FIGURA CONSTRUIDA CON ENLACES DE CIRCUNFERENCIAS Y RECTAS

(1)

E

J

E

D

E

S

IM

E

T

R

ÍA

FIGURA CONSTRUIDA CON ENLACES DE CIRCUNFERENCIAS Y RECTAS

Fíjate en cómo se han enlazado estas circunferencias y curvas. Recuerda que el signo significa que hay dos rectas que deben formar noventa grados entre sí (los ángulos donde no aparece este símbolo no son rectos, aunque lo parezcan. Comenzaremos por hacer esta parte en una lámina, utilizando el compás para trasladar las medidas ampliadas.

EL DIBUJO ESTÁ REALIZADO A ESCALA 3:4. APLICAR A ESTAS MEDIDAS LA ESCALA

4:3 PARA RESTITUIR LAS MEDIDAS ORIGINALES DEL OBJETO, COMENZANDO POR EL EJE Y MANTENIÉNDOLO CENTRADO. PARA ENCONTRAR LOS PUNTOS DE TANGENCIA, HAY QUE TRASLADAR LOS ÁNGULOS QUE FORMAN LOS RADIOS ENTRE SÍ.

(2)

E

J

E

D

E

S

IM

E

T

R

ÍA

E=3:4 COPIA INICIAL (IMPRIMIR)

(3)

3 c m 4 c m V P a r a p a s a r e l d i b u j o a e s c a l a 3 : 4 , c o n s t r u i m o s u n a e s c a l a g r á f i c a e n u n a h o j a a p a r t e , d i b u j a n d o u n a r e c t a h o r i z o n t a l y p o r u n o d e s u s e x t r e m o s u n a p e r p e n d i c u l a r . D e s d e l a h o r i z o n t a l , t r a z a m o s m á s o m e n o s a l a a l t u r a q u e s e v e n d o s s e g m e n t o s v e r t i c a l e s , u n o q u e m i d a 3 c m y o t r o d e 4 c m , e s t e ú l t i m o s o b r e l a v e r t i c a l p r i m e r a d i b u j a d a . E s t o s s e g m e n t o s t i e n e n q u e s e r p a r a l e l o s e n t r e s í , y e s t a r l o s u f i c i e n t e m e n t e j u n t o s c o m o p a r a q u e a l u n i r s u s e x t r e m o s A y B y p r o l o n g a r e s a r e c t a , e l p u n t o d o n d e c o r t a a l a h o r i z o n t a l ( v é r t i c e V ) n o s e n o s s a l g a d e l a h o j a .

HOJA APARTE

ESCALA GRÁFICA E 4:3 A B

(4)

3 c m 4 c m V

HOJA APARTE

E S C A L A G R Á F IC A E 4 :3 Compás

Se une el vértice V con la marca hecha con el compás en la recta vertical que tiene la marca de 3 cm, y se prolonga hasta la recta de la derecha, donde nos sale la medida ampliada a 4:3, que es la que tenemos que utilizar en nuestra lámina.

(M E D ID A S A M P L IA D A S ) 1. 2.

CÓMO AMPLIAR LAS MEDIDAS QUE TOMEMOS EN NUESTRA HOJA DE

COPIA INICIAL PARA PASARLAS A NUESTRA LÁMINA DE DIBUJO.

S o b r e e s t a r e c ta (l a d e la m a r c a d e 3 c m ), s e t o m a n c o n e l c o m p á s la s m e d id a s d e l a c o p ia in ic ia l , d e s d e e l p ie d e la p e r p e n d i c u l a r .

(5)

ENLACES Y TANGENCIAS

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

ENLACES Y TANGENCIAS E J E D E S IM E T R ÍA

(11)

E

=3 4

:

COPIA INICIAL

E n la c o p i a in ic ia l, t o m a m o s c o n e l c o m p á s la d is t a n c ia e n t r e e l p i e d e la p e r p e n d i c u l a r a l e je m á s b a jo y e l m á s a lt o (e s o n o s d a la a l t u r a d e la p ie z a ).

(12)

3 c m 4 c m V

HOJA APARTE

E S C A L A G R Á F IC A E 4 :3 (M E D ID A S A M P L IA D A S )

Trasladamos esa medida sobre la esta recta

N UESTRA ES CA LA GRÁ FICA

(13)

3 c m 4 c m V

HOJA APARTE

E S C A L A G R Á F IC A E 4 :3 (M E D ID A S A M P L IA D A S )

Y la ampliamos

(14)

V

HOJA APARTE

Tomando más de la mitad de la medida, trazamos dos arcos a la izquierda

para dibujar la mediatriz de ese segmento.

(15)

V

(16)

V

(17)

V

(18)

V

(19)

V

HOJA APARTE

(20)

Y la llevamos desde el punto central del eje, arriba y abajo, sobre el

mismo.

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

E

J

E

D

E

S

IM

E

T

R

ÍA

E=3:4 COPIA INICIAL

Tomamos con el compás la medida que va desde al eje hasta el primer

punto de tangencia, sobre la horizontal más alta del dibujo en la hoja de

copia.

(26)

Y una vez ampliada en nuestra escala gráfica la llevamos sobre la

correspondiente recta en nuestra lámina (siempre con el compás).

(27)

(28)

(29)

So bre es a p erpen dic ula r llevam o s la m edida d el ra dio d e la pr im era c ircu nferenc ia de nu es tr a co pia , la m ás pequ eña , desp ués d e h ab er la a m plia do en nu estra esca la g rá fic a (esa m ed ida a um enta d a se lleva pin ch an do co n el co m pá s en el p unto de c orte de la s do s per pendiculares). La p er pend icu lar vertic a l deb e tam bién am pliarse ha cia a rrib a.

(30)

Dibujamos la primera circunferencia, que debe ser tangente a la horizontal

de arriba.

(31)

E=3:4 COPIA INICIAL P r o l o n g a m o s e n l a h o j a d e c o p i a e l r a d i o v e r t i c a l d e l a c i r c u n f e r e n c i a p e q u e ñ a h a c i a a r r i b a , p a r a p o d e r t r a b a j a r m e j o r , y a q u e t e n e m o s q u e c o p i a r e n n u e s t r a l á m i n a e l á n g u l o q u e f o r m a n l o s d o s r a d i o s e n a z u l .

(32)

E=3:4 COPIA INICIAL 1 2 P a r a c o p i a r e s t e á n g u l o , d i b u j a m o s p r i m e r o u n a r c o q u e c o r t e a l a s d o s p r o l o n g a c i o n e s d e l o s r a d i o s , c o n l a a b e r t u r a d e c o m p á s q u e n o s r e s u l t e m á s c ó m o d a . N o s f i j a m o s e n l o s p u n t o s d e c o r t e 1 y 2 . E s t e a r c o t i e n e c o m o c e n t r o e l v é r t i c e d e l á n g u l o q u e v a m o s a c o p i a r .

(33)

ENLACES Y TANGENCIAS 1’

Con la misma abertura de compás, dibujamos un arco igual en nuestra

lámina, haciendo centro en el vértice del que será nuestro ángulo copiado,

y señalamos el punto de corte con la prolongación del radio vertical (el

único que tenemos).

(34)

E=3:4 COPIA INICIAL 1 2 A h o r a , e n n u e s t r a h o j a d e c o p i a , t o m a m o s c o n e l c o m p á s l a d i s t a n c i a q u e h a y e n t r e l o s p u n t o s 1 y 2 ( c u e r d a e n e s t e a r c o ) .

(35)

Y llevamos esa distancia (cuerda) desde el punto 1’ hasta que corte al arco

que teníamos dibujado, obteniendo el punto 2’.

(36)

2’

Trazando una recta que una el vértice del ángulo con el punto

2’, hemos copiado el ángulo.

(37)

E=3:4

En nuestra hoja de copia, tomamos con el

compás el radio de la siguiente circunferencia

(38)

ENLACES Y TANGENCIAS T

Y después de ampliarlo en nuestra escala gráfica, lo llevamos sobre el lado

del ángulo copiado, desde el punto T, que será el de tangencia entre las

dos circunferencia

s.

(39)

ENLACES Y TANGENCIAS T

Haciendo centro en la marca anterior y con el mismo radio, dibujamos la circunferencia, que tocará a la anterior en el punto T.

(40)

E=3:4

A h o r a d e b e m o s c o p i a r e l á n g u l o q u e f o r m a n l o s r a d i o s m a r c a d o s e n a z u l , p a r a s e g u i r c o n n u e s t r o d i b u j o .

(41)

E=3:4 1 2 R e c o r d a m o s c ó m o s e h a c e : c o n c e n t r o e n e l v é r t i c e d e l á n g u l o q u e v a m o s a c o p i a r , t r a z a m o s u n a r c o y n o s f i j a m o s e n l o s p u n t o s e n q u e c o r t a a l o s l a d o s d e l á n g u l o , p u n t o s 1 y 2 . L a a b e r t u r a d e l c o m p á s e s l a q u e m á s c ó m o d a n o s r e s u l t e .

(42)

Sin cambiar la abertura de compás elegida, hacemos un arco igual en

nuestra lámina, y nos fijamos en el punto de corte de este arco con el

único lado del ángulo que tenemos por el momento, 1’.

(43)

E=3:4 1 2 E n n u e s t r a c o p ia in ic ia l, t o m a m o s c o n e l c o m p á s l a d is ta n c ia e n t r e lo s p u n t o s 1 y 2 .

(44)

Con esa abertura de compás, hacemos centro en el punto 1’ de nuestra

lámina, y trazamos un arco que corte al primero. Ese punto de corte es 2’.

(45)

Uniendo el centro del arco inicial con el punto 2’, hemos copiado el

ángulo. Prolongamos este segundo lado del ángulo que pasa por 2’ hasta

que corte a la circunferencia.

(46)

ENLACES Y TANGENCIAS R ALIN_EA CON EST_{E RA} DIO A h o r a v a m o s a t r a z a r l a r e c t a t a n g e n t e a e s t a c ir c u n f e r e n c ia p o r e l p u n t o d e c o r t e d e la m is m a c o n e l r a d io d e a b a jo . C o m o s a b e m o s q u e e s a r e c t a t a n g e n t e d e b e s e r p e r p e n d i c u l a r a l r a d io , a lin e a m o s c o n é l c o n la e s c u a d r a .

(47)

D e sliza m os la e scu ad ra si n de ja r qu e se m ue va el ca rtab ón h asta qu e ve a m os e l pun to d e co rte (p ie de la pe r pe nd icu lar ), suje ta m os la e sc ua dra , y d ibu jam os co n e l otr o c ate to , co n e l qu e no a line a m os an te s, l a r e cta pe r pe ndi cul ar a l ra di o, que e s ta ng en te a la c irc unf e re nc ia e n e l pu nto e le gid o ( e xtr em o d el rad io) .

(48)

Sobre la tangente dibujada llevamos la distancia que hay entre los puntos de tangencia de esta recta con las circunferencias (los pies de las perpendiculares que se ven en nuestra hoja de copia, o sea, los extremos de los radios de las dos circunferencias), acordándonos de ampliar primero esa distancia en nuestra escala gráfica.

(49)

Dibujamos una perpendicular a la recta anterior por la marca que

acabamos de hacer.

(50)

Sobre la perpendicular y con el compás llevamos la medida del radio de la siguiente circunferencia, tomada en la copia inicial y ampliada en nuestra escala gráfica.

(51)

Con la misma abertura de compás hacemos centro en la marca recién hecha, y trazamos la circunferencia, que será tangente a la recta.

(52)

Utilizando el mismo método que en los casos anteriores, copiamos el ángulo que forman los radios que vemos en azul. Se toma de la hoja de copia inicial y se traslada a nuestra lámina. El segundo lado del ángulo obtenido se prolonga bastante, fuera de la circunferencia.

(53)

Desde el nuevo punto T de tangencia, llevamos con el compás la medida del radio de la siguiente circunferencia, tomada de la hoja de copia inicial y ampliada en nuestra escala gráfica.

(54)

Haciendo centro en la última marca obtenida, y sin cambiar la abertura del compás, dibujamos la circunferencia, que será tangente a la anterior en el punto T.

(55)

Dibujamos el siguiente radio, copiando el ángulo que éste forma con el que ya tenemos. Ya sabemos cómo hacer esto.

(56)

ENLACES Y TANGENCIAS P o r e l e x t r e m o d e l r a d i o , d i b u j a m o s u n a p e r p e n d i c u l a r , q u e s e r á l a r e c t a t a n g e n t e a l a c i r c u n f e r e n c i a , y s o b r e e l l a t r a s l a d a m o s , c o m o h i c i m o s a n t e s ( p á g . 4 8 ) , l a m e d i d a e n t r e l o s p u n t o s d e t a n g e n c i a t o m a d a d e n u e s t r a h o j a d e c o p i a i n i c i a l y a m p l i a d a e n l a e s c a l a g r á f i c a .

(57)

ENLACES Y TANGENCIAS P o r e l e x t r e m o d e l r a d i o , d i b u j a m o s u n a p e r p e n d i c u l a r , q u e s e r á l a r e c t a t a n g e n t e a l a c i r c u n f e r e n c i a , y s o b r e e l l a t r a s l a d a m o s , c o m o h i c i m o s a n t e s ( p á g . 4 8 ) , l a m e d i d a e n t r e l o s p u n t o s d e t a n g e n c i a t o m a d a d e n u e s t r a h o j a d e c o p i a i n i c i a l y a m p l i a d a e n l a e s c a l a g r á f i c a .

(58)

Por la marca recién hecha, dibujamos otra perpendicular hacia abajo, y desde el vértice del ángulo recto (pie de la perpendicular), llevamos la medida del radio de la última circunferencia, una vez tomada de de tangencia tomada de nuestra hoja de copia inicial y ampliada en la escala gráfica.

(59)

Dibujamos la última circunferencia, y

trazamos un radio vertical hacia abajo

(paralelo al eje). Desde el extremo de

ese radio vertical, dibujamos una recta

tangente a la circunferencia, que será

horizontal, es decir, perpendicular al

eje, y la prolongamos hasta que corte a

este último.

(60)

E=3:4

A PARTIR DE ESTA PÁGINA, EL DIBUJO ESTÁ REPRESENTADO A UNA

ESCALA MENOR Y SIN MARGEN, PERO ESTO NO DEBE AFECTAR AL

EJERCICIO QUE HACEMOS EN LA LÁMINA, QUE SIGUE CON LAS MEDIDAS

AMPLIADAS. ES DECIR, ESTE DIBUJO REPRESENTA A PARTIR DE AHORA

NUESTRA LÁMINA.

Trazamos perpendiculares al eje de simetría desde todos los centros de las

circunferencias, y los prolongamos al otro lado del mismo.

(61)

E=3:4

A _A’

B

B’

Hallamos los simétricos de los centros de las circunferencias, pinchando con el compás en el punto de corte de la perpendicular al eje con el mismo, tomando la distancia desde este punto al punto original y trasladándolo al lado opuesto del eje, siempre sobre la perpendicular al eje dibujada.

(62)

E=3:4 A A’ B B’ C _C’ D D’ E E’

(63)

E=3:4 A A’ B B’ C _C’ D D’ E E’

Dibujamos las circunferencias simétricas de las de centros B y C, con el mismo radio que las originales.

(64)

E=3:4 A A’ B B’ C _C’ D D’ E E’ Radio de B’+ radio de C’

V a m os a tra za r una r e cta ta ng en te c om ún in ter ior a la s cir cun fe re n cia s d e c en tros B ’ y C’. Par a e llo d ibujam os u n r ad io e n la ci rcu nf er e nc ia de c e ntro C’, y lo pro lo nga m os p ar a a ña dir so bre é l la m e dida de l r adi o de la c ircu nf e re nc ia de ce n tro B ’. U n a ve z sum a dos lo s rad ios, tr aza m os la c ircu nf e re nc ia d e ce ntr o C ’ y ra di o la sum a de di ch os ra dio s.

(65)

E=3:4 A _A’ B B’ C C’ D D’ E E’ Un im o s B ’ y C ’ po r m ed io d e un seg m ento .

(66)

E=3:4 A A’ B B’ C C’ D D’ E E’ Mediatriz de B’ C’ M

(67)

E=3:4 A A’ B B’ C C’ D D’ E E’ M

Dibujar la circunferencia de centro M y diámetro B’ C’, y marcar el punto N, donde esta circunferencia corta a la anterior, de centro C’ y radio rB’ + rC’.

(68)

E=3:4 A A’ B B’ C C’ D D’ E E’ M N

Trazamos la recta que une los puntos B’ y N, que es tangente a la circunferencia mayor en el punto N.

(69)

E=3:4 A A’ B B’ C C’ D D’ E E’ N P Q

Por los puntos B’ y N trazamos dos perpendiculares a la recta que los une, perpendiculares que cortan a las circunferencias de centros B’ y C’ en los puntos P y Q.

(70)

E=3:4 A A’ B B’ C C’ D D’ E E’ N P Q

Unimos los puntos P y Q, mediante una recta que debe ser paralela a la que definen los puntos B’ y N, y además será tangente a las circunferencias en los referidos puntos P y Q.

(71)

A B B’ C C’ D D’ E E’ E=3:4 A A’ B B’ C D D’ E E’ T

Para completar la parte simétrica de la figura, dibujamos las circunferencias simétricas de las originales. Para la circunferencia marcada en azul, primero unimos los centros C’ y D’ por medio de un segmento, que corta a la circunferencia de centro C’ en el punto T de tangencia. Haciendo centro en D’ con el compás, lo abriremos hasta el punto T para dibujar la circunferencia en azul. Hacemos lo mismo para dibujar la circunferencia de centro A’. Desde A’ y desde E’ dibujamos radios verticales, que deben cortar a las rectas horizontales más alta y más baja en los puntos de tangencia TA’ y TE’.

TE’ TA’

(72)

E=3:4 A B B’ C C’ D D’ E=3:4 A A’ B B’ C D D’ E _E’

Repetimos el procedimiento de trazado de tangentes comunes interiores

con las circunferencias de centros D’ y E’.

(73)

Repetimos el procedimiento de trazado de tangentes comunes interiores

con las circunferencias de centros D’ y E’.

(74)

Repetimos el procedimiento de trazado de tangentes comunes interiores

con las circunferencias de centros D’ y E’.

(75)

Repetimos el procedimiento de trazado de tangentes comunes interiores

con las circunferencias de centros D’ y E’.

(76)

Repetimos el procedimiento de trazado de tangentes comunes interiores

con las circunferencias de centros D’ y E’.

(77)

Repetimos el procedimiento de trazado de tangentes comunes interiores

con las circunferencias de centros D’ y E’.

(78)

E=3:4 A B B’ C C’ D D’ E=3:4 A A’ B B’ C D D’ E _E’ R e p e t i m o s e l p r o c e d i m i e n t o d e t r a z a d o d e t a n g e n t e s c o m u n e s i n t e r i o r e s c o n l a s c i r c u n f e r e n c i a s d e c e n t r o s D ’ y E ’ . A u n q u e a q u í s e b o r r e n t r a z a d o s , e n n u e s t r a l á m i n a n o b o r r a r e m o s n a d a h a s t a h a b e r t e r m i n a d o e l d i b u j o y h a b e r h e c h o u n a f o t o c o p i a .

(79)

E=3:4

Una vez completado el dibujo, hacemos una fotocopia del mismo para tener presentes todos los trazados auxiliares que hemos utilizado. En nuestra lámina de dibujo, repasamos con el rotulador calibrado, el compás y el adaptador las líneas enlazadas que componen el contor-no del objeto, borrando después todo lo demás. Por último, sombreamos o coloreamos el re-sultado.