Tema 4: Oferta de trabajo en dos períodos

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Tema 4: Oferta de trabajo en dos per´ıodos

Teor´ıa Macroeconomica III

Universidad Auto´onoma de Madrid

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1 Sumario

2 _{El agente representativo en 2 per´ıodos}

Restricci´on presupuestaria Preferencias

Problema de Decisi´on del Agente

3 Soluci´on Completa

Decisi´on de Consumo (dado x)

Condiciones Optimas del Trabajo

Elasticidad de Sustituci´on Intertemporal del Trabajo

Hechos Estilizados (EE.UU.)

Decisiones de Consumo y Trabajo en 2 Per´ıodos Decisi´on de Consumo en 2 Per´ıodos

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Sumario

En el Tema 3, analizamos el problema de un agente que viv´ıa dos per´ıodos y decid´ıa cu´anto consumir en cada uno. Para simplificar la

exposici´on asumimos que el nivel de ingreso en cada per´ıodo era

ex´ogeno. En esta secci´on vamos a endogeneizarlo.

En particular, supondremos que un agente puede obtener un salario

w1 en el primer per´ıodo y un salariow2 en el segundo. Dados los

salarios y la tasa de interésR, el agente decide cuánto consumir y cuánto trabajar en cada per´ıodo. Es decir, eligec1,c2,l1 andl2.

Por el momento, continuaremos ignorando el problema de las

empresas y tomaremosw1 yw2 como dados. Tambi´en ignoraremos el

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Restricci´

on presupuestaria

Denotemos los salarios en los per´ıodos 1 y 2 con w1 yw2, y la tasa de

interés (exógena) entre dos per´ıodos con R. La restricción presupuestaria en el primer per´ıodo es

c1+b1 =w1l1, (1)

y en el segundo per´ıodo

c2 =w2l2+ (1+R)b1. (2)

N´otese que la ´unica diferencia entre las notas de clase anteriores y ´

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Restricci´

on presupuestaria

Al igual que antes, podemos simplificar estas dos restricciones y obtener una ´unica restricci´on. De (1), obtenemos

b1 =w1l1−c1,

reemplaz´andola en (2),

c2 =w2l2+ (1+R)(w1l1−c1).

Lo cual se puede escribir como

c2

1+R +c1 =w1l1+

w2l2

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Restricci´

on presupuestaria

Restricci´on presupuestaria c2 1+R +c1 =w1l1+ w2l2 1+R.

La interpretaci´on es an´aloga al caso anterior: el agente tiene un ingresow1l1 en el primer per´ıodo, y w2l2 en el segundo.

Entonces, w2l2

1+R representa el valor actual de la renta futura (en el

segundo per´ıodo).

Dados los recursos totales de los que dispone el individuo a lo largo de su vida,w1l1+₁w+2lR2, decide cu´anto consumir en cada per´ıodo

teniendo en cuenta el tipo de inter´es.

Recordemos que ₁₊1_R representa el precio relativo de bienes en el

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Preferencias

Tenemos que especificar las preferencias del individuo como funci´on

de cuatro variables: c1,c2,l1 yl2.

Al igual que antes, asumiremos que las preferencias son separables:

U(c1,l1,c2,l1) =u(c1) +v(1−l1) +β[u(c2) +v(1−l2)],

dondec representa el nivel de consumo y 1−l el nivel de ocio.

Cada agente cuenta con 1 unidad de tiempo en cada per´ıodo.

N´otese que el agente descuenta tanto el consumo en el segundo

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Preferencias

Supondremos que la utilidad marginal del consumo en cada per´ıodo es positiva ∂U(c1,l1,c2,l1) ∂c1 >0 and ∂U(c1,l1,c2,l1) ∂c2 >0. y que la utilidad marginal es decreciente en el consumo,

∂2U(c1,l1,c2,l1) ∂(c1)2 <0 and ∂ 2_U₍_c 1,l1,c2,l1) ∂(c2)2 <0,

La utilidad marginal del trabajo es negativa, ∂U(c1,l1,c2,l1)

∂l1

<0 and ∂U(c1,l1,c2,l1) ∂l2

<0, ya que a los agentes no les gusta trabajar.

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El problema de optimizaci´

on

El problema del agente es max c1,c2,l1,l2 u(c1) +v(1−l1) +β[u(c2) +v(1−l2)] sujeto a c1+ 1 1+Rc2 =w1l1+ 1 1+Rw2l2 Para resolver este problema utilizaremos el Lagrangiano.

max c1,c2,l1,l2 {u(c1) +v(1−l1) +β[u(c2) +v(1−l2)] +λ[w1l1+ 1 1+Rw2l2−c1− 1 1+Rc2]}, (3) donde λes el multiplicador.

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Las condiciones de primer orden

Hay cuatro condiciones de primer orden:

c1 : u0(c1)−λ=0, c2: βu0(c2)−λ 1 1+R =0, l1 : −v0(1−l1) +λw1=0, l2 : −βv0(1−l2) +λ w2 1+R =0.

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La decisi´

on de consumo intertemporal

Note que de las dos primeras CPO (correspondientes a c1 and c2),

podemos obtener u0(c1) | {z } CM =u0(c2)β(1+R) | {z } BM ,

lo cual iguala el beneficio y coste de ahorrar una unidad extra.

Esta condici´on es exactamente igual a la que obtuvimos la clase

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La oferta de trabajo

Dado que la 1ra CPO implica que u0(c1) =λ, podemos reescribir la

3ra CPO (correspondiente al1) as´ı

∂L ∂l1 =⇒ −v0(1−l1) +λw1 =0 v0(1−l1) | {z } CM =u0(c1)w1 | {z } BM

Lo cual indica que un aumento del salario en el primer per´ıodo se

corresponde con una disminuci´on del ocio en el mismo per´ıodo.

y la 4ta ecuaci´on (correspondiente a l2)de la siguiente manera

∂L ∂l2 =⇒ −βv0(1−l2) +λ w2 1+R =0 βv0(1−l2) | {z } CM = βu0(c2)w2 | {z } BM = u 0₍_c 1)w2 1+R

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Oferta de Trabajo Intertemporal

Ahora tenemos que encontrarl1 yl2 Podemos reescribir la 3ra CPO

(correspondiente a l1)as´ı ∂L ∂l1 =⇒ −v0(1−l1) +λw1 =0 λ= v 0₍₁₋_l 1) w1

∂L ∂l2 =⇒ −βv0(1−l2) +λ w2 1+R =0 λ= βv 0₍₁₋_l 2) (1+R) w2 .

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Oferta de Trabajo

Igualando las dos ecuaciones obtenemos

v0(1−l1) w1 = βv 0₍₁₋_l 2) (1+R) w2 .. Lo cual puede reescribirse como

v0(1−l1)

v0(1−l2)

= β(1+R)w1

w2

. (4)

Esta relaci´on es clave para determinar su elecci´on de trabajo en cada per´ıodo (o a lo largo de la vida).

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Utilidad Logar´ıtmica

Ahora veamos el caso general, donde el agente trabaja y obtiene ingresos en ambos per´ıodos

En este caso el problema es max c1,c2,l1,l2 {lnc1+ln(1−l1) +β(lnc2+ln(1−l2)) +λ[wl1+ 1 1+Rwl2−c1− 1 1+Rc2]}.

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Condiciones de Primer Orden

Las cuatro CPO’s:

c1 : 1 c1 −λ=0, (5) c2 : β1 c2 −λ 1 1+R =0, (6) l1 : − 1 1−l1 +λw1 =0, (7) l2 : −β 1 1−l2 +λ w2 1+R =0. (8)

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Las decisiones de consumo

Note que de las dos primeras CPO (correspondientes a c1 and c2),

podemos obtener 1 c1 |{z} CM = 1 c2 β(1+R) | {z } BM ,

lo cual iguala el beneficio y coste de ahorrar una unidad extra.

Esto nos da una relaci´on entre consumo presente y futuro,

c2 =β(1+R)c1. (9)

esta condici´on es exactamente igual a la que obtuvimos la clase

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Las decisiones ´

optimas (dado x)

Nuevamente, denotemos el valor actual de la renta a lo largo de la

vida con x, x =w1l1+ w2l2 1+R, Dado x, tenemos c2 1+R +c1 =x. o (1+β)c1=x =⇒c1 = x 1+β.

Tambi´en sabemos que,

c2 =c1β(1+R) = β

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Las decisiones ´

optimas de consumo (dado x)

Las decisiones ´optimas de consumo son

c1 = x 1+β c2 = β 1+βx (1+R)

Nótese que, si tomásemos a x como dado, éstas ser´ıan exactamente

iguales a las decisiones de consumo de la clase anterior.

Podemos concluir que introducir la elecci´on de oferta de trabajo no

modifica las decisiones de consumo.

La oferta de trabajo determina x (como veremos mas adelante), y

una vez quex est´a determinado, el agente decidir´a en que momento

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La decisi´

on de ahorro (dado x)

Como b1 =w1l1−c1, c1 = x 1+β tenemos que b1 =w1l1−c1=w1l1− x 1+β =w1l1− w1l1+₁w₊2l_R2 1+β = (1+β)(w1l1)−w1l1−₁w₊2l_R2 1+β = β 1+β w1l1− w2l2 β(1+R) .

Obviamente, la decisi´on de ahorro es id´entica a la de la clase anterior dadox.

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Condiciones Optimas del Trabajo

Ahora tenemos que encontrarl1 yl2 Podemos reescribir la 3ra CPO

(correspondiente a l1)as´ı ∂L ∂l1 =⇒ − 1 1−l1 +λw1 =0 λ= 1 w1(1−l1)

∂L ∂l2 =⇒ −β 1 1−l2 +λ w2 1+R =0 λ= β(1+R) w2(1−l2) .

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Condiciones Optimas del Trabajo

Igualando las dos ecuaciones obtenemos 1

w1(1−l1)

= β(1+R)

w2(1−l2)

. Lo cual puede reescribirse como

1−l1 1−l2 = 1 (1+R)β w2 w1 . (10)

Al igual que c2 =c1β(1+R), esta relaci´on es clave para determinar su elecci´on de trabajo en cada per´ıodo.

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Condiciones Optimas del Trabajo

Primero, notemos que ∂ 1−l1 1−l2 ∂ w2 w1 >0.

Con lo cual, cuando el salario relativo w2

w1 aumenta,

1−l1

1−l2 tambi´en lo

hace.

El agente decide consumir relativamente menos ocio en el segundo per´ıodo. Tiene sentido? Si el salario en el segundo per´ıodo es relativamente alto, el individuo prefiere trabajar m´as en ese per´ıodo.

Esto provoca una disminuci´on en la demanda del ocio ent =2. El

coste de oportunidad del ocio esta dado por el salario que deja de

percibir el agente al no trabajar. Incrementos enw2 hacen el ocio mas

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Condiciones Optimas del Trabajo

Tambien notemos que ∂ 1−l1 1−l2 ∂(1+R) <0. con lo cual, al aumentar 1+R, el ratio 1−l1

1−l2 disminuye.

Si el tipo de inter´es aumenta, el agente demanda relativamente mas

ocio en el segundo per´ıodo. Tiene sentido? Cuando el tipo de inter´es

es alto, el consumo futuro se hace mas barato. Esto induce a los agentes a trabajar mas en el presente y ahorrar para el futuro.

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Elasticidad de Sustituci´

on Intertemporal del Trabajo

Utilizando (10), podemos calcular la elasticidad ∂ h₁₋_l 1 1−l₂ i ₁₋_l 1 1−l2 ∂ h_w 2 w1 i w2 w₁ = ∂ h 1−l1 1−l2 i ∂ h w2 w1 i w2 w1 1−l1 1−l2 ,

la cual nos indica cu´anto ocio presente est´an dispuestos a sustituir los agentes por ocio futuro ante un cambio en el salario relativo.

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Elasticidad de Sustituci´

on Intertemporal del Trabajo

Primero, notemos que ∂ h 1−l1 1−l2 i ∂ h w2 w1 i = 1 (1+R)β, con lo cual ∂ h 1−l1 1−l2 i ∂ h w2 w1 i w2 w1 1−l1 1−l2 = 1 (1+R)β w2 w1 1 (1+R)β w2 w1 =1.

Con preferencias logar´ıtmicas, la elasticidad es igual a 1. Si w2

w1 aumenta 1%, entonces 1−l1 1−l2 tambi´en va a aumentar en 1%.

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Horas Trabajadas (USA 2000))

10 20 30 40 50 W eek ly hour s w or k ed 20 30 40 50 60 Age Men Women

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Salario Medio por Hora (USA 2000)

5 10 15 20 25 H our ly W age 20 30 40 50 60 Age Men Women

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Horas Trabajadas y Salario Medio por Hora (USA 2000)

10 20 30 40 50 5 10 15 20 25 20 30 40 50 60 20 30 40 50 60 Male Female

Hourly wage Weekly hours worked

H our ly W age Age Graphs by Sex

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Horas Trabajadas y Salario Medio por Hora (Mujeres-USA

2000)

15 20 25 30 35 40 5 10 15 20 25 20 30 40 50 60 20 30 40 50 60

Never married Ever married

Hourly wage Weekly hours worked

H our ly W age Age Graphs by evermar

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Salario horario por Nivel de Educaci´

on (USA 2000)

10 15 20 25 30 35 (m ean) hour w a ge 20 30 40 50 60 Age Less HS HS Some college College +

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Horas Trabajadas por Nivel de Educaci´

on (USA 2000)

20 25 30 35 40 45 (m ean) uhr s w o rk 20 30 40 50 60 Age Less HS HS Some college College +

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Salario y Horas Trabajadas por Nivel de Educaci´

on (USA

2000)

20 25 30 35 40 45 20 25 30 35 40 45 10 20 30 40 10 20 30 40 20 30 40 50 60 20 30 40 50 60 Less HS HS

Some College College +

Hourly Wage Weekly Hours of work

M ea n h oul y w age Age Graphs by educ

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(35)

Tendencias en Horas Trabajadas

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(37)

Volviendo a las CPO

La CPO paral1 (7) es

− 1

1−l1

+λw1 =0.

Y CPO para c1(5)tenemos

1

c1

= λ. Esto implica que

1 1−l1 = 1 c1 w1. Entonces c1 =w1−w1l1=⇒w1l1 =w1−c1.

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Decisi´

on de Consumo en 2 Per´ıodos

De CPO para l2 (8), −β 1 1−l2 +λ w2 1+R =0. obtenemos β 1 1−l2 = 1 c1 w2 1+R. Entonces, c1β(1+R) =w2−w2l2, o w2l2 =w2−c1β(1+R) =⇒ w2l2 1+R = w2 1+R −c1β.

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Decisi´

on de Consumo en 2 Per´ıodos

Como w2l2 1+R = w2 1+R −c1β. Tenemos x =w1l1+ w2l2 1+R =w1−c1+ w2 1+R −c1β.

como sabemos quec1 = ₁₊x_β, obtenemos

c1 = w1−c1+₁w₊2_R −c1β 1+β , o bien (1+β)c1=w1−c1+ w2 −c1β,

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Decisi´

on de Consumo en 2 Per´ıodos

(1+β)c1=w1−c1+ w2 1+R −c1β, o bien (1+β)c1+c1+c1β=w1+ w2 (1+R), Ello implica c₁∗ = 1 2(1+β) w1+ w2 (1+R) . El consumo en el segundo per´ıodo es igual,

c₂∗ =c1β(1+R) =β(1+R) 1 2(1+β) w1+ w2 (1+R)

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Oferta de Trabajo en el Primer Per´ıodo

Podemos tambi´en despejar l1, como sabemos quew1l1 =w1−c1,

w1l1 =w1−c1 =w1− 1 2(1+β) w1+ w2 (1+R) w1l1 =w1 1− 1 2(1+β) − 1 2(1+β) w2 (1+R) o bien l₁∗= 1+2β 2(1+β)− 1 2(1+β) 1 1+R w2 w1 .

(42)

Oferta de Trabajo en el Segundo Per´ıodo

Finalmente, como wl2=w −c1β(1+R), w2l2=w2−c1β(1+R) =w2− β(1+R) 2(1+β) w1+ w2 (1+R) =w2[1− β(1+R) 2(1+β) 1 1+R]− β(1+R) 2(1+β)w1. o l₂∗= 2+β 2(1+β)− β(1+R) 2(1+β) w1 w2 .

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Caso especial

Supongamos β=1 and R=0 El consumo satisface c₁∗ = 1 2(1+β) w1+ w2 (1+R) = 1 4[w1+w2] =c ∗ 2.

Las ofertas de trabajo,

l1 = 1+2β 2(1+β)− 1 2(1+β) 1 1+R w2 w1 = 3 4− 1 4 w2 w1 , y l2 = 2+β 2(1+β)− β(1+R) 2(1+β) w1 w2 = 3−1w1.

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Caso especial

Dadas las ofertas de trabajo, tenemos

x =w1l1+w2l2 =w1 3 4 − 1 4 w2 w1 +w2 3 4− 1 4 w1 w2 =w1 3 4− 1 4w2+w2 3 4 − 1 4w1 = 1 2(w1+w2)

del cual el agente consume la mitad cada per´ıodo.

Supongamos por el momento que w2 =w1, entonces tenemos

l1 =l2 =

1 2.

Con lo cual el agente trabaja la misma cantidad de tiempo en ambos per´ıodos.