TEMA II: ELASTICIDAD LINEAL 2.1 Introducción.
2.2 Origen de las fuerzas de recuperación elástica.
2.3 Origen atómico del módulo elástico
2.4 Tensor de tensiones y tensor de deformaciones.
2.5 Elasticidad lineal en materiales isótropos.
2.6 Elasticidad lineal en materiales anisótropos.
2.7 Métodos de medida del módulo elástico.
2.1 INTRODUCCIÓN
Como vimos en el tema anterior, el régimen elástico se caracteriza porque las deformaciones son reversibles. Para que la deformación sea reversible es necesario que existan fuerzas de recuperación, que tiendan a devolver al sistema a su estado original. Estas fuerzas de retracción elástica, por tanto, devuelven a los átomos a sus posiciones de equilibrio originales. El comportamiento elástico puede ser lineal o no dependiendo entre otros factores del origen y naturaleza de dichas fuerzas de recuperación.
En general, la respuesta elástica puede considerarse instantánea, de forma que nada más aplicar una cierta tensión el sólido adquiere la correspondiente deformación. Sin embargo, existe un tipo de comportamiento elástico en el cual existe un cierto retardo entre causa (tensión) y efecto (deformación), que implica una dependencia con el tiempo de la respuesta elástica. A este tipo de comportamiento se le denomina viscoelasticidad.
Existe un tipo de fenómeno elástico adicional, que en realidad se verifica en mayor o menor medida en todos los sólidos y que se conoce como anelasticidad. En los materiales anelásticos la curva de descarga no coincide con la de carga de forma que la curva carga-descarga encierra una cierta área (se suele decir que la curva presenta histéresis). Este hecho denota que existe una disipación de energía en forma de calor durante el proceso de carga y descarga (de hecho la cantidad de energía disipada puede calcularse a partir del área encerrada en la curva). Este fenómeno es especialmente intenso en materiales no lineales y viscoelásticos. Este comportamiento es útil para amortiguar vibraciones o ruido pero no es deseable en otro tipo de piezas que deben transmitir esfuerzo ya que reducirían su eficiencia.
El estudio de las propiedades elásticas es esencial para el diseño de estructuras y piezas, ya que en estas aplicaciones estructurales (vigas, espejos de telescopios y radioantenas) es necesario controlar la deflexión elástica. También es esencial en aplicaciones acústicas ya que las propiedades elásticas determinan la frecuencia natural de vibración del material y por tanto su capacidad para producir o conducir el sonido.
En este tema analizaremos la teoría elástica que estudia la relación entre tensiones y deformaciones en el régimen elástico. Como ya hemos comentado, el régimen elástico suele limitarse a pequeñas deformaciones (<0.1 %) pero en algunos casos puede extenderse mucho más (> 500 % en el caso de algunos elastómeros).
Estudiaremos los parámetros elásticos que describen el comportamiento de los materiales en este régimen y su relación con la estructura del material y, en particular, con la naturaleza del enlace atómico.
2.2 ORIGEN DE LAS FUERZAS DE RECUPERACIÓN ELÁSTICA
Hasta ahora hemos limitado la descripción del comportamiento mecánico de los materiales a aspectos macroscópicos y fenomenológicos. En esta sección analizaremos los mecanismos microscópicos que son la base del comportamiento elástico, estudiaremos el origen físico de las fuerzas de retracción elásticas a partir de un análisis termodinámico del material.
Consideremos una barra que se deforma un dl for efecto de una carga P que equilibra la fuerza de retracción elástica Fr.
Si aplicamos a este proceso el primer principio de la termodinámica, la variación de energía interna U del sistema vendrá dada por:
W Q dU
con Q el calor absorbido y W el trabajo realizado por el sistema. Si el proceso es reversible (elástico) entonces
TdS Q
y considerando que
W
Frdl
pdV tendremos:pdV dl F TdS
dU
r
que teniendo en cuenta que la energía libre de Helmholtz, F, se define como F
U
TS, nos conduce a:pdV dl F SdT
dF
r
Es decir, se tiene queTV TV
r SdT
TdS dU dF
TV
r l
T S l
F U l
F F
Es decir, la fuerza de recuperación elástica (a T y V constantes) es igual al aumento de energía libre (F) del sistema por unidad de longitud y puede expresarse como suma de 2 contribuciones:
re ri
r
F F
F
una fuerza de retracción interna o entálpica (debido a aumento en la energía interna, U),
TV
ri l
F U
, y unafuerza de retracción entrópica (asociada a disminuciones en la entropía S del sistema),
TV
re l
T S
F
. Esdecir, la energía mecánica aportada al sistema por la fuerza o carga externa se emplea en aumentar su energía interna (mediante una modificación de las posiciones atómicas respecto al equilibrio) y/o en disminuir su entropía (es decir, en aumentar el orden de la estructura), en cuyo caso, parte de la energía se disipa en forma de calor.
En las figuras se muestran las situaciones extremas en que domina exclusivamente una de las 2 contribuciones: cristal ideal (entálpica) y elastómero ideal (entrópica).
En el primer caso la fuerza de retracción tiene un origen puramente energético y sería independiente de la temperatura. En cambio, en el segundo, la fuerza tiene origen entrópico y aumentaría con la temperatura.
Demostración de la dependencia con la temperatura:
F
rl
0dl
P
P F
rTV pdV
dl F SdT dF
V lV V
r
TV
r l
S T
l F l
T F T
F l
F F
r
2 Ffunción deestadocon diferencial totalexacta 2 De forma que si
0
l TVS , es decir si no hay componente entrópica (Fre= 0)
0
lV r
T
F
y la fuerza deretracción elástica no dependerá de la temperatura (esto no es estrictamente cierto, como veremos más adelante, porque el volumen no es estrictamente constante).
Puede determinarse la importancia relativa de cada componente (entálpica vs. entrópica) representando la fuerza de retracción, o la tensión aplicada
TV TV
T s u
, en función de la temperatura. Lamagnitud de la componente entálpica vendrá dada por la ordenada en el origen de la recta resultante y la componente entrópica por su pendiente. En las situaciones ideales (elasticidad puramente entálpica o entrópica) alguna de las dos magnitudes (ordenada en el origen o pendiente) será cero.
Las expresiones anteriores nos permiten, además, escribir la ecuación de estado del sólido elástico:
lV r
TV
r
T
T F l
F U
Además, puede establecerse una analogía entre el caso del elastómero ideal en tracción y el de un gas ideal en compresión:
Para el gas ideal: dV
T dT p T dS nC pdV
dT nC pdV dU
TdS
v
v
de donde:V T
T S
p
Análogamente, para el elastómero ideal se verifica:
TV re
r l
T S F
F
Así, al igual que un gas ideal se calienta cuando se comprime, el elastómero se calienta cuando se alarga. La presión necesaria para comprimir un gas aumenta al aumentar la temperatura, análogamente la rigidez de un elastómero aumenta al aumentar la temperatura (aumenta la oposición a la deformación, aumenta Fr).
2.3 ORIGEN ATÓMICO DEL MÓDULO ELÁSTICO.
En esta sección analizaremos lo que sucede a nivel atómico cuando el material se alarga e intentaremos deducir el valor del módulo elástico del material a partir del conocimiento de la energía potencial de enlace entre átomos. Consideremos la siguiente celda unidad cúbica:
0 0
0
2 0
1
r
dr
rdF E r
r d dr
r dF A
d dF
d E d Ed
d
dF
dF
dr
r
0Por tanto el módulo elástico puede calcularse como la derivada de la fuerza que puesto que estamos en el equilibrio será igual a la fuerza de recuperación elástica. Si consideramos elasticidad puramente entálpica, que es la dominante en materiales convencionales, entonces la fuerza de recuperación elástica no es otra que la fuerza de enlace entre átomos, y por tanto:
0 0
2 2 0 0
1 1
r r dr
F dU
r
r
dr
U d r dr
dF E r
Donde U es la energía potencial de enlace, que considerando un potencial de Lennard-Jones (el más comúnmente empleado), vendría dada por la expresión:
n
m
r
B r U A
Donde A, B, n, m son constantes que dependen del material y r es la distancia entre átomos. Entonces podemos calcular:
) 1 ( )
1 1 (
E
)
1 ( )
1 (
2 0 2
0 0
2 2
2 2 1
1
n m
n m
n m
r n B r n
m A r m
r n B r n
m A dr m
U d r
n B r
m A dr dU
Entonces, considerando:
03 03 03 0
2 0
0 1
2 0
0
0
0 0 1
0 0 1
0 1 0
0 0 0
1 /
) (
1 /
) 1 ( 1 / ) / 1 (
1 ) /
1 1 (
/ / )
1 1 (
1 /
/ 1 1
0
) (
0
nmkT E r
nmkT m
n m n n r E kT m
n n n m
n m m n
m r
kT
r
r m n n kT
n r
m r n
m kT n
m r m
E
m r n
m kT n
A
m r kT n B r kT
B m
n mBr
A n r
n B r
m A dr
dU
r B r
kT A r
U
f f
f f
n
n f
m
m f
m f
n f
n f n
m n
m r
r
n f m
Donde Tf es la temperatura de fusión del material, k es la constante de Boltzmann y es el volumen de la celda unidad. En definitiva, el valor del módulo elástico depende de la fuerza del enlace (que a su vez determina Tf)
Por otro lado, al aumentar la temperatura (es decir, la energía térmica) las distancias de equilibrio, r0, entre los átomos aumentan como consecuencia de la asimetría del potencial de Lennard-Jones. Este fenómeno se denomina expansión térmica y, como consecuencia de él,
r0
dr
dF
decrece y, por tanto, el módulo elástico tambiéndecrece. Esta disminución es prácticamente lineal y puede describirse de forma aproximada por la expresión:
T
fa T E
E 1
0
donde E0 sería el módulo a 0 K (y que hemos calculado anteriormente) y a una constante de proporcionalidad que en la mayoría de sólidos está en torno al valor a = 0.5. Según esto, el módulo elástico en un material convencional se reduciría hasta entorno a un 50% cuando nos aproximamos a su punto de fusión.
2.4 TENSOR DE TENSIONES Y TENSOR DE DEFORMACIONES.
En esta sección repasaremos los conceptos básicos de tensión y deformación, así como la notación tensorial de ambas magnitudes.
2.4.1 Tensor de tensiones
Sea un punto P cualquiera del sólido elástico y consideremos un entorno plano de P, , contenido en un plano cualquiera que atraviesa dicho punto. Si
f
es la resultante de todas las fuerzas que actúan en el área , definimos como tensión en el punto P respecto al plano , el siguiente límite:
f σ
πf
lim
0de forma que el vector tensión es colineal con la resultante de las fuerzas que actúan en dicho punto y plano. Si el vector tensión es colineal con el vector unitario normal al plano, n, se dice que dicha tensión es normal; si está contenido en el propio plano se denomina tensión tangencial. Cualquier tensión se descompone en 2 componentes: una normal,
n, y otra tangencial,
, al plano.El vector tensión varía dependiendo del plano que consideremos, tanto en magnitud como en dirección y sentido, puesto que cambia la distribución de fuerzas en el entorno plano del punto. Esto indica que no se puede definir la tensión en el punto P con un vector, sino que se trata de una magnitud tensorial, el tensor de tensiones, que como veremos puede representarse por una matriz:
n
σ T
Si consideramos un sistema de referencia cartesiano Oxyz centrado en P y un paralelepípedo elemental de aristas dx, dy y dz entorno a dicho punto, según lo visto anteriormente, sobre cada cara actuará un vector tensión distinto, cuyas componentes normales serían paralelas a uno de los ejes coordenados y cuyas componentes tangenciales podrían descomponerse a su vez en las direcciones de los 2 ejes coordenados contenidos en cada cara.
.
Denotaremos por
nio
iia las tensiones normales paralelas al eje i (con i =x,y,z), que serán positivas si son de tracción y negativas si son de compresión; y por
ij a las tensiones tangenciales contenidas en el plano normal al eje j y dirigidas según la dirección i (con i, j =x,y,z). Estas tensiones tangenciales serán positivas si están dirigidas según el sentido positivo del eje i y negativas en caso contrario.Aplicando la condición de equilibrio mecánico al paralelepípedo se obtiene que para que el sólido no se desplace (ausencia de desplazamiento) las tensiones normales (y tangenciales) en caras opuestas deben ser iguales entre sí, pero con sentido contrario.
Por otro lado, para que el sólido no gire (ausencia de giro) los momentos deben ser nulos (Mx = My = Mz
= 0), lo que implica que tensiones tangenciales deben ser iguales 2 a 2:
xz zx
zy yz
yx xy
A este resultado se le conoce como teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales y suele enunciarse de la siguiente forma: “Las tensiones tangenciales correspondientes a dos planos perpendiculares en la dirección normal a la arista de su diedro son iguales. Además, su sentido es tal que o bien ambas se dirigen hacia la arista o bien ambas se separan”:
De acuerdo con estos resultados, de los 18 valores de los vectores tensión en las 6 caras del elemento paralelepipédico sólo 6 son independientes. Conocidos dichos valores es posible calcular el vector correspondiente a cualquier otra orientación:
Sea un tetraedro elemental entorno a P como el de la figura:
En la cara oblicua las componentes del vector tensión pueden expresarse en función de las 6 componentes independientes y de los cosenos directores () del vector unitario normal a dicha cara n=(). Las áreas de las caras del tetraedro paralelas a los planos coordenados son proyecciones ortogonales del área d y por tanto tienen valores d, dy drespectivamente. Para que el tetraedro esté en equilibrio la suma de las componentes paralelas a cada eje debe ser nula:
n σ
T
d d
d d
d d
d d
d d
d d
zz zy zx
yz yy yx
xz xy xx
z y x
zz zy
zx z
yz yy
yx y
xz xy
xx x
Por lo tanto, el estado tensional de un sólido elástico queda determinado si se conoce el tensor de tensiones, [T], en todos sus puntos. Nótese que el tensor de tensiones es simétrico por efecto del teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales.
Cambio de sistema de referencia.
Veamos como se transforma el tensor de tensiones si se cambia el sistema de referencia. Sea (R) la matriz de cambio de ejes (Es decir, una matriz que contiene por columnas las coordenadas de los vectores base del segundo sistema respecto al primero), entonces se puede ver que:
* ) ( ) ( )
( ) (
* * ) (
* ) (
* )
( ) ( 1
n n
σ n σ
n
σ σ
TT T
T R
R
R T R T
R R R
R
T
donde las magnitudes con asteriscos están expresadas según el segundo sistema de referencia y las sin asterisco según el primero.
Tensiones y direcciones principales.
Cabe preguntarse si existe algún plano tal que el vector tensión es perpendicular a dicho plano. Si dicho plano existe, se verificará:
0
n n I n
σ T T
que desarrollado queda
0 ) (
0 )
(
0 )
(
nz zy
zx
yz ny
yx
xz xy nx
Este sistema de ecuaciones que se denomina ecuación de autovalores del tensor, y es un sistema homogéneo (3 incógnitas y 3 ecuaciones) y por lo tanto tiene solución para determinados valores de que deben cumplir la siguiente condición de compatibilidad:
0
0 ) (
) (
) (
3 2 2 1
3
I I I
zz zy
zx
yz yy
yx
xz xy
xx
Las raíces de esta ecuación (denominada ecuación característica) son los valores propios de [T] que se denominan tensiones principales y las direcciones, los n=(), que son solución al sistema de ecuaciones para cada uno de esos valores se denominan direcciones principales. Las tensiones principales son independientes del sistema de coordenadas elegido lo que implica que los coeficientes I1, I2, I3 son invariantes:
T tensiones de
matriz la de te Determinan
cuadrático Invariante
) T de (traza lineal Invariante
3
2 2 2 2
1
T I I I
yz xz xy zz xx zz yy yy xx
zz yy xx
Por ser la ecuación característica de 3er orden, se puede garantizarla existencia de al menos una raíz no nula y una dirección principal de la matriz [T], aunque generalmente son 3.
Ecuaciones de equilibrio interno y equilibrio en el contorno.
Fijado el sistema de referencia Oxyz, las componentes de [T] en un punto serán función de las coordenadas de dicho punto. Sin embargo, los valores de dichas componentes no pueden ser arbitrarios, dependerán de las fuerzas aplicadas (fv). La condición de equilibrio estático establece que si (X,Y,Z) son las componentes de la fuerzas externas por unidad de volumen, fv, que actúan sobre el paralelepípedo elemental se cumple:
0 0 0
z y
Z x
z y
Y x
z y
X x
zy nz zx
yz ny
yx
xy xz nx
Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de equilibrio interno.
Análogamente, para los puntos en el contorno del sólido, las ecuaciones de equilibrio toman la forma:
nz zy
zx
yz ny yx
xz xy
nx
Z Y X
siendo fs=(6X,6Y,6Z) las fuerzas por unidad de superficie aplicadas en el contorno. Es decir, estas ecuaciones no son más que fs=.
Sin embargo, las 3 ecuaciones de equilibrio (ya sea interno o de contorno) no bastan para determinar las 6 componentes de [T] en un punto dado (del volumen o la superficie) del material a partir del conocimiento de las fuerzas aplicadas. Para su cálculo es necesario considerar la deformación elástica del cuerpo.
2.4.2 Tensor de deformaciones
Al actuar las fuerzas externas el sólido se deforma, las partículas modifican sus posiciones relativas. Sin embargo, no lo hacen aleatoriamente, sino que siguen unas leyes que dependen de una serie de propiedades del material. Sean dos puntos infinitamente próximos P y Q de un sólido sin deformar, tales que
PQ=dr=dx i+dy j+dz k
en un sistema de referencia Oxyz. Tras la deformación, el punto P se desplaza a la posición P’ y el Q a la Q’ de forma que P=PP’=ui+vj+wk y Q=QQ’=u’i+v’j+w’k
Teniendo en cuenta que los desplazamientos son muy pequeños (es decir, admitiendo que los desplazamientos u, v, w son infinitésimos de primer orden, continuos y con derivada continua) podemos expresar Q en función de las componentes de P y de sus derivadas, mediante desarrollo en serie de Taylor:
r P
Q M d
dz dy dx
z w y w x w
z v y v x v
z u y u x u
w v u
w v u
z dz dy w y dx w x w w dw w w
z dz dy v y dx v x v v dv v v
z dz dy u y dx u x u u du u u
' ' ' '
' '
dr dr’
Q
P
P P’
Q Q’
La matriz [M] puede descomponerse en suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica:
M M M
T M M
T D H
2 2
siendo
2 0 1 2
1
2 0 1
2 1
2 1 2
0 1
,
2 1 2
1
2 1 2
1
2 1 2
1
z v y w z
u x w
y w z v y
u x v
x w z u x
v y u
H
z w y
w z v x
w z u
y w z v y
v x
v y u
x w z u x
v y u x
u
D
Calculemos ahora dr’
r' r r r r r I r r r
P Q
P Q r
r' d d M d d D d H d H d D d
d M d
d
La matriz [H] es una matriz hemisimétrica y por tanto representa un giro infinitesimal de sólido rígido.
Por tanto, su aplicación no modifica las distancias relativas entre puntos (tampoco lo hace la traslación que se observa en la figura. Por tanto el movimiento sufrido se puede escribir como suma de una traslación más un giro más una deformación. Y al contrario que [H], la matriz simétrica [D] produce un cambio ([D]dr) tanto en la dirección como en el módulo del vector dr y por ello se denomina matriz o tensor de deformaciones.
Se definen:
y w z v x
w z u x
v y u z
w y
v x
u
yz xz
xy z
y
x
, , , , , De manera que el tensor de deformaciones queda de la siguiente forma:
z yz xz
yz y
xy
xz xy x
D
2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1
La matriz es simétrica y los elementos de la diagonal principal representan deformaciones longitudinales en las direcciones de cada eje. Por ejemplo, si estiramos un segmento dx en dirección x la deformación sería:
x
xu dx
u x dx u u
l
l
0
A su vez, las componentes ij representan deformaciones tangenciales o de cizalladura:
En efecto, la deformación angular + que es lo representativo de la deformación a cizalladura vendría dada por:
y xy
u x v
y tg u
x tg v
Al igual que con las tensiones, también es posible definir un vector deformación según una determinada dirección o plano:
r r' r r ε n
r
r' D
dr D d dr
d d d
D d
d
Conviene destacar que la dirección del vector y correspondientes a un determinado plano o dirección n no tienen por qué coincidir. Al igual que para el caso del tensor tensión, podremos hablar de direcciones principales donde la deformación sea exclusivamente longitudinal, que se calcularán de forma análoga, resolviendo el correspondiente sistema de autovalores. Las direcciones principales del tensor de deformaciones coinciden con las del tensor de tensiones.
2.5 ELASTICIDAD LINEAL EN MATERIALES ISÓTROPOS.
Veamos ahora las relaciones empíricas que relacionan tensiones y deformaciones en materiales isótropos (es decir, aquellos cuyas propiedades no dependen de la dirección en que las midamos). Como ya hemos mencionado, la mayoría de los materiales estructurales (metales, cerámicos, madera…) exhiben un comportamiento elástico lineal en las primeras etapas de carga. Es decir, se observa que estos materiales verifican la ley de Hooke.
2.5.1 Ley de Hooke.
La relación lineal entre la tensión y deformación en una barra sometida a tracción o compresión uniaxial se expresa mediante la expresión:
= E
es decir, en dicho tramo las tensiones son proporcionales a las tensiones. La constante de proporcionalidad se conoce como módulo de Young, módulo de elasticidad o simplemente módulo elástico, E, del material. Este parámetro puede calcularse a partir de la pendiente de la curva en este tramo inicial, y nos da una idea de la oposición del material a ser deformado elásticamente (es decir, de su rigidez). Veremos otras magnitudes que caracterizan el régimen elástico lineal.
2.5.2 Coeficiente de Poisson.
En el tramo elástico, la relación entre el alargamiento unitario y el acortamiento transversal unitario se mantiene constante y es una propiedad de cada material que se denomina coeficiente de Poisson:
l t
El signo menos se introduce para que el coeficiente sea positivo ya que las deformaciones transversales suelen ser de signo opuesto a las longitudinales. El coeficiente de Poisson es un parámetro adimensional y su valor es siempre inferior a 0.5 y generalmente está comprendido entre 0.2 y 0.4.
Nota: como acabamos de ver, el hecho de que existan deformaciones en una determinada dirección no implica que existan tensiones en dicha dirección, por ello los vectores y no tienen por que ser paralelos.
2.5.3 Principio de superposición. Leyes de Hooke generalizadas.
Las tensiones y fuerzas verifican el principio de superposición, por lo que “la deformación resultante de la aplicación simultánea de 2 o más sistemas de fuerzas es la suma de las deformaciones que producirían cada uno de los sistemas de fuerza por separado.”
Aplicando este principio a un cubo sobre cuyas caras actúan diferentes tensiones, la deformación en una dirección determinada, por ejemplo la dirección y, será la suma de la deformación longitudinal producida por la tensión y y de las deformaciones transversales producidas por x y z, que teniendo en cuenta la definición del coeficiente de Poisson nos conduce a:
y x z
z y x
y
E E E E
1
x
y
zy análogamente para las otras 2 direcciones:
z x y
z
z y x
x
E E
1 1
Estas expresiones se denominan leyes de Hooke generalizadas para el caso particular de que los ejes coordenados coincidan con los ejes principales, y relacionan todas las componentes de [T] y [D] en ese caso particular (en este caso sólo hay componentes en la diagonal principal: tensiones principales para [T] y deformaciones longitudinales para [D]).
Veamos el caso más general en que el sistema de coordenadas Oxyz no coincide con la terna de direcciones principales Ox*y*z* y siendo [R] la matriz de cambio de coordenadas de Ox*y*z* a Oxyz. Entonces:
TD T R
R
R D R D R
D R D
R R R
R
T) (
* ) ( ) (
* ) (
*
* ) (
* )
* ( ) (
* )
(
( )1 ( )
n n
ε n ε
n
ε ε
y análogamente:
T ( R ) T * ( R )
T
Que desarrolladas quedan:
33 32 31
23 22 21
13 12 11
33 23 13
32 22 12
31 21 11
0 1 0
1 0 0
0 1 0
2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2 1
r r r
r r r
r r r
E E
E
r r r
r r r
r r r
z y x z z
x y x
z y x
z yz xz
yz y xy
xz xy x
y
y
33 32 31
23 22 21
13 12 11
33 23 13
32 22 12
31 21 11
0 0
0 0
0 0
r r r
r r r
r r r
r r r
r r r
r r r
z y x
zz zy zx
yz yy yx
xz xy xx
donde los rij son los cosenos directores de los vectores unitarios de un sistema respecto al otro. Desarrollando se tiene que:
33 23 32
22 31
21
33 13 32
12 31
11
23 13 22
12 21
11
2 33 2
32 2
31
2 23 2
22 2
21
2 13 2
12 2
11
33 32 31
23 22 21
13 12 11
33 23
13
32 22
12
31 21
11
r r r
r r
r
r r r
r r
r
r r r
r r
r
r r
r
r r
r
r r
r
r r r
r r r
r r r
r r
r
r r
r
r r
r
z y
x yz
z y
x xz
z y
x xy
z y
x xx
z y
x yy
z y
x xx
z z
z
y y
y
x x
x
zz zy zx
yz yy yx
xz xy xx
y análogamente para las deformaciones:
1
33 13 32 12 31 11 21
23 13 22 12 21 2 11
1
2 33 2 32 2 31
2 23 2 22 2
21
2 13 2 12 2 11
r r r r r r
r r r r r r
r r
r
r r
r
r r
r
z y
x xz
z y
x xy
z y
x xx
z y
x yy
z y
x xx
