7 Funciones exponenciales y logarítmicas

7 Funciones exponenciales y logarítmicas

En este apartado definiremos y estudiaremos propiedades de la función exponencial de base y exponente real, así como de su función inversa, la función logarítmica.

El procedimiento a seguir será constructivo; primero definiremos la potencia de base real y exponente natural, (aⁿ,a ∈ ℝ,n ∈ℕ) luego la potencia de base real y exponente entero, (a a^z, ∈ ℝ,z ∈ℤ), posteriormente la potencia de exponente racional (a a^r, ∈ℝ,r ∈ℚ) y por último la potencia de base positiva y exponente real ( ,a a^b ∈ℝ⁺,b ∈ℝ ). Se tratará en cada caso de lograr una definición coherente con las anteriores desde el punto de vista de las propiedades algebraicas como las de crecimiento.

7.1 Potencia de base real y exponente natural

Definición

Sea a ∈ ℝ y b ∈ ℕ .

Si a =0 y n ≠ definimos: 0 aⁿ =0ⁿ =0. Si a ≠0 y n =0 definimos aⁿ =a⁰ =1. Si a ≠0 y n ≠0 definimos aⁿ = ⋅a aⁿ⁻¹

Obsérvese que se ha excluido explícitamente el caso “0⁰”.

Teorema

Si a y b son números reales, m y n naturales excluyendo el caso “0 ” se cumple: ⁰ 1. a^m⋅aⁿ =a^{m n+}

2. ( )

m

m n n

a a m n

a

= − ≥

3. aⁿ⋅bⁿ =(a b⋅ )ⁿ

4.

n n

n

a a

b =   b 5. ( )^{an m} =^{an m⋅}

Se demostrará a modo de ejemplo una de las propiedades anteriormente enunciadas

Demostración (1): a^m ⋅aⁿ =a^{m n+}

Intentaremos una demostración por inducción completa sobre n .

Primer paso: n = 0: a^m ⋅a⁰ =a^m ⋅ =1 a^m =a^m+0 ⇒ a^m ⋅a⁰ =a^m+0

Segundo paso: (H) : _{1 ( 1)}

(T) 1 :

m h m h

m h m h

n h a a a

n h a a a

+

+ + +

 = =



 = + =



Demostración: ^{1 1}

def. pot. hip. def. pot.

m h m h m h m h

a ⋅a ⁺ = a ⋅a ⋅ =a a ⁺ ⋅a = a ^{+ +}

Del primer y del segundo, paso utilizando el principio de I. C., podemos afirmar que ,

m n m n

a ⋅a =a ⁺ ∀ ∈ ℕ . Como tomamos m fijo, pero puede ser cualquiera, entonces n

, ,

m n m n

a ⋅a =a ⁺ ∀ ∈n ℕ ∀m∈ℕ.

Ejercicios

(33) Demostrar por I. C. la desigualdad de Bernoulli:

(1+α)ⁿ ≥ +1 nα ∀ ∈n N ∀ ∈α ℝ;α≥ −1 (34) Probar que:

a) 7ⁿ >6 ,n ∀ ∈ ℕn

b) 6ⁿ⁺² ≥180n+36, ∀ ∈ ℕ n

Siendo a y b números reales, m y n naturales; en condiciones de existencia se cumple:

Si a >1

1) 1 *

2) Si

3) 0 /

n

n m

n

a n

n m a a

k n a k

> ∀ ∈

< ⇒ <

∀ > ∃ ∈ >

ℕ

ℕ

Si 0<a < 1

4) 1 *

5) Si

6) 0 /

n

n m

n

a n

n m a a

n a

ε ε

< ∀ ∈

< ⇒ >

∀ > ∃ ∈ <

ℕ

ℕ

Haremos a continuación algunas demostraciones a manera de ejemplos. Las propiedades 1) y 4) aceptan una demostración por I. C. similares a las ya hechas.

Demostración 2).

Si n <m ⇒m−n >0; aplicando 1) podemos afirmar que 1 1

m

m n m n

n

a a a a

a

− > ⇒ > ⇒ >

Demostración 3).

Si a >1 entonces a = +1 d con d >0. Ahora aⁿ =(1+d)ⁿ ≥ +1 nd (Bernoulli).

Queremos encontrar un n tal que aⁿ >k. Si encontramos n que cumpla que 1 nd+ >k, por transitiva se verificaría la tesis.

1 1 k 1

nd k nd k n

d

+ > ⇔ > − ⇔ > − . Como ℕ no esta acotado superiormente, / k 1

n n

d

∃ ∈ℕ > − . Volviendo atrás en el razonamiento hecho aⁿ >k

Propiedades

i) 0<a < ⇒b aⁿ <bⁿ ∀ ∈ ℕ n ^* ii) Sia >1 yaⁿ <a^m ⇒n <m iii) Si 0<a <1 yaⁿ <a^m ⇒n >m

7.2 Potencia de base real y exponente entero

Definición

Sean: a ∈ ℝ , z ∈ ℤ tales que a² +z² ≠ 0

Si z ≥0, entonces z ∈ ℕ y en este caso a^z ya está definido.

Si z <0, entonces z = −n, n ∈ ℕ ; en este caso definimos z n 1 a a n

a

= − = (a ≠ ) 0

Observación: No definimos ni “0 ” ni “ 0^{0 z}” con z < . 0

Teorema

Sean a y b números reales, p y q enteros. En condiciones de existencia, se cumple:

i) a^p ⋅a^q =a^{p q+} ii)

p

p q q

a a

a

= −

iii) a^p ⋅b^p =(a b⋅ )^p iv)

p p

p

a a

b =   b v) ( )a^{p q} =a^{p q⋅}

1 El estudiante dispone de los elementos necesarios para demostrar cualquiera de las propiedades que se enunciarán en este material, aunque esto no se explicite como tarea a realizar.

Sean: a un real, p y q enteros; en condiciones de existencia se cumple:

Si a >1

1) a^x >1 ∀ ∈ ℤ x ⁺ 2) p<q ⇔a^p <a^q

3) ∀ >k 0 ∃ ∈x ℤ⁺/a^x >k 4) ∀ >ε 0 ∃ ∈x ℤ⁻/a^x <ε

Si 0<a < 1

5) a^x <1 ∀ ∈ ℤ x ⁺ 6) p <q ⇔a^p >a^q

7) ∀ >k 0 ∃ ∈x ℤ⁻/a^x >k 8) ∀ >ε 0 ∃ ∈x ℤ⁺/a^x <ε

7.3 Potencia de base real positiva y exponente racional

Previamente analizaremos el tema de la radicación, pues para tratar la potencia de base real y exponente racional nos resulta imprescindible.

Si a ∈ ℝ,n ∈ℕ,n ≥2, definir ⁿa =b ⇔bⁿ =a resulta razonable y previsible; pero antes de dar esta definición debemos asegurarnos en qué condiciones existe dicho “b ” y en caso de existir, cuántos hay.

Lema 1

H) ,

, 0

n

a b

n n

b a

 ∈ +

 ∈ ≠



 >



ℝ

ℕ T) ∃b'∈ℝ⁺/ 'b <b y b'ⁿ >a

Demostración:

Debemos encontrar 'b < , entonces b b'=b(1−d) con 0<d < , que cumpla 1 'ⁿ

b > , o sea que (1a bⁿ −d)ⁿ > . a

En consecuencia la tarea consiste en hallar 0<d <1para que (1bⁿ −d)ⁿ >a

Como 0<d < ⇒1 (1bⁿ −d)ⁿ ≥bⁿ(1−nd) (Bernoulli)

Luego (1bⁿ −nd)>a ⇔ 1 a_n nd b

− > ⇔ 1 a_n

nd b

− > − + ⇔

1

1 _n ⁿ

a

a b

nd d

b n

−

< − ⇔ <

Por hipótesis 1

1 ⁿ 0

n

n

a

a b

b a

b n

−

> ⇒ < ⇒ > , y como los reales son densos podemos

afirmar que ∃d₀ ∈ℝ, 0<d₀ <1 tal que ₀ 1

0 ⁿ

a d b

n

−

< < ; volviendo atrás en el proceso anterior tenemos que b'=b(1−d₀) cumple que b'ⁿ =bⁿ(1−d₀)ⁿ ≥bⁿ(1−nd₀)> ; por otra a parte como 0<d₀ < ⇒1 b'=b(1−d₀)<b y b'∈ ℝ . ⁺

Lema 2

H) ,

0

n

a b

n n

b a

 ∈ +

 ∈ ≠



 <



ℝ

ℕ T) ∃b''∈ ℝ⁺/ ''b >b y b''ⁿ <a

Demostración:

1 1

, y

a b a b

+ +

∈ℝ ⇒ ∈ ℝ ; por otra parte n 1 ⁿ 1 1

b a n

b b a

 

< ⇒   = > . Aplicando el lema anterior a 1

a y 1

b tenemos que 1 1 1

' , ' / '

'

n

b b b n a

b a b

∃ ∈ℝ+ > > ⇒ < . Llamando 1 '' ' b =b , obtendremos: ' 1 '' 1

b b ' b

b b

> ⇒ = > y '' 1 1

' '

n n

b n a

b b

 

=   = < .

H) a ∈ℝ⁺,n ∈ℕ,n ≠0 T) 1) / 2) es único

b bn a

b

 ∃ ∈ + =





ℝ

Demostración 1.

Consideramos A=

{

}

I) ∃ext A (que lo llamaremos b ); II)bⁿ =a

I)

Por definición de A : A ⊂ ℝ ⁽¹⁾

Por hipótesis 1

0 a 1

a a

> ⇒ + > y

1 1 1 1 1 1

1 1

a n a a

n a a a a a

 +   +  +

 

≥ ⇒  ≥  = = + >

1 ⁿ 1 a

a a

 + 

⇒  > 1 a n

a a

 

⇒ +  < 1

a A A

⇒a ∈ ⇒ ≠ ∅

+

(2)

Por hipótesis a >0⇒a + > ; como 1 1 n ≥ ⇒ 1 (a+1)ⁿ ≥(a+1)¹ =a+ > 1 a (a 1)ⁿ a

⇒ + > . Por otra parte ∀ ∈x A x, ∈ℝ⁺ y xⁿ <a. Considerando ambas desigualdades: xⁿ <(a +1)ⁿ ⇒ x < + , xa 1 ∀ ∈A⇒ a + es cota superior de A1 ⁽³⁾.

De ⁽¹⁾, ⁽²⁾ y ⁽³⁾, aplicando el axioma de completitud podemos afirmar que ∃ext A, al que llamaremos “alevosamente”: b .

II)

Nos falta probar que bⁿ = , lo que haremos por reducción al absurdo. Suponemos a entonces que bⁿ ≠ y analizamos dos casos: a

Si bⁿ < : Aplicando el lema 2 podemos decir que a ∃b''∈ ℝ⁺, ''b >b / ''b ⁿ <a ''

b A

⇒ ∈ pero b''> =b ext A, lo cual es contradictorio.

Si bⁿ > : Aplicando el lema 1 podemos afirmar que a ∃b'∈ℝ⁺; 'b <b / 'b ⁿ >a. Por otra parte, como ∀ ∈x A x, ⁿ <a ⇒b'ⁿ >xⁿ. Teniendo en cuenta además que tanto b'

como x son positivos entonces 'b >x x∀ ∈A⇒ 'b es cota superior de A . Pero '

b < =b ext A, lo cual genera el absurdo.

Por lo tanto bⁿ =a .

Probaremos por último la unicidad.

Demostración 2.

Suponemos que ∃b₁ ∈ ℝ⁺/b₁ⁿ =a. Intentaremos demostrar que b₁ =b por absurdo.

Si b₁ < ⇒b b₁ⁿ <bⁿ ⇒a <a (absurdo).

Si b₁ > ⇒b b₁ⁿ >bⁿ ⇒a >a (absurdo).

Por lo tanto b₁ =b, lo cual implica que b es único.

Observemos que la unicidad no se desprende de la unicidad del extremo superior de un conjunto, pues se podría encontrar /b bⁿ =a por un camino distinto.

Observaciones:

 Si a = : 0 ∃ ∈0 ℝ/ 0ⁿ =0=a y además es el único

 Si a > y n es par: por el teorema anterior 0 ∃ ∈b ℝ⁺ único /bⁿ =a. Pero ( )−b ⁿ =bⁿ = por ser n par. a

 Si a > y n impar: por el teorema anterior 0 ∃ ∈b ℝ⁺ único /bⁿ =a. Además

, 0/ ⁿ

x x x a

/∃ ∈ℝ ≤ = pues por ser n impar ∀ ∈x ℝ⁻,xⁿ ≤ <0 a_.

 Si a < y n par: 0 /∃ ∈b ℝ/bⁿ =a, pues por ser n par ∀ ∈x ℝ,xⁿ ≥0.

 Si a < y n impar: 0 a <0⇒ − > , aplicando el teorema anterior tenemos que a 0

b ⁺

∃ ∈ ℝ único tal que bⁿ = − ⇒ −a bⁿ =a, como n =/ 2, ( )ɺ −b ⁿ = −bⁿ por lo tanto ∃ − ∈b ℝ⁻/ ( )−b ⁿ =a_.

En resumen:

Si a = 0 y n ∈ ℕ^∗ ⇒ 0∃ ∈ℝ/ 0ⁿ =0 y es el único

Si a ∈ ℝ⁺ y n =2ɺ ⇒ ∃ ∈b ℝ⁺ y− ∈b ℝ⁻/bⁿ = −( )b ⁿ =a y son los únicos dos.

Si a ∈ ℝ⁺ y n =/ 2ɺ ⇒ ∃ ∈b ℝ⁺/bⁿ =a y es el único.

Si a ∈ ℝ⁻ y n =2ɺ ⇒ ∃ ∈/x ℝ/xⁿ =a

Si a ∈ ℝ⁻ y n =/ 2ɺ ⇒ ∃ − ∈b ℝ⁻/ ( )−b ⁿ =a y además es el único.

Definición

a ∈ℝ n ∈ℕ

1) Si a ≥ definimos 0

0

n n

b a

a b

b

 =

= ⇔ 

 ≥



2) Si a <0 yn =/ 2 definimosɺ ⁿa =b ⇔bⁿ =a

Observación

Siendo a ∈ ℝ y n ∈ ℕ , ^{∗ n}a está definida en ( , , , )ℝ + ⋅ ≤ : solamente para a ≥ si n 0 es par, y para todos los a reales si n es impar.

También observamos que cuando está definida Sigⁿa =Sig( )a , en particular si n es par ⁿa ≥ . 0

Teorema

Siendo a y a' números reales, n y p naturales no nulos, en condiciones de existencia se cumple:

1. (^na)ⁿ = ^a 2. ^{2 2}

2 1 2 1

) )

n n

n n

i a a

ii ⁺ a ⁺ a

=

=

3. ⁿa ⋅ⁿa′ = ⁿaa′

4. ' '

n n n

a a

a = a 5. (^na)^p = ^nap

6. ^{p n}a = ^pna 7. ⁿa =^npa^p

Definición de potencia de base real positiva y exponente racional

r q

⇒ = con p ∈ ℤ y q ∈ ℕ . ^∗ Definimos:

p

r q q p

a =a = a

Por ejemplo: 8²³ = ³8² = ³64 =4

Nota: Si

'

' '

'

p p

q q

p p

a a

q = q ⇒ =

Teorema

Sean a b, ∈ℝ^+,0, , 'r r ∈ℚ; se cumple:

1. a^r ⋅a^r' =a^{r r+ '}

2. _' ^'

r

r r r

a a

a

= −

3. a^r ⋅b^r =(a b⋅ )^r

4.

r r

r

a a

b =   b 5.

( )

Dem. 1) p

r r

∈ℚ⇒ = q con ,p q ∈ ℤ , q ≥ . 1 ' ' ' '

r r p

∈ℚ⇒ = q con p q', '∈ℤ, 'q ≥1_.

' ' ' '

' ' ' ' '

' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' '

. . . . .

p p pq p q p p

q qq q q qq qq

r r q q q p p pq p q pq p q pq p q qq q q r r

a a a a a a a a a a a a a a

+ +

+ +

= = = = = = = =

a ∈ ℝ⁺, r ∈ ℚ , 'r ∈ ℚ. Si a >0

i) a^r >1, ∀ ∈ ℚr ⁺ ii) r <r' ⇔a^r <a^r'

iii) ∀ >k 0, ∃r₀ ∈ℚ⁺/a^r0 >k iv) ∀ >ε 0, ∃ ∈r₁ ℚ⁻/a^r1 <ε

Si 0<a <1

i) a^r <1 ∀ ∈ ℚr ⁺ ii) r <r'⇔a^r >a^r'

iii) ∀ >k 0 ∃r₀ ∈ℚ⁻/a^r0 >k iv) ∀ >ε 0 ∃ ∈r₁ ℚ⁺/a^r1 <ε

Demostración i)

, con y

p

r q q p

r r p p q a a a

q

+ +

∀ ∈ℚ = ∈ℤ ⇒ = =

1 ^p 1 ^{r q p} 1

a > ∧p ∈ℤ⁺ ⇒a > ⇒a = a >

(Esta última afirmación es válida porque si fuera ^{qap ≤ ⇒1}

(

)

lo cual contradiría que a^p >1.)

7.4 Ejercicios

(35) Resolver en (ℝ, , ,+ ⋅ ≤): a) x x +3≤ 0

b)

3

1 0 x x >

+

c)

(

)

d) x + 4−x ≥0 e)

(

)

f) 2 3 1 0

5 x x

x

− + ≤

+

g) 3 5 1 0

3 x x x

x

+ − − <

+ (36) Resolver en (ℝ, , ,+ ⋅ ≤):

a) x +3 −2x = 0 b) x + x − =1 13

c) x + x²− =1 4x² +4x − 1 (37) Resolver en (ℝ, , ,+ ⋅ ≤):

a) x + >1 x− 1

b) 7 1 2 0

c)

(

)

d) 2 1 2 2

2 1

x + + x ≥

+

e) x +6 > x + +1 2x − 5 (38) Resolver en (ℝ, , ,+ ⋅ ≤):

a) 8₂ 0

4 x x <

−

b) x x² + ≥ 1 0 c) 2x +1 −3>0 d)

5 2 6

3 0

1 x x

x

+ ≤

−

e) ( )

( )

2 3

2 2 3

2 5 8

1 0

3 1

x x

x x

x x

+ +

+ − >

+

(39) Resolver en (ℝ, , ,+ ⋅ ≤): a) x² − =1 x + 2 b) x² + =1 x + 3 c) x +a =x + a (40) Resolver en (ℝ, , ,+ ⋅ ≤):

a)

(

)

b) x² < 4 c) x² + ≤ 1 1

d) x² + <1 x² + 2 e) x² − ≤1 x² − 2 f) x + x− <1 4x − 1