INTEGRALES INMEDIATAS. INTEGRALES DEFINIDAS. APLICACIÓN DE LA INTEGRAL.

UNIDAD 3: Integrales

1

UNIDAD N°3:

INTEGRALES INMEDIATAS. INTEGRALES DEFINIDAS. APLICACIÓN DE LA

INTEGRAL.

Nota importante: Este documento es una guía de estudio para indicar los contenidos de

la unidad. Por lo tanto el alumno deberá completar dichos contenidos con las clases de

los profesores o la bibliografía recomendada.

3.1 INTEGRALES INDEFINIDAS: INMEDIATAS, POR SUSTITUCION Y POR PARTES

INTEGRALES INMEDIATAS

Dada f x

 

debemos encontrar una F x

 

tal que F x´

 

sea igual a f(x)

Si F x

 

es una función y se verifica que F x´

 

= f(x) entonces F x

 

se llama PRIMITIVA de la función f(x).

EJEMPLO Nº 1: Encontrar la primitiva de f x

 

= x2

 

_´

 

 

2

 

3

3

x

F x



F x



f x



x



F x



ya que

 

2 2

3

´

3

x

F x





x

función primitiva

También serán primitivas de x2 _{las siguientes funciones:}

 

3 1

5

3

x

F x





ya que

 

2 2 1

3

´

3

x

F

x





x

 

3 2

2

3

x

F x





ya que

 

2 2 2

3

´

3

x

F

x





x

Es decir, que puedo tener infinitas primitivas; por que son funciones que sólo difieren entre sí, en una constante.

Conclusión:

Si F x

 

es primitiva de, entonces, se la denomina INTEGRAL INDEFINIDA y se la simboliza:



f

(

x

)

dx



F

(

x

)



C

donde F x´

 

= f(x) donde C = constante de integración

Se podría decir inicialmente que la integración es la operación inversa a la derivación.

MÉTODOS DE INTEGRACIÓN: para todos los tipos se trata de conseguir una metodología que nos indique cual es la función denominada Primitiva F(x) que derivada nos dé la función integrando f(x)

UNIDAD 3: Integrales

2

Integrales Inmediatas: teniendo en cuenta las reglas de derivación, se puede demostrar las siguientes

propiedades para las integrales:

Las constantes como productos pueden sacarse fuera de la integral



K

.

f

(

x

)

dx



K



f

(

x

)

dx

EJEMPLO





2

.

x

dx





2



x

dx

La suma algebraica de varios integrandos, es igual a la integral de cada uno de ellos, con sus respectivos signos





_

_



f

(

x

)



g

(

x

)

dx



f

(

x

)

dx



g

(

x

)

dx

EJEMPLO





dx x dx x dx x dx x x x









3 2 _cos  1  23  _cos  1 Reglas de integración

1-

Si

C

n

x

dx

x

n n











1

₁

para n  -1 EJEMPLO



x

dx



x



C

5

5 4 2- Si

dx

x

C

x

dx

x













ln

1

1

para n = -1 (es el caso de excepción a la regla anterior)

3- Si C n x dx x dx x n n n     





1 1 1 1 1 EJEMPLO xdx x dx x  x C    





2 3 1 2 1 2 3 1 2 1 2 1 4- Si C n m x dx x dx x dx x n m n m n m n m         







1 1 1 1 EJEMPLO dx x dx x C x dx x         







1 3 2 1 1 3 1 2 3 2 3 2 3 2

UNIDAD 3: Integrales

3

5- Si

dx

u

x

C

x

u

x

u









ln

(

)

)

(

)

(

EJEMPLO 1

dx

e

C

e

e

x x x











ln

(

4

)

4

EJEMPLO 2 

dx

x

senx

C

x

sen

x

x













1

cos

ln

(

)

EJEMPLO 3







dx

x

x

sen

dx

x

tg

cos

(multiplico 2 veces por (-1))

C

x

dx

x

x

sen













ln

cos

cos

)

1

(

1

EJEMPLO 4 dx x C x x x x dx   





ln(ln ) ln 1 ln . 6- Si

C

n

x

f

dx

x

f

x

f

n n

_











(

).

(

)

(

₁

)

1

EJEMPLO 1



sen

x

.

cos

x

dx



sen

x



C

6

6 5 EJEMPLO 2

e

dx

e

e

dx

e

C

n x x x











.

₂

2 2 EJEMPLO 3

dx

x

C

x

x

dx

x

x







_



ln

ln

1

(ln

₂

)

2

Integración de las funciones trigonométricas sencillas



sen

x

dx





cos

x



C



cosxdx senxC x sen ) x (cos pues C x cos dx x sen     



x cos ) x sen ( pues C x sen dx x cos      



C

x

sen

dx

x

sen

x

dx

x

g















cot



cos

ln

UNIDAD 3: Integrales

4

INTEGRALES POR SUSTITUCION

Se busca sustituir en f x

 

alguna parte, cambiado de variable (por ejemplo por t); para dejar la función más sencilla y resolverla en forma inmediata

EJEMPLO 1



cos

3

x

dx

Calculo auxiliar

Hacemos por ejemplo: 3x = t

Como cambiamos de variable, también debemos hacerlo con dx f `(x) . dx = dt 3 dx = dt despejo dx dx =

3

dt

ahora reemplazamos en el ejemplo inicial

t

sen

dt

t

dt

t

dx

x

3

1

cos

3

1

3

cos

3

cos













una vez encontrada la primitiva o resultado, volvemos a la variable original:

sen

3

x



C

3

1

EJEMPLO 2

1

dx

x







hacemos t = x-1 dt = dx reemplazamos:

t

t

dt

ln





;volviendo a la variable original queda: ln(x1)C

EJEMPLO 3



e

senx

.

cos

x

dx



hacemos t = sen x dt = cos x .dx

 

cos dt dx x  reemplazamos : t t t

e

dt

e

x

dt

x

e









.

cos

_cos

; volviendo a la variable original, resulta: esenx C

EJEMPLO 4





3

2x

dx

hacemos t = 2x+3 dt = 2 dx

2

dt

dx





reemplazamos: t dt t t t t x C t dt             





2 3 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 12 1 1 2 1 2 1 ¡RECORDAR! y = f (x) dy = f `(x) . dx

UNIDAD 3: Integrales

5

INTEGRALES POR PARTES

Partiendo del concepto de diferencial, se puede demostrar que si el diferencial de un producto es d(u.v) = du.v + udv donde resulta u dv = d(u.v) -v du, si integramos a ambos miembros de la igualdad se obtiene la siguiente fórmula:



u

dv



uv





v

du

EJEMPLO 1



ln

x

dx

Cálculo auxiliar Si

dx

x

du

x

ln

u







1



Si

dv



dx

 

v



dv





dx



x

Ahora reemplazamos en la fórmula:

















dx

x

x

x

C

x

x

x

x

dx

x

(ln

)

.

.

1

.

ln

ln

Resuelva usted los siguientes ejercicios:

1-



x

e

x

dx

2-

dx

x

x



ln

EJERCITACIÓN

1)

a) Verifique cuál/cuales de las siguientes funciones es una primitiva de

f

_(x)



ln

x

9

1

) (





x

F

_x 3 ln . ) ( x xx Fx 10 ln . ) ( x xx Fx

5

ln

.

) (



x

x



x



F

_x

x

x

x

F

_(x)



.

ln



b) Verifique cuál de las siguientes funciones es primitiva de f(x) x.senx

C senx x x F(x)  .cos   C senx x x F(x)  .cos   C senx x x F_(x)  .cos   C x x senx F_(x)   .cos 

UNIDAD 3: Integrales

6

c) Indique cuál de las siguientes afirmaciones es falsa:

- Toda primitiva de un polinomio de grado n, es un polinomio de grado n+1. - La primitiva de

f

_{( x)} es única.

- Si

F

_{( x)} y

G

_{( x)} son primitivas de

f

_{( x)}, entonces

G

(x)



F

(x)



C

- Si F'₍x₎ f₍x₎, entonces

F

( x) es una primitiva de

f

( x).

d) ¿Cuál de las siguientes propiedades es falsa? - k f(x)dxk f(x)dx

-  f_(x) g_(x)dx f_(x)dxg_(x)dx

-  f(x) g(x)dx f(x)dxg(x)dx

-  f(x) . g(x)dx f(x)dx . g(x)dx

2)

Calcule las siguientes integrales indefinidas: a) dx b) 2dx c) x6dx d) x2dx e)

dx

x

1



f)

dx

x

3

1



g)



₅

x

32

dx

h) 6cosxdx i)

senx

dx





j) 2exdx

k)

dx

x

7



l)

5t3 2dt

m)

dx

x

x

x

2

5





n)



x .

2

x

dx

ñ)

7sent5et dt

o)

sen



dx

p)

ex2dx

q)

(x3)2dx

r)

2xdx

UNIDAD 3: Integrales

7

3)

Calcule las siguientes integrales indefinidas aplicando el método por sustitución

a) (x3)2dx b) (42x)3dx c)  2x5dx d)

dx

x

5

1





e) sen 3xdx f)

x

dx

2

2

cos



g)

sen

x

dx







h)



e

x4

dx

i)



e

x

dx

2

1

j) 32xdx k)

dx

x

4

3

1





4)

Calcule las siguientes integrales indefinidas aplicando el método por partes

a) x.senxdx b) lnxdx c) x.exdx d) x ln. xdx

l)

dx

x

2

2

5







m)

(senx)3.cosxdx

n)

dx

x

x

5

3 2





o)

x e dx x4 . 3 

p)

 x2 2.xdx

q)

esenx.cosxdx

r)

(x31)2. x2dx

s)

dx

x

x

2

2

9





t)

tgxdx

e)

x cos2. xdx

f)

4x2.lnxdx

g)



3

x ln

.

x

dx

h)

(7x3).exdx

UNIDAD 3: Integrales

8

3.2 INTEGRACIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

Ya se resolvieron integrales de funciones trigonométricas cuando están elevadas a la potencia uno. Cuando las funciones están elevadas a una potencia mayor es necesario tener presentes las identidades trigonométricas.

Recordar que la relación fundamental de trigonometría es: sen2_{x + cos}2_{x = 1 despejando se tiene:}

sen2_{x = 1 - cos}2_{x (I) ; cos}2_{x = 1 - sen}2_{x (II)}

Otras relaciones trigonométricas son:

2 2 1 2 cos x x sen   (III); y

2

2

1

2

_x

cos

x

cos





(IV)

a- Funciones trigonométricas elevadas a un exponente par Se sustituye la función por la relación (III) o (IV), según corresponda.

dx

x

sen



2

para resolver esta integral se sustituye por la relación (III)

dx x sen2



=





x

dx

2

2

cos

1

=

(

1

cos

2

x

)

dx

2

1





=





C

2

x

2

sen

x

2

1

xdx

2

cos

dx

2

1













 









dx x cos2



Se reemplaza por la relación (IV) dx x cos2



=





C

2

x

2

sen

x

2

1

dx

x

2

cos

dx

2

1

dx

2

x

2

cos

1













 















b- Funciones trigonométricas elevadas a un exponente impar Se sustituye la función por la relación (I) o (II), según corresponda.







  

 



sen3xdx



sen2x.senxdx



1 cos2x senxdx



senxdx



cos2x.senxdx

C

x

cos

3

1

x

cos



3





Resuelva usted



cos3xdx

Si aumenta el exponente, la resolución requiere más pasos algebraicos.

UNIDAD 3: Integrales

9

EJERCITACIÓN

1)

Calcule las integrales de las siguientes funciones trigonométricas a) sen2xdx

b) cos2xdx

2)

Calcule las siguientes integrales indefinidas aplicando el método conveniente a)





3x.sen6x



dx b)





cos2x x



dx c)



        dx 6 x x 2 x cos . x sen5 ₂

3.3 PARTICIÓN. NORMA. REFINAMIENTO. NOCIONES DE INTEGRAL DE RIEMANN.

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.

INTEGRAL DE RIEMANN

Estudiaremos la Integral de Riemann (matemático alemán), que fue el primero en establecer la integral sobre bases aritméticas en lugar de geométricas.

Dada una función y = f(x), continua y acotada en un intervalo [a,b]

Nuestro problema consiste en calcular el área comprendida por la curva y el semieje x en el intervalo [a,b].

Consideraremos un conjunto de puntos P = {a=x0, x1, x2,...,xn=b} , tal que a=x0<x1<x2<....<xn=b, a este

conjunto se lo denomina partición del intervalo [a,b].

Llamaremos subintervalos x_i 



x_i,x_i1



ox_i 



x_i1,x_i



, La longitud del subintervalo x_i es

1    x_i x_i x_i long

c)

sen3xdx

d)

cos3xdx

d)



cos 2x3dx

e)

6.e dx 1 x 1 3x



      _ 

f)

dx 2 x 2 1 x 3 x 4



        

UNIDAD 3: Integrales

10

Suma inferior:

Considera la suma de los productos de las áreas de los rectángulos cuyas bases son xi y alturas mi S S ) x x ( m ... ) x x ( m ) x x ( m ) x x ( m ) x x ( m x m ) P ; f ( S i i n n n p n i i i p i              _{ } 





1 1 1 0 2 2 1 3 3 2 1 1 Suma superior:

Considera la suma de los productos de las áreas de los rectángulos cuyas bases son xi y alturas Mi S S x x M x x M x x M x x M x x M x M P f S _{i i n n n} p n i i i p i                





( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ) ; ( 1 1 1 0 2 2 1 3 3 2 1 1 m M y b=xn xi-1 a=xo 0 xi xi mi m M Mi x y=f(x) Norma de la partición

Es la mayor longitud de los subintervalos xi_{, y}

se simboliza: P maxxi Observación:

La P puede realizarse de cualquier forma. Sólo debe cuidarse x0 a _y xn b_{. Se practica con}

i

x

 _{iguales, para facilitar los cálculos.}

Como f(x) es continua y acotada en [a,b] entonces existen dos números n y M tales que : mf(x)M  x

 

a,b

(m= menor, M= mayor valor que toma la función en [a,b] )

f(x) también está acotada en todos los

subintervalos xi_{, es decir existen mi y Mi,}

tales que:

 

i i



i i



i

f

M

i

x

x

UNIDAD 3: Integrales

11

Por (1) se tiene que:

 

      exceso por total Area i n i i i n i i defecto por total Area i n i i x f x M x m 



 







  1 1 1  x

 

a,b

Para disminuir los errores por defecto y por exceso, se consideraran mas puntos xi dentro del intervalo

[a,b] , a esto se le denomina refinamiento de la partición P del intervalo [a,b]. Si consideramos que la norma de la partición P maxx_i 0 implica infinitos puntos xi (n). Con esto logramos que el

área por defecto aumente su valor y el área por exceso disminuya hasta que finalmente el error cometido tienda a cero, por lo tanto:

m

x

f

 

x

M

x

n i i P i n i i P i n i i P



_









_









_



1 0 1 0 1 0

lim

lim

lim



Como el primer y tercer miembro de la desigualdad son iguales (cuando xi0entonces mi = Mi ), luego

los tres miembros nos da un número al que llamaremos A y lo simbolizaremos:

 

 

_i n i i P b a

f

x

dx

f

x

A











  1 0

lim



La expresión anterior se lee: integral definida entre a y b de f(x) diferencial x.

El resultado de la integral definida es un número que representa el área comprendida por la curva y=f(x) y el eje x en el intervalo [a,b] en las unidades consideradas para representar la función.

Algunas propiedades de la integral definida:

1.







b a b a dx ) x ( f K dx ) x ( f . K 2.

















b a b a b af(x) g(x)dx f(x)dx g(x)dx

UNIDAD 3: Integrales

12

3. Si a   b x

 

a b es, a<b b

 

b

 

a a

f  g



f x dx



g x dx

4. Sean a<c<b, tres números reales, entonces se cumple:











b

c c

a b

af(x)dx f(x)dx f(x)dx

3.4 PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL: RELACION ENTRE

PRIMITIVA Y DERIVADA. SEGUNDO TEOREMA DE FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

INTEGRAL. REGLA DE BARROW.

PRIMER TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL (Relaciona la primitiva con la derivada).

- Hipotesis: Si F(x) es una primitiva de f(x) - Tesis: F´( )x f( )x

Demostración: Supongamos el límite inferior fijo (a) variable el límite superior. Introduzcamos la notación

 



_

x ´_t

a

F x F dt (pues la integral no depende de la notación de la variable de integración)

Si f(t) no es negativa, el valor de la integral será numéricamente igual al área bajo la curva.

Incrementemos x en x, entonces:







 

 



 

  

_

x x 

_

x 

_

x x

a a x

F x x f t dt f t dt f t dt

Por la propiedad del Valor Medio para integrales: Si

 

f x Cen

 

a b, ) ( / ) , (a b _abf_(x)dx f_{( )} ba   



_ . Por tanto: ) ( ) ( ) (t dt f x x x f x x x     



Luego



 







xx

 

 

 

 a F x x f t dt xf Además



  



 





x

 

 

 

 



x

 

 

 

 a a F x x F x f t dt xf f t dt xf o sea F x



x F x

  

f

 

x      cuando    x 0; x





 

_{   }

lim lim ´ lim

x o x o x F x x F x F F f f x x x                  ó F x´

 

f x

 

UNIDAD 3: Integrales

13

SEGUNDO TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO INTEGRAL: REGLA DE BARROW

- Hipótesis: F(x) es una primitiva de f(x)

- Tesis: f(x)dx F(b) F(a)

b

a  



Demostración: por hipótesis F(x) es primitiva de f(x). Se puede demostrar también(Primer Teorema Fundamental del cálculo Integral) que



x

af(t)dt = F(x) también es primitiva de f(x). Como dos primitivas de

una misma función difieren en una constante; debe ser: xf(t)dt F(x) C

a

 



(1)

Para Hallar C si hacemos coincidir x = a, no quedaría.



a ( ) 0

a f t dt pues no existe Área ya que según Riemann f x dx A b

a 



( ) (la integral entre a y b de f(x) representa el área bajo la curva entre a y b y por encima del eje x)

En consecuencia: ) a ( F C C ) a ( F dt ) t ( f a a     



0 Reemplazamos en (1) ) a ( F ) x ( F dt ) t ( f x a   



. Si hacemos x =b ) a ( F ) b ( F dt ) t ( f b a   



Sustituyendo t=x se obtiene:



F(x)



F(b) F(a) dx ) x ( f b_a b a    



UNIDAD 3: Integrales

14

EJERCITACIÓN

1) Resolver las siguientes integrales definidas

a)

Hacemos: t = 2x + 1 dt = 2 . dx

Reemplazamos:

Integramos:

Aplicamos regla de Barrow:

∫ √

2𝑥 + 1

4 1

𝑑𝑥

𝑑𝑡 2

=

dx

Como hemos realizado una sustitución de la función en x por t los límites de la integral no pueden ser los de la variable x. Por lo tanto,

aparecen t1 y t2 como nuevos límites.

∫ 𝑡

12 𝑡2 𝑡1

𝑑𝑡

2

[

√(2.4 + 1)

3

3

] − [

√(2.1 + 1)

3

3

] = 7,27

|

𝑡

3 2

3

| 𝑡1 𝑡2 = || √

(2𝑥 + 1)

3

3

|| 1 4

Una vez integrado vuelvo a reemplazar t1 y t2 por los límites de la función en x.

UNIDAD 3: Integrales

15

3.5 ÁREAS PLANAS CÁLCULO EN COORDENADAS CARTESIANAS. ÁREAS ENTRE DOS

CURVAS. ÁREA LIMITADA POR UNA CURVA CERRADA.

CÁLCULO DE ÁREAS PLANAS

Como se vio en la definición de integral definida si la función es positiva en todo el intervalo [a,b] , la



b

 

a

f

x

dx

da el área comprendida entre la curva representada por la función y = f(x), las rectas x = a, x = b y el eje de las x (Región correspondiente R por encima del eje de las x).

Si la función es negativa en todo el intervalo, la



b

 

a

f

x

dx

va a ser negativa porque la región correspondiente R queda por debajo del eje de las x, pero el área es la medida correspondiente a R y en consecuencia es un número positivo y por lo tanto se puede decir:

Si se desea hallar el área de una región como la del gráfico siguiente, en la que parte de la misma queda por encima del eje x y parte por debajo, se debe plantear dos o mas integrales considerando el o los puntos donde la curva corta al eje de las x.

 

dx

f

A

b a x





Área =

f

 

dx

f

 

dx

f

 

dx

b

f

 

dx

3 c x 3 c 2 c x 2 c 1 c x 1 c a x















UNIDAD 3: Integrales

16

Ejemplo:

Determinar el área de la región limitada por la curva f

 

_x x36x211x6 y el eje x, que se indica en la siguiente figura.

A= resolviendo la integral A=|𝑥₄4−6₃𝑥3+11₂ 𝑥2− 6𝑥| 1 2 + |𝑥₄4−6₃𝑥3+11₂ 𝑥2− 6𝑥| 2 3

y aplicando la regla de Barrow

se tiene: 4 4 3 2 3 2 2 11 1 11 2.2 2 6.2 2.1 1 6.1 4 2 4 2 A _     _{ }    _     

En primer lugar se debe determinar las abscisas donde el polinomio corta al eje x; estos valores se obtienen encontrando las raíces del polinomio

 

x 6x 11x 6 f _x  3 2  .

Estas son: x1=1, x2=2 y x3=3 como

UNIDAD 3: Integrales

17

 

2 1 2 4 9 4 9 2 2 . 6 2 2 11 2 . 2 4 2 3 . 6 3 2 11 3 . 2 4 34 3 2 4 3 2 _{  }                                       

Luego el área es: A = 2 1

unidades de área.

ÁREA ENTRE DOS CURVAS

Sean f

 

_x yg

 

_x funciones continuas en el intervalo [a,b]. Entonces el área A de la región comprendida entre sus gráficas en el intervalo está dada por:

A

x2

f

 

g

 

dx

.

1 x x x







Donde las coordenadas indicadas en la figura, a = x1 y b = x2 se encuentran resolviendo la

intersección entre las dos funciones es decir haciendo f(x) = g(x), y despejando los valores de x que la

UNIDAD 3: Integrales

18

EJERCITACIÓN

Cálculo de Área bajo la Curva: 1. Calcule el área sombreada

a)

b)

c)

e)

f)

d)

UNIDAD 3: Integrales

19

a)

 

2 1 3 y x x x     _    

g)

         2 3 0 cos



x x x y

h)























2

1

2

2

x

x

x

y

i)

           3 0 5 2 5 x x x y

j)



















2

x

1

x

dx

x

3

x

y

2

2. Calcular el área comprendida entre la curva f(x), el eje x y las rectas que se indican. Graficar

b)



















2

0

2

3

x

x

x

y

c)

         3 1 1 x x x y

d)





















2

1

1

2

x

x

x

y

e)



















1

1

3

x

x

x

y

f)

        4 2 x x x y

 

 

unidadesdeárea 3 26 3 26 3 1 3 3 3 x dx x A 3 3 3 1 3 3 1 2 _{  }                



UNIDAD 3: Integrales

20

Cálculo de Área entre Curvas:

3. Calcular el área comprendida entre las siguientes curvas. Graficar.

a)

    2 x x f x g x      

-

Encontramos primero los puntos de intersección: f(x) = g(x)

x x2  ; xx4 x4x0x

 

1x4 0;x₁0;x₂ 1 - Graficaremos:

b)

       2 2 x y x y

c)

        4 2 ) ( 2 ) ( x g x f x x

d)

         x x g x x f x x 2 4 2 ) ( 2 ) (

A=



x x dx



x x dx  1 0 2 2 1 1 0 2                         3 0 2 3 0 3 1 2 3 1 3 x 2 3 x 2 3 3 3 2 3 1 0 3 2 3

3

1

3

1

3

2





unidades de área

e)











x

y

x

y

5

f)

     x y x y 4 3

UNIDAD 3: Integrales

21

3.6 VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN. CÁLCULO DE VOLÚMENES

ENGENDRADOS POR CURVAS DADAS EN COORDENADAS CARTESIANAS.

Si hacemos girar un punto, alrededor de un eje, genera una línea curva (circunferencia).

De igual forma si se considera una curva representada por la función f(x) continua en el intervalo [a,b] y se

hace girar el arco de la misma , desde el punto A(a,f(a)) hasta el punto B(b,f(b)), alrededor del eje x(por

ejemplo), se genera un sólido de revolución cuyo volumen se puede calcular por medio de una integral definida.

Sea R la región limitada por la gráfica de la función continua: y=f(x), el eje x, y las rectas: x = a y x = b,

como se muestra en la siguiente figura.

Se evalúa el volumen V del sólido de revolución resultante al hacer girar esa región en torno al eje x. Sea P una partición de [a,b] y sea xi un valor

cualquiera perteneciente al i-ésimo subintervalo [xi-1, xi].

Cuando el elemento rectangular de ancho

1 

 

x_i x_i x_i y altura f_{ xi*} se hace girar alrededor del eje x, se genera un disco, como se muestra en la siguiente grafica.

UNIDAD 3: Integrales

22

Recordemos que el volumen de un cilindro circular recto, o disco, de radio r y altura h es:

V= (área de la base). (altura)= r2h , de modo que para el cilindro en estudio será: r  f_{ i} , h=



x

_i, el volumen del disco será: V_i 



 

f(_i) 2x_i. Dado que para una partición con n subintervalos produce n

discos, luego el volumen aproximado del sólido será la suma de los volúmenes de los discos

 

 

i n i i n i i

f

x

V











  2 1 1 



Para encontrar el volumen exacto del sólido se debe hacer que la Norma de la partición tienda a cero

0



P

, que es equivalente a decir que n, y el volumen exacto queda:

 

 



 





n i i i P

f

x

V

1 2 0

lim



_ =





b

 

 

a 2 x

dx

f

V=





b

 

 

a 2 x

dx

f

UNIDAD 3: Integrales

23

EJERCITACIÓN

Cálculo de Volumen de Sólido de Revolución:

1. Calcular el volumen del sólido de revolución generado por la región acotada por la curva f( x) _al

girar alrededor del eje x en los intervalos que se indican. Graficar.

a)

f_{( )x}  x

, entre

x0

y

x4

b)

f(x) x

,

 

1,3

c)

f(x) x1

,

 

0,2

d)

f

(x)



x

3

,

 

1,2

2. Calcular el volumen del elipsoide de revolución generado al hacer girar la elipse 1 b y a x 2 2 2 2  

alrededor del eje x.

e)

( ) 2 2 1 x f x 

, entre

x0

y

x3

f)

f

(x)



3

e

x

, entre

x0

y

x1            



8 2 4 2 x dx x V 2 4 0 2 4 0 Unidades de volumen

Se despeja la variable y2 _{de la ecuación de la elipse:}

          2 2 2 2 a x 1 b y .

Se reemplaza en la expresión de volumen de revolución, se multiplica por dos porque solo se integra la mitad derecha de la elipse:



a x



a dx b dx a x b V a a 2 0 0 2 2 2 2 2 2 / 2 1 2



_ 



       





a b a a b x x a a b V a 2 3 2 2 0 3 2 2 2 3 4 3 2 2 3 2



_ 







          Caso particular a = 3, b = 2 V = .4.3 3 4_ =16 unidades de volumen

UNIDAD 3: Integrales

24

3.7 NOCIONES DE CÁLCULO DE LONGITUD DE UN ARCO DE CURVA Y DE ÁREAS DE

SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN ENGENDRADAS POR CURVAS DADAS EN

COORDENADAS CARTESIANAS.

LONGITUD DE CURVA

Se llama longitud de arco de curva AB, al limite de la longitud de la poligonal inscripta en el arco, cuando aumenta el número de lados.

Dado el arco de curva representado en la siguiente figura por la función

f

 

_x en el intervalo [a,b], si se determina sobre el arco AB los puntos A, M1, M2,..., Mi, ... , Mn-1, B cuyas abscisas son

respectivamente x0= a, x1, x2,..., xi, ...,xn-1, xn=b, y se trazan las cuerdas AM1, M1M2, ... , Mn-1B se obtendrá

una poligonal cuya longitud será un valor aproximado de la longitud del arco.

x x1 a=x0 0 y x2 xi-1 xi b=xn A=M0 M1 M2 Mi-1 Mi B=Mn xi yi

Si se considera el límite de Lp cuando la longitud de cada x_i x_i x_i₁ tiende a 0 y dicho límite

existe y es finito, entonces por definición de integral definida tendremos el valor de la longitud del arco AB.

Si la función f(x) además de ser continua tiene derivada continua en el intervalo [a,b], este límite

existe y se puede probar que la expresión para determinar la longitud de un arco de curva es:

 

dx

f

1

L

b a x 2 '







UNIDAD 3: Integrales

25

ÁREA DE SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN

Se vio cómo se calcula el volumen de un sólido de revolución generado por la rotación de curva alrededor de un eje, de forma similar se puede calcular el área lateral de dicho sólido, suponiendo como se muestra en la figura que el arco de curva gira alrededor del eje de las x, y que la curva es rectificable.

a=x0 0 b=xn x (xi,f(xi)) f(xi) y x y xi (xi -1,f(xi -1)) f(xi -1) xi -1

En la Fig. anterior, el área lateral del tronco de cono será: Ai= f

_{ }

_x L_i

i

*

2



,

donde x_i1  x_i* x_i,siendo Li la longitud de la apotema, cuya expresión de esta es:

dx ' y 1 dy dx

L_k  2 2   2 ; trabajando a partir de estos conceptos se llega a la expresión que nos permite determinar el área de una superficie de revolución:

dx

'

y

1

.

y

2

A

b a 2 SR









UNIDAD 3: Integrales

26

EJERCITACIÓN

Cálculo de Longitud de Arco:

1. Calcular la longitud de la circunferencia x2_{+ y}2 _=r2 _.





2 1 2 2 2 2 x r x r y   









2 2 2 1 2 2 ' x r x x 2 . x r 2 1 y       

- Si integraremos entre 0 y r, obtendremos la cuarta parte de la longitud de la circunferencia, es por ello que la integral se premultiplica por 4.

dx r x r dx r dx x r r dx x r r dx x r x L



r



r



r



r                0 2 0 2 2 0 2 2 2 0 2 2 2 1 4 4 4 1 4 L= 4r arc sen r 0 r x   = 4r arc sen

r

r

- 0) = 4r 2 r 2   

2. Calcular la longitud de arco de las siguientes curvas en los intervalos que se indican. Graficar. a) f_(x) 2x, entrex0 y x3

b) 32 )

( x

f_x  en el intervalo

 

1,2 Cálculo de Área de Superficie de Revolución:

3. Calcular el área de la superficie del cono, generado por la rotación alrededor del eje x, de la recta y = 3x; desde x =0 a x =1

- Se debe derivar para reemplazarla en la expresión del área de la superficie de revolución: y'=3

 

3 10(1 0) 3 10 2 10 6 10 6 3 1 . 3 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0











_            



x dx



xdx x ASR ASR =3



10

Unidades de área

c)

32 1 ) ( x  fx

, entre

x0

y

x2

d)

f(x)x6

, entre

x2

y

x1

UNIDAD 3: Integrales

27

4. Calcular el área de la superficie de revolución generada por la curva f_{( x)} al girar alrededor

del eje x en los intervalos que se indican. Graficar. a) f_(x) 3x, en

 

1,2

b)

f

_(x)



x

3, entrex0 y x1

c) f(x)  x, entrex1 y x4

d) f_(x) x2, en

 

1,1 Problemas de Aplicación:

5. Calcular el volumen que ocupa una cúpula semiesférica de un observatorio, de 6m de diámetro. 2 2 2 r y x  

6. En una zanja de forma parabólica de ecuación f

 

x 2x

2

x   _{se ha colocado un caño}

colector de 0,6 m de diámetro externo. Calcular el volumen de tierra que se necesita para tapar la zanja sabiendo que esta tiene una longitud de 8m.