Visualización de la evolución de las zonas de comportamiento similar en fluidos dependientes del tiempo

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(1)Universidad Central “Marta Abreu” de las Villas Facultad de Matemática, Física y Computación Licenciatura en Ciencias de la Computación. Trabajo de Diploma Visualización de la evolución de las zonas de comportamiento similar en fluidos dependientes del tiempo. Autor: Álvaro Javier Arias Gallardo Tutor: Lic. Reinier Oves García SANTA CLARA 2013.

(2) Hago constar que el presente trabajo fue realizado en la Universidad Central Marta Abreu de Las Villas como parte de la culminación de los estudios de la especialidad de Ciencias de la Computación, autorizando a que el mismo sea utilizado por la institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos ni publicado sin la autorización de la Universidad.. _________________ Firma del Autor. Los abajo firmantes, certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdos de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. _________________ Firma del Tutor. i.

(3) Frase “Y conocerán la verdad, y la verdad los hará libres” (Jn 8:32).. ii.

(4) Agradecimientos Primeramente, gracias al Señor por los dones que me ha concedido, y quien me ha enseñado a llamar las cosas que no son, como si fueran. Gracias a mis padres por todo el sacrificio que han realizado hasta el día de hoy. Gracias a mis hermanos por el respaldo y el amor fraternal que siempre me han brindado. A todos los que de una manera u otra me dieron su apoyo en el transcurso de esta investigación.. iii.

(5) __________________________________________________________________________ Resumen. Resumen La visualización de fluidos ha sido ya por mucho tiempo una parte muy atractiva de las investigaciones de Visualización Científica. Específicamente, los campos vectoriales, son un concepto común para la representación de diferentes fenómenos que ocurren en la ciencia y en la ingeniería. Existen varias técnicas de la visualización de fluidos, entre los que sobresalen aquellas que se basan en el agrupamiento para resaltar zonas de comportamiento similar. El enfoque de esta investigación consiste en aplicar una técnica de análisis visual de fluidos a datos de fluidos dependientes del tiempo. Para esto, se ha tomado partido específicamente por una de las técnicas geométricas. basadas en integración. Luego, partiendo de la idea que las. propiedades de las streamlines constituyen de manera intrínseca, un indicativo de los rasgos subyacentes en el fluido, se aplica el agrupamiento de las mismas en cada uno de los instantes de tiempo. Finalmente, se realiza un análisis de la evolución temporal, estableciendo una correspondencia entre los diferentes patrones de comportamiento que fueron encontrados a lo largo del tiempo en el fluido.. IV.

(6) Abstract Flow visualization has already been a very attractive part of Scientific Visualization research for a long time. Vector fields, specifically, are a common concept useful to represent different phenomena taking place in science and engineering. There are several flow visualization techniques, among which stand out clustering-based techniques designed to highlight similar behavior regions. The approach of this research consists on applying a flow visualization technique on time-dependent datasets. In order to achieve this goal, we have specifically focused on geometric integration-based techniques. Then, we apply the clustering procedure on the streamline set on each time step, based on the idea that streamline properties are inherently indicative of features in the underlying flow field. Finally, we perform an analysis of the time-dependent evolution, by establishing a correspondence afterwards between the different behavior patterns found in the flow throughout the time.. V.

(7) Contenidos Introducción ........................................................................................................................................... 1 Problema de investigación ................................................................................................................. 3 Objetivo General ................................................................................................................................ 3 Objetivos Específicos.......................................................................................................................... 3 Preguntas de investigación ................................................................................................................ 4 Justificación de la investigación ........................................................................................................ 5 Hipótesis de la investigación .............................................................................................................. 5 Viabilidad de la investigación ........................................................................................................... 6 Capítulo 1. Fluidos. Principales características, agrupamiento y visualización. ............................. 7 1.1 Curvas características de los campos vectoriales dependientes del tiempo. .......................... 9 1.1.1 Streamlines ....................................................................................................................... 10 1.1.2 Pathlines ............................................................................................................................ 11 1.1.3 Streaklines ........................................................................................................................ 12 1.1.4 Timelines ........................................................................................................................... 13 1.2 Rasgos topológicos de fluidos no estacionarios. ....................................................................... 15 1.2.1 Topología orientada a streamlines ................................................................................. 15 1.2.2 Topología orientada a pathlines ..................................................................................... 19 1.3 Campos escalares asociados al fluido ....................................................................................... 19 1.3.1 Curvatura ......................................................................................................................... 19 1.3.2 Torsión .............................................................................................................................. 21 1.4 Técnicas de agrupamiento ......................................................................................................... 22 1.4.1 K-medias ........................................................................................................................... 22 1.4.2 Mapas auto organizados (SOM) ..................................................................................... 23 1.4.3 Agrupamiento jerárquico ................................................................................................ 24 1.5 Estado del arte de los métodos de visualización de fluidos .................................................... 26. VI.

(8) 1.5.1 Técnicas basadas en la topología .................................................................................... 26 1.5.2 Técnicas basadas en texturas .......................................................................................... 27 1.5.3 Técnicas basadas en integración ..................................................................................... 28 1.6 Conclusiones parciales ............................................................................................................... 29 Capítulo 2. Implementación de la herramienta ................................................................................ 30 2.1 Diseño de la herramienta .......................................................................................................... 30 2.1.1 Descripción de los datos................................................................................................... 32 2.1.2 Diagrama UML de clases ................................................................................................ 32 2.2 Generación de las curvas tangentes .......................................................................................... 35 2.3 Agrupamiento para cada instante de tiempo ........................................................................... 37 2.3.1 La medida de distancia .................................................................................................... 40 2.4 Combinación de agrupamientos ............................................................................................... 41 2.5 Representación visual ................................................................................................................ 43 2.5.1 Streamlines Iluminadas (ISL) ......................................................................................... 44 2.5.2 Técnicas de isosuperficies y visualización directa de volúmenes ................................. 46 2.6 Conclusiones parciales ............................................................................................................... 48 Capítulo 3. Presentación de los resultados ........................................................................................ 49 3.1 Requerimientos ........................................................................................................................... 49 3.2 Descripción de la herramienta .................................................................................................. 50 3.2.1 Parámetros de entrada ................................................................................................... 50 3.2.1 Datos de salida ................................................................................................................. 51 3.3 Resultados obtenidos .................................................................................................................. 53 3.4 Conclusiones parciales ............................................................................................................... 57 Conclusiones ......................................................................................................................................... 58 Referencias Bibliográficas ................................................................................................................... 59 Anexos ................................................................................................................................................... 62 Anexo 1: Documentación de la clases. ............................................................................................ 62 RecordSpace .................................................................................................................................. 62 Clusters .......................................................................................................................................... 63. VII.

(9) ClusteringEnsembler .................................................................................................................... 66 VectorField .................................................................................................................................... 67 StreamLine .................................................................................................................................... 68 Vector ............................................................................................................................................. 70 Point ............................................................................................................................................... 70. VIII.

(10) _______________________________________________________________________ Introducción. Introducción El asunto de la visualización no es algo nuevo. Desde hace siglos, las personas han intentado encontrar las representaciones visuales apropiadas de cierta y determinada información. Los “Elementos”, de Euclides, usan representaciones. bocetos para representar e ilustrar las. propiedades en la geometría. En la Edad Media, aparecen los mapas astronómicos que usaban diagramas de saetas para representar los vientos predominantes en el océano. En el siglo XVIII se usaron las líneas de altura en los mapas topográficos. Algunas aplicaciones tempranas de las isolíneas se vieron en las investigaciones de los gradientes de temperaturas en el hemisferio norte. Con el desarrollo de las tecnologías computarizadas en el último siglo, la visualización tuvo nuevos desafíos que la convirtieron en una rama completamente nueva. Por una lado, la aparición de las computadoras provocó un rápido crecimiento del os datos a ser procesados, haciéndose imposible la tarea de hallar representaciones visuales a mano. Por otro lado, el desarrollo de las computadoras (y específicamente la Computación Gráfica) brindó oportunidades para crear representaciones visuales de datos cada vez más voluminosos. Valga la aclaración de que el término de “Visualización Científica” como disciplina, tuvo su origen alrededor del año 1987. Aunque no se le llamó así en un inicio, sino “Visualización en la Computación Científica”, fue en ese mismo año que el término se abrevió a “Visualización Científica”. Una tendencia actual es su conexión con otras áreas de la investigación. Por ejemplo, los resultados de la visualización pueden usarse para controlar los parámetros de los procesos de modelación y simulación que obtuvieron los datos.. 1.

(11) _______________________________________________________________________ Introducción. Una de las ramas fundamentales de la Visualización Científica es la visualización de fluidos. Su objetivo es presentar el comportamiento de datos resultantes de simulaciones, de una manera significativa, de los cuales puedan identificarse y analizarse características y rasgos importantes. Según nos dice (Merzkirch, 1987), la visualización de fluidos ha resultado ser de gran utilidad al:  Proveer una visión general para el análisis del fluido.  Ilustrar la topología del fluido  Comparar los fluidos que dependen tanto del espacio como del tiempo.  Mostrar la geometría circundante de un fluido  Visualizar la malla subyacente. Teniendo en cuenta que los datos de fluidos aparecen en una gran cantidad de aplicaciones, tales como el cálculo de la intensidad de los fluidos alrededor de autos, aviones y barcos; los fluidos atmosféricos para los pronósticos meteorológicos y otros, el análisis visual de fluidos resulta de gran importancia para percibir y entender tales fenómenos. En años recientes, los campos vectoriales han aparecido en áreas de la ciencia, la ingeniería y la industria y sin duda, constituyen un tipo de dato importante en la visualización científica. Por esto, se ha desarrollado una gran variedad de métodos para procesar, modelar, analizar y visualizar campos vectoriales. Al igual que en otras ramas de la Computación gráfica, un reto común es la rápido crecimiento del tamaño y la complejidad de los campos vectoriales.. 2.

(12) _______________________________________________________________________ Introducción. Problema de investigación La visualización de fluidos ha sido por mucho tiempo una parte muy atractiva de las investigaciones de visualización. Recientemente, el desempeño creciente y sostenido de las computadoras, otra vez se ha convertido en un factor impulsor de un nuevo auge en la visualización de fluidos, específicamente en técnicas basadas en extracción de rasgos, agrupamiento de campos vectoriales y extracción de la topología. Se han desarrollado técnicas para el análisis visual de datos de fluidos dependientes del tiempo, aunque estas se limitan a la extracción de rasgos característicos del fluido, especialmente la extracción de rasgos topológicos como las singularidades (Weinkauf, 2008, Pobitzer et al., 2010). Además, existen también otras técnicas para la detección de zonas de comportamiento similar en fluidos no dependientes del tiempo (Kuhn et al., 2011). Sin embargo, la detección de la evolución de las zonas de comportamiento similar en fluidos dependientes del tiempo, es aún un tema por explorar y que está aún sujeto a futuras investigaciones, lo cual constituye el incentivo para esta investigación.. Objetivo General  Visualizar la evolución de las zonas de comportamiento similar en fluidos dependientes del tiempo.. Objetivos Específicos  Dado un fluido no estacionario con K instantes de tiempo. Aplicar un algoritmo de agrupamiento a cada Ki instante de tiempo para obtener las Ki,. 3. j. zonas de.

(13) _______________________________________________________________________ Introducción. comportamiento similar (i ← instante de tiempo, j ← clúster dentro del instante de tiempo i). o Buscar un algoritmo de agrupamiento adecuado para aplicarlo al caso de estudio o Definir una función de distancia1i adecuada para dicho agrupamiento  Encontrar la medida apropiada para detectar la evolución de cada clúster en el instante de tiempo siguiente.  Identificar las posibles metáforas visuales que muestren correctamente la evolución de las zonas de comportamiento similar en el tiempo.  Visualizar las zonas de comportamiento similar en un instante de tiempo  Visualizar la evolución de las zonas de comportamiento similar a través de una de las metáforas visuales encontradas. Preguntas de investigación  ¿Cómo encontrar zonas de comportamiento similar en un fluido estacionario?  ¿Cómo encontrar zonas de comportamiento similar en un fluido dependiente del tiempo?  ¿Cuál es la forma adecuada para visualizar las zonas de comportamiento similar en un instante de tiempo dado?  ¿Cuál es la forma adecuada para visualizar la evolución de las zonas de comportamiento similar en el fluido dependiente del tiempo?. 1. En algunos casos la elección de esta función de distancia puede ser controversial, por eso se destaca dentro del texto. Esta función de distancia puede ser basada en integración numérica (a lo largo de las streamlines, la cual introduce errores de aproximación) o punto a punto (incluye métricas de la geometría diferencial, las cuales aumentan considerablemente el tiempo de ejecución de los algoritmos). 4.

(14) _______________________________________________________________________ Introducción. Justificación de la investigación En las industrias, los modernos sistemas de registro de datos acumulan grandes cantidades de datos que contienen información valiosa sobre desempeño normal o anormal del proceso. Sería beneficioso si estos datos fuesen categorizados en grupos, de modo que las características de los mismos pudieran usarse para apoyar la toma de decisiones en la detección y diagnóstico de fallas, errores fatales, etc. El agrupamiento de datos que dependen del tiempo se ha convertido en un tema importante, siendo motivado por varios desafíos en la investigación, como la búsqueda de similitudes en secuencias bioinformáticas, con el objetivo de adquirir una mejor comprensión de las características comunes de los conjuntos de datos en cada grupo. Por otra parte, sería un paso más a dar en lo que concierne a los esfuerzos realizados en el área de campos vectoriales, ya que hasta ahora se ha trabajado en el análisis, visualización y agrupamiento de campos vectoriales estacionarios (McKenzie et al., 2005) , y se han dejado las directrices para extender esta noción hacia 4D (3D + tiempo), es decir, los campos no estacionarios.. Hipótesis de la investigación . El agrupamiento es una buena técnica para encontrar zonas de comportamiento similar en campos vectoriales.  Las técnicas de visualización basadas en streamlines son adecuadas para representar zonas de comportamiento similar obtenidas por algoritmos de agrupamiento a partir de. 5.

(15) _______________________________________________________________________ Introducción. funciones de distancias definidas sobre los esquemas de integración numérica de los campos vectoriales.  La visualización de la trayectoria de los elementos más representativos de los clústeres (centroides) en cada instante de tiempo es adecuada para el estudio de la evolución de las zonas de comportamiento similar en fluidos dependientes del tiempo.. Viabilidad de la investigación En el grupo de investigación de Computación Gráfica del Centro de Estudios de Informática de la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas, se cuenta con el personal de consulta necesario para la realización de este trabajo, existe la bibliografía pertinente para comprender las técnicas y métodos a emplear en esta área tan activa dentro de la visualización científica y a pesar de que no se cuenta con el hardware necesario para efectuar las pruebas y corridas de algoritmos sobre todo el conjunto de datos, pudimos encontrar soluciones bastante buenas. Esperamos que para futuras extensiones de este trabajo se haga uso del data-center instalado en la UCLV recientemente, el cual reduciría el tiempo de ejecución de los algoritmos considerablemente. Por otro lado el autor posee la capacidad intelectual para usar los diferentes lenguajes de programación requeridos por un conjunto de aplicaciones desarrolladas y así dar solución a la problemática planteada.. 6.

(16) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. Capítulo 1. Fluidos. Principales características, agrupamiento y visualización. El concepto de fluido desempeña un papel fundamental en muchos campos de la ingeniería. La visualización de los datos obtenidos de la simulación o de la medición de diferentes procesos en los cuales estos tienen su aplicación, es de gran relevancia para el dominio del usuario puesto que tal visualización facilita la comprensión de fenómenos complejos. Un campo vectorial puede ser interpretado como la razón de cambio de cierta magnitud. Este representa los estados de un sistema gobernados por ecuaciones diferenciales. De esta forma, los campos vectoriales pueden describirse como representación gráfica de la ecuación diferencial: ̇ (t) = v(x(t),t ). Más formalmente, un campo vectorial V en 3D se define matemáticamente como la aplicación. , donde. coordenadas cartesianas (x, y, z) y. denota el espacio euclidiano equipado con un sistema de es un espacio vectorial en 3D.. Debido a la estrecha relación de este modelo a la dinámica de fluidos, el campo vectorial v suele llamársele fluido. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que el campo vectorial tiene que cumplir ecuaciones adicionales (Navier-Stokes) para representar un fluido en lo que concierne de la dinámica de fluidos. Si el vector v no depende de la variable t se dice que el sistema es autónomo, de lo contrario, se le llama sistema no-autónomo. De manera intercambiable podemos usar las expresiones estacionario y no estacionario o simplemente independiente o dependiente del tiempo. (Pobitzer et al., 2010).. 7.

(17) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. Un campo vectorial 3D no estacionario, no es más que un campo 3D estacionario, el cual depende del tiempo, es decir el tiempo, en este caso, pasa a ser una variable más en el sistema(Helman and Hesselink, 1989). Matemáticamente, podemos definirlo, de la siguiente manera:. (. ). ( ( ( ( (. ) ) ) )). donde, ( La dimensión auxiliar. ). , (. ) puede interpretarse como la componente de tiempo del. campo vectorial. La primera restricción (. ). se debe a que el tiempo pasa a razón. constante. La topología clásica de campos vectoriales (es decir, para fluidos independientes del tiempo), divide el fluido en regiones donde las trayectorias muestran el mismo comportamiento cuando t tiende al infinito. Este hecho necesita especial atención al pasar de fluidos estacionarios a no estacionarios: en el primero se puede usar un número finito de datos para determinar comportamiento en una instancia de tiempo cualquiera. Para los campos dependientes del tiempo, esto no es verdad: la información disponible se restringe generalmente a cierta ventana de tiempo. Esto significa que, de manera general, no es posible sacar ninguna conclusión sobre el comportamiento asintótico de las trayectorias. La visualización de fluidos dependientes del tiempo esencialmente plantea diversos desafíos para su investigación en comparación con los fluidos independientes del tiempo(Pobitzer et al., 2010).. 8.

(18) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. Desde la sección 1.3 en adelante, los aspectos analizados que están relacionados con el fluido descartan la variable tiempo del sistema, ya que hasta el momento, el estudio de estos teniendo en cuenta el tiempo, está sujeto a futuras investigaciones.. 1.1 Curvas características de los campos vectoriales dependientes del tiempo. Según (Weinkauf, 2008), una curva v(x), si para todo punto. se le llama curva tangente de un campo vectorial. el vector tangente de L coincide con. ( ). Las curvas. tangentes, en el caso de los campos vectoriales en 3D, son descritas de manera implícita como las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales: (. ). (. ). (. ). Aquí u, v y w son las funciones escalares que definen el campo vectorial. Para todo punto que decir dónde ( ). en el cual está definido el campo vectorial, excepto los puntos críticos (es , siendo (. ). para cierta vecindad ), solo existe una y solo una. curva tangente que pase por . Las curvas tangentes no se intersectan entre sí. Por tanto, las curvas tangentes describen la información direccional, por lo que constituyen una herramienta importante para el trabajo con los campos vectoriales. La extensión en de este concepto de curva tangente hacia los campos vectoriales dependientes del tiempo se divide en cuatro clases de curvas características: streamlines, pathlines, streaklines y timelines. A continuación se definen cada una de estas curvas.. 9.

(19) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. 1.1.1 Streamlines Según (Weinkauf, 2008), las streamlines son las curvas tangentes del campo vectorial v. Por esto, usaremos de manera intercambiable los términos streamline y curva tangente. Para cada instante de tiempo y para cada ubicación en el espacio existe una y solo una streamline (excepto para los puntos críticos). Es decir, estas son descritas matemáticamente como las soluciones de la ecuación diferencial. ( ). ( ( ). ), ( ). .. La figura 1.1 muestra el cálculo de las streamlines para el instante de tiempo t = t0.. Figura 1.1: Streamline ls de un fluido dependiente del tiempo.. Es necesario notar que la variable s no está relacionada con el tiempo en t del cual depende el campo vectorial v. El tiempo t se convierte de este modo en un parámetro del sistema. Aunque esto no consiste en un problema desde el punto de vista puramente matemático, la variable s carece de interpretación física.. Seguir una streamline significa “congelar” el fluido en. determinada instancia de tiempo t e integrar (a lo largo cierto tiempo “virtual” s) con límite al. 10.

(20) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. infinito. Solo en algunos casos especiales las partículas siguen el curso de las streamlines en circunstancias realistas, y esto solo por un pequeño lapso de tiempo, en caso de que suceda.. 1.1.2 Pathlines De acuerdo a (Theisel, 2001), los pathlines se obtienen al colocar una partícula sin masa y rastreando su camino o trayectoria a lo largo del campo vectorial no estacionario. Por lo tanto, las pathlines son las proyecciones de las curvas tangentes de v en el plano t = constante. Para cada ubicación en el espacio y cada instante de tiempo, existe una y solo una pathline (excepto en los puntos críticos). En la figura 1.2 muestra la representación gráfica de una pathline. La curva lp es la proyección de l en plano t = t0 .. Figura 1.2: Pathline lp de un fluido dependiente del tiempo. Estas se describen matemáticamente como las soluciones de la ecuación diferencial. ( ). ( ( ) ),. ( ). .. El sistema anterior pude rescribirse como un sistema a expensas del incremento en uno de la dimensión, cuando se incluye el tiempo como una variable explícita más:. 11.

(21) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. ( ). (. ( ( ) ). ) con ( ) ( ). ( ).. Aquí, las pathlines del campo vectorial original v en el espacio ordinario, ahora aparecen como curvas tangentes del campo vectorial,. (. ). (. (. ). ).. en el espacio-tiempo. De este modo, podemos tratar las streamlines de v como. (. ). (. (. ). ).. 1.1.3 Streaklines Una streakline es la conexión de todas las partículas dispuestas en diferentes instantes de tiempo, pero exactamente en la misma ubicación en el espacio (Theisel, 2001). Para ilustrar esto, consideremos la figura 1.3 (empleamos campos 2D dependientes del tiempo, debido a la imposibilidad de representar los campos 3D) y supongamos que una partícula es se coloca en el punto (x0, y0, z0). El camino que recorre la partícula es la curva tangente l1 del campo vectorial v. La curva l1 podría pasar por la ubicación (x1, y1) pero en un instante de tiempo t1 (t0 < t1). Considerando dos partículas más dispuestas en (x0, y0) pero un pequeño lapso de tiempo antes y después del instante t0. Es decir, disponemos las partículas en (x0, y0, t0 – dt) y (x0, y0, t0 + dt). Ellas siguen las curvas tangentes l2 y l3 de v. Suponiendo que l2 pasa por las coordenadas espaciales. (x2, y2) en el instante de tiempo t = t1, y que l3 pasa por las. coordenadas espaciales (x3 , y3) en el instante de tiempo t = t1. Entonces, (x1, y1, t1), (x2, y2, t1) y (x3, y3, t1) yacen en una streakline ls a través de (x1, y1, t1).. 12.

(22) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. Figura 1.3: Streakline ls de un fluido dependiente del tiempo. De una manera práctica, podemos observar estas curvas al liberar colorante en un fluido desde una posición fija. La streakline resultante esta conformadas por todas las partículas que han estado en esta posición fija en algún momento en el pasado(Weinkauf et al., 2012).. 1.1.4 Timelines Según nos dice (Weinkauf et al., 2012) una timeline es una colección de todas las partículas. dispuestas en una línea en un instante de tiempo fijo, a las cuales se les sigue el rastro a largo del fluido dependiente del tiempo. Una manera práctica de observar esta tipo de curva, consiste en lanzar un cable hacia un río, y de esta manera se puede ver como el cable es transportado y deformado por el flujo del río. Desde el punto de vista geométrico, una línea de tiempo puede obtenerse al aplicar una integración de superficie del camino en el fluido, comenzando en una línea recta con t = constante e intersectando esta superficie con el. 13.

(23) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. hiperplano perpendicular al eje t del tiempo. Para entender el planteamiento anterior, consideremos la figura 1.4 y supongamos que disponemos de una partícula en el punto (x0, y0, t0).. Figura 1.4: Timeline lt de un fluido dependiente del tiempo. El camino de la partícula es la curva tangente l1 de. La curva l1 podría pasar por la las coordenadas espaciales (x1, y1) en el instante de tiempo t1 (t0 < t1). Considerando dos partículas más dispuestas en el instante de tiempo t = t0: (x0 – dx, y0 – dy,t0) y (x0 + dx, y0 + dy,t0). Supongamos que estas partículas siguen las curvas tangentes l4 y l5 de v. Supongamos también que l4 pasa por la localización espacial (x4, y4) en el instante de tiempo t = t1, y que l5 pasa por la localización (x5, y5) en el mismo instante de tiempo t = t1. Entonces (x1 y1, t1), (x4 y4, t1) y (x5 y5, t1) yacen en una timeline lt a través de (x1 y1, t1). La elección de una timeline particular a través de (x1 y1, t1) depende de dos parámetros: la elección de t0 y la elección de la línea recta en el plano t = t0.. 14.

(24) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. 1.2 Rasgos topológicos de fluidos no estacionarios. Es necesario aclarar que las dos últimas curvas características analizadas: streaklines y timelines, no pueden describirse como curvas tangentes ya que ambas no cumplen la propiedad de ser localmente únicas, lo cual si cumplen tanto las streamlines como las pathlines. O sea, para una localización en el espacio e instante de tiempo particulares, existe más de una streakline y timeline que lo atraviesan (Weinkauf, 2008). Por esta razón podemos obtener 2 clases de topologías para fluidos dependientes del tiempo: la orientada a streamlines y la orientada a pathlines. Con anterioridad se había considerado las streamlines y pathlines de un fluido v dependiente del tiempo como respectivamente, donde. (. ). (. (. ). ) y. (. ). (. (. ). ). s y p pueden verse como campos vectoriales estacionarios y las. streamlines de p coinciden con las pathlines de v y las streamlines de s corresponden a las streamlines de v. De este modo, las topologías orientadas a streamline y pathline se reducen a encontrar el esqueleto topológico de s y p respectivamente. Debido a que la topología de los fluidos dependientes del tiempo en 3D (excepto en configuraciones muy especiales como en (Garth et al., 2004)) está sujeta casi en su totalidad a futuras investigaciones y está por resolverse, a continuación se verán algunos de estos conceptos para los fluidos no estacionarios en 2D.. 1.2.1 Topología orientada a streamlines Cuando estudiamos las características topológicas de los fluidos no estacionarios, en los cuales varía el parámetro tiempo, imprescindible abordar el concepto de punto crítico (singularidades), ya que la posición que estos ocupan con el cambio en el tiempo, nos ayuda a. 15.

(25) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. comprender el comportamiento topológico del fluido. Algunas streamlines particulares que los conectan se les llama separatrices. En lo que concierne a singularidades de primer orden, existen 5 tipos comunes (Figura 1.5). Los nodos y focos de atracción constituyen depresiones, mientras que los nodos y focos de repulsión se les llaman orígenes.. Figura 1.5: Singularidades de primer orden Otro aspecto importante a tener en cuenta es el llamado índice de los puntos críticos, definido como el número de rotaciones del campo que hay al rodear el punto crítico a lo largo de una curva cerrada, en sentido contrario a las manecillas del reloj. La estructura cualitativa de la topología puede variar desde un estado estable al otro. Tales cambios se les llaman bifurcaciones (Tricoche et al., 2001). Podemos distinguir dos clases de tales bifurcaciones: por un lado, están las que solo afectan un solo punto o una órbita cerrada y de este modo el correspondiente nuevo estado estable se encuentra en una vecindad. A este tipo se les llama bifurcaciones locales. Por otro lado, las bifurcaciones que cambian la estructura global del fluido y no pueden ser deducidas a partir de información local se les llaman bifurcaciones locales. Bifurcaciones locales. En realidad existen dos tipos principales de bifurcaciones locales que afectan la naturaleza de los puntos de un fluido dependiente del tiempo. La primera se llama bifurcación Hopf y la segunda se llama bifurcación plegada (o aniquilación pareada). En las bifurcaciones Hopf se tiene un foco de atracción o una depresión. Cuando este se. 16.

(26) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. debilita, el número de streamlines de tipo rotatorias alrededor de este punto crítico aumenta. Matemáticamente esto corresponde a un aumento de la parte negativa real de los valores propios complejos conjugados de la matriz Jacobiana en ese punto crítico. Cuando la parte real es cero, tenemos un punto central, la cual es una estructura inestable, es decir, ha ocurrido una bifurcación. Si la parte real aumenta aún más, aparece una nueva estructura estable la cual consiste en una órbita cerrada, que suele alejarse del punto crítico. Este último. se ha. transformado en un foco de repulsión, es decir, un origen. Así una depresión se ha transformado en un origen. Invirtiendo la dirección del tiempo, obtenemos el proceso inverso (Tricoche et al., 2001) La figura 1.6 muestra esta evolución.. Figura 1.6: Bifurcación Hopf. Las bifurcaciones plegadas (aniquilación pareada) ocurren cuando tenemos un punto de ensilladura y una depresión que están conectados por una separatriz, y entonces se debilita la relación de atracción/repulsión entre ambas singularidades, y ambos se acercan cada vez más hasta que se encuentran. Con el transcurso del tiempo, esta estructura inestable desaparece y entonces la nueva estructura estable ya no tiene puntos críticos. Al invertir la dirección del tiempo, obtenemos una creación pareada. La figura 1.7 nos muestra este proceso.. 17.

(27) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. Figura 1.7: Bifurcación plegada.. Bifurcaciones globales. Al contrario de las bifurcaciones locales anteriormente mencionadas, las bifurcaciones globales no ocurren en vecindades pequeñas de los puntos críticos pero acarrean cambios significativos en la estructura del fluido. Entre este tipo de bifurcaciones se encuentran las conexiones de ensilladura, las cuales aparecen cuando dos separatrices que tienen su origen en puntos de ensilladura, colapsan, es decir, la separatriz de una ensilladura termina en la otra. La figura 1.8 ilustra este ejemplo, en instantes de tiempo antes, durante y después del colapso.. Figura 1.8: Conexión de ensilladura. 18.

(28) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. 1.2.2 Topología orientada a pathlines De acuerdo a (Theisel et al., 2004), la topología orientada a pathlines se obtiene al considerar las streamlines de. y segmentar. en regiones de comportamiento diferente a dichas. streamlines. Dado un campo vectorial w en 3D, las propiedades locales (curvatura, convergencia y otros) pueden calcularse mediante un análisis local de la matriz Jacobiana Jv según (Panton, 2006). El método usual es la descomposición de Jv junto con la introducción de un sistema de coordenadas local. Las propiedades locales de v pueden dividirse en dos grupos: el primero consiste las propiedades direccionales de la streamlines de v. El otro grupo consiste en las propiedades que dependen tanto de la longitud como de la dirección de v. Al contrario de la topología orientada a streamlines, la topología orientada a pathlines varía al aplicársele escalados a w, es decir, las pathlines de dos campos vectoriales v y c·v con c > 0 y c ≠ 1, son diferentes. El factor c influye en el impacto de los cambios temporales con respecto a los cambios espaciales. Para grandes valores de c el fluido está dominado por cambios espaciales.. 1.3 Campos escalares asociados al fluido 1.3.1 Curvatura Como se mencionó anteriormente, solo existe una curva tangente a que pasa por todo punto no crítico de un campo vectorial V (u, v, w). La curvatura k de este campo vectorial es un campo escalar sobre el dominio (u, v, w), el cual describe en cada punto P de V la curvatura de la curva tangente en ese punto, según nos dice (Weinkauf and Theisel, 2002). La curvatura de una curva es la medida de desviación de esa curva desde su propia tangente. Es por eso que,. 19.

(29) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. por ejemplo, una línea recta no tiene curvatura, mientras que la curvatura de un círculo es constante y diferente de cero. Además, las curvas en 3D siempre tienen curvaturas no negativas. De este modo (Weinkauf and Theisel, 2002) nos dice que la curvatura de cada punto P = L(t0) de una curva tangente L se obtiene: ( ). ‖ ̇( ). ̈ ( )‖. ‖ ̇ ( )‖. Aquí, ̇ ( ) y ̈ ( ) son la primera y segunda derivadas, respectivamente. La curvatura k no. está definida en los puntos críticos. La figura 1.9 a, nos brinda una representación visual de un campo curvatura, comprendida en función de la escala de colores (Figura 1.9 b) dada por: colores con tendencia hacia el azul representan valores pequeños en la curvatura y colores con tendencia al rojo, representan valores altos en la curvatura. Las curvas que se visualizan representan las streamlines del fluido.. (a) (b) Figura 1.9: a) Campo escalar de la curvatura asociado al fluido. b) Escala de colores. 20.

(30) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. La curvatura de las curvas tangentes refleja propiedades importantes de las mismas y por tanto nos da información valiosa acerca del comportamiento de todo el campo vectorial. Por ejemplo, generalmente, las turbulencias en el flujo de los fluidos provocan una curvatura grande y frecuentemente cambiante, en las curvas tangentes.. 1.3.2 Torsión Otra medida importante asociada a los fluidos es la torsión. Esta describe cuanto se retuerce la curva tangente alrededor de su vector binormal. Es por esto que las curvas planas no tienen torsión. Es decir, si la torsión es cero, esto significa que no existe torcedura alrededor del vector binormal y la streamline yace completamente sobre el plano osculante definido por la tangente y los vectores normales (Lu et al., 2013). La torsión de cada punto P = L (t0) de una curva tangente L se obtiene: ( ). ̇ ( ) ̈ ( ) ̉( ) ‖ ̇( ). ̈ ( )‖. De manera análoga a la curvatura, se define un campo escalar de la torsión en todo punto no crítico del fluido. Nótese que la torsión no está definida en puntos con curvatura k = 0. La figura 1.10 a muestra una representación visual de la torsión, comprendida en función de la escala de colores mostrada en la figura 1.10 b.. 21.

(31) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. (a). (b) Figura 1.10: a) Campo escalar de la torsión asociada al fluido. b) Escala de colores. 1.4 Técnicas de agrupamiento Los algoritmos de agrupamiento,. son procedimientos de aglomeración de acuerdo a un. criterio de cercanía(Rousseeuw, 1990) . Esta cercanía se determina en función de distancia, donde la más usual suele ser la euclidiana, aunque existen otras más robustas. Existen diversas técnicas de agrupamiento, que se dividen en dos grandes categorías: los jerárquicos, que construyen una jerarquía de grupos iterativamente y los de particionamiento, en los que el número de grupos se determina de antemano, y los objetos se van asignando a los grupos en función de su cercanía. A continuación, veamos algunas implementaciones de estas técnicas en concreto.. 1.4.1 K-medias El algoritmo K-medias (MacQueen, 1967) es un método típico basado en particiones. Dado número K pre-especificado, el algoritmo divide el conjunto de datos en K subconjuntos disjuntos, los cuales optimizan la siguiente función objetivo: ∑∑. 22.

(32) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. donde O es el objeto en el clúster Ci y µi es el centroide, o sea, la media de Ci. Así, la función objetivo trata de minimizar la suma de los cuadrados de las distancias de los objetos de los centros de sus respectivos grupos. Es un algoritmo sencillo y rápido. Su complejidad temporal es de un. (. ), donde n es el tamaño de la instancia de los datos, k es el número de grupos. que se desea hallar y T es el número de iteraciones. Estudios empíricos han mostrado que el algoritmo K-medias converge en un número pequeño de iteraciones. Sin embargo, existen algunas desventajas para el mismo, como por ejemplo que el número óptimo de grupos no es fácil saberlo de antemano. Además, por su propio diseño no es adecuado para ser aplicado cuando los datos muestran una estructura compleja (datos linealmente no separables), ya que este tiene la tendencia de formar grupos con forma de esferas. También se han propuesto algunas mejoras a este algoritmo para sobrellevar las desventajas del mismo. Por ejemplo, se usan algunos parámetros globales para controlar la calidad de los grupos resultantes (ej. El radio máximo de un clúster o la distancia entre los clúster). Además, tiene este algoritmo es que es muy sensible a la selección de la partición inicial, lo cual puede hacer la diferencia entre soluciones que sean mínimos o máximos globales y además es sensible a los valores atípicos. (uno. solo. de. ellos. puede. incrementar. el. error. cuadrático. medio. dramáticamente)(Rokach and Maimon, 2005).. 1.4.2 Mapas auto organizados (SOM) El mapa auto organizado, fue desarrollado por Kohonen, sobre la base de una red neuronal de capa simple. Los objetos se presentan en la entrada y las neuronas de salida se organizan con una estructura de vecindad simple, digamos, como una malla bidimensional p*q. Cada neurona de la red se le asocia un vector de referencia, y cada dato se hace corresponder con la neurona con el vector de referencia más cercano. Al correr el algoritmo, cada objeto actúa como una muestra de entrenamiento la cual dirige el movimiento de los vectores de referencia. 23.

(33) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. hacia las áreas más densas del espacio de vectores de entrada, de modo que esos vectores de referencias se entrenan para ajustar las distribuciones del conjunto de datos de entrada (Wang et al., 2004). Una de las características extraordinarias de los mapas auto organizadas es que generan un mapa atractivo de manera intuitiva, de conjunto de datos de grandes dimensiones en 2D o 3D y coloca grupos similares cercanos unos a otros. El proceso de entrenamiento de neuronas de los mapas auto organizados provee un enfoque relativamente más robusto que el K-medias con respecto al agrupamiento de datos con un grado alto de ruido. No obstante, requiere que los usuarios introduzcan el número de grupos y la estructura de malla del mapa de las neuronas. Estos dos parámetros se preservan a lo largo del proceso de entrenamiento. Además, si los datos tienen valores irrelevantes en abundancia, el algoritmo producirá una salida en la cual este tipo de datos poblará la mayor parte de los grupos. En este caso, el algoritmo no es efectivo ya que muchos de los patrones de interés pueden combinarse en solo uno o dos grupos y pueden no ser identificados. Además, es sensible a la selección inicial de vector de pesos, así también como a sus otros parámetros, tales como la razón de aprendizaje y el radio de la vecindad(Rokach and Maimon, 2005). Además, el rendimiento de SOM tiende a decrecer a medida que crece el número k de grupos(Abbas, 2008).. 1.4.3 Agrupamiento jerárquico En contraste a los métodos de agrupamiento basados en particiones, los cuales intentan descomponer de manera directa los datos en un conjunto de grupos disjuntos, el agrupamiento jerárquico genera una serie jerárquica de grupos anidados, los cuales pueden ser representados gráficamente por un árbol llamado dendrograma. Las ramas de un dendrograma no solo registran la formación de los grupos, sino que también indican el grado de similitud entre los mismos. Al efectuar un corte en el dendrograma en cierto nivel, podemos un número especificado de grupos.. 24.

(34) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. Los algoritmos de agrupamiento jerárquicos pueden dividirse en las variantes acumulativas y divisivas teniendo en cuenta la manera en que se forma el dendrograma. Los algoritmos acumulativos (variante bottom-up) inicialmente consideran cada objeto como un grupo individual, y en cada paso, combina la pareja más cercana de grupos hasta que todos los grupos se fusionan en un solo grupo. Los algoritmos divisivos (variante top-down) comienzan con un solo grupo que contiene todos los objetos, y en cada paso divide un grupo hasta que quedan solo grupos individuales de un solo objeto. Para las variantes acumulativas, se cuentan con varias estrategias de fusionado, debido a diferentes medidas de proximidad entre grupos, tales como el enlace simple, enlace completo y la variación mínima (Jain and Dubes, 1988, Rousseeuw and Kaufman, 1990). En cuanto a las variantes divisivas, el problema consiste en decidir cómo dividir los grupos en cada paso. Algunas variantes se basan en métodos heurísticos, mientras que otras se basan en métodos de la teoría de grafos. Precisamente, el método escogido para realizar el agrupamiento de los datos del fluido en cada instante del tiempo, es el método de agrupamiento jerárquico, el cual es uno de los más ampliamente usados y aunque presenta la desventaja que posee una complejidad cuadrática, presenta algunas fortalezas como por ejemplo, la versatilidad, es decir, tiene un buen desempeño en datos que contienen grupos no isotrópicos, lo cual incluye grupos concéntricos y en forma de cadena. Además permite la selección de particiones múltiples, lo que significa que permite a diferentes usuarios escoger diferentes particiones, de acuerdo a cierto nivel de similitud deseado, ya que este algoritmo genera una jerarquía anidada de grupos similares, de acuerdo a una función de distancia determinada (Rokach and Maimon, 2005). Particularmente, la variante escogida es la aglomerativa bottom-up.. 25.

(35) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. 1.5 Estado del arte de los métodos de visualización de fluidos A continuación se analizan los resultados de investigaciones que se han desarrollado para la visualización de fluidos, así como varios enfoques específicos en esta área, tales como: las técnicas basadas en la topología, las técnicas basadas en particiones, las técnicas basadas en integración y las técnicas basadas en textura.. 1.5.1 Técnicas basadas en la topología Las técnicas basadas en la topología se enfocan en las propiedades estructurales del fluido. La mayor parte de estos métodos comienzan con el análisis de las singularidades en el fluido. Algunos aportes en esta área son: . Detección y clasificación de puntos críticos: Helman y Hesselink introdujeron la topología de fluidos a la visualización científica (Helman and Hesselink, 1989). El análisis de ellos incluía la detección, clasificación y visualización de puntos críticos en fluidos planos (2D). Aplicaron sus algoritmos fluidos tanto estacionarios como no estacionarios. Ellos representaron el tiempo como una tercera dimensión. en el caso. de fluidos planos dependientes del tiempo. . Topología. orientada. a. “streamlines”. (curvas. tangentes). y. “pathlines”. (trayectorias): los métodos topológicos a menudo dividen los campos vectoriales usando curvas basadas en “streamlines”. Además de la topología orientada a “streamlines”, Theisel en (Theisel et al., 2004) también considera la topología orientada los “pathlines”. Ellos proponen un enfoque novedoso para detectar y rastrear “streamlines” cercanos en campos vectoriales dependientes del tiempo en 2D. En el estudio de la topología orientada a “pathlines”, ellos segmentan el campo vectorial en. 26.

(36) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. regiones donde los “pathlines” muestran comportamientos de atracción, repulsión o de ensilladura.. 1.5.2 Técnicas basadas en texturas Además de estas dos clases de técnicas mencionadas, existen otras como por ejemplo, las técnicas basadas en texturas. Estas técnicas toman como entrada un campo vectorial y una textura de ruido de escala gris. Esta última es empotrada en la dirección que indica el campo en cada punto de tal manera a que la textura refleja las propiedades del campo vectorial. Se han realizado varias investigaciones en esta área tales como: . La técnica del ruido puntual (spot noise) de (Van Wijk, 1991) es una de las primeras técnicas basadas en texturas para la visualización de fluidos en 2D. Este método genera una textura distribuyendo un conjunto de funciones de intensidad sobre el dominio, a las cuales también se les llama mancha (spot). Cada mancha representa una partícula moviéndose a lo largo de un pequeño lapso de tiempo y produce una línea en la dirección del fluido local desde donde se inicializó la partícula. Una limitación de este algoritmo es la carencia de información relacionada con la magnitud velocidad en la textura resultante.. . La técnica de Line Integral Convolution (LIC). fue introducida por (Cabral and. Leedom, 1993) es una técnica muy popular para la cobertura densa de campos vectoriales de 2D. La metodología original de LIC toma como entrada un campo vectorial en una red cartesiana y una textura de ruido del mismo tamaño. La textura del ruido es filtrada localmente (suavizada) a lo largo del camino de las streamlines para así adquirir una visualización densa del fluido. . Un enfoque que combina a la visualización directa de volúmenes y LIC es el que utiliza (Interrante, 1997) para extender LIC a 3D. Ellos direccionan algunas dificultades con las visualizaciones 3D. Se discuten además técnicas para la selección de regiones. 27.

(37) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. importantes regiones de interés en el fluido, la mejora de la percepción visual y otros temas.. 1.5.3 Técnicas basadas en integración Este tipo de métodos define un conjunto de puntos de semilla (seeding points) desde los cuales se calculan las trayectorias (streamlines o pathlines). De este modo, estas trayectorias se utilizan para construir objetos geométricos (superficies), en contraste con otros métodos donde estas son usadas para el filtrado de texturas o el análisis topológico.(McLoughlin et al., 2010). Algunos aportes en este sentido han sido:  En 1992, Hulquist introduce un novedoso algoritmo para la construcción de superficies (Hultquist, 1992). Las streamlines son inicializadas no de un punto, sino desde una curva e integradas a lo largo del campo vectorial. La frecuencia de muestreo se actualiza en el paso de integración en caso de ser necesario. Esto se logra usando pruebas de distancias entre los puntos de streamlines vecinas. Los puntos de la streamline se usan para malla de la superficie.  En contraste al método local presentado por Hulquist, Van Wijk presenta un enfoque global para la generación de superficies (Van Wijk, 1993). Se coloca una función (. ) en los límites del dominio de los datos. Se calcula un campo escalar a lo largo. de del dominio colocando streamlines en todos los puntos que están en el límite de la malla y propagando el valor de f a lo largo de la streamline. De este modo puede extraerse una superficie por medio de esta función.. Precisamente la técnica seleccionada para el análisis del fluido, en este caso en cada instante de tiempo, es precisamente la técnica basada en integración. Según (Verma et al., 2000), está técnica es efectiva para resaltar los rasgos más importantes del fluido, siempre que cumpla. 28.

(38) _________________________________________________________________________ Capítulo 1. con tres criterios: cobertura, uniformidad y continuidad. Por esto, asumimos que esta es una manera adecuada de representar el fluido en cada instante del tiempo, y de esta forma aplicar la técnica de agrupamiento al fluido.. 1.6 Conclusiones parciales En este capítulo se abordan brevemente los principales aspectos teóricos relacionados con los fluidos. Podemos concluir que: . Los fluidos tienen asociados varios campos escalares tales como la curvatura y la torsión que. reflejan propiedades importantes de las mismas y por tanto nos da. información valiosa acerca del comportamiento de todo el campo vectorial. . Existen varias técnicas de agrupamiento que usualmente se han aplican a este tipo de datos de las cuales, se selecciona el agrupamiento jerárquico debido a la versatilidad de este método y sencilla implementación de este método.. . Se han realizado anteriormente varias investigaciones en las que se han desarrollado algunas técnicas por medio de las cuales puede realizarse la visualización de fluidos, de las cuales se ha seleccionado las basadas en integración.. 29.

(39) _________________________________________________________________________ Capítulo 2. Capítulo 2. Implementación de la herramienta En el presente capítulo se define el esquema general del trabajo que se llevó a cabo, con el objetivo de analizar la evolución del comportamiento de un fluido no estacionario. Para esto se realiza un análisis del diseño de la herramienta que se emplea para procesamiento de los datos.. 2.1 Diseño de la herramienta En el problema en cuestión, el objetivo es obtener una representación visual de regiones del espacio tridimensional en las cuales existen patrones de comportamiento similar, por medio del análisis de la evolución de esos patrones. Primero hace un análisis del fluido en cada instante de tiempo. Para esto se han considerado dos alternativas conocidas en la literatura, que se incluyen dentro de las técnicas basadas en integración, por la cual optamos, como se mencionó anteriormente. La primera consiste en el agrupamiento de fluidos basado en un campo escalar basado en ciertos rasgos tales como la curvatura y la torsión, en la que los grupos que se obtienen de esta forma, representan cierta región del fluido donde el comportamiento es similar basado en dichos rasgos. Este tipo de técnicas pertenece a las técnicas basadas en integración porque el campo escalar se define como una función de los rasgos, pero sobre un segmento de streamline (Kuhn et al., 2011). La segunda alternativa, está enfocado netamente en el análisis de disposición espacial de las streamlines. Según (Yu et al., 2012), el agrupamiento de streamlines en manojos (bundles), constituye una técnica novedosa para el análisis visual de los fluidos, ya que posibilitan la captura de importantes rasgos del fluido. En nuestro enfoque, se ha tomado partido por la segunda alternativa, porque las streamlines, por su propia naturaleza, permiten la comprensión del comportamiento del fluido en la mayor parte de su dominio de definición, de una manera clara. Se parte de la idea que las. 30.

(40) _________________________________________________________________________ Capítulo 2. técnicas basadas en streamlines que las diferentes formas y orientaciones de las mismas representan o son un indicativo de los diferentes rasgos subyacentes en el fluido (Lu et al., 2013). Una vez realizado el agrupamiento en cada instante de tiempo, por uno de estas vías, en el siguiente paso, se procede a combinar los agrupamientos, estableciendo una correspondencia basada en la distancia entre los centroides de los grupos obtenidos (Weinkauf, 2008), siempre teniendo en cuenta cierto umbral de tolerancia en los cambios de comportamiento ocurridos en los grupos más similares de un instante del tiempo al otro. Luego, se representan visualmente los resultados. La figura 2.1 ilustra los pasos necesarios en nuestro enfoque de trabajo, para realizar el análisis visual de los datos de fluidos dependientes del tiempo, basado en técnicas de agrupamiento.. Figura 2.1: Flujo de trabajo Más adelante se hace un análisis aún más detallado de cada uno de estos pasos por separado. En el epígrafe 2.2 se hace una explicación de cómo se generan las streamlines del fluido en cada instante del tiempo. En el epígrafe 2.3 mostramos cual fue el algoritmo escogido para realizar el agrupamiento de los datos, los motivos de su selección. Luego, en el epígrafe 2.4, mostramos el método que fue empleado en la combinación de los agrupamientos por separado del fluido en cada uno de los instantes de tiempo. Por último, en el epígrafe 2.5 exponemos la técnica de visualización que fue escogida para visualizar los resultados obtenidos por medio de las técnicas anteriormente mencionadas.. 31.

(41) _________________________________________________________________________ Capítulo 2. 2.1.1 Descripción de los datos Los datos de fluidos que se analizan, consisten en mallas rectangulares de coordenadas uniformes enteras, cada una de las cuales determina unívocamente una celda (voxel) al cual está asociado un vector tridimensional, esto es, tres valores de tipo real representando cada una de las coordenadas del mismo. Este es el caso en cada uno de los instantes del tiempo en que está definido el fluido.. 2.1.2 Diagrama UML de clases A continuación se muestra en la figura 2.2 el diagrama UML de las clases que necesariamente surgen en la solución del problema, para de así lograr una mejor comprensión del mismo y de la solución que se propuso. La clase VectorField engloba las principales propiedades y atributos propios e inherentes a un fluido en determinado instante de tiempo. Por ejemplo, esta clase tiene el control de las dimensiones de cada uno de los ejes, el ancho de los voxels y los datos del fluido. Además, sobre ella están definidas varias operaciones, como el cómputo de algunas. medidas. características de los fluidos como son la curvatura y la torsión. Esto se hace por medio de los métodos compute_curvature() y compute_torsion(). La clase StreamLine representa un conjunto de puntos discretamente muestreados, los cuales como conjunto, describen una curva tangente del fluido en determinado instante del tiempo. Este proceso es llevado a cabo por el método GenStreamLine (int i, int j, int k), el cual genera una streamline a partir de las coordenadas (i, j, k), hasta llegar a los límites de definición de la malla o hasta encontrar un punto crítico. Además, los puntos “semilla” que se escogen para inicializar la integración tienen la característica de ser puntos donde la curvatura es alta, para. 32.

(42) _________________________________________________________________________ Capítulo 2. de este modo hacer énfasis zonas done existe turbulencia en el fluido, según nos dice (Hege et al., 2004). Esta clase hace uso de otras dos clases: la clase Point y la clase Vector. Estas clases representan los entes matemáticos tales como un punto y un vector. Además en ellas se definen todo tipo de operaciones inherentes a ellas tales como la distancia y la multiplicación por un escalar en el caso de la clase Point, y en el caso de la clase Vector, se definen todas las operaciones aritméticas entre dos vectores, operaciones aritméticas entre vectores y escalares, la norma del vector y su normalización.. Figura 2.2: Diagrama UML de clases. 33.

(43) _________________________________________________________________________ Capítulo 2. La clase RecordSpace contiene todo el conjunto las streamlines del fluido que fueron generadas en un instante de tiempo determinado. En el contexto de esta clase se emplea una estructura llamada Record (figura 2.3) que representa una curva tangente o streamline del fluido, donde la variable offset constituye un identificador de la misma dentro de todo el conjunto de streamlines del fluido en cada instante de tiempo. Esta es la estructura que constituye un objeto en el proceso de agrupamiento.. Figura 2.3: Estructura de datos de un record En la clase Clusters se definen las operaciones que llevan a cabo el agrupamiento. Para esto, la clase hace uso de un objeto de la clase RecordSpace, el cual contiene el conjunto de streamlines sobre las cuales aplicará el método seleccionado. La estructura de dato utilizada para la representación de un clúster se ilustra en la figura 2.4. Aquí, la variable records es un conjunto de índices que indican cuales de son la streamlines que pertenecen a este grupo. La variable centroide indica cuál de las streamlines constituye el centroide del grupo. La variable std_dev es la medida estadística de la desviación estándar y por último, num_records registra la cantidad de streamlines que tiene el grupo.. Figura 2.4: Estructura de datos de un grupo. 34.

(44) _________________________________________________________________________ Capítulo 2. Esta clase hace uso además de la clase ArrayList, que no es más que una clase lista implementada por medio de un arreglo. La utilidad de esta clase consiste en que facilita las operaciones que se aplican sobre las etiquetas correspondientes a cada objeto en el algoritmo de agrupamiento, ya que su funcionalidad se asemeja a la de un conjunto, al redefinir operadores aritméticos elementales entre dos objetos de la clase (elemento a elemento) o entre un objeto y un escalar, además de la operación de unión. La clase ClusteringEnsembler se encarga de establecer, por medio de la operación ensemble(), una correspondencia basada en la distancia entre los centroides de los grupos obtenidos para analizar la evolución de las zonas de comportamiento similar.. 2.2 Generación de las streamlines En nuestra implementación se hace uso del método integrador Runge-Kutta de cuarto orden con una longitud de paso fija. Dado un punto del dominio de definición del campo vectorial, conocido como punto de semilla (seeding point),. se aplica este método partiendo de este. punto en dos direcciones opuestas y se aplica hasta que se encuentre un punto crítico o se arribe al límite del dominio en alguno de los ejes de coordenadas. Este se realiza por medio del método GenStreamLine (int i, int j, int j). Esto se conoce como inicialización de las streamlines. Otro factor a tener en cuenta es cómo escoger el punto de semilla. En (Yu et al., 2012) se consideran al menos tres alternativas para esto. La primera consiste en la variante del punto aleatorio (figura 2.5 a). Esta variante tiene la ventaja de su sencillez aunque, permite la posibilidad de descartar rasgos existentes en el fluido. La segunda alternativa consiste en la variante basada en la curvatura (figura 2.5 b). Esta variante prioriza aquellos puntos que tienen altos valores de curvatura, lo cual según (Hege et al., 2004) enfatiza las partes turbulentas del fluido y que son visualmente uniformes. La tercera alternativa consiste en los llamados mapas. 35.

(45) _________________________________________________________________________ Capítulo 2. de prominencia (saliency maps) (Yu et al., 2012) (figura 2.5 c). Esta alternativa consiste en un método que coloca los puntos semilla cercanos a los puntos críticos cerca de los puntos críticos y de esta forma logra capturar rasgos interesantes del fluido que suceden cerca de estos puntos. Este método resalta zonas que sobresalen en su entorno.. (a). (b). (c). Figura 2.5: Inicialización de las streamlines por medio de varias alternativas de selección de los puntos semilla (Streamline seeding). En nuestra implementación fue aplicada una combinación de las dos primeras alternativas, ya que el primer método como se aprecia en la figura 2.5 a, es capaz de cubrir caso todo el dominio de del fluido, y a su vez el segundo método reduce la probabilidad de obviar los rasgos importantes del fluido. La figura 2.6 muestra el resultado de la integración, con un total de 1000 streamlines, al escoger los puntos semilla utilizando estas dos alternativas. Aquí se puede apreciar que los rasgos más importantes de fluido han sido capturados, específicamente las zonas donde el comportamiento es interesante, por ejemplo, donde existe turbulencia.. Figura 2.6: Inicialización de las streamlines. 36.

(46) _________________________________________________________________________ Capítulo 2. 2.3 Agrupamiento para cada instante de tiempo Como fue mencionado anteriormente, el método utilizado para el agrupamiento es el algoritmo jerárquico aglomerativo bottom-up. Comenzamos desde un punto de partida en el que consideramos cada record como un grupo de por sí misma. Luego, se calcula la matriz de distancias de cada streamline al resto. Luego, partiendo de esta matriz, se construye una jerarquía de nodos con estructura de árbol binario, uniendo en cada iteración los dos grupos con la menor distancia entre ellos. Existen varios métodos para calcular la distancia entre los grupos (nodos intermedios) que se van obteniendo. Algunos de estos son: el enlace completo (complete linkage), el enlace simple (single linkage) o el enlace del promedio ponderado (weighted average linkage). El enlace completo, también conocido como el vecino más lejano, toma la mayor distancia entre cada par de elementos de dos grupos. El enlace simple, también conocido como el vecino más cercano, toma la menor distancia entre cada par elementos de dos grupos. La distancia del promedio ponderado toma la mitad de la suma de las distancias entre cada para de elementos entre dos grupos. Es decir, si P y Q son dos grupos que, estas distancias se definen:  Enlace completo:. (. (. ). ).  Enlace completo:. (. (. ). ).  Enlace del promedio ponderado: (. (. (. ). (. )). ). El seudocódigo del método, es como sigue: 1) Calcular la matriz de distancias entre cada par de record. Tomar cada record como un grupo.. 37.

(47) _________________________________________________________________________ Capítulo 2. 2) Buscar el par de record más similares usando la matriz de distancias. 3) Unir estos dos grupos en uno solo. 4) Actualizar. la. matriz. de. distancias,. para. reflejar. esta. última operación. 5) Si todas los records están en un solo grupo, parar. Sino ir al paso 2. De manera general, para una cantidad M de records a agrupar, se efectúan M-1 iteraciones. La operación de unión se efectúa solo de manera lógica. Esto significa que el resultado de este proceso iterativo es una tabla en la que cada entrada es son tres valores: los dos primeros las etiquetas o identificadores de los grupos que se unen en dicha iteración y el tercer valor es la distancia entre ellos. En cada S (. ) iteración se añade una nueva entrada a esta. tabla, con una etiqueta M+S. Luego, una vez construida esta tabla de jerarquía, se hace un corte en el árbol binario de manera que, aplicar este corte, se produzcan K intersecciones, siendo K el número de grupos deseado. De esta manera todos los nodos que se derivan de cada uno de las intersecciones son los elementos que pertenecen a los mismos, como se ilustra en la figura 2.7. Los valores que se ven en la columna izquierda son una escala que refleja la distancia entre los grupos que se unen en un nivel determinado.. 38.