando el logaritmo de la magnitud de la función H H(j(j) se obtiene:) se obtiene:

20log20log₁₀₁₀||HH(j(j)| = 20log)| = 20log₁₀₁₀KK_o_o  20Nlog 20Nlog₁₀₁₀|j|j| + 20log| + 20log₁₀₁₀|1+j|1+j₁₁| |

Observe que hemos usado el hecho de que el logaritmo del producto Observe que hemos usado el hecho de que el logaritmo del producto de dos o más términos es igual a la suma de los términos individuales,

de dos o más términos es igual a la suma de los términos individuales,

el logaritmo del cociente de dos términos es igual a la diferencia de los

logaritmos individuales, y el hecho de que log

logaritmos individuales, y el hecho de que log₁₀₁₀AAnn = nlog_{= nlog}

10

10A.A.

El ángulo de fase para El ángulo de fase para HH(j(j_) es:) es:

+ 20log+ 20log₁₀₁₀|1+2|1+2₃₃(j(j₃₃)+(j)+(j₃₃))22| + _{| +}_

- 20log- 20log₁₀₁₀|1+j|1+j__a_a| - 20log| - 20log₁₀₁₀|1+2|1+2__b_b(j(j__b_b)+(j)+(j__b_b))22| - _{| -}_

||HH(j(j)) = 0 = 0  N(90º) +tan N(90º) +tan-1-1 1 1





















 2 2 3 3 1

1

2 tan



























  2 2 1 1

1

2 tan

tan

b b

a

_

_





(22)

Examinemos algunos de los términos individuales e ilustremos una Examinemos algunos de los términos individuales e ilustremos una manera eficiente de graficarlos en un diagrama de Bode.

manera eficiente de graficarlos en un diagrama de Bode.

El diagrama de magnitud El diagrama de magnitud es una línea horizontal

es una línea horizontal

puesta a:

0 dB si |K0 dB si |K_o_o| = 1| = 1

bajo de 0 dB si |Kbajo de 0 dB si |K_o_o| < 1 | < 1

arriba del 0 dB si |Karriba del 0 dB si |K_o_o| > 1| > 1

Funciones con frecuencia invariante (Termino constante)Funciones con frecuencia invariante (Termino constante)

(23)

El diagrama de fase es una El diagrama de fase es una línea horizontal puesta a:

línea horizontal puesta a:

00oo si K_{si K} o

o es positiva es positiva

-180º si K-180º si K_o_o es negativa es negativa

(24)

El diagrama de magnitud El diagrama de magnitud es una línea con pendiente

es una línea con pendiente

de +20 dB/década sobre

todo el rango de

frecuencias, para el caso

de un cero. Si

de un cero. Si //_o_o = 1, la = 1, la curva pasa por 0 dB.

curva pasa por 0 dB.

Funciones con raíces en el origen (polos o ceros en el origen)Funciones con raíces en el origen (polos o ceros en el origen)

HH(s) = (s/(s) = (s/_o_o))11, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es , el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz es

un polo

(25)

El diagrama de magnitud El diagrama de magnitud es una línea con pendiente

es una línea con pendiente

de -20 dB/década sobre

todo el rango de

de un polo.

(26)

El diagrama de fase es una El diagrama de fase es una línea horizontal a +90º

línea horizontal a +90º

sobre todo el rango de

de un cero.

(27)

El diagrama de fase es una El diagrama de fase es una línea horizontal a -90º

línea horizontal a -90º

sobre todo el rango de

de un polo.

(28)

El diagrama de magnitud El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de

tiene dos asíntotas, una de

baja frecuencia (a.b.f) y una

de alta frecuencia (a.a.f).

a.b.f |a.b.f |HH(s)|=0 para (s)|=0 para //_o_o  1 1

a.a.f |a.a.f |HH(s)|=(s)|=_20log20log₁₀₁₀((_//__o_o) ) para

para _//__o_o  1 1

Funciones de raíces reales negativas (polo o cero simple)Funciones de raíces reales negativas (polo o cero simple)

HH(s) = (s/(s) = (s/_o_o+1)+1)11, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz _{, el signo + si la raíz es un cero y el signo – si la raíz}

es un polo

||HH(s)|(s)|_dB_dB = = 20log20log₁₀₁₀[1+([1+(//_o_o))22]_]

para para //_o_o = 1 = 1

(29)

El diagrama de magnitud El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de

tiene dos asíntotas, una de

baja frecuencia (a.b.f) y una

de alta frecuencia (a.a.f).

a.b.f |a.b.f |HH(s)|=0 para (s)|=0 para //_o_o  1 1

a.a.f |a.a.f |HH(s)|=(s)|=20log20log₁₀₁₀((//_o_o) ) para

para //_o_o  1 1

para para _//__o_o = 1 = 1

(30)

El diagrama de fase tiene dos El diagrama de fase tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia

asíntotas, una de baja frecuencia

(a.b.f) y una de alta frecuencia

(a.a.f).

a.b.f a.b.f _HH(s)=0(s)=0oo para _para_/_/_

o

o  0.1 0.1

a.a.f a.a.f HH(s)=(s)=90º para 90º para //_o_o 

10.

Para 0.1 Para 0.1  //_o_o  10 existen 10 existen pendientes de

pendientes de _45º 45º

para para //_o_o = 1 = 1

HH(s) =(s) =45º 45º

para para _//__o_o = 0.1 y = 0.1 y _//__o_o = 10 = 10 la fase tiene desviaciones de

la fase tiene desviaciones de

cerca 6º.

(31)

(a.a.f).

o

o  0.1 0.1

a.a.f a.a.f HH(s)=(s)=90º para 90º para //_o_o 

10.

pendientes de _45º 45º

para para //_o_o = 1 = 1

HH(s) =(s) =45º 45º

(32)

El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de baja El diagrama de magnitud tiene dos asíntotas, una de baja frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f).

frecuencia (a.b.f) y una de alta frecuencia (a.a.f).

a.b.f |a.b.f |HH(s)|=0 para (s)|=0 para _//__o_o  1 1

a.a.f |a.a.f |HH(s)|=(s)|=_40log40log₁₀₁₀((_//__o_o) para ) para _//__o_o  1 1

Funciones con pares de raíces complejas (polos o ceros cuadráticos)Funciones con pares de raíces complejas (polos o ceros cuadráticos)

HH(s) = [(s/(s) = [(s/_o_o))22+2₊₂_(s/_(s/_ o

o)+1])+1]11, el signo + si la raíz es un cero y el signo , el signo + si la raíz es un cero y el signo

– si la raíz es un polo

||HH(s)|(s)|_dB_dB = = _10log10log₁₀₁₀{[1+({[1+(_//__o_o))22]_]22+[2_+[2_(₍_/_/_

o

o)])]22}}











1 

/

j

s

_o

HH(j(j) = [1-() = [1-(//_o_o))22+2₊₂j(_j(/_/ o

(33)

(34)

(35)

(a.a.f).

o

o  0.1 0.1

a.a.f a.a.f HH(s)=(s)=180º para 180º para //_o_o 

 10. 10.

(36)

(37)

Las aproximaciones en línea rectas (asíntotas), para este caso son Las aproximaciones en línea rectas (asíntotas), para este caso son satisfactorias para

satisfactorias para  cerca 1/ cerca 1/2, pero para pequeños valores de 2, pero para pequeños valores de 

debemos aplicar correcciones para reflejar la presencia de un pico.

Estas correcciones son hechas en los siguientes puntos significantes.

1) a la frecuencia de corte, es decir, 1) a la frecuencia de corte, es decir, //_o_o = 1, = 1,

entonces |entonces |HH(s)|dB = (s)|dB = 20log20log₁₀₁₀22

2) a la frecuencia donde se da el pico, 2) a la frecuencia donde se da el pico, //_o_o = = (1-(1-22), _),

entonces |entonces |HH(s)|dB = (s)|dB = 10log10log₁₀₁₀[4[422(1-_(1-_22)]_)]

3) una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir 3) una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir _//__o_o = 1/2, = 1/2,

entonces |entonces |HH(s)|dB = (s)|dB = 10log10log₁₀₁₀((22+0.75_+0.7522)₎

4) a la frecuencia a la cual la curva de magnitud cruza el eje de 0 dB, 4) a la frecuencia a la cual la curva de magnitud cruza el eje de 0 dB, //



_o_o = = [2(1-2[2(1-222)]_)]

5) a la fase, una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir, 5) a la fase, una octava debajo de la frecuencia de corte, es decir, //_o_o = 1/2, entonces

(38)

6) a la fase, una octava arriba de la frecuencia de corte, es decir, 6) a la fase, una octava arriba de la frecuencia de corte, es decir, //_o_o = 2, entonces

= 2, entonces _HH(s) = (s) = _[180-tan[180-tan-1-1(₍_/0.75)]_/0.75)]

En las siguientes Figuras se muestran los puntos de las correcciones que En las siguientes Figuras se muestran los puntos de las correcciones que se deben hacer

(39)

Como estamos usando una hoja milimetrada, es necesario Como estamos usando una hoja milimetrada, es necesario introducir la definición de intervalo de década o llamado también

introducir la definición de intervalo de década o llamado también

ciclo. Dado un valor de frecuencia específica dentro del ciclo 10

ciclo. Dado un valor de frecuencia específica dentro del ciclo 10nn _



  10 10n+1n+1 rad/s, su localización “l” dentro del ciclo es:_{rad/s, su localización “l” dentro del ciclo es:}

Múltiples raíces Múltiples raíces

Si una raíz o una pareja de raíces complejas tienen multiplicidad r, Si una raíz o una pareja de raíces complejas tienen multiplicidad r, entonces el término correspondiente tiene la forma

entonces el término correspondiente tiene la forma HHrr. Así tenemos:_{. Así tenemos:}

||HHrr(j_(j_)|_)| dB

dB = r*| = r*|HH(j(j)|)|dBdB

HHrr(j(j) = r*) = r*HH(j(j))

n

l

10 log

₁₀



(40)

Localizar 320 rad/s, y 2000 rad/sLocalizar 320 rad/s, y 2000 rad/s

EjemploEjemplo

SoluciónSolución

101022 rad/s rad/s  320 rad/s 320 rad/s  10 1033 rad/s, entonces: rad/s, entonces:

0 .

5

10

320 log

₁₀ ₂

320





l

101033 rad/s _rad/s 2000 rad/s _{2000 rad/s} 10₁₀44 rad/s, entonces:_{rad/s, entonces:}