COMBINATORIA. Regla del producto y Diagramas en árbol

COMBINATORIA

Regla del producto y Diagramas en árbol

1. Una persona se lleva para un viaje de fin de semana tres camisetas (una blanca, una roja y otra negra), dos pantalones (unos negros y otros azules) y dos pares de zapatos (unos de vestir y otros deportivos). ¿De cuántas formas diferentes puede combinar las tres prendas? SOLUCION: Zapatos vestir Pantalones negros Deportivos Zapatos vestir Camiseta blanca Pantalones azules Deportivos Zapatos de vestir Pantalones negros Deportivos Zapatos de vestir Camiseta roja Pantalones azules Deportivos Zapatos de vestir Pantalones negros Deportivos Zapatos de vestir Camiseta negra Pantalones azules Deportivos Hay 3 · 2 · 2 = 12 posibilidades

2. En un restaurante se ofrece un menú compuesto por tres platos: cuatro primeros

(ensalada, macarrones, judías verdes o sopa de cocido), tres segundos (filete de ternera a la plancha, merluza o escalope de ternera), y dos postres (naranja o natillas).

¿Cuántas elecciones distintas se pueden hacer? SOLUCION: Hay 4 · 3 · 2 = 24 menús diferentes

3. Una cierta marca de automóviles fabrica 6 modelos distintos de coches, en 12 colores distintos, con 5 motores distintos y 3 acabados diferentes. ¿Cuántos vehículos diferentes se pueden hacer?

SOLUCION: Hay 6 ·12 · 5 · 3 = 1080 tipos de coches diferentes

4. Entre las casas de Beatriz y Silvia hay 3 caminos posibles y entre la casas de Silvia y el colegio hay cuatro caminos posibles. ¿De cuántas formas puede ir Beatriz desde su casa hasta el colegio pasando a recoger a Silvia?

SOLUCION: Hay 3 · 4 = 12 caminos diferentes

5. Ana y María juegan un partido de tenis al mejor de 3 sets. ¿Cuántos posibles resultados han podido ocurrir?

SOLUCIÓN: Ana A-A Ana A-M-A Ana María María A-M-M Ana M-A-A Ana María M-A-M María María M-M

6. Juan y Andrés juegan un partido de tenis al mejor de 5 sets. ¿Cuántos posibles resultados han podido ocurrir?

SOLUCIÓN: Juan JJJ Juan JJAJ Juan JJAAJ Juan Andrés Andrés Andrés JJAAA Juan JAJJ Juan JAJAJ Juan Andrés Andrés JAJAA Juan JAAJJ Juan Andrés JAAJA Juan Andrés Andrés Andrés JAAA Andrés AAA Andrés AAJA Andrés AAJJA Andrés Juan Juan Juan AAJJJ Andrés AJAA Andrés AJAJA Andrés Juan Juan AJAJJ Andrés AJJAA Andrés Juan AJJAJ Andrés Juan Juan Juan AJJJ

Variaciones (sin repetición)

1. La contraseña de acceso a un ordenador está formada por 4 dígitos distintos, ¿Cuántas contraseñas se pueden formar?

SOLUCIÓN: V10, 4 = 10 · 9 · 8 · 7

Se trata de elegir 4 cifras distintas entre sí de las 10 posibles (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) de forma que importa el orden, es decir, las contraseñas 1234 y 1243 son dos contraseñas distintas.

2. En un grupo de 1º Bachillerato hay 25 alumnos y de, entre ellos se quiere elegir delegado y subdelegado. ¿Cuántas parejas distintas de estos cargos pueden darse si todos los alumnos de la clase se presentan a la elección?

SOLUCIÓN: V25, 2 = 25 · 24. Se trata de elegir 2 alumnos de entre los 25 alumnos de la

clase estableciéndose un orden entre ellos, delegado y subdelegado.

3. Si entre los 15 directivos de una empresa se debe elegir a un presidente, un secretario y un tesorero,¿Cuántas elecciones distintas se pueden dar?

SOLUCIÓN: V15, 3 = 15 · 14 · 13. Se trata de elegir 3 directivos de entre los 15 directivos de

la empresa estableciéndose un orden entre ellos, presidente, secretario y tesorero.

4. ¿Cuántas palabras, con o sin sentido, se pueden formar tomando 3 de las cinco letras de la palabra LAPIZ?

SOLUCIÓN: V5, 3 = 5 · 4 · 3

5. En un concurso participan 30 concursantes y se entregan tres premios: uno de 100, otro de 200 y otro de 300 euros. ¿ De cuántas formas se pueden repartir los premios? SOLUCIÓN: V30, 3 = 30 · 29 · 28

Variaciones con repetición

1. La contraseña de acceso a un ordenador está compuesta por cuatro dígitos cualesquiera. ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden formar?

SOLUCIÓN: VR10, 4 = 104. En este caso tenemos diez posibles cifras (del 0 al 9) para cada

uno de los cuatro dígitos de la contraseña ya que los cuatro dígitos no han de ser distintos entre sí y además influye el orden.

2. Un test consta de 20 preguntas con tres opciones de respuesta cada una de ellas (a, b y c). Si una persona responde al azar a todas las preguntas, ¿De cuántas maneras

diferentes puede hacerlo?

SOLUCIÓN: VR3, 20 = 320. Hay tres opciones para cada una de las 20 preguntas, se puede

repetir respuesta, obviamente, e influye el orden.

3. Si se lanza una moneda cinco veces al aire, ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener?

SOLUCIÓN: VR2, 5 = 25.

4. ¿Cuántas quinielas diferentes se pueden hacer? SOLUCIÓN: VR3, 15 = 315.

5. Utilizando las cifras impares (1, 3, 5, 7 y 9) se forman números de tres cifras no necesariamente distintas.

a) ¿Cuántos números se pueden formar en total? b) ¿Cuántos son menores que 700?

c) ¿Cuántos acaban en 9? d) ¿Cuántos empiezan por 3? SOLUCIÓN: a) VR5, 3 = 53,

b) La primera cifra ha de ser 1, 3 ó 5. Por tanto hay tres posibilidades para la primera cifra y cinco posibilidades para cada las otros dos dígitos: 3 VR5, 2 = 3 · 52,

c) VR5, 2 · 1 = 52,

d) 1 · VR5, 2 = 52

6. La contraseña de acceso a Internet de un usuario está formada por seis dígitos, elegidos entre las 26 letras del alfabeto y de las 10 cifras posibles. Si no se distingue entre

mayúsculas y minúsculas y, además, el primer carácter debe ser una letra, ¿de cuántas opciones distintas se dispone?

SOLUCIÓN: El primer dígito será una de las 26 letras y para cada uno de los cinco dígitos restantes hay 36 posibilidades.

Números factoriales

1. Calcula:

!

7

!

7

!

10

)

!

5

!

8

!

6

)

!

7

!

9

)

!

7

!

8

)

!

0

)

!

7

)

!

1

)

!

5

)

−

+

h

g

f

e

d

c

b

a

719

1

8

9

10

!

7

!

7

!

10

)

342

6

7

8

6

!

5

!

5

6

7

8

!

5

6

!

5

!

8

!

6

)

72

8

9

!

7

!

9

)

8

!

7

!

8

)

1

!

0

)

5040

!

7

)

1

!

1

)

120

1

2

3

4

5

!

5

)

=

−

⋅

⋅

⋅

=

−

=

⋅

⋅

+

=

⋅

⋅

⋅

+

⋅

=

+

=

⋅

=

=

=

=

=

=

⋅

⋅

⋅

⋅

=

h

g

f

e

d

c

b

a

SOLUCIÓN

2. Expresa el resultado de las siguientes operaciones como un número factorial :

! 3 ) ! 9 ) ! 10 ) ! 6 ) 7 , 10 1 , 10 10 , 10 4 , 10 ⋅ ⋅ ⋅ V d V c V b V a ! 10 ! 3 ) ! 10 ! 9 10 ! 9 ) 1 ! 10 ! 10 ! 10 ) ! 10 ! 6 7 8 9 10 ! 6 ) 7 , 10 1 , 10 10 , 10 4 , 10 = ⋅ = ⋅ = ⋅ = = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ V d V c V b V a SOLUCIÓN

Permutaciones (sin repetición)

1. La contraseña de acceso a un ordenador está formada por cinco cifras impares distintas entre sí. ¿Cuántas contraseñas distintas se pueden?

SOLUCIÓN: P5 = 5! Se trata de reordenar las cinco cifras impares para formar números con

cuatro cifras. Claramente no se puede repetir cifra e influye el orden.

2. Ocho amigas van al cine, ¿De cuántas formas podrían sentarse en 8 butacas consecutivas?

SOLUCIÓN: P8 = 8! Se trata de contar el número de formas de reordenar las ocho amigas.

Claramente no se puede repetir cifra e influye el orden.

3. El aparcamiento de une empresa dispone de 15 plazas numeradas del 1 al 15. Si en la empresa hay 15 empleados,

a) ¿De cuántas maneras distintas pueden distribuirse los aparcamientos?

b) Si el jefe ocupa siempre la primera plaza, ¿de cuántas formas se pueden repartir las restantes plazas?

c) Si, además, tres de los empleados, Juan, Alberto y Javier, se reparten entre ellos las tres últimas plazas, ¿de cuántas formas se pueden distribuir las plazas de aparcamiento?

SOLUCIÓN: a) P15 = 15!

b) P14 = 14! Sólo hay que repartir 14 plazas entre los 14 empleados

c) P11 · P3 = 11! · 3! La primera plaza es del jefe. Hay que repartir 11 plazas

entre 11 empleados, 3 plazas entre Juan, Alberto y Javier.

4. Con las letras de la palabra TRIUNFO ¿Cuántas palabras de siete letras distintas (con o sin sentido) se pueden formar?

SOLUCIÓN: P7 = 7!

5. Siete amigos quieren sentarse en un banco ¿de cuántas formas pueden hacerlo si Sergio y Eva quieren sentarse juntos?

SOLUCIÓN: Hay 6 formas de elegir dos asientos juntos de los siete que hay en el banco. Hay dos formas de sentar a Sergio y a Eva en esos dos asientos. Respecto a los cinco asientos restantes, hay 5!=120 formas de sentar a las otras cinco personas. En total: 6 · 2 · 5! posibilidades

6. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5 ¿Cuántos números pares de cinco cifras distintas se pueden formar?

SOLUCIÓN: La última cifra puede ser un 2 ó un 4. En cada caso hay 4!=24 formas de reordenar las cuatro cifras restantes para formar un número de cinco cifras distintas. En total: 2 · 4! = 28 posibles números.

Permutaciones con repetición

1. ¿Cuántas palabras de cuatro letras (con o sin sentido) se pueden formar con todas las letras de la palabra MALA?

SOLUCIÓN.- Se trata de reordenar las cuatro letras teniendo en cuenta que la A se repite

dos veces: 12 ! 1 !· 2 !· 1 ! 4 1 , 2 , 1 4 = = PR

2. Forma todos los números posibles con las cifras del número 112 123.

SOLUCIÓN.- Se trata de reordenar las seis cifras teniendo en cuenta que el 1 se repite tres veces y el 2 se repite dos veces: 60

! 1 !· 2 !· 3 ! 6 1 , 2 , 3 6 = = PR

3. Alicia ha decidido que la próxima semana va a preparar para comer tres días pescado, dos días carne y dos días pasta. ¿De cuántas formas pude programar los platos

anteriores?

SOLUCIÓN.- Se trata de reordenar las siete comidas teniendo en cuenta que el pescado se repite tres veces, la carne se repite dos veces y la pasta otras dos veces:

210 ! 2 !· 2 !· 3 ! 7 2 , 2 , 3 7 = = PR

4. Con las cifras del número 21.131, ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden formar?

SOLUCIÓN: 20 ! 1 !· 3 !· 1 ! 5 1 , 3 , 1 5 = = PR

5. En una estantería hay colocados 5 novelas, dos libros de poesía, y 3 de ciencia ficción. ¿De cuántas maneras distintas pueden ordenarse?

SOLUCIÓN: 28 ! 3 !· 2 !· 5 ! 8 3 , 2 , 5 8 = = PR

6. ¿Cuántas palabras se pueden formar con las letras de la palabra PALABRA?

SOLUCIÓN: 840 ! 3 ! 7 1 , 1 , 1 , 3 , 1 7 = = PR

7. ¿Cuántas palabras de las obtenidas en el ejercicio anterior llevan las tres a’s juntas? SOLUCIÓN: Hay 5 formas de elegir tres lugares juntos donde colocar las a’s. Para cada una de estas formas hay 4!=24 formas de reordenar las letras PLBR. En total: 5 · 4! = 120.

Números combinatorios

1. Calcula: 5 , 10 1 , 12 12 , 12 5 , 12 ) 11 12 ) ) ) 0 12 ) 7 12 ) ) C g f C e C d c b C a ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 252 ! 5 !· 5 ! 10 5 10 ) 12 ! 1 !· 11 ! 12 11 12 ) 12 ! 11 !· 1 ! 12 1 12 ) 1 ! 0 !· 12 ! 12 12 12 ) 1 ! 12 !· 0 ! 12 0 12 ) 792 ! 5 !· 7 ! 12 7 12 ) 792 ! 7 !· 5 ! 12 5 12 ) 5 , 10 1 , 12 12 , 12 5 , 12 = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = C g f C e C d c b C a SOLUCIÓN 2. Calcula: 4 3 , 7 2 , 9 2 , 9 7 3 , 10 ! 7 ) ) ! 3 ) P C c V C b P C a ⋅ ⋅ ⋅

6 ! 3 ! 4 !· 7 ! 4 !· 3 !· 7 ! 7 ) 2 1 8 · 9 !· 7 · 2 ! 7 · 8 · 9 8 · 9 !· 7 !· 2 ! 9 ) ! 10 ! 3 !· 7 · ! 7 !· 3 ! 10 ! 3 ) : 4 3 , 7 2 , 9 2 , 9 7 3 , 10 = = = ⋅ = = = = = ⋅ ⋅ P C c V C b P C a SOLUCIÓN

3. Obtén el valor de x en las siguientes expresiones:

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ x g x f x e x d x c x b x a 34 26 33 25 33 ) 6 6 15 5 15 ) 6 19 18 5 18 ) 17 39 17 38 38 ) 38 38 ) 1 21 ) 9 15 15 ) 26 ) 16 ) 6 ) 16 ) 37 2 ) 0 21 ) 6 9 15 9 ) : = = = = = = = = = − = = x g x f x e x d x ó x c x ó x b x ó x a SOLUCIÓN

4 , 3 , 2 , 2 2 , 2 , 2 5 , 4 , 6 , 5 , 2 , 1 5 , 17 , 17 2 , ) 2 ) 30 ) 3 5 ) 3 2 3 5 ) ) ) x x x x x x x x x x x x x x C C V g x C C f C V e C C d x C c C C b P V a = + + = = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + = = = + + 8 4 120 30 4 ! 5 ) 4 )( 3 )( 2 )( 1 ( ! 5 )· 3 )( 2 )( 1 ( ) 15 ) 5 ( 3 30 )! 6 !·( 5 · 6 ! · 3 )! 6 )·( 5 !·( 5 ! · 5 )! 6 !·( 6 ! 3 )! 5 !·( 5 ! 5 ) 3 ) 2 ( 6 30 )! 1 ( 6 )! 1 )·( 2 ( 3 )! 1 ·( 2 )! 1 ·( 5 )! 1 !·( 3 )! 2 ( 3 )! 1 !·( 2 )! 1 ( 5 ) 6 17 5 ) 3 ; 1 2 )! 2 )·( 1 ·( ) 1 ( ) : 5 , 4 , ₌ − = − = − − − − − − − = = − = − = − − − = − = + = − + + = − + − + = − + = = + + = = − − − = − x x x x x x x x x x x x C V e x x x x x x x x x x x d x x x x x x x x x x x c x x x b x x x x x x x a SOLUCIÓN x x ) ( 1 10 ; 0 10 9 ; 6 5 8 4 24 ) 3 )( 2 ( ) 2 ( 4 24 ; 24 ) 3 )( 2 )( 1 ( 6 ) 2 )( 1 ( ) 1 ( ) 0 0 2 2 ) 1 ( 2 ) 1 2 ( 2 ) 2 2 2 2 2 2 válida es no x y x x x x x x x x x x x x x x x x x x g ecuación la de solución es x de valor Cualquier x x x x x x x x x x f − = = = − − + − = − + − − = − + − − − = − − + − = + − = − + − = −

Combinaciones (sin repetición)

1. Seis compañeros Ana, Beatriz, María, Paula, Alberto y Carlos tienen que hacer un trabajo por parejas. ¿Cuántas parejas distintas pueden formar?

SOLUCIÓN: 15 2 6 2 , 6 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

C parejas distintas. Se trata de elegir 2 de las seis personas de

manera que el orden no importa. Esto es, la pareja Ana y Beatriz es la misma pareja que Beatriz y Ana y se contará como una única posibilidad.

2. Carmen ha decidido preparar tres días a la semana pescado para comer. ¿De cuántas formas puede programar el menú semanal?

SOLUCIÓN: 35 3 7 3 , 7 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = C

3. En la clase de Educación Física se va a montar un equipo de baloncesto de 7 jugadores (cinco titulares y dos de refuerzo). Si hay 20 alumnos disponibles,

a) ¿De cuántas formas se puede realizar la elección de los 7 jugadores?

b) Si el profesor considera que Fernando y Carlos deben participar, ¿de cuántas formas se puede formar el equipo?

SOLUCIÓN: a) 77520 7 20 7 , 20 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = C equipos distintos b) 8568 5 18 5 , 18 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = C equipos distintos

4. En cierta liga juvenil participan 14 equipos de fútbol en total. ¿Cuántos partidos se disputarán en la primera fase (si cada equipo juega una vez con cada uno de los demás equipos? SOLUCIÓN: 91 2 14 2 , 14 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = C partidos

5. A una reunión de vecinos asisten 7 hombres y 9 mujeres. Si de entre ellos debe elegirse un comité de 5 personas. ¿Cuántos comités se pueden formar con las siguientes

condiciones?

a) En el comité haya dos hombres y tres mujeres b) No hay ninguna restricción

c) Habrá mayoría de mujeres d) Habrá mayoría de hombres

SOLUCIÓN: a) C_7,2·C_9,3 =21⋅84=1764 comités distintos b) 4368 5 16 5 , 16 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = C comités distintos c) C_7,2·C_9,3 +C_7,1·C_9,4 +C_7,0·C_9,5 =1764+882+126=2772 d) C7,3·C9,2 +C7,4·C9,1+C7,5·C9,0 =1260+315+21=1596

6. ¿Cuántos productos diferentes de tres factores distintos pueden hacerse con los cinco primeros números primos?

SOLUCIÓN: 10 3 5 3 , 5 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

C productos distintos. Efectivamente se trata de una combinación

sin repetición porque los tres factores han de ser distintos y además el orden de los factores no influye en el resultado del producto.

7. De los productos obtenidos en el ejercicio anterior, ¿Cuáles son múltiplos de tres?

SOLUCIÓN: 6 2 4 2 , 4 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

C . Está claro que uno de los tres factores ha de ser el 3 y se

trataría de elegir los otros dos factores entre los números primos 2, 5, 7 y 11.

8. Para ingresar en una universidad un estudiante debe realizar una prueba con diez preguntas: 5 de Matemáticas y 5 de Física.

a) Si cada alumno debe resolver 6 de las 10 preguntas, ¿de cuántas maneras diferentes puede contestar?

b) Si un alumno decide responder a cuatro cuestiones de Matemáticas y a dos de Física, ¿de cuántas opciones dispone en total?

c) Si es obligatorio responder al menos tres preguntas de Matemáticas, ¿Cuántas opciones hay que cumplan estas instrucciones?

SOLUCIÓN: a) 210 6 10 6 , 10 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = C b) C5,4 ⋅C5,2 =5⋅10=50 c) C_5,3⋅C_5,3 +C_5,4⋅C_5,2 +C_5,5⋅C_5,1 =100+50+5=155

9. En el consejo escolar debe haber tres representantes de los alumnos. Si está establecido que uno de estos representantes ha de ser delegado de un curso de bachillerato y los otros dos, delegados de un curso de ESO, ¿Cuántas posibles elecciones existen si hay 10 delegados en bachillerato y 30 en ESO?

SOLUCIÓN: C_10,1⋅C_30,2 =10⋅435=4350

10. La contraseña de acceso a Internet de un usuario está formada por seis dígitos, elegidos entre las 26 letras del alfabeto y de las 10 cifras posibles. Si no se distingue entre

mayúsculas y minúsculas y, además, tres caracteres deben ser letras, ¿de cuántas opciones distintas se dispone?

SOLUCIÓN: C6,3 ⋅VR26,3⋅VR10,3 =20⋅263⋅103. Primero elegimos tres de los seis dígitos donde colocaremos las tres letras. Una vez hecho esto, elegimos tres letras (no necesariamente distintas) de las 26 letras y, esta vez, el orden influye. Por último, elegimos los tres números. 11. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 10 lados?

SOLUCIÓN: C_10,2 −10=45−10=35diagonales. Calculamos cuantos segmentos se pueden trazar en el polígono que pasen por dos vértices. Restamos el número de lados del polígono y habremos obtenido el número de diagonales.

SOLUCIÓN: C20,2 −20=190−20=170diagonales

13. De una baraja se reparten cuatro cartas ¿cuántas posibles reparticiones se pueden hacer? SOLUCIÓN: 91390 4 40 4 , 40 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = C

14. Un club de fútbol posee 3 porteros,7 defensas, 6 medios y 4 delanteros. El entrenador quiere formar un equipo de la forma 4-4-3. ¿Cuántas alineaciones diferentes puede realizar?

Combinaciones con repetición

1. Justifica que haya exactamente 28 fichas de dominó.

SOLUCIÓN: 28 2 8 1 7 2 7 7 2 , 7 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = +

C . Calculamos el número de fichas formadas por

dos cifras distintas (elegidas entre las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y sumamos las siete fichas dobles. Esto mismo se puede calcular como 28

2 8 2 1 2 7 2 , 7 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = CR

2. Si inventáramos un dominó con fichas en las que pudiera aparecer una cifra del 0 al 9, ¿Cuántas fichas habría?

SOLUCIÓN: 55 2 11 1 10 2 10 10 2 , 10 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = +

C . Calculamos el número de fichas formadas

por dos cifras distintas y sumamos las diez fichas dobles. Esto mismo se puede calcular

como 55 2 11 2 1 2 10 2 , 10 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = CR

3. ¿De cuántas formas se pueden distribuir 15 pelotas iguales en 5 cajones?

SOLUCIÓN: 3876 15 19 15 1 15 5 15 , 5 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − =

CR . Obsérvese que claramente se va a repetir

cajón y que el orden no importa porque las pelotas son todas iguales.

4. Nueve consejeros deben elegir un presidente. Cada consejero vota a un solo candidato de los cuatro existentes. ¿Cuántos posibles resultados se pueden obtener?

SOLUCIÓN: 220 9 12 9 1 9 4 9 , 4 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − =

CR . Obsérvese que claramente se va a repetir

candidato y que el orden no influye ya que sólo importa el número de votos de cada candidato y no quién a votado a quién.

5. En una frutería hay ocho variedades de fruta. ¿De cuántas formas se puede elegir un total de diez piezas de fruta?

SOLUCIÓN: 19448 10 17 10 1 10 8 10 , 8 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = CR

6. Una confitería fabrica cuatro tipos de bombones, que se empaquetan en estuches de doce unidades. Si consideramos que dos estuches son iguales si llevan el mismo

número de bombones de cada uno de los tipos ¿Cuántos estuches diferentes se pueden formar? SOLUCIÓN: 455 12 15 12 1 12 4 12 , 4 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − =

CR Puesto que no importa el orden en el que están

El binomio de Newton

1. Desarrolla las siguientes potencias utilizando el binomio de Newton:

(

)

(

)

6 6 5 5 2 3 ) 2 3 ) 2 ) 2 ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ − + y x d y x c y x b y x a SOLUCIÓN:

(

)

64 32 15 16 135 8 540 4 1215 2 1458 729 2 3 ) 64 32 15 16 135 8 540 4 1215 2 1458 729 2 ) 3 ( 6 6 2 ) 3 ( 5 6 2 ) 3 ( 4 6 2 ) 3 ( 3 6 2 ) 3 ( 2 6 2 ) 3 ( 1 6 2 ) 3 ( 0 6 ) 10 40 80 80 32 2 ) 10 40 80 80 32 ) 2 ( 5 5 ) 2 ( 4 5 ) 2 ( 3 5 ) 2 ( 2 5 ) 2 ( 1 5 ) 2 ( 0 5 ) 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 6 0 5 1 4 2 3 3 2 4 1 5 0 6 5 4 3 2 2 3 4 5 5 5 4 3 2 2 3 4 5 5 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 5 y y x y x y x y x y x x y x d y y x y x y x y x y x x y x y x y x y x y x y x y x c y xy y x y x y x x y x b y xy y x y x y x x y x y x y x y x y x y x a + − + − + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ + + + + + + = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − + − = − + + + + + = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

2. Demuestra mediante el desarrollo de

(

1

+

1

)

m que

m

m

m

m

m

m

2

...

2

1

0

⎟⎟

_⎠

=

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

SOLUCIÓN: ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = + = − − m m m m m m m m m m _{m m m m} m m ... 2 1 0 1 1 ... 1 1 0 1 1 1 1 1 0 ) 1 1 ( 2 0 1 1 2 2 0

EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE COMBINATORIA

En estas hojas se presenta una colección variada de ejercicios y problemas de combinatoria. Los ejercicios están mezclados de forma que no se prevea si se trata de variaciones, permutaciones o combinaciones. Todos los ejercicios deben ser razonados. No basta con dar sólo el resultado.

1. ¿Cuántas palabras diferentes de tres letras pueden formarse con las letras de la palabra COSA, sin que se repita ninguna letra? Una vez calculado el número, escríbelas todas ordenadamente.

2. Calcula cuántas palabras diferentes de cuatro letras distintas pueden formarse con las letras de la palabra MUSA. Después escríbelas ordenadamente.

3. ¿Cuántos subconjuntos distintos de tres elementos pueden formarse en un conjunto con 8 elementos distintos entre sí?

4. Calcular el valor de m para que Vm,3 = 2 Vm,2

5. Hallar el valor de m para que se verifique Vm,2 + Vm-1,2 + Vm-2,2 = 62

6. Escribir como cociente de números factoriales las siguientes expresiones: a) 11 x 10 x 9

b) (x+1) x (x-1) c) (p-2) (p-3) (p-4)

7. Resolver la ecuación Px-1 = 56 Px-3

8. Resolver la ecuación Vx,2 - 5 P3 = 9x - 6

9. Hallar x sabiendo que Cx,x-2 = 10

10. Resolver la ecuación 3 Cx,4 = 5 Cx,2

11. En una carrera en la que participan 10 caballos existen dos tipos de apuesta: en la primera hay que acertar quién va a quedar primero, quién segundo y quién tercero; en la segunda hay que acertar cuáles van a ser los cuatro primeros caballos en llegar, pero no su clasificación. ¿Cuál de los dos tipos de apuesta crees que es más sencilla?

12. ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas pueden escribirse con las cifras 2, 4, 6, 8? 13. Dibuja una circunferencia y marca sobre la misma doce puntos. Uniendo parejas de

esos puntos ¿Cuántos pentágonos distintos se podrían formar?

14. Con las cifras 0, 2, 4, 6 y 8 ¿cuántos números distintos de tres cifras, todas ellas diferentes, pueden formarse?

15. ¿Cuántos números mayores que 4100 se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4 sin que se repita ninguna?

16. Recordando que una diagonal de un polígono convexo es el segmento que une dos vértices no consecutivos ¿cuántas diagonales se pueden trazar en un octógono convexo?

17. Averiguar cuántas guardias de cinco personas se pueden programar con 14 soldados, con la condición de que el más antiguo de ellos ha de participar en todas.

18. Calcular la suma de todos los números de 4 cifras distintas que se pueden formar con las cifras 1, 3, 5, 7.

19. En una fábrica hay varios centros de almacenamiento, cada uno de los cuales está unido a los demás por una cinta transportadora. Calcula el número de centros de la fábrica si se sabe que el número de cintas transportadoras es 66.

20. ¿Cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con las cifras 2, 3, 5, 7, 8, teniendo que ser la primera cifra par?

21. Hallar cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con las cifras 2, 3, 4, 5, 6, 7 que estén comprendidos entre 400 y 600.

22. Calcula la suma de todos los números de cuatro cifras significativas (distintas de cero), todas ellas pares y diferentes.

23. Se tienen nueve puntos en un plano. Cuatro de ellos están alineados y los restantes están dispuestos de forma que no hay nunca 3 alineados. ¿Cuántos triángulos pueden formarse que tengan sus vértices sobre esos 9 puntos? ¿Cuántas rectas distintas determinan esos puntos?

24. Halla la suma de todos los números de cinco cifras diferentes que pueden formase con las cifras 0, 1, 2, 3, 4 (pudiendo ser la primera cifra un cero).

25. ¿Cuántas palabras (con sentido o no) pueden formarse que tengan exactamente las mismas letras de la palabra CASTO y que empiecen y terminen por vocal?

26. En un club de fútbol hay 23 jugadores, de los que 3 son porteros. ¿Cuántas alineaciones diferentes puede hacer el entrenador si cualquiera de los jugadores de campo puede jugar como defensa, medio o delantero?

27. ¿Cuántos equipos de baloncesto de 5 jugadores cada uno pueden hacerse en un club de 11 jugadores, con la condición de que los jugadores A, B y C no pueden estar simultáneamente en el mismo equipo?

28. Averiguar cuántos números mayores que 200 y menores que 700 pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sin que tengan cifras repetidas. Responde a la misma cuestión en el caso de que las cifras se puedan repetir.

29. ¿Cuántas quinielas de fútbol habría que hacer para tener la certeza de tener una de 14 aciertos? (No tenemos en cuenta la opción del pleno al 15). ¿Cuántas apuestas habría que rellenar en la Lotería Primitiva para tener la certeza de tener una de 6 aciertos? ¿Cuántos números de la Lotería Nacional tendría que adquirir para estar seguro de que me toca el gordo? Averigua los precios actuales de cada una de esas apuestas y explica por qué existe esa variedad.

30. Con las letras de la palabra BRAVO, ¿cuántas ordenaciones distintas pueden hacerse de forma que no haya dos vocales juntas?

31. Suponemos ordenadas en forma creciente todas las permutaciones que pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 5, 8, 9 sin que se repita ninguna. ¿Qué lugar ocupará la permutación 598132?

32. ¿Cuántos puntos de intersección producen 8 rectas coplanarias, sabiendo que dos de ellas son paralelas?

33. ¿Cuántas palabras que contengan dos consonantes y dos vocales (distintas entre sí) pueden formarse con cinco consonantes y cuatro vocales?

34. Resolver la ecuación 2 9 2 , 3 , ₌ x x V VR

35. ¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse con las cifras 4, 5, 6 y 7? ¿Cuántos de esos números terminan en 5? Calcula la suma de todos los números obtenidos en las dos preguntas anteriores.

36. Se suponen ordenadas en sentido creciente todas las permutaciones posibles con las cifras 1, 2, 3, 5, 7, y 8 ¿Qué lugar ocupará la permutación 731825?

37. Con, exactamente, las letras de la palabra FRANCISCO ¿cuántas palabras pueden formarse con la condición de que empiecen por N y terminen por una consonante?

38. De cierto número de rectas coplanarias se sabe que no hay tres de ellas que concurran en el mismo punto y no hay ninguna pareja de rectas paralelas. Esas rectas producen 45 puntos al cortarse. ¿De cuántas rectas estamos hablando?

39. ¿Cuántas multiplicaciones distintas de tres factores distintos con una cifra cada uno pueden hacerse con la condición de que el resultado debe ser distinto de cero? ¿Y si quitamos la condición de que los factores sean distintos?

40. Comprobar si la siguiente igualdad es correcta: _⎟⎟

⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 1 1 n m n m n m

41. ¿Cómo comprobarías, sin hallar sus valores, que los números combinatorios siguientes

son iguales? _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 2886 6483 3597 6483 42. Resolver la ecuación _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 9 17 17 x

43. Calcula el valor de m para que se verifique la siguiente igualdad: 19 2 1 2 2 1 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +m m m

44. Resolver la ecuación _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 1 16 1 16 x x 45. Resolver la ecuación _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − x x x x 2 2 1 2 2 7 46. Calcula el valor de _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 524 525 523 525 47. Resuelve la ecuación 1 2 5 2 1 0 2 + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛x x x x

48. ¿Cuántos productos diferentes pueden formarse con los números 7, 9, 11, 13 y 17 tomados de tres en tres?

49. Con seis pesas de 1, 2, 5, 10, 20, y 50 kg ¿Cuántas pesadas diferentes pueden obtenerse tomándolas de tres en tres?

50. ¿Cuántos números enteros distintos mayores que 10 y menores que 100 pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8?

51. ¿Cuántas palabras, con significado o no, pueden formarse con todas las letras de la palabra "problema"?

52. ¿Cuántos números distintos de cinco cifras diferentes pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 que sean menores que 54000?

53. Un depósito de agua tiene 5 caños de desagüe, que arrojan 1, 3, 5, 10 y 20 litros por minuto respectivamente. Abriendo indistintamente cuatro de estos caños, ¿en cuántos tiempos diferentes se puede desaguar el depósito?

54. Se tienen 14 letras diferentes. ¿De cuántas en cuántas habrá que tomarlas para que el número de sus combinaciones sea el mayor posible?

55. ¿Cuántas sumas diferentes de dos sumandos se pueden obtener con los números 1, 3, 5, 11, 21 y 41?

56. Una clase tiene 24 alumnos y el profesor pregunta cada día la lección a dos de ellos. El profesor desea que no se repita nunca la misma pareja ¿Durante cuánto tiempo lo podrá conseguir?

57. A una persona se le sirven en cada comida cuatro platos, de los nueve que son de su agrado. ¿Cuántas comidas diferentes puede hacer esa persona?

58. En una fila de cine de 10 butacas, ¿cuántas posiciones diferentes pueden ocupar tres individuos?

59. ¿Cuántas palabras de dos vocales y dos consonantes pueden formarse con cuatro consonantes y dos vocales, con la condición de que no pueden figurar dos vocales seguidas?

60. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 10 personas alrededor de una mesa? 61. En una carrera de seis caballos, ¿cuántas clasificaciones distintas pueden producirse si

se supone que no hay ningún tipo de empate?

62. El número de variaciones de n objetos tomados de seis en seis es 720 veces mayor que el de combinaciones de estos objetos tomados de cuatro en cuatro. ¿De cuántos objetos se trata?

63. La diferencia entre el número de variaciones de n objetos tomados de dos en dos y el de combinaciones de esos mismos objetos tomados también de dos en dos es 190. ¿Cuántos objetos hay?

64. Con las cifras del número 8.752.436 ¿cuántos números distintos de tres cifras se pueden formar no repitiendo ninguna? ¿y repitiendo? ¿Cuántos de esos números son mayores que 500 (en ambos casos)?

65. Se tienen los números 5874 y 12369. ¿Cuántos números enteros pueden formarse que contengan dos cifras no repetidas del primero y tres cifras no repetidas del segundo? La misma cuestión pudiendo repetirse las cifras. La misma cuestión no repitiendo las cifras del primero pero sí las del segundo.

66. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 ¿cuántos números distintos de cinco cifras se pueden formar con la condición de que el 3 ocupe siempre la cifra de las centenas?

67. ¿Cuántos números naturales hay entre 1000 y 2000 que no tengan ninguna cifra repetida?

68. Halla la suma de todas las posibles combinaciones que pueden hacerse con 10 letras tomadas de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, …, de ocho en ocho y de nueve en nueve.

69. Dos amigos, Ana y Marcos, participan en un torneo de ajedrez cuyas condiciones son: obtiene el trofeo el primero que gane dos partidas consecutivas o complete tres victorias. Representa todas las posibilidades en un diagrama en árbol.

70. ¿De cuántas formas podemos meter 10 bolas en una bolsa si tenemos para elegir entre bolas blancas y negras?

71. Con las cifras 000112, ¿cuántos números de seis cifras significativas pueden formarse? 72. ¿Cuántos números de 5 cifras distintas se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, 9 de forma que las tres primeras cifras sean impares y las dos últimas pares?

73. ¿Cuántas formas hay de elegir cinco consonantes en el alfabeto castellano? Utilizando las cinco vocales, ¿cuántas palabras de 10 letras se pueden formar sin repetir letra y de modo que todas empiecen por consonante y acaben por vocal?

74. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en un banco 3 españoles, 2 portugueses, 4 franceses y 3 alemanes, de forma que los de la misma nacionalidad estén juntos?

75. Resuelve la ecuación: VRx,2 −Vx,2 =17

76. Resuelve la ecuación:

P_x −7P_x−1 =3P_x−1 −P_x

77. ¿De cuántas formas se pueden colocar cuatro exámenes en cinco días con la condición de que cada examen sea un día distinto? ¿Cuántas formas habría si no existiera tal restricción?

78. El equipo directivo de una empresa está formado por ocho directivos. De entre ellos se debe elegir un presidente y un vicepresidente primero y un vicepresidente segundo:

a) ¿De cuántas formas se puede hacer?

b) Si suponemos que el accionista mayor, Pedro, debe ocupar alguno de los tres cargos ¿cuántas elecciones distintas se pueden llevar a cabo?

c) Si suponemos que los dos mayores accionistas, Pedro y María deben ocupar dos de los tres cargos ¿cuántas elecciones distintas se pueden llevar a cabo?

79. Si en un grupo de 18 personas todos se saludan estrechándose la mano, ¿cuántos saludos se producen en total?

80. Las nuevas matrículas de los vehículos españoles se han adaptado a la normativa de la UE y constan de cuatro números y tres consonantes. ¿Cuántas matrículas diferentes se pueden asignar con este criterio?

81. De una baraja española se reparten cinco cartas. ¿Cuántas manos distintas se pueden dar según las condiciones explicadas en cada apartado?

a) Sin restricciones b) Aparecen cuatro reyes

c) Hay dos reyes y tres caballos d) Hay al menos un rey

SOLUCIONES 1. 4!=24 2. 4!=24 3. 8·7·6=336 4. m = 4 5. m(m-1) + (m-1)(m-2) + (m-2)(m-3) = 62; m = 6 6. )! 5 ( )! 2 ( ) )! 2 ( )! 1 ( ) ! 8 ! 11 ) − − − + p p c x x b a 7. (x-1)!=56 (x-3)!; (x-1)(x-2)=56; x = 9 8. x(x-1) – 30 = 9x – 6; x =12 9. x(x-1)=20; x = 5 10. ; 7 ! 2 ) 1 ( 5 ! 4 ) 3 )( 2 )( 1 ( 3 − − − ₌ − ₌ x x x x x x x

11. Es más fácil de acertar con el segundo tipo de apuesta, ya que hay 210 4 10 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ apuestas posibles, mientras que con el primer tipo de apuesta hay 10 · 9 · 8=720 posibilidades.

12. 4!=24 13. 792 5 12 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ pentágonos posibles

14. 4·4·3=48, teniendo en cuenta que el número no puede empezar por cero. 15. 1·3!=6, teniendo en cuenta que el número ha de empezar por cuatro. 16. 8 20 2 8 = − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 17. 1001 4 14 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 18. 1+3+5+7=16

Sumando la última cifra de todos los números de cuatro cifras se obtendrá 16·3!=96. La última cifra de la suma será un 6. Al sumar las segundas cifras (cifras de las decenas) se obtendrá 16·3!+9=105. La segunda cifra de las suma será un cinco. Al sumar las terceras cifras (cifras de las centenas) se obtendrá 96+10=106. La tercera cifra de la suma será un 6. Al sumar las cuartas cifras se obtendrá 96+10=106. Las cifras sexta, quinta y cuarta de la suma serán 106. La suma es 106656.

19. 66; 12 2⎟⎟_⎠= = ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ x x 20. 2·4·3 = 24 21. 2·5·4 = 40 22. 2+4+6+8=20;

Sumando la última cifra de todos los números de cuatro cifras se obtendrá 20·3!=120. Siguiendo el razonamiento del ejercicio 18 obtendremos que la suma es 133320.

23. Se podrán trazar 1 5 5 5 5 31 2 5 = + + + + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ rectas y 5 5 5 25 3 5 = + + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ triángulos. 24. 2 666 640 25. 2·3!=12 26. 554268 1 3 · 10 20 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 27. 56 210 168 434 3 8 2 3 4 8 · 3 5 8 = + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

; (nº de equipos en los que ninguno de los 5 jugadores es A, B o C) + (nº equipos en los que un jugador es A o B o C) + (nº de equipos en los que dos de los jugadores son dos de A, B, C).

28. Sin repetición: 5·6·5=150. Con repetición: 5·7·7=245.

29. 13983816; : 100000 6 49 : Pr ; 969 782 4 3 : 14 imitiva Once Quiniela _⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =

30. 5!−2·4·3!=72 (Número total de palabras con las cinco letras) – (Número de palabras que tienen las dos vocales juntas)

31. 3·5!+4·4!+3·3!+2=476; (nº de números cuya primera cifra es 1, 2 ó 3) + (nº de números cuya primera cifra es un cinco y cuya segunda cifra es menor que nueve) + (nº de números cuyas dos primeras cifras son 59 y su tercera cifra es menor que ocho)+ (dos, que corresponde a los números 598123 y 5938132).

32. A lo sumo producirán 27 puntos de intersección. 33. 4! 1440 2 4 2 5 = ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

34. x = 3 35. a) 45; b) 44; c) Suma(a)=(4+5+6+7)⋅44⋅11111=62577152; Suma(b)=62572800 36. 4·5!+2·4!+2·2+2=534 37. 1 7! 10080 5040 15120 ! 2 ! 7

4⋅ + ⋅ = + = ; (nº de palabras que empiezan por N y acaban por consonante distinta de C)+(nº de palabras que empiezan por N y acaban por C)

38. x = 10 39. 165 3 1 3 9 ) ; 84 3 9 ) _⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ b a 40. Verdadero

41. Basta comprobar que 6483 = 3597 + 2886 42. x = 9 ó x = 17 – 9 =8 43. m = 4 44. x = 8 45. x = 4 46. 2 525 526 2 526 524 526 ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ 47. x = 6

48. 10 productos de tres factores 49. 20 pesadas con tres presas 50. 8·8 = 64 números

51. 8! = 40320 palabras

52. 4·4!+1·3·3!=114 números; (nº de números cuya primera cifra es menor que cinco)+(nº de números cuya primera cifra es un 5)

53. 5 tiempos diferentes 54. De 7 en 7

55. 15 sumas diferentes

56. 276 parejas distintas. Deberán transcurrir 276 días para que vuelva a tocar la misma pareja de alumnos. 57. 126 comidas diferentes 58. 10·9·8=720 posibles posiciones 59. 4! 3 2 2! 132; 2 2 2 4 = ⋅ ⋅ − ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛

(nº de palabras que se pueden formar con 2 consonantes y 2 vocales) – (nº de esas palabras que tienen dos vocales seguidas)

60. 9! = 362880 61. 6! = 720 62. ; 10 4 720 6 , ⎟⎟ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ = n n V_n 63. 190; 20 2 2 , ⎟⎟= = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − n n V_n

64. a) 7·6·5 = 210; b) 7·7·7 = 343; c) 4·6·5 = 120 (sin repetir cifras), 4·7·7 =196 (repitiendo)

65. 2!5 15000 2 4 3 5 ) ; 000 20 5 4 3 5 ) ; 7200 ! 5 3 5 2 4 ) 2 3 _⎟⎟⋅ ⋅ 3 = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ c b a

66. Si las cifras no deben ser distintas entre sí, 625. Si las cifras han de ser distintas entre sí, 24

68. 1012 10 10 1 10 0 10 210 _⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 69. Ana Ana Ana Ana Marcos Marcos Ana Marcos Marcos Marcos Marcos Marcos Marcos Ana Ana Marcos Ana Ana 70. 55 2 11 10 , 2 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = CR 71. PR₅3,11+PR₅3,2 =30;

(nº de números que empiezan por 1)+(nº de números que empiezan por 2) 72. V_5,3⋅V_4,2 =720 73. 8! 26544672000 4 4 4 21 5 22 ) ; 26334 5 22 ) _⎟⎟⋅ = ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⋅ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ b a 74. 4!·(3!·2!·4!·3!) = 41472 75. x = 17 76. x = 5 77. a) V_5,4 =120; b) VR_5,4 =54 =625 78. a) V8,3 =336; b) 3⋅V7,2 =252; c) 3⋅2⋅6=36 79. 153 2 18 2 , 18 ⎟⎟= ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = C 80. 104⋅213 =92610000 81. 016 281 235620 42840 2520 36 4 36 1 4 3 36 2 4 2 36 3 4 1 36 4 4 ) ; 24 3 4 2 4 ) ; 36 1 36 ) ; 658008 5 40 ) = + + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ d c b a