Curso 2010-11
Problema 52.Una tabla de 2010×2011 casillas se rellena con los n´umeros1 y−1. Para cada fila, se calcula el producto de todos los n´umeros de la fila. Se hace lo mismo con las columnas. Prueba que el resultado de sumar todos los productos de las filas y todos los productos de las columnas no puede ser cero..
Problema 52.Una tabla de 2010×2011 casillas se rellena con los n´umeros1 y−1. Para cada fila, se calcula el producto de todos los n´umeros de la fila. Se hace lo mismo con las columnas. Prueba que el resultado de sumar todos los productos de las filas y todos los productos de las columnas no puede ser cero..
La suma den n´umeros±1 tiene la misma paridad que el n´umeron. Como 2010 + 2011 = 4021 es impar, la suma de todos los
productos de las filas y todos los productos de las columnas, que es una suma de 4021 n´umeros±1, no puede ser par.
Problema 53.El cuadrado ABCD (v´ertices en orden c´ıclico) tiene los lados de longitud 6. El punto P divide el segmento AB de forma que AP:PB = 2 : 1. Se elige un punto Q en el interior del cuadrado de forma que AQ=PQ=CQ. Encuentra el ´area del 4CPQ.
Problema 53.El cuadrado ABCD (v´ertices en orden c´ıclico) tiene los lados de longitud 6. El punto P divide el segmento AB de forma que AP:PB = 2 : 1. Se elige un punto Q en el interior del cuadrado de forma que AQ=PQ=CQ. Encuentra el ´area del 4CPQ.
El ´area del rect´anguloEBDF es 24. El ´area del tri´angulo EPQ es 4. El ´area del tri´angulo PBC es 6. El ´area del tri´angulo QCF es 4.
Problema 54.El producto de tres enteros positivos es 140. Determina la suma de los tres enteros si el segundo es siete veces el primero de ellos.
Problema 54.El producto de tres enteros positivos es 140. Determina la suma de los tres enteros si el segundo es siete veces el primero de ellos. xyz = 140 x+y+z = s y = 7x x2z = 20 8x+z = s
Hay dos posibilidades:
x = 1, z = 20, s = 28,
Problema 55.Se marcan cinco puntos en los v´ertices de una cuadricula rectangular. A continuaci´on, se marcan los puntos medios de cada pareja inicial de puntos. Prueba que al menos uno de estos puntos medios debe ser otro v´ertice de la cuadr´ıcula.
Problema 55.Se marcan cinco puntos en los v´ertices de una cuadricula rectangular. A continuaci´on, se marcan los puntos medios de cada pareja inicial de puntos. Prueba que al menos uno de estos puntos medios debe ser otro v´ertice de la cuadr´ıcula. Fijado un sistema de referencia de ejes sobre la cuadr´ıcula y unidades las longitudes de los segmentos de la cuadr´ıcula, las coordenadas de los puntos pueden ser de una de estas cuatro formas:
(par, par), (par, impar), (impar, par), o bien (impar, impar).
S´olo cuatro formas (nidos) para cinco puntos (palomas): al menos dos palomas estar´an en el mismo nido, en cuyo caso el punto medio de esos dos puntos (sus coordenadas son la semisuma de las coordenadas de los extremos) tendr´a sus dos coordenadas enteras.
Problema 56.En el segmento AM se toman los puntos K y L de modo que AK =LM. Situemos dos puntos B y C a un lado del segmento AM y un punto D hacia el otro lado, de modo que BK =KM, CM=KL y DL=LM, siendo adem´as las rectas BK , CM y DL perpendiculares las tres a la recta AM. Prueba que ABCD es un cuadrado.
Todos los tri´angulos rect´angulos coloreados son iguales, luego los lados del cuadril´atero, hipotenusas de estos tri´angulos, son iguales. Los ´angulos del cuadril´atero son rectos por ser la suma de los ´angulos agudos de un tri´angulo rect´angulo.
Problema 57.Sea N un cierto entero positivo. Escribimos todos sus divisores excepto 1 y el propio N. Vemos que el mayor de los divisores es 45 veces el m´as peque˜no. ¿Cu´ales son los posibles valores del n´umero N?
Problema 57.Sea N un cierto entero positivo. Escribimos todos sus divisores excepto 1 y el propio N. Vemos que el mayor de los divisores es 45 veces el m´as peque˜no. ¿Cu´ales son los posibles valores del n´umero N?
SeaN =Qk
i=1p
αi
i con 1<p1 <p2<· · ·<pk,pi primo. El menor divisor deN esp1 y el mayor pN1. Luego la condici´on se
traduce en 45p1 = N p1 , N = 45p21.
Hay dos soluciones, porque el menor factor primo deN s´olo puede ser 2 o 3 (5 tambi´en es factor primo deN, pero no es el m´as peque˜no):
p1 = 2, N= 180,
Problema 58.Tres marineros y un mono llegan a una isla desierta. Durante todo el d´ıa se dedican a recolectar cocos, y forman un mont´on com´un. Al llegar la noche, cansados por el trabajo realizado, se van a dormir dejando para el d´ıa siguiente el reparto de los cocos. Durante la noche, uno de los marineros, desconfiando de los otros dos, decide hacerse con su parte, procediendo a formar tres montones iguales y guard´andose uno de ellos. Como al hacerlo le sobra un coco, se lo da al mono. El segundo marinero, teniendo la misma idea, procede en igual forma con los cocos que ha dejado el primero. Al hacer los tres montones le sobra un coco, que se lo da al mono. Por ´ultimo, el tercer hombre se levanta y procede de la misma forma que los anteriores. A la ma˜nana siguiente, aunque el mont´on de cocos – que al comienzo de toda manipulaci´on era inferior a100– se encuentra notablemente reducido, los tres marineros se sienten igualmente culpables y no dicen nada, procediendo al reparto de los cocos. Al hacerlo les sobra uno, que se lo dan al mono. ¿Cu´antos cocos hab´ıa?
Seax el n´umero de cocos.
Tras separar su parte el primer marinero, quedan: (x−1)·2
3
Tras separar su parte el segundo marinero, quedan:
(x−1)·2 3 −1 ·2 3 = 4 9(x−1)− 2 3 Tras separar su parte el tercer marinero, quedan:
4 9(x−1)− 2 3 −1 ·2 3 = 8 27(x−1)− 10 9 Finalmente, el reparto ´ultimo nos dice que:
8
Simplificando, se obtiene:
8x = 27·3·t+ 65 = 81t+ 65
Esta ecuaci´on diof´antica es dif´ıcil de resolver por ensayo y error, y vamos a proponer una soluci´on simple, utilizando el concepto de cocos negativos.
Comox se divide 4 veces en 3 montones, es claro que podemos sumar 34 a cualquier soluci´on, y eso nos da la siguiente soluci´on entera. De hecho, podemos sumar o restar cualquier m´ultiplo de 34. Restando m´ultiplos de 34 obtendremos un n´umero infinito de respuestas negativas. Estas soluciones satisfar´an la ecuaci´on original, aunque no el problema original, porque s´olo tiene sentido un entero positivo.
Por ensayo y error, es f´acil encontrar una soluci´on negativa: −2. Veamos c´omo interpretar esto:
El primer marino se aproxima a la pila de−2 cocos, le da un coco positivo al mono (da igual si el mono recibe el coco antes o despu´es del reparto), y deja −3 cocos.
Hace tres montones y coge−1 coco, dejando 2 cocos negativos (el mismo n´umero que al principio). Los otros marinos hacen
exactamente lo mismo. Al final, cada marino tiene 2 cocos negativos, y el mono 4 cocos positivos. Para encontrar la menor soluci´on positiva, sumamos 34 a −2, y obtenemos x = 79, que es
la soluci´on que estamos buscando.
As´ı, el primer marinero cogi´o 26 y le dio uno al mono, dejando 52. El segundo cogi´o 17 y dio uno al mono, dejando 34. El tercero cogi´o 11, dio uno al mono y dej´o 22. Al d´ıa siguiente cada uno se llev´o 7 dando el sobrante al mono.
Generalizaci´on. Tenemos n marineros, cada uno de los cuales coge unan−´esima parte de los cocos. Si hay cuatro marineros,
empezamos con 3 cocos negativos y a˜nadimos 45. Si hay cinco marineros, empezamos con 4 cocos negativos y a˜nadimos 56, y as´ı sucesivamente. Formalmente, el n´umero original de cocos es (nn+1)−m(n−1), donde n es el n´umero de marineros y mel n´umero de cocos que se le dan al mono en cada divisi´on.
