TAREA 1
EJERCICIOS PROPUESTOS:
En los ejercicios 1-10, resolver los sistemas dados.
1. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − + = + − + = + − + 4 2 5 4 3 5 6 8 5 2 2 2 3 2 w z y x w z y x w z y x . 2. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + + = + + − = − + + 1 4 3 2 2 2 5 2 3 3 13 4 5 w z y x w z y x w z y x 3. 2 8 2 3 1 3 7 4 10 x y z x y z x y z + + = ⎧ ⎪ − − + = ⎨ ⎪ − + = ⎩ 4. 2 2 2 0 2 5 2 1 8 4 1 x y z x y z x y z + + = ⎧ ⎪− + + = ⎨ ⎪ + + = − ⎩ 5. 2 1 2 2 2 2 2 4 1 3 3 3 x y z w x y z w x y z w x w − + − = − ⎧ ⎪ + − − = − ⎪ ⎨ − + − + = ⎪ ⎪ − = − ⎩ 6. 2 3 1 3 6 3 2 6 6 3 5 y z x y z x y z − + = ⎧ ⎪ + − = − ⎨ ⎪ + + = ⎩ 7. 2 3 2 2 1 3 2 1 x y x y x y − = − ⎧ ⎪ + = ⎨ ⎪ + = ⎩ 8. 4 8 12 3 6 9 2 4 6 x y x y x y − = ⎧ ⎪ − = ⎨ ⎪− + = − ⎩ 9. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − + = + − + = + − + 4 2 5 4 3 5 6 8 5 2 2 2 3 2 w z y x w z y x w z y x
10. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + + = + + − = − + + 1 4 3 2 2 2 5 2 3 3 13 4 5 w z y x w z y x w z y x
Los sistemas en los ejercicios 11-13 son consistentes. Determinar si tienen solución única o una infinidad de soluciones.
11. 2 3 0 2 0 0 x y z x y y z + + = ⎧ ⎪ + = ⎨ ⎪ + = ⎩ 12. 3 0 5 0 x y z w x y z w + + + = ⎧ ⎨ − + − = ⎩ 13. 2 2 4 0 3 0 2 3 0 2 3 2 0 x y z w y z w x y z w x y z + + = ⎧ ⎪ − − = ⎪ ⎨ + + + = ⎪ ⎪− + + − = ⎩
14. ¿Para qué valor(es) de k el siguiente sistema de ecuaciones tiene soluciones no triviales?
( 3) 0 ( 3) 0 k x y x k y − + = ⎧ ⎨ + − = ⎩
15. Determinar los valores de k tales que el sistema con las incógnitas x, y, z tenga: (i) una solución única, (ii) ninguna solución, (iii) más de una solución.
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = + + = + + 1 1 1 kz y x z ky x z y kx
16. ¿Para qué valores de “a” el siguiente sistema no tiene solución?, ¿tiene exactamente una solución?, ¿tiene una infinidad de soluciones?
(
2)
2 3 4 3 5 2 4 14 2 x y z x y z x y a z a ⎧ + − = ⎪⎪ − + = ⎨ ⎪ + + − = + ⎪⎩17. Determinar las condiciones de a, b, c tales que el sistema con las incógnitas x, y, z tenga solución. Encontrada la condición, el sistema ¿tiene solución única? , o ¿una infinidad de soluciones? ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = + − = − + c z y x b z y x a z y x 8 5 2 3 3 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 3 x y z x y z x y z ⎧ + + = ⎪ − + = ⎨ ⎪ + − = ⎩
19. Determinar si los siguientes vectores son dependientes o independientes. a) u = ( 1 , 3, -1 ), v = ( 2, 0 , 1 ), w = ( 1, -1, 1 )
b) u = ( 1 , 1, -1 ), v = ( 2, 1 , 0 ), w = ( -1, 1, 2 ) 20. Siendo λ μ, ∈ \, considérese el sistema
⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = + + + + = + = + + μ λ μ λ μ λ λ y x t y x t z y x z y x 1 2 7 2
a) Hacer un estudio de la consistencia del sistema y del número de soluciones para los diferentes valores de λ & μ .
b) Resolver el sistema cuando λ= μ = 0.
21. Resolver el siguiente sistema:
⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + + − = + ++ + = = + + + = + + + 2 3 2 2 3 2 2 3 2 0 0 5 4 3 4 3 2 3 2 1 5 4 3 2 4 3 2 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x 22. Sea: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − − + = − + + + = = + + + − + − + + = 5 4 3 2 1 4 5 4 3 2 1 3 5 4 3 2 1 2 5 4 3 2 1 1 17 5 3 2 2 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x y λ
¿Existen valores de a, b, c, λ tales que: y4 =ay1 +by2 +cy3?
23. ¿Qué condición debe satisfacer a para que el siguiente sistema tenga solución única? Encontrar tal solución.
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = + + = + + 2 1 a az y x a z ay x z y ax
24. ¿Qué condiciones deben cumplir a, b & c para que el sistema tenga: a) Solución única
b) Infinidad de soluciones dependientes de un parámetro. c) Infinidad de soluciones dependientes de dos parámetros.
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = + + = + + 3 2 3 2 3 2 c z c cy x b z b by x a z a ay x .
25. La curva y=ax3+bx2+cx+ pasa por los puntos d (0,10), (1, 7), (3, 11)− y (4, 14)− , determinar la curva de la que se trata.
26. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones NO lineales para los ángulos
α
, β y γ , donde 0≤ ≤α 2π , 0≤ ≤β 2π y 0≤ <γ π .( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 cos 3 tan 3 4 2 cos 2 tan 2 6 3cos tan 9 sen sen sen α β γ α β γ α β γ − + = ⎧ ⎪ + − = ⎨ ⎪ − + = ⎩27. Demostrar que si ad−bc≠ , el sistema 0 ax by k cx dy l
+ =
⎧
⎨ + =
⎩ tiene una solución única. 28. Una parte de una red hidráulica se muestra en la siguiente figura.
El agua en A llega a 40 lt/min, en B a 20 lt/min. Sean f1,f2, f3 & f los flujos de 4 agua a través de los tubos en las direcciones señaladas. Para que el sistema sea viable es necesario que el agua que entra en un punto de conexión sea la misma que sale en el mismo punto.
a) Escribir el sistema de ecuaciones que debe satisfacer esta red. b) Mostrar que la red hidráulica será posible si f4 =60lt/ min
29. El siguiente es un problema típico que se presenta en el análisis dimensional. Un fluido en movimiento está descrito por las siguientes variables: v: velocidad, r: densidad, D: diámetro, g: gravedad, m: viscosidad. En términos de masa, longitud y tiempo, las dimensiones de estas cantidades son:
1 3 2 1 1
: ; : ; : ; : ; :
v l t− ρ m l− D l g l t− μ m l− t− Se desea saber si existe algún modo de formar productos no dimensionales:
a b c d e
v ρ D g μ
Si esto es posible, encontrar de cuántas maneras lo es y escribir los productos que lo sean. 30. Una persona decide dedicar 18 horas a la semana para su recreación. En una semana típica decide aprender cocina, jugar squash y aprender a tocar un instrumento musical. Si aprender a tocar un instrumento musical le cuesta 100 pesos la hora, jugar squash 60 pesos la hora y aprender a cocinar 300 pesos la hora, y solamente cuenta con 3000 para todo esto, ¿de qué
forma puede planear su recreación?
31. En una zona pluvial de mucha intensidad de América Central ha llovido sin interrupción y con la misma intensidad día y noche durante 30 días. Al empezar el temporal, tres depósitos cilíndricos abiertos que se utilizan para acumular el agua de lluvia tienen la misma altura de agua. Si se sabe que el primer depósito de agua de 60 m2 de área en la base ha servido para abastecer 20 personas durante los 30 días de lluvia quedando luego vacío, el segundo de 15 m2 de área en la base ha abastecido a 6 personas durante los 20 primeros días de lluvia hasta quedar vacío, ¿a cuántas personas abastecerá el tercero de 75 m2 de área en la base si éste se ha vaciado en 25 días? No tomar en cuenta el agua que se recoja en los depósitos pasado el instante en que su nivel llega a cero.
32. Los puntos medios de los lados de un triángulo son
(
2, 1 ;) (
6, 3 ;) ( )
4,5R − − S − T
Encontrar los vértices de este triángulo.
33. Dos ciclistas corren por el velódromo a velocidades constantes. Al llevar direcciones opuestas se encuentran cada 10 segundos; cuando van en la misma dirección, un ciclista alcanza al otro cada 170 segundos. ¿Cuál es la velocidad que desarrolla cada ciclista si la longitud de la pista es de 170 m?
34. La embarcación “Alvarado” se desplaza 5 horas sin interrupción río abajo desde la ciudad A hasta la ciudad B. De regreso avanza contra la corriente con su marcha ordinaria y sin detenerse durante 7 horas. ¿Cuántas horas necesitará la embarcación “Mocambo” para desplazarse de la ciudad A hasta la B yendo a la misma velocidad de la corriente?
RESPUESTAS A EJERCICIOS PROPUESTOS:
1. (−a+2b,1+2a−2b,a)
2. El sistema es inconsistente por lo tanto no tiene solución. 3. (3,1, 2) 4. 1 3 1 4 7 7 7 7 (− − t, − t t, ) 5. (t−1, 2 , , )s s t 6. Inconsistente. 7. Inconsistente. 8. (3+2 , )t t 9. (−a+2b,1+2a−2b,a)
10. El sistema es inconsistente por lo tanto no tiene solución. 11. Solución única.
12. infinidad de soluciones. 13. Infinidad de soluciones. 14. k =4;k =2
15. (i) k ≠1 & k ≠ −2, (ii) k= −2; (iii) k =1.
16. a= −4, ninguna solución; a≠ ±4, exactamente una; a=4, una infinidad de soluciones. 17. 2a - b + c = 0 . El sistema tiene una infinidad de soluciones.
18. x= ±1;y= ± 3;z= ± 2
19. a) dependientes, (b) independientes. 20. a )
0 1 0
0 4
0 4
1
y consistente con solución única consistente con más de una solución consistente con más de una solución
y inconsistente inconsistente λ μ μ λ μ μ μ μ ≠ ≠ ⎧ ⎪ ⎧ = ⎪⎪ = ⎪ = ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ≠ ≠ ⎩ ⎪ ⎪ = ⎩ b) S ={(3,a, 1 ,−4) :a∈ \} 21. x1=1;x2 = −1;x3 =1;x4 = −1;x5 =1 22. Sí existen. λ=10;y4 =3y1+2y2−5y3. 23. Si
(
a−1)(
a+2)
≠0, 2 1 + + − = a a x ; 2 1 + = a y ; 2 ) 1 ( 2 + + = a a z .Si a= −2, el sistema no tiene soluciones.
24. a) Si a, b y c son todos distintos: x=abc; y=−(ab+ac+bc)& z=a+b+c. b) Si entre a, b, c hay dos iguales, las soluciones dependen de un parámetro.
c) Si a = b = c las soluciones dependen de dos parámetros.
25. 3 2 6 2 10 y=x − x + x+ 26. 2 π α = , β π= , γ =0
27. La solución está expresada en el enunciado del ejercicio.
28. a) 1 2 1 3 2 3 4 40 20 0 f f f f f f f ⎧ + = ⎪ − = − ⎨ ⎪ + − = ⎩
; b) La solución está expresada en el enunciado del ejercicio.
29. Sí es posible. Se pueden formar dos productos:
2 & V D Dg V ρ μ
30. A aprender cocina le puede dedicar entre 6 y 8 horas, a partir de esto podrá determinar cuánto le queda para ir al squash y para aprender a tocar un instrumento musical.
31. A 27 personas.
32. A
