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ALGEBRA (Ciencias) – a˜no 2019 PR ´ACTICA 1
L´ogica
1. Determinar si los siguientes enunciados son proposiciones. Justificar a) Siete es mayor que doce.
b) Si 6 > 4 entonces 6 > 2 c) Qu´e n´umero es?
d ) De 2 + 3 ≥ 5 + 4 se deduce 3 > 4. e) Cualquier rect´angulo tiene cuatro lados. f ) x > 2.
2. Escribir las siguientes proposiciones en lenguaje simb´olico. Indicar su valor de verdad. a) 8 es par o 6 es impar
b) 8 es par y 6 es impar
c) Si 8 es impar y 6 es impar, entonces 8 < 6. d ) 10 es m´ultiplo de 5 pero no de 3.
3. Dadas la siguientes proposiciones, reescribirlas utilizando “necesario” y “suficiente”. a) Si un n´umero es m´ultiplo de 3 entonces su cuadrado es m´ultiplo de 9.
b) Un n´umero es m´ultiplo de 4 s´olo si es divisible por 2. c) Un n´umero es m´ultiplo de 7 si es m´ultiplo de 21.
Enunciar los condicionales: rec´ıproco, contrario y contrarrec´ıproco. Decir cu´ales son equiva-lentes.
4. Construir las tablas de verdad de las siguientes f´ormulas y clasificarlas en tautolog´ıas, con-tradicciones y contingencias. a) ∼ p → (q∨ ∼ p) b) ((p ∧ q) → p) → q c) (p ∧ q) →∼ p d ) p ∧ (q∨ ∼ p) e) (∼ p → q) → (∼ q → p) f ) ((p ∧ q) ∨ (r∧ ∼ q)) ↔ ((∼ p∧ ∼ q) ∨ (∼ r∧ ∼ q)) 5. Probar al menos una de las siguientes tautolog´ıas.
a) (p ∧ (p → q)) → q (Modus Ponens)
b) (∼ q ∧ (p → q)) →∼ p (Modus Tolens)
c) ((p ∨ q)∧ ∼ p) → q (Modus Tollendo Ponens)
d ) p → (p ∨ q) (Adici´on)
e) (p ∧ q) → p (Simplificaci´on)
6. Probar al menos una de cada una de las siguientes equivalencias l´ogicas a) Doble Negaci´on:
b) Leyes Conmutativas: p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p c) Leyes Distributivas: (p ∨ q) ∧ r ⇐⇒ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) (p ∧ q) ∨ r ⇐⇒ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) d ) Leyes Asociativas: p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∧ r p ∨ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ r e) Leyes de De Morgan: ∼ (p ∧ q) ⇐⇒ ∼ p ∨ ∼ q ∼ (p ∨ q) ⇐⇒ ∼ p ∧ ∼ q
7. Simbolizar utilizando esquemas, cuantificadores y conectivos l´ogicos: a) Todos los n´umeros son enteros.
b) Existen n´umeros impares o no todos los n´umeros son pares.
c) Para todo par de n´umeros, si son reales y su producto es uno entonces uno es el inverso del otro.
d ) Para todo par de n´umeros reales, existe otro que es mayor que ambos. e) Cualquier rect´angulo tiene cuatro lados.
8. Escribir en lenguaje corriente las siguientes proposiciones, siendo el universo el conjunto de los n´umeros reales y los esquemas definidos como sigue:
p(x) : x es par q(x) : x es divisible por 2 r(x) : x > 0 p(x, y) : y > x q(x, y) : x + y = 0 a) (∀x) (p(x) → q(x)) b) (∃y)(∀x)(p(x, y)) c) (∀x)(∃y)(p(y, x + 3))
d ) (∀x) ( r(x) → ((∃y)(∼ r(y) ∧ q(x, y)))
9. Negar las proposiciones dadas de los dos ejercicios anteriores, obteniendo una forma equiva-lente.
10. a) Hallar universo y esquemas para que las siguientes proposiciones sean verdaderas 1) (∀x)(p(x) ∧ q(x)) 2) (∃x)(p(x) ∧ q(x)) 3) (∀x)(p(x)) → (∃x)(q(x)) 4) (∃x)(p(x)) → (∀x)(q(x)) 5) (∀x)(∃y)(p(x, y)) 6) (∃y)(∀x)(p(x, y)) 7) ((∃x)(p(x)) ∧ (∃x)(q(x))) → ((∃x)(p(x) ∧ q(x)))
b) Para las proposiciones dadas en el item anterior, hallar universo y esquemas para que sean falsas.
————–Ejercicios de repaso——————————
11. Sean p ,q y r proposiciones. Determinar si son equivalentes las siguientes f´ormulas: (∼ p → (q ∧ r)) ; (((∼ q∨ ∼ r)∧ ∼ q) → p)
12. a) Definir el universo, los esquemas y simbolizar la siguiente proposici´on:
Para todo par de n´umeros reales, si su suma es 16 y su producto es 9 entonces uno de ellos es 5
b) Negar la proposici´on anterior en forma simb´olica y escribirla en lenguaje corriente. Justifique cada paso de la negaci´on.
13. Sean U = {elastico, metal, pala}, p(x) : i es una de las vocales de la palabra x,
q(x) : l es una de las consonantes de la palabra x . Determinar el valor de verdad de la pro-posici´on: (∀x) (p(x)∨ ∼ q(x)). Justifique
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ALGEBRA (Ciencias) – a˜no 2020 PR ´ACTICA 2
Conjuntos. Parte I
1. Definir los siguientes conjuntos por extensi´on: a) {x : x es un d´ıa de la semana}
b) {k : k ∈Z ∧ − 5 < k < 10}
2. Definir los siguientes conjuntos por comprensi´on: a) El de los enteros impares.
b) El que tiene como elementos las siguientes letras: u, i, o, e, a. 3. Definir de distintas maneras los siguientes conjuntos:
a) A = {x : x ∈ R ∧ x = 2x} b) B = ∅
c) C = {0}
4. ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos es el conjunto vac´ıo? a) A = {x : x ∈ R ∧ x2+ 1 = 0} b) B = {x : x = −x ∧ x ∈ R} c) C = {∅} d ) D = ∅ e) E = {x : x2 = 9 ∧ 2x = 4 ∧ x ∈ R} f ) F = {y : y > 2 ∧ y < 2}
5. ¿Cu´ales de los siguientes conjuntos son iguales? a) A = {x : x es un d´ıgito del n´umero 123123} b) B = {x : x ∈Z ∧ 1 < x < 3} c) C = {∅} d ) D = ∅ e) E = {x : x ∈Z ∧ 1 ≤ x ≤ 3} f ) F = {x : x ∈ Q ∧ 1 < x < 3} g) G = {x : x − 2 = 0 ∧ x ∈ R}
6. Sea A = {1, 2, {3}, {1, 2}, −1}, decir si son verdaderas o falsas las siguientes relaciones. Justifique.
a) 3 ∈ A b) {1, 2} ⊆ A c) {1, 2} ∈ A
d) {3} ⊆ A e) {{3}} ⊆ A f) ∅ ∈ A
g) {−1, 2} ⊆ A h) ∅ ⊆ A i) {1, 2, −1} ∈ A
7. Determinar si A ⊆ B en cada uno de los siguientes casos a) A = {1, 2, 3} B = {1, 2, −3, {3}}
b) A = {−2, −1, 0, 1, 2} B = {x ∈ R : |x + 3| ≤ 1} c) A = {∅} B = ∅
d ) A = {x ∈ Z : -1≤x≤1} B = {x ∈ R : x3−x=0}
8. Sean: A = {1, 3, {2, −2}}; B = {3, 4, 13, b}; C = {0, b, 2, 3}. Hallar: A∪B, B ∪C, C ∪A, A∪(C ∪B), (A ∪ B) ∪ C, A ∩ B, B ∩ C, (A ∩ B) ∩ C y A ∩ (B ∩ C).
9. Sean A = {x ∈ Z : x es m´ultiplo de 3}, B = {x ∈ Z : x es m´ultiplo de 7} y C = {x ∈ Z : x es m´ultiplo de 21}. Probar que:
a) C ⊂ A y A 6= C b) C ⊂ B y B 6= C c) C ⊂ A ∩ B.
10. Hallar la uni´on de los conjuntos A y B en los siguientes casos:
a) A = {x : x ∈Z ∧ − 2 ≤ x ≤ 8}; B = {x : x ∈Z ∧ − 5 ≤ x ≤ 3} b) A = {x : x ∈ N ∧ 1 ≤ x < 8}; B = {x : x ∈ N ∧ 8 < x ≤ 12} 11. Hallar la intersecci´on de los conjuntos A y B, en los siguientes casos: a) A = {x: x ∈ R ∧ 0 ≤ x ≤ 6}, B= {y: y ∈ N ∧ 0 < y ≤ 10}
b) A = {x: −1 < x ≤ 1/4 ∧ x ∈ R}, B = {z : −1 < z < 0 ∨ 0 < z < 3, z ∈ R} 12. Si A y B son conjuntos, probar:
a) ∅ ∪ A = A. b) A ⊂ A ∪ B. c) A ∩ ∅ = ∅. d ) A ∩ B ⊂ A e) A ∩ A = A
13. Probar (usando el contrarrec´ıproco):
a) Sea P el conjunto de los n´umeros enteros pares. x2∈ P =⇒ x ∈ P .
b) A ∪ B = ∅ =⇒ (A = ∅ ∧ B = ∅).
14. Probar (usando el m´etodo de reducci´on al absurdo): a) Sean C = {0}, a y b n´umeros reales.
a.b ∈ C =⇒ (a ∈ C ∨ b ∈ C). b) A ∪ B = ∅ =⇒ (A = ∅ ∧ B = ∅). 15. Probar (usando el m´etodo directo):
a) Sean C = {x ∈ R| x8− x2 = 0 } y D = {x ∈ R| x4− x = 0 }
x ∈ C =⇒ x2 ∈ D.
b) (A 6= ∅ ∨ B 6= ∅) =⇒ A ∪ B 6= ∅. 16. Siendo A, B y C conjuntos, demostrar que:
a) Si A ⊂ B y B ⊂ C y C ⊂ A entonces A = B = C. b) Si X ⊂ ∅ entonces X = ∅.
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ALGEBRA (Ciencias) – a˜no 2020 PR ´ACTICA 3
Conjuntos. Parte II.
1. a) Sea A = {1, {2}, {∅}, {1, 2}}, hallar P (A). b) Hallar: P (∅) y P (P (∅)). 2. Demostrar: a) A ∩ B = ∅ ⇐⇒ P (A) ∩ P (B) = {∅} b) P (A ∩ B) = P (A) ∩ P (B) 3. Sean: A = {1, 3,√4}; B = {3, 4, 13, b}; C = {0, b, 2, 3}. Hallar: A − B, A − C, A − (C − B), (A − B) − (A − C), (A − B) − A. 4. a) Sean A = {1, 2, 3}, B = {7}, C = {3, 6}, D = {5, 9, 10} y U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. Hallar: (Bc∪ D) ∩ C, (D ∩ A) ∪ Bc, (C − D)c∪ A, Ac− C.
Los complementos se toman con respecto a U .
b) Hallar el complemento de A={x ∈ N / 1 ≤ x} y de B={x ∈ R / 1 ≤ x} siendo UA = N y
UB= R.
5. Sean A ⊂ U y B ⊂ U , siendo U un universo dado. Probar:
a) A − B = A ∩ Bc b) (A ∩ B)c= Ac∪ Bc
6. Determinar si la siguiente afirmaci´on es verdadera o falsa. Justificar. A ∩ B = ∅ entonces A ⊂ Bc 7. ¿Cu´al o cu´ales de las siguientes expresiones son equivalentes a A ⊆ B?
(a)A ∩ Bc= ∅ (b) A ∩ Bc= A (c) A ∪ Bc= U (d) Ac∪ B = U 8. Hallar A∆B en los siguientes casos:
a) A = {x: x ∈ R∧ x ≥ 1}, B = {x: x ∈ R∧ x ≤ 3}
b) A es el conjunto de los n´umeros impares; B es el intervalo natural [12, 30].
9. Probar:(A, B, C conjuntos; U el universo donde est´an definidos esos conjuntos). Representar uti-lizando diagramas de Venn
(a) A − (B − C) = (A − B) ∪ (A ∩ C) (b) A − B ⊂ A (c)A − B = (A ∪ B) − B (d) A − B = A − (A ∩ B) (e) (A ∩ B) − C = (A − C) ∩ (B − C) (f) A∆B = B∆A (g) A∆U = Ac
a) (5x − 2,1); (3,x − 3y) b) (x + 3,4); (2, x + y)
11. Sean A y B conjuntos, se define el conjunto A × B = {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}.
Para los siguientes conjuntos, A = {1,3}, B = {w,u,1}, C = {∅,1}, D = ∅ y U = A∪B∪C∪D, determinar: (a) A × B (b) C × A (c) A × D (d) (A − B) × C (e) (A − C) × D (f) (Bc∪ C) × A (g) A × (B ∪ C) (h) (A × B) ∪ (A × C) (i) (A × B) ∩ (A × C) (j) (A × B) − (A × C) (k) (A ∩ C) × (D ∪ B).
12. Para los siguientes conjuntos, hallar y representar en el plano A × B: a) A = {1, 2, 3}, B = {−1, 5}.
b) A = [0, 1], B = [−1, 1]. c) A = [0, 4), B = (−5, 2]
———————–Ejercicios de Repaso————
13. Sean E = {2, 3, {3}}, A = {x : x natural ∧ 0 < x < 5} y siendo U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, {3}} el universo respecto del cual se toma el complemento. Hallar:
a) E ∩ Ac b) A ∩ Ec.
c) Un conjunto H tal que H ⊆ A d ) Un conjunto W tal que E ⊆ W . 14. Sea A = {2, {∅}, {x}}.
a) Hallar P (A).
b) Decir si son V o F las siguientes afirmaciones 1) {x} ⊂ A,
3) {∅} ⊂ A.
15. Determinar si la siguiente afirmaci´on es V o F. Sea A un conjunto y B ⊂ P (A). Si X ∈ B entonces X ∩ A = X.
16. Sean A y B conjuntos. Demostrar que: Si A ⊆ B entonces (A ∪ B) − (A ∩ B) = B − A. 17. Sean A y B subconjuntos de un universo U . Probar: Ac⊂ B si y s´olo si A ∪ B = U . 18. Sean A, B, C conjuntos y U el universo sobre el que se toma el complemento.
a) Probar que A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C).
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ALGEBRA (Ciencias) – a˜no 2020 PR ´ACTICA N◦ 4
N´umeros Naturales
——————————Parte 1: Sucesiones-Notaci´on Sigma-Productoria———————————— 1. Escribir los 5 primeros t´erminos de las siguientes sucesiones:
a) an= n4− 5n n = 1, 2, · · ·
b) bj = xj· y−(j+1) j = 1, 2, · · · x, y fijos.
c) a1 = 1, a2 = 2, am= (−2) · am−1+ am−2 m = 3, 4, · · ·
2. Para los siguientes casos determinar una f´ormula general para an e indicar a partir de qu´e valor
de n tiene validez. a) 1,1 3, 1 9, 1 27, · · · b) 2, −2, 2, −2, 2, −2, 2, −2, · · · c) −2, 4, −6, 8, −10, · · · d ) 2 4, 3 5, 4 6, 5 7, · · · e) 3, 5, 9, 17, 33, 65, · · ·
3. Dada la siguiente sucesi´on: 7, 10, 13, 16, 19, · · · ¿C´omo es la diferencia de dos t´erminos consecu-tivos?
A estas sucesiones se las llama ARITMETICAS, porque la diferencia entre dos t´erminos conse-cutivos es constante. En general si { an}n∈N , n ≥ 1, es aritm´etica, dado el primer t´ermino a1
resulta que an= an−1+ d, ∀ n ≥ 2 , donde d es la diferencia.
a) Encuentra una definici´on expl´ıcita para la sucesi´on aritm´etica dada.
b) Encuentra una definici´on expl´ıcita para una sucesi´on aritm´etica cualquiera.
4. Dada la siguiente sucesi´on: 3, 6, 12, 24, 48, 96, · · · ¿C´omo es el cociente entre dos t´erminos conse-cutivos?
A estas sucesiones se las llama GEOMETRICAS, porque el cociente entre dos t´erminos conse-cutivos es constante. En general si { an}n∈N, n ≥ 1, es geom´etrica, dado el primer t´ermino a1
resulta que an= an−1· r, ∀ n ≥ 2 , donde r es la raz´on.
a) Encuentra una definici´on expl´ıcita para la sucesi´on geom´etrica dada.
b) Encuentra una definici´on expl´ıcita para una sucesi´on geom´etrica cualquiera.
5. El s´eptimo t´ermino de una sucesi´on aritm´etica es 79 y el decimotercero es 150. Encontrar el primer t´ermino y la diferencia.
6. a) Indicar cu´ales de las siguientes sucesiones son iguales: 1) as= 2s+13s+1 para s ≥ 0, s ∈ N.
2) em= 2(m+1)+13(m+1)+1 para m ≥ 0, m ∈ N
3) bj = 2(j−1)+13(j−1)+1 para j ≥ 1, j ∈ N
4) cw = 2(w+2)+13(w+2)+1 para w ≥ −2, w ∈ Z
5) dh = 2h+13h+1 para h ≥ 1, h ∈ N
b) Indicar una nueva definici´on para la primer sucesi´on del inciso a) de manera que el sub´ındice comience en 2
7. Desarrollar las siguientes sumatorias:
a) 7 X j=4 (j)j−1 (j − 1)j+1 −1 b) 5 X k=1 ak· bk c) 5 X k=1 (8 + k)
8. Expresar usando el s´ımbolo de sumatoria. a) √31 +√32 +√34 +√38 +√316 b) 1 −1 8 + 1 27 − 1 64 + 1 125 c) a4b0+ a3b1+ a2b2+ a1b3+ a0b4 9. Desarrolar los siguientes productos.
a) 5 Y j=1 (−1)j(j + 1) b) 4 Y j=2 aj(b + j) c) 4 Y k=1 −2
10. Expresar usando el s´ımbolo de productoria. a) 1 3 · 1 9· 1 15 · 1 21 b) b1· b2· b3· b4· · · bh h factores. c) 4 5 · 6 10 · 8 15 · 10 20· · · n factores.
11. Expresar cambiando la variaci´on de los sub´ındices y consecuentemente el t´ermino general para que valgan las siguientes igualdades.
a) 6 X i=1 2i· [3 · (i + 2) − 7i] = ··· X j=2 · · ·
b) m X i=1 ai = ··· X j=6 · · · = ··· X s=2 · · · = ··· X h=R · · · R constante.
12. Expresar utilizando los factoriales convenientes (m, k, r ∈ N ∧ r > 1 ∧ k > 1)
(a) 10 · 9 · 8 (b) (r + 2)(r + 1)r(r − 1)
(c) k2(k2− 1) (d) 2m(2m − 2)(2m − 4)(2m − 6) · · · 6 · 4 · 2 13. Hallar n, si es que existe, que verifique:
(a) n! (n − 1)! = 21 (b) n! (n − 2)! = 15 (c) n! − (n − 1)! (n − 2)! = 49
———————————–Parte 2: Principio de Inducci´on———————————————
14. Demostrar aplicando el principio de inducci´on: a) 1 2 + 1 4 + · · · + 1 2n = 1 − 1 2n ∀ n ≥ 1 b) 1 + 23+ 33+ · · · + n3 = n(n + 1) 2 2 ∀ n ≥ 1 c) n X i=1 i · 2i−1 = 1 + (n − 1) · 2n ∀ n ≥ 1 d ) n X i=0 −1 4i2− 1 = n + 1 2n + 1 ∀ n ≥ 0 e) 1 + 2 + 3 + · + n = n(n + 1) 2 ∀ n ≥ 1
f ) Suma de los n primeros t´erminos de una sucesi´on geom´etrica:
n X i=1 a · Ri−1= a ·(R n− 1) R − 1 ∀ n ≥ 1 R 6= 1 g) Suma de los n primeros t´erminos de una sucesi´on aritm´etica:
n X i=1 (a + (i − 1)d) = n · [2a + (n − 1)d] 2 ∀ n ≥ 1 h) n Y i=2 1 −1 i = 1 n i ) n X i=1 i · i! = (n + 1)! − 1 ∀ n ≥ 1
15. Calcular utilizando propiedades de la suma y los resultados del ejercicio anterior:
a) 48 X i=8 1 2i
b) 78 X j=40 j · 2j c) 40 X k=10 (8 + 7k) d ) h X t=0 9 · 4t+1
e) La suma de los 70 primeros impares f ) La suma de los 90 primeros pares
g) Un mendigo le propuso a un avaro :”Durante este mes le dar´e a usted 1 peso el primer d´ıa, 2 pesos el segundo, 3 pesos el tercero y as´ı sucesivamente. A cambio usted me dar´a 10001 el primer d´ıa, 10002 el segundo, 10004 el tercero, 10008 el cuarto, y as´ı sucesivamente”. El avaro acept´o entusiasmado y convinieron en hacer el pago a fin de mes. Qui´en de los dos se qued´o con m´as dinero?
16. a) Demostrar por inducci´on quePn
i=12 · (34)i−1= 8.(1 − ( 3
4)n) para todo n, n ∈ N, n ≥ 1
b) Hallar el valor de la siguiente suma: P100
i=5(2 · ( 3 4)
i+1+ 2)
17. Probar por Inducci´on Completa
a) Sea anuna sucesi´on de n´umeros naturales tales que a1= 18, a2= 170 y se verifica la siguiente
relaci´on : an= 18an−1− 77an−2 ∀ n ≥ 3
Probar que an= 7n+ 11n ∀ n ≥ 1
b) Dada la sucesi´on de Fibonacci, definida recursivamente por a1= 1, a2 = 1 y an= an−1+an−2
∀ n ≥ 3 Probar que an= √15 · (1+ √ 5 2 ) n −√1 5 · ( 1−√5 2 ) n ∀ n ≥ 1
c) Sea an una sucesi´on de n´umeros naturales tales que a1 = 0, a2 = 3 y se verifica la siguiente
relaci´on : an= 9an−2 ∀ n ≥ 3
Probar que an= 3
n+(−3)n
6 ∀ n ≥ 1
———————————————Ejercicios OPTATIVOS———————————————– 18. Probar que si an es una sucesi´on geom´etrica definida recursivamente por: a1 y an = an−1.r,
∀ n ≥ 2 entonces el t´ermino expl´ıcito es an= a1.rn−1 ∀ n ≥ 1
19. Sea (an)n∈Nuna suceci´on definida como sigue: a1 = 5 y an= 2 · an−1+ 1 para todo n > 1. Probar
por inducci´on: an+ 1 = 2n−1· 6.
20. Probar por inducci´on completa: xn− yn= (x − y) · n−1
X
k=0
xn−1−k· yk ∀ n ≥ 1
21. a) Escribir usando el s´ımbolo de productoria el siguente producto: (1 − x)(1 + x)(1 + x2)(1 + x22)...(1 + x2n)
b) Demostrar por inducci´on (1 − x)(1 + x)(1 + x2)(1 + x22)...(1 + x2n) = 1 − x2n+1 para todo
natural n ≥ 1.
22. Demostrar por el m´etodo de inducci´on completa:
n Y i=1 n + i 2i − 3 = 2n(1 − 2n) ∀ n ≥ 1 23. Probar las siguientes desigualdades utilizando el principio de inducci´on.
a) (m + 1)! ≥ 2 · m! ∀m ≥ 1 b) 6n≥ 1 + 4n ∀ n ≥ 1 c) 3n≥ 3n ∀ n ≥ 1 d ) 3n2 ≥ 2n + 1 ∀ n ≥ 1 e) 2n> 2n + 1 ∀ n ≥ 3 f ) 2n< n! ∀ n ≥ 4
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ALGEBRA (Ciencias) – a˜no 2020 PR ´ACTICA 5
Combinatoria
=⇒ SUGERENCIA: Para resolver los ejercicios es conveniente analizar c´omo hay que contar la cantidad de casos posibles independientemente de si se corresponde con una permutaci´on, variaci´on o combinaci´on. Es decir, no es necesario identificar, leyendo s´olo el enunciado, si el problema corresponde a una permutaci´on, variaci´on o combinaci´on.
1. Con un alfabeto de 27 letras y los d´ıgitos del 0 al 9
a) Cu´antas claves de 1 letra y un n´umero, en ese orden se pueden formar? b) Cu´antas de 2 letras primero y 2 n´umeros despu´es si se permiten repeticiones? c) Cuantas de 2 letras primero y 2 n´umeros despu´es si no se permiten repeticiones?
d ) Cu´antas de 2 letras primero y 2 n´umeros despu´es si se permiten repeticiones, que comiencen con A y terminen con 0?
e) Cu´antas de 2 letras primero y 2 n´umeros despu´es si se permiten repeticiones, que empiecen con A o terminen con 0?
2. Con los d´ıgitos 1,2,3,6,7,8; ¿Cu´antos n´umeros de 4 cifras disitintas pueden formarse? a) Sin restricciones;
b) Que sean pares;
c) Que comiencen y terminen con un d´ıgito impar.
3. Se dispone de 10 libros de Matem´atica, 5 de F´ısica y 8 de Astronom´ıa.
a) ¿De cu´antas maneras pueden ordenarse en un estante si los de una misma materia deben estar juntos entre s´ı
b) ¿De cu´antas si s´olo los de Astronom´ıa deben estar juntos entre s´ı?
4. ¿Cu´antos anagramas de la palabra MONEDA se pueden formar? ¿Cu´antos que tengan la letra M en el tercer lugar? ¿Cu´antos en los que aparezca la secuencia MO? ¿Cu´antas en la que no aparezca la secuencia MO?
5. ¿Cu´antos anagramas de la palabra MATEMATICA se pueden formar? ¿Cu´antos que no comiencen con M? ¿Cu´antos que comiencen y terminen con la misma letra?
6. ¿De cu´antas formas pueden alinearse 6 personas vestidas de rojo y 6 vestidas de verde a) sin restricciones;
b) en forma alternada;
c) las que est´an vestidas de rojo primero y las de verde despu´es;
d ) primero tres vestidas de rojo, luego las 6 de verde y finalmente las tres personas restantes. 7. En una clase con 30 estudiantes hay que seleccionar una comisi´on compuesta por 5 personas. ¿De
cu´antas forma puede hacerse a) sin restricciones;
b) si Juan y Pedro no pueden estar juntos en la comisi´on; c) si es obligaci´on incluir a Rosa o a Blanca.
8. De un grupo formado por 6 estudiantes de f´ısica y 8 de meteorolog´ıa se quieren seleccionar 2 de f´ısica y 3 de meteorolog´ıa para fomar una comisi´on. ¿De cu´antas formas puede hacerse
a) sin restricciones,
b) si Juan y Pedro, ambos estudiantes de f´ısica, no pueden estar juntos;
c) si Juan, que estudia f´ısica, y Mar´ıa, que estudia meteorolog´ıa, no pueden estar en la misma comisi´on,
d ) si Pedro, que estudia meteorolog´ıa, y Rosa, que estudia f´ısica, deben estar en la misma comisi´on.
9. Veintidos personas participan de una reuni´on y deben formar dos equipos de trabajo, ambos con igual n´umero de integrantes; uno de ellos debe estar dirigido por Ema y el otro por Agustina:
a) ¿Cu´antos equipos distintos pueden formarse?
b) ¿Cu´antos equipos distintos si hay 3 personas (particulares) que deben estar con Ema y 2 (tambi´en particulares) en el equipo de Agustina?
10. Probar:
C(n − 1, r) + C(n − 1, r − 1) = C(n, r).
================================================== =⇒ SUGERENCIA: Resolver los siguientes ejercicios utilizando binomio de Newton.
11. Si Cr es el coeficiente del r-´esimo t´ermino del desarrollo de (1 + x)n. Determinar si existe n, para
que C5= 70 y C7 = 28. En caso de que exista hallarlo.
12. Hallar el t´ermino independiente de x en el desarrollo de (x2− 2x−1)12.
13. Determinar si existe n, tal que en el desarrollo de (2 + 3b)nel coeficiente de b12 es cuatro veces el coeficiente de b11. En caso de que exista, hallarlo.
15. Evaluar las siguientes sumas (sin desarrollar los combinatorios): a) C(6, 0) + C(6, 1) + .... + C(6, 5).
b) C(6, 0) − C(6, 1) + C(6, 2) − C(6, 3) + .... + C(6, 6).
16. Usando el desarrollo de (1 + x)n y dando a x un valor adecuado, probar: a) ) 1 − 2C(n, 1) + 22C(n, 2) − 23C(n, 3) + ... + (−1)n2nC(n, n) = (−1)n b) 1 + 2C(n, 1) + 22C(n, 2) + 23C(n, 3) + ... + 2nC(n, n) = 3n
=================== EJERCICIOS OPTATIVOS =============== 17. ¿Cu´antos n´umeros de 7 cifras distintas se pueden armar usando los d´ıgitos del 1 al 7 de manera
que la centena no sea el 2? ¿Y si adem´as la unidad tampoco debe ser el 2?
18. ¿Cu´antos subconjuntos de 4 elementos tiene el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}? ¿Cu´antos subconjuntos de 4 elementos si se pide que 1 pertenezca al subconjunto? ¿Cu´antos subconjuntos de 4 elementos si se pide que 1 no pertenezca al subconjunto? ¿Cu´antos subconjuntos de 4 elementos si se pide que 1 o 2 pertenezcan al subconjunto, pero no simult´aneamente los dos?
19. Mar´ıa, Rodolfo, Enrique, Fernando, Paula, Eulalia viven en Azul y son seleccionades por una empresa vitivin´ıcola para catar sus vinos ¿Cu´antos grupos de 4 integrantes pueden formarse para catar un Malbec ? ¿Cu´antos grupos de 4 integrantes si se pide que en el grupo Rodolfo no participe? ¿Cu´antos grupos de 4 integrantes si se pide que Mar´ıa participe? ¿Cu´antos grupos de 4 integrantes, si se pide que Enrique o Paula participen , pero no simult´aneamente los dos? 20. Probar:
a) C(n + 2, r) = C(n, r) + 2C(n, r − 1) + C(n, r − 2).
b) C(n + 3, r) = C(n, r) + 3C(n, r − 1) + 3C(n, r − 2) + C(n, r − 3). 21. Demostrar que si n es par, entonces:
C(n, 0) + C(n, 2) + ... + C(n, n) = C(n, 1) + C(n, 3) + ... + C(n, n − 1) = 2n−1
22. Sea a un n´umero natural. Hallar, si existe, el coeficiente de grado 10 en el desarrollo del binomio (a2+ 5)108
23. Sean a y b n´umeros reales. Hallar, si existe, el t´ermino de b4 en el desarrollo del binomio (a4+ 2b2)225.
24. Sea n ∈ N un n´umero par. Hallar una expresi´on simplificadora de: −2C(n,1)5 + 2C(n,2)25 − 2C(n,3)125 + ... + 2C(n,n)5n
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ALGEBRA (Ciencias) – a˜no 2020 PR ´ACTICA
N´umeros Enteros
Debajo de algunos ejercicios encontrar´an lineamientos generales para su resoluci´on.
1. Si n ∈ Z, determinar si son o no pares los siguientes n´umeros: 3n2+ 1, n(n + 1), n3− n.
Sugerencia: es conveniente separar el problema en casos y pensar: ¿ Qu´e pasa si n es par? ¿Qu´e pasa si n es impar?
2. Sean a, b, c ∈ Z. Analizar la validez de: a) Si a|b · c =⇒ a|b ´o a|c
b) Si a|(c + b) =⇒ a|b ´o a|c c) Si a|b y c|b =⇒ a · c|b d ) Si a|b =⇒ a| − b y −a|b
e) Si a|b y a|c =⇒ a|(b + c) y a|(b − c) f ) Si a|b =⇒ a|b · c
g) Si a|(c + b) y a|b =⇒ a|c.
Sugerencia: analizar la validez quiere decir ver si es verdadero o falso. Es conveniente recordar que si es falso basta con dar un contraejemplo y si es verdadero hay que dar una prueba.
3. Dados los enteros a y b, hallar el cociente q y el resto r, tales que cumplan que a = b · q + r, con 0 ≤ r < |b|
(a) a = 135 b = 14 (b) a = −1234 b = 234
(c) a = −1245 b = −546 (d) a = 1001 b = −111
Sugerencia: es conveniente realizar la divisi´on como en la escuela. Una pista para los que tienen n´umeros negativos: el cociente puede ser negativo!
4. Sean a, b ∈ Z, b 6= 0. Si a − b = 175 y la divisi´on de a por b tiene cociente 13 y resto 7, Hallar a y b.
Sugerencia: usar el algoritmo de la divisi´on y plantear un sistema de ecuaciones con a-b=175. 5. a) Hallar el resto de dividir x por 42 en los siguientes casos: (a ∈ N)
1) x = a 42 + 86 2) x = a 42 − 61 3) x = a 42 + 11
Sugerencia: recuerden que el resto debe ser positivo y que r < 42.
b) Sean a y b dos n´umeros enteros que tienen restos 5 y 8, respectivamente, en la divisi´on por 13. Hallar los restos de la divisi´on por 13 de los siguientes enteros:
1) 5a − 4b
2) (26b2− 39a2)50
Sugerencia: es conveniente mirar primero las propiedades del resto, ¿Qu´e pasa con el resto en la divisi´on por a de una suma y de un producto? Aplicarlo para el ´ıtem 2!!
c) Si a un n´umero se lo divide por 4, el resto es 2 y si se lo divide por 3, su resto es 1. ¿Cu´al es el resto si se lo divide por 12?
d ) El resto de la divisi´on de un n´umero por 7 es 2; si se lo divide por 3, su resto es 1. ¿Cu´al es el resto si se lo divide por 21?
6. Calcular (a, b) y expresar los tres primeros como combinaci´on lineal de a y b, siendo:
(a) a = 47 b = 10
(b) a = 352 b = 16
(c) a = 12001 b = −12002
(d) a = 34· 53· 11 · 15 b = 23· 72· 54
Sugerencia: para poder hacer este punto es fundamental el algoritmo de Euclides y luego subir por los restos!!
7. Calcular:
a) (a, a · b + 1) siendo a y b n´umeros enteros. b) (2n− 7n, 2n+ 7n).
Sugerencia: el m´aximo com´un divisor (MCD) tiene propiedades importantes, que junto con las propiedades de la divisi´on permiten resolver este ejercicio. Pista: si d|a y d|b entonces d|(a + b). 8. Calcular [a, b] en los siguientes casos:
(a) a = 12001 b = −12002
(b) a = 34· 53· 11 · 15 b = 23· 72· 54
(c) a = 1520· 193· 3 b = 23· 20
Sugerencia: repasar la definici´on de m´ınimo com´un m´ultiplo (MCM) y la forma de calcularlo. 9. a) Encontrar todos los n´umeros enteros a y b que verifican:
(a, b) = 54 y [a, b] = 810.
Sugerencia: recordar que [a, b] = |a|.|b|(a,b). Adem´as recuerden que el m´aximo com´un divisor es el n´umero m´as grande que divide simultaneamente a a y a b. Tambi´en es ´util factorizar a 54 y a 810 en producto de primos.
b) Determinar los enteros n tales que [n, 130] = 260.
c) Determinar enteros a y b tales que (a, b) = 10 y [a, b] = 1500. 10. Sean a, b, c ∈ Z, demostrar:
a) Si (a, b) = 1 =⇒ (a, a + b) = 1 b) Si a|b c ∧ (a, b) = 1 =⇒ a|c c) Si (a, b) = 1 =⇒ (a, b · c) = (a, c)
Sugerencia: para hacer estas demostraciones, deben tener en cuenta las definiciones en juego: divisibilidad, MCD y la noci´on de n´umeros coprimos. Una pista mas: si (a, b) = 1 y existe d tal que d|a y d|b entonces d|1 !
11. Sean a, b n´umeros enteros y p un n´umero primo. Si p|a.b entonces p|a o p|b.
Sugerencia: es conveniente que separen la prueba en casos: Suponer primero que p no divide a a y probar que entonces p|b y luego intercambiar los roles, es decir, suponer que p no divide a b y probar que p divide a a (siempre con la hip´otesis de que p|a.b).
12. Probar:
a) 29 no es divisor de 730+ 732 b) 33 es divisor de 1111+ 1112
Sugerencia: recordar la definici´on de divisibilidad y de n´umero primo . Adem´as es conveniente sacar factor com´un de forma adecuada.
13. Hallar el resto de dividir a por b en los siguientes casos: (usar binomio de Newton).
(a) a = 438+ 1 b = 3
(b) a = 41010101 b = 5
(c) a = 932 b = 7
Pistas: 4 = 3 + 1 y 9 = 7 + 2.
14. ¿Son primos los siguientes n´umeros? Justifique su respuesta. a) 91
b) 307 c) 46104− 1 d ) 1000501− 4
Sugerencia: antes de ponerse a hacer cuentas, pueden revisar la teor´ıa. En varios incisos conviene usar cierto resultado relacionado con la criba de Erat´ostenes.
15. Demostrar que no existen enteros m, n no nulos tales que m2 = 2 · n2
Sugerencia: suponer que s´ı existen m y n en dichas condiciones y utilizar el Teorema Fundamental de la Aritm´etica.
16. Calcular la cantidad de divisores positivos de 10n· 11n. Idem para 10n· 8n+1 y para 9.000.
Sugerencia: en la teor´ıa hay un resultado que calcula la cantidad de divisores positivos de un n´umero m, utilizando la factorizaci´on que nos da el TFA. El resto lo pueden calcular utilizando combinatoria.
17. Hallar el menor entero positivo q tal que 6552 q es un cuadrado.
Sugerencia: si 6552.q es un cuadrado, qu´e pasa con los factores en la descomposici´on en primos de 6552.q. Pista: mirar las potencias de los factores que descomponen a 6552.
18. Determinar el conjunto de soluciones enteras de las siguientes ecuaciones: a) 5x + 8y = 3
b) 24x + 14y = 7 c) 20x + 16y = 36
===========Ejercios de Repaso:=========================== 19. Probar que 21 divide a 515+ 518.
20. Determinar si las siguientes afirmaciones son V o F : a) Si n es un n´umero entero entonces n2+ 5n + 1 es par.
b) Si a es un entero y p es un n´umero primo entonces (a, p) es |a| o 1. c) Sean a, b n´umeros enteros y c un n´umero entero positivo.
d ) Sea n un n´umero natural, (n2+ 1, n − 1) es 1 ´o 2.
e) (a, b) = 1 =⇒ (7a − 3b, 2a − b) = 1 f ) (a, b) = 1 =⇒ (2a − 3b, 5a + 2b) = 1 o 19.
21. Sea m un n´umero entero. Hallar los restos posibles en la divisi´on por 5 de m2. 22. Sea m un n´umero entero. Probar que 5 no divide a m2+ 2.
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Relaciones
1. Dados los conjuntos A = {1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5} y las relaciones de A en B: S, T y R, definidas por:
xSy ⇔ (x − 1 = y ∨ x + 1 = y) T = {(1, 2), (2, 4), (3, 5)}
1R2, 1R3, 1R4, 1R5.
a) Obtener los gr´aficos cartesianos para cada una de estas relaciones. Adem´as, determinar en cada caso dominio e imagen.
b) Hallar: S ∩ R, Tc y T−1− R−1
c) Sean A0= {1, 3} ⊆ A, B0 = {3, 4, 5} ⊆ B y B00= {3} ⊆ B. Determinar R(A0) (la imagen de A0 por la relaci´on R) y S−1(B0) (la imagen inversa de B0 por la relaci´on S) y T−1(B00) (la imagen inversa de B00 por la relaci´on T ).
NOTA: Si R es una relaci´on de A en B, se llama Rc a (A × B) − R 2. Hallar dominio e imagen de R en los siguientes casos.
a) En N la relaci´on: xRy ⇐⇒ y ≤ x.
Adem´as, si A = {2, 20, 200}, determinar R(A) (la imagen de A por la relaci´on R) y luego determinar R−1(A) (la imagen inversa de A por la relaci´on R).
b) En N la relaci´on: xRy ⇐⇒ x + 2y = 40.
3. En cada uno de los siguientes casos determinar si la relaci´on R en A es reflexiva, sim´etrica, antisim´etrica o transitiva.
a) A = { 1, 2, 3, 4, 5}, R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (1, 2), (1, 3), (2, 5), (1, 5)} b) A = N, R = {(a, b) ∈ N × N : a + b es par}
c) A = Z × N, R dada por (m, n)R(m0, n0) ⇔ m = n0. 4. Considere en el conjunto N × N la relaci´on ♦ definida por
(n, m)♦(s, t) ⇔ n ≤ s
Analice las propiedades de esta relaci´on. ¿Es de orden? ¿Puede dar otra relaci´on con la que N × N resulte ordenado?
5. Considere (R, ≤) el conjunto ordenado siendo ≤ el orden usual de los reales, y el subconjunto A = {x ∈ R : x = 1
n ∧ n ∈ N ∧ n 6= 0}. 7
Analizar si A tiene primer y ´ultimo elemento, si est´a bien ordenado, si admite cotas, supremo e ´ınfimo. Idem para
B = {x ∈ R : 1 ≤ x < 2}; y D = (0, 1] ∪ [2, 3].
6. Sea E = {1, 2, 3} un conjunto y R una relaci´on definida en P(E) por ARB ⇐⇒ A ⊂ B. Demostrar que (P(E), R) es un conjunto ordenado.
a) ¿Cu´ales son los elementos maximales y cu´ales los minimales?
b) Consideremos ahora el conjunto P(E)−{∅} con el orden inducido por R, ¿cu´ales ser´an ahora los elementos minimales?
7. Sea A = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ 10} y sea R la relaci´on de orden definida en A por aRb ⇐⇒ a divide a b.
a) Hacer el diagrama de Hasse y hallar los elementos maximales y los elementos minimales. b) Idem inciso anterior en A − {1}.
8. Considere el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} con el orden representado en el primer diagrama de la Figura 1 y luego con el orden representado en el segundo diagrama.
1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7
Figura 1: Diagramas de Hasse
En cada caso hallar los elementos minimales y maximales; cotas superiores e inferiores, primer y ´ultimo elemento, supremo e ´ınfimo de A. Idem del subconjunto {1, 3, 4, 7}. Determinar un subconjunto que sea totalmente ordenado con el orden inducido.
9. En cada uno de los siguientes casos, determinar si el conjunto X tiene o no alguna cota inferior. Hallar, si existe, el ´ınfimo de X. Se considera el orden usual de Z.
a) X = {x ∈ Z| x = 2y para alg´un y ∈ Z}. b) X = {x ∈ Z| x2≤ 100x }.
10. Sea A = {a, b, c, d},
a) Sea {{a}, {b, c}, {d}} una partici´on de A. Obtener la relaci´on de equivalencia asociada. b) ¿S = {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (b, c), (b, a), (c, a)} es una relaci´on de equivalencia? c) Hallar dos relaciones de equivalencias en A.
11. Sea ∼ una relaci´on definida en Z×(Z−{0}) dada por:
(a, b) ∼ (c, d) ⇐⇒ ad = bc
Probar que ∼ es de equivalencia.
12. En el conjunto N×N se define la relaci´on (a, b)R(c, d) si y s´olo si a+d = b+c. ¿Es de equivalencia? Si lo es, hallar la clase del elemento (2, 5).
==============Ejercicios de Repaso========================================= 13. En Z se define la relaci´on aRb si y s´olo si a2≤ b2. Analizar si R es de orden. Es R de orden en N?
14. En el conjunto Z se define la relaci´on xRy si y s´olo si x2− y2= x − y. Probar que es relaci´on de
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Congruencias
El prop´osito de esta pr´actica es que se familiaricen con el concepto y notaci´on relativos a la relaci´on de congruencia m´odulo m en los enteros. Quiz´a algunos ejercicios les resulten similares a los que ya trabajaron en la pr´actica de enteros, cuando analizaban los restos al dividir en Z. En efecto, los conceptos son similares, pero la notaci´on que usaremos es distinta. Aqu´ı es importante que tengan presente que afirmar, por ejemplo, que el resto de dividir 7 por 3 es 1, decir que la clase de 7 en Z3 es 1 o que
7 ≡ 1 mod (3) es decir esencialmente lo mismo.
Notaciones y definiciones: Dado m ∈ N se define la relaci´on de equivalencia m´odulo m: a ∼ b ⇔ a − b = m · k para alg´un k ∈ Z
Notamos a las diferentes clases de equivalencia como {0, 1, . . . , m − 1} donde, para k = 0, . . . , m − 1, k = {z ∈ Z : z = m · t + k, para alg´un t ∈ Z}.
Al conjunto de clases de equivalencia lo notamos Zm y, si a ∼ b (es decir, pertenecen a la misma clase
de equivalencias), escribimos a ≡ b mod(m). Ejercicios:
1. Completar las tablas para la suma y el producto: a) En Z3, + 0 1 2 0 1 2 · 0 1 2 0 1 2 b) En Z4: + 0 1 2 3 0 1 2 3 · 0 1 2 3 0 1 2 3 8
2. Usando las tablas del ejercicio anterior, indicar los elementos de Z3 y Z4 que admiten inverso
multiplicativo.
3. Sea p un n´umero primo. Probar que p| kp para todo k ∈ N, 0 < k < p. Deducir de este resultado que (a + b)p = ap+ bp en Zp.
4. Analizar la validez de las siguientes afirmaciones: a) 10 ≡ −1 mod (11).
b) 8 · (2890098)10100 − 1 ≡ 0 mod (2). c) 1 ≡ −1 mod (2).
d ) Existe un m ≥ 3 para el cual m − 1 ≡ 1 mod (m). 5. Hallar m tal que
a) 11 ≡ 19 mod (m). b) 13 ≡ −13 mod (m). c) 40 ≡ 20 mod (m).
6. Sea t ∈ Z. Decimos que t es invertible m´odulo m si existe h ∈ Z tal que t · h ≡ 1 mod (m). a) Probar que (t, m) = 1 si y s´olo si t es invertible m´odulo m.
b) Hallar, si existe, un inverso de t m´odulo m en los siguientes casos: i. t = 17 y m = 11;
ii. t = 56 y m = 35; iii. t = 30 y m = 77. 7. Determinar los x ∈ Z tales que
a) 17x ≡ 3 mod (11); b) 56x ≡ 28 mod (35); c) 33x ≡ 27 mod (45).
8. Sabiendo que a ≡ 22 mod (14), hallar el resto de dividir a por 2, por 7 y por 14. 9. Resolver usando congruencias.
Si reparto en partes iguales m caramelos entre 3 personas, me sobran 2, mientras que si los reparto entre 7, me sobran 4. Sabiendo que m est´a entre 30 y 70. ¿Cu´antos caramelos tengo para repartir? 10. Hallar el resto de dividir n por m en los siguientes casos:
a) n = 241901, m = 11;
b) n = 73201, m = 5;
c) n = 4878 · 1661328+ 19999, m = 5;
===========Ejercios de Repaso:=========================== 11. Hallar una regla de divisibilidad por 3.
12. Hallar el resto de dividir n = 3417771− 610001 por 35.
13. Utilizar congruencias para mostrar que 5 divide a 1234521234100− 86.
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Funciones
1. ¿Cu´ales de estas relaciones son funciones?
a) Sea E = {a, b, c} y R la relaci´on definida en P(E) por: i) ARB ⇐⇒ A ∩ B = ∅. ii) ARB ⇐⇒ A ∩ B 6= ∅. b) En N la relaci´on: xRy ⇐⇒ x + 2y = 40. 2. Si f : A → B, donde A = {−2, −1, 0, 1, 2}, B = {−1, 0, 1, 2, 3} y f (x) = x2− 1. Determinar: (a) f (0) (b) f (−1) (c) f (−2) (d) f ({−1, 1}) (e) f (A) (f) f ({−1, 0, 1}) (g) f ({−2, 2}) (h) f−1({−1, 3}) (i) f−1({0, −1, 3}) 3. Dada la funci´on f : R → R, definida como:
f (x) = x si x ≤ 0 x2 si 0 < x ≤ 2 5 si x > 2 Hallar f−1(B), siendo:
a) B = {4}, b) B = {4, 5}, c) B = (−∞, 0], d) B = (0, 4] ∪ {5}, e) ¿Hay alg´un subconjunto B tal que f−1(B) = ∅?
4. Sea f : A → B una funci´on. Sean X ⊂ A, Y ⊂ A, Z ⊂ B y W ⊂ B. Probar: a) Y ⊂ X =⇒ f (Y ) ⊂ f (X)
b) f (X) − f (Y ) ⊂ f (X − Y ) c) Z ⊂ W =⇒ f−1(Z) ⊂ f−1(W )
5. Sea f : A → B una funci´on y X ⊂ B. Establecer si son verdaderas o falsas. (Justificar) a) X = ∅ =⇒ f−1(X) = ∅
b) f−1(X) = ∅ =⇒ X = ∅
6. Sean f : R → R, dada por: f (x) = |x| y g : R → R dada por: g(x) = x2− 3x.
a) Determinar la f´ormula que define a g ◦ f . ¿Es g ◦ f = f ◦ g? b) Calcular (g ◦ f )(−1)
c) Determinar la f´ormula que define a g ◦ g y la que define a f ◦ f 9
d ) Determinar la f´ormula que define a la funci´on g2. (Observar la diferencia entre g2 y g ◦ g.)
e) Hallar un ejemplo de una funci´on h : R → R tal que h ◦ h = h2. 7. a) Analizar la inyectividad y suryectividad de las siguientes funciones:
1) f : N → N definida por f (x) = x + 1 2) f : Z → Z definida por f (x) = 3x + 4 3) f : R → R definida por f (x) = x2− 2 4) f : N × N → N definida por f (x, y) = x2+ 2y 5) f : N → Z definida por f (x) = ( x−1 2 , x es impar −x 2 , x es par.
b) Sea E un conjunto y A un subconjunto propio de E (A es un subconjunto propio de E si A ⊂ E, A 6= E y A 6= ∅). Analice inyectividad y suryectividad de las siguientes funciones:
1) f : P (E) → P (E) dada por f (X) = Xc (el complemento respecto del conjunto E). 2) h : P (E) → P (E) dada por h(X) = A ∪ X.
8. Sean f : A → B y g : B → C funciones. Demostrar: a) Si (g ◦ f ) es inyectiva entonces f es inyectiva. b) Si f y g son inyectivas entonces (g ◦ f ) es inyectiva.
9. ¿Cu´antas funciones f : Ik → In hay? ¿Cu´antas son inyectivas? (Im = {x ∈ N : 1 ≤ x ≤ m}).
==============Ejercicios de Repaso============
10. Sean f : A → B una funci´on y X e Y subconjuntos de A. Probar f (X ∪ Y ) = f (X) ∪ f (Y ).
11. Sea f la funci´on de N − {0} en N − {0} definida: f (x) = (
15, x=1
n + 7, x 6= 1 Analizar inyectividad y suryectividad. Hallar f−1({15, 45, 200}).
ÁLGEBRA (Ciencias) – año 2020 PRÁCTICA N◦10
Complejos
1. Dados z1= 17 + i, z2= −11 + 8i, z3= 30 − 2i, z4=
√
2 y z5= 1 + πi, efectuar las siguientes
operaciones: a) z1+13z2− 2z3 b) z2 3 − 7z3 c) z −1 1 + 3z 2 4 d) z4.z52
2. Representar en el plano complejo el conjunto de complejos z = a + bi tales que: a) a = 3b b) b = 8 c) a2+ b2= 9
3. Representar en el plano complejo los siguientes conjuntos: a) A = {z ∈ C/Re(z) − 5Im(z) = 2}
b) B = {z ∈ C/Re(z2) = 0}
c) D = {z ∈ C/3 ≤| z − (2 + i) |< 5 ∧ Re(z) > Im(z)} 4. Resolver las siguientes operaciones:
a) 1 + i 1 − i− 3 + 3i 1 + i b) −1 − i√3 √ 3 − i c) 1 + 3i 1 − i − 2 · 2 + 3i 1 − 2i 5. Hallar los z ∈ C tales que:
a) z = z b) z = −z c) z · z = 1 d) i.z = z e) z2= z 6. Calcular: a) i2, i3, i4, i6, i7 b) i38, i143, i23456 c) 100 X k=0 ik
7. Hallar el conjugado y el módulo de z, siendo: a) z = 1
i − i b) z = |i + 2| + 2i
c) z = (1 − 2i) · (2 − i) · (1 + 1) d) z = i0+ i2+ i3+ i4+ i5+ i6+ i7+ i8+ i9
8. Sean z1 y z2∈ C, analizar si vale en general: z12+ z22= 0 ⇐⇒ z1= z2= 0
NOTA: Las siguientes identidades trigonométricas y tabla, son útiles para expresar algunos valores de senos y cosenos.
cos2(α) + sen2(α) = 1
cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sen(α) sen(β) sen(α + β) = sen(α) cos(β) + cos(α) sen(β)
grados rad sen cos tan
0 0 0 1 0 15 π 12 √ 2−√3 2 √ 2+√3 2 2 − √ 3 30 π 6 1 2 √ 3 2 1 √ 3 45 π4 √ 2 2 √ 2 2 1 60 π3 √ 3 2 1 2 √ 3 90 π2 1 0 –
9. Determinar el módulo y el argumento de los siguientes números complejos: a) − 2 − i b) i−2 c) cos15 4π − isen 15 4π d) 1 i + i 4
10. Dados los siguientes números complejos en forma polar, expresarlos en forma binómica: a) 5120◦ b)
√
545◦ c) 190◦ d) 30◦
11. Sea z = α + βi, representar en el plano complejo los siguientes conjuntos: a) X = {z ∈ C/ |z − (2 + 2i)| ≤ 4∧ 0 ≤ Arg(z) ≤ π2}
b) Y = {z ∈ C/ |z| > 2∧ π ≤ Arg(z) < 2π} c) X ∪ Y y X ∩ Y
12. Sea z = cos34π +i sen 34π, expresar en forma trigonométrica los siguientes números complejos:
a) z−1 b) z c) z2
13. Sean z, z0 ∈ C. Probar que si z y z0 son distintos de cero y verifican que Arg(z) = Arg(z0),
entonces z z0 ∈ R
14. Hallar la forma trigonométrica de los siguientes complejos: a) sen π 4− i sen π 4 b) sen π 3 − i sen π 3 c) 1 − i sen π 4 d) cos (− 15 4π) − i sen ( 15 4π)
15. Calcular en forma trigonométrica z1· z2 y
z1 z2 , siendo: a) z1= 3 + 3i, z2= −1 + √ 3i b) z1= 1 − i, z2= i
16. Calcular aplicando la fórmula de De Moivre:
a) (−3 + 3√3i)3 b) (−1 +√3i)4 c) (1 + i) 5
i3· (2√3 − 2i)2
17. Analizar para qué valores de n ∈ N, el valor de (1 + i)n es:
a) Real positivo b) Real negativo c) Imaginario puro 18. ¿Cuáles de los siguientes números complejos son raíces n-ésimas de 1?
a) cos√3π + i sen√3π b) cos 34π + i sen 34π c) cos 1518π + i sen 1518π
19. Determinar en cada caso la totalidad de soluciones en C: a) (z + 1)3= z3 b) (z2− 3z + 1)4= 1 c) z2+ 2iz + 1 = 0 d ) z3= −i e) (2iz3− 4 − 4i)(z − i)2= 0 f ) z2z+9 + 3 z2+6iz−9 = 0 g ) (z2+ 1 + i)2(z2− 1 − i)2= 4 2
20. a) Hallar todas las raíces sextas de 1 + i.
b) ¿Existe alguna raíz sexta de 1 + i tal que su conjugado sea también raíz sexta de 1 + i? c) Hallar el producto de todas las raíces sextas de 1 + i.
21. Un pentágono regular centrado en el origen de coordenadas cartesianas tiene uno de sus vértices en el punto (−2, 0). Calcular usando números complejos las coordenadas de sus restantes vértices.
22. a) Probar que calculada una de las raíces n-ésimas de un complejo, las demás se pueden obtener haciendo su producto con cada una de las raíces n-ésimas de la unidad. b) Calcular las raíces de z5− i = 0.
23. Representar en el plano complejo las raíces octavas de la unidad.
=======================Ejercicios de repaso======================= 24. Sean z, z1 y z2 ∈ C, Probar: a) Si z 6= 0 =⇒ (z)−1= (z−1) b) Si z26= 0, entonces z1 z2 =z1 z2 25. Sea z, z1, z2∈ C, probar: a) |z1· z2| = |z1| · |z2| b) Si z 6= 0, entonces |z−1| = |z|−1 c) z1 z2 =|z1| |z2| con z26= 0 d ) z1· z2= 0 ⇐⇒ z1= 0 ∨ z2= 0
26. Determinar en cada caso la totalidad de soluciones en C: a) (z − 1)6= iz6 b) z4= 4 + 3i
c) (z + 1)4+ 1 = 0 d) (z6+ 2i)30= 0
27. Determinar si existen valores de n ∈ N tales que (15+ i · √
3 5 )
n es un número real.
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ALGEBRA (Ciencias) – a˜no 2020 PR ´ACTICA N◦11
Polinomios
1. Dadas las siguientes expresiones:
s(x) = 3 +13x +√3x2 t(x) = √3
2 + x3
g(x) = 2 + ix − x2 r(x) = 3 − 4x3+ 2x4− 5x5
(a) Analizar cu´ales son polinomios en Z[x], Q[x], R[x] o C[x]. (b) Hallar el grado de los polinomios e indicar cu´ales son m´onicos. 2. Discutir la validez de las siguientes proposiciones:
Sea K un cuerpo, p(x) y q(x) elementos de K[x]
(a) El grado de p(x) · q(x) es igual a la suma del grado de p(x) y de q(x). (b) El grado de p(x) + q(x) es el m´aximo entre el grado de p(x) y el de q(x). 3. Calcular el grado y el coeficiente principal de los siguientes polinomios:
(a) p(x) = (4x6− 2x5+ 3x2+ 7)77
(b) p(x) = (−3x7+ ix5+ x2− 1)4− (6x2+ 8)10
4. Calcular: p(x) + q(x) y q(x) · p(x) en R[x], siendo: p(x) = 2x2− 3x3+ 4x4− x
q(x) = −12x + 2x2+ x4
5. Determinar, si existen, todos los n´umeros racionales a, b, c y d, tales que en Q[x] se verifiquen las siguientes igualdades:
(a) 2x − 1 = a(x2− 2x + 1) + b(x2− 3) + c(x2+ x + 3)
(b) 2x3+ 3x2+ x − 2 = a(x2− x − 2) + bx(x2− 3x + 1) + (cx + d)(x2− x)
6. Sean p(x) = 3 + 2x y q(x) = 1 + 3x polinomios de Z4[x]. Calcular los grados de p(x)2 y p(x) · q(x) y los
coeficientes principales. Analice si se modifican las conclusiones obtenidas en el ejercicio 2. 7. Sean p(x) y q(x) en C[x]. Probar: si p(x)2+ x · q(x)2= 0, entonces p(x) = q(x) = 0
8. Probar que en R[x] no existen polinomios no nulos p(x) y q(x), tales que p(x)2+ q(x)2= 0.
9. Dados los polinomios p(x) y q(x) ∈ C[x], hallar el cociente y el resto de la divisi´on de p(x) por q(x). (a) p(x) = 3x3+ 2ix − 1 q(x) = x2− 1
(b) p(x) = x5+ 4x3− 1 q(x) = x2+ 2x − 1 (c) p(x) = −4x3+ x − 2 q(x) = x −1
10. Sea K un cuerpo, probar:
(a) Si p(x)|q(x) y p(x)|r(x), entonces p(x)|(m(x) · q(x) + n(x) · r(x)), para cualquier m(x) y n(x) en K[x] (b) Si p(x)|q(x) y p(x)|(q(x) + r(x)) entonces p(x)|r(x)
(c) Si p(x)|q(x) y gr(p(x)) = gr(q(x)) entonces existe un b ∈ K tal que p(x) = b · q(x). 11. Efectuar las siguientes divisiones:
(a) x5+ 2x4− 7x2+ 1 por x + 3
(b) 3x5−1 2x
4− 3x3 por 2x − 1
12. Sea n ∈ N y a ∈ C, probar que: (a) x − a | xn− an (b) si n es impar entonces x + a | xn+ an (c) si n es par entonces x + a | xn− an 13. ¿Para qu´e r, −x4+ x3+9 2x 2+ 7x + 1 es divisible por x2 + rx + 2 en Q[x]? 14. Determinar todos los a ∈ C tales que:
(a) x3+ 2x2+ 2x + 1 sea divisible por x2+ ax + 1
(b) x4− ax3+ 2x2+ x + 1 sea divisible por x2+ x + 1
15. Para los siguientes pares de polinomios:
i. p(x) = x4− 2x3+ 1 q(x) = x2− x + 2
ii. p(x) = x3− 2x2− 5x + 6 q(x) = x2+ 3x + 2
(a) Calcular el mcd y mcm.
(b) Expresar (p(x), q(x)) como combinaci´on polin´omica de p(x) y q(x), es decir (p(x), q(x)) = s(x) · p(x) + m(x) · q(x).
16. Sean p(x) = 2x3− 3x2+ 1 y q(x) = 2x2
+ 4x − 1, mostrar que no existen polinomios c(x) y r(x) ∈ Z[x] tales que p(x) = c(x) · q(x) + r(x), y gr(r(x)) < gr(q(x)). ¿Qu´e puede decir de la existencia de algoritmo de divisi´on en Z[x]?
17. Sea K un cuerpo, p(x) ∈ K[x], y p0(x) su polinomio derivado. Demostrar que: (a) Si (x − a)|p(x) y (x − a)|p0(x) entonces (x − a)2|p(x)
(b) Si (p(x), p0(x)) = 1 entonces p(x) tiene todas sus ra´ıces simples.
18. Calcular las ra´ıces de:
(a) p(x) = 20x3− 30x2+ 12x − 1, siendo 1
2 una de ellas.
(b) p(x) = x3− 2(1 + i)x2− (1 − 2i)x + 2 + 4i, siendo 1 + 2i una de ellas.
19. (a) Hallar el polinomio m´onico de grado m´ınimo que admita a 2, −1 y −3 como ra´ıces dobles y a −7 como ra´ız simple.
(b) Hallar el polinomio de R[x] de grado m´ınimo, con coeficiente principal −3 que admita a 1 + 2i como ra´ız doble, a i como ra´ız simple y a −3 como ra´ız triple.
(c) Hallar el polinomio de C[x] de grado m´ınimo, con coeficiente principal −3 que admita a 1 + 2i como ra´ız doble, a i como ra´ız simple y a −3 como ra´ız triple.
(d) Hallar el polinomio de Q[x] de grado m´ınimo, que admita√2 como ra´ız simple y cuyo resto al dividirlo por x − 1 sea 5.
20. Probar que x4+ 2 es irreducible en Q[x].
21. Determinar la factorizaci´on prima de p(x) en R[x] y en C[x] (a) p(x) = x4+ 1
(b) p(x) = x4− 4
(c) p(x) = x4− 6x2+ 1
(d) p(x) = x6+ x5+ 5x4+ 4x3+ 8x2+ 4x + 4 sabiendo que√2i es ra´ız m´ultiple.
22. Considerar p(x) = xn− nx + n − 1, con n ≥ 1
(a) Calcular la multiplicidad de 1 como ra´ız de p(x).
(b) Demostrar que si r ∈ R, r 6= 1, es ra´ız de p(x), entonces es ra´ız simple.
23. (a) Hallar el mcd entre el polinomio y su polinomio derivado en los siguientes casos (los polinomios pertenecen a R[x]):
i. q(x) = x4− 4x + 1
ii. p(x) = x3− 3x2+ 4
iii. q(x) = x2+ 2x + 3
(b) Sin hallar las ra´ıces, encontrar otro polinomio que tenga las mismas ra´ıces de p(x), pero todas simples (los polinomios pertenecen a R[x]).
24. Probar que en R[x], adem´as de los polinomios de grado uno, son irreducibles algunos polinomios de grado dos. ¿Hay irreducibles de grado mayor que dos?
Ejercicios de repaso
25. Hallar condiciones sobre a y b para que el polinomio p(x) = x4+ ax3+ b tenga una ra´ız doble distinta de cero.
26. Factorizar como producto de irreducibles en R[x] y como producto de irreducibles en C[x] el siguiente polinomio: (x2+ 2x + 2)22(x − i ·√43)(x + i ·√43)
27. Sabiendo que el polinomio x4+ 2 · x3− 32 · x2− 96 · x tiene una ra´ız doble, factorizarlo como producto de
irreducibles en R[x] y como producto de irreducibles en C[x].
28. Ejercicio optativo: ¿Existen en Z4[x] polinomios t(x) y s(x) no nulos, tales que t(x) · s(x) = 0 ?. ¿Es Z4[x]
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ALGEBRA (Ciencias) – a˜no 2020 PR ´ACTICA 12
Matrices
Aclaraci´on general: A lo largo de la pr´actica, “I” denotar´a la matriz identi-dad del orden que corresponda y “K” denotar´a un cuerpo.
1. Escribir las matrices reales de ´ordenes 2 × 3 y 3 × 3, cuyos coeficientes vienen dados por aij=
i2+ j − 1
3 .
2. Escribir la matriz C ∈ R4×3 tal que c ij =
1, si i ≥ j; 0, si i < j. 3. Siendo A, B ∈ C2×3 dadas por:
A =−13 1 3 2 2i 5 , y B =−1 0 i 0 2 −5 , calcular: a) A − 2B. b) 2iA + B − 1 2A. c) A · Bt.
4. Hallar al menos dos ejemplos de matrices de orden 2 × 2 tales que A.B 6= B.A. ¿Es posible hallar un tal ejemplo si se pide que A y B sean matrices diagonales?
5. Dadas las matrices A = 1 −4 2 0 1 0 1 0 2 , B = 2 1 2 0 0 1 , y C =−1 1 . Calcular (cuando sea posible):
a) A2 b) A · B · C c) Bt· At d) Ct· C e) C · Ct
f)B2 g)Ct· C · Bt.
6. Sean A y B matrices cuadradas de orden n × n con coeficientes reales, decir si son verdaderos o falsos los siguientes enunciados (justificar):
a) (A + I) · (A − I) = A2− I. b) (A + B)2= A2+ 2AB + B2.
c) Si A no es la matriz nula y A.B = A.C =⇒ B = C. d ) A.B = 0 =⇒ A = 0 o B = 0.
7. Hallar las matrices X ∈ C2×2 que satisfacen en cada caso las siguientes
ecuaciones: a) 1 2 3 4 · X +1 0 0 3 =0 0 0 0 .
b) 1 9 0 3 · X +2 3 5 6 · X = X.
8. Demostrar por inducci´on que:1 1 0 1
n
=1 n 0 1
para todo natural n. 9. Sean A, B ∈ Kn×n, demostrar que si A + B = I y A · B = 0 =⇒ A2= A
y B2= B. 10. Sean A y B ∈ Kn×m , C y D ∈ Kn×n y α ∈ K. Probar: a) (At)t= A. b) (A + B)t= At+ Bt. c) (α · A)t= α · At. d ) C + Ctes sim´etrica. e) C − Ctes antisim´etrica.
11. a) Demostrar que si A y B ∈ Kn×n y son invertibles entonces (A.B)−1= B−1.A−1
b) Demostrar por inducci´on que para todo k ∈ N, k ≥ 1: ( k Y i=1 Ai)−1= k Y i=1 (Ak−i+1)−1
donde A1, ..., Ak ∈ Cn×n son matrices invertibles.
12. Se define en Kn×n la relaci´on ∼ dada por:
A ∼ B si existe una matriz invertible C ∈ Kn×n tal que B = CAC−1. Probar que ∼ es una relaci´on de equivalencia.
13. Sean A, B y C ∈ Kn×n matrices invertibles y sim´etricas. Probar que:
a) (A.B)t.A−1.B = B2 b) (C.A)−1.C.At= I c) (A.B.C)−1.At.(C−1.B−1)−1= I 14. Completar A = 1 −1 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
para obtener una matriz de orden 3 × 3: a) con rango 1,
b) con rango 2 y c) con rango 3.
15. Determinar el rango de cada una de las siguientes matrices complejas, y en el caso en que sea posible determinar la matriz inversa.
1 2 −1 1 ; 1 0 0 2 1 −1 3 −1 1 ; 1 0 3 4 2 1 6 5 0 1 2 7 ; i 3 + 5i −2 6i − 10 ; 1 2 3 4 0 5 7 9 2
16. ¿Para qu´e valores de β la matriz A tiene rango r? (a) r = 1, (b) r = 2, (c) r=3. A = 1 + β 2 3 1 2 1 1 3 −1 − β
17. Encontrar la inversa de cada una de las siguientes matrices y expresar cada una de ellas como producto de matrices elementales:
A = 1 0 2 1 ; B = 1 1a a −1 , a 6= 0; C = 0 0 a 0 a 0 a 0 0 , a 6= 0.
18. Probar que si A ∈ Cn×my tiene una fila nula entonces A.B tiene una fila
nula para cualquier B ∈ Cm×t.
==============Ejercicios de repaso================== 1. Sean A y B matrices de Cn×n. Probar
a) (aA)−1= a−1A−1 para todo a ∈ C − {0}, b) (Am)−1= (A−1)m siendo m ∈ N. 2. Dadas la matrices A = 2 y 1 3 1 0 1 −1 3 −2 1 7 y B = 1 2 3 4 1 3 2 6 −2 −2 −6 0 1 4 1 7 ,
i) Hallar, si existen, todos los valores de y para que el rango de A sea 2.
ii) Determinar el rango de B y, si es posible, hallar su inversa. 3. Determinar si la siguiente afirmaci´on es verdadera o falsa:
Si A y B son matrices sim´etricas de Kn×n entonces AB es una matriz
sim´etrica .
4. Probar que At.A es sim´etrica para toda matriz A ∈ Kn×n.
5. Demostrar que la siguiente matriz satisface la propiedad de recurrencia: An= 2n−1 A para n ∈ N n ≥ 1: A = 1 1 1 1 . 3
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ALGEBRA (Ciencias) – a˜no 2020 PR ´ACTICA N◦ 13
Sistemas y Determinantes
1. Resuelva los siguientes sistemas y haga una interpretaci´on geom´etrica de la soluci´on obtenida en cada caso: x + y = 2 y − x = 0 , x + y = 2 2x + 2y = 4 , x + y = 2 3y + 3x = 0
2. Resolver el siguiente sistema indicando qu´e tipo de soluci´on tiene en: a) R; b) C: x + iy = 0
ix − y = 0 3. Encontrar A−1 y resolver A.X = b para:
(a) A =1 a 0 1 y b =1 2 (b) A = −3 1 1 2 6 5 −5 7 6 y b = 16 −16 32 4. Demostrar que:
(a) Si A es una matriz cuadrada con 2 filas iguales, entonces det(A) = 0.
(b) Si A es una matriz cuadrada de determinante no nulo entonces: det(−A) = det(A), si el n´umero de filas de la matriz es par; det(−A) = − det(A), en caso contrario. (c) Siendo A y B matrices cuadradas de igual dimensi´on:
i. Si A y B tienen inversa, det((AB)−1) = det(A−1) · det(B−1) = det(A.B)1 ii. det((AB)t) = det(A) · det(B).
(d) El determinante de una matriz triangular es el producto de los elementos de su dia-gonal.
5. Dadas A, B y C ∈ R3×3 tal que: det(A) = 10, det(B) = 5 y det(C) = 2, calcular: det(A−1· B3· (2C)4· Bt).
6. Calcular los determinantes de las siguientes matrices: 3 1 0 4 , cos(α) sin(α) − sin(α) cos(α) , 3 2 −1 7 0 7 1 4 7 .
7. Calcular det(M ), reduciendo M a una matriz triangular superior mediante operaciones elementales, siendo: M = 3 6 −3 9 2 1 0 4 1 3 2 5 0 1 3 2
8. Demostrar, sin necesidad de calcularlos, que los determinantes de las siguientes matrices son nulos: x y 2x + 3y 4 3 17 z t 2z + 3t , 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7 .
9. Encontrar los valores de a y b para los cuales las siguientes matrices son invertibles: a + 1 1 1 1 a − 1 1 0 1 a + 2 ; 1 a b 1 a2 b2 1 a3 b3 .
10. Resolver los siguientes sistemas indicando qu´e tipo de soluci´on tienen.
x + 2y + z = 2 −3x − 4y − 5z = −5 ; x + 2y + 2z = 2 3x − 2y − z = 5 2x − 5y + 3z = −4 x + 4y + 6z = 0 ; 3ix + 2y + (1 + i)z = 0 ix − 2iy + z = i 4x + y − z = 0
11. Para qu´e valores de λ cada uno de los siguientes sistemas tiene: (a) soluci´on ´unica,
(b) infinitas soluciones, (c) ninguna soluci´on.
λx + y − z = 0 x − y + (λ − 1)z = 0 −(λ + 2)x + y + z = 0 ; x − y + z = λ y − z = 1 x − y + 4z = 2 ; λx + y + z = 1 x + λy + z = 1 x + y + λz = 1
12. Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema para los distintos valores de a y b . Elija un valor de a y uno de b para que el sistema sea compatible y resu´elvalo:
x + y + az = 1 x + by + z = 1 x + ay + z = 1
13. Hallar los valores de m para que los siguientes sistemas sean compatibles. Con los valores de m hallados, dar en cada caso la soluci´on indicando si es ´unica o no.
x − y + 3w = 5 5y + 7z − w = 1 2x + 3y + 7z + 5w = m , 2x − 5z + 9w = 2 5y + z − w = 12 −4x + 5y + 11z − 19w = m 14. Resolver utilizando la regla de Cramer:
x + 2y − z = 7 2x + y + z = 6 x − y + 3z = −1
15. Analizar si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos, justificando en cada caso: (a) Sea A una matriz cuadrada de n × n tal que det(A) 6= 0 entonces el sistema A.X = b
tiene soluci´on ´unica para todo b ∈ Rn.
(b) Sea A una matriz de n × m, con n > m, tal que rg(A) = m entonces, para todo b ∈ Rn, el sistema A.X = b tiene infinitas soluciones.
(c) Sea A una matriz de n × m, entonces el sistema A.X = 0 tiene soluci´on ´unica. 16. (a) Calcular el rango de la matriz A para los distintos valores de k, siendo:
A = k 1 1 2 1 3 0 1 k .
(b) Analizar la compatibilidad del sistema A.X = 0, para los distintos valores de k. (c) Idem (b) para el sistema A.X=b, siendo
b = 1 1 0 . ============Ejercicios de repaso========================= 1. Sean A, B y C matrices de Rn×n . Probar que si A no tiene inversa entonces ABC tampoco
la tiene.
2. Muestre que si X, Y ∈ Rn son soluciones de un sistema homog´eneo de n ecuaciones y n inc´ognitas, entonces α.X + β.Y tambi´en es soluci´on del sistema, cualesquiera sean α y β escalares.
3. Hallar para que valores de m el siguiente sistema posee soluciones no triviales: 2x − y + z = 0 x + my − z = 0 x + y + z = 0
4. (a) Hallar todos los valores de k ∈ R, para que el sistema homog´eneo A.X = 0 tenga soluci´on ´unica y resolverlo, siendo:
A = k 0 0 0 1 k 0 0 k3 1 k3 0 1 k2 k k . .
(b) Elegir, si existe, alg´un valor de k para el cual el sistema no tenga soluci´on ´unica y resolverlo.
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ALGEBRA (Ciencias) –a˜no 2020– PR ´ACTICA 14
Espacios Vectoriales.
1. Analizar si los siguientes conjuntos son espacios vectoriales sobre el cuerpo R o C, seg´un corresponda:
(a) {(a0, a1, a2) : ai ∈ R y a0 = −1}, con la suma coordenada a coordenada y el producto por escalar definido as´ı: k ∈ R, k.(a0, a1, a2) = (ka0, ka1, ka2).
(b) {(a0, a1) : ai ∈ R}, con la suma coordenada a coordenada y el producto por escalar definido como sigue: dado k ∈ R, k (a0, a1) = (k.a0, (k + 1).a1), siendo + y . las operaciones usuales definidas en R.
(c) {(a0, a1, a2) : ai ∈ C}, con la suma coordenada a coordenada y el producto por escalar definido: k ∈ C, k.(a0, a1, a2) = (k.a0, k.a1, k.a2).
2. Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo K, v ∈ V ; k ∈ K probar: (a) k.0V = 0V , (0V es el vector nulo de V )
(b) 0.v = 0V siendo 0 el neutro de la suma definida en K
(c) (−1).v = −v siendo −1 el opuesto de 1 en K y −v el opuesto de v en V . 3. Analizar la dependencia lineal de los siguientes vectores de R3:
u1 = (1, 1, 1), u2 = (1, 0, 2) y u3 = (2, 2, 2).
4. Determinar si el vector (3, 1, 2) es combinaci´on lineal de los vectores (1, 0, 2), (0, 1, 1) y (0, 1, −1).
5. (a) Determinar para qu´e valores de k los siguientes vectores de R3 son linealmente inde-pendientes sobre R: v1 = (1, 2, k), v2 = (1, 0, k − 1) y v3 = (3, 4, 3).
(b) Para qu´e valores de k los vectores v1, v2 y v3 forman una base de R3?
(c) Hallar, si existe, alg´un valor de k para el cual los vectores v1, v2 y v3 resulten lineal-mente dependientes, y en caso de encontrarlo escribir a uno de ellos como combinaci´on lineal de los otros dos.
6. Encontrar una base de R3 que contenga a los vectores (0, 1, 1) y (1, 1, 0).
7. Estudiar si los siguientes conjuntos son bases del R-espacio vectorial dado en cada caso: (a) {(1, 4); (2, 6)}, para V = R2.
(b) {(1, 0, 0); (0, 1, 0); (1, 6, 6)}, para V = R3. (c) {(1, 2, −1); (0, 1, 1); (3, 7, −2)}, para V = R3. 8. Determinar una base de:
(a) R2 contenida en el conjunto de vectores {(2, −6); (−1, 3), (4, −3); (2, 3)}. (b) R3 contenida en el conjunto de vectores {(1, 1, −1); (0, 1, 2); (2, 3, 0); (1, 1, 1)}. 9. Hallar la dimensi´on de C3 si se lo considera como:
(b) un C-espacio vectorial.
10. Probar que los vectores (1, i) y (i, −1) son linealmente independientes en el R-espacio vectorial C2. Qu´e se puede decir si consideramos a C2 como C-espacio vectorial?
11. Hallar una base para cada uno de los siguientes R- espacios vectoriales: (a) V1 = {(x, y) ∈ R2 : x − 2y = 0};
(b) V2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − 2y + z = 0}; (c) V3 = {(x, y) ∈ C2 : x − 2y = 0};
y hallar una base para el C-espacio vectorial:
