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ESPECIALIZACIÓN EN ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA EN LA ESCUELA PRIMARIA
Perspectivas para la enseñanza de la Matemática
Clase 4
Aportes de la Didáctica de la Matemática
para pensar la enseñanza. La clase, los problemas y su gestión
Estimadas y estimados colegas, iniciamos esta clase planteándonos algunas preguntas:
¿Cómo elegir un problema que permita arribar a los conocimientos que queremos enseñar? ¿Qué procedimientos usarían nuestros alumnos para hacerlo? ¿Cómo seguir con la clase?
Sabemos que la enseñanza implica anticipación. Cuando elegimos un problema para nuestra clase de Matemática pensamos en los conocimientos que queremos enseñar, la escena de nuestros alumnos resolviendo sus dificultades, sus posibles producciones, nuestras intervenciones, las conclusiones matemáticas que podríamos obtener; sólo entonces decidimos si lo incluimos o no en nuestra planificación. En esta clase presentaremos nuevas nociones didácticas que contribuirán a elaborar una anticipación de la clase más ajustada.
Continuando con los aportes de las investigaciones didácticas, nos ocuparemos en esta oportunidad de esbozar condiciones para la elección de los problemas y para su funcionamiento en la clase, tomando en particular algunos conceptos de la teoría de situaciones didácticas de Guy Brousseau y otros de trabajos de Regine Douady y Nicolas Balacheff.
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Los problemas en la clase, las situaciones
Brousseau elabora una modelización del funcionamiento del conocimiento matemático en la clase, incluyendo una descripción del conjunto de prácticas de un alumno tal como las imagina:
“Una buena reproducción por parte del alumno de la actividad matemática exige que éste intervenga en esa actividad, lo cual significa que formule enunciados y pruebe proposiciones, que construya modelos, lenguajes, conceptos y teorías, que los ponga a prueba e intercambie con otros, que reconozca los que están conformes con la cultura matemática y que tome los que son útiles para continuar su actividad”.
También describe la enseñanza vinculada con las situaciones-problema que se deben proponer:
“… el profesor debe hacer posible que los alumnos desarrollen la actividad señalada, imaginando y proponiendo a sus alumnos situaciones matemáticas que ellos puedan vivir y les impliquen resolver problemas en los cuales los conocimientos que quiere enseñar sean la mejor solución para dichos La teoría de situaciones didácticas aparece en 1986 en un texto que trata de presentar los fundamentos y métodos de la didáctica de la Matemática y se convierte en un aporte central en el campo del conocimiento en construcción.
“La teoría aparece como un medio privilegiado para comprender lo que hacen los profesores y los alumnos y también para producir problemas adaptados a los saberes y a los alumnos”. (Brousseau, 1999)
Esta teoría está sustentada en la misma concepción constructivista del aprendizaje que vimos en otros investigadores en la clase anterior y plantea lo siguiente:
“El alumno aprende adaptándose al medio que es una fuente de contradicciones, desequilibrios, dificultades, un poco como lo hace la sociedad humana.”(Brousseau, 1986)
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problemas, con la condición adicional de que dichos conoci mientos sean construibles por el alumno.”
Al estudiar la clase, Brousseau analiza ciertas regularidades implícitas en la relación de los alumnos y el profesor con los conocimientos. Estas reglas determinan un cierto contrato que regula las interacciones y las denomina contrato didáctico.
Las reglas y cláusulas que en el aula se ponen en funcionamiento al interactuar frente a un conocimiento específico definen, a la vez, lo que cada uno puede hacer y el significado de sus actuaciones en relación con ese conocimiento. Dice al respecto P. Sadovsky:
“El contrato didáctico que subyace al funcionamiento de los objetos matemáticos está regido por reglas de naturaleza muy diferente que se refieren tanto a los conceptos (las funciones siempre se definen a través de fórmulas, las relaciones crecientes siempre son de proporcionalidad directa, una ecuación tiene solución única, etc.) como a las normas que comandan los modos de abordar los problemas (no se puede atribuir valores a las variables de manera arbitraria, los problemas siempre tienen solución, etc.)“.
(Sadovsky, 2005: 40)
Un ejemplo de regla que ha funcionado durante mucho tiempo en la escuela primaria es la que dice qué hay que hacer para resolver un problema: “si te dan un enunciado con números, tenés que hacer una cuenta con ellos, el resultado es la respuesta a la pregunta y la solución es única”. En este caso, vemos que la idea de problema está referida a los clásicos enunciados con información numérica. Hoy tenemos la expectativa de ir trabajando en la escuela con los problemas numéricos, enriqueciendo la posibilidad de hacer un tratamiento de la información de modo que esta regla se modifique, presentando enunciados con datos de más o de menos, con preguntas que no requieran cálculos para ser respondidas y con otras que no se puedan responder con la información proporcionada.
Estas reglas aparecen en el marco de la clase cuando el profesor o los alumnos actúan
“rompiendo” estos implícitos y, en ese caso, tiene sentido hablar explícitamente de ellas para aceptarlas, rechazarlas o establecer sus límites. Por ejemplo, explicitando, cuando eso ocurra, que “el problema tiene más de una respuesta” o “en el problema del pago del taxi, a más kilómetros recorridos se paga más pero no es de proporcionalidad directa”.
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Al establecer unas condiciones para que el aprendizaje funcione como una construcción de conocimientos, Brousseau define una situación didáctica como una situación construida con el fin de que unos alumnos aprendan un saber determinado. Está constituida por todos los elementos que componen el medio con el que los alumnos van a interactuar, incluyendo el problema a resolver, los elementos materiales (si fuera el caso) y, según cómo se decida, un grupo de compañeros. Brousseau define de esta manera a una situación didáctica:
“Un conjunto de relaciones establecidas explícita o implícitamente entre un alumno y un grupo de alumnos, un cierto medio (que comprende eventualmente instrumentos u otros objetos) y un sistema educativo (representado por el profesor) con la finalidad de lograr que estos alumnos se apropien de un saber constituido o en vías de constitución.” (Brousseau, citado en Galvez, citado en Panizza1, 1994)
En este sentido, Brousseau denomina situación adidáctica al momento en el que el alumno se encuentra solo frente a la resolución del problema sin que el maestro intervenga en cuestiones relativas al saber que se quiere que él produzca para arribar a una respuesta ante la situación planteada. Precisamente, si el alumno ha de construir conocimientos, es fundamental concebir una fase en la que sea necesaria la aparición del saber y que esa necesidad esté determinada por las condiciones que ofrece la misma situación sin que el docente intervenga.
Dice, tomando palabras de Berthelot y Salin:
“El término de situación adidáctica designa toda situación que, por una parte no puede ser dominada de manera conveniente sin la puesta en práctica de los conocimientos o del saber que se pretende y que, por la otra, sanciona las decisiones que toma el alumno (buenas o malas) sin la intervención del maestro en lo que concierne al saber que se pone en juego”. (Panizza, 1992)
En el artículo citado de Panizza (págs. 63/66) se analizan tres aspectos de la noción de situación adidáctica que permiten profundizar su comprensión: el conocimiento a construir
1 Ver el apartado 3.1. de la lectura recomendada: “Conceptos básicos de la teoría de situaciones didácticas” Mabel Panizza, 2003.
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en la situación debe ser necesario para su resolución; el maestro no debe intervenir en relación con ese conocimiento; y el medio con el que el alumno interactúa debe marcarle de algún modo si las decisiones que tomó al resolver son o no adecuadas.
Para poder avanzar con otras nociones, también potentes para analizar propuestas de enseñanza, retomemos el caso dela Srta Cristina:
Cristina quiere presentar un problema que permita a los alumnos elaborar estrategias para sumar fracciones. Encuentra en el Cuaderno para el aula de 5to. (pág. 104) un juego para trabajar con sumas de fracciones: “Escoba del 1”: sumas que dan 1. El material para el juego son naipes con fracciones representadas en rectángulos: 1/2, 1/3, 1/4, 1/6, 1/8, y 1/9.
Para seguir pensando
¿En qué sentido un juego se considera un problema para los alumnos? ¿Anticipan que se puede dar un momento adidáctico durante su desarrollo?
En los Cuadernos para el aula (p. 19) se explica la relación entre juego y problema:
“Jugar permite ´entrar en el juego´ de la disciplina matemática, pues se eligen arbitrariamente unos puntos de partida y unas reglas que todos los participantes acuerdan y se comprometen a respetar. Luego, se usan estrategias que anticipan el resultado de las acciones, se toman decisiones durante el juego y se realizan acuerdos frente a las discusiones.”
La pregunta de Cristina sobre los conocimientos que necesitan sus alumnos para poder jugar remite a la necesidad de pensar en las diferentes alternativas de jugadas y analizar qué necesitan saber los chicos para cada una. Por ejemplo, si saben fracciones equivalentes, esto es, 2/6 = 1/3, van a relacionar rápidamente que con dos cartas de 1/6 forman 1/3. En otro caso podrán descubrir esa equivalencia comprobándola gráficamente en el contexto del juego. Si bien se espera que los alumnos y alumnas conozcan la relación entre el entero y cada fracción unitaria -por ejemplo, que una parte es ¼ si con 4 de esas
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partes se forma el entero-, si esto no ocurriese, una primera exploración con las cartas les permitiría arribar a esta idea.
Por otro lado, las sumas que se pueden obtener dependen de los valores de las cartas y por eso es posible modificarlas según el repertorio de sumas que se quiera abordar.
En el caso del juego que encontró Cristina, los números de las cartas pueden tener los valores planteados u otros según las sumas sobre las que el maestro quiere que se trabaje.
Por ejemplo, se podría jugar con cartas que tengan también doceavos, quintos y décimos o incluyendo algunas que no tengan numerador 1. También se podría jugar a que la “escoba”
fuera del 2 si, por ejemplo, se quisiese luego analizar los sumandos en relación con la unidad y hacer cálculos aproximados.
Por otra parte, también podrían variar las representaciones de las fracciones que se usan en las cartas, con o sin divisiones, o con otra forma para el entero. En estos casos varía la posibilidad de comprobar efectivamente si la reunión de las partes corresponde o no al entero.
Este análisis nos permite incorporar otra noción fundamental de la teoría, la de variable didáctica. En el artículo oportunamente citado de Panizza, su autora arriba a su siguiente definición:
“Algunas de esas condiciones (de la situación) que pueden variar a voluntad del docente y que constituyen una variable didáctica cuando, según los
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valores que toman, modifican las estrategias de resolución y en consecuencia, el conocimiento necesario para resolver la situación.”
En su teoría, Brousseau distingue tres tipos de situaciones, cuya descripción tomamos del texto de Panizza:
“Situaciones de acción: el alumno debe actuar sobre un medio (material o simbólico), la situación requiere solamente la puesta en acto de conocimientos implícitos.
Situaciones de formulación: un alumno (o un grupo de alumnos) emisor debe formular explícitamente un mensaje destinado a otro alumno (o un grupo de alumnos) receptor, que debe actuar (sobre un medio material o simbólico), de acuerdo con el conocimiento contenido en el mensaje.
Situaciones de validación: dos alumnos (o grupos de alumnos) deben enunciar aserciones y ponerse de acuerdo sobre la verdad o falsedad de ellas. Las afirmaciones propuestas por cada grupo son sometidas a la consideración de otro grupo, que debe tener la capacidad de ´sancionarlas´, es decir, ser capaz de aceptarlas, rechazarlas, pedir pruebas, oponer otras aserciones." (Panizza, págs. 66/7, 2003)
En relación con estas formas de interacción decimos en los Cuadernos para el aula:
“Los niños podrán realizar diferentes tareas. En algunas ocasiones, trabajarán usando los conocimientos matemáticos de manera implícita, sin nombrarlos ni escribirlos, por ejemplo, al medir, construir, decidir cómo jugar o contar. En otras, utilizarán los conocimientos matemáticos de manera explícita: tendrán que describir cómo midieron o contaron, qué instrumentos usaron para construir y qué hicieron en cada paso, o producirán un instructivo para que otro construya una figura o realice un cálculo, explicarán por qué decidieron utilizar un procedimiento u otro, cómo pueden comprobar que un resultado es adecuado. También darán razones para convencer a otro compañero de que los números encontrados o las figuras dibujadas cumplen con las condiciones del problema; tendrán que argumentar sobre si un procedimiento es o no correcto, o en qué casos una afirmación es verdadera.
“Al anticipar el desarrollo de la clase y prever las condiciones necesarias para que ocurran las interacciones que nos interesan, diseñamos una situación problemática a propósito del conocimiento que queremos enseñar. Esta
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situación incluye un conjunto de elementos y relaciones que estarán presentes en la clase: el problema, los materiales, una cierta organización del grupo, un desarrollo con momentos para diferentes intercambios. Al planificar, también anticipamos los diferentes procedimientos y las representaciones que podrán usar los alumnos, nuestras preguntas y las conclusiones posibles.” (Cuadernos para el aula, Matemática 3, pág.16)
El avance de la clase y su gestión
Consideremos ahora que hemos elegido un problema para presentar a nuestros alumnos de primaria o que estamos anticipando con los futuros maestros el desarrollo de la clase.
Recurramos para ello al trabajo de Regine Douady, quien plantea que para proponer una enseñanza diferente y que los alumnos construyan el sentido de los conocimientos matemáticos que utilizan, es necesario organizar la enseñanza de otro modo:
“La actividad principal en matemáticas, en el marco escolar, o en los centros de investigación profesional, consiste en resolver problemas, en plantear cuestiones. (…) El investigador (matemático) puede declarar resuelto un problema si puede justificar sus declaraciones según un sistema de validación propio de las matemáticas. En este camino, crea conceptos que juegan el papel de instrumentos para resolver problemas. Cuando pasa a la comunidad científica, el concepto es descontextualizado para que pueda servir nuevamente. Se convierte, así, en objeto de saber, (…) un objeto cultural que tiene su lugar en una construcción más amplia que es la del conocimiento inteligente en un momento dado, reconocido socialmente”.
Douady señala que en la escuela los alumnos pueden recorrer el mismo camino cuando están frente a un problema que les permite aprender algo nuevo. La actividad comienza cuando el docente propone el problema a los alumnos y consigue que ellos asuman la responsabilidad de resolverlo, esto es, cuando hace la devolución del problema a los alumnos y ellos comienzan a resolverlo superando una serie de dificultades y readecuando estrategias y medios:
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“…utilizando en sus procedimientos objetos matemáticos conocidos como instrumentos explícitos y luego encuentran dificultades, sea porque su estrategia es muy costosa (en cantidad de operaciones, en incertidumbre sobre el resultado) o porque no funciona más y entonces se orientan a buscar otros medios mejor adaptados a su situación.”
El alumno puede, entonces, poner en marcha implícitamente nuevos conocimientos.
Luego, cuando el maestro analiza las producciones de sus alumnos, identifica en ese conocimiento implícito “lo que es nuevo”, y organiza un espacio de debate sobre lo producido con el propósito de contribuir a darle forma convencional, lo que será registrado a modo de conclusión matemática de la clase. Realiza la institucionalización de ese conocimiento en forma explícita, como objeto, y entonces puede pasar a funcionar como instrumento, “para un nuevo ciclo de la dialéctica instrumento-objeto”.
Para profundizar en estas nociones de la teoría de situaciones didácticas les recomendamos leer M. Panizza, “Conceptos básicos de la teoría de situaciones”, en Enseñar matemática en el nivel inicial y primer ciclo de la EGB, Paidós, págs. 59-71, febrero 2003.
La puesta en común
La organización del espacio de debate sobre lo producido al resolver un problema implica una puesta en común de los trabajos realizados. En este debate es fundamental que el maestro organice el intercambio entre los alumnos. Este es un momento necesario en el proceso de construcción de conocimientos, pues implica para los alumnos nuevas interacciones.
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Al respecto, en el artículo de Quaranta y Wolman, “Discusiones en la clase de matemática”, se analiza qué se discute en las puestas en común, para qué incluir espacios de discusión y cómo organizarlos.
La validación de lo realizado
Una instancia que es parte del trabajo del alumno y apunta al avance en su autonomía respecto del control de lo realizado, es la de validación de sus producciones. Si pensamos en una clase con un momento de funcionamiento adidáctico en el que el alumno que resuelve asume la responsabilidad matemática de lo que hace, podemos considerar que puede dar cuenta de su respuesta a lo preguntado, es decir puede dar razones de por qué considera que lo realizado vale.
Así como el matemático investigador puede declarar resuelto un problema si puede justificar sus declaraciones según “un sistema de validación propio de las matemáticas”, el alumno debería poder explicar su respuesta según el sistema de validación propio de la clase.
Al respecto, en 1987, Balacheff diferencia la noción de prueba de la de demostración para poner de relieve la importancia de la dimensión social en los procesos de validación planteando lo siguiente:
“Llamamos prueba a una explicación aceptada por una comunidad dada en un momento dado. Esta decisión puede ser el objeto de un debate cuya significación es la exigencia de determinar un sistema de validación común a los interlocutores.
“En el seno de la comunidad matemática pueden ser aceptadas como prueba sólo las explicaciones que adoptan una forma particular. Ellas son una serie de enunciados organizados siguiendo reglas determinadas, (…) un enunciado es conocido y tomado como verdadero o bien es deducido de aquellos qu e lo preceden con la ayuda de una regla de deducción tomada de un conjunto de reglas bien definido. Llamamos demostraciones a estas pruebas”. (Balacheff, N., págs. 3 y 4, 1987)
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Asimismo, Balacheff -para poder dar cuenta de las diversas explicaciones que formulan los alumnos al ser consultados sobre sus producciones- estudia las pruebas y propone hacer una distinción entre pruebas pragmáticas e intelectuales. Esta distinción está dada por tres elementos que tomamos para caracterizar las pruebas pragmáticas:
La posibilidad de recurrir a experimentar en la situación singular a la que se refiere: “el acceso posible o no a la experiencia constituye una característica de la situación que va a jugar un rol central en el funcionamiento de esta dialéctica de la validación”.
El lenguaje en el que se expresa: “la acción explicitada por este lenguaje lleva la marca del tiempo y de la duración, la marca de aquél que actúa y del contexto de su acción”.
"Si los saberes en los que se apoya el alumno son fundamentalmente saber- hacer (Vergnaud, 1984) o saberes conceptualizados, si las pruebas pragmáticas se apoyan sobre los saberes prácticos esencialmente comprometidos en la acción, las pruebas intelectuales requieren que estos conocimientos puedan ser tomados como objeto de reflexión o de debate."
(Balacheff, N., págs., 8 y 9, 1987)
El pasaje de uno a otro tipo de prueba está dado por la posibilidad de considerar la situación singular como situación genérica.
La distinción de Balacheff tiene sentido de ser tomada en cuenta en la escuela primaria pues durante su transcurso y con las particularidades de cada contenido de enseñanza, es importante conocer las pruebas de tipo pragmático que suelen utilizar los alumnos en los primeros grados para pensar cómo hacerlas evolucionar en los últimos grados hacia otras más generales, independizadas de la acción en un contexto, con un lenguaje más propio de la Matemática.
Hasta aquí, hemos presentado nociones de una teoría que modeliza unas condiciones y unos modos de funcionamiento del conocimiento que, en tanto modelos, no es esperable que ocurran efectivamente en las clases. Sin embargo, muchas de las situaciones estudiadas por los investigadores han sido inspiradoras de propuestas adaptadas para promover instancias de producción y validación de conocimientos en la clase, instancias que permitan a los alumnos apropiarse de conocimientos más disponibles y con control de lo que hacen.
Para cerrar esta clase les proponemos volver sobre las preguntas iniciales pensando en su relación con los desarrollos leídos y avanzar con respuestas generales que serán
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particularizadas en los próximos módulos para conocimientos matemáticos específicos. En este sentido, si bien el estudio de la teoría de situaciones requerirá, para su profundización, de nuevos abordajes, consideramos que es importante iniciar la comprensión de sus nociones básicas por el gran potencial que tienen para analizar las condiciones en la clase de Matemática y generar la posibilidad de que todos los alumnos puedan hacer Matemática, con la diversidad de conocimientos de partida que ello supone.
ACTIVIDADES
Las actividades propuestas para la Clase 4 son las siguientes:
1- Continuar interviniendo en el Foro obligatorio de su grupo “El trabajo con ‘los otros’ en el aula: una manera de generar progresos en el aprendizaje” analizando en un registro de clase las interacciones en una clase de Matemática, del niño con el problema, con el maestro y con sus pares.
2- Continuar participando en el Foro optativo “Discusiones en la clase de Matemática”
LECTURAS
Foro de Consultas
Este foro estará abierto durante toda la cursada, aquí podrán hacer todo tipo de preguntas sobre las clases, las actividades, los trabajos prácticos y final y en general, sobre cualquier temática en la que necesiten ayuda y que no estén encuadrados en los otros foros habilitados para cada clase.
Recuerden: el foro es un punto de encuentro que posibilita socializar las dudas y, de esta manera, aprender con otros y de otros.
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Obligatorias
Quaranta, M. y Wolman S. “Discusiones en las clases de matemática. Qué, para qué y cómo se discute”, en Enseñar matemática en el nivel inicial y primer ciclo de la EGB, Paidós, 2003.
Complementarias
Panizza, M. “Conceptos básicos de la teoría de situaciones”, en Enseñar matemática en el nivel inicial y primer ciclo de la EGB, Paidós, 2003.
La lectura de este artículo contribuye fuertemente a la comprensión de muchas de las nociones que hemos dado en esta clase, en particular el sentido de dos de los roles centrales del maestro: hacer la devolución del problema al grupo e institucionalizar el conocimiento producido durante la clase.
BIBLIOGRAFÍA
Agrasar, M. Crippa, A. Chara, S. y Chemello, G. (2010) “Ciclo de formación en enseñanza de la Matemática en el Nivel Primario”, Dirección de gestión educativa, Ministerio de Educación de la Nación.
Balacheff, N. (1987) “Procesos de prueba y situaciones de validación”, Educational Studies in Mathematics Nro. 18, págs. 147-176.
Brousseau, Guy (1986) “Fundamentos y métodos de la Didáctica de la matemática”, Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol. 7, n. 2, Universidad de Bordeaux, págs. 33-115.
Brousseau, Guy“Los diferentes roles del maestro” en Parra, C y Saiz, I (1994) Didáctica de la matemática. Aportes y reflexiones. Paidós.
Cuadernos para el Aula. Matemática 5, Ministerio de Educación Ciencia y
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Tecnología de la Nación, 2007.
Douady, Regine (S/F) Relación enseñanza-aprendizaje. Dialéctica instrumento- objeto, juego de marcos. Cuaderno de Didáctica de la Matemática Nº 3.
Sadovsky, Patricia, “La teoría de situaciones didácticas. Un marco para pensar y actuar la enseñanza de la Matemática”, en Reflexiones teóricas para la educación matemática, Alagia, Bressan, Sadovsky (autores) (2005) Ediciones del Zorzal.
Cómo citar este texto:
Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 04: Aportes de la Didáctica de la Matemática para pensar la enseñanza. La clase, los problemas y su gestión. Módulo:
Perspectivas para la enseñanza de la Matemática. Especialización Docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Escuela Primaria. Buenos Aires:
Ministerio de Educación y Deportes de la Nación.
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