LA CIRCUNFERENCIA LA CIRCUNFERENCIA Definición
Definición
Se llama
Se llama circucircunferennferencia cia al al conjconjunto deunto de puntos de plano que se encuentra a una puntos de plano que se encuentra a una distan
distancia cia consconstante (radio) de tante (radio) de un un puntpuntoo fijo (centro) de ese plano.
fijo (centro) de ese plano.
r r P(x; y) P(x; y) h h k k 0 0 XX Y Y C(h; k) C(h; k)
Si P(x; y) es un punto genérico de una Si P(x; y) es un punto genérico de una circunferencia de centro C(h; k) y radio circunferencia de centro C(h; k) y radio
r r CP
CP == entonces por la definici!n de entonces por la definici!n de
circunferencia se tiene" circunferencia se tiene" 2 2 2 2 r r CP CP r r CP CP == →→ == #s decir" #s decir" 2 2 2 2 2 2 (y(y k)k) r r h) h) (x (x−− ++ −− == $ esta
$ esta conticontinuacnuaci!n se i!n se conoconoce como ce como lala #C
#C%$%$C&C&' *' *+&+&$$*&*&$ $ o ,*o ,*-$-$ *
*+&+&$$*&*&$ $ de de la la ececuauacici!n !n de de ununaa circunferencia.
circunferencia.
Observación: Observación:
a circunferencia de centro en el origen de a circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio r tiene por ecuaci!n" coordenadas y radio r tiene por ecuaci!n"
2 2 2 2 2 2 yy r r x x ++ == ,*-$ C$'&C$ ,*-$ C$'&C$ donde" h / 0 y k / 0 donde" h / 0 y k / 0 (0; 0) (0; 0) r r P(x; y) P(x; y) X X Y Y Ejemplo: Ejemplo: +et
+etermerminainar r el centrel centro o y y el radio de el radio de lala circunferencia" circunferencia" 1} 1} 2) 2) (y (y 1) 1) R.R/(x R.R/(x y) y) {(x; {(x; C C== ∈∈ −− 22++ ++ 22== Resolución: Resolución: Sa1emos que" Sa1emos que" 1 1 h h h) h) (x (x 1) 1) (x (x−− 22== −− 22 ⇒⇒ == 2am1ién" 2am1ién" 2 2 k k k) k) (y (y 2) 2) (y (y++ 22== −− 22 ⇒⇒ ==−− uego
uego C(! "#$ % r & C(! "#$ % r & Ecuación 'eneral e la
Ecuación 'eneral e la CircunferenciaCircunferencia
S
Si i lla a eeccuuaaccii!!n n oorrddiinnaar ir ia a d e d e l al a circunferencia se desarrolla entonces se circunferencia se desarrolla entonces se tiene" tiene" 2 2 2 2 2 2 2 2 2hx2hx yy 2ky2ky kk r r x x −− ++ −− ++ ==
rdenando la ecuaci!n o1tenemos" rdenando la ecuaci!n o1tenemos"
)) r r k k (h (h 2k)y 2k)y (( 2h)x 2h)x (( y y x x22
+
+
22+
+
−
−
+
+
−
−
+
+
22+
+
22−
−
22=
=
3aciendo" 3aciendo" D & "#)* E & "#+* D & "#)* E & "#+* FF==hh22++kk22−−r r 22#cuaci!n que tiene la forma" #cuaci!n que tiene la forma"
0 0 F F Ey Ey Dx Dx y y x x22++ 22++ ++ ++ ==
Colegio
Colegio de
de Ciencias
Ciencias Alexander
Alexander Fleming
Fleming Asvea
Asvea B
B –
– 7
7
!en
!en "
" #nete
#nete al
al $%ui&o
$%ui&o 'anador(
'anador(
Matemática III
Matemática III
Matemática III
Matemática III
a ecuaci!n anterior es llamada forma general de la ecuaci!n de la circunferencia.
Observación:
Para sa1er si una ecuaci!n de la forma"
0 F Ey Dx y x2
+
2+
+
+
=
representa una circunferencia procedemos a completar cuadrados y o1tenemos" F 4 E Ey y 4 D Dx x 2 2 2 2 + + + + + + 4 4 E D 2 E y 2 D x 2 2 2 2 − + = + + + ⇒
Comparando esta ecuaci!n con la ecuaci!n" 2 2 2 (y k) r h) (x
−
+
−
=
1ser6amos que toda ecuaci!n de la forma" 0 F Ey Dx y x2
+
2+
+
+
=
representa una circunferencia de centro"
− − = 2 E ; 2 D Centro
+onde") & "D,# % + & "E,#
4F E D 2 1 r radio= = 2+ 2−
Siempre que se cumpla la condici!n"
0 4F E D2
+
2−
>
$n7lisis" a) Si" D2+
E2−
4F=
0 entonces r / 0 y la ecuaci!n se reduce a un punto el centro. 1) Si" D2+
E2−
4F<
0 entonces el radio r ser7 imaginario (complejo)luego la ecuaci!n no tendr7 representaci!n geométrica real. #s decir la ecuaci!n representa a una circunferencia imaginaria.
c) Si" D2
+
E2−
4F>
0 entoncesr-. y la ecuaci!n representar7 a una circunferencia de centro y radio dados.
Ejemplo :
a ecuaci!n x2
+
y2−
2x−
4y+
4=
0 corresponde a una circunferencia. 3allar el centro y el radio.
Resolución:
Completando cuadrados podemos transformar la ecuaci!n dada en la forma"
0 1 4) 4y (y 1) 2x (x2
−
+
+
2−
+
−
=
1 2) (y 1) (x− 2+ − 2= uego"C(* #$ % r & Ejemplo #: a ecuaci!n" x2+y2+4x+2y+1=0 representa o no a una circunferencia.
Resolución:
Si la ecuaci!n representa a una circunferencia se de1e cumplir"
0 4F E D2
+
2−
>
*eempla8amos 6alores" 0 4(1) 2 42+
2−
>
0 16 > efecti6amente se cumple #l radio" 16 r 2 2 1 r = → = Centro" 1) 2; C( 2 2 ; 2 4 C → − − − Ejemplo /:+eterminar la ecuaci!n dada a la forma ordinaria di6idiendo entre 9"
0 9 16y 12x 4y 4x2+ 2− + + = Resolución:
le6emos la ecuaci!n dada a la forma ordinaria di6idiendo entre 9"
0 4 9 4y x y x2+ 2− + + = Completando cuadrados 0 4 9 4 2) (y 4 9 2 x 2 2 = + − + + − − Simplificando" 4 2) (y 2 x 2 2 = + + −
Por lo tanto tenemos el centro"C(/,#* "#$
y radio"r & # Observaciones
tro método que tam1ién se usa para determinar si una recta de ecuaci!n"
L: A0 1 2% 1 C & . 34(
#s tangente a una circunferencia de ecuaci!n" 0 F Ey Dx y x2
+
2+
+
+
=
444(Consiste en resol6er simult7neamente las ecuaciones dadas; para determinar sus intersecciones. Si de( :x y se reempla8a en( ecuaci!n de la forma" 0 ! "y ax2+ + =
Cuyas ra<ces est7n dadas por"
2a 4a! " " x 2
−
±
−
=
a naturale8a de estas ra<ces depende del discriminante.
4a! " #= 2−
=eamos los siguientes casos"
4. Si" #="2−4a!<0 entonces las
ra<ces no son reales es decir no
existe intersecci!n entre la recta y la circunferencia.
d
L C
r
>. Si" #="2−4a!>0 entonces las
ra<ces son reales esto es existen dos puntos de intersecci!n entre la recta y la circunferencia por tanto la recta es secante d L C r A B
Conición e 5an6encia
?. Si" #
=
"2−
4a!=
0 entoncesexiste una @nica ra<8 real es decir existe un @nico punto de intersecci!n entre la recta y la circunferencia. uego la recta es tangente a la circunferencia.
d = r C
T L
#ste método llamado -A2+ +# +&SC*&-&$2# se usa tam1ién para determinar las tangentes a cur6as cuyas ecuaciones son de segundo grado.
Lon6i7u e la 5an6en7e 2) 2*
$
$
$ despejamos :y en términos de
$ se o1tiene una >0
+ados una circunferencia y un punto P exterior a ella se denomina longitud de la tangente (t) a la distancia entre el punto P y el punto tangencia 2. r C T t P d 2 2 r d t= − #jemplo"
+ada la ecuaci!n de una circunferencia
0 9 4x y x $ C 2+ 2− − =
a) 3allar la ecuaci!n de la tangente a la circunferencia C en el punto5& (8* /$
1) 3allar la longitud de la tangente a la circunferencia dada tra8ada desde el punto9 & (* $ Resolución: a) C = (2; 0) T = (4; 3) L
Completando cuadrados o1tenemos la ecuaci!n de la circunferencia" 1 y 2) (x
−
2+
2=
1 r = #cuaci!n de la recta " 2 % ) (x 2 4 y− = − ⇒ =uego la pendiente de la recta ser7"
m & "#,/
#n consecuencia su ecuaci!n es"
L: #0 1 /% ; < & . 1) Su propiedad" 1 100 t= − &' t= C & ( # * . $ % =RO2LE>A? =RO=UE?5O?
4.a ecuaci!n de la circunferencia que pasa por los puntosA(* #$! 2(8* @$ y
cuyo centro est7 so1re el eje B es" a)12x2
+
6x−
y2−
14=
01)6x2
+
12y2+
2x−
6=
0c)6x2
−
2x+
y2=
0d)6x2
+
6y2−
64x+
&4=
0e)6x2
+
12y2−
64x+
420=
0>.a ecuaci!n de la circunferencia que pasa por los puntos(#* /$ % (8* $ y quetiene su centro en la recta/0;8%&.
es" a)(x
−
4)2+
(y+
)2=
4 1)(x−
4)2+
(y−
)2=
4 c)x2+
y2−
4x+
4=
0 d)(x+
4)2+
(y+
)2=
4 e)(x−
4)2+
y2=
1?. #n la figura mostrada. 3allar 7rea de la regi!n som1reada. x2 + y2 = 25 y = x + 1 X Y a) 2 6 26 + 1) 2 '2 26 − c) 2 '2 26 − d) 2 '2 26 + e) 2 '2 26 +
9. a distancia m<nima del punto(/* $! a la circunferencia" 0 1 0y 26x y x2
+
2−
+
+
=
es" a)< 1) 9 c)#@ d) e) 66'.3allar la medida del 7ngulo agudo formado por la recta/0 ; % ; & . y la circunferencia 0 1 4x y x2
+
2−
−
=
a) 9D 1) E0D c) ?0D d) FD e) 4DE.3allar la ecuaci!n de la circunferencia que pasa por los puntosA & (/* #$ % 2 & (<* $ sa1iendo que la recta0;%&B
pasa por el centro de la circunferencia. a)(x
−
&)2+
(y−
)2=
21)(x
−
&)2+
(y−
)2=
26c)(x−3)2+(y−8)2=25
d)(x
−
)2+
(y−
&)2=
26e)(x
−
&)2+
(y+
)2=
26F.3allar la ecuaci!n de la circunferencia concéntrica a la circunferencia 0 2 10y 6x y x2
+
2−
+
−
=
; cuyo radio es un tercio del radio de esta circunferencia. a)x2+y2=4 1)(x−
)2+
(y+
)2=
9 c)(x−
)2+
(y−
)2=
9 d)(x−
)2+
(y−
)2=
4 e)(x−
)2+
(y+
)2=
4G. #n la ecuaci!n de la recta tangente a la circunferencia" 0 2 2y 2x y x2
+
2+
−
−
=
. #n el punto= & (#* B$4 a)/0 ; 8% & #@ 1)80 ; /% & #@ c)/0 1 8% & #@ d)80 1 /% & #@ e)@0 1 #% & /5. os puntos extremos de una cuerda de una circunferencia son"A & (#* <$ % 2 & (8* $4 a ecuaci!n de esta circunferencia que tiene su centro en el eje H es" a)x2
+
y2+
6y−
11=
0 1)x2+
y2−
6y+
29=
0 c)x2+
y2−
6y−
29=
0 d)x2+
y2−
6y−
11=
0 e)x2+y2+6y+11=040. Sean las circunferencias"
0 16 &y 12x y x $ C1 2+ 2− − + = y 2
C ; cuyo centro es (<* <$. a ecuaci!n de la recta que pasa por el punto(.* /$y es perpendicular a la recta que une los centros de estas circunferencias es"
a)0 1 /% ; / & . 1)0 ; /% 1/ & .
c)0 ; /% ; / & . d)/0 ; % 1 / & .
e)/0 1 % ; / & .
44. os extremos de un di7metro de una circunferencia C son los puntos
A & ("/* "8$ % 2 & (B* $4 a ecuaci!n de C es"
a)x2
+
y2+
2x−
4y−
4'=
030
>4 >>
1)x2
+
y2−
4x−
2y−
4'=
0c)x2
+
y2−
2x+
4y−
4'=
0d)x2
+
y2−
2x−
4y−
4'=
0e)x2
+
y2−
2x−
4y−
'=
04>. a ecuaci!n de la circunferencia cuyo centro es el puntoC & ("#* /$ y que es tangente a la recta#0 ; % ; # & . es" a)x2
+
y2+
20x−
0y−
16=
0 1)x2+y2+4x−6y+1=0 c)x2+
y2+
20x−
0y+
16=
0 d)x2+
y2+
4x−
6y+
16=
0 e)x2+y2+20x+0y+16=0 4?. a ecuaci!n" 0 1'' 64y &x 16y 16x2+
2+
−
+
=
representa" a)%n conjunto 6ac<o 1)%n puntoc) %na circunferencia de centro(",8! #$
d)%na circunferencia de radio '
e) %na circunferencia de centro(,8!"#$
y radio<
49. a rectaL: 0 1 % 1 & . intersecta a la circunferencia C$x2+y2= en
los puntos $ y I. 3allar el punto medio de *+
a)(.* $ 1) ("/,#* "/,#$
c)(− ;−1) d) (",#*
",#$
e)("! $
4. a recta% & 0 1 / es tangente a la circunferencia (x
−
1)2+
y2=
& en el punto(a* b$4 #ntonces a J 1 es" a) 4 1) 0 c) K4 d) ? e) K?4E. as circunferencias"
1 1) (y 1) (x $ C1
+
2+
−
2=
y 1 1) (y 1) (x $ C2+
2+
+
2=
. Son" a)Secantes 1)Coincidentes c) 2angentes interiores d)2angentes exteriores e)o se intersectan4F. %na circunferencia pasa por los puntosA&(#*8$! 2&(8*#$ % C&(*/$4
#sta encierra un 7rea de" a)B 1) 10/2
c)#
d) #!B e) .
4G. %na circunferencia encierra un c<rculo de 7rea 4-,2 y tiene su di7metro
so1re la recta% & 0. Si el punto $ de la circunferencia m7s cercano al origen dista de el 2unidades. #l centro de la circunferencia es" a) (/,#* /,#$ 1)(/,#* B,#$ c) (/* /$ d) ) 2 2 ; 2 (2 e) (B,#* B,#$
45. 3allar la ecuaci!n de la tangente a la circunferencia. 0 12 6y 4x y x2
+
2+
−
−
=
en el puntoA & ("B! <$ a)/018%;/ & . 1)80;/%18 & . c) 801/%; & . d)/0;B% 1B. & . e) /0;8% 1 8/ & .>0. #l puntoC & (/* "$ es el centro de la circunferencia que intersecta en la recta"#0 ; B% 1 & . una cuerda
cuya longitud es igual a E. 3allar la ecuaci!n de esta circunferencia.
a)(x
−
)2+
(y+
1)2=
1&1)(x
−
)2+
(y+
1)2=
4&c)(x
−
)2+
(y+
1)2=
&d)(x
+
)2+
(y−
1)2=
&e)(x
+
)2+
(y−
1)2=
2&>4. %na circunferencia de radio 1 es tangente a la circunferencia" 0 4' 2y 4x y x2
+
2−
+
−
=
en el punto (@* B$4 +eterminar las coordenadas de su centro. a)(8* #$ ó (* $ 1)(/* #$ ó (@* <$ c)(8* #$ ó (* @$ d)(#* 8$ ó (* $ e)(8* #$ ó(@* $ >>. Se ti ene la circunferencia" 0 12 6y 4x y x2+
2+
−
−
=
y el punto (?; ?). 3allar la ecuaci!n de la tangente a la circunferencia tra8ada por dicho punto.a) 0 & "/ 1)0 & / c)% & /
d) % & "/ e) 0 & B
>?. 3allar la ecuaci!n de una recta tangente a la circunferencia cuya ecuaci!n es" x2+y2+2x+4y=1
y pasa por el punto(* #$4 #l punto de tangencia es(* #$4
a)0 1 #% ; B & . 1)0 1 B% ; # & .
c)B0 1 #% & . d)B01 /% ; < & .
e)#0 1 /% ; & .
>9. 3allar la ecuaci!n de la circunferencia con centro (/* $ y tangente a la recta" 0 1 % 1 / & . a)2x2
+
2y2−
12x−
4y−
29=
0 1)2x2+
2y2−
12x−
4y−
0=
0 c)2x2+
2y2−
12x−
4y−
1=
0 d)2x2+
2y2−
12x−
4y−
2=
0 e)2x2+
2y2−
12x−
4y−
1=
0>. de la figura. 3allar -. Si"
> & 56 (x+1)2 + (y-7)2= 25 θ Y X a) 0 1) 0> c) 0F d) 4 e) ? >E. 3allar la ecuaci!n de la
circunferencia siC(! $ Y X C a)x2
+
y2−
2x−
y=
0 1)x2+
y2−
2x+
2y=
0 c)x2+
y2+
2x−
2y=
0 d)x2+
y2−
2x−
2y=
0 e) .$. >F. 3allar la ecuaci!n de la circunferencia" Y X 5 a)x2+
y2−
10x−
10y+
2=
0 3+ >? >9 1 ?ec1)x2
+
y2−
10x+
10y−
2=
0c)x2+y2+10x−10y+2=0
d)x2+y2−10x+10y+2=0
e) .$.
>G. hallar :n de modo que el radio de la circunferencia" 0 n 10y 6x y x2
+
2+
−
−
=
sea E unidades a) 4 1) 4> c) G d) 4G e) > >5. 3allar la circunferencia" C (1, 1) (7, ) a)x2+
y2−
&x−
10y+
16=
0 1)x2+y2−&x+10y+2=0 c)x2+
y2−
&x−
10y+
2=
0 d)x2+y2−&x+10y+2=0 e)x2+
y2−
&x−
10y+
19=
0?0. Lrea del cuadradoA2CD & ..,2.
3allar la ecuaci!n de la circunferencia.
X Y ! A C B a) x2+y2=20 1) 0 y x2+ 2= c) x2+y2=40 d) 0 y x2+ 2= e)x2+y2=60 ?4. #nC$x2+y2−4x+&y+29=0. 3allar la posici!n del centro.
a)(#* /$ 1)(#* "/$ c)(#* 8$ d)(#* "8$ e) imposi1le ?>. #n la figura" 6 6) (y &) (x $ C
−
2+
−
2=
. 3allar :a Y X T L " # a)?FD 1) ?D c) F9D d) E0D e) FD ??. 3allar la circunferencia con centro enC(K>; ) y pasa por (>; >) a)x2
+
y2+
4x−
10y−
4=
0 1)x2+
y2+
4x−
10y+
4=
0 c)x2+
y2−
4x−
10y−
4=
0 d)x2+
y2+
4x+
10y−
4=
0 e)x2+
y2+
4x−
11y−
4=
0 ?9. 3allar la circunferencia" 0 6 y 4x $ .1 − − = 0 24y 'x $ .2 − + = 0 4y x $ . − − = X Y L2 L1 L3 a)(x−
10)2+
y2=
2 1)(x+
10)2+
y2=
6 c)(x−
10)2+
y2=
6 d)(x−
20)2+
y2=
49 e)(x+
20)2+
y2=
49 ?. 3allarC: A("#* "$ Y X A a)(x+
)2+
(y+
)2=
1)(x+
)2+
(y+
)2=
2 c)(x+
)2+
(y+
)2=
24 d)(x+
)2+
(y+
)2=
29 e)(x+
)2+
(y+
)2=
2 ?E. 3allar C" Y X 3 5 a)x2+
y2−
16x+
10y−
2=
0 1)x2+y2+16x−10y+2=0 c)x2+
y2−
16x−
10y+
2=
0 d)x2+y2−16x+10y+2=0 e).$. ?F. 3allar C" si*+=' 2 Y X A B a)(x−
')2+
(y+
')2=
4 1)(x−
')2+
(y+
')2=
41 c)(x−
')2+
(y+
')2=
492 d)(x−
')2+
(y+
')2=
42 e)(x−
')2+
(y+
')2=
49 ?G. 3allar C" Y X 5 a)x2+y2+11x+10y+20=0 1)x2+y2+10x+11y+20=0 c)x2+y2+10x+11y+2=0 d)x2+y2+11x+10y+2=0 e).$.?5. 3allar la distancia entre las circunferencias 0 4 2y 4x y x $ C1 2+ 2+ − + = 33 > >E
0 4 4y 4x y x $ C2 2+ 2+ − + = a) 1' 1) 1'+1 c) 1' + d) 1'− e)N4A4 90. 3allar C"P=2 2+2 Y X (h; k) " P a)x2+y2+4x+10y+2=0 1)x2+y2+40x+4y+4=0 c)x2+y2+4x−4y+4=0 d)x2+y2+10x+10y+2=0 e).$. 94. 3allar el per<metro( 0 14 10y 10x y x $ C 2+ 2+ + − = A B C a) 1)12 c) & d) 24 e)2 9>. 3allar C Y X 2 4y = x a)x2
+
y2+
10x−
4y+
20=
0 1)x2+y2+16x+4y+20=0 c)x2+
y2−
16x−
4y+
64=
0 d)x2+y2+10x+10y+2=0 e).$. 9?. 3allar C" Y X L$ 2x - y - 5 = 0 B a)(x−
/)2+
(y+
)2=
2/4 1)(x−
/)2+
(y+
/)2=
2/9 c)(x−
)2+
(y+
/2)2=
2/4 d)(x−
/)2+
(y+
/)2=
/4 e).$. 99. 3allar C" Y X 2x +y-5=0 " a)x2+y2=20 1) x2+y2=2& c)x2+y2=2 d) x2+y2= e).$. 9. 3allar C" Y X % 4 a)(x−)2+(y− 2)2=9 1)(x−)2+(y−2 2)2=9 c)(x−)2+(y− 2)2=9 d)(x−)2+(y−4 2)2=9 e).$.9E. 3allar la longitud de la circunferencia cuya ecuaci!n es"
0 12 20y 0x 2y 2x $ C 2
+
2+
−
−
=
a)B 1) 8 c) d)# e) / 9F. 3allarC: A("#* $ Y X " A a)(x+
)2+
(y−
)2=
2 1)(x−
)2+
(y−
)2=
2 c)(x+
)2+
(y+
)2=
2 d)(x−
)2+
(y+
)2=
2 e).$. 9G. 3allar :m 0 1 4y 2x y x $ C 2+ 2− − + = Y X (10; 8) & a) . 1) 11 c) 111 d) 114 e) 112 95. 3allar :k 0 1 2x y x $ C 2+ 2− − = 2 *+= Y X A(k; -2) B a)"/ 1)"# c)"8 d)"B e) 4K 100. 3allar la distancia m<nima del punto
=(<* .$ a la circunferencia. 0 20 4y 2x y x2
+
2−
−
−
=
a)2 10−4 1) 10− c) 10− d) 2 1− e)2 10−4. 3allar el 7rea del c<rculo cuya ecuaci!n es" 0 ' 12y '2x 9y 9x2+ 2+ + + = a)4>π 1) 4π c) 49π d)4?π e) 4Eπ 3, 36 >F >G A2C$4
>. 3allar el punto de intersecci!n de las circunferencias" 0 1 12y 16x 4y 4x2
+
2−
+
+
=
0 6y 4&x 12y 12x2+
2−
+
+
=
a) (0; 0) 1) (?; >) c) o se intersectan d) (>; ?) e) .$.?. 3allar la ecuaci!n de la circunferencia que pasa por los puntos(.*.$! (/*@$! (<*.$ a)x2
+
y2−
'x+
10y−
14=
0 1)x2+
y2−
'x−
4y=
0 c)x2+y2+'x+4y+20=0 d)x2+
y2−
'x−
4y=
0 e)x2+
y2−
'x+
4y=
09. 3allar la ecuaci!n de la circunferencia que pasa por los puntos"
(#*"#$!("*8$!(8*@$ a)6x2
