INTEGRALES: Métodos de integración

UNIDAD

ACADÉMICA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BASICAS

ASIGNATURA: CÁLCULO DOCENTE: MARÍA VICTORIA ACEVEDO E.

UNIDAD TEMÁTICA Integrales

COMPETENCIAS ESPECÍFICAS CRITERIOS DE EVALUACIÓN

• Aplicar los conceptos básicos y las técnicas de integración en la solución de integrales y analiza las integrales en la modelación y resolución de problemas propios de las ciencias empresariales y económicas

• Desarrolla integrales de funciones de variable real aplicando los diferentes métodos de integración.

• Determina la antiderivada de funciones sencillas utilizando las reglas básicas de integración para dar solución a ejercicios y problemas reales en el campo de las ciencias económico-administrativas.

• Plantea y resuelve problemas del contexto de las ciencias empresariales y económicas mediante el uso de la integral definida.

• Determina el uso de la integral impropia en problemas económicos.

INFORMACIÓN

INTEGRALES: Métodos de integración

¿Como resolvería esta integral?

Existen algunas integrales que no las podemos hallar con las reglas que hemos visto hasta el momento. Por esto se han desarrollado otras reglas de integración. Hoy veremos las 2 más importantes: Integración por sustitución e Integración por partes.

1. Integración por sustitución

Este método se puede ver como la operación inversa de la regla de la cadena en derivación. ¿La recuerdan? Es en donde se tienen 2 funciones, una contenida en la otra y la derivada es: la derivada de la interna por la derivada de la externa. Así:

𝑑 𝑑𝑥

2

3 √(1 + 𝑥²)³= 𝑑 𝑑𝑥

2

3 (1 + 𝑥²)³²=2 3∗3

2∗ 2𝑥 (1 + 𝑥²)¹²= 2𝑥√1 + 𝑥²

Bueno, en este método también tenemos 2 funciones, una interna y una externa. Con la característica esencial de que una de las funciones es la derivada de la otra. Así:

UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER GUÍA DE ESTUDIO No. 12 parte 2

Bueno, y esto ¿qué quiere decir? Para explicarlo retomemos nuestro ejemplo original:

Las dos funciones serian:

• Función 1: 2x

• Función 2: √1 + 𝑥²

¿Podemos ver cual es g(x) y cual es g’(x)?

g(x) = 1 + 𝑥² g’(x) = 2x dx

Si llamamos a g(x)= u, podríamos ver que quedaría:

u = 1 + 𝑥²

y la derivada de u, cuanto sería?, du = 2x dx Por lo tanto, podríamos reescribir la función como:

∫ √𝑢 𝑑𝑢

Ahora, esta integral si la podemos resolver, ¿cuánto daría?

∫ √𝑢 𝑑𝑢 = ∫ 𝑢¹² 𝑑𝑢 =2

3𝑢³²=2

3√(1 + 𝑥²)³+ 𝑐 Ahora evalúe ud las siguientes integrales por sustitución:

1. ∫ √2𝑥 + 1 𝑑𝑥 2. ∫ ^𝑥

√1−4𝑥

𝑑𝑥

3. ∫ 𝑒 ^5𝑥 𝑑𝑥

4. ∫ ^𝑙𝑛𝑥 _𝑥 𝑑𝑥

5.

6. Integración por partes

Esta regla se asemeja a la regla del producto en la derivación. Aquí también tenemos 2 funciones, pero esta vez ambas son diferentes. Su fórmula es:

La integral de u por dv es igual a u por v menos la integral de v por du. Esta fórmula tiene una nemotecnia muy particular:

Veamos algunos ejemplos de cómo hacer integración por partes:

Encuentre la integral de:

∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥

Solución

Para esto necesitamos definir quien es u y quien será v. en este caso es muy sencillo:

u = lnx dv = dx

Ahora hallo la derivada y la integral de cada una 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠, 𝑑𝑢 =¹_𝑥𝑑𝑥

𝑑𝑣 = 𝑑𝑥, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑠𝑖 ∫ 𝑑𝑣 = 𝑣 , 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑣 = 𝑥 Aplico la ecuación:

∫ 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛𝑥 ∗ 𝑥 − ∫ 𝑥 ∗1

𝑥𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥𝑙𝑛𝑥 − 𝑥 + 𝑐

Ahora, realicemos los siguiente ejercicios:

INTEGRALES: Aplicaciones

Las integrales tienen diversas aplicaciones, veremos algunos ejemplos prácticos:

La función de demanda p(x) es el precio que una compañía tiene que cargar a fin de vender x unidades de un artículo. Por lo común, vender cantidades más grandes requiere bajar los precios, de modo que la función de demanda sea una función decreciente. La gráfica de una función de demanda representativa, llamada curva de demanda, se muestra en la siguiente Figura.

Si X es la cantidad del artículo que actualmente está disponible, entonces P = p(x) es el precio de venta actual.

El superávit de consumo representa la cantidad de dinero que ahorran los consumidores al comprar el artículo a precio P, correspondiente a una cantidad demandada de X. En la figura se muestra la interpretación del superávit de consumo como el área bajo la curva de demanda y arriba de la recta

Ejemplo 1

La demanda de un producto en dólares es:

Determine el superávit del consumo cuando la cantidad de ventas es 500 Solución:

X = 500 P= ¿

P= 1200 -0,2*500 – 0,0001*500^2 = 1075

∫ (1200 − 0,2𝑥 − 0,0001𝑥²− 1075)𝑑𝑥 = ∫ 125𝑑𝑥

500 0

− ∫ 0,2𝑥𝑑𝑥 −

500 0

∫ 0,0001

500 0

𝑥²𝑑𝑥

500 0

= 125(500 − 0) −0,2

2 ∗ (500² ) −0,0001

3 (500³) = 33333,33

Otros ejemplos:

Ejemplo 2

Para un grupo urbano particular, algunos sociólogos estudiaron el ingreso anual promedio actual y (en dólares) que una persona con x años de educación puede esperar recibir al buscar un empleo ordinario. Ellos estimaron que la razón a la que el ingreso cambia con respecto a la educación está dada por:

Donde y = 28.720 cuando x =9, determine la función y

𝑦 =∫ 100𝑥³²

16 4

𝑑𝑥 = 100 ∗2 ∗ 𝑥⁵²

5 = 40𝑥⁵²= 40 ∗ 16⁵²− 40 ∗ 4⁵²= 39.680 𝑦 = 40𝑥⁵²+ 𝑐

28.720 = 40 ∗ 9⁵²+ 𝑐 = 6075 + 𝑐 28.720 − 6075 = 𝑐 = 22645

𝑦 = 40𝑥⁵²+ 22645

Ejemplo 3

Si la función de ingreso marginal para el producto de un fabricante es

Encuentre la función demanda (p) (recuerde que p= r/q) Solución

Ejemplo 4

En la manufactura de un producto, los costos fijos por semana son de $4000.

Los costos fijos son costos como la renta y el seguro, que permanecen constantes a todos los niveles de producción en un periodo dado. Si la función de costo marginal dc/dq es:

Donde c es el costo total (en dólares) de producir q libras de producto por semana, encontrar el costo de producir 10,000 libras en una semana

Solución CF= 4.000

dc/dq= costo maginal CT= ¿? CV+CF

Resumen Integrales

BIBLIOGRAFÍA

• Matemáticas para Administración y Economía, 12^va ed. Ernest F. Haeussler Jr, Richard

S. Paul, Richard J. Wood. Pearson Prentice Hall, México. 2008.

• Cálculo de una variable, 6^ta ed. James Stewart. Cengage Learning, México.

2008.

• Cálculo. E. Purcell, D. Varbeg y S. Rigdon. 9na edición. Pearson education.

México, 2007.