PRODUCTO DE MATRICES POR BLOQUES O CAJAS PRODUCTO DE MATRICES POR BLOQUES O CAJAS
Si descomponemos una matriz en cajas o bloques, es decir, matrices mas pequenas Si descomponemos una matriz en cajas o bloques, es decir, matrices mas pequenas contenidas en la matriz orginal, podemos realizar operaciones considerando estas contenidas en la matriz orginal, podemos realizar operaciones considerando estas como elementos siempre que la descomposicion realizadas sea la misma en todas las como elementos siempre que la descomposicion realizadas sea la misma en todas las matrices.
matrices. Las
Las operaciones operaciones entre entre matrices matrices por por bloques bloques se se realizan realizan análogamente análogamente a a laslas operaciones
operaciones entre entre matrices, matrices, con con la la única única condición condición de de que que los los bloques bloques se se puedanpuedan operar entre si.
operar entre si.
Para realizar el producto de matrices A y B por bloques en necesario que: Para realizar el producto de matrices A y B por bloques en necesario que:
El numero de bloques columna de la matriz A, sea igual al numero de bloquesEl numero de bloques columna de la matriz A, sea igual al numero de bloques
fila de la matriz B. fila de la matriz B.
Los bloques Los bloques correspondientes correspondientes podrán podrán multiplicase multiplicase cuando cuando coincidan coincidan el el numeronumero
de columnas de la matriz A y el numero de filas de la matriz B. de columnas de la matriz A y el numero de filas de la matriz B.
ejercicios: ejercicios:
Realizar el producto de matrices por bloques de: Realizar el producto de matrices por bloques de:
0 0 5 5 3 3 2 2 3 3 2 2 1 1 1 1 5 5 4 4 0 0 2 2 4 4 2 2 1 1 1 1 A A
2 2 1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 1 1 B BProcedemos a separar las matrices en bloques tales que sea posible su multiplicacion
0 5 3 2 3 2 1 1 5 4 0 2 4 2 1 1 A
2 1 0 1 2 3 0 1 2 3 4 1 B
Procedemos a Calcular el nuevo elemento fila 1 columna 1 de la matriz C:`
[
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Procedemos a realizar los respectivos cálculos de la fila 1 columna 2
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Calculamos el ultimo elemento de nuestra nueva matriz
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Expresado en forma lineal quedaria
[
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por lo tanto nuestra respuesta seria la siguiente:
1 1 11 1 4 3 20 21 10 13 13 7 C
siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1.
Ejemplo: Supongamos A = 2 5 1 3 B = 3 -5 -1 2 Entonces: A.B = 2 5 . 3 -5 = 6 - 5 -10 + 10 = 1 0 = I 1 3 -1 2 3 - 3 -5 + 6 0 1 A.B = 3 -5 . 2 5 = 6 - 5 15 - 15 = 1 0 = I -1 2 1 3 -2 + 2 -5 + 6 0 1Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.
Metodo de Gauss:
Sea A una matriz cuadrada de ord en n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A−1, seguiremos los siguientes pasos:
1 Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.
2 Utilizando el método Gauss vamos a tran sformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que aho ra está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A− 1.
F2 = F2 − F1
F3 = F3 + F2
F2 = F2 − F3
F1 = F1 + F2
F2 = (−1) F2
A la inversa lo multiplicamos por la matriz orginal y tendremos una matriz Identidad (I)
Por el metodo de determinantes:
Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij).
Ejemplo:
Si tenemos una matriz tal que det (A) ¹ 0, se verifica:
Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas). lo de la mat riz inv ers a
1 Calculamos el de terminante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.
2 Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.
3 Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.
4 La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.
A la inversa lo multiplicamos por la matriz orginal y tendremos una matriz Identidad (I)
PROPIEDADES DE LA MATRIZ INVERTIBLE:
La inversa de una matriz, si existe, es única.
La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:
Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de su inversa, es decir:
Y, evidentemente:
Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface la igualdad:
MATRIZ TRANSPUESTA:
Se llama matriz traspuesta de una matriz de dimensión , a la matriz que se obtiene al cambiar en las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por y su dimensión es
PROPIEDADES DE LA MATRIZ TRANSPUESTA:
Para toda matriz
Sean A y B matrices con elementos pertenecen a un anillo y sea :
Si el producto de las matrices y está definido,
Si es una matriz cuadrada cuyas entradas son números reales, entonces .
