Funciones absolutamente continuas (un tema del curso “An´alisis real”)

Funciones absolutamente continuas

(un tema del curso “An´

alisis real”)

Dante Arroyo S´anchez, Sof´ıa Cano Flores, Egor Maximenko.

http://esfm.egormaximenko.com

Instituto Polit´ecnico Nacional Escuela Superior de F´ısica y Matem´aticas

M´exico

Objetivos:

definir el concepto de funciones absolutamente continuas en un intervalo cerrado [a, b]; mostrar que las funciones Lipschitz continuas son absolutamente continuas;

mostrar que las funciones absolutamente continuas son continuas; mostrar las funciones absolutamente continuas son de variaci´on acotada; mostrar que las integrales indefinidas de funciones Lebesgue integrables son absolutamente continuas.

Prerrequisitos:

continuidad de la integral de Lebesgue respecto al conjunto de integraci´on; propiedades de la variaci´on total;

Definici´

on.

Una funci´on F : [a, b] → C se llama absolutamente continua si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que

para toda familia finita ((cj, dj))nj=1 de subintervalos disjuntos de [a, b]

que satisface n X j=1 (dj − cj) < δ, se cumple la desigualdad: n X j=1 |F (dj) − F (cj)| < ε.

Recordatorio (funciones Lipschitz continuas).

Sean (X , dX), (Y , dY) espacios m´etricos, y f : X → Y . Se dice que la funci´on f es Lipschitz

continua si existe un coeficiente L ≥ 0 tal que para cualesquiera a, b en X , se cumple que: dY(f (a), f (b)) ≤ LdX(a, b).

Proposici´on (cada funci´on Lipschitz continua es absolutamente continua)

Lip([a, b]) ⊆ AC([a, b]).

Demostraci´on. Supongamos que F ∈ Lip([a, b]), L ≥ 0. Luego,

∀x , y ∈ [a, b] |F (x ) − F (y )| ≤ L|x − y |.

Sea ε > 0. Pongamos δ := ε/L.

Si (c1, d1), . . . , (cn, dn) son intervalos disjuntos a pares en [a, b] y n P j=1 (dj − cj) < δ, entonces n X j=1 |F (dj) − F (cj)| ≤ n X j=1 L(dj− cj) < Lδ = ε.

Proposici´on (cada funci´on Lipschitz continua es absolutamente continua)

Lip([a, b]) ⊆ AC([a, b]).

Demostraci´on. Supongamos que F ∈ Lip([a, b]), L ≥ 0. Luego,

∀x , y ∈ [a, b] |F (x ) − F (y )| ≤ L|x − y |.

Sea ε > 0. Pongamos δ := ε/L.

Si (c1, d1), . . . , (cn, dn) son intervalos disjuntos a pares en [a, b] y n P j=1 (dj− cj) < δ, entonces n X j=1 |F (dj) − F (cj)| ≤ n X j=1 L(dj− cj) < Lδ = ε.

Proposici´on

AC([a, b]) es un espacio vectorial.

Demostraci´on.Mostremos que se cumplen s´olo algunos de los axiomas de espacio vectorial. Sean f , g ∈ AC([a, b]) y c ∈ C\{0}.

Entonces para ε > 0, existen δ1, δ2> 0 tal que para la familia finita de subintervalos disjuntos

((cj, dj))nj=1 de [a, b] , la cual satisface que n P j=1 (dj − cj) < m´ın{δ1, δ2}, se cumple: n X j=1 |f (dj) − f (cj)| < ε 2 ∧ n X j=1 |g (dj) − g(cj)| < ε 2.

Continuaci´

on de la demostraci´

on.

Veamos que f + g ∈ AC([a, b]).

n X j=1 |(f + g )(dj) − (f + g )(cj)| ≤ n X j=1 |f (dj) − f (cj) + g (dj) − g (cj)| ≤ n X j=1 |f (dj) − f (cj)| + |g (dj) − g (cj)|
≤ n X j=1 |f (d_j) − f (cj)| + n X j=1 |g (d_j) − g (cj)| < ε.

Continuaci´

on de la demostraci´

on.

Veamos que cf ∈ AC([a, b]).

Para ε > 0, hallamos δ > 0 tal que la familia ((cj, dj))nj=1 ya dada,

satisface que

n

P

j=1

(dj− cj) < δ, y entonces se cumple que,

n X j=1 |f (d_j) − f (cj)| < ε |c|. Luego, n X j=1 |cf (d_j) − cf (cj)| ≤ |c| n X j=1 |f (d_j) − f (cj)| < ε.

Continuaci´

on de la demostraci´

on.

0[a,b] ∈ AC([a, b]).

Continuaci´

on de la demostraci´

on.

0[a,b] ∈ AC([a, b]).

Ejercicios.

Sea f ∈ AC([a, b]). Demostrar que f es uniformemente continua.

Sugerencia: aplicar la definici´on de funci´on absolutamente continua con n = 1.

Ejercicios.

Sea f ∈ AC([a, b]). Demostrar que f es uniformemente continua.

Sugerencia: aplicar la definici´on de funci´on absolutamente continua con n = 1.

Recordatorio (continuidad de la integral de Lebesgue respecto al conjunto

de integraci´

on).

Proposici´on

Sea f ∈ L1_{(X , F , µ, C). Entonces, para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que para cualquier Y}

en F , con µ(Y ) < δ, se cumple que:

Z

Y

Integrales indefinidas de funciones Lebesgue integrables son funciones

absolutamente continuas.

Proposici´on

Sea f ∈ L1([a, b], C). Definimos F : [a, b] → C mediante la regla

F (x ) :=

Z x

a

f (t) dt (x ∈ [a, b]).

Entonces F ∈ AC([a, b]).

Idea de la demostraci´on: usar la continuidad de la integral de Lebesgue respecto al conjunto de

Integrales indefinidas de funciones Lebesgue integrables son funciones

absolutamente continuas.

Proposici´on

Sea f ∈ L1([a, b], C). Definimos F : [a, b] → C mediante la regla

F (x ) :=

Z x

a

f (t) dt (x ∈ [a, b]).

Entonces F ∈ AC([a, b]).

Idea de la demostraci´on: usar la continuidad de la integral de Lebesgue respecto al conjunto de

Integrales indefinidas son funciones absolutamente continuas.

F (x ) :=

Z x

a

f (t) dt (x ∈ [a, b]).

Demostraci´on. Demostremos que F ∈ AC([a, b]).

Sea ε > 0. Entonces existe δ > 0 tal que para cada A medible con µ(A) < δ,

Z

A

|f | dµ < ε.

Sea ((cj, dj))nj=1 es una familia de intervalos disjuntos tal que

Pn j=1(dj− cj) < δ. Pongamos A :=Sn j=1(cj, dj) y obtenemos: n X j=1 |F (d_j) − F (cj)| = n X j=1      Z (cj,dj) f dµ      ≤ n X j=1 Z (cj,dj) |f | dµ = Z A |f | dµ < ε.

Integrales indefinidas son funciones absolutamente continuas.

F (x ) :=

Z x

a

f (t) dt (x ∈ [a, b]).

Demostraci´on. Demostremos que F ∈ AC([a, b]).

Sea ε > 0. Entonces existe δ > 0 tal que para cada A medible con µ(A) < δ,

Z

A

|f | dµ < ε.

Sea ((cj, dj))nj=1 es una familia de intervalos disjuntos tal que

Pn j=1(dj− cj) < δ. Pongamos A :=Sn j=1(cj, dj) y obtenemos: n X j=1 |F (d_j) − F (cj)| = n X j=1      Z (cj,dj) f dµ      ≤ n X j=1 Z (cj,dj) |f | dµ = Z A |f | dµ < ε.

Integrales indefinidas son funciones absolutamente continuas.

F (x ) :=

Z x

a

f (t) dt (x ∈ [a, b]).

Demostraci´on. Demostremos que F ∈ AC([a, b]).

Sea ε > 0. Entonces existe δ > 0 tal que para cada A medible con µ(A) < δ,

Z

A

|f | dµ < ε.

Sea ((cj, dj))nj=1 es una familia de intervalos disjuntos tal que

Pn j=1(dj− cj) < δ. Pongamos A :=Sn j=1(cj, dj) y obtenemos: n X j=1 |F (d_j) − F (cj)| = n X j=1      Z (cj,dj) f dµ      ≤ n X j=1 Z (cj,dj) |f | dµ = Z A |f | dµ < ε.

Integrales indefinidas son funciones absolutamente continuas.

F (x ) :=

Z x

a

f (t) dt (x ∈ [a, b]).

Demostraci´on. Demostremos que F ∈ AC([a, b]).

Sea ε > 0. Entonces existe δ > 0 tal que para cada A medible con µ(A) < δ,

Z

A

|f | dµ < ε.

Sea ((cj, dj))nj=1 es una familia de intervalos disjuntos tal que

Pn j=1(dj− cj) < δ. Pongamos A :=Sn j=1(cj, dj) y obtenemos: n X j=1 |F (d_j) − F (cj)| = n X j=1      Z (cj,dj) f dµ      ≤ n X j=1 Z (cj,dj) |f | dµ = Z A |f | dµ < ε.

Integrales indefinidas son funciones absolutamente continuas.

F (x ) :=

Z x

a

f (t) dt (x ∈ [a, b]).

Demostraci´on. Demostremos que F ∈ AC([a, b]).

Sea ε > 0. Entonces existe δ > 0 tal que para cada A medible con µ(A) < δ,

Z

A

|f | dµ < ε.

Sea ((cj, dj))nj=1 es una familia de intervalos disjuntos tal que

Pn j=1(dj− cj) < δ. Pongamos A :=Sn j=1(cj, dj) y obtenemos: n X j=1 |F (d_j) − F (cj)| = n X j=1      Z (cj,dj) f dµ      ≤ n X j=1 Z (cj,dj) |f | dµ = Z A |f | dµ < ε.

Integrales indefinidas son funciones absolutamente continuas.

F (x ) :=

Z x

a

f (t) dt (x ∈ [a, b]).

Demostraci´on. Demostremos que F ∈ AC([a, b]).

Sea ε > 0. Entonces existe δ > 0 tal que para cada A medible con µ(A) < δ,

Z

A

|f | dµ < ε.

Sea ((cj, dj))nj=1 es una familia de intervalos disjuntos tal que

Pn j=1(dj− cj) < δ. Pongamos A :=Sn j=1(cj, dj) y obtenemos: n X j=1 |F (d_j) − F (cj)| = n X j=1      Z (cj,dj) f dµ      ≤ n X j=1 Z (cj,dj) |f | dµ = Z A |f | dµ < ε.

Integrales indefinidas son funciones absolutamente continuas.

F (x ) :=

Z x

a

f (t) dt (x ∈ [a, b]).

Demostraci´on. Demostremos que F ∈ AC([a, b]).

Sea ε > 0. Entonces existe δ > 0 tal que para cada A medible con µ(A) < δ,

Z

A

|f | dµ < ε.

Sea ((cj, dj))nj=1 es una familia de intervalos disjuntos tal que

Pn j=1(dj− cj) < δ. Pongamos A :=Sn j=1(cj, dj) y obtenemos: n X j=1 |F (d_j) − F (cj)| = n X j=1      Z (cj,dj) f dµ      ≤ n X j=1 Z (cj,dj) |f | dµ = Z A |f | dµ < ε.

Integrales indefinidas son funciones absolutamente continuas.

F (x ) :=

Z x

a

f (t) dt (x ∈ [a, b]).

Demostraci´on. Demostremos que F ∈ AC([a, b]).

Sea ε > 0. Entonces existe δ > 0 tal que para cada A medible con µ(A) < δ,

Z

A

|f | dµ < ε.

Sea ((cj, dj))nj=1 es una familia de intervalos disjuntos tal que

Pn j=1(dj− cj) < δ. Pongamos A :=Sn j=1(cj, dj) y obtenemos: n X j=1 |F (d_j) − F (cj)| = n X j=1      Z (cj,dj) f dµ      ≤ n X j=1 Z (cj,dj) |f | dµ = Z A |f | dµ < ε.

Integrales indefinidas son funciones absolutamente continuas.

F (x ) :=

Z x

a

f (t) dt (x ∈ [a, b]).

Demostraci´on. Demostremos que F ∈ AC([a, b]).

Sea ε > 0. Entonces existe δ > 0 tal que para cada A medible con µ(A) < δ,

Z

A

|f | dµ < ε.

Sea ((cj, dj))nj=1 es una familia de intervalos disjuntos tal que

Pn j=1(dj− cj) < δ. Pongamos A :=Sn j=1(cj, dj) y obtenemos: n X j=1 |F (d_j) − F (cj)| = n X j=1      Z (cj,dj) f dµ      ≤ n X j=1 Z (cj,dj) |f | dµ = Z A |f | dµ < ε.

Recordatorio (variaci´

on de una funci´

on).

Sea f : [a, b] → R. Para toda partici´on τ ∈ P[a, b], sea:

Sabs(f , τ ) := n

X

k=1

|f (τk) − f (τk−1)|.

La variaci´on total de f en [a, b] se define como:

Varb_a f := sup

τ ∈P[a,b]

Cada funci´

on absolutamente continua tiene variaci´

on acotada.

Teorema

AC([a, b]) ⊆ BV([a, b]).

Inicio de la demostraci´on. Sea F ∈ AC([a, b]).

Para ε = 1 encontremos δ > 0 como en la definici´on. Pongamos K := 1 + _{b − a} δ  . Entonces 0 < b−a_K < δ.

Continuaci´

on de la demostraci´

on.

Sea τ una partici´on de [a, b]. Denotemos por τ0 a la partici´on que se obtiene de τ al agregar (cuando no pertenecen a τ ) los puntos

a + jb − a

K (j = 1, . . . , K − 1).

Numeramos los elementos de τ0 con sub´ındices dobles de tal manera que

yj,0 = a +

(j − 1)(b − a)

K < yj,1 < . . . < yj,mj = a +

j(b − a)

Continuaci´

on de la demostraci´

on.

Pongamos K = 3. Partici´on original τ :

a=τ0 τ1 τ2 τ3 τ4 b=τ5

Malla uniforme en [a, b]:

a _a+b−a 3 a+2 b−a 3 b Partici´on nueva τ0: a=y1,0 y1,1 y1,2=y2,0 y2,1 y2,2 y2,3=y3,0 y3,1 y3,2=y4,0=b

Continuaci´

on de la demostraci´

on.

Entonces en cada grupo la suma de las longitudes de los intervalos es b−a_K < δ, y por la

elecci´on de δ obtenemos: mj X s=1 |F (y_j,s) − F (yj,s−1)| ≤ 1. Luego Sabs(F , τ ) ≤ Sabs(F , τ0) = K X j=1 mj X s=1 |F (y_j,s) − F (yj,s−1)| ! ≤ K .

Corolarios y ejercicios.

Corolario

Sea F ∈ AC([a, b]). Entonces F es derivable c.t.p., y la funci´on F0 es integrable.

Demostraci´on. Por el teorema, tenemos que F ∈ BV([a.b]) y por el corolario del criterio de

una funci´on de variaci´on acotada, F0 es derivable µ ctp. Por otra parte, como F ∈ BV([a, b]),

Z b

a

|F0(t)| dt ≤ Var_ab(F ) < +∞.

Es decir, F0 ∈ L1_{(X , µ).}

Corolarios y ejercicios.

Ejercicio.

Corolarios y ejercicios.

Corolario

Sean F , G ∈ AC([a, b]). Entonces FG ∈ AC([a, b]).

Demostraci´on. Como F , G ∈ AC([a, b]), entonces existen M, N > 0 tales que |F (x )| ≤ M y

|G(x )| ≤ N, para todo x ∈ [a, b]. Para ε > 0, hallamos δ₁, δ2 > 0 tales que para la colecci´on

disjunta ((cj, dj))nj=1 de subintervalos de [a, b], la cual satisface n P j=1 (dj − cj) < m´ın{δ1, δ2}, entonces se cumple: n X j=1 |F (dj) − F (cj)| < ε 2N ∧ n X j=1 |G(dj) − G (cj)| < ε 2M.

Corolarios y ejercicios.

Entonces, tenemos lo siguiente:

n X j=1 |FG(d_j) − FG (cj)| = n X j=1 |F (d_j)G (dj) − F (cj)G (cj)| ≤ n X j=1 |F (d_j)G (dj) − F (dj)G (cj)| + |F (dj)G (cj) − F (cj)G (cj)|
≤ n X j=1 |F (dj)||G (dj) − G (cj)| + n X j=1 |G(cj)||F (dj) − F (cj)| < M ε 2M + N ε 2N = ε.