Ejercicios de Funciones, Límites y Continuidad

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(1)IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. EJERCICIOS UNIDAD 5: FUNCIONES, LÍMITES Y CONTINUIDAD 1. Observa la gráfica siguiente: Indica, si existen, los límites siguientes:. a) lím− f ( x ). d ) lím− f ( x ). g ) lím+ f (x ). b) lím+ f ( x ). e) lím+ f (x ). h) lím− f ( x ). c) lím f ( x ). f ) lím f ( x ). x→−1. x→1. x→−1. x→1. x→−1. x→−2. x→4. x→1. 2. Halla el dominio de las siguientes funciones:. a) f (x ) =. 2x −1 x − 5x + 6. ⎛ x +1⎞ g ) f ( x ) = ln⎜ ⎟ ⎝ x −1⎠. d ) f (x ) = 7 − 2 x. 2. (. b) f ( x ) = x 2 − 4 1 c) f (x ) = 2 x −4. e) f (x ) = ln x 2 − 9. ). f ) f ( x ) = ln (5 x − 11). 3. Calcular:. 3 x b) lím x→+∞ 3 x − 2 x→−∞ x + 8 3 3x + 3x f ) lím g ) lím x→−∞ 5 x 3 − 2 x + 1 x →2. c) lím. a) lím. x→+∞. (. 3x − 2 x−5. x + 3 + 2x +1. 2x2 x 2 + 3x e) lím 3 x→+∞ 5 x + 2 x→+∞ x − 2 3 x − 2x +1 h) lím x→1 x2 + 3. d ) lím. ). 4. Calcular:. a) lím. x →0. b) lím. x +1 (x − 3)2. e) lím. x 5 −3x 3 x3 − 2 x 2 + x. 2+ x x. d ) lím. x→−1. x →3. x2 −1 x 2 + 3x + 2. x→0. c) lím x →2. x2 − 4 x 2 − 3x + 2. 5. Calcular:. a ) lím. x→+∞. d ) lím. x →−∞. x2 + 1 x+4. (x. 2. +1 + x. x+4 x→+∞ x − 2 4− x −2 e) lím x→0 x. b) lím. ). x+4 −2 g ) lím x→0 5 − x + 25. h) lím (1 + 2 x + x 2. x →0. 4. c) lím. x→+∞. f ) lím x→1. ). 4. x. 2. (. x2 + 2x − x. ). 2 x − 1 − 3x − 2 x −1. ⎛ 5x − 6 ⎞ i ) lím ⎜ ⎟ x → +∞ ⎝ 5 x + 7 ⎠. x2. 6. Representa las siguientes funciones y a partir de la gráfica estudia su monotonía y extremos.. a) f (x ) = x + 2. e) f ( x ) = − x 2 + 5 x − 4. b) f ( x ) = x 2 − 4 x + 3. f ) f (x ) =. c) f (x ) = x 2 − 4 x + 3. 1 x+2 1 h) f ( x ) = 3 + x. d ) f (x ) = − x 2 + 5 x − 4. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 1 x. g ) f (x ) =. 1. 1 x −3 x−2 j ) f (x ) = x+3 2− x k ) f (x ) = x+3 4x −1 l ) f (x ) = 2x + 4 i) f (x ) = 2 +. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 5: Límites y Continuidad.

(2) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. 7. Representa la gráfica de la función. ⎧1 − x si x ≤ −2 ⎪ f (x ) = ⎨ 3 si − 2 < x < 2 ⎪5 − x si x ≥ 2 ⎩ Estudia, a partir de la gráfica, su continuidad en x = −2 y en x = 2. ⎧ x 2 − 1 si x ≤ 0. 8. Dada la función f ( x ) = ⎨. ⎩x −1. si x > 0 a) Estudia su continuidad en x = 0. b) Represéntala gráficamente.. 9. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:. ⎧ x2 ⎧2 x + 3 si x < 1 a ) f ( x) = ⎨ b) g ( x ) = ⎨ si x ≥ 1 ⎩ x ⎩x + 2. si x ≤ −2 ⎧ 2x ⎪ 2 c ) h( x ) = ⎨ x si − 2 < x ≤ 0 si x > 2 ⎪sen x si x > 0 ⎩. si x ≤ 2. 10. Determina cuánto debe valer a para que la siguiente función sea continua:. ⎧⎪ x 3 + a si x ≤ −1 f (x ) = ⎨ 2 ⎪⎩ x − a si x > −1 11. Determina para qué valores de a y b son continuas las funciones:. ⎧ 3x 2 si 0 ≤ x < 2 ⎪ a ) f ( x) = ⎨ 3 x + a si 2 ≤ x ≤ 5 ⎪− x 2 + 13x + b si x > 5 ⎩. ⎧ x2 − 4 si x ≠ −2 ⎪ b) f ( x ) = ⎨ x + 2 ⎪ a si x = −2 ⎩. 12. (2018-M1;Jun-A-2) La función de costes de una empresa se puede determinar mediante la expresión f ( x ) = 40 − 6 x + x 2 , para x ≥ 0 donde x representa la cantidad producida de un determinado artículo. a) (1 punto) ¿Disminuye el coste alguna vez? Determine la cantidad producida de dicho artículo cuando el coste es mínimo y cuál es dicho coste. b) (0.8 puntos) ¿Cuál sería el coste si no se produjese nada de ese artículo? Si el coste fuese 80, ¿cuántas serían las unidades producidas? c) (0.7 puntos) Represente gráficamente la función. 13. (2016-M3-A-2) En un ensayo clínico de 10 meses de duración, el porcentaje de células de un determinado tejido afectadas por un tipo de enfermedad en el paciente de estudio, viene dado por. ⎧8t − t 2. si. ⎩ 2t. si 6 < t ≤ 10. la función P (t ) = ⎨. 0≤t ≤6. , donde t es el tiempo en meses.. a) (1 punto) Represente gráficamente la función P (t ) . b) (0.9 puntos) ¿En qué mes empieza a decrecer el porcentaje de células afectadas de dicho tejido? ¿Qué porcentaje hay justo en ese momento? ¿En algún otro mes del ensayo se alcanza ese mismo porcentaje? c) (0.6 puntos) ¿En qué mes el porcentaje de células afectadas es máximo? ¿Cuál es el porcentaje en ese momento? 14. (2016-M6;Jun-B-2) La cantidad, C, que una entidad bancaria dedica a créditos depende de su liquidez, x, según la función Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 2. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 5: Límites y Continuidad.

(3) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. ⎧ 150 + 5 x ⎪ C ( x ) = ⎨ 100 200 + 10 x ⎪ ⎩ 25 + 3 x. si 10 ≤ x ≤ 50 si. x > 50. donde C y x están expresadas en miles de euros. a) (1 punto) Justifique que C es una función continua. b) (1 punto) ¿A partir de qué liquidez decrece la cantidad dedicada a créditos? ¿Cuál es el valor máximo de C? c) (0.5 puntos) Calcule la asíntota horizontal e interprétala en el contexto del problema. 15. (2012-M4;Jun-B-2) Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros, para los. ⎧at − t 2. si. ⎩ 2t. si 6 < t ≤ 10. próximos 10 años viene dado por la función B (t ) = ⎨. 0≤t≤6. , siendo t el. tiempo transcurrido en años. a) (0.75 puntos) Calcule el valor del parámetro a para que B sea una función continua. b) (1 punto) Para a = 8 represente su gráfica e indique en qué períodos de tiempo la función crecerá o decrecerá. c) (0.75 puntos) Para a = 8 indique en qué momento se obtiene el máximo beneficio en los primeros 6 años y a cuánto asciende su valor. 16. (2012-M5-A-2) a) (0.75 puntos) Para la función f definida de la forma f ( x) =. ax , determine, x+b. razonadamente, los valores de a y b sabiendo que tiene como asíntota vertical la recta de ecuación x = −2 y como asíntota horizontal la de ecuación y = 3. 17. (2011-M2-A-2) Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R( x ) , en miles de euros, viene dada en función de la cantidad, x , que se invierte, también en miles de euros, por la siguiente expresión: R(x ) = −0.001x 2 + 0.4 x + 3.5 , con x ≥ 10. a) (0.5 puntos) Calcule la rentabilidad para una inversión de 100000 euros. b) (1.5 puntos) Deduzca y razone qué cantidad habría que invertir para obtener la máxima rentabilidad. c) (0.5 puntos) ¿Qué rentabilidad máxima se obtendría? 18. (2011-M4;Jun-B-2) Las funciones I (t ) = −2t 2 + 51t y G (t ) = t 2 − 3t + 96 con 0 ≤ t ≤ 18 representan, respectivamente, los ingresos y gastos de una empresa, en miles de euros, en función de los años, t , transcurridos desde su inicio y en los últimos 18 años. a) (0.5 puntos) ¿Para qué valores de t , desde su entrada en funcionamiento, los ingresos coincidieron con los gastos? b) (1 punto) Determine la función que refleje los beneficios (ingresos menos gastos) en función de t y represéntala gráficamente. c) (1 punto) ¿Al cabo de cuántos años, desde su entrada en funcionamiento, los beneficios fueron máximos? Calcule el valor de ese beneficio. 19. (2010-M1-A-2) En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversión en publicidad, y han llegado a la conclusión de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la expresión B ( x ) = 0.5 x 2 − 4 x + 6 , siendo x la inversión en publicidad, en miles de. euros, con x en el intervalo [0, 10] . a) (1 punto) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas? b) (1 punto) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible? c) (0.5 puntos) ¿Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad? ¿Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio?. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 3. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 5: Límites y Continuidad.

(4) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. 20. (2010-M2-B-2) El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma, f ( x ) , dependen. de la inversión, x, según la función f ( x ) = − x 2 + 11x − 10 . (x es la cantidad invertida, en millones de euros). a) (0.75 puntos) Determine los valores de la inversión para los que la función beneficio es no negativa. b) (1 punto) Halle el valor de la inversión para el cual el beneficio es máximo. ¿A cuánto asciende éste? c) (0.75 puntos) ¿Entre qué valores ha de estar comprendida la inversión para que el beneficio sea creciente, sabiendo que éste es no negativo?. 21. (2010-M3;Sept-A-2) Un consultorio médico abre a las 5 de la tarde y cierra cuando no hay pacientes. La expresión que representa el número medio de pacientes en función del tiempo en horas, t , que lleva abierto el consultorio es N (t ) = 4t − t 2 a) (1 punto) ¿A qué hora el número medio de pacientes es máximo? ¿Cuál es ese máximo? b) (1 punto) Sabiendo que el consultorio cierra cuando no hay pacientes, ¿a qué hora cerrará? c) (0.5 puntos) Representa gráficamente N (t ) = 4t − t 2 , con N (t ) ≥ 0 . 22. (2007-M6-A-2) El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene dado por la. ⎧ − 5 x 2 + 40 x − 60 si 0 ≤ x ≤ 6 ⎪ función f ( x ) = ⎨ 5x si 6 < x ≤ 10 − 15 ⎪⎩ 2 donde x representa el gasto en publicidad, en miles de euros. a) (0.75 puntos) Represente la función f . b) (0.75 puntos) Calcule el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene pérdidas. c) (0.75 puntos) ¿Para qué gastos en publicidad se producen beneficios nulos? d) (0.75 puntos) Calcule el gasto en publicidad que produce máximo beneficio. ¿Cuál es ese beneficio máximo? 23. (2006-M1-A-2) Sean las funciones f ( x ) = x 2 − 4 x + 6 y g ( x ) = 2 x − x 2 . a) (2 puntos) Determine, para cada una de ellas, los puntos de corte con los ejes, el vértice y la curvatura. Represéntelas gráficamente. b) (1 punto) Determine el valor de x para el que se hace mínima la función h( x ) = f ( x ) − g ( x ) . 24. (2006-M5-A-2) El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, en los próximos ocho años viene dado por la función B definida por. ⎧− t 2 + 7t si 0 ≤ t < 5 B (t ) = ⎨ si 5 ≤ t ≤ 8 ⎩ 10 donde t indica el tiempo transcurrido en años. a) (2 puntos) Represente gráficamente la función B y explique cómo es la evolución del beneficio esperado durante esos 8 años. b) (1 punto) Calcule cuándo el beneficio esperado es de 11.25 millones de euros. 25. (2005-M2;Jun-B-2) El beneficio, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t , en años, viene dado por:. f (t ) = −t 2 + 12t − 31, 4 ≤ t ≤ 7 a) (1.5 puntos) Represente la gráfica de la función f . b) (1.5 puntos) ¿Para qué valor de t alcanza la empresa su beneficio máximo y a cuánto asciende? ¿Para qué valor de t alcanza su beneficio mínimo y cuál es éste?. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 4. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 5: Límites y Continuidad.

(5) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. 26. (2005-M5;Sept-A-2) El valor, en miles de euros, de las existencias de una empresa en función del tiempo t , en años, viene dado por la función: f (t ) = −4t 2 + 60t − 15, 1 ≤ t ≤ 8 . a) (1 punto) ¿Cuál será el valor de las existencias para t = 2 ? ¿Y para t = 4 ? b) (1 punto) ¿Cuál es el valor máximo de las existencias? ¿En qué instante se alcanza? c) (1 punto) ¿En qué instante el valor de las existencias es de 185 miles de euros? 27. (2004-M5;Jun-A-2) La temperatura T , en grados centígrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en función del tiempo t , en horas, por la expresión: T (t ) = 40t − 10t 2 con 0 ≤ t ≤ 4 . a) (1.5 puntos) Represente gráficamente la función T y determine la temperatura máxima que alcanza la pieza. b) (1.5 puntos) ¿Qué temperatura tendrá la pieza transcurrida 1 hora? ¿Volverá a tener esa misma temperatura en algún otro instante? 28. (2002-M3;Jun-B-2) Sea x , en euros, el precio de venta del litro de aceite de oliva virgen extra. Sea f ( x ) = 2 −. 4 , con x ≥ 0 , la función que representa el balance económico quincenal, en x +1. miles de euros, de una empresa agrícola. a) (2 puntos) Represente la función f . b) (0.5 puntos) ¿A partir de qué precio de venta del litro de aceite empieza esta empresa a tener beneficios? c) (0.5 puntos) ¿Están limitadas las ganancias quincenales de esta empresa? ¿Y las pérdidas? 29. (2001-M3-A-2) Un objeto se lanza verticalmente hacia arriba de modo que la altura h (en metros) a la que se encuentra en cada instante t (en segundos) viene dada por la expresión:. h(t ) = −5t 2 + 40t. a) b) c) d). (0.75 puntos) ¿En qué instante alcanza la altura máxima? ¿Cuál es esa altura? (1 punto) Represente gráficamente la función h(t ) . (0.75 puntos) ¿En qué momento de su caída se encuentra el objeto a 60 metros de altura? (0.5 puntos) ¿En qué instante llega al suelo?. 30. (2001-M6-A-2) Un agricultor comprueba que si el precio al que vende cada caja de fresas es x euros, su beneficio diario, en euros, será: B ( x ) = −10 x 2 + 100 x − 210. a) (1 punto) Represente la función precio-beneficio. b) (1 punto) Indique a qué precio debe vender cada caja de fresas para obtener el máximo beneficio. ¿Cuál será ese beneficio máximo? c) (1 punto) Determine a qué precios de la caja obtiene pérdidas el agricultor. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 5. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 5: Límites y Continuidad.

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