Mecánica II Tema 1 Movimiento rectiĺıneo

(1)

Mec´ anica II Tema 1

Movimiento rectil´ ıneo

Manuel Ruiz Delgado 18 de febrero de 2011

Mec´anica I y II . . . 2

Referencias . . . 3

Movimiento rectil´ıneo . . . 4

Modelos . . . 5

Problema b´asico . . . 6

Casos de integraci´on . . . 7

Caso F (t). . . 8

Fuerzas dependientes de la velocidad . . . 9

Caso F ( ˙x): Reducci´on a cuadraturas . . . 10

Caso F ( ˙x): An´alisis cualitativo . . . 11

Caso F ( ˙x): Ca´ıda libre . . . 14

Caso F ( ˙x): Comparaci´on aire/vac´ıo . . . 15

Caso F (x): fuerzas conservativas . . . 16

Caso F (x): Reducci´on a cuadraturas . . . 17

Caso F (x): an´alisis cualitativo . . . 18

Oscilador arm´onico amortiguado forzado . . . 25

Transitoria: oscilador libre . . . 26

Transitoria: oscilador libre amortiguado . . . 28

Transitoria: Decremento logar´ıtmico . . . 29

Respuesta estacionaria: oscilador forzado . . . 30

Factor de amplificaci´on de la estacionaria . . . 34

Fase de la estacionaria . . . 35

Fase en el movimiento arm´onico . . . 36

Resonancia . . . 41

(2)

Mec´anica I y II

Mec´anica de Part´ıculas y S´olidos R´ıgidos

Leyes de Newton

Cinem´atica

Punto S´olido Geometr´ıa de Masas

Fuerzas, Trabajo, Potencial, Ligaduras

Magnitudes Cin´eticas

Conceptos auxiliares

Ecs. Generales

de la Din´amica P.T.V.

Ec. Lagrange Percusiones

Vibraciones Est´atica

N´ucleo

Punto S´olido

M. Orbital D. Actitud

Casos

Mec I Mec II

Manuel Ruiz - Mec´anica II 2 / 41

Referencias

Manuel Prieto Alberca, Curso de Mec´anica Racional: Din´amica, ADI, Madrid, 1990.

Antonio Rañada, Dinámica Clásica, Alianza Editorial, Madrid, 1990.

H. Schaub y J. Junkins, Analytical Mechanics of Space Systems, AIAA, Reston, Virginia, 2003.

L. Meirovitch, Introduction to Dynamics and Control, John Wiley & Sons, Nueva York, 1985.

L. Meirovitch, Methods of Analytical Dynamics, McGraw-Hill, Nueva York, 1970.

H. Goldstein, Mecánica Clásica, Reverté, Barcelona, 1988.

E. Desloge, Classical Mechanics, John Wiley & Sons, Nueva York, 1982

(3)

Movimiento rectil´ıneo Modelos - Problema b´asico Casos reducibles a cuadraturas

• Caso F (t)

• Caso F ( ˙x): Sistemas disipativos

◦ An´alisis cualitativo

• Caso F (x): Sistemas conservativos

◦ An´alisis cualitativo

⋄ Diagrama de Potencial

⋄ Mapa de fases Caso completamente integrable

• Oscilador arm´onico

◦ Libre / Amortiguado

◦ Resonancia

Modelos

Part´ıcula, part´ıcula material, masa puntual o, simplemente, punto: punto geom´etrico dotado de masa, sobre el que act´uan fuerzas diversas.

• La orientaci´on (actitud,QQQ₁₀) no influye en el movimiento del centro de masas

• Ec. de la cantidad de movimiento

• Planetas, sistemas planetarios, etc.

S´olido r´ıgido: conjunto de puntos cuyas distancias permanecen constantes.

• La actitud influye en el movimiento

• Ec. CM + Ec. Momento Cin´etico

• Aviones, misiles en vuelo atmosf´erico

(4)

Problema b´asico

Para simplificar, tomamos Ox en la direcci´on del movimiento rectil´ıneo: r= (x, 0, 0) Fx(x,˙x,t) = mx¨

F_y(x,˙x,t) +N_y = 0 F_z(x,˙x,t) +N_z = 0

r(0) = (x₀, 0, 0)

˙

r(0) = ( ˙x₀, 0, 0)











⇒

x = x(t, x₀, ˙x₀) N_y = N_y(t, x₀, ˙x₀) Nz = Nz(t, x₀, ˙x₀)

x

y z

Ny

Nz

F

b

En general, salvo los casos más simples, la integra- ción de la Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO) se tiene que hacer numéricamente.

Casos de integraci´on

En algunos casos particulares, el problema se puede reducir a cuadraturas(R

f (u) du):

• F (t)

• F ( ˙x): fuerzasgirosc´opicas o disipativas

• F (x): fuerzasconservativas

Si las fuerzas son proporcionales a x o ˙x, queda una ecuaci´on lineal de coeficientes constantes, que se integra completamente: oscilador arm´onico

(5)

Caso F (t)

Cuando la fuerza es una funci´on conocida del tiempo —un motor, por ejemplo— la ecuaci´on se puede integrar en dos fases:

F (t) = m ¨x = md ˙x

dt →

→











˙x(t) = ˙x0+ Zt

t0

F (τ ) m dτ x(t) = x₀+ ˙x₀(t − t0) +

Z t t0

Z τ t0

F (t) m dt

dτ

Fuerzas dependientes de la velocidad Girosc´opicas: su trabajo es siemprenulo^a.

• ⊥ a la velocidad: Coriolis, Lorenz, [sustentaci´on]^b.

• No influyen directamente en el movimiento rectil´ıneo; s´ı en el rozamiento, o en ligaduras unilaterales (despegue)

Disipativas: su trabajo es siempre negativo: disipano consumen la energ´ıa mec´anica del sistema.

• Sentido opuesto a la velocidad:

F(v) = −(a0+ a₁|v| + a2v²+ . . . ) v

|v| = −f (|v|) v

|v|

• En casos simples, se puede integrar completamente: rozamiento de Coulomb y viscoso, resistencia aerodin´amica.

aSentido usual en Mecánica Clásica. En Ingenier´ıa Aeronáutica, en cambio, fuerzas giroscópicas son las de inercia debidas a piezas rotatorias.

bEsta es ⊥ a la velocidad relativa al aire, que puede no coincidir con la del cuerpo.

(6)

Caso F ( ˙x): Reducci´on a cuadraturas

f (v) polin´omica, se integra completamente (hasta 3 t´erminos).

En general, se puede reducir a cuadraturas en v:

m ¨x = mdv

dt = ±f (v) → t − t0 = ± Z v

v0

m dv

f (v) → t = t(v) dx = v dt = ±vm dv

f (v) → x − x0= ± Z v

v0

m v dv

f (v) → x = x(v)

Ecuaciones horarias en forma impl´ıcita El signo ± ser´a el contrario del de v⁰

Singularidad en v = 0: analizar convergencia y movimiento posterior.

Caso F ( ˙x): An´alisis cualitativo

Se puede analizar el movimiento vertical de una part´ıcula pesada directamente sobre la ecuaci´on di- ferencia. Basta que f (v) cumpla:

mg

f (v)

−f (v) v

vL

0 f (0) < mg, para que la part´ıcula caiga al soltarla;

∃ v^L/ f (vL) = mg, velocidad l´ımite a la que se equilibran peso y resistencia;

que f (v) sea mon´otona creciente, al menos en la zona en que trabajamos.

(7)

Se lanza la part´ıcula verticalmente hacia abajo Ox positivo hacia abajo

Ecuaciones del movimiento:

m ˙v = mg − f (v) = f (v^L) − f (v) t − t0=

Z v v0

m dv f (vL) − f (v)

O

mg f (v)

v x

Hay cuatro casos:

v₁ < v_L v₀ = vL

v₂ > vL

v₃ < 0

t v₃

v₁ vL

v₂

0

m ˙v = f (v_L) − f (v)

˙v ˙v

˙v mg

f (v)

−f (v) v

v₃ 0 v₁ v_L v₂

(8)

Caso F ( ˙x): Ca´ıda libre

En el vac´ıo todos los cuerpos caen con la misma aceleraci´on, g

En el aire, los más pesados caen con más aceleración y mayor vL:

m₁g

m₂g f (v)

v v_L1 v_L2

• Masas distintasm₂ >m₁

• Igual forma y acabado: f (v) igual

• v_L2 >v_L1, pues m₂g = f (v_L2) >m₁g = f (v_L1).

Otro modo de verlo: adimensionalizar f (v) con mg mayor aceleraci´on(a igual v)

mayor v_L 1

v_L1 v_L2

f(v) m2g f(v)

m1g

Caso F ( ˙x): Comparaci´on aire/vac´ıo Comparamos las cuadraturas:

aire: f (v) vac´ıo: 0

Hr = Z ₀

−v⁰

m v dv

mg + f (v) < Hv = Z ₀

−v⁰

m v dv mg + 0

Tr = Z 0

−v⁰

m dv

mg + f (v) < Tv = Z 0

−v⁰

m dv mg + 0

En las cuadraturas para el vac´ıo, el denominador es menor, el integrando mayor, y por tanto las integrales son mayores. En vac´ıo se llega más alto y se tarda más tiempoâ:

|Hr| < |Hv| T_r < T_v

aCon el sentido positivo hacia abajo, las alturas ser´ıan negativas

(9)

Caso F (x): fuerzas conservativas

F= F (x) i deriva de unpotencial V (x) = −R

F (x) dx F= −∇V (x) = −dV (x)

dx i

La ecuaci´on del movimiento se puede integrar una vez, para dar laintegral de la energ´ıa:

m ¨x = F (x) ; m ¨x ˙x = F (x) ˙x ⇒

⇒ m ˙x²

| {z }2

T

= Z

F (x) dx

| {z }

−V

+ E ⇒ T + V = E

Se conserva la energ´ıa mec´anica: Sistema conservativo Error fatal: “calcular” elpotencialde una fuerzadisipativa →

Caso F (x): Reducci´on a cuadraturas Integral primera: conservaci´on de la energ´ıa

m ˙x²

2 = E − V (x) ⇒ ˙x= ± r2

m(E − V (x)) Cuadratura:

dx dt = ±

r2

m[E − V (x)] ⇒ t− t0 = Z x

x0

±dx q2

m[E − V (x)]

Se obtienen ˙x= ˙x(x, x0, ˙x0) y t− t⁰= t(x, x0, ˙x0) , ecuaciones horarias en forma impl´ıcita.

El signo ± se determina con las condiciones iniciales

(10)

Caso F (x): an´alisis cualitativo

La integral de la energ´ıa T ( ˙x) + V (x) = E permite realizar un an´alisis cualitativo del movimiento, sin necesidad de integrarlo completamente.

Dos m´etodos equivalentes:

• Diagrama de energ´ıa potencial: representar V (x); cada valor de E es una recta horizontal

• Mapa de fases: Cada valor de E es una curva del plano [x, ˙x].

V (x)

O x

˙x

x

x V T V (x)

O x

Diagrama de Energ´ıa Potencial

˙x

x

˙x

x

Mapa de fases

1

2m ˙x²+V (x)= E ˙x= ±q

2

m[E −V (x)]

(11)

Diagrama de energ´ıa potencial

a

b c

d

E₁ E₂

E₃ E4

V (x)

x₁ x₂ x₃ x₄ x

∞

a) Punto de parada y retroceso Singularidad en el corte:

t − t0 = Z x

x0

q ±dx

2

m[E − V (x)]

Convergencia de la integral:

x→xl´ım⁴

pE − V (x)

(x₄− x)^α = K / α < 1 Corte: α = 1/2 ⇒ llega en t finito

E

V (x)

m ˙x² 2

x x₄

˙x

x

(12)

b) M´ınimo en x₃

E < V (x₃) ⇒ ∄ movimiento ( ˙x ∈ ℑ) E = V (x₃) ⇒ S´olo equilibrioen x₃

E > V (x₃) ⇒ Oscilaciones entre dos puntos de parada/retroceso

V (x) m´ınimo en x3 ⇒ punto de equilibrio estable. Al pertur- barlo (E ↑) → oscilaciones acotadas, tan peque˜nas como se quiera: pozo de potencial.

Diagrama de fases: curvas cerradas alrededor de (x₃, 0): centro, o punto el´ıptico.

E_osc

Eequ

V (x)

Fx= −V^′(x)

x2 x3 x4

˙x

x

c: M´aximo en x1

E > V (x₁), T > 0,pasa sin pararse E = V (x₁) seg´un condiciones iniciales:

• Equilibrio inestable en x₁: perturbaci´on → movimiento no acotado

• Movimiento asint´otico: si V (x) es anal´ıtica, α = 1, t =

∞

E < V (x₁) No llega

Mapa de fases: punto de silla o hiperb´olico. Separatrices:

movimiento asint´otico con E = V (x₁).

V (x)

x₁

˙x

x

(13)

d: Rama infinita - Similar al m´aximo, con x → ∞

x V (x)

˙x

x 0

x V (x)

˙x

0 x

Oscilador arm´onico amortiguado forzado

Part´ıcula de masa m unida al origen por un muelle de constante k y longitud natural nula, y un amortiguador viscoso de constante c. Sobre la part´ıcula act´ua una fuerza F = F sin ωti.

mx¨= −kx− c ˙x+ F sin ωt

¨

x+ 2ζωn ˙x+ ω_n²x = _m^F sin ωt

Frecuencia de forzamiento: ω Frecuencia natural: ωn=p

k/m Factor de amortiguaci´on: ζ = _2mω^c _n

m

x c F

k

x = x_h + xp

Solución homogénea x_h Respuesta Transitoria Solución particular xp Respuesta Estacionaria

(14)

Transitoria: oscilador libre

r²+ 2ζω_nr+ ω_n² = 0 ⇒ r_i = ω_n

−ζ ± q

ζ²− 1

Amortiguamiento supercr´ıtico, ζ > 1

Dos ra´ıces reales negativas:

x_h= A e^r¹^t+ B e^r²^t; con r₁,r₂< 0

Am. Cr´ıtico, ζ = 1 (ccr = 2√

km)

Una ra´ız doble real negativa x_h= (A + Bt) e^−ωⁿ^t

• La que muere m´as r´apido.

• Frontera movimiento oscilatorio / no oscilatorio.

Transitoria: oscilador libre

Amortiguamiento subcr´ıtico, ζ < 1

• 2 ra´ıces complejas conjugadas

• Movimiento oscilatorio no peri´odico, exponencialmente amortiguado

• ωn

p1 − ζ² : pseudofrecuencia

x

t

x_h = e^−ζωⁿ^t

A e^iωⁿ√

1−ζ²t+ B e^−iωⁿ√

1−ζ²t

=

= e^−ζωⁿ^t h

C cos ωn

p1 − ζ²t

+ D sin ωn

p1 − ζ²ti

=

= e^−ζωⁿ^t h

E cos ωn

p1 − ζ²t+ ψi

(15)

Transitoria: oscilador libre amortiguado

x V (x)

ζ = 0

0,2 2 1

ζ = 0 punto de equilibrio estable ζ > 0 eq. asint´oticamente estable

x

˙x ζ

2 1 0,2

0

2

ζ = 0 centro ζ > 1 nodo estable

ζ = 1 nodo de una tangente est.

ζ < 1 foco estable

Transitoria: Decremento logar´ıtmico

En el caso subcr´ıtico, se puede determinar experimentalmente el factor de amortiguamiento midiendo dos amplitudes separadas un pseudoperiodo. Pueden medirse en cualquier punto, aunque es más fácil medir dos máximos sucesivos.

Sea ∆t = ^2π

ωn√

1−ζ² el pseudoperiodo:

x₁= e^−ζωⁿ^tE cos (. . . )

x₂= e^−ζωⁿ^(t+∆t)E cos (· · · + 2π)

e δ = x₁ x2

= e

2πζ

√1−ζ2

⇒ ζ = δ

√4π²+ δ²

x₁ x₂ x

t

El logaritmo del cociente de amplitudes, δ , se llama decremento logar´ıtmico.

(16)

Respuesta estacionaria: oscilador forzado EDO: x¨+ 2ζω_n ˙x+ ω²_nx= ^F_msin ωt Ensayamos soluciones de la forma,

xp = C1 sin ωt+ C2 cos ωt= A sin (ωt− φ) C₁= A cos φ; C₂ = −A sin φ Se sustituye en la EDO:

−C1ω²− 2 ζ ωnC₂ω + ω_n²C₁

sin ωt+

+ −C2ω²+ 2 ζ ωnC₁ω + ω_n²C₂

cos ωt = F/m sin ωt Igualando t´erminos:

Respuesta estacionaria: oscilador forzado

0

z }| {

−C¹ω²− 2 ζ ωⁿC2ω + ωn2C1− F/m

sin ωt+ +

−C2ω²+ 2 ζ ωnC₁ω + ω_n²C₂

| {z }

0

cos ωt = 0

−C2ω²+ 2 ζ ω_nC₁ω + ω²_nC₂ = 0 → C₂ = 2 ζ ω ωn

ω²− ω²n

C₁

| {z }

↓

−C¹ω²− 2 ζ ωⁿC2ω + ωn2C1 = F

m →











C₁ = F ω²_n− ω² /m h4ζ²ω²ω_n²+ (ω_n²− ω²)²i C₂ = −F 2ζωωn/m

h4ζ²ω²ω_n²+ (ω_n²− ω²)²i

(17)

Es más útil expresar la solución mediante la fase φy la amplitud A:

x_p =A sin (ωt−φ)

A= q

C₁²+ C₂²= F/m ω²_n

r 4ζ^{2 ω}_ω2²

n +

1 −^ω_ω²_n²2 = F/k r

4ζ^{2 ω}_ω²2 n +

1 −_ω^ω_n²²2

tan φ= −C₂

C₁ = 2ζ_ω^ω

n

1 −_ω^ω²_n²

Desplazamiento est´atico F/k

Factor de amplificaci´on

(magnification factor) µ = s ¹

4ζ²^ω²

ω2 n+

1−^ω_ω²²

n

2

Respuesta estacionaria: oscilador forzado Con lo que la soluci´on completa es:

x(t) =

Homog´enea: Transitoria

z }| {





A e^r¹^t+ B e^r²^t (r_i < 0) (A + Bt) e^−ωⁿ^t A e^−ζωⁿ^tcos

ω_np

1 − ζ²t+ ψ



+

+ F/k

r 4ζ^{2 ω}_ω²2

n +

1 −^ω_ω²²_n2

sin



ωt− tan⁻¹ 2ζ_ω^ω

n

1 −_ω^ω²_n²





| {z }

Particular: Estacionaria

(18)

Factor de amplificaci´on de la estacionaria

a)

b)

c) d)

0 1 2 3

0 1 2 3 4

ω/ωn µ

ζ = 0 0,15

0,2

0,3

0,4

0,5

0,75

1 1,5 3 12 6

∞ 25

ζ = ∞

Fase de la estacionaria

a)

b)

c) d)

ω/ω_n φ

ζ = 0 0,1

0,2 0,3

0,5 0,75

1 1,5

3 6

ζ = ∞

0 1 2 3

π 2 π

(19)

Fase en el movimiento arm´onico

Posici´on x = A sin(ω t) ϕ

Velocidad ˙x = Aω cos(ω t) = Aω sin(ω t + π/2) ϕ + ^π₂ Aceleraci´on x = −Aω¨ ² sin(ω t) = Aω² sin(ω t + π) ϕ + π

v

a r

a) Muelle dominante: ω ≪ ωⁿ ω_n=p

k/m >> 1, o k >> m.

0 + 0 + k x ≃ F sin(ω t) φ → 0 x ∝ F (t)

Respuesta del muelle muy r´apida frente a la excitaci´on

≃ sucesi´on de estados de equilibrio

Desplazamiento en fase con la excitaci´on: fase nula.

Aceler´ometros: x ∝ F

a)

0 1 2 3

0 1 2 3 4

ω/ωn µ

ζ = 0

a) φ

ζ = 0

ζ = ∞

π 2 π

(20)

b) Inercia dominante: ω ≫ ωn

ωn=p

k/m << 1, o m >> k m ¨x + 0 + 0 ≃ F sin(ω t)

φ → π x ∝ F (t)¨

Respuesta del muelle muy lenta frente a la excitaci´on

Aceleraci´on ≃ forzamiento: fase π.

Sism´ografos: ¨x ∝ F

b)

0 1 2 3

0 1 2 3 4

ω/ωn µ

ζ = 0

b)

ω/ωn

φ

ζ = 0

ζ = ∞

0 1 2 3

π 2 π

c) Disipaci´on dominante: ζ ≫ 1 El t´ermino dominante es el de la velocidad

0 + c ˙x + 0 ≃ F sin(ω t) φ → π/2 ˙x ∝ F (t)

S´olo hay movimiento cuando hay excitaci´on Velocidad ≃ forzamiento: fase π/2.

0 c) 1 2 3

0 1 2 3 4

ω/ωn µ

ζ = 0

c)

ω/ωn

φ

ζ = 0

ζ = ∞

0 1 2 3

π 2 π

(21)

d) Resonancia: ω ≃ ωⁿ

ζ = 0 ; ω = ωn; A → ∞ ζ > 0 ; ω ≃ ωⁿ; A ↑↑

Excitaci´on en fase con la velocidad Trabajo externo positivo

φ → 0 µ ↑

d)

0 1 2 3

0 1 2 3 4

ω/ωn µ

ζ = 0

d)

ω/ωn φ

ζ = 0

ζ = ∞

0 1 2 3

π 2 π

Resonancia

Para ζ = 0, en la resonancia, la amplitud se hace ∞: absurdo.

Con ζ = 0 y ω = ωn, la soluci´on no es v´alida

ω 6= ωn x = A cos (ω_nt + ψ) + F/k

1 − ω²/ω²_n sin ω t ω = ω_n x = A cos (ω_nt + ψ) − F t

2ωnm cos ω_n t

F en fase con el movimiento: W > 0, E ↑ Si no hay ζ que disipe esa energ´ıa, x → ∞