Com pagar una hipoteca

(1)

MATEMÀTIQUES 4t ESO

Com pagar una

hipoteca

(2)

A. ANUALITATS

Com molt bé sabeu, poca gent es pot deslliurar de pagar una hipoteca, sol·licitar un crèdit personal o comprar a terminis. Tractarem aquests tipus de qüestions.

A.1

Es demana un préstec de 10.000 € i es tornarà en terminis anuals durant 2 anys a un interès compost del 5% anual.

a) Quant hem de pagar el primer any d’interessos?

b) Si al final del primer any paguem 4.000 €, en quina quantitat hem rebaixat el capital a retornar?

c) Quin és el deute pendent al final del primer any i al principi del segon any? d) Si la quota del segon any fos de 6.000 €, s’amortitzaria el deute?

e) Omple la taula següent:

Deute pendent (€) Deute

amortitzat (€) Interessos

Quota (€) (€) Nº terminis

(anys)

f) Quina és la quantitat de diners pendent després dels dos anys? g) Si ha pagat en total 10.000 €, perquè encara té deute pendent?

h) Com et sembla que es retornen els diners d’un préstec, en quotes fixes o variables?

i) Quina quantitat hauríem de pagar en acabar el segon any per tal que la quantitat pendent després dels dos anys fos de 0 €.

A.2

Es demana un préstec de 5.000 € i es tornarà en terminis variables durant tres anys i a un interès compost del 5% anual.

a) Suposem que en finalitzar cada any s’ingressa 250 €. Amortitzarem el deute després dels tres anys? Omple la taula següent:

Deute

(3)

Què passa amb el deute pendent?

b) Si la quantitat a ingressar és de 500 € el primer any, 600 € el segon any i 700 € el tercer any, què succeeix amb el deute pendent? Omple la taula següent per respondre a la pregunta.

(anys)

c) Troba el deute pendent després de tres anys si els ingressos anuals són de 700

€ el primer any, 600 € el segon any i 500 € el tercer any, què succeeix amb el deute pendent? Omple la taula següent per respondre a la pregunta

(anys)

d) Intenta trobar una quota fixa a ingressar anualment per tal que el deute pendent després de tres anys sigui de 0 euros.

A.3

Es tracta d’amortitzar un deute de 6.000 € al 5% anual en tres anys. Construeix les taules d’amortització en els següents:

a) Suposant que l’amortització es fa amb quotes fixes anuals de 1.000 €. Deute pendent (€) Deute

(anys)

(4)

b) Suposant que l’amortització es fa en quotes fixes anuals de 1.500 €. Deute pendent (€) Deute

(anys)

c) Suposant que l’amortització es fa en quotes fixes anuals de 2.000 €. Deute pendent (€) Deute

(anys)

A.4

Amb les dades trobades a l'exercici anterior omple la taula següent

Deute pendent al finalitzar els tres anys (€)

Quota anual (€) Exercici

a) En passar la quota anual de 1.000 a 1.500 €, quin ha estat l’augment de la quota? i la disminució del deute pendent al finalitzar els tres anys?

b) En passar la quota de 1.500 € a 2.000 €, quin ha estat l’augment de la quota? i la disminució del deute pendent al finalitzar els tres anys?

(5)

f) Quina és la quota que fa que el deute sigui zero? Comprova-ho omplint la taula d’amortització.

(anys)

B.

En l’estudi fet fins ara hem vist com funcionen realment els pagaments dels deutes. Emprarem ara un model matemàtic, que ens permetrà calcular el valor de la quota fixa d’amortització del préstec (anualitat).

B.1

Es demana un préstec de 1000 € i es tornarà en terminis iguals durant cinc anys. Les condicions del préstec són:

y Suposem que el deute no queda saldat fins al final del cinquè any.

y Durant aquests cinc anys, el deute produeix un interès compost del 10 % anual: la suma total a pagar al final dels cinc anys serà, doncs, el deute més els interessos.

y Cada termini és pagat al finalitzar cadascun dels cinc anys.

y Cada termini pagat produeix interès compost al 10 % anual fins que el deute queda liquidat.

Amb aquestes condicions es vol saber quina és la quantitat que hem d’ingressar anualment (anualitat) perquè el deute quedi liquidat. Per fer-ho:

a) Calcula en quina quantitat s’han convertit els 1.000 € inicials al cap de cinc anys. b) Completa la taula següent, on figuren els pagaments anuals i el saldo de cada

un al cap dels cinc anys.

2 a

3

3 a

2

a ·1,10⁴ = 4

a 1

Anualitat + interessos al cap de cinc anys

Anys que falten per amortitzar el

deute Quota

Any

(6)

0 a

5

1 a

4

c) La suma de l’última columna representa el total acumulat en els cinc anys. Fes aquesta suma.

d) Aquesta suma ha de coincidir amb la quantitat que hem de pagar si liquidéssim el deute en un sol pagament al cap dels cinc anys. Igualant els darrers resultats podràs calcular l’anualitat a.

e) Fes la taula d’amortització amb el valor “a” trobat a l’apartat anterior.

De la mateixa manera que hem fet l’exercici anterior amb valors numèrics coneguts, ho podríem fer amb valors numèrics desconeguts (llenguatge algebraic). Si volem amortitzar un préstec de D euros en n anys, a un interès r per 1 anual en quotes fixes anuals de a euros trobaríem la fórmula següent:a= _{(1 + r)}^D^{(1 + r)}_n_{− 1}ⁿ^r.

B.2

Calcula l’anualitat de l’exercici B.1 utilitzant la fórmula anterior. B.3

Hem d’amortitzar un deute de 10.000 € en 3 anys a un 6 % anual en quotes anuals. a) Calcula la quota anual.

b) Fes la taula d’amortització. c) Quant hem pagat en total? B.4

Hem d’amortitzar un deute de 10.000 € en 3 anys a un 6 % anual en quotes semestrals.

a) Calcula la quota semestral. b) Fes la taula d’amortització. c) Quant hem pagat en total?

(7)

B.6

Una caixa d’estalvis hipoteca un pis en una quantitat de 150.000 € a pagar en 12 anys. Durant els dos primers anys, només es paguen interessos i no s’amortitza capital. L’amortització es realitza en els anys següents en terminis semestrals. Si el percentatge d’interès anual es del 4%, calcula:

a) El valor de cada termini. b) Els interessos totals.

c) El percentatge d’interessos respecte el capital prestat.

d) El capital que queda per amortitzar al final del sisè any d’haver-se contractat la hipoteca.