ANALISIS VECTORIAL

(1)

I.E.P.Nº 2874 Ex 451 2015

ANALISIS VECTORIAL

OPERACIONES CON VECTORES

MÉTODO ANALÍTICO

(2)

I.- SUMA DE VECTORES COLINEALES.- En este caso la resultante se obtienen mediante la suma algebraica de los módulos de los vectores, teniendo en cuenta la siguiente regla:

MÉTODO ANALÍTICO

^:

- +

-

+ * Cuando la línea de acción de los vectores es la misma o paralela, se ejecutan algebraicamente teniendo en cuenta su sentido

A B C B

R = A + B + C + D

R = 5 - 3 + 1 + (- 4 )= -1 El signo menos (-) nos indica el sentido que tiene el vector

(3)

II.- SUMA DE 2 VECTORES COLINEALES

MÉTODO ANALÍTICO

^:

II¹ .- RESULTANTE MÁXIMA.-Dos vectores tendrán una resultante máxima cuando estos se encuentran en la misma dirección y sentido.  =0º

4u 6u

Hallar la resultante máxima de los vectores A y B

A B

R^max= A + B R^max= 10u

0º

R^max= 6u + 4u

(4)

MÉTODO ANALÍTICO

^:

II² .- RESULTANTE MÍNIMA.-Dos vectores tendrán una resultante mínima cuando estos se encuentran en la misma línea de acción (dirección) pero de sentido contrario.  =180º

4u 6u

Hallar la resultante mínima de los vectores A y B

A B

R^min= A + B R^min= -2u

180º

R^min= 4u + (-6u)

(5)

IMÉTODO ANALÍTICO

^:

La resultante máxima de dos vectores es 30u y su resultante mínima es 0u, Hallar el modulo de la resultante cuando estos vectores forman un ángulo de 106º.

A + B = 30 A - B = 0

2A = 30

A = 15 B = 15 Solución:

106º 15

15

A B

R = A + B

R = 18 u = 56º

(6)

MÉTODO ANALÍTICO

^:

La resultante máxima de dos vectores es 70u y su resultante mínima es 10u, cual debe ser el módulo de la resultante de los vectores si ambos forman un ángulo de 90º

A + B = 70

R= A+B

A

B A - B = 10 2A = 80

A = 40 B = 30 R = 5(10)u

R²= A² + B² R²= 4² + 3²

R= 5 R = 50u

Simplificamos los valores de los vectores

A = 4 y B = 3

(7)

MÉTODO ANALÍTICO

^:

III .- SUMA DE DOS VECTORES OBLICUOS

III¹ .- Ángulo agudo.- Cuando dos vectores forman un ángulo menor que 90º



A

B

R²= A² + B² +2AB cos

Ejem.1.- Hallar la resultante en

37º

5u

10u

R²= 10² + 5² +2(10)(5) cos37º

R²= 100 + 25 +100(4/5) R²= 125 +80

R = 205 R = 14,31u

(8)

MÉTODO ANALÍTICO

^:

III² .- Ángulo obtuso.- Cuando dos vectores forman un ángulo mayor que 90º



A

B

R²= A² + B² – 2AB cos

120º

4u

6u

R²= 6² + 4² – 2(6)(4) cos120º

R²= 36 + 16 – 48(1/2) R²= 52 – 24

R = 28 R = 5,28u

R =2 7

(9)

MÉTODO ANALÍTICO

^:

IV.- Ángulo recto.- Cuando dos vectores forman un ángulo igual a 90º

A

B

R²= A² + B²

R²= 24² + 32² R²= 576+

R²= 16001024 R = 1600

R = 40u 24

32

(10)

SUSTRACCIÓN DE VECTORES

^:

Sean los vectores A y B ; la diferencia de A – B se obtiene sumando al vector A con el opuesto del vector B.

Hallar A - B

A

 B

A B ^{180 - } ^

A B ^{180 - }

(11)

SUSTRACCIÓN DE VECTORES

^:

Ejemplo: A = 4u; B = 3u

Hallar A - B

4

3

60º

4

3

120º 60º

4 3 ^120º

R²= 4² + 3² – 2(3)(4) cos120º

R²= 16 + 9 – 24(1/2) R²= 25 – 12

R = 13 R = 3,60u

(12)

EJERCICIOS RESUELTOS CON VECTORE S

1.- Se tienen dos vectores concurrentes de 3 y 6 unidades que forman entre sí un ángulo de 60º.Determinar el módulo de la resultante.

6

3

60º

R²= 3² + 6² + 2(3)(6) cos120º

R²= 9 + 36 + 36(1/2) R²= 45 + 18

R = 63

R = 7,94,u

SOLUCIÓN

R

(13)

EJERCICIOS RESUELTOS CON VECTORE S

2.- Dados los siguientes vectores paralelos y cuyos módulos son: A = 8u; B = 2u; C = 3u; determinar en cada caso su resultante

SOLUCIÓN A

C

B

1) A + B

Se efectúan algebraicamente

A = 8u B= 2u

R = A + B R = 6u

2) A – C

A = 8u C= 3u

R = 8 – 3 R = 5u

3) A + B + C

A = 8u B= 2u

R = 8 – 2 + 3 R = 9u

C= 3u Como nos piden A – C se debe

invertir el sentido del vector C

R = 8 – 2

R = A – C

Se toma en cuenta el sentido de los vectores

R = A + B + C

(14)

EJERCICIOS RESUELTOS CON VECTORE S

3.- En la figura | C | = 20 y | D | = 40, determine:

| C + D |

R²= 1² + 2² + 2(1)(2) cos60º

R²= 1 + 4 + 4(1/2) R²= 5 + 2

SOLUCIÓN

60º

D

C

80º 20º

Unimos los dos vectores desde un mismo origen

D

C

El ángulo formado por los vectores será de 60º

40

20

Dividimos los módulos de los vectores entre 20

Luego multiplicamos por 20 el resultado

7 R 

7 20

R  R  52,91u

(15)

EJERCICIOS RESUELTOS CON VECTORE S

4.- Se tienen los vectores A,B,C y inscritos en un rectángulo cuyos lados miden 8cm y 10 cm. Calcular el módulo del vector resultante

SOLUCIÓN

Como son vectores paralelos, sumamos algebraicamente

A

C D B

A

C D B

Los vectores D y B tienen la misma magnitud y dirección pero de sentidos opuestos; por lo tanto D + B = 0

A

C D B

Los vectores A y C tienen la misma dirección y sentido

A

C

R = A + C R = 10 + 10

R = 20cm

(16)

EJERCICIOS RESUELTOS CON VECTORE S

5.- Calcular el módulo del vector resultante inscritos en un rectángulo cuyos lados miden 4cm y 2 cm. M es punto medio

SOLUCIÓN

A

B

C

A

B

C

A

C

Se descompone el vector B y luego se eliminan los opuestos

B R

Se formo un triangulo rectángulo

Aplicamos el teorema de Pitágoras

M

2 2 4 2

R  

5 2 R 

(17)

EJERCICIOS RESUELTOS CON VECTORE S

6.- Calcular el módulo del vector resultante inscritos en un cubo de arista “a”

SOLUCIÓN

a

Se descompone el vector diagonal y luego se eliminan los opuestos

Los otros vectores se suman por tener igual dirección y sentido

a

a a

R = 3a

(18)

EJERCICIOS RESUELTOS CON VECTORE S

SOLUCIÓN







 A B 2ABcos

R² ² ²

 

⁴ ⁵ ² ^ ⁵² ^ ⁵² ^ ²⁽⁵⁾⁽⁵⁾^cos^





 50 50cos 80



 50cos

30 3  cos5 

º

 53

 

 cos 5

3

(19)

EJERCICIOS RESUELTOS CON VECTORE S

8.- Siendo BH =12. Calcular | a + b + c + d |

SOLUCIÓN

12

H B Descomponemos el vector a y c

c

d b

H a

B

37º

37º 53º

20 15

Hallamos los valores de 9 los triángulos rectángulos ABH y BHC

H B

37º

16

12

Sumamos los

vectores verticales

53º

12 12 12

sumamos los vectores horizontales

16 9

25

Finalmente queda de la siguiente forma

36

9

R²= A² + B² R²= 36² + 18²

16 9

A C

(20)

Gracias por su atención