bb k j aa bb i aa bb aa bbb aaa kji ba

TEMA I

VECTORES CANTIDADES FISICAS ESCALARES

Son cantidades físicas, las cuales quedan definidas completamente con la especificación de un número llamado magnitud, al cual se le asigna una correspondiente unidad de medida. Ejem:

tiempo, masa, longitud, temperatura, volumen, área, densidad, trabajo, energía, rapidez, etc..

CANTIDADES FISICAS VECTORIALES

Son cantidades físicas que requieren la especificación de una dirección (representar las componentes vectoriales perpendiculares en un sistema de coordenadas cartesianas con ejes mutuamente perpendiculares) para su completa definición. Significa que no es suficiente la magnitud de la cantidad física. Además para que una cantidad físicas sea vector debe cumplir con la ley del paralelogramo, la cual se refiere a la propiedad conmutativa de suma vectorial de la cual gozan los vectores. Ejemplo: fuerza, velocidad, aceleración, posición, desplazamiento, momentun lineal, peso, campo eléctrico, campo magnético, gradiente de temperatura, etc..

CONCEPTO DE VECTOR

Es un segmento de recta que tiene magnitud, esta orientado, dirigido y tiene un origen y un extremo.

ELEMENTOS DE LOS VECTORES a. MAGNITUD DEL VECTOR

Es la diferencia que existe desde el origen del vector al final de la flecha, expresada en unidades de medida de magnitud de la cantidad física en consideración. Su simbología es ^a se lee magnitud del vector a.

Es la longitud del segmento dirigido que contiene al vector. Dicha longitud esta a escala y se expresa en unidades especificas, dependiendo de la cantidad física que el vector representa.

b. DIRECCIÓN DEL VECTOR

Es la recta soporte del vector o recta directriz.

Viene dado por la dirección de la línea que lo contiene con respecto a los ejes del sistema de referencia

a

en dos dimensiones en sentido anti-horario c. SENTIDO DE UN VECTOR

El sentido de a viene indicado por la flechita y es el sentido hacia el cual crecería la magnitud

a

d. PUNTO DE APLICACIÒN U ORIGEN

Es el punto donde se considera aplicada la magnitud a quien el vector está representando X

Y

NOTACIÓN SIMBOLOGIA, REPRESENTACIÓN DE LOS VECTORES a = vector = se lee vectores

a = Magnitud del vector a

k a j a i a

a  _x _y _z En el espacio

j a i a

a  _x _y En el plano

Ua

= Vector unitario

Ux

= i Uy

= ^j Vectores unitarios básicos o trirectangulares Uz

= k

TIPOS DE VECTORES O CLASIFICACIÓN DE LOS VECTORES.

a. VECTORES PARALELOS: Son los que poseen la misma dirección (tienen sus líneas de acción paralelas). Los vectores paralelos de sentido opuesto se le dan el nombre característico de vectores antiparalelos.

a a

b

b

PARALELOS ANTI-PARALELOS

b. VECTORES OPUESTOS: Son dos vectores opuestos de igual magnitud, de igual dirección y sentido opuesto.

a

b

c. VECTORES COLINEALES: Son vectores que están sobre una misma línea de acción L

b a

d. VECTORES EQUIVALENTES

Dos vectores son equivalentes si tienen igual dirección sentido y modulo a

b

e. VECTORES IGUALES

Dos vectores son iguales si tienen la misma dirección, sentido, magnitud o modulo y punto de aplicación

a b

f. VECTOR NULO.

Es aquel vector donde todos sus componentes son cero (0) ó valen cero (0)

g. VECTORES UNITARIOS : Es todo vector cuya magnitud es uno, i

; ^j ; k

son un conjunto de vectores unitarios asociados con los ejes coordenados X, Y, Z respectivamente y orientados hacia los semiejes positivos

Z k

a

Ua

X i

Y ^j

h. VECTORES COPLANARIOS: Son vectores que se encuentran en un mismo plano

a b

c

P

i. VECTORES CONCURRENTES: Son aquellos cuyas líneas de acción se cortan (concurren) en un punto común

a

b

j. VECTORES FIJOS O LIGADOS

Son aquellos que tiene un punto de aplicación fijo en el espacio. Una fuerza que actúa sobre una partícula dada posee un punto de aplicación bien definido que es la propia partícula.

k. VECTORES DESLIZANTES

Son vectores cuyos puntos de aplicación se puede desplazar sobre la recta de acción donde están apoyados.

l. VECTORES LIBRES

Son el conjunto de vectores que tienen la misma dirección, magnitud y sentido, pero diferentes rectas de acción.

m. VECTORES POLARES

Son aquellos cuyas magnitudes que representan están ligadas a una traslación. El vector velocidad lineal es un vector polar

n. VECTORES AXIALES

Son aquellos cuyas magnitudes que representan están ligadas a una rotación. El vector velocidad angular es un vector axial porque puede rotar alrededor de un eje y que es perpendicular al plano de rotación.

o. VECTORES POSICIÓN

Es aquel vector que tiene su origen en el centro de los ejes de coordenadas x, y, z.

p. VECTORES RESULTANTES: Es un vector único que produce los mismos efectos que todos los otros dados

b

r

a

q. VECTORES EQUILIBRANTES: Es el vector capaz de compensar la acción de todos los vectores presentes, actuando simultáneamente. Tiene el mismo módulo y dirección que el vector resultante, pero sentido opuesto.

a

c b

OPERACIONES ENTRE VECTORES

1) SUMA VECTORIAL DE VECTORES:

Dado dos o más vectores (a, b

, c por ejemplo) en forma gráfica, la suma de ellos es otro vector que resulta de ellos:

Se copian los vectores uno a continuación del otro y el vector resultante es el que nace en el origen del primer vector copiado y termina en el final del ultimo vector.

la suma de vectores es conmutativa y asociativa

Representación grafica c

c

b b

a a

Representación analítica Propiedad Conmutativa

a + b = b

+ a (ax +bx)i

+ (ay + by) ^j + (az + bz)k

= (bx + ax )i

+ (by + ay ) ^j + (bz + az)k

Propiedad Asociativa.

A

C

B





 a + b

+ c = b

+ a + c

a + c + b c + a + b c + b

+ a b

+ c + a

Nota: No importa el orden como se lleve a cabo la operación de suma vectorial de más de dos vectores

2) DIFERENCIA DE VECTORES:

Dado los vectores a, b

en forma gráfica, la diferencia entre ellos dos es otro vector:

Se copia el opuesto del sustraendo (-b

) a continuación del minuendo a, el vector resultante es el que nace en el origen del minuendo y termina en el final del opuesto del sustraendo.

- b

a -b a b

la diferencia de vectores no es conmutativa c = a - b

≠ b - a

para determinar la magnitud se aplica la ley de los cosenos o del seno

Ley del Coseno: En todo triangulo el cuadrado de un lado cualquiera es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de ellos por el coseno del ángulo que forman.

 Cos BC C

B

A²  ² ² 2 .

 Cos AC C

A

B²  ²  ²2 . Cos AB B

A

C²  ² ² 2 .

Ley de los Senos. En un triangulo cualquiera, la razón de un lado al seno del ángulo opuestos es constante.





 Sen

C Sen

B Sen

A  

3) SUMA VECTORIAL DE UN VECTOR POR SU OPUESTO

a a

-a -a

a + (-a) = 0

4) MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

La multiplicación de un vector por un escalar es igual a un vector.

a = q.b a y b

son siempre colineales Si q es positivo (+) a b

igual sentido Si q es negativo (-) a b

sentidos contrarios Si |q| es > 1 entonces |a|  |b

| Si |q| es  1 entonces |a|  |b

|

5) MULTIPLICACIÓN VECTORIAL DE VECTORES

El producto escalar de dos vectores es un escalar. Se simboliza a o b a o b

= ^{a bCOS}

Donde θ es el menor ángulo que se forma en el vértice de unión de los puntos iniciales de los vectores

a

0º ≤ θ ≤ 180º Θ

b

El producto escalar entre vectores es conmutativo a o b

= b _o a También es distributivo con respecto a la suma de vectores a o (b

+ c) = a o b

+ b _o c

Desarrollo del producto vectorial de dos vectores

k a j a i a

a  _x _y _z k b j b i b

b _x _y _z





 a

b

=^(ax^{i a}y^{j a}z^k)

 

  .^(bx^{i b}y^{j b}z^k)

 

 

) .

. .

. .

. .

. .

(a b i i a b i j a b i k a b j i a b j j a b j k a b k i a b k j a b k k b

a _{x x} _{x y} _{x z} _{y x} _{y y} _{y z} _{z x} _{z y} _{z z} )

. 0 0 0 . 0 0 0 .

(a_x b_x a_y b_y a_z b_z b

a         ) . .

.

(a_x b_x a_y b_y a_zb_z b

a  

Nota: El producto escalar, permite la determinación del ángulo entre dos vectores cualesquiera.

Esta es su principal uso.

Si el producto escalar entre dos vectores es cero (0) y ninguno de los vectores es nulo, se concluye que ambos vectores son perpendiculares.

6) MULTIPLICACIÓN VECTORIAL DE VECTORES.

El producto vectorial de dos vectores es un vector.

a x b

= ^f

a x b

≠ b

x a (a x b

= -b

x a) Es antisimitrico Es distributivo a x (b

+ c) = a x b

+ a x c

Para multiplicar el producto vectorial por un escalar se debe realizar el producto escalar y luego se multiplica por el escalar.

Interpretación geométrica del producto vectorial Si a = 0 y b

≠ 0 a x b

= 0

Si a ≠ 0

y b

= 0

a x b = 0

Si a ≠ 0

y b

≠ 0

a x b

= 0

a y b

son colineales o están sobre la recta paralela.

Si ninguno de estos casos se presenta entonces a x b

= ^f (otro vector) obviamente a

≠ 0 ; b

≠ 0 donde ^f ≠ 0

Características de ^f

f

es un vector cuya dirección es perpendicular al plano descrito por los vectores a y b

b

a

^f(a x b )

f

plano descrito por a y b f

a f

b

La magnitud de ^f, corresponde al área del paralelogramo que forma las magnitudes de ^a y ^b como los lados adyacentes

^b γ

^a

0º ≤ γ ≤ 180º

Desarrollo del producto vectorial

k a j a i a

a  _x _y _z k b j b i b

b _x _y _z





 axb

=^(ax^{i a}y^{j a}z^k)

 

  x ^(bx^{i b}y ^{j b}z^k)

 

 

) .

. .

. .

. .

. .

(a b i i a b i j a b i k a b j i a b j j a b j k a b k i a b k j a b k k b

a _{x x} _{x y} _{x z}  _{y x} _{y y}  _{y z} _{z x} _{z y} _{z z}  )

0 . .

. 0 .

. .

0

(        



b a b k a b j a b k a b i a b j a b i a  _{x y} _{x z} _{y x} _{y z} _{z x} _{z y}





Y⁺ j

X⁺ i Y⁺ k

k b a b a j b a b a i b a b a b

a( _y. _z  _z. _y)( _x. _z _z. _x)( _x. _y  _y. _x)

Por medio de matrices axb

=^(ax^{i a}y^{j a}z^k)

 

  x ^(bx^{i b}y ^{j b}z^k)

 

 

bb k j aa bb i aa bb aa bbb aaa kji ba

yx yx zx zx zy zy

zyx zyx





 

k b a b a j b a b a i b a b a b

a( _y. _z  _z. _y)( _x. _z _z. _x)( _x. _y  _y. _x)

MEDICIÓN DE ANGULOS EN 3-D

 Por la proyección del vector

Se requiere la medida de 2 ángulos donde

 es el menor ángulo que forma el vector con el eje Z⁺ (0º≤γ≤180º)

θ es el ángulo que forma la proyección del vector en el plano XY con el eje X⁺ se lee en sentido antihorario (0º≤θ≤360º)

 por los cosenos directores

Con este método se miden los tres ángulo que forma el vector con los semiejes positivos X⁺, Y⁺, Z⁺.

 es el menor ángulo que forma el vector con el eje X⁺ (0º≤α≤180º)

 es el menor ángulo que forma el vector con el eje Y⁺ (0º≤β≤180º)

 es el menor ángulo que forma el vector con el eje Z⁺ (0º≤γ≤180º)





Y⁺ j

X⁺ i Y⁺ k



para su comprobación se tiene que Cos² α + Cos² β + Cos² γ =1

1) Representar las formulas dadas a continuación en función de sus magnitudes fundamentales.

Indicar en cada de las unidades correspondientes en los Sistemas Internacional (S.I) e Ingles.

 Trabajo = Fuerza * Desplazamiento

 Densidad = Masa / Volumen

 Volumen = Área * Altura

 Presión = Fuerza / Área

 Potencia = Trabajo / Tiempo

2) Buscar un factor para convertir

 Poundal @ Newton

 Poundal @ Kgf

 LibraFuerza @ Newton

3) Realizar las siguientes conversiones

 F = 25Kgf @ Newton, Lbf y Poundal

 m = 250 Slug @ Kg y Lb

4) una caja de 50 pie de largo, 26 pie de ancho y 8 pie de altura ¿Cuál es el volumen de la caja (m³) y (cm³)?

5) La masa de un cubo sólido es de 856 gramos y cada arista tiene una longitud de 5,35 cm.

Determine la densidad (r) del cubo en unidades del sistema internacional.

6) Sí V1 = 135 millas/hora y V2 = 100 Km/hora ¿Cuál de las dos rapideces será mayor?

7) la altura de un jugador de baloncesto es de 6 pie 11 pulgadas, expresarla en metros con centímetros

8) Si la rapidez de la luz en el vacío es aproximadamente 3,00 * 10⁸ m/s. ¿Cuántas millas viajará la luz en una hora?

9) El protón, que es el núcleo del átomo de hidrogeno, se puede imaginar como una esfera cuyo diámetro es 3*10^-3cm y con una masa de 1,67*10^-24gr. Determine la densidad del protón en unidades del Sistema Internacional u del sistema Ingles.

10) Un objeto forma un paralelepípedo rectangular mide 2pulgadas, 3,5pulgadas y 6,5pulgadas de cada lado. Determine el volumen del objeto en metros cúbicos.

11) Un pintor está cubriendo las paredes de un cuarto de 8 pie de altura y 12 pie de cada lado.

¿Cuál es la superficie en metros cuadrados que debe cubrir?

12) Una esquiadora de 5pie 5pulgadas de altura, usa esquís que son 5cm mas largos que su altura

¿De que longitud deben ser los esquís en cm?

13) Verificar si las siguientes ecuaciones son dimensionalmente homogéneas

 ^{* 2}

2

*t1a t Vo

X 

 ^{2 * 2}

2

*t 1a t Vo

X 

14) Dada la ecuación V = Vo2 + 2aX para la rapidez de una partícula, que parte del origen cuanto t

= 0, con Vo y que se mueve con aceleración constante a ¿Es la ecuación dimensionalmente homogénea?

15) El periodo de un péndulo simple se mide en unidades de tiempo y está dado por

g T 2 L

donde L es la longitud del péndulo y g la aceleración de la gravedad, dada en unidades de longitud por unidad de tiempo al cuadrado. Pruebe que esta ecuación es dimensionalmente consistente.

16) Hallar las dimensiones de Φ para que la ecuación sea dimensionalmente consistente. Indicar las unidades en el Sistema Internacional (S.I) y en el sistema Ingles.

Velocidad * Aceleración * Fuerza = Φ Trabajo * Presión

17) La presión absoluta en un recipiente viene dada por la expresión:

P = Pa + r * g * h Donde:

P = Presión

Pa = Presión atmosférica r = Densidad

g = Aceleración de la gravedad h = Profundidad

Realice un análisis dimensional para comprobar que la ecuación es dimensionalmente homogénea.

Nota: En los ejercicios presentados a continuación es necesario representar gráficamente los vectores

18) determine las componentes X Y de cada una de las fuerzas mostradas F¹ = 50New, F² = 100New, F³ = 20New

Respuesta: F1x=43,3Newi, F1y=-25Newj, F2x=34,2Newi, F2y= -93.97Newj, F3x=-15,32Newi, F3y = -12,86Newj

19) descomponer los vectores B, C y D en sus componentes rectangulares B = C = 5New, D = 10new

D ┴ B; D ┴ C

Respuesta: Bx = -2,5Newi, By = 4,33newj, Cx = 2,5newi, Cy = -4,33Newj, Dx = -8,66newi. Dy = -5Newj

20) Un marinero ebrio trastabilla 3 pasos hacia el norte, 4 pasos norte 45º este 3 pasos hacia el este y 5 pasos hacia el oeste. Describa la ubicación final con respecto a la inicial mediante un solo vector desplazamiento. Respuesta: R = 5,89 pasos; Ѳ = N81,91ºE

21) Determine la magnitud de la fuerza resultante que actúa sobre el pasador y especifique su dirección con respecto al eje X+. Considere F = 5New y P = 7New.

Respuesta: R = 7,48New; Ѳ = -19,7º

22) se arrastra un automóvil por medio de dos cables como se aprecia en la figura. Si la resultante de las dos fuerzas ejercidas por los cables es una fuerza de 300Lbf, paralela al eje del automóvil.

Calcular la tensión en cada cable. Respuesta: T1 = 133,9Lbf; T2 = 195,81 Lbf

23) Determinar la magnitud y dirección de la resultante de las dos fuerzas dadas, a partir de la ley del coseno y la ley del seno. Resolver también a través del método de las componentes rectangulares.

F1 = 1500New, F2 = 2000New Respuesta; R = 3293New, Ѳ = 132,98

24) Dos fuerzas A y B que actúan en el plano XY actúan sobre un objeto pequeño colocado en el origen. La magnitud de la fuerza A es 50New y actúan en dirección correspondiente a un ángulo de 30º con el eje X+. La magnitud de la fuerza b es de 80New y actúa en la dirección que forma un ángulo de 135º con el eje X+. ¿Qué magnitud y dirección debe tener la fuerza C que aplicada al cuerpo hará que se anule la fuerza resultante de las tres fuerzas?

Respuesta: C = 82,54New, Ѳ = -80,76

25) Un hombre empuja un trapeador a través de un piso haciendo que lleve a cabo dos desplazamientos, el primero A tiene una magnitud de 150cm y forma un ángulo de 120º con la dirección positiva del eje X+. El desplazamiento resultante R tiene una magnitud de 140cm y cuya dirección forma un ángulo de 35º con el eje X+. Encuentre la magnitud y dirección del segundo desplazamiento.

Respuesta: B = 196,06cm, Ѳ = -14,65º

26) Dado el vector V = -3i +5j -2k. Hallar el vector unitario en la dirección de V Respuesta: Uv = -0,49i + 0,81j -0,32k

27) Hallar el vector unitario que tenga la misma dirección que la resta de los vectores (A – B) A = 4i – 3j +5k, B = i -9j +7k

Respuesta: U(A – B) = 0,43i 00,86j -0,29k

28) Para el esquema mostrado determine la magnitud de F de tal manera que la fuerza resultante actúe a lo largo del eje AB. ¿Cuál será la magnitud de la fuerza resultante?

Respuesta: F = 715,9New, R = 716,34New.

29) Dos vectores están dados por A = 3i -2j; B = -i -4j. Calcule A+B; A-B; modulo de A+B y módulo de A-B, la dirección de A+B y de A-B

Respuesta: A+B = 2i -6j, Ѳ = -71,57º, A-B = 4i +2j, Ѳ = 26,56º, A+B=6,32 y A-B=4,47

30) Dado los vectores A = i -2j +3k, y B = 3i –j –k. Determine: a) El producto escalar A.B b) Un vector C perpendicular al plano formado por los vectores A y B, c) El ángulo que forman los vectores A y B.

Respuesta: a) A.B = 2, b) C = 5i +10j +5k c) Ѳ = 80,7º

31) Dados los vectores A = 2i +2j –k y B = 6i -3j + 2k. Calcular la proyección de A sobre la dirección de B

Respuesta: PA/B = 0,57

32) Encontrar un vector C que sea perpendicular a los vectores A y B que su magnitud sea igual a 7 unidades A = i + 2j + 3k unid. y B = 2i + 4j – 5k unid.

Respuesta: C = -6,26i + 3,13j.

33) Considérese los vectores A = i + 4j, B = 2i -3j y C = i + k Calcule: a) A.(BxC) y (AxB).C

Respuesta: a) A.(BxC) = -11 y b) (AxB).C = -11

34) Se tienen dos vectores A = -2i + j -3k y B = 5i +3j -2k. Determine un tercer vector C de tal manera que 3A+2B-C = 0

Respuesta: C = 4i +9j -13k

35) Dados los vectores A = 2i –j + 5k, B = -i + 3j +2k y C = 3i + 4j +k. Hallar a) el módulo de (A- 3B), b) El ángulo entre A y B, c) El área del paralelogramo formado por A y C, d) un vector unitario perpendicular al plano formado por B y C.

Respuesta: a) A-3B = 11,22, b) Ѳ = 75,5º, c) Área del paralelogramo = 27,06, d) U = -0,32i + 0,45j – 0,83k

36) Demostrar si los vectores A = i – 3j + 2k, B = 4i + 12j -8k, son paralelos

37) Demostrar si los vectores A = -8i, B = 2j, son perpendiculares

38) dados los vectores A = 1/7(2i +3j + 6k), B = 1/7(3i – 6j +2k) y C = 1/7(6i + 2j – 3k), demostrar que: a) son vectores unitarios, b) son perpendiculares entre si, c) C es el producto vectorial de A y B.

39) demostrar analíticamente que A.B = AxBx + AyBy + AzBz

40) Demostrar que los siguientes vectores forman un triangulo rectángulo A = -3i +2j – k, B = i – 3j +5k y C = 2i +j – 4k.

41) hallar el modulo, dirección y sentido del desplazamiento del Profesor.

Ruta del Prof. Pedro

ALGUNOS FACTORES DE CONVERSIÓN

LONGITUD

1metro---3,28pie---1,09yardas 1pulgada---2,54cm

1pie---0,3048m---12Pulgadas 1milla---1609,35m---5280pie

MASA

1Kg---2,2Lb---1000gr 1Lb---0,454Kg---454gr 1slug---32,174lb---14,59Kg

FUERZA

1New---0,102Kgf---0,225Lbf---100.000Dinas 1Kgf---9,81New---70,93Poundal

1Lbf---0,454Kgf---32,174Poundal---4,45New