1. Diseño Óptimo en Variables de Estado 1

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 1 1.

Diseño Óptimo en Variables de Estado

1. Diseño Óptimo en Variables de Estado __________________________________ 1

1.1. Planteo del Problema ________________________________________________________________________________________________________ 2

1.1.1. Criterio ____________________________________________________________________________________________________________________________ 3

1.2. Regulador Lineal Óptimo (LQC) ______________________________________________________________________________________________ 5 1.3. Ecuación de Ricatti __________________________________________________________________________________________________________ 9 1.4. Valor Medio de una Forma Cuadrática ________________________________________________________________________________________ 10 1.5. Información Completa del Estado _____________________________________________________________________________________________ 11

1.5.1. Propiedades del LQR ________________________________________________________________________________________________________________ 14 1.5.2. Margen de Ganancia ________________________________________________________________________________________________________________ 18

1.6. Filtro de Kalman ___________________________________________________________________________________________________________ 22

1.6.1. Problema de Filtrado ________________________________________________________________________________________________________________ 27 1.6.2. Análisis Frecuencial _________________________________________________________________________________________________________________ 31

1.7. Regulador Lineal Óptimo Estocástico (LQG) ___________________________________________________________________________________ 35 1.8. RLO + FK ________________________________________________________________________________________________________________ 37 1.9. Ejemplos de Control Óptimo en Variables de Estado _____________________________________________________________________________ 40

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 2 1.1. Planteo del Problema

Proceso 1 k k k k k k k u v y e       x Φx Γ Cx [1.1]

con e y v ruido blanco con

 

 

 

T k k v T k k ve T k k e E v v R E v e R E e e R   

 

 

 

1 12 2 T k k T k k T k k E v v R E v e R E e e R    [1.2]

El estado inicial x₀ tiene distribución gaussiana con

 

 

0 0 0 0 cov x x E x m x R   [1.3]

las matrices R_x0, R_v y R_e son definidas positivas. Se supone que el sistema es controlable y observable

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 3 1.1.1. Criterio

Se intentará encontrar una ley de control tal que minimice el funcional

 

1 0 0 , N k T T T k k N N k k J x u E u Q u    _{ }     _{    }  _   



 x x Q x x [1.4] con x xu T xu Qu        Q Q Q Q 1 12 12 2 T Q        Q Q Q Q [1.5]

las matrices Q₀, Q₂ y Q_x son definidas positivas.

En lo sucesivo se utilizará con frecuencia la minimización con respecto a u, de un fun-cional de la forma

 

, _kT _kT _Tx xu k xu u k Q Q x J x u x u Q Q u        _{    }     [1.6]

Es posible encontrar una matriz L tal que T

u xu

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 4

 

,  _ _   _{  }  _ _ _{ }         T T x xu k k T T T T x u k k T k k xu u k u u k Q Q x Q L Q x J x u x u x u Q Q u Q L Q u [1.8]

 

,  T _x  T _u  T T _uT  T _u J x u x Q x u Q Lx x L Q u u Q u [1.9] Completando cuadrados,

 

,  T _x  _ T _u  T _u  T T _uT  T T _{u }  T T _u J x u x Q x u Q u u Q Lx x L Q u x L Q Lx x L Q Lx [1.10]

 

,  _kT _ _x  T _{u } _k 



_k  _k



T _u



_k  _k



J x u x Q L Q L x u Lx Q u Lx [1.11]

se observa que el mínimo ocurre cuando

k k u  Lx [1.12] y el funcional es

 

min , T T k x u k J x u  x _Q  L Q L x_ [1.13]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 5 1.2. Regulador Lineal Óptimo (LQC)

Teorema 1. Regulador Lineal Óptimo Determinístico

Sea el sistema 1 k k k k k u y      _  x Φx Γ Cx [1.14] definiendo





 

1



1 1 1 12 1 2 1 12 T T T T T k k k k k S   S _  Q   S _  Q  S _  Q   S _  Q [1.15]

con S_N  Q₀, y TS_k1 Q₂ semidefinidas positivas Entonces, existe una ley única de control

k k k u  L x [1.16] con



 

1



1 2 1 12 T T T k k k L   S _  Q   S _  Q [1.17] que minimiza

 

0 1



1 2



0 , N T T T N N k k k k k J x u x Q x x Q x u Q u    



 [1.18]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 6

El mínimo del funcional es

min 0 0 0 T

J  x S x [1.19]

Demostración

Se utiliza el concepto de programación dinámica o Principio de Bellman que dice que el punto final de una trayectoria óptima es óptimo.

Se introduce

 





1 1 1 2 1 , min k N N T T T k N i i i i N N u u i k J x u x Q x u Q u x Q x       _   _ 



 [1.20]

 





1 2 1 1 2 1 , min min N k N N T T T k N i i i i N N u u u i k J x u x Q x u Q u x Q x         _{ }   _   



 [1.21]

se supone que llegó en forma óptima hasta N-2 y que solo se debe minimizar con respecto au_N1

 













  1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 , , min N N N N T T T T k N i i i i N N N N u i k i k J x u J x u x Q x u Q u u Q u x Q x         







  [1.22]

 













1 1 , min 1 2 1 1 1 1 1 1 N T T N N N N N N N u J x u u Q u x u Q x u                 [1.23]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 7

 

_

_

1 1 1 1 2 1 1 , 2 2 0 N T N N N N J x u Q x u Q u u               [1.24]





1 1 1 2 1 1 1 1 T T N N N N u _    Q  Q   Q x _  L _ x _ [1.25] el costo será







 













 







1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 T T N N N N N N N N N N N T T T N N N N N N T N N N J x L x Q x L x L x Q L x x L Q L L Q L x x S x                                _        _  [1.26]

 





















1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 , N N T T T k N i i i i N N N i k i k N N T T T i i i i N N N i k i k J x u x Q x u Q u x S x x Q x u Q u x S Q x                     









[1.27]

el óptimo se deberá calcular con respecto a u_N2

 













2 2 2 1 2 1 1 1 1 , min N N N T T T k N i i i i N N N u i k i k J x u x Q x u Q u x S Q x            _    _ 





 [1.28]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 8

























2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 N N N T T N N N T T T N N N N N u L x L S Q Q S Q S S Q L S Q Q L                                [1.29]



 

1



1 1 1 2 12 1 T T T N N N N N N u _  L _ x _   S  Q   S  Q x _ [1.30] resultando el mínimo 1 1 1 1 T N N N N J _  x _ S _ x _ [1.31]

la que es cuadrática en el estado y





1 1 1 2 1

T T T

N N N N N

S _   S  Q  L _  S  Q L _ [1.32]

continúa para otros instantes. Se puede escribir





1





T _T k k k k k k I S L S L I L Q L              _  _{  }    [1.33] que es cuadrática. 

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 9 1.3. Ecuación de Ricatti la ecuación





 

1



1 1 1 12 1 2 1 12 T T T T T k k k k k S   S _  Q   S _  Q  S _  Q   S _  Q [1.34]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 10 1.4. Valor Medio de una Forma Cuadrática

Se desea calcular la esperanza de



T



E x Sx [1.35]

con xgaussiana, con media m y covarianza R

El escalar

 





 







 

 





 







T T T T T T _T E x Sx E x m S x m E m Sx E x Sm E m Sm E x m S x m m Sm           [1.36] además



 











 

























 

T T T T E x m S x m E tr x m S x m E tr S x m x m tr SE x m x m tr SR        _   _  _   _    _   _  [1.37] entonces



T



T

 

E x Sx  m Sm tr SR [1.38]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 11 1.5. Información Completa del Estado

Asumiendo que v_k  0 Se sabe que

























1 1 2 12 0 0 1 0 0 0 1 2 0 2 N T T T T k k k k k k N N k N T T T k k k k k k k k J E x Q x u Q u x Q u x Q x E x S x E u L x S Q u L x         _    _       _      _  





[1.39]

como S es semidefinida positiva, el segundo término es no negativo. Además, S es inde-pendiente de u.



0 0 0



0 0 0



0 0



T T

J  E x S x  m S m  tr S R [1.40]

Ahora, se supone v_k  0 pero independiente de u y x.





















1 1 0 0 0 1 1 2 0 0 N N T T T T k k k k k k k k k k k k J E x S x v S v u L x S Q u L x          _        _ 





 [1.41] usando lo anterior

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 12





1





0 0 0 0 0 1 1 0 N T con ruido k k J m S m tr S R tr S R      



[1.42]

al tener ruido aumenta el costo.

Si el ruido se puede medir, la ley de control resulta: k k k v k k

u  L x  L v [1.43]

en este caso el costo será





1





1









0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 0 0 N N T T T con ruido k v k v k k k k J m S m tr S R tr S R tr L R L S Q         







   [1.44]

es menor que el anterior ya que se está compensando el ruido.

El regulador, así diseñado, es variante en el tiempo, pero no depende del estado, por lo que se puede precalcular.

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 13 Ejemplo 1.1. Control LQ del Doble Integrador

Sea el sistema ---falta---... n las matrices 1 2 1 0 0 0 Q  _ _ Q     [1.45] ---FALTA---

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 14 1.5.1. Propiedades del LQR

Teorema 2. Estabilidad a lazo cerrado

El sistema

1

k k k

x _    x u [1.46]

con la ley de control



 

1



2 12

T T T

k k k

u  Lx   Q   S    S Q x [1.47]

es asintóticamente estable con





1

k k

x _    L x [1.48]

Demostración

Sea S definida positiva y solución de

 

T

k k k

V x  x Sx [1.49]

es una función de Lyapunov. Es definida positiva y

 

1 1



 



T T T T T k k k k k k k k k V x x _ Sx _ x Sx x L S L x x Sx            [1.50]

 

_T



 

T



k k k V x  L S L S    x _        _x [1.51]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 15

 

_T



 

T



_{T T T T T} k k k V    x  x _ Φ I S Φ I  Φ SΓL L Γ SΦ L Γ SΓL x  _ [1.52]

 

1 12 21 2 T T T k k k V    x  x _Q Q L L Q  L Q L x_ [1.53]

 

T T k k k I V x x I L Q x L        _  _{ }    [1.54] es definida negativa.

Entonces el sistema en lazo cerrado es estable.



Los polos en lazo cerrado se obtienen de





0

det I     L [1.55]

Se puede demostrar que estas raíces corresponden a las n raíces estables del si-guiente determinante: 1 12 12 2 0 0 0 det 0 0 0 0 0 0 T T T I I Q Q Q Q     _{   } _{    } _ _{   } _{   }   [1.56]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 16 - Caso SISO En este caso 1 2 12 0 T Q  C C Q   Q  [1.57]

las n raíces son las raíces estables de la ecuación

 

1

 

0 G z G z  _  _ [1.58] con

 





1 G z C zI     [1.59]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 17 Ejemplo 1.2. RLO del Doble Integrador

---simular---

Se demostró que los polos están dentro del círculo unidad.

Se pueden ubicar dentro de un círculo de radio menor haciendo la transformación:

r r

 

    [1.60]

con r 1 y resolver el problema RLO del sistema 1

k k k

x x u

r r

     [1.61]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 18 1.5.2. Margen de Ganancia

Se puede calcular el margen de ganancia. La función de transferencia en lazo abierto es:

 





1

G z C zI     [1.62]

suponiendo que solo se penaliza entrada y salida,

1 2 12 0 T Q  C C Q   Q  [1.63] El controlador es 1 1 2 T T T T S S Q L RL L R S R S Q              [1.64]

Esta ecuación de Ricatti se reescribe

















1 1 1 T T T T Q z I S zI z I S S zI L RL                 [1.65]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 19

 

 

























































 







 



1 1 1 2 2 1 ₁ 2 1 1 1 ₁ 1 1 1 ₁ 1 1 1 1 T T T T T _T T T _T T T T T T T T T Q G z G z Q z I C C zI S S zI z I S Q z I L RL zI R RL zI z I L R z I L RL zI I L z I R I L zI I G z R I G z  _     _  _    _  _   _             _{       }        _{    }                                [1.66] siendo

 





1 1 G z  L zI     [1.67]

Esta ecuación da una factorización espectral Q₂ GT

 

z1 G z

 

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 20

 





1 B z

 

_{ }

G z C zI A z       [1.68] y en lazo cerrado

 









1

 

_{ }

c B z H z C zI L P z         [1.69]

Los ceros se mantienen en lazo cerrado. Si se escribe la función de lazo cerrado

 

 

 

   

_{ }

 

 

1 c B z A z B z H z B z P z R z A z    [1.70] se deduce

 

 

1

   

 

1





1 P z B z R z L zI A z A z         [1.71]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 21

 

 

_{ }

 

1 P z A z G z A z   [1.72]

Si se reemplaza el controlador por

 

1

k k

u  G z x [1.73]

el denominador de lazo cerrado resulta

 

 

1 1

 

P z

G z

A z    [1.74]

Se puede analizar estabilidad usando

 



 

 



0

A z   P z  A z  [1.75]

se puede calcular el root locus o el diagrama de Nyquist.

El RLO discreto tiene margen de ganancia finita. El continuo tiene margen de ganancia infinita.

En el caso escalar, la ecuación [1.66] resulta

 

1

 

 

1

 



T

  

1

 

A z A z B z B z S P z P z

  _  _{   }  

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 22 1.6. Filtro de Kalman sea el sistema 1 k k k k k k k x x u v y Cx e         [1.77]

Se postula el estimador a un paso





1/ / 1 / 1 ˆ_{k k} ˆ_{k k k k k} ˆ_{k k} x _  x _   u K y Cx _ [1.78] el error de estimación es













1 ˆ / 1 k k k k k k k k k k k k k k k k x x v K y Cx K C x v K e v I K x e C                    _{ }  _{ }       [1.79]

Ahora se elige K para minimizar la varianza del error de estimación. Esta se nota

 







 





T



k k k k k P  E x E x x E x [1.80]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 23 el valor medio se obtiene de [1.79]

  

k 1 k

  

k

E x _   K C E x [1.81]

 

0 0

E x  m [1.82]

se puede reescribir [1.80] teniendo en cuenta [1.79]

 







 















1 12 1 1 1 1 1 12 2 1 12 12 2 T T k k k k k k k T T k T T k k k T T T T k k k I R R P E x E x x E x I K P K R R C C I P R P C R I K K CP R CP C R      _{      }_{ }      _{   }  _{   }                      _{   }     _{ }   [1.83] se fija 0 0 P  R [1.84] k P es semidefinida positiva

Se minimiza igual que el control, es la misma ecuación que [1.8]. La cantidad P se minimiza para K

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 24

K_k



R₂ CP C_k T



 P C_k T  R₁₂ [1.85]

Si R₂ CP C_k Tes definida positiva resulta







1 12 2 T T k k k K  P C  R R CP C  [1.86] reemplazando en [1.83]





 

1



1 1 12 2 12 0 0 T T T T T k k k k k P P R P C R CP C R CP R P R              [1.87]

El filtro de Kalman resulta















 



1 / 1 1 12 2 1 1 1 12 2 12 0 0 ˆ_k ˆ_{k k k k} ˆ_{k k} T T k k k T T T T T k k k k k x x u K y Cx K P C R R CP C P P R P C R CP C R CP R P R                                   [1.88]

Nota 1: este desarrollo es óptimo para perturbaciones Gaussianas.

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 25 El término R₁ muestra la influencia de v.

Los últimos términos indican cómo la varianza decae debido a las mediciones ante-riores.

k

P no depende de las mediciones. Se puede precalcular y almacenar en memoria. Nota 3: El filtro de Kalman puede ser interpretado como la media condicionada del esta-do en el instante k+1 daesta-do Y_k















1/ 1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ k k k k T k k k k k k x E x Y P E x x x x Y            [1.89]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 26 Ejemplo 1.3. Sistema de Primer Orden

1 k k k k k x x y x e     [1.90]





1 1 1 ˆ_{k k} ˆ_{k k k k} ˆ_{k k} x _  x _  K y  x _ [1.91] 2 1 2 2 k k k k k k P P K P P P         [1.92]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 27 1.6.1. Problema de Filtrado

El caso anterior es el de predicción. El caso de filtrado es













1 1 1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ f k k k k k k k k v k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x K y Cx v K y Cx x x u v x u K y Cx                       [1.93] donde















1 2 1 1 1 12 1 2 1 12 2 1 1 T T f k k k k k T v k k k k f k v k T T T k k k k K P C CP C R K R CP C R K K K P C R CP C R                    [1.94]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 28 la varianza se calcula según la ecuación de Ricatti









1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 0 0 1 T T T k k k k k k k k T T k k k k k k k k k k P P R K CP C R K P P P C CP C R CP P R                    [1.95]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 29 Ejemplo 1.4. Filtrado y Predicción

Sea

1 1

k k k k

y ay _  e ce _ [1.96]

una representación de estados es





1 k k k k k k x ax e y c a x e        [1.97] en este caso R₁  R₂  R₁₂  2

El filtro de Kalman en estado estacionario está dado por

























1 / 1 2 2 ₂ 2 2 2 2 2 ₂ ˆ_k ˆ_{k k} ˆ_{k k} x ax K y x aP c a K c a P aP c a P a P c a P           _{   }              _{  }  _{ }  [1.98]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 30 la solución es P  0y K 1

la predicción un paso adelante es





1 1 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ k k k k k k k k k k x ax y c a x cx y             [1.99]

La predicción un paso adelante es





1 1 1 ˆ ˆ 1 k k k k k c a y c a x y cq         [1.100]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 31 1.6.2. Análisis Frecuencial

Sea el sistema a observar 1 1 1 k k k k k k x x v y C x n       [1.101] con n 2 1 2 k k k k k k n C z e z _ z w      [1.102]

e,v y w son secuencias incorreladas.

El estado estacionario del Filtro de Kalman es





1 1 1 1 2 1 2 2 ˆ 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 0 ˆ k k k k k k k x x K y C x C z z z K                  _             [1.103] o 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ k k k k k x K C K C x K y z K C K C z K        _    _     _{  }             [1.104]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 32

 





1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 0 zI K C K C K G z I K C zI K C K          _{   }        [1.105]

Se puede hacer un bode para ver qué frecuencias atenúa. >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 33 Teorema 3. Ceros

Los ceros de la ecuación

 





1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 0 zI K C K C K G z I K C zI K C K          _{   }        [1.106] se encuentran en



2



det zI    0 [1.107] - Demostración

Un cero significa que existe un número complejo c tal que una entrada de la forma 0

k

c y da una salida nula. Para el sistema 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ k k k k k x K C K C x K y z K C K C z K                  _{  }             [1.108]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 34 0 0 ˆ ˆ k k k y y z z z              [1.109] tal que



2 2 12



2 00 21 00 ˆ 0 ˆ 0 K C z K y zI K C z K y         [1.110] la solución es 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 1 1 2 ˆ 0 ˆ 0 0 z z zI K C K zI K I y y K C K K C I     _{ }    _{ }              _   _  _          [1.111]

la única solución distinta de cero es aquella en la que z es autovalor de ₂

qd Los ceros del Filtro de Kalman coinciden con los polos del modelo del ruido.

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 35 1.7. Regulador Lineal Óptimo Estocástico (LQG)

Teorema 4. de la Separación Sea el sistema 1 1 1 k k k k k k k x x u v y C x e         _{ }  [1.112]

Existe una única ley de control 1

ˆ k k k k

u  L x _ [1.113]

que minimiza la función de costo

 

1 0 0 , N k T T T k k N N k k x J x u E x u Q x Q x u    _{ }     _{    } _   



 [1.114]

El mínimo valor de la función de costo es

 

1





1

 





0 0 0 0 0 1 1 1 2 0 0 N N T T T k k k k k k k J m S m tr S R tr S R tr P L S Q L         







   [1.115]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 36 se prueba igual que el anterior

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 37 1.8. RLO + FK Sistema a controlar 1 1 1 k k k k k k k x x u v y C x e         _{ }  [1.116]

con e y v ruido blanco con

 

 

 

1 12 2 T k k T k k T k k E v v R E v e R E e e R    [1.117]

El estado inicial x₀ tiene distribución gaussiana con

 

 

0 0 0 0 cov E x m x R   [1.118]

las matrices R₀, R₁ y R₂ son definidas positivas.

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 38 Existe una única ley de control

1 ˆ k k k k

u  L x _ [1.119]

que minimiza la función de costo

 

1 0 0 , N k T T T k k N N k k x J x u E x u Q x Q x u    _{ }     _{    } _   



 [1.120] Con 1 12 12 2 T Q Q Q Q Q        [1.121]

las matrices Q₀, Q₂ y Q₁ son definidas positivas.



 

1



1 2 1 12 T T T k k k L   S _  Q   S _  Q [1.122]





 

1



1 1 1 12 1 2 1 12 T T T T T k k k k k S   S _  Q   S _  Q  S _  Q   S _  Q [1.123]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 39 Si no se miden los estados (o las mediciones son muy ruidosas)

El filtro de Kalman resulta















 



1 / 1 1 12 2 1 1 1 12 2 12 0 0 ˆ_k ˆ_{k k k k} ˆ_{k k} T T k k k T T T T T k k k k k x x u K y Cx K P C R R CP C P P R P C R CP C R CP R P R                                   [1.124]

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 40 1.9. Ejemplos de Control Óptimo en Variables de Estado

Ejemplo 1.5.

Un modelo usado para describir el funcionamiento de un servidor de Web (páginas por segundo) es el siguiente: 1 0,9 k k k k k k k y u e x x _ x v     

donde y representa las páginas por segundo, u la cantidad de recursos destinados en la transacción y e es ruido blanco con varianza unitaria. x representa una carga en la red genera-da por un ruido blanco v con varianza 0,1.

a) Calcular la estimación de la carga con un filtro de Kalman con ganancia estacionaria. b) Describir el sistema aumentado en donde v es un nuevo estado.









1

ˆ_k ˆ_{k k} ˆ_k ˆ_{k k} ˆ_{k k}

x _   x K y  y   x K y Cx u c) Se usa una ley de control de la forma

ˆ

k k ref

u  Lx  y

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 41 Sol: El estado se escribe 1 0,9 k k k k k k k x x v y u e x       El filtro de Kalman es





1 ˆ_k 0,9ˆ_{k k} ˆ_{k k} x _  x  K y  x u















 



1 1 1 12 2 1 1 1 12 2 12 ˆ_k ˆ_{k k k} ˆ_k T T k k k T T T T T k k k k k x x K y Cx K P C R R CP C P P R P C R R CP C CP R       _{   }   _{   }              

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 42











1 1 2 2 2 ˆ 0,9ˆ ˆ 0,9 0,9 1 1 0,9 0,9 0,1 1 k k k k k x x K y x u P K P P P P P P P           _{  }  _       _  0,1938 0, 2744 K  P 

Se elige L 1 para eliminar la perturbación Ejemplo 1.6. (2 puntos)

Estás tratando de diseñar un RLOE (Reg. Lineal Óptimo + Filtro de Kalman) en el pro-ceso cuyo modelo es





1 0 1 0 0 0,9 1,8 1 1 1 0 k k k k k k k x x u v y x e         _{ }  _{ }  _{ }         

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 43 con v y e ruidos blancos con varianzas R₁y R₂respectivamente. Se intenta diseñar el con-trol para minimizar, en estado estacionario, el funcional

1 2

T T

J  E x Q x_ u Q u_

Las propiedades del ruido que realmente afecta al proceso son desconocidas. Entonces se usaR₁y R₂ para ajustar el controlador junto a Q₁y Q₂. Has hecho cuatro intentos de ajuste con las siguientes consideraciones:

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1. ; 0,1; 1; 1 2. ; 5,0; 1; 1 3. ; 0,1; 1; 50 4. ; 5,0; 1; 50 T T T T Q C C Q R R Q C C Q R R Q C C Q R R Q C C Q R R                

Los resultados obtenidos son los de las gráficas siguientes. ¿Cuál conjunto de parámetros (1-4) corresponde a cuál grupo de gráficas (A-D)? Justificar

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 45 Sol:

A-4, B-1, C-2, D-3

B y C tienen una estimación del estado más rápida y más ruidosa, comparadas con A y D.

Por lo tanto B y C tienen R₂ 1 y A y D tienenR₂  50

Para distinguir B de C y A de D podemos mirar la acción de control. La acción de con-trol más alta corresponde a Q₂  0,1 es decir B y D.

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 46 Ejemplo 1.7. (2 puntos)

Un ingeniero en automatización diseñó tres variantes del RLO para el siguiente sistema:





1 1,5 1 1 0, 75 0 0,5 1 0 k k k k k x x u y x       _{ }  _{ }       

con la función de costo 2 0 T T k k k k J x C Cx u   





los tres casos fueron para  0,1 1 10

El ingeniero realizó el ensayo al escalón de los tres casos, con salida y actuación y la ubicación de los polos y ceros. Pero mezcló los resultados. Ayudarlo a ordenar los resultados que se muestran en la figura siguiente:

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 48 Los ceros en lazo abierto se representan con (o), los polos en lazo abierto con (x) y los polos en lazo cerrado con (*)

Sol: 0,1 1 1 3 10 2 B II C I A III      

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 49 Ejemplo 1.8. Calcular un RLO estocástico

1 0,8 0,5 k k k k k k k x x u v y x e       con e y v independientes y E v

 

2  0,36 E e

 

2 1.

a) calcular la realimentación L resolviendo Ricati para Q₁ 1 Q₂  0,1 Q₁₂  0

b) Calcular el predictor a un paso xˆ_k1/kque minimiza la varianza del error de predicción ˆ

x  x xen estado estacionario.

c) Calcular la función de transferencia del controlador usando la observación de b) y la realimentación de a).

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 50 Sol: La ganancia es



 

1



2 12 0, 4 0,1 0, 25 T T T S L Q S S Q S          

donde S es la solución de la ecuación de Ricatti





 

1



1 12 2 12 T T T T T S    S Q    S Q Q   S    S Q La solución estable es 1,19 1, 2 S  L  el predictor es





1 ˆ_k ˆ_{k k k} ˆ_k x _     x u K y Cx donde







1 12 2 T T K  PC  R R CPC  y





 

1



1 12 2 12 T T T T T P    P R  PC  R R CPC  CP  R

Clase 10 Diseño Óptimo Variables de Estado.doc 51 resultando

0,6 0,3

P  K 

en la teoría de realimentación con observadores se vio que la función de transferencia del controlador es

 





1 0,36 0,1 lc M q L qI L KC K q           