Mayo 2020 Prof.: Cristina Niklitschek
GUIA N° 3 DE EJERCICIOS – I MEDIO
Nombre: Curso:
Docente: Cristina Niklitschek – Sebastián Vilches
Objetivos de aprendizaje: Mostrar que comprenden las potencias de base racional y exponente entero:
• Transfiriendo propiedades de la multiplicación y división de potencias a los ámbitos numéricos correspondientes.
• Relacionándolas con el crecimiento y decrecimiento de cantidades.
• Resolviendo problemas de la vida diaria y otras asignaturas.
POTENCIAS
En años anteriores has aprendido sobre las potencias de base y exponente natural. Recordemos:
Esto quiere decir que si tenemos una potencia, por ejemplo 26, el 2 se multiplica por sí mismo 6 veces, es decir:
Recordemos también algunas propiedades de las potencias, donde 𝑎, 𝑏, 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ:
Potencia de la unidad:
1𝑛= 1
Exponente unitario:
𝑎1 = 𝑎 Multiplicación de potencias de igual base:
𝑎𝑚∙ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛
Multiplicación de potencias de igual exponente:
𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛 = (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 División* de potencias de igual base:
*recordemos que la división puede ser escrita de forma lineal o como fracción, en ambos casos se cumple la propiedad.
𝑎𝑚: 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 𝑎𝑚
𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛
División* de potencias de igual base:
*recordemos que la división puede ser escrita de forma lineal o como fracción, en ambos casos se cumple la propiedad.
𝑎𝑛: 𝑏𝑛 = (𝑎: 𝑏)𝑛 𝑎𝑛
𝑏𝑛 = (𝑎 𝑏)
𝑛
Potencia de base negativa:
Ahora veremos qué pasa cuando la base de una potencia es un número negativo. Primero debeos distinguir 2 casos:
Con paréntesis. Sin paréntesis.
(−2)6 −26
En este caso la base de la potencia es (−2) por lo tanto la base de la potencia es un número
negativo.
En este caso la potencia es negativa, pero su base es 2 y por lo tanto la base de la potencia es un número positivo.
Nuestro resultado final es un número positivo. Nuestro resultado final es un número negativo.
Veamos otros casos:
Resultado negativo. Resultado positivo. Resultado negativo.
Como pudimos observar con el ejemplo anterior, el resultado de una potencia de base negativa, puede ser positivo o negativo, dependiendo del valor del exponente.
Potencia de exponente 0:
Supongamos que debemos resolver la potencia 30, sin embargo no podemos multiplicar el 3 por si mismo cero veces, es por esto que usaremos un pequeño truco aplicando las propiedades de las potencias, pon atención:
30 = 32−2
= 32: 32
= 9: 9
= 1
Porque 2 − 2 = 0
Aquí usamos la propiedad de la división de potencias de igual base.
Porque 32 = 9 Porque 9: 9 = 1
Por lo tanto 30 = 1 y esto se puede extrapolar para cualquier valor de la base que sea distinto de 0.
Potencias de exponente negativo:
Hasta ahora hemos calculado potencias de exponente positivo, pero ¿qué pasa si el exponente es un número negativo? Por ejemplo calculemos 3−2. Para esto también utilizaremos un truco aplicando las propiedades de las potencias:
3−2 = 30−2
= 30: 32
=30 32
= 1 32
=1 9
Porque 0 − 2 = −2
Aplicamos propiedad de división de potencias de igual base.
Porque una división también se puede escribir como fracción.
Porque acabamos de ver que todo número elevado a 0 es igual a 1 Porque 32 = 9
Ejemplos:
a) Determina el valor del cociente entre 58 y 510. 58: 510= 58−10
= 5−2
= 1 52
= 1 25
Aplicando propiedad de división de potencias de igual base.
Porque 8 − 10 = −2
Aplicando propiedad de exponente negativo.
Porque 52 = 25
b) Calcula el producto entre 5−4 y 34. 5−4∙ 34 = 1
54∙ 34
=14 54∙ 34
= (1 5)
4
∙ 34
= (1 5∙ 3)
4
= (3 5)
4
= 0,64
Aplicando propiedad del exponente negativo.
Porque 1 = 14
Aplicando propiedad de división de potencias de igual exponente.
Aplicando propiedad de de multiplicación de potencias de igual exponente.
Porque 1
5∙ 3 =1
5∙3
1= 3
5
Porque 3
5= 0,6 Ejercicios:
1) Marca con una X si el resultado de la potencia es positivo o negativo. (no es necesario calcular el valor de la potencia)
−45 (−3)2 2−5 −7−2 (−6)−3
Positivo Negativo
2) Representa los siguientes productos como potencias.
a. (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) ∙ (−3) b. – (5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5)
c. 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 ∙ 4 d. (−6) ∙ (−6) ∙ (−6) ∙ (−6) e. −(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2)
3) Escribe cada potencia como un producto de factores iguales.
a. (−8)4 b. 53 c. −46
4) Calcula el valor de cada potencia.
a. −4−2 b. (−3)4 c. (−2)−5 d. −33 e. 42 f. 2−4
5) Realiza las siguientes operaciones aplicando las propiedades de las potencias.
a. (−2)4∙ (−2)−5 2−1
b. 6−4∙ 62 3−5: 3−3 c.
46: 26 23
d. (−8)−4: (−8)−2 4−2: 2−2
