Trabajo Práctico N°1: MATRICES
Ejercicio 1: Determine:
a) La matriz genérica A= de orden 3x3 tal que, = 1, 2, 3 y = 1, 2, 3 b) La matriz genérica de orden 3x3, tal que: = .
c) De un ejemplo para las matrices A y .
d) La matriz B= , donde: = 0, para todo, = 1, 2, 3 y para todo j = 1, 2, 3. .e) La matriz C= , donde: ≠ ⇒ = ⇒ = 0 = 1
Opcional:
f) La matriz D= , donde: ≠ ⇒ = ⇒ = += 0 g) La matriz E= , donde: ≥ ⇒ < ⇒ = 2 + = 0 h) Para la matriz anterior calcula: ∑ , si =
i) Clasifique las matrices de los incisos b, d, e, f, g, e identifica la operación matricial utilizada en el inciso h. Ejercicio 2: Sean: A= 2 1 B= !"# 0 "$ 0 "$ "% " $ "% "#&' ' ' ( C=)−1 21 1 −23 2 −3 3 + D= 1 3 2 2 1 3 E=,0 3√3 2√3. F=) 2 1 1 3 0 2+
I) Encuentre las matrices que se obtienen efectuando las siguientes operaciones o dar las razones por las que no están definidas.
a) 2 b) −2 c) 2/$ d) 30$ e) 3 + 21 f) 32 + 20 g) 44 ∙"61 h) 2 ∙ 2 i) (4 + /) j) (4 ∙ /) k) / ∙ 4
II) Grafique en los ejes de coordenadas x-y a la matriz A considerada como vector geométrico y grafique los incisos a y b. Describe lo observado.
Ejercicio 3: Sea la matriz A= 1 0
0 −1 y sean los vectores geométricos 9" = 10 9$ = 01 y
96 = 11 .
a) Pre multiplique a los vectores 9", 9$ y 96 por la matriz A.
b) Represente gráficamente los vectores 9", 9$ y 96 y los vectores obtenidos en el inciso anterior.
c) Observe y describa el efecto geométrico que produce pre multiplicar a los vectores por la matriz A.
Opcional:
d) Pre multiplique a los vectores 9", 9$ y 96 por las matrices B= 1 0
0 1 , C= −1 00 1 , D= −1 0 0 −1 , E= 2 00 1 , F=: " $ 0 0 1;.
e) Represente gráficamente los vectores obtenidos en el inciso anterior, en ejes de coordenadas x-y distintos para cada matriz.
f) Observe y describa el efecto geométrico que produce pre multiplicar a los vectores 9",
9$ y 96 por las matrices B, C, D, E, F.
Ejercicio 4: Indique cuáles de las siguientes matrices son elementales. Justifique la respuesta en cada caso.
A= 0 1 1 0 , B= 2 00 1 , C= 1 30 1 , D= 0 21 0 , E= 1 0 00 2 0 , F=) 1 0 0 0 0 1 0 1 0+, G=) 8 0 0 0 2 0 0 0 1+
Ejercicio 5: ¿Qué le sucede a una matriz A de 3 x 3 si?:
a) Se pre multiplica por 1" = )
2 0 0 0 1 0
0 0 1+ c) Se pre multiplica por 1$ = )
1 2 0 0 1 0
0 0 1+
b) Se pos multiplica por 1".
Ejercicio 6: Determine cuáles de las siguientes matrices están en la forma escalonada por filas; escalonada por filas reducida; o ninguna de ellas. Justifique.
= = 1 2 0 0 3 40 1 0 0 0 0 0 00 0 > 4 = = 1 3 0 1 2 12 1 0 0 0 0 0 10 1 > C= ) 1 0 0 0 1 0 0 0 2+ D=: 1 0 0 2 0 0 10 0 31 1; E=: 0 0 0 0 00;
Ejercicio 7: Determine el rango de las siguientes matrices e indique cuáles de ellas son inversibles. A=) 1 2 3 2 5 3 1 0 8+ B=) 1 2 2 1 2 3 2 4 3+ C= 1 3 2 2 0 1 D= 0 0 00 0 0
Ejercicio 8: Calcule, de ser posible, las inversas de las siguientes matrices.
A= 1 2 3 4 B=) 1 2 3 0 0 1 1 2 2+ C=) 1 2 2 3 2 2 2 1 0+ D= 1 0 3 0 3 2 E== 1 0 0 2 0 2 0 0 0 0 20 0 11 0 > Ejercicio 9:
a) Exprese el siguiente enunciado en símbolos:
Si A y B son matrices invertibles de orden n, entonces la inversa del producto de A por B es el producto de la inversa de B por la inversa de A.
b) Demuestre lo enunciado en el item a.
Ejercicio 10: Dada la matriz = de orden 2x2 donde a, b, c y d son números reales.
a. Verifique que se cumple:
i. ( ) =
ii. ( ) = ( ) ∈ ℝ
b. Obtenga la matriz genérica que verifica:
i. $ = B (siendo B la matriz identidad de orden 2x2)
ii. $ = 0 0
0 0 (considere a distinta de la matriz nula de orden 2x2.
iii. Dé para cada caso del inciso b un ejemplo de matriz A de orden 2x2. Ejercicio 11: Dada la Matriz = 3 1
5 2
c. Determine: i. (3 )C" ii. ( $)C"
iii. (( ) )C"
Ejercicio 12: Complete justificando la respuesta.
a) Sea la ecuación matricial AX-2C=3C. Donde A y C son matrices del mismo orden e inversibles, entonces X =
b) Sea la ecuación matricial /C"( + 9)4C"= B, donde A, B y C son matrices inversibles del mismo orden, entonces X =
Ejercicio 13: Determine si las siguientes proposiciones son V o F. Justifique la respuesta.
a) ( + 4)$ = $+ 2 4 + 4$. A, B y C de orden 2x2.
b) Cualquiera sea la matriz A de orden 2x3, la matriz ∙ es simétrica. c) Toda matriz anti simétrica admite inversa.
d) Si A es una matriz diagonal, entonces A es simétrica.
e) Si A es una matriz de 3x3 de rango 2, la forma escalonada reducida de A es la matriz I.
f) (D 4 )C"= DC"(4 )C" C"
g) Si ∙ 4 = 0 entonces A o B es una matriz nula. Opcional:
h) Si ∙ 4 = B entonces A es la inversa de B. i) La traza de la matriz (2I+0)=6. I de orden 4x4.
j) ( + 4) = + 4
k) La suma de matrices diagonales inversibles, es una matriz diagonal inversible. Ejercicio Resuelto:
Ejercicio 14: Resuelva:
Se analizará el gasto mensual que producen tres familias en base a los siguientes datos: Consumo promedio mensual de alimentos por familia: Familia A: pan 1 kg, carne 2 kg, leche 1 kg. Familia B: pan 2 kg, carne 3 kg, leche 1 kg. Familia C: pan 2 kg, carne 3 kg, leche 2 kg.
Costo por kg de alimento del mes 1: Pan $5, Carne $30, Leche $20.
a) Plantee la operación matricial que nos permitirá obtener el gasto mensual total que produce cada familia en el mes 1. Considere en la operación matricial a las familias como filas y a Pan, Carne y leche como Columnas.
b) Si tenemos una cuarta familia D que consume: Pan 1 kg, carne 1 kg, leche 1 kg y el costo por kg del mes 2 es: Pan $7, Carne $40, Leche $30, amplíe el sistema matricial planteado para obtener el gasto total mensual que produce cada familia en el mes 1 y 2.
a) 0 E F G / H 1 2 3 ) 1 2 1 2 3 1 2 3 2+ ∙ /IJKI L MN )305 20+ = OPJ 1 )12085 140+
El gasto mensual total que produce cada familia en el mes 1 es: $85 para la familia 1, $120 para la familia 2 y $140 para la familia 3.
b) 0 E F G / H 1 2 3 4 = 1 2 1 2 3 1 2 3 2 1 1 1 > ∙ /IJKI L MN )305 20 7 40 30+ = OPJ 1 OPJ 2 = 85 120 140 55 117 164 90 77 >
El gasto mensual total que produce cada familia 4 en el mes 1 es: $55.
El gasto mensual total que produce cada familia en el mes 2 es: $117 para la familia 1, $164 para la familia 2, $90 para la familia 3 y $77 para la familia 4.
