Tema 0. Repaso de conceptos
1. Sistemas de numeración
1.1 Sistema de numeración decimal 1.2 Operaciones matemáticas básicas 2. Fracciones
3. Potencias
3.2 Potencias en base 1 3.2 Potencias en base e 4. Logaritmos
5. Funciones
5.1 Representación gráfica de funciones 5.2 Funciones de interés
6. Ecuaciones
1. SISTEMA DE NUMERACIÓN
Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de generación que permiten construir todos los números válidos. Un sistema de numeración puede representarse como: N = (S, R) donde: N es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, hexadecimal, etc.). S es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema.
En el caso del sistema decimal son {0, 1,9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0, 1,7}; en el hexadecimal son {0, 1,...9,A,B,C,D,E,F}.R son las reglas que nos indican qué números y qué operaciones son válidos en el sistema, y cuáles no.
1.1 Sistema de numeración decimal
El sistema de numeración decimal es aquél en el que los símbolos del sistema son los números comprendidos del 0 al 9. S = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar a 9 unidades, hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para representar la cantidad que hemos contado. Por tanto, añadimos una nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de segundo orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando. De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos (sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como resultado nos queda que 99+1=100.El cuenta kilómetros mecánico, al utilizar el sistema de numeración posicional decimal, nos muestra lo anterior: va sumando 1 a la columna de la derecha y cuando la rueda de esa
1.2 Operaciones matemáticas básicas
SUMAR: “añadir”. Esta operación se indica con el signo “+”
RESTAR: “quitar”. Esta operación se indica con el signo “-”
MULTIPLICAR: “Repetir” algo un número de veces. Se indica con el signo “*” o bien “x”
DIVIDIR: “Repartir”. Esta operación se indica con el signo “/” o bien con “:”
2. FRACCIONES
Una fracción es un número expresado como el cociente de dos números x/y, donde
“x” es el numerador e “y” es el denominador.
Así, un número puede ser expresado de la forma X/Y.
Las fracciones que poseen en el denominador una potencia de 10 (en el apartado 3 de este tema se especifica con detalle qué es una potencia), pueden expresarse fácilmente como números decimales.
Ej: 3/100=0,03
Intenta realizar los siguientes ejercicios
Resolución:
3. POTENCIAS
Un número expresado en forma de potencia tiene la forma
Toda potencia consta de una base “a” y un exponente “x”. El exponente indica el número de veces que la base se multiplica por sí misma.
Propiedades:
¿Cómo operamos con potencias cuya base es un número negativo?
Las propiedades de las potencias son aplicables para todo valor de la base y todo valor del exponente, sin embargo, es interesante anotar un detalle: un número negativo puede entenderse como el producto de (-1) por el mismo número en positivo, por tanto, el exponente afecta a ambos.
Veámoslo con un ejemplo:
Un número negativo, sirva de ejemplo-2, puede expresarse como (-1) (2),
Así, si hemos de calcular (-2)3, por la definición de las potencias podemos expresarlo como:
3.1 Potencias en base 10
De entre todas las potencias, son de especial interés las potencias en base 10.
Esto es debido, entre otras cosas a que es con potencias de base 10 con las que se expresa una notación muy utilizada en el ámbito científico: la notación científica.
3.1 Potencias en base e
curso.
Las potencias en base e serán especialmente relevantes para los intereses de este
El número “e” es un número determinado, como el número “π”.El número e tiene un valor concreto y cuando lo veamos escrito hemos de tratarlo como a cualquier otro número.
4. LOGARITMOS
El logaritmo es el inverso de la potencia.
El logaritmo en base “a” de un número “x” es igual a “y” si y solo sí se cumple que ax=Y
Si a elevado a b es c (potencia), podría preguntarme: ¿a qué número he de elevar a para que me dé c? Resolver esta pregunta es realizar un logaritmo. En matemáticas esta pregunta nos la planteamos escrita de la siguiente forma:
Propiedades:
De entre los logaritmos destacan por su importancia los siguientes:
-Los logaritmos en base 10: Éstos se suelen expresar como “log”, sin especificar la base -Los logaritmos en base e: Éstos se suelen expresar como “ln”
5. FUNCIONES
Una función es una relación entre dos variables, de forma que una de ellas es dependiente, es función de la otra.
Llamamos X a la variable independiente y llamamos Y a la variable que depende de X, por eso también y se denota en ocasiones como f(X).
Una función es una relación entre dos variables, ejemplo:
Sea X el número de personas que hay en un aula, podemos establecer una relación entre el número de personas y el número de dedos de las manos que hay en dicha clase. El número de dedos de las manos (variable dependiente) es FUNCIÓN del número de personas
Una vez que queda determinado el número de personas, queda determinado también de forma unívoca el número de dedos de las manos.
Podemos decir que entre ambas variables se cumple la siguiente relación:
f(X) = 10X
Existen infinitas funciones pues son infinitas las posibles relaciones entre dos (o más variables) y las funciones aparecen en todos los campos o ámbitos.
Sirva el siguiente ejemplo:
Ejemplo aplicado a economía:
Una empresa paga a cada trabajador mensualmente 1500 euros, y tiene unos gastos fijos de luz y de agua de 230 euros. ¿A cuánto ascienden los gastos de la empresa?
Los gastos de la empresa DEPENDEN, SON FUNCIÓN DE el número de trabajadores que la empresa tenga,
Así podemos decir:
Número de trabajadores: X Gastos de la empresa: Y ó f(X) Relación entre ambas variables f(X) = 1500X + 230
5.1 Representación gráfica de funciones
Toda función f(x) puede representarse en un sistema de coordenadas. El sistema de coordenadas consta de dos ejes, el eje de abscisas y el eje de ordenadas.
En el eje de abscisas representamos los valores de la variable independiente (X) y en el eje de ordenadas representamos el valor que corresponde a la variable dependiente (Y) para cada valor de la variable independiente (X).
Los diferentes tipos de funciones dan lugar a diferentes tipos de representaciones gráficas.
Ejemplo, representemos una función sencilla:
F(X) = 2X
Damos algunos valores a la X y obtenemos los correspondientes valores de f(X) X = 0; f (0) = 0
X = 1; f(x) = 2 X= 2; f(x) = 4
5.2 Funciones de interés.
Algunas funciones sencillas y de especial interés son las siguientes:
f(x) =ax (siendo a un número) son funciones lineales y su representación gráfica corresponde con una recta.
f(x) = ax2+ bx+ c (siendo a, b y c números) son funciones cuadráticas y su representación gráfica corresponde con una parábola.
f(x) = abx (siendo a y b números) es una función exponencial. Se trata de una función en forma de potencia donde la variable independiente se encuentra en el exponente de dicha potencia.
Una exponencial de especial interés es aquella en la que el número de la base es el número “e”
6. ECUACIONES
Una ecuación es una igualdad. Una ecuación indica matemáticamente que “algo” es igual a otro algo.
Así, si decimos que: 2 = x estamos indicando que el valor desconocido x, ha de valer necesariamente 2 para que se cumpla dicha igualdad. Esta ecuación es muy sencilla y resulta obvia.
Veamos, Dada la ecuación:
2x + 7 = 3. Estamos indicando que hay un valor desconocido “x” tal que, ese número multiplicado por 2 y al resultado sumándole 7, el resultado es 3.
Resolver una ecuación consiste en encontrar el valor del número desconocido x.
