Mas dimensiones U U-V

U

V

U-V

Mas dimensiones

Si R

2

={(x,y) /x,y en R} y R

3

={(x,y,z) / x,y,z

∈

R} son buenos modelos del plano y del espacio

euclidianos, entonces parece razonable pensar que R

4

={(x,y,z,w) / x,y,z,w

∈

R} debe ser un buen

modelo del espacio euclidiano de 4 dimensiones (y que R

n

_{es un buen modelo del espacio}

euclidiano de n dimensiones.

Los métodos de la geometría analítica (coordenadas, ecuaciones, vectores y matrices) se extienden

fácilmente al estudio de la geometría de espacios con cualquier numero de dimensiones.

Pensemos en

R

4

= {(x,y,z,w) / x,y,z,w

∈

R}

Si fijamos cualquiera de las coordenadas, obtenemos una rebanada de R

4

_{que es igual a R}

3

_.

Podemos pensar en los puntos de R

4

como vectores (de modo que podemos sumarlos y

multiplicarlos por escalares).

Observar que en R

4

:

-un punto y un vector no cero definen una recta {P+sU / s R}

-un punto y dos no colineales definen un plano: {P+sU+tV / s,t R}

-un punto y tres vectores no coplanares definen un

hiperplano*

: {P+tU+sV+rW / s,t,r R}.

Se sigue fácilmente que por dos puntos de R

4

_{pasa una recta, por 3 puntos no colineales pasa un}

plano y por 4 puntos no coplanares pasa un único hiperplano.

*La función (s,t,r) → P+sU+tV+rW da una biyección entre los puntos de R3 y los puntos del hiperplano.

En R

4

_{podemos medir distancias de manera análoga a como lo hacemos en R}

3

_:

Si U=(a,b,c,d) definimos |U| =

√

a

2

_+b

2

_+c

2

_+d

2

y definimos el producto punto de dos vectores como

(a

₁

,b

₁

,c

₁

,d

₁

) ∙ (a

₂

,b

₂

,c

₂

,d

₂

) = a

₁

a

₂

+b

₁

b

₂

+c

₁

c

₂

+d

₁

d

₂

Diremos que dos vectores U y V en R

4

son

ortogonales

si U∙V=0. Esta definición tiene sentido por

lo siguiente:

Teorema de Pitágoras:

Dos vectores U y V son

ortogonales, si y solo si |U-V|

2

=|U|

2

+|V|

2

Dem. Si U=(a₁,b₁,c₁,d₁) y V=(a₂,b₂,c₂,d₂) entonces |U|2+|V|2 = a₁2+b₁2+c₁2+d₁2+a₂2+b₂2+c₂2+d₂2 |U-V|2_=(a

1-a2)2+(b1-b2)2+(c1-c2)2+(d1-d2)2 = a₁2_-2a

1a2+a22+b12-2b1b2+b22+c22-2c1c2+c12+d12-2d1d2+d22 Así que la igualdad se cumple si y solo si

U∙V=0.

□

θ

U

V

U-V

|U|senθ |U|cosθ

Lema.

Para cualesquiera 3 vectores U,V,W en R

4

_{existe otro vector Z ortogonal a los tres.}

Dem. Si U=(a,b,c,d), V+(e,f,g,h) y W=(i,j,k,l), un vector perpendicular a los tras es una solución (x,y,z,w) no trivial del sistema de ecuaciones lineales homogéneas

ax+by+cz+dw=0 ex+fy+gz+hw=0 ix+jy+kz+lw=0

Los sistemas de 3 ecuaciones lineales homogéneas con 4 incognitas siempre tienen soluciones no triviales ya que podemos usar la primera ecuación para eliminar una variable de las otras ecuaciones, usar la segunda ecuación para eliminar otra variable de las otras y usar la tercera ecuación para eliminar una variable mas, de modo que al final todas las variables quedan en función de algunas que podemos elegir arbitrariamente. □

• Ejemplo. Encuentra un vector perpendicular a (1,1,0,1), (1,0,1,1) y (0,1,1,1) Buscamos una solución no trivial de

x+y +w = 0 x +y +w = 0 x +y +w = 0 x +z +w = 0 (2-1)⇒ -y +z = 0 (3+2)⇒ -y +z = 0 y +z +w = 0 y +z +w = 0 2z +w = 0 haciendo w=-2 queda z=y=x=1 y un vector perpendicular a los 3 es (1,1,1,-2)

Usando el Teorema de Pitágoras es fácil demostrar:

Lema:

U∙V = |U|+|V|-2|U||V|cosθ,

donde es el ángulo que forman los vectores U y V

en el plano que los contiene.

Dem. La altura del triángulo determinado por U y V es |U|senθ, así que por el Teorema de Pitágoras

|U-V|2_{= (|U|senθ)}2 _{+ (|V|-|U|cosθ)}2 _{desarrollando queda}

|U-V|2_{= |U|}2 _sen2_{θ + |V|}2_{-2|V||U|cosθ+|U|}2 _cos2_{θ = |U|}2_+|V|2 _{-2|U||V|cosθ} pero en la demostración anterior calculamos que

|U-V|2

=

|U|2+|V|2 -2U∙V así que U∙V debe ser igual a |U||V|cosθ □

Así que el producto punto da una manera de medir el ángulo entre los vectores:

cosθ =

Lema.

En cada plano de R

4

hay dos vectores perpendiculares, y en cada hiperplano hay tres

vectores perpendiculares.

Dem. Si U, V, W son 3 vectores no colineales en

R

4_{, entonces U y V'= V-} U∙V_/

U∙UU son perpendiculares (ya que U∙V'=0), y ademas U,V' generan el mismo plano que U y V (porque V' es combinación lineal de U y V y V es combinación lineal de U y V').

Si U, V, W son 3 vectores no coplanares en

R

4_{, entonces U, V' =} U∙V_/

U∙UU y W' = W -W∙U/U∙UU - W∙V'/V'∙V'V' son perpendiculares (los productos punto son 0) y generan el mismo hiperplano que U,V,W (porque U,V',W' son combinaciones lineales de U,V,W, y viceversa).

□

U ∙ V

|U||V|

•

Ejemplo. Encuentra 3 vectores en el hiperplano generado por U=(1,1,1,0), V=(1,0,1,1) y W=(0,1,0,1) que sean perpendiculares entre si.

Podemos tomar U',V',W', donde U' = U V' = V – V∙U_/ U∙UU = (1,0,1,1) -2/3(1,1,1,0) = (1/3,-2/3,1/3,1) W'= W – W∙U_/ U∙UU – W∙V'/V'∙V'V' = (0,1,0,1) -1/3(1,1,1,0) -1/3/5/3(1/3,-2/3,1/3,1) = = (0,1,0,1) -(1_/ 3,1/3,1/3,0) -(1/15,-2/15,1/15,3/15) = (-2/5

,

4/5

,-

2/5

,

4/5

)

Recordar que dos figuras tienen la misma forma si podemos llevar una a la otra sin deformarla, es

decir, sin cambiar las distancias entre sus puntos.

Corolario.

Los planos en R

4

tienen la misma forma que R

2

, y los hiperplanos en R

4

tienen la misma

forma que R

3

.

Dem. Cada plano esta generado por 2 vectores perpendiculares y cada hiperplano esta generado por 3 vectores perpendiculares, y podemos suponer, escalándolos, que estos vectores son unitarios. Entonces, por el Teorema de Pitágoras, la función de R2 _{al plano dada por (s,t) → P+sU+tV preserva distancias (por lo que el} plano tiene la forma de R2) y la función de R3 al hiperplano dada por (s,t,r) → P+sU+tV+rW también preserva distancias (por lo que el hiperplano tiene la forma de R3_{). □}

Lema.

En R

n

_{no pueden existir mas de n vectores linealmente independientes.}

Dem. Dados n+1 vectores en

R

n, tomemos uno cuya primera coordenada sea distinta de cero, entonces podemos restarles múltiplos de ese vector a los otros para que esa coordenada se haga 0 en todos los otros vectores. Tomemos ahora uno de estos vectores cuya segunda coordenada sea distinta de 0, podemos restarles múltiplos de este vector a los otros para que esa coordenada se haga 0 en todos los otros vectores. Si tomamos uno de estos vectores cuya tercera coordenada sea distinta de 0, podemos restarles múltiplos de ese vector a los otros para que esa coordenada se haga 0 en todos los otros vectores. Podemos repetir la operación hasta obtener un vector tal que todas sus coordenadas son 0, como este se obtuvo de restarle a uno de los vectores originales algunos múltiplos de otros vectores, ese vector original es combinación lineal de los otros, contradiciendo que todos eran linealmente independientes. □

Lema.

La ecuación Ax+By+Cz+Dw=E representa un hiperplano en R

4

.

Dem. Las soluciones de la ecuación homogénea Ax+By+Cz+Dw=0 son los vectores en R4 _{que son ortogonales} al vector (A,B,C,D). Estos forman un subespacio S de R4 _{que debe estar generado por 3 vectores: S no puede} tener 4 vectores linealmente independientes porque junto con el vector ortogonal a S serian 5 vectores linealmente independientes en R4_{. Y S no puede tener solo 2 vectores linealmente independientes, porque} entonces existiría un vector en R4 _{que es ortogonal a los dos y al vector ortogonal a S, pero por definición este} vector debe estar en S.

Las soluciones de la ecuación no homogénea Ax+By+Cz+Dw=E se obtienen trasladando el hiperplano dado por las soluciones de Ax+By+Cz+Dw=0 por un vector fijo que satisfaga la ecuación no homogénea□

Corolario.

La intersección de dos planos distintos en R

4

_{es una recta, un punto o el vacío La}

intersección de dos hiperplanos distintos en R

4

es un plano o el vacío

Dem. Las otras alternativas posibles serian dos hiperplanos H y H' que se intersectan en un punto p o en una recta R.

Sean V₁, V₂, V₃ tres vectores basados en un punto de H∩H' que generen a H y sean V₄, V_5, V₆ tres vectores basados en p que generen a H'. Como V₁, V₂ ,V₃ ,V₄, V₅, V₆ no pueden ser linealmente independientes, uno de ellos, digamos V₆, debe ser combinación lineal de los otros

V₆ = a₁V₁+a₂V₂+a₃V₃+a₄V₄+a₅V_{5 así} que -a₄V₄-a₅V₅+V₆= a₁V₁+a₂V₂+a₃V₃ Esto dice que el vector -a₄V₄-a₅V₅+V₆ que esta en H, que también esta en H' porque es igual a

a₁V₁+a₂V₂+a₃V₃ . Y la intersección de H y H' debe contener al menos a la linea generada por ese vector. Si H y H' se intersectan en una linea, sea V₁ un vector (≠0) en esa linea y elijamos V₂, V₃, V₄, V₅ de modo que V₁, V₂, V₃ generen a H y V₁, V₄, V₅ generen a H'.

Como V₁, V₂, V₃, V₄, V₅ no pueden ser linealmente independientes, uno de ellos debe ser combinación de los otros, digamos V₅ (los otros casos son similares)

V₅ = a₁V₁+a₂V₂+a₃V₃+a₄V₄ así que -a₄V₄+V₅= a₁V₁+a₂V₂+a₃V₃

Esto dice que el vector -a₄V₄-a₅V₅ que esta en H, también esta en H' porque es igual a a₁V₁+a₂V₂+a₃V_3. Así que la intersección de H y H' debe contener al plano generado por a₁V₁ y por -a₄V₄-a₅V₅ . □

PROBLEMAS

1. Encuentra un vector de R

4

_{que sea perpendicular a los vectores}

_{(1,1,1,1), (1,1,-1,1) y (0,1,1,-1).}

2. En el hiperplano de R

4

_{generado por los vectores (1,1,1,1) (1,1,-1,1) y (0,1,1,-1), encuentra}

tres vectores que sean perpendiculares entre si.

3. Encuentra la ecuación del hiperplano de R

4

_{que pasa por el punto (1,2,3,4) y esta generado por}

los vectores

(1,1,1,1), (1,1,-1,1) y (0,1,1,-1).

4. Encuentra dos vectores en R

4

que generen al plano 2x=3y=5z.

5. Muestra que para cada plano P en R

4

, el conjunto de vectores de R

4

que son ortogonales a todos

los vectores de P forman otro plano.

Transformaciones lineales e isometrías de R

4

Las transformaciones lineales de R

4

_{están representadas por matrices de 4x4, de modo que para el}

cada vector (x,y,z,w)

T(x,y,z,w) =

M

Así, la matriz que corresponde a la composición T◦S de dos transformaciones lineales es el producto

de las matrices correspondientes a T y a S, y la matriz correspondiente a la inversa de una

transformación T es la inversa de la matriz correspondiente a T.

• Ejemplo. La matriz correspondiente a la transformación lineal

T(x,y,z,w)=(x+2y+3z+4w, 5x+6y+7z+8w,9x+10t+11z+12w, 13x+14y+15z+16w) es 1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Las isometrías de R

4

que fijan el origen son transformaciones lineales que envían los vectores

canónicos (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0) y (0,0,0,1) a vectores ortogonales de norma 1, por lo

tanto están representadas por matrices ortogonales.

Ejemplos.

• La reflexión en el hiperplano xyz (o sea w=0) esta dada por la matriz 1 0 0 0

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 -1

•

La isometría de R4 _{que manda el eje x al y, el y al z, el z al w y el w al x esta dada por la matriz} 0 0 0 1

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0

Entre las isometrías de R

4

_{deben haber rotaciones y reflexiones, y quizás otras mas.}

Las reflexiones son isometrías que fijan las direcciones de un subespacio S e invierten las

direcciones del subespacio ortogonal S

⊥

_{(formado por los vectores de R}

4

_{que son ortogonales a}

todos los vectores en S). Esto define la imagen de todos los vectores de R

4

, ya que todos son

combinaciones lineales de vectores en S y en S

⊥

_.

Así que podemos reflejar a R

4

en cualquier subespacio S (hiperplano, plano, recta o punto),

x

y z w

M-λI =

M-λI = M =

mandando a los vectores de S a si mismos y mandando a los vectores del subespacio ortogonal S

⊥

Las rotaciones en un subespacio son isometrías que preservan la orientación, fijan los puntos del

subespacio y no fijan ninguna otra dirección (excepto si el ángulo es 180°).

Lema.

No hay isometrías de R

4

que dejen invariante una sola dirección

Dem. Si una isometría I deja invariante a una recta entonces debe dejar invariante al hiperplano H ortogonal a la recta, y I actúa en H como una isometría. Pero H tiene la forma de R3 _{y cualquier isometría de R}3 _{deja una} dirección invariante. La dirección invariante en H es otra dirección invariante de I. □

Entonces en R

4

no podemos rotar alrededor de una recta, pero si podemos rotar alrededor de

cualquier plano P, enviando los vectores de P a si mismos y rotando los vectores del plano P

⊥

ortogonal a P.

• Ejemplo. Las matrices de las rotaciones de 90° y 45° alrededor del plano xy son 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -1 0 0 1_/ √2 -1/√2 0 0 1 0 0 0 1_/ √2 1/√2

Podemos entender mejor que hacen las isometrías de R

4

_{viendo cuales son sus direcciones}

invariantes. Estas direcciones corresponden a los vectores propios asociados a los valores propios 1

y -1, que son los únicos posibles para una isometría.

• Ejemplo. ¿A que clase de isometría corresponde esta matriz? 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 Para λ=1 -1 1 0 0

1 -1 0 0 los vectores propios son los (x,y,z,w) tales que x=y y z=w 0 0 -1 1 y estos forman un plano, generado por (1,1,0,0) y.(0,0,1,1). 0 0 1 -1

Para λ=-1

1 1 0 0

1 1 0 0 los vectores propios son los (x,y,z,w) tales que x=-y y z=-w 0 0 1 1 y estos forman otro plano, generado por (1,-1,0,0) y (0,0,1,-1) 0 0 1 1

M =

M-λI =

M-λI =

b. a.

•

Ejemplo. Consideremos la isometría de R4 _{que manda el eje x al y, el y al z, el z al w y el w al x :} 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 Para λ=1 -1 0 0 1

1 -1 0 0 Los vectores propios son los (x,y,z,w) tales que x=y=z=w 0 1 -1 0 estos forman una recta generada por (1,1,1,1)

0 0 1 -1 Para λ=-1

1 0 0 1

1 1 0 0 los vectores propios son los (x,y,z,w) tales que x=-y=z=-w 0 -1 1 0 estos forman una recta generada por (1,-1,1,-1)

1 0 1 1

así que la isometría tiene solo dos direcciones invariantes, en una preserva el sentido y en la otra lo invierte, por lo tanto esta isometría no es una rotación ni una reflexión.

PROBLEMAS

6. Da la matriz de una isometría de R

4

que envíe el vector (1,0,0,0) al vector (

1

/

₂

,

1

/

₂

,

1

/

₂

,

1

/

₂

).

7. ¿Las isometrías dadas por las siguientes matrices son rotaciones, reflexiones u otra cosa?

0 0 0 -1 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 -1 0 -1 0 0 0 1 0 0 0

hint: ve si preservan o no la orientación y encuentra las direcciones invariantes.

8. Encuentra una isometría de R

4

que no deje ninguna dirección invariante.

hint: busca un ejemplo sencillo, tienes que demostrar que sirve!

Hipersuperficies

Asi como en R

3

_{las ecuaciones definen (generalmente) superficies, en R}

4

_{las ecuaciones definen}

(generalmente)

hipersuperficies

, que son análogas a las superficies pero con una dimensión mas.

En particular, las soluciones de ecuaciones de segundo grado

Ax

2

_+By

2

_+Cz

2

_+Dw

2

_{+Exy+Fxz+Gxw+Hyz+Iyw+Jzw+Kx+Ly+Mz+Nw=O}

determinan hipersuperficies análogas a las cuádricas de R

3

(pero con una dimensión mas) llamadas

a veces hipercuadricas y a veces simplemente cuádricas.

Ejemplos.

•

Las ecuaciones lineales Ax+By+Cz+Dw=E corresponden a hiperplanos.

•

Las ecuaciones x

2

+y

2

+z

2

+w

2

=R corresponden a

hiperesferas

si R>0 (o un punto si R=0 y el

vacío si R<0).

•

La hipersuperficie representada por la ecuación x

2

+2y

2

+3z

2

+4w

2

=5 tiene la forma de una

hiperesfera estirada.

•

La ecuaciones x

2

_+y

2

_+z

2

_-w

2

_{=1 x}

2

_+y

2

_-z

2

_-w

2

_{=1 x}

2

_-y

2

_-z

2

_-w

2

_{=1 dan hipercuádricas analogas}

a los hiperboloides.

No podemos “ver” las hipersuperficies, pero podemos tratar de imaginarlas viendo las rebanadas

que se obtienen al intersectarlas con planos o hiperplanos.

Lema.

Al intersectar una hipercuádrica con cualquier plano se obtiene una cónica, y al intersectarla

con cualquier hiperplano se obtiene una cuádrica.

Dem. La hipercuádrica es el conjunto de soluciones de una ecuación cuadrática, de la forma Ax2_+By2_+Cz2_+Dw2_{+Exy+Fxz+Gxw+Hyz+Iyw+Jzw+Kx+Ly+Mz+Nw=O (1)}

Si parametrizemos al plano como P+sU+tV, donde P es un punto y U y V son vectores unitarios y ortogonales, entonces la función P+sU+tV → (s,t) manda el plano a R2 sin cambiar su forma. Si P=(a₁,a₂,a₃,a₄),

U=(b₁,b₂,b₃,b₄) y V=(c₁,c₂,c₃,c₄), entonces los puntos del plano tienen coordenadas x=a₁+sb₁+tc₁ y=a₂+sb₂+tc₂ z=a₃+sb₃+tc₃ w=a₄+sb₄+tc₄

al reemplazar estos valores de x,y,z,w en la ecuación cuadrática (1), se obtiene una ecuación cuadrática en s y t, que da la ecuación de los puntos de la hipercuádrica en el plano, y ya sabemos que las ecuaciones cuadráticas en R2 _{corresponden a cónicas.}

Para ver la intersección de la hipercuádrica con el hiperplano, parametrizamos al hiperplano como

P+sU+tV+rW, donde U,V,W son vectores unitarios y ortogonales. Las coordenadas x,y,z,w de los puntos del hiperplano son funciones lineales de s,t,r, al reemplazar los valores de x,y,z,w en la ecuación (1) por estas funciones se obtiene una ecuación cuadrática en s,t y r, que da la ecuación de los puntos de la hipercuádrica en el hiperplano y ya sabemos que todas las ecuaciones cuadráticas en R3 _{corresponden a cuadricas. □}

Ejemplos.

• Las intersecciones de la hipercuadrica x2_+2y2_+3z2_+4w2_{=5 con planos son elipses, las intersecciones} con hiperplanos son elipsoides.

• La ecuación x2_+y2_+z2_-w2_{=1 corresponde a una hipercuádrica cuyos cortes con los hiperplanos w=c} son esferas, los cortes con los hiperplanos x=c son hiperboloides de 1 hoja si c<1 y de dos hojas si c>1, y un cono si c=1.

Corolario.

Todos los cortes de las hipercuadricas tienen simetrias

Dem. Todas las conicas tienen al menos 1 simetria y las cuadricas tienen al menos 2 simetrias. □

Corolario.

Las hipercuadrica no pueden tener mas de dos hojas.

Dem. Si hubiera una hipercuadrica con 3 o mas hojas podriamos tomar un punto en cada una y considerar el plano que pasa por 3 de ellos. La interseccion de la hipercuadrica con el plano tendria que tener al menos 3 hojas, pero la interseccion es una conica, que no puede tener mas de 2. □

Las ecuaciones homogéneas de segundo grado como

Ax

2

_+By

2

_+Cz

2

_+Dw

2

_{+Exy+Fxz+Gxw+Hyz+Iyw+Jzw=O}

pueden escribirse usando matrices simétricas de 4x4:

A E/₂ F_/2 G_/2 x E_/ 2 B H/2 I/2 y F_/ 2 H/2 C J/2 z G_/ 2 I/2 J/2 D w

Se puede mostrar que cada matriz simétrica de 4x4 tiene 4 vectores propios ortogonales, y

haciendo el cambio de coordenadas para que los ejes queden en las direcciones de estos vectores,

la matriz se convierte en una matriz diagonal cuyas entradas son los valores propios.

λ₁ 0 0 0 x' 0 λ₂ 0 0 y' 0 0 λ₃ 0 z' 0 0 0 λ₄ w'

Así que la ecuación cuadrática (2) se convierte en una ecuación sin términos cruzados:

λ

₁

x'

2

_+λ

₂

_y'

2

_+λ

₃

_z'

2

_+λ

₄

_w'

2

_{= K}

Ahora basta saber como son las soluciones de este tipo de ecuaciones para saber la forma de las

soluciones de todas las ecuaciones cuadráticas homogéneas en R

4

_{. Haciendo un estiramiento}

adecuado podemos lograr que los coeficientes se hagan iguales a 1, 0 o -1, así que salvo

estiramientos, las soluciones de todas esas ecuaciones cuadráticas tienen la forma de las

soluciones de las ecuaciones con coeficientes 1,0 o -1, como

x

2

_+y

2

_+z

2

_+w

2

_{= 1, x}

2

_+y

2

_+z

2

_{- w}

2

_{= 1 x}

2

_+y

2

_-z

2

_-w

2

_{= 0 x}

2

_-y

2

_-z

2

_{= 1 etc.}

En particular, todas estas hipercuadricas tienen varias simetrias.

x y z w

= K

(3)

PROBLEMAS

10. ¿Que forma tiene el conjunto de puntos de R

4

_{cuya distancia al punto (0,0,0,4) es el triple de}

su distancia al punto (0,0,0,0)? (encuentra su ecuación y di a que hipersuperficie corresponde)

11. Muestra que la hipersuperficie definida por la ecuación x

2

_+y

2

_-z

2

_-w

2

_{=1 no cambia al rotarla}

por cualquier ángulo alrededor del plano xy o del plano wz.

12. ¿Puedes mostrar que las 4 hipersuperficies

x

2

_+y

2

_+z

2

_+w

2

₌₁

_x

2

_+y

2

_+z

2

_-w

2

₌₁

_x

2

_+y

2

_-z

2

_-w

2

₌₁

_x

2

_-y

2

_-z

2

_-w

2

₌₁

tienen realmente formas distintas?

(Hay que mostrar que no hay ninguna isometría de R4 _{que lleve una a} la otra, para esto puedes usar que al cambiar coordenadas los valores propios de una matriz no cambian)