MATE Dr. Pedro V squez UPRM. P. V squez (UPRM) Conferencia 1/ 18

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MATE 3171

Dr. Pedro V·squez

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Expresiones algebraicas

Ejemplos

1.3.1

Variablees una letra que puede representar cualquier n˙mero de un

conjunto dado de n˙meros.

ExpresiÛn algebraica es una combinaciÛn de variables y n˙meros reales

las cuales se unen a travÈs de las operaciones de suma, resta, multiplicaciÛn, divisiÛn y potenciaciÛn.

1.3.2 .

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1.3.3

Monomio es una expresiÛn algebracia de un solo tÈrmino y es de la forma

axk,dondea es un n˙mero real y k es un n˙mero entero no negativo. 1.3.4

Binomioes una suma de dos monomios. 1.3.5

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Polinomio Un polinomio en la variablex es una expresiÛn de la forma:

anxn+an_!1xn!1+an_!2xn!2+" " "+a2x2+a1x+a0

donde an,an!1,an!2," " " ,a2,a1,a0 son n˙meros reales yn es un n˙mero

entero no negativo. Sian 6=0,entonces el polinomio es de gradon. Los

monomios akxk son llamados los tÈrminos del polinomio.

Ejemplos

1.3.6

Polinomio Tipo TÈrminos Grado

7 3x2_!6

5x4_!2x3+5x

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Suma y resta de polinomios

Se suman y restan polinomios usando las propiedades de n˙meros reales discutidos en la secciÛn 1.1. El objetivo es combinar tÈrminos semejantes (es decir, tÈrminos con las mismas variables y que tienen las mismas potencias) y use la propiedad distributiva.

NotaAl restar polinomios, debe recordar que si un signo menosprecede a una expresiÛn en parÈntesis, entonces el signo de cada tÈrmino dentro del parÈntesis se cambia cuando se eliminan los parÈntesis.

MultiplicaciÛn de expresiones algebraicas

Para multiplicar polinomios o expresiones algebraicas, se usa la propiedad distributiva las veces que sea necesaria. Por ejemplo para multiplicar dos binomios, se tiene: (a+b) (c+d) = " F + " O + " I + " L

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Ejemplos

1.3.5 Halle la suma, diferencia o producto de:

a. (2x_!6) + (2+6x) =

b. !3+2x_!3x2"_!!4_!2x+5x2"=

c. 2(5+2y)_!2y(y+3) +y2(4_!y) aplicando propiedad distributiva

= = d. (4x!2y) (2x+3y)aplicando FOIL = = =

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1

e. (3x+y) (2x+3y_!2)aplicando la propiedad distributiva

= = =

FÛrmulas de productos especiales

Si AyB representan a cualquier n˙mero real o a expresiones algebraicas, entonces:

1. (A+B) (A_!B) =A2_!B2

Producto de una suma por una diferencia con los

mismos tÈrminos 2.(A+B)2=A2₊₂_AB₊_B2 _{Cuadrado de una suma}

3.(A_!B)2=A2_!2AB+B2 Cuadrado de una diferencia 4.(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 Cubo de una suma

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Ejemplos

1.3.6 Use las fÛrmulas de productos especiales para hallar el producto: 1 (3=2y)2= 2 (4_!3x) (4+3x) = 3 #3_!p2z$ #3+p2z$= 4 !z+4_z"2= 5 !3_!x3"3 = 6 (1+4r)3 =

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FactorizaciÛn

Es el proceso de representar una expresiÛn algebraica

como el producto de dos o m·s factores que son

expresiones irreducibles.

Factor com˙n:

ocurre cuando cada tÈrmino tiene un factor

en com˙n.

Ejemplos

1.3.7 Halle el factor com˙n de cada una de las siguientes expresiones: 1. 3x_!9x3₌

2. 2x6+22x5+34x3 =

3. (2x+4)2_!5(2x+4) (x_!2) = =

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Factorizar

x +bx+c

Se requiere determinar dos factores de

c, r

y

s,

que

satisfagan:

r+s =b, rs =c

tal que:

x2₊_bx₊_c _{= (}_x₊_r_{) (}_x₊_s₎

Ejemplos

1.3.8

Factorice cada expresiÛn algebraica:

1 x2_!x_!20;c = _!20, : 20= x2_!_x_!₂₀₌ 2 x2_!9x+18;c =18, se puede expresar: 18= 2

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Factorizar

ax2+bx+c

Se requiere determinar dos factores de

c, r

y

s,

y dos

factores de

a,p yq,

que satisfagan:

pq =a, qr+ps =b, rs =c

tal que:

ax2+bx+c = (px+r) (qx+s).

Ejemplos

1.3.9

Factorice cada expresiÛn algebraica:

1 2x2+5x!12;c =!12,a=2;se pueden expresar

12=

p = ,q = ;r = ,s = y se tiene: 2x2+5x_!12=

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1 6x2!x!12;c =!12,a=6;se pueden expresar 12= p = ,q = ;r = ,s = y se tiene: 6x2_!_x_!₁₂ ₌ 2 12x2+2x!30 3 2(a+b)2+5(a+b)!3

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FÛrmulas especiales de FactorizaciÛn

1.

A2_!B2 = (A+B) (A_!B) Diferencia de cuadrados

2.

A2+2AB+B2= (A+B)2 Cuadrado perfecto

3.

A2_!2AB+B2 = (A_!B)2 Cuadrado perfecto 4. A3+B3= (A+B)!A2_!AB+B2" Suma de cubos 5. A3_!_B3_{= (}_A_!_B₎!_A2₊_AB₊_B2" _{Diferencia de cubos}

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Ejemplos

1.3.10

Factorice cada expresiÛn algebraica:

1. x2_!64=

2. x2!y2_!9"_!25!y2_!9" = =

3. z2_!16z+64 es un trinomio cuadrado perfecto

p ₌ _;p ₌ _{y 16}_z ₌ z2_!16z+64= (z_! )2

4. 4x2₊₂₄_x₊_{36 similar al ejemplo anterior}

5. x9_!64y6 es una diferencia de cubos

3

p ₌ _;p3 =

x6_!₂₇_y9 ₌

=

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Otros casos de factorizaciÛn

:

Se explicar·n a travÈs de ejemplos

Ejemplos

1.3.11

Factorice cada expresiÛn algebraica:

1. 4x3_!8x2_!x+2 por agrupaciÛn

4x3_!8x2_!x+2=

2. x4₊_x3_!₈_x_!_{8 por agrupaciÛn}

x4+x3_!8x_!8= =

3. 3x!1/2+4x1/2+x3/2 se factoriza la variablex con el menor exponente

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4. 3(2x_!1)2(2) (x+3)1/2+ (2x_!1)3!1₂"(x+3)!1/2 se factorizan las expresiones com˙nes con el menor exponente

3(2x_!1)2(2) (x+3)1/2+ (2x_!1)3!1₂"(x+3)!1/2 = = =

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