( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
=
⇒
=
−
⇒
=
=
+
−
⇒
=
⇒
−
=
⇒
−
=
⇒
−
=
−
⇒
=
−
⋅
=
=
+
−
=
⇒
−
=
2
1
x
0
1
x
2
0
0
g
0
1
x
x
0
0
f
OX
con
funciones
las
de
corte
de
Puntos
1
x
2
x
g
1
x
2
y
1
x
2
1
y
2
1
1
3
1
'
f
1
1
1
1
1
f
1
x
3
x
'
f
3 2 3 2OPCIÓN A
E1.- Calcular el área de la región finita y limitada por la gráfica de la función f(x) = x3 – x +1, el eje de ordenadasy la recta tangente a la grafica de f en x = 1 (2’5 puntos)
-3 -2 -1 0 1 2 3 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
[ ]
[ ]
[ ]
(
4 4)
(
2 2)
(
)
3 1 0 4 1 0 2 1 0 4 1 0 3 1 0 3 1 0 1 0 3 1 2 1 1 2 1 3 2 1 0 2 1 0 3 1 2 1 1 2 1 3 2 1 0 2 1 0 3u
3
8
6
1
2
3
1
0
1
2
0
1
3
0
1
1
A
x
2
x
2
1
3
x
4
1
dx
2
x
3
x
dx
dx
1
x
2
1
x
x
A
dx
1
x
2
dx
1
x
x
dx
1
x
2
dx
1
x
x
dx
1
x
2
dx
1
x
x
A
dx
1
x
2
dx
1
x
x
dx
1
x
2
dx
1
x
x
A
=
+
−
=
+
−
=
−
⋅
+
−
⋅
−
−
⋅
=
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
=
+
−
=
−
−
+
−
=
−
−
+
−
=
−
−
+
−
+
−
−
+
−
=
−
−
+
−
+
−
+
+
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Y
X
E2
.-
a)
Estudiar si la funciónf
:
[ ]
0
,
2
→
ℜ
dada por( )
≤
<
−
+
−
≤
≤
=
2
x
1
si
1
x
2
7
x
2
3
1
x
0
si
x
x
f
2 ,verifica la hipótesis del teorema de Rolle. Enunciar dicho teorema (1’5 puntos)b) Calcular
( )
( )
x
sen
x
x
e
x
2
cos
lim
x 0 x⋅
−
−
→ (1 punto) a) Teorema de RolleSi
:
•es una
cerrado
•es
abierto
•Entonces
: existe al menos un número perteneciente al intervalo
tal que
Veamos si es continua y derivable( )
( )
( )
( )
( )
( )
[ ]
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
6
(
0
,
2
)
Cumple
el
teorema
de
Rolle
7
6
7
c
2
7
c
3
0
2
7
c
3
c
'
f
solución
Sin
0
1
0
2
1
c
'
f
2
f
0
f
0
1
7
6
1
2
2
7
2
2
3
2
f
0
0
0
f
2
,
0
en
derivable
Es
2
1
x
'
f
lim
x
'
f
lim
2
1
2
7
6
2
7
1
3
x
'
f
lim
2
1
1
2
1
x
'
f
lim
2
x
1
si
2
7
x
3
1
x
0
si
x
2
1
x
'
f
2
,
0
en
continua
Es
1
x
f
lim
x
f
lim
1
f
1
2
2
2
2
7
3
1
2
7
2
3
1
1
2
7
1
2
3
x
f
lim
1
1
x
f
lim
1
f
2 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 1 x 1 x⇒
∈
⇒
=
⇒
=
⇒
=
+
−
=
⇒
=
=
⇒
=
⇒
=
−
+
−
=
−
⋅
+
⋅
−
=
=
=
⇒
=
=
⇒
=
+
−
=
+
⋅
−
=
=
=
⇒
≤
<
+
−
≤
≤
=
⇒
=
=
=
⇒
=
=
−
+
−
=
−
+
−
=
−
⋅
+
⋅
−
=
=
=
=
+ − + − + − + − → → → → → → → →Continuación del problema E2 de la opción A
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
+
⋅
=
−
=
−∞
−
−
⋅
−
=
⋅
+
−
−
⋅
−
=
=
+
−
−
−
=
→
=
=
⋅
−
−
=
⋅
−
−
⋅
=
⋅
−
−
→ →0
2
1
0
0
1
1
0
2
0
cos
0
0
sen
1
e
0
2
sen
2
x
cos
x
x
sen
1
e
x
2
sen
2
lim
0
0
0
0
0
1
1
0
sen
0
0
e
0
2
cos
x
sen
x
x
e
x
2
cos
lim
)
b
0 x 0 x Hopital ' L Utilizando 0 x 0 xE3.- a)Calcular el rango de la matriz
=
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
A
(1’5 puntos)b)Si B es una matriz cuadrada de dimensión 3 x 3 cuyo determinante vale 4, calcula el determinante de 5B y el de B2 (1 punto)
( )
16
4
B
B
500
4
125
B
5
B
5
)
b
2
A
rang
0
0
0
0
0
0
0
0
12
8
4
0
4
3
2
1
36
24
12
0
24
16
8
0
12
8
4
0
4
3
2
1
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
)
a
2 2 2 3=
=
=
=
⋅
=
=
=
⇒
≡
≡
E4.- a) Determinar la posición relativa de la recta y el plano
π
≡
x
−
y
=
0
. (1’5 puntos)b) Hallar el plano perpendicular a
π
que contiene a r (1 punto)a) El plano y la recta o son paralelas, ó la recta pertenece al plano, ó tienen un punto común que es el llamado de corte
paralelas
Son
comunes
puntos
hay
No
ado
min
er
det
In
Compatible
Sistema
0
1
0
1
plano
y
recta
ción
sec
Inter
2
z
1
y
x
r
x
2
z
1
x
y
⇒
⇒
=
−
⇒
=
λ
−
−
λ
⇒
⇒
λ
=
λ
+
=
λ
=
≡
⇒
=
+
=
Otra forma de ver si son paralelas o la recta esta contenida en el plano es ver si el producto escalar de los vectores directores es nulo ya son perpendiculares.
(
1
,
1
,
2
)
(
) (
)
v
Continuación del problema E4 de la opción A
b) El plano es generado por el vector director del plano y el de la recta y el formado por un punto R de la recta (se toma el determinado en la ecuación de la recta) y el punto genérico del plano que se busca, los tres vectores son coplanarios y por lo tanto el determinante de la matriz formada por ellos nulo y la ecuación buscada del plano
(
)
(
)
(
)
(
) (
) (
)
(
y
1
)
z
z
2
x
0
2
x
2
y
2
z
2
0
x
y
z
1
0
2
0
0
1
1
2
1
1
z
1
y
x
z
,
1
y
,
x
0
,
1
,
0
z
,
y
,
x
RG
0
,
1
,
1
v
2
,
1
,
1
v
0
,
1
,
0
R
Punto
r=
−
−
+
≡
θ
⇒
=
−
−
+
⇒
=
+
−
−
−
⇒
=
−
−
≡
θ
⇒
−
=
−
=
−
=
=
π( )
1
x
3
x
3
x
x
f
2−
+
−
=
OPCIÓN B
E1.- Seaa) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas (2 puntos)
b) Esbozar su gráfica (0’5 puntos)
( ) (
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
( )
(
)
(
)
(
)
ℜ
∈
∀
⇒
>
−
>
⇒
>
−
>
⇒
>
−
−
⇒
>
⇒
−
−
=
−
−
=
−
−
+
−
+
−
−
=
−
+
−
−
−
−
=
x
0
1
x
2
x
0
2
x
0
x
0
1
x
x
2
x
0
x
'
f
o
Crecimient
1
x
x
2
x
1
x
x
2
x
1
x
3
x
3
x
3
x
3
x
2
x
2
1
x
3
x
3
x
1
x
3
x
2
x
'
f
)
a
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x > 0 ( - ) ( + ) ( + ) x > 2 ( - ) ( - ) ( + ) ( x – 1 )2> 0 ( + ) ( + ) ( + ) Solución ( + ) ( - ) ( + ) Crecimiento∀
x
∈
ℜ
/
(
x
<
0
) (
∪
x
>
2
)
Decrecimiento∀
x
∈
ℜ
/
0
<
x
<
2
( )
( )
⇒
⇒
=
−
+
⋅
−
=
⇒
=
⇒
⇒
−
=
−
+
⋅
−
=
⇒
=
⇒
o
crecimient
a
nto
decrecimie
De
relativo
Mínimo
6
1
2
3
2
3
2
2
f
2
x
nto
decrecimie
a
o
crecimient
De
relativo
Máximo
3
1
0
3
0
3
0
0
f
0
x
Extremos
2 2( ) (
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)(
(
)
)
(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
−
)
>
⇒
−
>
⇒
>
⇒
ℜ
∈
∀
⇒
>
⇒
>
−
⇒
>
⇒
−
=
−
+
−
+
−
=
−
−
−
−
−
⋅
=
−
−
−
−
−
−
=
1
x
0
1
x
0
1
x
x
0
2
0
1
x
2
0
x
'
'
f
Concavidad
1
x
2
x
'
'
f
1
x
x
4
x
2
2
x
4
x
2
1
x
x
2
x
2
1
x
1
x
2
1
x
x
2
x
1
x
2
1
x
2
x
2
x
'
'
f
)
a
3 3 3 3 2 2 3 2 4 2 2 Concavidad∀
x
∈
ℜ
/
x
>
1
Convexidad∀
x
∈
ℜ
/
x
<
1
Punto de Inflexión( )
=
−
⇒
⇒
−
−
⋅
−
=
⇒
=
No
hay
solución
0
5
1
1
3
1
3
1
0
f
1
x
2 No hay P.I. Asíntotas VerticalesContinuación del problema E1 de la opción B Horizontales
−∞
→
∞
=
=
∞
−
∞
−
∞
+
∞
+
=
−
−
+
+
=
−
−
+
+
=
∞
∞
=
−
−
+
+
=
−
+
−
=
∞
→
∞
=
=
−
+
−
=
∞
−
∞
∞
+
∞
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
∞
∞
=
−
+
−
=
∞ → ∞ → ∞ → −∞ → ∞ → ∞ → ∞ →x
cuando
horizontal
asíntota
existe
No
0
1
1
1
3
3
1
x
1
x
1
x
3
x
3
1
lim
x
1
x
x
x
3
x
x
3
x
x
lim
1
x
3
x
3
x
lim
1
x
3
x
3
x
lim
y
x
cuando
horizontal
asíntota
existe
No
0
1
0
0
0
0
1
1
1
3
3
1
x
1
x
1
x
3
x
3
1
lim
x
1
x
x
x
3
x
x
3
x
x
lim
1
x
3
x
3
x
lim
y
2 2 x 2 2 2 2 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 2 2 2 2 2 x 2 x Oblicuas( )
( )
[
]
( )
( )
[
]
−∞
→
−
=
⇒
−
=
−
−
+
=
−
−
+
=
∞
∞
=
−
−
+
=
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
⋅
−
−
+
−
=
−
=
=
+
+
+
=
+
+
+
=
∞
∞
=
+
+
+
=
−
+
−
=
=
∞
→
−
=
⇒
−
=
−
+
−
=
−
+
−
=
∞
∞
=
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
⋅
−
−
+
−
=
−
=
=
−
+
−
=
−
+
−
=
∞
∞
=
−
+
−
=
−
+
−
=
=
∞ → ∞ → ∞ → −∞ → −∞ → −∞ → −∞ → ∞ → ∞ → ∞ → −∞ → −∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ → ∞ →x
cuando
2
x
y
oblicua
asíntota
Existe
2
x
1
1
x
3
2
lim
x
1
x
x
x
3
x
x
2
lim
n
1
x
3
x
2
lim
1
x
3
x
2
lim
1
x
x
x
3
x
3
x
lim
x
1
1
x
3
x
3
x
lim
mx
x
f
lim
n
1
x
1
1
x
3
x
3
1
lim
x
x
x
x
x
3
x
x
3
x
x
lim
x
x
3
x
3
x
lim
x
1
x
3
x
3
x
lim
x
x
f
lim
m
x
cuando
2
x
y
oblicua
asíntota
Existe
2
x
1
1
x
3
2
lim
n
x
1
x
x
x
3
x
x
2
lim
1
x
3
x
2
lim
1
x
x
x
3
x
3
x
lim
x
1
1
x
3
x
3
x
lim
mx
x
f
lim
n
1
x
1
1
x
3
x
3
1
lim
x
x
x
x
x
3
x
x
3
x
x
lim
x
x
3
x
3
x
lim
x
1
x
3
x
3
x
lim
x
x
f
lim
m
x x x x 2 2 x 2 x x 2 x 2 2 2 2 2 2 2 x 2 2 x 2 x x x x x 2 2 x 2 x x 2 x 2 2 2 2 2 2 2 x 2 2 x 2 x xContinuación del problema E1 de la opción B b) -10 -5 0 5 10 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
E2.- a) Hallar los parámetros reales a y b para los que la función
( )
( )
≤
+
>
−
=
0
x
si
b
x
0
x
si
x
ax
x
sen
x
f
2 2 es continúa enℜ
(1’5 puntos) b) Calcular( )
dx
x
x
ln
2∫
(1 punto)( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
≤
>
−
=
=
⇒
=
=
=
=
⇒
=
+
=
=
=
=
−
=
−
=
−
=
→
=
=
−
=
=
→
−
=
−
=
−
=
→
=
=
⋅
−
=
− + + − − − − − → → → → → → = ⇒ = − → →0
x
si
x
0
x
si
x
x
x
sen
x
f
0
b
0
x
f
lim
b
x
f
lim
0
f
b
b
0
x
f
lim
0
f
0
x
f
lim
0
2
0
´
2
0
sen
´
2
x
sen
lim
0
0
x
2
1
x
cos
lim
0
a
1
0
.
2
a
0
cos
x
2
a
x
cos
lim
0
0
0
0
a
0
sen
x
f
lim
)
a
2 2 0 x 0 x 2 0 x 0 x 0 x Hopital ' L Utilizando 0 x 1 a 0 a 1 0 x Hopital ' L Utilizando 2 0 xY
X
Continuación del problema E2 de la opción B
( )
( )
( )
( )
(
( )
)
( )
−
=
−
=
=
=
⇒
=
=
⇒
=
+
+
−
=
−
⋅
−
=
+
⋅
−
=
⋅
−
−
⋅
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
− −x
1
1
x
dx
x
x
dx
v
dv
x
dx
x
dx
du
u
x
ln
K
1
x
ln
x
1
x
1
x
ln
x
1
x
dx
x
ln
x
1
x
dx
x
1
x
ln
x
1
dx
x
x
ln
)
b
1 2 2 2 2 2E3.- Discutir y resolver cuando sea posible, el sistema de ecuaciones lineales según los valores
del parámetro m:
+
=
+
+
=
−
−
=
+
+
1
m
z
my
x
3
0
z
y
x
1
z
y
x
(2’5 puntos)(
)
{ }
( )
ado
min
er
det
In
Compatible
Sistema
0
1
1
0
0
0
2
2
0
1
1
1
1
1
1
2
2
0
2
2
0
1
1
1
2
0
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
m
Si
ado
min
Deter
Compatible
incógnitas
de
Número
3
A
rang
0
A
1
x
toda
Para
1
m
2
m
2
0
2
m
2
0
A
Si
2
m
2
1
m
3
m
3
1
1
m
3
1
1
1
1
1
1
A
⇒
−
−
−
≡
−
−
−
−
−
−
≡
−
−
=
⇒
=
=
⇒
≠
⇒
−
ℜ
∈
∀
⇒
=
⇒
=
⇒
=
−
⇒
=
⇒
−
=
−
+
+
+
−
−
=
−
−
=
E4.- a)Hallar la recta r que pasa por el punto A(1 , - 1 , 0) , esta contenida en el plano
0
y
x
+
=
≡
π
y corta a la rectas
≡
x
=
y
=
z
(1’5 puntos)b) Hallar la distancia del punto B(2 , - 2 , 2) a la recta s (1 punto)
a)
El segundo punto P de la recta r buscada es el de intersección de la recta s y el plano
π
(
) (
) (
)
=
α
+
−
=
α
−
=
≡
⇒
−
=
−
−
=
⇒
=
=
=
⇒
=
λ
⇒
=
λ
+
λ
⇒
λ
=
λ
=
λ
=
≡
0
z
1
y
1
x
r
0
,
1
,
1
0
,
1
,
1
0
,
0
,
0
AP
0
z
0
y
0
x
P
0
0
z
y
x
s
Continuación del problema E2 de la opción B
Calcularemos un plano
θ
perpendicular a la recta s, plano que tiene como vector director el de la recta que es perpendicular al vector BG formado por el punto dado y el punto generador del plano buscado y por ello el producto escalar, de ambos, es nulo.Hallado el plano calcularemos el punto de corte S de la recta s con él, el módulo del vector BS
es la distancia pedida
