Análisis y diseño de antenas planas de alta ganancia

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DE TELECOMUNICACIÓN UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA

Proyecto Fin de Carrera

Análisis y Diseño de Antenas Planas de Alta Ganancia

AUTOR: Cristina Arias Pérez DIRECTORES: Dr. José Luis Gómez Tornero

Dr. Alexandros Feresidis (Universidad de Loughborough, Inglaterra)

Cartagena, Julio de 2007

2

Autor Cristina Arias Pérez E-mail del Autor [email protected]

Director(es) José Luis Gómez Tornero, Alexandros Feresidis E-mail del Director [email protected], [email protected] Codirector(es)

Título del PFC Análisis y Diseño de Antenas Planas de Alta Ganancia

Descriptores Superficies Selectivas en Frecuencia (FSS), Estructuras periódicas, Antenas Leaky-Wave, Antenas Surface-Wave

Resumen

En este proyecto, se ha desarrollado un análisis basado en la aplicación de la Técnica de Resonancia Transversa con el objetivo de obtener el Diagrama de Dispersión y Diagrama de Radiación de antenas compuestas por Superficies Selectivas en Frecuencia (FSS). Se han estudiado tres estructuras distintas con una característica en común: todas están compuestas por superficies periódicas de parches formadas por dipolos o tripolos pero actuando según diferentes modos de operación, según se comporten como antenas Surface-Wave o Leaky-Wave. La técnica implementada se ha verificado mediante resultados encontrados en distintos artículos y medidas reales realizadas en anteriores experimentos. La solución eficiente y rápida que presenta este método se ha visto como una ventaja sobre otras técnicas como puede ser la realización de un análisis modal sobre toda la estructura.

Titulación Ingeniero de Telecomunicación Intensificación Sistemas y Redes de Telecomunicación

Departamento Tecnología de la Información y las Comunicaciones Fecha de Presentación Julio de 2007

3

4

ÍNDICE

PARTE I

Resumen en español: ………6

Introducción teórica………7

Técnicas de análisis………9

Aplicaciones: ……… 11

Antenas Surface-Wave ……… 11

Antenas Leaky- Wave ……… 16

Conclusiones ……… 30

PARTE II Informe en inglés: Introducción teórica y análisis ……… 35

Aplicaciones:……… 43

Antenas Surface-Wave……… 43

Antenas Leaky- Wave ……… 48

Conclusiones ……… 64

Agradecimientos……… 67

Referencias……… 68

Apéndices……… 69

5

Análisis y Diseño de Antenas Planas de Alta Ganancia

TABLA DE CONTENIDOS

1 Introducción... 7

2 Técnicas de Análisis ... 9

2.1 Métodos empíricos ... 9

2.2 Análisis modales... 9

2.3 Circuitos equivalentes ... 9

3 Aplicaciones ... 11

3.1 Surface-Wave antenas ... 11

3.1.1 Estructura 1... 11

3.2 Leaky-Wave antenas... 16

3.2.1 Estructura 2... 17

3.2.2 Estructura 3... 20

3.2.2.1 Análisis... 20

3.2.2.2 Comportamiento de la antena ... 25

4 Conclusión... 30

6

1 Introducción

as Superficies Selectivas en Frecuencia (Frequency Selective Surfaces, FSS), estructuras conocidas por su uso como filtros de microondas y de señales ópticas, constituyen la base de este proyecto. Estas superficies consisten en estructuras periódicas, representadas a través de diferentes formas y distribuciones, y tienen múltiple aplicaciones como antenas mejoradas para nuevos sistemas de comunicación inalámbrica y en general en ingeniería de microondas, obtenidas con bajo coste y simple fabricación.

L

Con estructuras periódicas, se refiere a infinitas líneas de transmisión o guías de onda cargadas a intervalos periódicos con idénticos elementos reactivos. Éstos pueden ser parches metálicos o aperturas en una pantalla metálica y muestran reflexión total (parches) o transmisión total (aperturas) a determinadas frecuencias. Existen varios tipos de estructuras periódicas y se diferencian principalmente en la forma de los elementos reactivos o en la distribución de éstos sobre la superficie, pero todos estos casos se pueden modelar con reactancias dispuestas en paralelo a través de una línea de transmisión como la que se muestra en la Figura 1.

Figura 1. Circuito equivalente de una línea de transmisión cargada periódicamente. La línea tiene una impedancia característica Z0 y una constante de propagación k. [6]

El objetivo del proyecto ha sido el análisis de FSSs usando la Técnica de Resonancia Transversa para tres estructuras diferentes, usando circuitos equivalentes o directamente el valor de las susceptancias correspondientes a las superficies; para la última estructura estudiada, la susceptancia ha sido calculada a través de un software disponible, cuyo principal medio de operación está basado en el análisis modal que se explica en la sección 2.2, sin embargo, la complejidad de este análisis se ha visto reducida al utilizarse el análisis modal aplicado por el software, solamente sobre la superficie FSS y no sobre toda la estructura.

7

Con el fin de encontrar la solución de la ecuación que define la Técnica de Resonancia Transversa, fue necesario realizar una búsqueda de mínimo, tanto de mínimos dependientes de una variable (caso Surface-Wave) como de mínimos dependientes de dos variables, en el plano complejo (caso Leaky-Wave), sobre dicha función ya que en

determinados casos no era posible encontrar una solución analítica sin realizar aproximaciones. Este análisis se ha llevado a cabo con el fin de conseguir resultados precisos para los Diagramas de Dispersión y Radiación para las distintas estructuras en el plano H, de una forma rápida y sencilla. Además, como una posible ampliación de éste proyecto, en la sección de Conclusiones, la técnica que se ha implementado para el caso de una capa se puede extender a la aplicación para el caso de multicapas conociendo el coeficiente de reflexión total de la estructura. El análisis modal completo sobre toda la estructura para el caso de multicapas es algo complejo, así que el método que se ha presentado en este proyecto tiene una gran importancia en la caracterización de este tipo de antenas.

8

2 Técnicas de Análisis

Básicamente se pueden elegir tres maneras distintas de calcular las características de las FSSs. Estas tres formas están basadas en: métodos empíricos mediante la realización de medidas sobre las superficies, análisis modales y circuitos equivalentes.

2.1 Métodos empíricos

Este método consiste en la realización de varias medidas para diferentes formas y distribuciones de los elementos reactivas sobre la superficie. Una vez que estas medidas se han llevado a cabo, son comparadas con el objetivo de obtener resultados precisos. Este método está basado en la experiencia.

2.2 Análisis modales

La base de este método es el análisis de los campos electromagnéticos que aparecen en la estructura. Lo primero que hay que hacer en este análisis es relacionar los campos en la FSS con las corrientes inducidas en la pantalla debido a los campos incidentes. Una vez que dichas corrientes se han definido, a partir de éstas se pueden calcular otros parámetros de interés práctico como por ejemplo los coeficientes de reflexión y transmisión para los harmónicos dominantes.

2.3 Circuitos equivalentes

Una alternativa al análisis modal, antes de disponer de potentes ordenadores, fue el uso de modelos basados en circuitos equivalentes para encontrar las características electromagnéticas de la banda prohibida (Electromagnetic Band Gap, EBG), de determinadas estructuras. Éstos son muy útiles a la hora de establecer de una manera rápida si una FSS puede dar una solución a un determinado diseño. Se corresponden con modelos empíricos, obtenidos mediante el ajuste experimental con medidas de los coeficientes de transmisión y reflexión en función de la frecuencia, y consecuentemente se requiere un modelo diferente para cada estructura. Los circuitos equivalentes definidos en el modelo se usan para calcular de una forma sencilla una aproximación de la frecuencia de la banda prohibida por medio de la aplicación de la Técnica de Resonancia Transversa.

Esta técnica está basada en el hecho de que en una guía de onda, a la frecuencia de corte, los campos forman ondas estacionarias en el plano transverso de la guía. Esta situación se puede modelar con un circuito equivalente para la estructura operando en resonancia (la Figura 2 muestra un ejemplo de circuito equivalente). Una de las condiciones de una línea

9

en resonancia consiste en el hecho de que en cualquier punto de la línea con respecto al eje transversal a la dirección de propagación, la suma de las impedancias de entrada vistas a ambos lados de la línea en dicho eje debe ser cero. Esto es:

0 ) ( )

(z +Z z =

Z_in^r _in^l para cualquier z (suponiendo que z es el eje transversal) (1)

Otra condición importante empleada en esta técnica se obtiene del hecho de que la constante de propagación en la dirección transversal al eje z (en nuestro ejemplo) , , debe ser la misma en todas las regiones para que coincida la fase de los campos tangenciales en la superficie de contacto del dieléctrico.

kc

De este modo, con kx=0, se puede escribir la siguiente ecuación:

) ( )

( ₀^{2 2}

2 2

0 k dielectric k k ₀ air k

k_{y r z z}

gr = −

−

= ε (2)

Z^TE/TM

ZS

Z_gr^TE/TM

C L

S ε_{o, Zo}

ε_r , Z_r

Z^TE/TM

ZS

Z_gr^TE/TM

C L

S ε_{o, Zo}

ε_r , Z_r

Z^TE/TM

ZS

Z_gr^TE/TM

C L

S ε_{o, Zo}

ε_r , Z_r

Figura 2. Ejemplo de modelo equivalente con dieléctrico sobre un plano de masa.[5]

Las ecuaciones (1) y (2) se usan finalmente para obtener la constante de propagación que nos permite construir el Diagrama de Dispersión de la estructura ( vs. f(GHz)). Se tiene que tener en cuenta que la Técnica de Resonancia Transversa sólo es válida a la frecuencia de corte de la guía. Si son necesarios la obtención de los campos electromagnéticos o atenuaciones debido a las pérdidas del conductor, se requiere hacer un análisis completo de la teoría de campos.

ky

10

3 Aplicaciones

3.1 Surface-Wave antenas

En esta sección del informe, se estudiará una estructura que opera como una antena Surface-Wave. Las antenas Surface-Wave radian en dirección end-fire (ver Figura 3). La estructura de guía básica para este tipo de antenas es una guía de onda abierta cuyo modo dominante (onda de superficie o Surface-Wave) está exclusivamente ligado a la superficie, así que radiará sólo ante discontinuidades como la que se encuentra al final de una guía.

Este tipo de antenas no radia a lo largo de la guía debido a que la onda de superficie es una onda lenta, es decir β >k₀, siendo k0 el número de onda de espacio libre en el aire. El número de onda, o constante de propagación, es en este caso real y formado sólo por una constante de fase, k_p =β.

Forwards Backwards

ENDFIRE BROADSIDE

Figura 3. Direcciones de radiación de una antena. Endfire se corresponde con la dirección de propagación en el plano de la antena y Broadside, con la dirección perpendicular al plano de la misma.

3.1.1 Estructura 1

La primera estructura que se va a estudiar es la representada en la Figura 4 a). Esta estructura está compuesta por tripolos y es usada en [3] como una estructura electromagnética miniaturizada de banda prohibida (MEBG) para aplicaciones móviles.

Como las MEBGs se componen de elementos resonantes, la dimensión de cada elemento es aproximadamente la mitad de la longitud de onda, así que para dispositivos operando a altas frecuencias, se requiere una miniaturización para su integración en los nuevos terminales móviles.

11

Figura 4. a) Tripoles structure, b) estructura recíproca y su irreducible zona Brillouin, y c) dimensiones de los tripolos L=5mm, W=0.5 mm, periodicidad D=12mm, εr=2.2, grosor s=1.13mm, y α=60^o. [3]

El objetivo para esta estructura es conseguir el Diagrama de Dispersión a partir de su circuito equivalente, aplicando la Técnica de Resonancia Transversa.

Como se muestra en la Figura 5, el circuito equivalente para una celda unitaria de la superficie está formado por dos líneas de transmisión correspondientes con el aire que se encuentra en la parte superior e inferior de la FSS, una capacitancia y una inductancia. La superficie se supone suspendida en aire así que las líneas de transmisión se consideran infinitas, con ε_r =1.

Z^TE/TM

ZS

Z^TE/TM

C L

S ε_{o, Zo}

o o

ε _{, Z}

Z^TE/TM

ZS

Z^TE/TM

C L

S ε_{o, Zo}

o o

ε _{, Z}

Figura 5. Circuito equivalente de una celda unitaria de la estructura de la Figura 4.

Cuando se aplica la Técnica de Resonancia Transversa estudiada en la sección 2.3., se derivan las siguientes ecuaciones a partir de (1):

0 2⋅ ₀ = + Y

Y_s (3)

12

Donde:

Y = Z1 (en general).

jwL jwC

Z_s = + 1 , y

z z

TE

k w k

Z₀ k⁰ η⁰ ⋅μ⁰

⋅ =

= , (sólo se va a estudiar el caso TE).

Con el fin de obtener una solución analítica para la constante de propagación en la dirección del eje y (suponiendo que no hay propagación en el eje x), se aplican (1) y (2).

La solución analítica final es la siguiente:

2

2 0 0

1 25 . 0 1

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛ +

=

ww wC c

k_TE w η

(4)

Donde η₀representa la impedancia intrínseca del espacio libre y w₀ =1 LC , es la frecuencia de resonancia del circuito LC en serie que representa al array (ver desarrollo en el Apéndice II).

Esta solución analítica se implementó en Matlab para obtener el Diagrama de Dispersión para L=2nH, C=0.41pF (caso de estructura gruesa, thick, W=5mm) y C=13.28pF (caso de estructura miniaturizada, thin, W=0.5mm) del primer TE modo para la dirección MΓ . El Diagrama de Dispersión para ambos casos representado en Matlab es el que muestra la Figura 6.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

3x 10⁹

Normalised Propagation Constant kte (pi/D)

Frequency (GHz)

thin thick

Figura 6. Diagrama de Dispersión para tripolos finos y gruesos. Solución analítica.

13

Para este simple caso en el que se supone la estructura suspendida en aire, sin otro tipo de dieléctrico o plano de masa, fue sencillo conseguir una solución analítica para la constante de propagación. Aunque en el caso en el que hubiera plano de masa, no se podría obtener una solución analítica debido al elemento cotangente que aparecerá en el caso de la estructura 2. Por esta razón, en este proyecto se ha implementado un método eficiente y rápido para conseguir una solución precisa para la constante de propagación. Este método consiste en calcular el valor de la constante de propagación que hace mínima la función (1). Primero se toma un rango de valores para la constante de propagación, teniendo en cuenta que esta estructura se está estudiando como una antena Surface-Wave, así que la constante de propagación debe cumplir que k_y =β >k₀. A continuación, todos los posibles valores que toma ky en el rango original tomado, se aplica a la ecuación (3) que define la Técnica de Resonancia Transversa para una determinada frecuencia. Finalmente, el valor de ky que hace el valor absoluto de la función mínimo (mediante el uso de la función min de Matlab), es la solución para dicha frecuencia. Las Figuras 7 y 8 muestran un ejemplo visual de cómo se ha calculado el mínimo del valor absoluto de la función (3) para una frecuencia de 0.5GHz.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14

Normalised Propagation Constant Kyte (pi/D)

Transverse Resonance Technique Function

Figura 7. Caso tripolos finos (thin). Representación de los valores que toma la función (3) en valor absoluto que define la Técnica de Resonancia Transversa para la frecuencia f=0.5GHz, en función de ky=β para todo el rango inicial.

14

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

Normalised Propagation Constant Kyte (pi/D)

Transverse Resonance Technique Function

Figura 8. Caso tripolos gruesos (thick). Representación de los valores que toma la función (3) en valor absoluto que define la Técnica de Resonancia Transversa para la frecuencia f=0.5GHz, en función de k_y=β para todo el rango inicial.

Además, cuando kz se calcula como

k

= k

− k

Recordad que la expresión de la constante de propagación es k_z =−jα. Debido a que no tiene sentido para ondas de superficie tener una constante de atenuación negativa en el eje z, es decir, tener un incremento de energía según se avanza en dicho eje, con el fin de obtener la correcta solución fue necesario tomar como válida la solución negativa de la raíz cuadrada. En las siguientes estructuras que se estudiarán a lo largo de este proyecto, debido a que actúan como Leaky-Wave antenas, se debe tomar la solución positiva de la raíz cuadrada en el caso de propagación en dirección forward, debido a que la contribución del resto de celdas provocan un aumento de energía en la dirección z, es decir, producen una constante de atenuación negativa a lo largo de éste eje. Ver [19] para entender con más detalle este fenómeno.

Esta sencilla estructura se ha estudiado con el fin de comparar la solución obtenida con este nuevo método y la solución analítica. La Figura 9 muestra la solución obtenida con el método de búsqueda de mínimo, y como se ha podido observar, se han conseguido soluciones similares; por lo tanto, se ha verificado el método implementado en este proyecto para esta estructura.

15

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0

0.5 1 1.5 2 2.5

3x 10⁹

Normalised Propagation Constant Kyte (pi/D)

Frequency (GHz)

thin thick

Figura 9. Diagrama de Dispersión para tripolos finos y gruesos. Solución aplicando el nuevo método.

3.2 Leaky-Wave antenas

En esta sección se van a estudiar dos estructuras diferentes que operan como antenas Leaky-Wave (LW). Este tipo de antenas son atractivas debido a la simplicidad de su estructura, fácil fabricación e integración de otros componentes de tecnología planar. Las antenas Leaky-Wave periódicas están a menudo basadas en guías de onda de superficie. La guía de onda básica puede ser una estructura abierta cuyo modo dominante es una onda de superficie, que es una onda lenta, y la radiación se produce colocando arrays periódicos de discontinuidades en la guía de manera que el primer armónico se convierte en rápido, es decir β <k₀, consecuentemente la antena radia.

Las antenas Leaky-Wave no radian bien en la dirección end-fire y, de hecho, son diseñadas para radiar en cualquier otra dirección o barrer un rango de ángulos. La intención de estas antenas es producir una pequeña fuga por unidad de longitud; de este modo, cada elemento que produce una discontinuidad en el array periódico de elementos, produce una pequeña carga sobre el modo básico de la guía de onda. Como resultado, el proceso de diseño ve las antenas Leaky-Waves como una estructura equivalente homogénea con una constante de propagación compleja, k_p =β_p − jα_p. Por lo tanto, el número de onda está compuesto por una constante de atenuación o fuga, α, y una constante de fase, β. La variable α es grande o pequeña dependiendo de si la atenuación por unidad de longitud es mayor o menor. Otra característica a tener en cuenta es que a causa de que la constante de fase β cambia con la frecuencia, la antena puede barrer distintos ángulos mediante la variación de ésta.

16

3.2.1 Estructura 2

La siguiente estructura que se va a estudiar se corresponde con la presentada en [15]. El modelo equivalente de esta estructura se muestra en la Figura 10. Por lo tanto, a partir de este modelo, se puede aplicar fácilmente la Técnica de Resonancia Transversa.

Para esta estructura los parámetros son: S=5mm,ε_r =2.2,μ_r =1 , y B_s =20, siendo ésta última la susceptancia (parte imaginaria de la admitancia) que representa la FSS, donde la barra significa normalización mediante multiplicación por la impedancia característica en el espacio libre η₀.

Z^TE/TM

ZS

Z_gr^TE/TM S

ε_{o, Zo}

ε_r , Z_r Z_s=1/jB_s

Z^TE/TM

ZS

Z_gr^TE/TM S

ε_{o, Zo}

ε_r , Z_r Z_s=1/jB_s

Z^TE/TM

ZS

Z_gr^TE/TM S

ε_{o, Zo}

ε_r , Z_r Z_s=1/jB_s

Figura 10. Modelo equivalente sobre dieléctrico conectado a un plano de masa.

La función que define la Técnica de Resonancia Transversa para la estructura 2, es la siguiente:

0 + =0

+ ^TE _gr^TE

S Y Y

Y , (5)

Donde:

S

S jB

Y = ,

0 0

0 0

0 0

μ

η w

k k

Y^TE = k^z = ^z y

( )

k k j

Y gr

gr

z r TE z

gr cot

0 0η μ

−

= .

Con el fin de calcular a partir de en el código realizado en Matlab, es reemplazada usando (2) en las correspondientes ecuaciones de las admitancias.

ky k_z k_z

17

La diferencia con la primera estructura es que ahora, se estudia el correspondiente modo Leaky-Wave TE que se propaga en esta estructura, así que a la hora de buscar el mínimo de la función que define la Técnica de Resonancia Transversa, se tienen que tener en cuenta dos parámetros , α y β. Con este objetivo, se elige un rango de valores para α y β y se sustituyen en (5) todas las posibles combinaciones de estos dos parámetros. Finalmente la combinación que hace mínima la función para cada frecuencia, es la solución buscada para esa misma frecuencia. Como ejemplo visual de esta búsqueda de mínimo en el plano complejo, la Figura 11 representa en tres dimensiones el valor absoluto de la función (5), en función de α y β para una frecuencia de 20.8GHz.

Figura 11. Representación en tres dimensiones de los valores que toma la función (5) en valor absoluto, que define la Técnica de Resonancia Transversa para la frecuencia f=20.8GHz, en función de β y α.

Aplicando el método de búsqueda del mínimo para (5) en todo el rango de frecuencias dado, el resultado obtenido para el Diagrama de Dispersión es el mostrado en la Figura 12.

Como se puede observar, usando el método implementado en este proyecto se han obtenido resultados similares a los obtenidos en [15], lo que verifica una vez más esta técnica. La condición α =β representa la condición de separación del lóbulo principal en el Diagrama de Radiación, entre el caso en el que éste apunta exactamente a Broadside (cuando β< α) y cuando éste se ha dividido y forma dos picos (cuando β> α). Nota:

0 0)

sin( k

θ ≈ β , donde es el ángulo de máxima radiación, medido a partir de la dirección Broadside (ver Figura 13).

18

Figura 12. Constantes de fase (β^ˆ) y atenuación (αˆ) normalizadas en función de la frecuencia f para el correspondiente modo TE Leaky-Wave de una LW antena. Parámetros: S=5mm, ε_r =2.2, μ_r =1, y B_s =20.

BROADSIDE

θ Forwards

Backwards

ENDFIRE

Figura 13. Direcciones de radiación de una antena. Endfire se corresponde con la dirección de propagación en el plano de la antena y Broadside, con la dirección perpendicular al plano de la misma. θ representa el ángulo de escaneo de una antena.

19

3.2.2 Estructura 3

3.2.2.1 Análisis.

La estructura representada en la Figura 14 cubre es estudio más importante de este proyecto. Consiste en una superficie de dipolos dispuestos periódicamente sobre ésta, suspendida en aire, a una distancia S del plano de masa. En las estructuras anteriores, el método utilizado para obtener el Diagrama de Dispersión de la antena fue mediante la aplicación de circuitos equivalentes o conocido el valor de la admitancia correspondiente a una FSS específica. En esta estructura, se hizo uso de un programa disponible, implementado en Fortran (Apéndice I), con el fin de calcular la admitancia que representa la superficie, FSS (Figura 15).

(Air)

a)

S≈ λ/2

z

y

l1 l2

w₁

w2

Ground plane

y x S≈ λ/2

z

y

l1 l2

w₁

w2

Ground plane

y x S≈ λ/2

z

y

l1 l2

w₁

w2

Ground plane

y x

b)

Figura 14. Esquema general de la antena Leaky-Wave, a), y detalle de una celda unitaria, b). Datos: w1=1.5 mm , w2=0.5 mm, l1=11 mm, l2=10 mm and S=h=11.1 mm. El espesor del dieléctrico sobre el que se sostiene la FSS es 1.13 mm, y su permitividad relativaε_r =2.2.

20

El programa en Fortran da como resultado, entre otros, el coeficiente de reflexión de la FSS para cada frecuencia estudiada, usándose posteriormente para calcular la admitancia de la superficie. Debido a que estos resultados se calculan en el programa suponiendo que la FSS está suspendida en el aire, lo que equivale a una línea de transmisión infinita, la admitancia de la superficie se puede calcular fácilmente a partir de la siguiente ecuación:

0 in

0

Z Z

Z Z_in

+

= −

Γ (6)

Donde es el coeficiente de reflexión visto desde la flecha indicada en la Figura 15, la impedancia de entrada vista desde el mismo punto, y la impedancia característica de las líneas de transmisión.

Γ

Zin Z₀

Ya que la línea de transmisión es infinita, la Figura 15 se puede modificar como se muestra en la Figura 16, de manera que la ecuación (6) se reescribe de la siguiente manera:

0 0

0 0

//

//

Z Z Z

Z Z Z

S S

+

= −

Γ (7)

Donde Z_S // Z₀ se refiere al resultado del paralelo de las impedancias ZS y Z0.

Z0 Z0

ZS

Zi

Figura 15. Modelo equivalente para el caso ideal donde las líneas de transmisión son infinitas (FSS suspendida en aire) correspondiente con el caso representado en el programa en Fortran. Zs es la impedancia correspondiente a la FSS.

Resolviendo (7) y sabiendo que la admitancia es la inversa de la impedancia, el resultado para YS es el siguiente:

) 1 (

2

0 +Γ

− Γ

= Z

Y_S (8)

21

Z0 Z0

Zin

ZS

Figura 16. Modelo equivalente derivado de la Figura 12, debido a que la línea de transmisión es infinita.

Una vez que se ha calculado la admitancia de la FSS, se puede aplicar la Técnica de Resonancia Transversa a partir del modelo equivalente de la celda unitaria de la estructura, mostrado en la Figura 17. La expresión en este caso se expresa como se muestra a continuación:

0 + =0

+ ^TE _gr^TE

S Y Y

Y (9)

Donde:

Y es el resultado de (8), S

0 0

0 0

0 0

μ

η w

k k

Y^TE = k^z = ^z y

( )

k j k

Y_gr^{TE z} _z

0

0 cot

0 0η

−

= .

Con el fin de calcular a partir de en el código implementado en Matlab, directamente, se sustituye usando (2) en las correspondientes ecuaciones para las admitancias.

ky k_z

kz

22

Z^TE/TM

ZS

Z_gr^TE/TM S

ε_{o, Zo}

ε_{o , Zo} Z_s=1/Y_s

Z^TE/TM

ZS

Z_gr^TE/TM S

ε_{o, Zo}

ε_{o , Zo} Z_s=1/Y_s

Figura 17. Modelo equivalente de una celda unitaria de la estructura mostrada en la Figura 11.

Una vez que se han calculado todos los datos para poder obtener el Diagrama de Dispersión, se ha aplicado el método de búsqueda de mínimo a la función (9), obteniéndose los siguientes resultados mostrados en las Figuras 18 y 19 para las constantes de fase y atenuación en función de la frecuencia, respectivamente:

Figura 18. Constante de fase ( ) normalizada, en función de la frecuencia f para el correspondiente modo TE Leaky- Wave de una antena LW. Datos: w1=1.5 mm , w2=0.5 mm, l1=11 mm, l2=10 mm y S=h=11.1 mm. El espesor del dieléctrico sobre el que se sostiene la FSS es 1.13 mm, y su permitividad relativa

β^ˆ

2 .

=2 εr .

23

Por debajo de la frecuencia de corte, hay una banda de paro y por lo tanto no hay propagación para este modo. Sobre la frecuencia de corte, se encuentra una banda de paso correspondiente con el modo que se muestra en la Figura 18, donde la onda se propaga.

Figura 19. Constante de atenuación (αˆ) normalizada, en función de la frecuencia f para el correspondiente modo TE Leaky-Wave de una antena LW. Datos: w1=1.5 mm , w2=0.5 mm, l1=11 mm, l2=10 mm y S=h=11.1 mm. El espesor del dieléctrico sobre el que se sostiene la FSS es 1.13 mm, y su permitividad relativaε_r =2.2.

Como se puede observar, por debajo de la frecuencia de corte el valor de α es muy elevado debido a que a esas frecuencias existe una banda de paro. Una vez alcanzada la frecuencia de corte, la constante de atenuación decrece a valores normales.

Los resultados obtenidos fueron difíciles de encontrar debido a que aplicando el método de búsqueda de mínimos aplicado anteriormente, el valor mínimo que el programa encontraba para determinadas frecuencias era el mínimo que se encontraba en la asíntota correspondiente con el máximo valor de beta en el rango elegido inicialmente, como se puede observar en la Figura 20. Con el objetivo de resolver este problema, una vez estudiada la función mostrada en dicha figura, se necesitó añadir una parte de código en el que se realizaba una comparación de signos de los gradientes de la función para un valor fijo deα , en función solamente deβ. Una vez encontrado este punto, la matriz total que contenía los valores de la función, se reducía a una matriz de dimensión en β igual al punto obtenido como primer mínimo más un margen de error en el caso de que variara la situación del mínimo total en función de la variable α .De esta manera, nos aseguramos que el mínimo que encontraba se correspondía con el primero, no con el encontrado en la asíntota (ver informe en inglés para más detalle).

24

Figura 20. Representación en tres dimensiones de los valores que toma la función (9) en valor absoluto, que define la Técnica de Resonancia Transversa para la frecuencia f=15.8GHz, en función de β y α.

3.2.2.2 Comportamiento de la antena

Una de las características más importantes para el estudio del comportamiento de una antena es su Diagrama de Radiación. El Diagrama de Radiación de una antena es la representación de la magnitud del campo en la zona lejana contra posición en la antena, a una distancia fija de ésta. El diagrama puede presentar distintos lóbulos, con diferentes máximos en diferentes direcciones. El lóbulo que presenta máximo valor se llama lóbulo principal mientras que los adyacentes de inferior nivel son llamados lóbulos secundarios.

Con el fin de obtener el Diagrama de Radiación para la estructura mostrada en la Figura 14, se ha usado el Principio de Aproximación por el Factor de Array expuesto en [12].

Este principio establece que una antena Leaky-Wave se puede considerar como un array de antenas en fase con espaciado p entre elementos en el límite en el que , como se ilustra en la Figura 21. Mientras que el array en fase, Figura 21 a), es alimentado discretamente a cada elemento con una función de fase

→0 p

nth ξ_n(θ₀) (Siendoθ₀ el ángulo de radiación) y una función de magnitud constante I_n =I₀(∀n), la antena Leaky-Wave en la Figura 21 b) se alimenta de forma continua solamente al extremo de la estructura con una función de fase ξ(θ₀)y una función de magnitud exponencial I(x)=I₀exp(−αx), donde α es el factor de fuga o atenuación.

25

Figura 21. Principio de Aproximación por el Factor de Array. (a) Configuración discreta de una array en fase convencional con separación entre elementos p. (b) Configuración continua de una estructura periódica para una antena Leaky-Wave con periodo p. [12]

De esta manera, en el caso de estructuras LW para metamateriales se cumple la condición p→0, o más significativop/λ_g →0, debido a la definición de un medio efectivo. Por lo tanto las funciones de fase y magnitud se pueden discretizar como:

0

0 sin

) 1

( θ

ξ_n =− n− k p y I_n =I₀e^{−α(n−1)p} (10)

Donde p se corresponde con la periodicidad en la estructura y k0 es el número de onda en el espacio libre. Ya que p/λ_g →0, cada contribución por cada incremento en la periodicidad será equivalente a un elemento isotrópico radiante y el diagrama de radiación total R(θ)de la antena LW se puede aproximar por la función del factor de array:

∑

+

= −

= ^N

n

j p k n j n

e n

I AF

R

1

sin ) 1

( 0

) ( )

(θ θ ^{θ ξ} (11)

Donde N representa el número de celdas unitarias que constituyen la estructura con las funciones ξ_n y dadas por (10). En general, para antenas LW el ángulo de radiación en (19) es dado por:

In

26

( )

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⁻ ⎡

0 1

0 sin

k β w

θ (12)

Donde )β(w es la constante de propagación de la dirección de propagación en la estructura.

El Diagrama de Radiación para la estructura 3 se ha calculado para una determinada frecuencia, usando el método explicado anteriormente. Además, para una antena LW bidireccional, como la que se muestra en la Figura 22, la contribución de ambos polos kp

y -kp (beingk_p =α_p +iβ_p) se tienen que tener en cuenta en la ecuación.

Figura 22. Esquema de una antena bidireccional. La delgada capa de dieléctrico se coloca para sostener la PRS (Partially Reflective Surface) o FSS y mejorar la precisión en las medidas. [16]

Con el fin de calcular el Diagrama de Radiación para una antena bidireccional, que sería nuestro caso, el resultado es la superposición de las contribuciones de (11) para valores positivos y negativos de kp (constante de propagación en la dirección de propagación sobre la superficie) pero calculadas para la mitad de la longitud total de la antena, L. El valor absoluto de la solución en (11) para valores positivos y negativos de kp se multiplican y el producto se divide por el máximo valor de este mismo producto para ser normalizado, es decir, se normaliza por el valor de intensidad de máxima radiación. Finalmente, para conseguir el Diagrama de Radiación final, los resultados para diferentes frecuencias se representan en escala logarítmica. De esta manera, se aplicó la siguiente ecuación:

( )

⎜⎜

⎝

⎛

⋅

⋅

negative positive

negative positive

k k

k k

F F

F F

) , ( )

, ( max

) , ( )

, log (

20 θ φ θ φ

φ θ φ

θ (13)

27

La representación correspondiente con el Diagrama de Radiación calculado mediante el método que ha sido expuesto, para 15GHz, se muestra en la Figura 23 y es comparado con medidas reales usadas en [16] para la misma estructura.

Figura 23. Comparación del Diagrama de Radiación calculado con el método realizado en este proyecto y con los resultados medidos en [16], para una frecuencia de 15GHz.

Como se puede observar, los resultados obtenidos con el método implementado en este proyecto y los obtenidos a través de medidas reales son muy próximos, una vez más nuestro método ha sido verificado. Sin embargo, se pueden observar ciertas discrepancias debido a las limitaciones que poseen los experimentos reales. Esto podría ser debido a los efectos de difracción en los bordes del metal y el material absorbente, o errores de posicionamiento o alineación, lo que puede causar pérdidas de simetrías en el patrón.

La comparación con medidas reales ha sido realizada gracias a anteriores experimentos realizados en el departamento de Ingeniería Electrónica y Eléctrica de la Universidad de Loughborough (Inglaterra), en el grupo de Comunicaciones Inalámbricas, donde este proyecto se ha llevado a cabo. La antena que se diseño en trabajos anteriores en este departamento se muestra en las imágenes de las Figuras 24 a) y b), y las medidas se realizaron en la cámara anecoica mostrada en la Figura 24 c). Básicamente una cámara anecoica es una sala especialmente diseñada para absorber las ondas que inciden sobre las paredes, el suelo y el techo de la misma cámara, anulando los efectos de reflexión de la onda.

28

a) b)

c)

Figura 24. a) y b) Antena LW formada por una superficie periódica FSS de dipolos, rodeada por un material absorbente para evitar reflexiones y un plano de masa situado a cierta distancia de la FSS. c) Cámara anecoica donde se realizaron las medidas en anteriores experimentos. Imágenes tomadas en el departamento de Ingeniería Electrónica y Eléctrica de la Universidad de Loughborough (Inglaterra).

29

4 Conclusión

En este proyecto, se ha estudiado la aplicación de la Técnica de Resonancia Transversa para estructuras periódicas, actuando como Superficies Selectivas en Frecuencia, con el objetivo de obtener los Diagramas de Dispersión y Radiación de este tipo de antenas. Con el fin de resolver la función que define la Técnica de Resonancia Transversa, se ha implementado un programa en Matlab consistente en un método de búsqueda tanto de mínimos dependientes de una variable (caso Surface-Wave) como de mínimos dependientes de dos variables, en el plano complejo (caso Leaky-Wave), habiendo sido éste verificado con resultados de otros artículos y medidas reales. Los resultados obtenidos a lo largo de este proyecto han sido realizados para el modo TE, es decir, en el plano H, pero de la misma manera, cambiando las ecuaciones de las impedancias en el modelo equivalente, se podrían haber obtenido también para el modo TM, en el plano E. En este último caso, los resultados obtenidos no habrían sido tan precisos debido a que la periodicidad en el plano E es más grande, cercana a λ/2y por esta razón, la superficie no se puede considerar como una admitancia homogénea a lo largo de toda la estructura, lo que constituye la teoría básica para aplicar un modelo equivalente para la Técnica de Resonancia Transversa.

Como una posible extensión del proyecto, se podría estudiar una estructura similar con múltiples capas. En este caso se podría realizar el mismo proceso que se ha seguido en este proyecto pero extendiendo el modelo equivalente de la celda unidad a una línea de transmisión con nuevas admitancias representando las capas de FSS. Sin embargo, en lugar de calcular el coeficiente de reflexión por medio del programa en Fortran basado en el método de los momentos para un análisis modal, se podría estimar usando las ecuaciones derivadas de una teoría general para interferómetros Fabry-Perot con multiespejos, donde cada una de las capas de nuestra estructura estaría representada por un espejo en dicha teoría. [4]

En futuros trabajos, sería interesante estudiar diferentes estructuras basadas en varias capas de FSS usando esta teoría como una posible mejora para el análisis de este tipo de antenas. También, interesaría profundizar en la teoría empleada en el cálculo de mínimos sobre dos dimensiones, como es el caso de las Leaky-Wave, mediante técnicas inteligentes de búsqueda de ceros en el plano complejos [18]

Para concluir, esta técnica ofrece un rápido y preciso método para conocer el comportamiento de una antena antes de su fabricación, que en general, ahorraría tanto tiempo como costes, factores tan importantes en cualquier organización. Por el contrario, se tendría que aplicar un proceso más complejo y lento como puede ser el análisis modal sobre toda la estructura, incrementando drásticamente el coste computacional con el número de capas de la estructura. Por esta razón, la aplicación del método implementado en este proyecto, ofrece una sencilla y rápida solución para la caracterización de este tipo de antenas compuestas por Superficies Selectivas en Frecuencia.

Actualmente, se ha escrito un artículo sobre el trabajo expuesto en este proyecto y está en trámites de ser presentado para una posible futura publicación.

30

31

Final Year Project Report

Analysis and Design of High Gain Planar Antennas.

Author: Cristina Arias Pérez (A620154).

Supervisor: Dr. Alexandros Feresidis.

33

34

Abstract— In this project, a method based on a minimum search has been implemented in order to apply the Transverse Resonance Technique analysis and be able to calculate the Dispersion Diagram of Frequency Selective Surfaces (FSS) antennas. Three different structures have been studied and are presented in this report. All of them have one common characteristic: they are composed of periodic dipoles or tripoles patched surfaces but with different ways of operation, as surface- wave or leaky-wave antennas. The technique implemented has been verified by results found in different papers and measured data. The efficiency and quick solution of this method has been viewed as an advantage against other techniques, such as the modal analysis. This characteristic is a matter of vital importance in the study of multilayer structures in which a modal analysis for the whole structure would be complex to be executed.

TABLE OF CONTENTS

I. INTRODUCTION... 35 A. Analysis of Infinite Periodic Structures. ... 36 B. Techniques of Analysis... 37 1) Empirical Methods: ... 37 2) Modal Analysis... 37 3) Equivalent circuits ... 39 II. APPLICATIONS... 43 A. Surface Waves ... 43 1) Structure 1: ... 43 B. Leaky Waves ... 48 1) Structure 2: ... 49 2) Structure 3: ... 52 a) Leaky-Wave Analysis. ... 52 b) Antenna Performance. ... 58 III. CONCLUSIONS. ... 64 Acknowledgment ... 67 References ... 68 Appendix I: PHAROSRcondip PROGRAM ... 70 Appendix II: Mathematical developments... 71 A. ABCD Parameters ... 71 1) Admittance: ... 71 2) Transmission Line: ... 72 B. Analytical development for structure 1... 73 Appendix III: Matlab Codes ... 75 C. Surface Waves ... 75 1) Structure 1: ... 75 D. Leaky Waves ... 77 1) Structure 2: ... 77 2) Structure 3 ... 78

Analysis and Design of High Gain Planar Antennas.

Cristina Arias Pérez.

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I. INTRODUCTION

requency Selective surfaces, structures widely recognized for being used as filters for microwave and optical signals, are the basic topic of this report . These surfaces consist of periodic structures, represented through different distributions and forms, which will be studied in this section, and has multiple applications as improved antennas for modern wireless communication systems and in general in microwave engineering, obtained with low cost and simple fabrication.

Periodic structures refer to infinite transmission lines or waveguides loaded at periodic intervals with identical reactive elements. These can be either metallic patch elements or aperture elements within a metallic screen and exhibit total reflection (patches) or transmission (apertures) in the neighbourhood of the resonant element. Multiple kinds of periodic structures can be found depending on the shape of the reactive elements and their distribution in the surface, but in all cases it can be modelled as a reactance across a transmission line as it is shown in fig. 1. [6],[7]

Fig. 1. Equivalent circuit of a periodically loaded transmission line. The unloaded line has characteristics impedance Z₀ and propagation constant k. [6]

All the periodic structures have two important properties in common, namely:

1. Passband-stopband characteristics.

2. Support of waves with phase velocities much less than the velocity of light. [7]

There will be passband in frequency bands where the wave propagates unattenuatedly and stop bands in frequency bands where the wave is cut off and does not propagate at all.

The pass band-stop band property is of some interest for its frequency filtering aspects. The second property is of basic importance for travelling-wave tube circuits. In this kind of circuits, efficient interaction between the electron beam and the electromagnetic field is obtained only if the phase velocity is equal to the beam velocity, which is not greater than 10 to 20 percent of the velocity of light. Thus, considerable slowing down of the electromagnetic wave is required. Moreover, each FSS (Frequency Selective Surfaces) can be characterized by three factors: a) width of pass/stop band, b) band-edge ratio (-0.5dB- - 10dB roll off rate), and c) stability of transmission response to angle of wave incidence. In general, due to the two main properties of these kinds of surfaces, FSS find application in travelling-wave tubes, masers, phase shifters, Leaky-Wave antennas, antennas for wireless networks and mobile communication base stations, satellite communication, sensors and car radars, etc. [7]

F

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The Bloch theorem asserts that one wave is propagated in an atomic periodic structure as a plane wave which adopts the frequency and symmetry of the atomic structure, so the circuit analysis of a periodic structure involves studying an equivalent network for a single basic section (unit cell) of the original structure. This is followed by an analysis to determine the voltage and current waves that may propagate along the network consisting of the cascade connection of an infinite number of the basic networks.

A. Analysis of Infinite Periodic Structures.

The best way to calculate the transmission characteristics of a periodic surface is by using ABCD matrices. Each unit cell can be study separately, which consists basically of three two-port networks in cascade, and obtain its ABCD matrix multiplying the ABCD matrices representing each individual two-ports. It must be noted that the order of multiplication of the matrix must be the same as the order in which the networks are arranged, since matrix multiplication is not commutative.

In the case it is being studied, shown in Fig. 1, one unit cell is made up of a cascade of a transmission line section of length d/2, a shunt susceptance normalized b, and another transmission line section of length d/2 [6]. So the ABCD matrix for this unit cell in a normalized form is:



 























 





















=



 







 



=



 





+ + +

+

1 1 1

1

cos2 sin2

sin2 cos2

1 0 1 cos2 sin2

sin2 cos2

n n n

n n

n

I V j

j j jb

j I

V D C

B A I

V

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

(1) (The demonstration of the result of the ABCD parameters for one transmission line and admittance is developed in Appendix II).

Due to the fact that the structure is supposed to be infinitely long, it can be expressed as the following:

d n n

d n n

e I I

e V V

γ γ

− +

− +

=

=

1

1 . Then, (1) can be rewritten as:

0

1 1

 =



 



 



 





−

−

+ + n n d d

I V e D C

B e

A

γ γ

(2)

For a nontrivial solution, the determinant of the above matrix must vanish and since AD- BC=1 (characteristic of reciprocal networks), the following solution can be obtained easily ([6], p.425):

θ θ

β α β

α

γ sin

cos 2 sin

sinh cos

cosh

cosh b

d d

j d d

d = + = − (3)

37

As it can be observed, the right part of the expression is real so α or β must be zero.

a) If α=0 and β≠0, then the passband case of the structure occurs because wave is nonattenuated.

b) If α≠0 and β=0, then the stopband case of the structure occurs because wave is attenuated.

B. Techniques of Analysis

[1] Basically, three ways may be chosen to calculate transmission characteristics of FSS.

These ways are based on: empirical methods by measuring the surface to study, modal analysis, and equivalent circuits.

1) Empirical Methods:

This method consists in the execution of some measurements for different shapes and distribution of the reactive elements in the surface. Once they have been carried out, they are compared in order to obtain accurate results. It is based on experience.

2) Modal Analysis

[1] The basic of this method is the analysis of the electromagnetic fields that occur to the structure. The first thing to do in formulating the problem of electromagnetic scattering from a FSS is to relate the fields scattered from the FSS to the surface currents induced on the screen by the incident field. To do it easier, at the beginning it can be assumed that the FSS is infinitesimally thin, valid for most applications, although later equations must be modified to handle an FSS on a dielectric substrate, and with a finite conductivity.

This relation is expressed as follows:

( ) 



 



∗ 

 =



 





) , (

) , , (

) , (

) , (

y x J

y x y J

x y G

x A

y x A

y x

y x

(4)

Where J refers to the surface current density induced on the FSS and A to the magnetic vector potential due to this current.

The expression for G is the following:

( )

r I r G jk

π 4 exp −

=

( ^x

^y

)

r = +

38

0

=

k

=

I Identity tensor, and ∗ , the convolution operator.

The following step in modal analysis is to express the transverse components of the scattered electric field Es in the plane of the screen



 





















∂ +

∂

∂

∂

∂

∂

∂ + ∂

∂

∂

=













y x s

y s x

A A y k

y x

y k x

x E jw

E

2 0 2 2

2 2 0

2

0

1

ε (5)

In order to take advantage of the periodicity of the geometry, (5) is rewritten in the spectral domain using the Fourier transform:

( )

( ) ( ) ( )

( )

 



 



 





−

−

−

= −













β α

β β α

β α αβ

αβ α

β ε α

β α

, , ,

~ 1

, ,

2 0 2 0

0 y

x s

y s x

J G J

k k

E jw E

(6)

Where:

( )

(

)

G j

12 2 2 2

2 0

~ ,

β α β

α

−

−

= − ,

And α and β are the transform variables corresponding to the x and y coordinates, respectively.

Once the induced currents have been determined, other quantities of practical interest, e.g., reflection and transmission coefficients for the dominant harmonics, as well as the scattering matrix description for the screen, can be calculated.

In order to solve the equations, the Moment Method is used. The efficiency in solving with this method depends critically upon the choice of the basis functions. It is helpful to consider several factors in choosing these functions: 1) it is advisable that the number of basis functions used to represent the unknown current be minimal, and therefore the matrix size be small, 2) it is convenient to choose the basis functions that are analytically Fourier transformable, 3) the transforms of the basis functions must decay rapidly for large α and β in order to reduce the computing cost solving the scalar products that appear in the matrix elements, 4) it must be taken into account that if the number of basis functions needed becomes too large for the core memory of the computer, then a solution scheme that is different from the Gaussian elimination method, such as an iterative procedure, should be utilized.